Безпосередній підрахунок випадків, що сприяють цій події, може виявитися скрутним. Тому визначення ймовірності події буває вигідно уявити цю подію як комбінації деяких інших, простіших подій. При цьому, однак, треба знати правила, яким підкоряються ймовірності комбінації подій. Саме до цих правил і належать згадані у назві параграфа теореми.

Перша з них відноситься до підрахунку ймовірності того, що здійсниться хоча б одна з кількох подій.

Теорема складання.

Нехай А і В - дві несумісні події. Тоді ймовірність того, що здійсниться хоча б одна з цих двох подій, дорівнює сумі їх ймовірностей:

Доведення. Нехай – повна група попарно несумісних подій. Якщо те серед цих елементарних подій є рівне подій, сприятливих А, і рівне подій, сприятливих У. Оскільки події А й У несумісні, то жодна з подій неспроможна сприяти обом цим подіям. Події (А або В), яка полягає в тому, що настає хоча б одна з цих двох подій, сприяє, очевидно, як кожна з подій сприятливих А, так і кожна з подій

Сприятливих В. Тому загальна кількість подій, що сприяють події (А або В), дорівнює сумі, звідки слідує:

що й потрібно було довести

Неважко бачити, що теорема додавання, сформульована вище для двох подій, легко переноситься на випадок будь-якого кінцевого числа їх. Саме якщо попарно несумісні події, то

Для випадку трьох подій, наприклад, можна написати

Важливим наслідком теореми додавання є твердження: якщо події попарно несумісні та єдино можливі, то

Справді, подія або або за припущенням достовірна та її ймовірність, як було зазначено у § 1, дорівнює одиниці. Зокрема, якщо означають дві взаємно протилежні події, то

Проілюструємо теорему додавання прикладами.

Приклад 1. При стрільбі по мішені можливість зробити відмінний постріл дорівнює 0,3, а можливість зробити постріл на оцінку «добре» дорівнює 0,4. Яка можливість отримати за зроблений постріл оцінку не нижче «добре»?

Рішення. Якщо подія А означає отримання оцінки «відмінно», а подія – отримання оцінки «добре», то

Приклад 2. У урні, що містить куль білого, червоного та чорного кольору, знаходяться білих куль і I червоних. Яка можливість вийняти кулю не чорного кольору?

Рішення. Якщо подія А полягає у появі білої, а подія В – червоної кулі, то поява кулі не чорного кольору

означає поява або білої, або червоної кулі. Оскільки за визначенням ймовірності

то теорема складання ймовірність появи кулі не чорного кольору дорівнює;

Це завдання можна вирішити і так. Нехай подія полягає в появі чорної кулі. Число чорних куль дорівнює так що Р(С) Поява кулі не чорного кольору є протилежною подією С, тому на підставі зазначеного вище слідства з теореми складання маємо:

як і раніше.

Приклад 3. У грошово-речовій лотереї на серію 1000 квитків припадає 120 грошових та 80 речових виграшів. Яка ймовірність будь-якого виграшу на один лотерейний квиток?

Рішення. Якщо позначити через А подія, що полягає у випадінні грошового виграшу і через В - речового, то з визначення ймовірності випливає

Подія, що цікавить нас, представляє (А або В), тому з теореми складання випливає

Таким чином, ймовірність якогось виграшу дорівнює 0,2.

Перш ніж перейти до наступної теореми, необхідно ознайомитися з новим поняттям - поняттям умовної ймовірності. Для цього ми почнемо з розгляду наступного прикладу.

Нехай складі є 400 електричних лампочок, виготовлених двох різних заводах, причому першому виготовлено 75% всіх лампочок, але в другому - 25%. Припустимо, що серед лампочок, виготовлених першим заводом, 83% задовольняють умовам певного стандарту, а продукції другого заводу цей відсоток дорівнює 63. Визначимо ймовірність те, що випадково взята зі складу лампочка виявиться задовольняє умовам стандарту.

Зауважимо, що загальна кількість наявних стандартних лампочок складається з лампочок, виготовлених першим

заводом, і 63 лампочок, виготовлених другим заводом, тобто 312. Так як вибір будь-якої лампочки слід вважати рівноможливим, то ми маємо 312 сприятливих випадків з 400, так що

де подія полягає в тому, що обрана нами лампочка стандартна.

У цьому підрахунку не робилося жодних припущень у тому, до продукції якого заводу належить обрана нами лампочка. Якщо ж якісь припущення такого роду зробити, то очевидно, що ймовірність, що нас цікавить, може змінитися. Так, наприклад, якщо відомо, що обрана лампочка виготовлена ​​на першому заводі (подія А), то ймовірність того, що вона стандартна, буде вже не 078 а 083.

Такі ймовірність, тобто ймовірність події В за умови, що має місце подія А, називають умовною ймовірністю події В за умови настання події А і позначають

Якщо ми в попередньому прикладі позначимо через А подію, яка полягає в тому, що вибрана лампочка виготовлена ​​на першому заводі, то ми можемо написати

Тепер ми можемо сформулювати важливу теорему, яка стосується підрахунку ймовірності поєднання подій.

Теорема множення.

Імовірність суміщення подій А і В дорівнює добутку ймовірності однієї з подій на умовну ймовірність іншого в припущенні, що перше мало місце:

При цьому під поєднанням подій А і В розуміється настання кожного з них, тобто настання як події А, так і події В.

Доведення. Розглянемо повну групу з рівноможливих попарно несумісних подій кожна з яких може бути сприятливою або несприятливою як для події А, так і для події.

Розіб'ємо всі ці події на чотири різні групинаступним чином. До першої групи віднесемо ті з подій, які сприяють і події А, і події В; до другої і третьої груп віднесемо такі події які сприяють одному з двох подій, що цікавлять нас, і не сприяють іншому, наприклад до другої групи - ті, які сприяють А, але не сприяють В, а до третьої - ті, які сприяють В, але не сприяють А; нарешті, до

четвертій групі віднесемо ті з подій, які не сприяють ні А, ні В.

Так як нумерація подій не відіграє ролі, то можна припустити, що це розбиття на чотири групи виглядає так:

І група:

ІІ група:

ІІІ група:

IV група:

Таким чином, серед рівноможливих і попарно несумісних подій є подій, що сприяють і події А, і події В, I подій, що сприяють події А, але не сприяють події, сприятливих В, але не сприятливих А, і, нарешті, подій, що не сприяють ні А, ні Ст.

