Leksiya: Kesishuvchi, parallel va kesishuvchi chiziqlar; chiziqlarning perpendikulyarligi

Kesishuvchi chiziqlar

Agar tekislikda bir nechta to'g'ri chiziqlar bo'lsa, ular ertami-kechmi o'zboshimchalik bilan yoki to'g'ri burchak ostida kesishadi yoki parallel bo'ladi. Keling, har bir holatni ko'rib chiqaylik.

Eng kamida bitta kesishish nuqtasi bo'lgan chiziqlarni kesishgan deb atash mumkin.

Siz nima uchun kamida bitta to'g'ri chiziq boshqa to'g'ri chiziqni ikki yoki uch marta kesib o'tmasligini so'rashingiz mumkin. Siz haqsiz! Ammo to'g'ri chiziqlar bir-biriga to'liq mos kelishi mumkin. Bunday holda, cheksiz ko'p umumiy nuqtalar bo'ladi.

Parallellik

Parallel Hech qachon kesishmaydigan chiziqlarni, hatto cheksizlikda ham nomlashingiz mumkin.

Boshqacha qilib aytganda, bitta umumiy nuqtaga ega bo'lmaganlar paralleldir. Shuni esda tutingki, bu ta'rif faqat chiziqlar bir tekislikda bo'lsa, lekin ularning umumiy nuqtalari bo'lmasa, turli tekisliklarda bo'lsa, ular kesishgan hisoblanadi.

Hayotdagi parallel chiziqlarga misollar: monitor ekranining ikkita qarama-qarshi qirralari, daftarlardagi chiziqlar, shuningdek, kvadrat, to'rtburchaklar va boshqa shakllarga ega bo'lgan narsalarning boshqa qismlari.

Ular bir chiziq boshqasiga parallel ekanligini yozma ravishda ko'rsatmoqchi bo'lganda, quyidagi a||b yozuvidan foydalanadilar. Ushbu yozuv a chizig'i b chiziqqa parallel ekanligini aytadi.

Ushbu mavzuni o'rganayotganda, yana bir bayonotni tushunish kerak: tekislikning ma'lum bir chiziqqa tegishli bo'lmagan ma'lum bir nuqtasi orqali bitta parallel chiziq chizish mumkin. Ammo e'tibor bering, yana tuzatish samolyotda. Agar biz uch o'lchamli fazoni ko'rib chiqsak, u holda biz kesishmaydigan, lekin kesishadigan cheksiz sonli chiziqlar chizishimiz mumkin.

Yuqorida tavsiflangan bayonot deyiladi parallel chiziqlar aksiomasi.

Perpendikulyarlik

To'g'ridan-to'g'ri liniyalarni faqat agar chaqirish mumkin perpendikulyar, agar ular 90 gradusga teng burchak ostida kesishsa.

Fazoda chiziqning ma'lum bir nuqtasi orqali cheksiz sonli perpendikulyar chiziqlar o'tkazilishi mumkin. Ammo, agar biz tekislik haqida gapiradigan bo'lsak, unda chiziqning bir nuqtasi orqali bitta perpendikulyar chiziq chizishingiz mumkin.

Kesishgan to'g'ri chiziqlar. Sekant

Agar ba'zi chiziqlar ma'lum bir nuqtada ixtiyoriy burchak ostida kesishsa, ularni chaqirish mumkin chatishtirish.

Har qanday kesishgan chiziqlar vertikal va qo'shni burchaklarga ega.

Agar kesishuvchi ikkita toʻgʻri chiziqdan hosil boʻlgan burchaklar bir tomoni umumiy boʻlsa, ular qoʻshni deyiladi:

Qo'shni burchaklar 180 gradusgacha qo'shiladi.

Teorema. Agar bitta chiziq berilgan tekislikda yotsa va boshqa chiziq bu tekislikni birinchi chiziqqa tegishli bo'lmagan nuqtada kesib o'tsa, bu ikki chiziq kesishadi. Chiziqlarni kesib o'tish belgisi Isbot. a to'g'ri chiziq tekislikda yotsin va b to'g'ri tekislikni a chiziqqa tegishli bo'lmagan B nuqtada kesib o'tsin. Agar a va b chiziqlar bir tekislikda yotsa, u holda B nuqta ham shu tekislikda yotar edi.Chiziqdan faqat bitta tekislik va bu chiziqdan tashqarida nuqta o'tganligi uchun bu tekislik tekislik bo'lishi kerak. Ammo keyin b to'g'ri chiziq tekislikda yotadi, bu shartga zid keladi. Binobarin, a va b to'g'ri chiziqlar bir tekislikda yotmaydi, ya'ni. chatishtirish.

