التوقع والتباين هما الخصائص العددية الأكثر استخدامًا متغير عشوائي. هم الأكثر تميزا الميزات الهامةالتوزيع: موقعه ودرجة تشتته. في العديد من المسائل العملية، لا يمكن الحصول على الخاصية الكاملة والشاملة للمتغير العشوائي - قانون التوزيع - على الإطلاق، أو لا تكون هناك حاجة إليها على الإطلاق. وفي هذه الحالات، يقتصر الأمر على وصف تقريبي للمتغير العشوائي باستخدام الخصائص العددية.

غالبًا ما تسمى القيمة المتوقعة ببساطة بالقيمة المتوسطة للمتغير العشوائي. تشتت المتغير العشوائي هو إحدى خصائص التشتت، أي انتشار المتغير العشوائي حول توقعه الرياضي.

توقع وجود متغير عشوائي منفصل

دعونا نقترب من مفهوم التوقع الرياضي، أولا اعتمادا على التفسير الميكانيكي لتوزيع متغير عشوائي منفصل. دع كتلة الوحدة تتوزع بين نقاط المحور السيني س1 , س 2 , ..., سن، وكل نقطة مادية لها كتلة مقابلة ص1 , ص 2 , ..., صن. مطلوب تحديد نقطة واحدة على محور الإحداثي، والتي تميز موضع نظام النقاط المادية بأكمله، مع مراعاة كتلها. ومن الطبيعي أن يتخذ مركز كتلة نظام النقاط المادية مثل هذه النقطة. هذا هو المتوسط ​​المرجح للمتغير العشوائي X، والتي الإحداثي لكل نقطة سأنايدخل بـ "وزن" يساوي الاحتمال المقابل. متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي الذي تم الحصول عليه بهذه الطريقة Xويسمى توقعاتها الرياضية.

التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المتقطع هو مجموع حاصل ضرب جميع قيمه الممكنة واحتمالات هذه القيم:

مثال 1.تم تنظيم يانصيب مربح للجانبين. هناك 1000 فوز، منها 400 10 روبل. 300 - 20 روبل لكل منهما. 200 - 100 روبل لكل منهما. و100 - 200 روبل لكل منهما. ماذا متوسط ​​الحجمالمكاسب لأولئك الذين اشتروا تذكرة واحدة؟

حل. متوسط ​​المكاسبسوف نجد إذا المبلغ الإجماليالمكاسب التي تساوي 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 روبل، مقسمة على 1000 (المبلغ الإجمالي للمكاسب). ثم نحصل على 50000/1000 = 50 روبل. ولكن يمكن تقديم التعبير الخاص بحساب متوسط ​​المكاسب بالشكل التالي:

من ناحية أخرى، في هذه الظروف، يكون حجم الفوز متغيرًا عشوائيًا، والذي يمكن أن يأخذ قيم 10 و20 و100 و200 روبل. مع احتمالات تساوي 0.4، على التوالي؛ 0.3؛ 0.2; 0.1. وبالتالي فإن متوسط ​​العائد المتوقع يساوي المبلغمنتجات بحجم المكاسب واحتمال الحصول عليها.

مثال 2.قرر الناشر نشر كتاب جديد. يخطط لبيع الكتاب مقابل 280 روبل، سيحصل هو نفسه على 200 منها، 50 - مكتبة و 30 - المؤلف. يقدم الجدول معلومات حول تكاليف نشر كتاب واحتمال بيع عدد معين من نسخ الكتاب.

أوجد الربح المتوقع للناشر.

حل. المتغير العشوائي "الربح" يساوي الفرق بين الدخل من المبيعات وتكلفة التكاليف. على سبيل المثال، إذا تم بيع 500 نسخة من كتاب، فإن الدخل من البيع هو 200 * 500 = 100000، وتكلفة النشر 225000 روبل. وهكذا يواجه الناشر خسارة قدرها 125000 روبل. ويلخص الجدول التالي القيم المتوقعة للمتغير العشوائي – الربح:

رقم	ربح سأنا	احتمالا صأنا	سأنا صأنا
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
المجموع:		1,00	25000

وهكذا نحصل القيمة المتوقعةأرباح الناشر:

.

مثال 3.احتمال الضرب برصاصة واحدة ص= 0.2. تحديد استهلاك المقذوفات التي توفر توقعًا رياضيًا لعدد الضربات يساوي 5.

حل. ومن نفس صيغة التوقع الرياضي التي استخدمناها حتى الآن، نعبر عن ذلك س- استهلاك القشرة:

.