Зауважимо, між іншим, що якась із розглянутих нами чотирьох груп (і навіть не одна) може не містити жодної події. У цьому випадку відповідне число, що означає кількість подій у такій групі, дорівнюватиме нулю.

Вироблена нами розбивка на групи дозволяє одразу написати

бо поєднання подій А і В сприяють події першої групи і тільки вони. Загальна кількість подій, сприятливих А, дорівнює загальному числу подій у першій та другій групах, а сприятливих В - загальної кількості подій у першій та третій групах.

Підрахуємо тепер ймовірність тобто ймовірність події У за умови, що подія А мала місце. Тепер події, що входять до третьої та четвертої групи, відпадають, тому що їх поява суперечила б настанню події А, і число можливих випадківвиявляється рівним вже не. З них події сприяють лише події першої групи, так що ми отримуємо:

Для доказу теореми достатньо тепер написати очевидну тотожність:

і замінити у ньому всі три дроби обчисленими вище ймовірностями. Ми прийдемо до рівності, що затверджувалася в теоремі:

Ясно, що написане нами вище тотожність має сенс лише за що справедливо завжди, якщо тільки А не є неможливою подією.

Так як події А і В рівноправні, то, помінявши їх місцями, отримаємо іншу форму теореми множення:

Втім, цю рівність можна отримати тим самим шляхом, що й попередня, якщо помітити, що скористатися тотожністю

Порівнюючи праві частини двох виразів для ймовірності Р(А і В), отримаємо корисну рівність:

Розглянемо тепер приклади, що ілюструють теорему множення.

Приклад 4. У продукції якогось підприємства визнаються придатними (подія А) 96% виробів. До першого сорту (подія В) належать 75 виробів з кожної сотні придатних. Визначити ймовірність того, що довільний виріб буде придатним і належить до першого сорту.

Рішення. Потрібна можливість є можливість поєднання подій А і В. За умовою маємо: . Тому теорема множення дає

Приклад 5. Імовірність влучення в ціль при окремому пострілі (подія А) дорівнює 0,2. Яка ймовірність вразити мету, якщо 2% підривників дають відмови (тобто у 2% випадків пострілу не

Рішення. Нехай подія полягає в тому, що постріл відбудеться, а означає протилежну подію. Тоді за умовою та відповідно до слідства з теореми додавання. Далі, за умовою.

Поразка мети означає поєднання подій А і В (постріл відбудеться і дасть попадання), тому за теоремою множення

Важливий окремий випадоктеореми множення можна одержати, якщо скористатися поняттям незалежності подій.

Дві події називаються незалежними, якщо ймовірність одного з них не змінюється внаслідок того, настало чи не настало інше.

Прикладами незалежних подій є випадання різного числаочок при повторному киданні гральної кістки або тієї чи іншої сторони монет при повторному киданні монети, оскільки очевидно, що ймовірність випадання герба при другому киданні дорівнює незалежно від того, чи випав герб у першому.

Аналогічно, ймовірність вийняти вдруге білу кулю з урни з білими і чорними кулями, якщо вийнята перша куля попередньо повернена, не залежить від того, біла або чорна куля була вийнята вперше. Тому результати першого та другого виймання незалежні між собою. Навпаки, якщо куля, вийнята першим, не повертається в урну, то результат другого виймання залежить від першого, бо склад куль, що у урні після першого виймання, змінюється залежно від його результату. Тут маємо приклад залежних подій.

Використовуючи позначення, прийняті для умовних ймовірностей, можна записати умову незалежності подій А і В у вигляді

Скориставшись цими рівностями, ми можемо навести теорему множення для незалежних подій до наступної форми.

Якщо події А та В незалежні, то ймовірність їх поєднання дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

Справді, досить у початковому вираженні теореми множення покласти , що з незалежності подій, і ми отримаємо необхідну рівність.

Розглянемо тепер кілька подій: Будемо називати їх незалежними в сукупності, якщо ймовірність появи будь-якого з них не залежить від того, відбулися чи інші події, що розглядаються, чи ні

У разі подій, незалежних у сукупності, теорема множення може бути поширена на будь-яке кінцеве число їх, завдяки чому її можна сформулювати так:

Імовірність поєднання подій незалежних у сукупності, дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

Приклад 6. Робочий обслуговує три автоматичні верстати, до кожного з яких потрібно підійти для усунення несправності, якщо верстат зупиниться. Імовірність того, що перший верстат не зупиниться протягом години дорівнює 0,9. Така сама ймовірність для другого верстата дорівнює 0,8 і для третього - 0,7. Визначити ймовірність того, що протягом години робітнику не потрібно підійти до жодного з верстатів, які він обслуговує.

Приклад 7. Імовірність збити літак гвинтовим пострілом Яка ймовірність знищення ворожого літака за одночасної стрільби з 250 гвинтівок?

Рішення. Імовірність того, що при одиночному пострілі літак не буде збитий, за теоремою складання дорівнює Тоді можна підрахувати за допомогою теореми множення ймовірність того, що літак не буде збитий при 250 пострілах, як ймовірність поєднання подій. Вона дорівнює Після цього ми можемо знову скористатися теоремою додавання і знайти ймовірність того, що літак буде збитий, як ймовірність протилежної події

Звідси видно, що хоча ймовірність збити літак одиночним гвинтівковим пострілом мізерно мала, проте при стрільбі з 250 гвинтівок ймовірність збити літак виявляється вже дуже відчутною. Вона суттєво зростає, якщо кількість гвинтівок збільшити. Так, при стрільбі з 500 гвинтівок ймовірність збити літак, як легко підрахувати, дорівнює при стрільбі з 1000 гвинтівок - навіть.

Доведена вище теорема множення дозволяє дещо розширити теорему додавання, поширивши її на випадок сумісних подій. Зрозуміло, що якщо події А і В сумісні, то ймовірність настання хоча б одного з них не дорівнює сумі ймовірностей. Наприклад, якщо подія А означає випадання парного

числа очок при киданні гральної кістки, а подія В - випадання числа очок, кратного трьом, то події (А або В) сприяє випадання 2, 3, 4 і 6 очок, тобто

З іншого боку, тобто . Таким чином, у цьому випадку

Звідси видно, що у разі сумісних подій теорема складання ймовірностей має бути змінена. Як ми зараз побачимо, її можна сформулювати таким чином, щоб вона була справедлива і для сумісних, і для несумісних подій, тому раніше розглянута теорема додавання виявиться окремим випадком нової.