Muntazam uchburchak prizmaning chetlarini o'z ichiga olgan nechta juft qiyshiq chiziq bor? Yechish: Poydevorlarning har bir cheti uchun u bilan kesishadigan uchta qirra mavjud. Har bir lateral chekka uchun u bilan kesishgan ikkita qovurg'a mavjud. Shuning uchun egilgan chiziqlar juftlarining kerakli soni 5-mashqdir

Muntazam olti burchakli prizmaning chetlarini o'z ichiga olgan nechta juft qiyshiq chiziq bor? Yechish: Poydevorlarning har bir cheti 8 juft kesishuvchi chiziqlarda ishtirok etadi. Har bir lateral chekka 8 juft o'tish chizig'ida ishtirok etadi. Demak, egilgan chiziqlar juftlarining kerakli soni 6-mashq

Ikki chiziqning fazodagi nisbiy holati.

Ikki chiziqning fazodagi nisbiy holati quyidagi uchta imkoniyat bilan tavsiflanadi.

Chiziqlar bir tekislikda yotadi va umumiy nuqtalari yo'q - parallel chiziqlar.

Chiziqlar bir xil tekislikda yotadi va bitta umumiy nuqtaga ega - chiziqlar kesishadi.

Kosmosda ikkita to'g'ri chiziqni ham shunday joylashtirish mumkinki, ular hech qanday tekislikda yotmaydi. Bunday chiziqlar egri deb ataladi (ular kesishmaydi yoki parallel).

MISOL:

434-MUAMMO ABC uchburchagi tekislikda yotadi, a

ABC uchburchagi tekislikda yotadi, lekin D nuqtasi bu tekislikda emas. M, N va K nuqtalari mos ravishda DA, DB va DC segmentlarining o'rta nuqtalari hisoblanadi

Teorema. Agar ikkita to'g'ri chiziqdan biri ma'lum bir tekislikda yotsa, ikkinchisi esa bu tekislikni birinchi chiziqda yotmaydigan nuqtada kesib o'tsa, u holda bu chiziqlar kesishadi.

Shaklda. 26 a to'g'ri chiziq tekislikda yotadi va c to'g'ri chiziq N nuqtada kesishadi. a va c chiziqlar kesishadi.

Teorema. Kesishgan ikkita chiziqning har biri orqali boshqa chiziqqa parallel faqat bitta tekislik o'tadi.

Shaklda. 26 ta chiziq a va b kesishadi. To'g'ri chiziq chiziladi va tekislik chiziladi (alfa) || b (B tekisligida (beta) a1 || b to'g'ri chiziq ko'rsatilgan).

3.2 teorema.

Uchinchi chiziqqa parallel bo'lgan ikkita chiziq parallel.

Bu xususiyat deyiladi tranzitivlik chiziqlar parallelligi.

Isbot

a va b chiziqlar bir vaqtning o'zida c chiziqqa parallel bo'lsin. Faraz qilaylik, a chiziq b ga parallel emas, u holda a chiziq b chiziqni shart bo‘yicha c chiziqda yotmaydigan qandaydir A nuqtada kesib o‘tadi. Binobarin, bizda A nuqtadan o'tuvchi, berilgan c to'g'rida yotmaydigan va ayni paytda unga parallel bo'lgan ikkita a va b to'g'ri bor. Bu 3.1 aksiomaga zid keladi. Teorema isbotlangan.

3.3 teorema.

Berilgan to‘g‘rida yotmagan nuqta orqali berilgan chiziqqa parallel ravishda bitta va faqat bitta chiziq o‘tkazish mumkin.

Isbot

(AB) berilgan chiziq, C unda yotmagan nuqta bo'lsin. AC chizig'i tekislikni ikkita yarim tekislikka ajratadi. B nuqtasi ulardan birida joylashgan. 3.2 aksiomaga muvofiq, C A nuridan burchakka (CAB) teng burchakni (ACD) boshqa yarim tekislikka joylashtirish mumkin. ACD va CAB teng ichki ko'ndalang AB va CD chiziqlari va sekant (AC) bilan yotadigan bo'lsa, 3.1 (AB) teoremasi bo'yicha || (CD). 3.1 aksiomani hisobga olgan holda. Teorema isbotlangan.