مثال 4.تحديد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي سعدد الضربات بثلاث طلقات، إذا كان احتمال الإصابة بكل طلقة ص = 0,4 .

تلميح: أوجد احتمال قيم المتغيرات العشوائية بواسطة صيغة برنولي .

خصائص التوقع الرياضي

دعونا ننظر في خصائص التوقع الرياضي.

الخاصية 1.التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي هذا الثابت:

الملكية 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع الرياضي:

الملكية 3.التوقع الرياضي لمجموع (الفرق) للمتغيرات العشوائية يساوي مجموع (الفرق) لتوقعاتها الرياضية:

الخاصية 4.التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية يساوي منتج توقعاتها الرياضية:

العقار 5.إذا كانت جميع قيم المتغير العشوائي Xالنقصان (الزيادة) بنفس العدد معفإن توقعه الرياضي سينخفض ​​(يزيد) بنفس العدد:

عندما لا يمكنك أن تقتصر على التوقعات الرياضية فقط

في معظم الحالات، التوقع الرياضي فقط هو الذي لا يمكنه وصف المتغير العشوائي بشكل كافٍ.

دع المتغيرات العشوائية Xو ييتم منحها بواسطة قوانين التوزيع التالية:

معنى X	احتمالا
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

معنى ي	احتمالا
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

التوقعات الرياضية لهذه الكميات هي نفسها - تساوي الصفر:

ومع ذلك، فإن أنماط توزيعها مختلفة. قيمة عشوائية Xيمكن أن تأخذ فقط القيم التي تختلف قليلاً عن التوقع الرياضي والمتغير العشوائي ييمكن أن تأخذ القيم التي تنحرف بشكل كبير عن التوقعات الرياضية. مثال مشابه: متوسط ​​الراتب لا يسمح بالحكم جاذبية معينةالعمال ذوي الأجور المرتفعة والمنخفضة. بمعنى آخر، لا يمكن للمرء أن يحكم من خلال التوقع الرياضي على أي انحرافات محتملة عنه، على الأقل في المتوسط. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على تباين المتغير العشوائي.

تباين المتغير العشوائي المنفصل

التباينالمتغير العشوائي المنفصل Xيسمى التوقع الرياضي لمربع انحرافه عن التوقع الرياضي :

الانحراف المعياري للمتغير العشوائي Xتسمى القيمة الحسابية للجذر التربيعي لتباينه:

.

مثال 5.حساب التباينات والانحرافات المعيارية للمتغيرات العشوائية Xو ي، قوانين التوزيع موضحة في الجداول أعلاه.

حل. التوقعات الرياضية للمتغيرات العشوائية Xو يكما هو موضح أعلاه، تساوي الصفر. وفقا لصيغة التشتت في ه(X)=ه(ذ)=0 نحصل على:

ثم الانحرافات المعيارية للمتغيرات العشوائية Xو يماكياج

.

وبالتالي، وبنفس التوقعات الرياضية، تم حساب تباين المتغير العشوائي Xصغير جدًا، ولكنه متغير عشوائي ي- بارِز. وهذا نتيجة للاختلافات في توزيعها.

مثال 6.لدى المستثمر 4 مشاريع استثمارية بديلة. ويلخص الجدول الربح المتوقع في هذه المشاريع مع الاحتمالية المقابلة.

مشروع 1	المشروع 2	المشروع 3	المشروع 4
500, ص=1	1000, ص=0,5	500, ص=0,5	500, ص=0,5
	0, ص=0,5	1000, ص=0,25	10500, ص=0,25
		0, ص=0,25	9500, ص=0,25

أوجد التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري لكل بديل.

حل. دعونا نبين كيفية حساب هذه القيم للبديل الثالث:

يلخص الجدول القيم الموجودة لجميع البدائل.

جميع البدائل لها نفس التوقعات الرياضية. وهذا يعني أنه على المدى الطويل، سيحصل الجميع على نفس الدخل. يمكن تفسير الانحراف المعياري على أنه مقياس للمخاطر - كلما زاد ارتفاعه، زادت مخاطر الاستثمار. المستثمر الذي لا يريد الكثير من المخاطرة سيختار المشروع 1 لأنه يحتوي على أصغر انحراف معياري (0). إذا كان المستثمر يفضل المخاطرة والعوائد العالية في فترة قصيرة، فإنه سيختار المشروع الأكبر الانحراف المعياري- المشروع 4.

خصائص التشتت

دعونا نقدم خصائص التشتت.

الخاصية 1.تباين القيمة الثابتة هو صفر:

الملكية 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التشتت عن طريق تربيعه:

.