Події, які А не сприяють.

Всі елементарні події, які сприяють події (А або В), повинні сприяти або А, або тільки В, або А і В. Таким чином, загальна кількість таких подій дорівнює

а ймовірність

що й потрібно було довести.

Застосовуючи формулу (9) до розглянутого вище прикладу випадання числа очок при киданні гральної кістки, отримаємо:

що збігається з результатом безпосереднього підрахунку.

Очевидно, що формула (1) є окремим випадком (9). Справді, якщо події А і В несумісні, то і можливість поєднання

Приклад. У електричний ланцюг включено послідовно два запобіжники. Імовірність виходу з експлуатації першого запобіжника дорівнює 0,6, а другого 0,2. Визначимо ймовірність припинення харчування в результаті виходу з ладу хоча б одного із цих запобіжників.

Рішення. Так як події А і В, що складаються у виході з ладу першого і другого із запобіжників, сумісні, то ймовірність визначиться за формулою (9):

Вправи

Поняття події та ймовірності події. Достовірні та неможливі події. Класичне визначення імовірностей. Теорема складання ймовірностей. Теорема множення ймовірностей. Розв'язання найпростіших завдань визначення ймовірності з використанням складання ймовірностей.

Методичні вказівки на тему 3.1:

Поняття події та ймовірності події. Достовірні та неможливі події. Класичне визначення ймовірностей:

Вивчення кожного явища у порядку спостереження чи виробництва досвіду пов'язані з здійсненням деякого комплексу умов (випробувань). Будь-який результат чи результат випробування називається подією.

Якщо подія за заданих умов може статися або не відбутися, вона називається випадковим.У тому випадку, коли подія повинна неодмінно відбутися, її називають достовірним, а в тому випадку, коли воно свідомо не може статися, - неможливим.

Події називаються несумісними,якщо щоразу можлива поява лише одного з них. Події називаються спільними,якщо в даних умовах поява однієї з цих подій не виключає появу іншого при тому самому випробуванні.

Події називаються протилежними,якщо за умов випробування вони, будучи єдиними його наслідками, несовместны.

Імовірність події сприймається як міра об'єктивної можливості появи випадкової події.

Ймовірністюподії називається відношення числа результатів m, сприяють наступу цієї події , до n всіх результатів (неспільних, єдино можливих і рівноможливих), тобто.

Імовірність будь-якої події може бути менше нуля і більше одиниці, тобто. . Неможливій події відповідає ймовірність, а достовірній - ймовірність

Приклад 1. У лотереї із 1000 квитків є 200 виграшних. Виймають навмання один квиток. Чому дорівнює можливість того, що цей квиток виграшний?

Загальна кількість різних результатів є n= 1000. Число результатів, що сприяють отриманню виграшу, становить m= 200. Згідно з формулою, отримаємо .

Приклад 2. З урни, в якій знаходяться 5 білих і 3 чорні кулі, виймають одну кулю. Знайти ймовірність того, що куля виявиться чорною.

Позначимо подію, що полягає у появі чорної кулі, через . Загальна кількість випадків. Кількість випадків m, сприяють появі події , дорівнює 3. За формулою отримаємо .

Приклад 3. З урни, в якій знаходяться 12 білих і 8 чорних куль, виймають навмання дві кулі. Яка ймовірність того, що обидві кулі виявляться чорними?

Позначимо подію, що полягає у появі двох чорних куль через . Загальна кількість можливих випадків nдорівнює числу поєднань з 20 елементів (12 + 8) по два:

Кількість випадків m, що сприяють події , становить

За формулою знаходимо ймовірність появи двох чорних куль:

Теорема складання ймовірностей. Вирішення найпростіших завдань на визначення ймовірності з використанням теореми складання ймовірностей:

Теорема складання ймовірностей несумісних подій.Імовірність появи однієї з кількох попарно несумісних подій, байдуже якої, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Теорема складання ймовірностей спільних подій.Імовірність появи хоча б однієї з двох спільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їхньої спільної появи:

Приклад 4. У ящику у випадковому порядку розкладено 20 деталей, причому п'ять із них стандартні. Робочий бере навмання три деталі. Знайти ймовірність того, що принаймні вона зі взятих деталей виявиться стандартною.

Очевидно, що принаймні одна з взятих деталей виявиться стандартною, якщо відбудеться будь-яка з трьох несумісних подій: B- одна деталь стандартна, дві нестандартні; C- дві деталі стандартні, одна нестандартна та D- Три деталі стандартні.

Таким чином, подія Aможна у вигляді суми цих трьох подій: A = B + C + D.За теоремою складання маємо P(A) = P(B) + P(C) + P(D).Знаходимо ймовірність кожної з цих подій:

Склавши знайдені величини, отримаємо

Приклад 5. Знайти ймовірність того, що навмання взяте двозначне числовиявиться кратним або 3, або 5, або тому та іншому одночасно.

Нехай A- подія, яка полягає в тому, що навмання взяте число кратно 3, а B- У тому, що воно кратне 5. Знайдемо Так як Aі Bспільні події, то скористаємося формулою:

Усього є 90 двоцифрових чисел: 10, 11, 98, 99. З них 30 є кратними 3 (сприяють настанню події A); 18 - кратними 5 (сприяють настанню події B) і 6 - кратними одночасно 3 і 5 (сприяють настанню події AB). Отже, тобто.

Теорема множення ймовірностей:

Теорема множення ймовірностей незалежних подій.Імовірність спільної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

Імовірність появи кількох подій, незалежних у сукупності, обчислюється за такою формулою:

Теорема множення ймовірностей залежних подій.Імовірність спільної появи двох залежних подій дорівнює твору одного з них на умовну ймовірність другого:

Приклад 6. В одній урні знаходяться 4 білих та 8 чорних куль, в іншій – 3 білих та 9 чорних. З кожної урни вийняли по кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі виявляться білими.

Нехай - поява білої кулі з першої урни, а - поява білої кулі з другої урни. Очевидно, що події та незалежні. Знайдемо

За формулою отримаємо:

Запитання для самоперевірки на тему 3.1:

1. Що таке подія?

2. Які події називаються достовірними?

3. Які події називаються неможливими?

4. Дати визначення ймовірності.

5. Сформулювати теорему складання ймовірностей.

6. Сформулювати теорему множення ймовірностей.