Parallel chiziqlar xossasi 3.1 teoremaga teskari quyidagi teorema bilan berilgan.

3.4 teorema.

Agar ikkita parallel chiziq uchinchi chiziq bilan kesishsa, u holda kesishgan ichki burchaklar teng bo'ladi.

Isbot

(AB) || bo'lsin (CD). ACD ≠ BAC deb faraz qilaylik. A nuqta orqali AE to'g'ri chiziq o'tkazamiz, EAC = ACD bo'lsin. Ammo keyin, teorema 3.1 (AE ) bo'yicha || (CD ) va shart bo'yicha - (AB ) || (CD). 3.2 (AE ) teoremasiga muvofiq || (AB). Bu 3.3 teoremaga ziddir, unga ko'ra CD to'g'rida yotmaydigan A nuqta orqali unga parallel yagona chiziq o'tkazish mumkin. Teorema isbotlangan.

3.3.1-rasm.

Ushbu teoremaga asoslanib, quyidagi xususiyatlarni osongina asoslash mumkin.

Agar ikkita parallel chiziq uchinchi chiziq bilan kesishsa, unda mos burchaklar teng bo'ladi.

Agar ikkita parallel chiziq uchinchi chiziq bilan kesishsa, u holda ichki bir tomonlama burchaklarning yig'indisi 180 ° ga teng.

Xulosa 3.2.

Agar chiziq parallel chiziqlardan biriga perpendikulyar bo'lsa, u boshqasiga ham perpendikulyar bo'ladi.

Parallelizm kontseptsiyasi 11-bobda keyinroq kerak bo'ladigan quyidagi yangi kontseptsiyani kiritishga imkon beradi.

Ikki nur deyiladi teng yo'naltirilgan, agar shunday chiziq bo'lsa, birinchidan, ular bu chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, ikkinchidan, nurlar bu chiziqqa nisbatan bir xil yarim tekislikda yotadi.

Ikki nur deyiladi qarama-qarshi yo'naltirilgan, agar ularning har biri bir-biriga to'ldiruvchi nur bilan teng ravishda yo'naltirilgan bo'lsa.

Biz bir xil yo'naltirilgan AB va CD nurlarini va qarama-qarshi yo'naltirilgan AB va CD nurlarini belgilaymiz -

3.3.2-rasm.

Chiziqlarni kesib o'tish belgisi.

Agar ikkita chiziqdan biri ma'lum bir tekislikda yotsa, ikkinchi chiziq esa bu tekislikni birinchi chiziqda yotmaydigan nuqtada kesib o'tsa, bu chiziqlar kesishadi.

Kosmosda chiziqlarni o'zaro joylashtirish holatlari.

1. Kosmosda ikkita chiziqni joylashtirishning to'rt xil holati mavjud:

   
   

   - to'g'ridan-to'g'ri o'tish, ya'ni. bir xil tekislikda yotmang;

   - to'g'ri chiziqlar kesishadi, ya'ni. bir xil tekislikda yotish va bitta umumiy nuqtaga ega bo'lish;

   - parallel chiziqlar, ya'ni. bir xil tekislikda yotish va kesishmaslik;

   - chiziqlar bir-biriga mos keladi.

   
   

   Keling, kanonik tenglamalar bilan berilgan chiziqlarning nisbiy joylashuvining ushbu holatlarining xarakteristikasini olaylik

   
   
   Qayerda — chiziqlarga tegishli nuqtalar Va shunga ko'ra, a- yo'nalish vektorlari (4.34-rasm). bilan belgilaymizberilgan nuqtalarni birlashtiruvchi vektor.
   
   

   Quyidagi xususiyatlar yuqorida sanab o'tilgan chiziqlarning nisbiy joylashuvi holatlariga mos keladi:

   
   

   – to‘g‘ri va kesishuvchi vektorlar koplanar emas;

   
   

   – to‘g‘ri chiziqlar va kesishuvchi vektorlar koplanar, lekin vektorlar kollinear emas;

   
   

   – to‘g‘ridan-to‘g‘ri va parallel vektorlar kollinear, lekin vektorlar kollinear emas;

   
   

   - to'g'ri chiziqlar va mos keladigan vektorlar kollineardir.

   
   

   Bu shartlarni aralash va vektor mahsulot xossalaridan foydalanib yozish mumkin. Eslatib o'tamiz, to'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi vektorlarning aralash mahsuloti quyidagi formula bo'yicha topiladi:

   
   
   va determinant nolga teng va uning ikkinchi va uchinchi qatorlari proportsional emas, ya'ni.
   

   - aniqlovchining to'g'ri va parallel ikkinchi va uchinchi chiziqlari proportsionaldir, ya'ni. va birinchi ikkita chiziq proportsional emas, ya'ni.

   
   

   - to'g'ri chiziqlar va determinantning barcha chiziqlari mos keladi va proportsionaldir, ya'ni.

Egri chiziq testining isboti.

Agar ikkita to'g'ri chiziqdan biri tekislikda yotsa, ikkinchisi esa bu tekislikni birinchi chiziqqa tegishli bo'lmagan nuqtada kesib o'tsa, bu ikki chiziq kesishadi.

Isbot

a a ga tegishli bo'lsin, b kesishadi a = A, A a ga tegishli emas (2.1.2-chizma). Faraz qilaylik, a va b chiziqlar kesishmaydi, ya'ni ular kesishadi. U holda a va b chiziqlar tegishli bo'lgan b tekislik mavjud. Bu tekislikda b tekislikda a to'g'ri va A nuqta yotadi. A to'g'ri va undan tashqaridagi A nuqta bitta tekislikni aniqlagani uchun b = a bo'ladi. Lekin b disklar b va b a ga tegishli emas, shuning uchun b = a tengligi mumkin emas.

Agar fazodagi ikkita chiziq umumiy nuqtaga ega bo'lsa, bu ikki chiziq kesishadi deyiladi. Quyidagi rasmda a va b chiziqlar A nuqtada kesishadi. a va c chiziqlar kesishmaydi.

Har qanday ikkita to'g'ri chiziqning bitta umumiy nuqtasi bor yoki umumiy nuqtalari yo'q.

Parallel chiziqlar

Fazodagi ikkita chiziq bir tekislikda yotsa va kesishmasa, parallel deyiladi. Parallel chiziqlarni belgilash uchun maxsus belgidan foydalaning - ||.

a||b belgisi a chiziq b chiziqqa parallel ekanligini bildiradi. Yuqorida keltirilgan rasmda a va c chiziqlar parallel.

Parallel chiziqlar teoremasi

Fazoning ma'lum bir to'g'rida yotmaydigan har qanday nuqtasi orqali unga parallel va faqat bitta chiziq o'tadi.

Chiziqlarni kesib o'tish

Bir tekislikda joylashgan ikkita chiziq kesishishi yoki parallel bo'lishi mumkin. Ammo fazoda ikkita to'g'ri chiziq bu tekislikka tegishli bo'lishi shart emas. Ular ikki xil tekislikda joylashgan bo'lishi mumkin.

Ko'rinib turibdiki, turli tekisliklarda joylashgan chiziqlar kesishmaydi va parallel chiziqlar emas. Bir tekislikda yotmaydigan ikkita chiziq deyiladi to'g'ri chiziqlarni kesib o'tish.

Quyidagi rasmda turli tekisliklarda yotgan ikkita kesishuvchi a va b to‘g‘ri chiziq ko‘rsatilgan.

Egri chiziqlar bo'yicha test va teorema

Agar ikkita chiziqdan biri ma'lum bir tekislikda yotsa, ikkinchi chiziq esa bu tekislikni birinchi chiziqda yotmaydigan nuqtada kesib o'tsa, bu chiziqlar kesishadi.

Egri chiziqlar haqidagi teorema: ikkita kesishuvchi chiziqning har biri orqali boshqa chiziqqa parallel tekislik o'tadi va bundan tashqari, faqat bitta.

Shunday qilib, biz kosmosdagi chiziqlarning nisbiy pozitsiyalarining barcha mumkin bo'lgan holatlarini ko'rib chiqdik. Ulardan faqat uchtasi bor.

1. Chiziqlar kesishadi. (Ya'ni, ular faqat bitta umumiy fikrga ega.)

2. Chiziqlar parallel. (Ya'ni, ularning umumiy nuqtalari yo'q va bir tekislikda yotadi.)

3. To'g'ri chiziqlar kesishadi. (Ya'ni, ular turli tekisliklarda joylashgan.)