Завдання для самостійного рішенняна тему 3.1:

1. У ящику у випадковому порядку покладено 10 деталей, з яких 4 стандартні. Контролер узяв навмання 3 деталі. Знайти ймовірність того, що хоч одна з взятих деталей виявилася стандартною.

2. У урні знаходяться 10 білих, 15 чорних, 20 синіх та 25 червоних куль. Знайдіть ймовірність того, що вийнята куля виявиться: 1) білою; 2) чорним чи червоним.

3. Знайдіть ймовірність того, що навмання взяте двозначне число виявиться кратним або 4, або 5, або тому й іншому одночасно.

4. Робочий обслуговує два автомати, які працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що протягом години перший автомат не вимагатиме уваги робітника, дорівнює 0,8, а для другого автомата ця ймовірність дорівнює0,7. Знайдіть ймовірність того, що протягом години жоден і автоматів не вимагатиме уваги робітника.

5. У урні знаходяться 6 куль, з яких 3 білих. Навмання вийнято один за одним дві кулі. Обчисліть ймовірність того, що обидві кулі виявляться білими.

6. У урні знаходяться 10 білих та 6 чорних куль. Знайдіть ймовірність того, що три навмання вийнятих один за одним кулі виявляться чорними.

Розглядається експеримент Е. Передбачається, що його можна проводити неодноразово. В результаті експерименту можуть з'являтися різні події, що становлять деяку кількість F. Події поділяються на три види: достовірне, неможливе, випадкове.

Достовірним називається подія, яка обов'язково відбудеться в результаті проведення експерименту Е. Позначається?

Неможливим називається подія, яка свідомо не станеться в результаті проведення експерименту Е. Позначається.

Випадковим називається подія, яка може статися або не відбутися в результаті експерименту Е.

Додатковим (протилежним) події Аназивається подія, що позначається , яка відбувається тоді і тільки тоді, коли не відбувається подія А.

Сумою (об'єднанням) подій називається подія, яка відбувається тоді і лише тоді, коли відбувається хоча б одна з цих подій (рисунок 3.1). Позначення.

Малюнок 3.1

Твором (перетином) подій називається подія, що відбувається тоді і тільки тоді, коли всі ці події відбуваються разом (одночасно) (рисунок 3.2). Позначення. Очевидно, що події А та В несумісні якщо .

Малюнок 3.2

Повною групою подій називається безліч подій, сума яких є достовірною подією:

Подія Уназивають окремим випадком події А, якщо з появою події Уз'являється і подія А. Говорять також, що подія Утягне подію А(Малюнок 3.3). Позначення.

Малюнок 3.3

Події Аі Уназиваються еквівалентними якщо вони відбуваються або не відбуваються спільно при проведенні експерименту Е. Позначення. Очевидно, що, якщо.

Складною подією називають подію, що спостерігається, виражене через інші події, що спостерігаються в тому ж експерименті за допомогою алгебраїчних операцій.

Імовірність здійснення тієї чи іншої складної події обчислюють за допомогою формул додавання та множення ймовірностей.

Теорема складання ймовірностей

Наслідки:

1) у разі, якщо події Аі Унесумісні, теорема складання набуває вигляду:

2) у разі трьох доданків теорема додавання записується у вигляді

3) сума ймовірностей взаємно протилежних подій дорівнює 1:

Сукупність подій,, …, називають повною групою подій , якщо

Сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу, дорівнює 1:

Ймовірність появи події Аза умови, що подія Усталося, називають умовною ймовірністю та позначають або.

Аі У – залежні події якщо .

Аі У – незалежні події якщо .

Теорема множення ймовірностей

Наслідки:

1) для незалежних подій Аі У

2) у загальному випадкудля добутку трьох подій теорема множення ймовірностей має вигляд:

Зразки розв'язання задач

приклад1 ‑ В електричний ланцюг послідовно включені три елементи, що працюють незалежно один від одного. Імовірності відмов першого, другого та третього елементів відповідно дорівнюють ,,. Знайти ймовірність того, що струму в ланцюзі не буде.

Рішення

Перший метод.

Позначимо події: - у ланцюгу відбулася відмова відповідно до першого, другого та третього елементів.

Подія А- струму в ланцюзі не буде (відмовить хоча б один з елементів, оскільки вони включені послідовно).

Подія - в ланцюзі струм (працюють три елементи), . Імовірність протилежних подій пов'язана з формулою (3.4). Подія є твір трьох подій, які є попарно незалежними. За теоремою множення ймовірностей незалежних подій отримуємо

Тоді ймовірність шуканої події.

Другий спосіб.

З урахуванням прийнятих раніше позначень запишемо подію А- Відмовить хоча б один з елементів:

Оскільки доданки, що входять у суму, спільні, слід застосувати теорему складання ймовірностей у загальному виглядідля випадку трьох доданків (3.3):

Відповідь: 0,388.

Завдання для самостійного вирішення

1 У читальному залі є шість підручників з теорії ймовірностей, з яких три в палітурці. Бібліотекар навмання взяв два підручники. Знайти ймовірність того, що обидва підручники опиняться у палітурці.

2 У мішку змішані нитки, серед яких 30% білих, а інші червоні. Визначити ймовірність того, що вийняті навмання дві нитки будуть: одного кольору; різних квітів.

3 Пристрій складається з трьох елементів, які працюють незалежно. Ймовірності безвідмовної роботи за певний проміжок часу першого, другого та третього елементів відповідно дорівнюють 0,6; 0,7; 0,8. Знайти ймовірність того, що за цей час безвідмовно працюватимуть: тільки один елемент; лише два елементи; всі три елементи; хоча б два елементи.

4 Кинуті три гральні кубики. Знайти ймовірність наступних подій:

а) на кожній грані з тих, що випали, з'явиться п'ять очок;

б) на всіх гранях, що випали, з'явиться однакове число очок;

в) на двох гранях, що випали, з'явиться одне очко, а на третій грані - інше число очок;

г) на всіх гранях, що випали, з'явиться різне число очок.

5 Імовірність влучення в ціль стрільцем при одному пострілі дорівнює 0,8. Скільки пострілів повинен зробити стрілок, щоб із ймовірністю, меншою за 0,4, можна було очікувати, що не буде жодного промаху?

6 З цифр 1, 2, 3, 4, 5 спочатку вибирається одна, а потім з чотирьох - друга цифра. Передбачається, що всі 20 можливих результатів є рівноймовірними. Знайти ймовірність того, що буде обрано непарну цифру: вперше; вдруге; в обидва рази.

7 Імовірність того, що в чоловічій взуттєвій секції магазину вкотре буде продано пару взуття 46-го розміру, дорівнює 0,01. Скільки має бути продано пару взуття в магазині, щоб з ймовірністю не менше 0,9 можна очікувати, що буде продана хоча б одна пара взуття 46-го розміру?

8 У ящику 10 деталей, серед яких дві нестандартні. Знайти ймовірність того, що в навмання відібраних шести деталях виявиться не більше однієї нестандартної.

9 Відділ технічного контролю перевіряє вироби на стандартність. Імовірність того, що виріб нестандартний, дорівнює 0,1. Знайти ймовірність того, що:

а) із трьох перевірених виробів тільки два виявляться нестандартними;

б) нестандартним виявиться лише четвертий по порядку перевірений виріб.

10 32 літери російського алфавіту написані на картках розрізної абетки:

а) три картки виймають навмання одну за одною і укладають на стіл у порядку появи. Знайти ймовірність того, що вийде слово світ;

б) вилучені три картки можна поміняти місцями довільним чином. Якою є ймовірність того, що з них можна скласти слово «світ»?

11 Винищувач атакує бомбардувальник і дає по ньому дві незалежні черги. Імовірність збити бомбардувальник першою чергою дорівнює 0,2, а другий - 0,3. Якщо бомбардувальник не збитий, він веде по винищувачу стрілянину з гармати кормової установки і збиває його з ймовірністю 0,25. Знайти ймовірність того, що в результаті повітряного бою збитий бомбардувальник чи винищувач.

Домашнє завдання

1 Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

2 Розв'язати задачі

Завдання1 . Робочий обслуговує три верстати, які працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що протягом години не вимагатиме уваги робітника перший верстат, дорівнює 0,9, другий – 0,8, третій – 0,85. Знайти ймовірність того, що протягом години хоча б один верстат потребуватиме уваги робітника.

Завдання2 . Обчислювальний центр, який повинен проводити безперервну обробку інформації, що надходить, має в своєму розпорядженні два обчислювальні пристрої. Відомо, що кожне з них має ймовірність відмови за деякий час, що дорівнює 0,2. Потрібно визначити ймовірність:

а) того, що відмовить один із пристроїв, а друге буде справно;

б) безвідмовної роботи кожного з пристроїв.

Завдання3 . Чотири мисливці домовилися стріляти по дичині у певній послідовності: наступний мисливець робить постріл лише у разі промаху попереднього. Імовірність влучення для першого мисливця дорівнює 0,6, для другого – 0,7, для третього – 0,8. Знайти ймовірність того, що буде зроблено пострілів:

г) чотири.

Завдання4 . Деталь проходить чотири операції обробки. Імовірність отримання шлюбу за першої операції дорівнює 0,01, за другий – 0,02, за третьої – 0,03, за четвертої – 0,04. Знайти можливість отримання деталі без шлюбу після чотирьох операцій, припускаючи, що події отримання шлюбу на окремих операціях є незалежними.

Установа освіти «Білоруська державна

сільськогосподарська академія»

Кафедра вищої математики

ДОДАТОК І ПРИМНОШЕННЯ МОЖЛИВОСТЕЙ. ПОВТОРНІ НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБУВАННЯ

Лекція для студентів землевпорядного факультету

заочної форми навчання

Гірки, 2012

Складання та множення ймовірностей. Повторні

незалежні випробування

Складання ймовірностей

Сумою двох спільних подій Аі Уназивається подія З, що складається в наступі хоча б однієї з подій Аабо У. Аналогічно сумою кількох спільних подій називається подія, що полягає у настанні хоча б однієї з цих подій.

Сумою двох несумісних подій Аі Уназивається подія З, що складається в наступі або події А, або події У. Аналогічно сумою кількох несумісних подій називається подія, що полягає в настанні будь-якої однієї з цих подій.

Справедлива теорема складання ймовірностей несумісних подій: ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій , тобто. . Цю теорему можна поширити на будь-яку кінцеву кількість несумісних подій.

З цієї теореми випливає:

сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці;

сума ймовірностей протилежних обставин дорівнює одиниці, тобто.
.

Приклад 1 . У ящику знаходяться 2 білі, 3 червоні та 5 сині кулі. Кулі перемішують і навмання витягують один. Яка ймовірність того, що куля виявиться кольоровою?

Рішення . Позначимо події:

A= (витягнуто кольорову кулю);

B= (витягнуто білу кулю);

C= (витягнуто червону кулю);

D= (Вийнято синя куля).

Тоді A= C+ D. Оскільки події C, Dнесумісні, то скористаємося теоремою складання можливостей несумісних событий: .

Приклад 2 . У урні знаходяться 4 білі кулі та 6 – чорні. З урни навмання виймають 3 кулі. Якою є ймовірність того, що всі вони одного кольору?

Рішення .

AПозначимо події:

B=(вийнято кулі одного кольору);

C=(вийнято кулі білого кольору);

= (Вийнято кулі чорного кольору). A= B+ CТак як Уі Зта події
несумісні, то за теоремою складання ймовірностей несумісних подій У. Ймовірність події
дорівнює
4,

, де . Підставимоі n k
у формулу та отримаємо З:
дорівнює
,
Аналогічно знайдемо ймовірність події
, тобто.
.

. Тоді Приклад 3

Рішення . Позначимо події:

A= (Серед вийнятих карт не менше трьох тузів);

B= (Серед вийнятих карт три тузи);

C= (Серед вийнятих карт чотири тузи).

= (Вийнято кулі чорного кольору). A= B+ C, а події Уі Знесумісні, то
. Знайдемо ймовірність подій Уі З:

,
. Отже, ймовірність того, що серед вийнятих карт не менше трьох тузів, дорівнює

0.0022.

Розмноження ймовірностей

Твором двох подій Аі Уназивається подія З, що полягає у спільному наступі цих подій:
. Це визначення поширюється будь-яке кінцеве число подій.

Дві події називаються незалежними якщо ймовірність настання одного з них не залежить від того, відбулася інша подія чи ні. Події ,, … ,називаються незалежними у сукупності якщо ймовірність наступу кожного з них не залежить від того, відбулися чи не відбулися інші події.

Приклад 4 . Дві стрілки стріляють по меті. Позначимо події:

A=(перший стрілець влучив у ціль);

B= (другий стрілець влучив у ціль).

Очевидно, що ймовірність влучення в ціль першим стрільцем не залежить від того, потрапив чи не потрапив другий стрілець, і навпаки. Отже, події Аі Унезалежні.

Справедлива теорема множення ймовірностей незалежних подій: ймовірність твору двох незалежних подій дорівнює твору ймовірностей цих подій : .

Ця теорема справедлива і для nнезалежних у сукупності подій: .

Приклад 5 . Дві стрілки стріляють по одній меті. Імовірність влучення першого стрілка дорівнює 0.9, а другого – 0.7. Обидва стрілки одночасно роблять по одному пострілу. Визначити ймовірність того, що матимуть місце два влучення в ціль.

Рішення . Позначимо події:

A

B

C=(обидва стрілка влучать у ціль).

Так як
, а події Аі Унезалежні, то
, тобто.

Події Аі Уназиваються залежними якщо ймовірність настання одного з них залежить від того, чи відбулася інша подія чи ні. Ймовірність настання події Аза умови, що подія Увже настало, називається умовною ймовірністю і позначається
або
.

Приклад 6 . В урні знаходяться 4 білих та 7 чорних куль. З урни витягаються кулі. Позначимо події:

A= (Вийнято білу кулю) ;

B= (витягнуто чорну кулю).

Перед початком вилучення куль із урни
. З урни витягли одну кулю і він виявився чорним. Тоді ймовірність події Апісля настання події Убуде вже іншою, рівною . Це означає, що ймовірність події Азалежить від події У, тобто. ці події будуть залежними.

Справедлива теорема множення ймовірностей залежних подій: ймовірність твору двох залежних подій дорівнює твору ймовірності одного з них на умовну ймовірність іншого, обчислену у припущенні, що перша подія вже настала, тобто. або.

Приклад 7 . В урні знаходяться 4 білі кулі та 8 червоних. З неї навмання послідовно витягують дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть чорними.

Рішення . Позначимо події:

A=(першим витягнуто чорну кулю);

B=(другим витягнуто чорну кулю).

Події Аі Узалежні, оскільки
, а
, тобто.
.

Приклад 8 . Три стрілки стріляють по меті незалежно один від одного. Імовірність влучення в ціль для першого стрільця дорівнює 0.5, для другого – 0.6 та для третього – 0.8. Знайти ймовірність того, що відбудуться два влучення в ціль, якщо кожен стрілець зробить по одному пострілу.

Рішення . Позначимо події:

A= (відбудуться два влучення в ціль);

B=(перший стрілець потрапить у ціль);

C=(другий стрілок потрапить у ціль);

D=(третій стрілець потрапить у ціль);

=(перший стрілець не потрапить у ціль);

=(другий стрілок не потрапить у ціль);

=(третій стрілець не влучить у ціль).

За умовою прикладу
,
,
,

,
,
. Так як, використовуючи теорему складання ймовірностей несумісних подій та теорему множення ймовірностей незалежних подій, отримаємо:

Нехай події
утворюють повну групу подій деякого випробування, а подію Аможе наступити лише з однією з цих подій. Якщо відомі ймовірності та умовні ймовірності події А, то ймовірність події А обчислюється за такою формулою:

або
. Ця формула називається формулою повної ймовірності , а події
гіпотезами .

Приклад 9 . На складальний конвеєр надходить 700 деталей з першого верстата та 300 деталей з другого. Перший верстат дає 0,5% шлюбу, а другий - 0,7%. Знайти ймовірність того, що взята деталь буде бракованою.

Рішення . Позначимо події:

A=(взята деталь буде бракованою);

=(Деталь виготовлена ​​на першому верстаті);

=(Деталь виготовлена ​​на другому верстаті).

Імовірність того, що деталь виготовлена ​​на першому верстаті, дорівнює
. Для другого верстата
. За умовою ймовірність отримання бракованої деталі, виготовленої на першому верстаті, дорівнює
. Для другого верстата ця ймовірність дорівнює
. Тоді ймовірність того, що взята деталь буде бракованою, обчислюється за формулою повної ймовірності

Якщо відомо, що в результаті випробування настала певна подія А, то ймовірність того, що ця подія настала з гіпотезою
, дорівнює
дорівнює
- Повна ймовірність події А. Ця формула називається формулою Байєса і дозволяє обчислювати ймовірність подій
після того, як стало відомо, що подія Авже настало.

Приклад 10 . Однотипні деталі до автомобілів виробляються двох заводах і надходять у магазин. Перший завод виробляє 80% від загальної кількості деталей, а другий – 20%. Продукція першого заводу містить 90% стандартних деталей, а другого – 95%. Покупець купив одну деталь, і вона виявилася стандартною. Знайти ймовірність того, що ця деталь зроблена на другому заводі.

Рішення . Позначимо події:

A= (Куплена стандартна деталь);

=(Деталь виготовлена ​​на першому заводі);

= (Деталь виготовлена ​​на другому заводі).

За умовою прикладу
,
,
і
. Обчислимо повну ймовірність події А: 0.91. Імовірність того, що деталь виготовлена ​​на другому заводі, обчислимо за формулою Байєса:

.

Завдання для самостійної роботи

Імовірність влучення у ціль для першого стрілка дорівнює 0.8, для другого – 0.7 та для третього – 0.9. Стрілки зробили по одному пострілу. Знайти ймовірність того, що має місце не менше двох попадань у ціль.

До ремонтної майстерні надійшло 15 тракторів. Відомо, що 6 з них потребують заміни двигуна, а решта – заміни окремих вузлів. Випадковим чином відбираються три трактори. Знайти ймовірність того, що заміна двигуна необхідна не більше ніж двом відібраним тракторам.

На залізобетонному заводі виготовляють панелі, 80% з яких – вищої якості.

Знайти ймовірність того, що з трьох навмання вибраних панелей не менше двох будуть найвищого гатунку.

Три робітники збирають підшипники. Імовірність того, що підшипник, зібраний першим робітником, найвищої якості, дорівнює 0.7, другим – 0.8 та третім – 0.6. Для контролю навмання взято по одному підшипнику із зібраних кожним робітником. Знайти ймовірність того, що не менше двох з них будуть найвищої якості.

Імовірність виграшу за лотерейним білетом першого випуску дорівнює 0.2, другого – 0.3 та третього – 0.25. Є по одному квитку кожного випуску. Знайти ймовірність того, що виграє щонайменше два квитки.

Бухгалтер виконує розрахунки, користуючись трьома довідниками. Імовірність того, що дані, що його цікавлять, знаходяться в першому довіднику, дорівнює 0.6, у другому - 0.7 і в третьому - 0.8. Знайти ймовірність того, що цікаві для бухгалтера дані містяться не більше, ніж у двох довідниках.

На двох верстатах обробляються однотипні деталі. Імовірність виготовлення нестандартної деталі для першого верстата дорівнює 0.03, для другого – 0.02. Оброблені деталі складаються одному місці.

Серед них 67% з першого верстата, а решта – з другого. Навмання взята деталь виявилася стандартною. Знайти ймовірність того, що вона зроблена на першому верстаті.

До майстерні надійшли дві коробки однотипних конденсаторів. У першій коробці було 20 конденсаторів, з яких 2 несправні. У другій коробці 10 конденсаторів, з яких 3 несправні.

Конденсатори були переведені в одну скриньку. Знайти ймовірність того, що навмання взятий із ящика конденсатор виявиться справним. АНа трьох верстатах виготовляють однотипні деталі, які надходять на загальний конвеєр. Серед усіх деталей 20% з першого автомата, 30% – з другого та 505 – з третього. УІмовірність виготовлення стандартної деталі першому верстаті дорівнює 0.8, другому – 0.6 і третьому – 0.7. Взята деталь виявилася стандартною. Знайти можливість того, ця деталь виготовлена ​​на третьому верстаті. АКомплектувальник отримує для збирання 40% деталей із заводу У, а решта – із заводу У.

.

Імовірність того, що деталь із заводу

– вищої якості, що дорівнює 0.8, а із заводу незалежними - 0.9. Комплектувальник навмання взяв одну деталь і вона виявилася не вищою якістю. Знайти ймовірність того, що ця деталь із заводу АДля участі у студентських спортивних змаганнях виділено 10 студентів із першої групи та 8 – з другої. Імовірність того, що студент із першої групи потрапить до збірної академії, дорівнює 0.8, а з другої – 0.7. Навмання обраний студент потрапив до збірної. Знайти ймовірність того, що він із першої групи.
Формула Бернуллі Випробування називаються
.

якщо при кожному з них подія настає з однією і тією ж ймовірністю n, яка залежить від того, з'явилося чи не з'явилася ця подія в інших випробуваннях. Ймовірність протилежної події Aу цьому випадку дорівнює АПриклад 11
. Кидається гральний кубик
.

разів. Позначимо подію n= (Випадання трьох очок). Ймовірність настання події Ау кожному випробуванні дорівнює і не залежить від того, чи відбулася ця подія в інших випробуваннях. Тому ці випробування є незалежними. Ймовірність протилежної події (не випадання трьох очок) дорівнюєІмовірність того, що в . Підставимонезалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність настання події
дорівнює
. Ця формула називається формулою Бернуллі і зручна вона у тому випадку, якщо кількість випробувань n не надто велика.

Приклад 12 . Частка плодів, заражених хворобою у прихованій формі, становить 25%. Випадково відбирається 6 плодів. Знайти ймовірність того, що серед обраних виявиться: а) рівно 3 заражені плоди; б) трохи більше двох заражених плодів.

Рішення . За умовою прикладу.

а) За формулою Бернуллі ймовірність того, що серед шести відібраних плодів зараженими виявляться рівно три, дорівнює

0.132.

б) Позначимо подію A=(Заражених буде не більше двох плодів). Тоді. За формулою Бернуллі:

0.297.

Отже,
0.178+0.356+0.297=0.831.

Теореми Лапласа та Пуассона

За формулою Бернуллі є ймовірність того, що подія Анастане . Підставимораз на nнезалежних випробуваннях та у кожному випробуванні ймовірність події Апостійна. При великих значеннях n обчислення формулою Бернуллі стають трудомісткими. У цьому випадку для обчислення ймовірності події Адоцільніше використати іншу формулу.

Локальна теорема Лапласа . Нехай ймовірність (не випадання трьох очок) дорівнюєнастання події Ау кожному випробуванні постійна та відмінна від нуля та одиниці. Тоді ймовірність того, що подія Анастане рівно . Підставимораз при досить великому числі n випробувань, обчислюється за формулою

, де
, а значення функції
наведено у таблиці.

Основними властивостями функції
є:

Функція
визначена та безперервна в інтервалі
.

Функція
позитивна, тобто.
>0.

Функція
парна, тобто.
.

Оскільки функція
парна, то таблиці наведено її значення лише позитивних значень х.

Приклад 13 . Схожість насіння пшениці становить 80%. Для досвіду відбирається 100 насінин. Знайти ймовірність того, що з відібраного насіння зійдуть рівно 90.

Рішення . За умовою прикладу n=100, . Підставимо=90, (не випадання трьох очок) дорівнює=0.8, q= 1-0.8 = 0.2. Тоді
. За таблицею знайдемо значення функції
:
.
0.0044.

Імовірність того, що з відібраного насіння зійдуть рівно 90, дорівнює АПри вирішенні практичних завдань виникає необхідність знайти ймовірність настання події nпри незалежних випробуваннях не менше раз і не більше разів. Таке завдання вирішується за допомогою інтегральної теореми Лапласа (не випадання трьох очок) дорівнюєнастання події А: Нехай ймовірність nу кожному з незалежних випробуваннях не менше незалежних випробувань постійна та відмінна від нуля та одиниці. Тоді ймовірність того, що подія настане не менше

раз при досить великій кількості випробувань, обчислюється за формулою
,
.

Функція
Де називається функцією Лапласа

Основними властивостями функції
є:

.

Функція
і не виражається через елементарні функції. Значення цієї функції наведено у спеціальних таблицях.
.

зростає в інтервалі
.

Функція
при
.

непарна, тобто. . Підприємство випускає продукцію, з якої 13% не найвищої якості. Визначити ймовірність того, що у неперевіреній партії із 150 одиниць продукції вищої якості буде не менше 125 та не більше 135.

Рішення . Позначимо. Обчислимо
,

Теореми складання та множення ймовірностей.

Теорема складання ймовірностей двох подій. Імовірність суми двох подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їхньої спільної появи:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

Теорема складання ймовірностей двох несумісних подій. Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Приклад 2.16.Стрілець стріляє по мішені, розділеній на 3 області. Імовірність влучення в першу ділянку дорівнює 0,45, в другу - 0,35. Знайти ймовірність того, що стрілок при одному пострілі потрапить або в першу або другу область.

Рішення.

Події А- «стрілок потрапив у першу область» та У- «стрілок потрапив у другу область» - несумісні (попадання до однієї область виключає потрапляння до іншої), тому теорема складання застосовна.

Шукана ймовірність дорівнює:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Теорема складання ймовірностей пнесумісних подій. Імовірність суми п несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих:

Р(А 1 +А 2 +…+А п)=Р(А 1)+Р(А 2)+…+Р(А п).

Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:

Ймовірність події Уза умови, що сталася подія Аназивається умовною ймовірністю події Уі позначається так: Р(В/А),або Р А (В).

. Імовірність твору двох подій дорівнює твору ймовірності одного з них на умовну ймовірність іншого за умови, що перша подія сталася:

Р(АВ)=Р(А)РА (В).

Подія Уне залежить від події А, якщо

Р А (В) = Р (В),

тобто. ймовірність події Уне залежить від того, чи сталася подія А.

Теорема множення ймовірностей двох незалежних подій.Імовірність твору двох незалежних подій дорівнює твору їх ймовірностей:

Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Приклад 2.17.Імовірності влучення в ціль при стрільбі першої та другої знарядь відповідно рівні: р 1 = 0,7; р 2= 0,8. Знайти ймовірність попадання при одному залпі (з обох гармат) хоча б одним із знарядь.

Рішення.

Імовірність влучення в ціль кожної з гармат не залежить від результату стрільби з іншої зброї, тому події А– «попадання першої зброї» та У– «попадання другої зброї» незалежні.

Ймовірність події АВ– «обидві знаряддя дали попадання»:

Шукана ймовірність

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Теорема множення ймовірностей пподій.Імовірність твору п подій дорівнює твору одного з них на умовні ймовірності решти, обчислені в припущенні, що всі попередні події наступили:

Приклад 2.18. В урні 5 білих, 4 чорні та 3 сині кулі. Кожне випробування полягає в тому, що навмання витягують одну кулю, не повертаючи її назад. Знайти ймовірність того, що при першому випробуванні з'явиться біла куля (подія А), при другому – чорна (подія В) та при третьому – синя (подія С).

Рішення.

Імовірність появи білої кулі у першому випробуванні:

Імовірність появи чорної кулі в другому випробуванні, обчислена в припущенні, що в першому випробуванні з'явилася біла куля, тобто умовна ймовірність:

Імовірність появи синьої кулі в третьому випробуванні, обчислена в припущенні, що в першому випробуванні з'явилася біла куля, а в другому - чорна, тобто умовна ймовірність:

Шукана ймовірність дорівнює:

Теорема множення ймовірностей пнезалежних подій.Імовірність твору п незалежних подій дорівнює твору їх ймовірностей:

Р(А 1 А 2 … А п) = Р (А 1) Р (А 2) … Р (А п).

Імовірність появи хоча б однієї з подій. Імовірність появи хоча б однієї з подій А 1 , А 2 , …, А п, незалежних у сукупності, дорівнює різниці між одиницею та добутком ймовірностей протилежних подій:

.

приклад 2.19.Імовірності влучення в ціль при стрільбі з трьох знарядь такі: р 1 = 0,8; р 2 = 0,7;р 3= 0,9. Знайти ймовірність хоча б одного влучення (подія А) при одному залпі з усіх знарядь.

Рішення.

Імовірність попадання в ціль кожної з гармат не залежить від результатів стрілянини з інших знарядь, тому події, що розглядаються. A 1(попадання першої зброї), А 2(потрапляння другої зброї) та А 3(попадання третьої зброї) незалежні в сукупності.

Ймовірності подій, протилежних подіям А 1, А 2і А 3(тобто ймовірності промахів), відповідно дорівнюють:

, , .

Шукана ймовірність дорівнює:

Якщо незалежні події А 1, А 2, …, А пмають однакову ймовірність, рівну р, то ймовірність появи хоча б однієї з цих подій виражається формулою:

Р(А) = 1 - q n,

де q=1-p

2.7. Формула цілковитої ймовірності. Формула Байєса.

Нехай подія Аможе статися за умови появи однієї з несумісних подій Н 1, Н 2, …, Н п, що утворюють повну групу подій Оскільки наперед невідомо, яка з цих подій настане, їх називають гіпотезами.

Ймовірність появи події Аобчислюється за формулі повної ймовірності:

Р(А)=Р(Н 1)Р(А/Н 1)+ Р(Н 2)Р(А/Н 2)+…+ Р(Н п)Р(А/Н п).

Припусти, що зроблено досвід, внаслідок якого подія Асталося. Умовні ймовірності подій Н 1, Н 2, …, Н пщодо події Авизначаються формулами Байєса:

,

Приклад 2.20. У групі з 20 студентів, які прийшли на іспит, 6 підготовлені відмінно, 8 – добре, 4 – задовільно та 2 – погано. В екзаменаційних квитках є 30 питань. Відмінно підготовлений студент може відповісти на всі 30 питань, добре підготовлене – на 24, задовільно – на 15, погано – на 7.

Викликаний навмання студент відповів на три довільно заданих питання. Знайти ймовірність того, що цей студент підготовлений: а) чудово; б) погано.

Рішення.

Гіпотези - "студент підготовлений відмінно";

– «студент добре підготовлений»;

- «Студент підготовлений задовільно»;

- «Студент підготовлений погано».

До досвіду:

; ; ; ;

7. Що називають повною групою подій?

8. Які події називають рівноможливими? Наведіть приклади таких подій.

9. Що називають елементарним результатом?

10. Які результати називаю сприятливими для цієї події?

11. Які операції можна проводити над подіями? Дайте їм визначення. Як позначаються? Наведіть приклади.

12. Що називається імовірністю?

13. Чому дорівнює ймовірність достовірної події?

14. Чому дорівнює ймовірність неможливої ​​події?

15. У яких межах є ймовірність?

16. Як визначається геометрична ймовірність на площині?

17. Як визначається ймовірність у просторі?

18. Як визначається можливість на прямий?

19. Чому дорівнює ймовірність суми двох подій?

20. Чому дорівнює ймовірність суми двох несумісних подій?

21. Чому дорівнює ймовірність суми n несумісних подій?

22. Яку ймовірність називають умовною? Наведіть приклад.

23. Сформулюйте теорему множення ймовірностей.

24. Як знайти ймовірність появи хоча б однієї з подій?

25. Які події називають гіпотезами?

26. Коли застосовуються формула повної ймовірності та формули Байєса?