الملكية 3.إن تباين المتغير العشوائي يساوي التوقع الرياضي لمربع هذه القيمة، والذي يطرح منه مربع التوقع الرياضي للقيمة نفسها:

,

أين .

الخاصية 4.تباين مجموع (فرق) المتغيرات العشوائية يساوي مجموع (فرق) تبايناتها:

مثال 7.ومن المعروف أن المتغير العشوائي المنفصل Xيأخذ قيمتين فقط: −3 و 7. بالإضافة إلى ذلك، فإن التوقع الرياضي معروف: ه(X) = 4 . أوجد تباين المتغير العشوائي المنفصل.

حل. دعونا نشير بواسطة صالاحتمالية التي يأخذ بها المتغير العشوائي قيمة س1 = −3 . ثم احتمال القيمة س2 = 7 سيكون 1 - ص. دعونا نشتق معادلة التوقع الرياضي:

ه(X) = س 1 ص + س 2 (1 − ص) = −3ص + 7(1 − ص) = 4 ,

حيث نحصل على الاحتمالات: ص= 0.3 و 1 - ص = 0,7 .

قانون توزيع المتغير العشوائي:

X	−3	7
ص	0,3	0,7

نحسب تباين هذا المتغير العشوائي باستخدام الصيغة من الخاصية 3 للتشتت:

د(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي بنفسك، ثم انظر إلى الحل

مثال 8.المتغير العشوائي المنفصل Xيأخذ قيمتين فقط. يقبل أكبر القيم 3 باحتمال 0.4. بالإضافة إلى ذلك، يتم معرفة تباين المتغير العشوائي د(X) = 6 . أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي.

مثال 9.هناك 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء في الجرة. يتم سحب 3 كرات من الجرة. عدد الكرات البيضاء بين الكرات المسحوبة هو متغير عشوائي متقطع X. أوجد التوقع الرياضي والتباين لهذا المتغير العشوائي.

حل. قيمة عشوائية Xيمكن أن تأخذ القيم 0، 1، 2، 3. ويمكن حساب الاحتمالات المقابلة منها قاعدة الضرب الاحتمالية. قانون توزيع المتغير العشوائي:

X	0	1	2	3
ص	1/30	3/10	1/2	1/6

ومن هنا التوقع الرياضي لهذا المتغير العشوائي:

م(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

تباين متغير عشوائي معين هو:

د(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

التوقع والتباين للمتغير العشوائي المستمر

بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، فإن التفسير الميكانيكي للتوقع الرياضي سيحتفظ بنفس المعنى: مركز الكتلة لوحدة الكتلة موزعة بشكل مستمر على المحور السيني مع الكثافة F(س). على عكس المتغير العشوائي المنفصل، الذي تكون دالته وسيطة سأنايتغير فجأة؛ بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، تتغير الوسيطة بشكل مستمر. لكن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المستمر يرتبط أيضًا بمتوسط ​​قيمته.

للعثور على التوقع الرياضي والتباين لمتغير عشوائي مستمر، تحتاج إلى إيجاد تكاملات محددة . إذا تم إعطاء دالة الكثافة لمتغير عشوائي مستمر، فإنه يدخل مباشرة في التكامل. إذا تم إعطاء دالة التوزيع الاحتمالي، فمن خلال التمييز بينها، تحتاج إلى العثور على دالة الكثافة.

ويسمى المتوسط ​​الحسابي لجميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي المستمر به توقع رياضي، يُشار إليه بـ أو .

حل.

كمقياس لتشتت قيم المتغيرات العشوائية، نستخدم تشتت

التشتت (كلمة التشتت تعني "التشتت"). قياس تشتت قيم المتغيرات العشوائيةنسبة إلى توقعاتها الرياضية. التشتت هو التوقع الرياضي لمربع انحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي

إذا كان المتغير العشوائي منفصلاً مع مجموعة لا نهائية ولكن قابلة للعد من القيم، إذن

إذا كانت المتسلسلة التي على الجانب الأيمن من المساواة متقاربة.

خصائص التشتت.

• 1. تباين القيمة الثابتة هو صفر
• 2. تباين مجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع التباينات
• 3. يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة مربع التشتت

التباين في اختلاف المتغيرات العشوائية يساوي مجموع التباينات

وهذه الخاصية هي نتيجة للخاصيتين الثانية والثالثة. يمكن أن تضيف الفروق فقط.

من السهل حساب التشتت باستخدام صيغة يمكن الحصول عليها بسهولة باستخدام خصائص التشتت

التباين دائما إيجابي.

التباين لديه البعدالبعد التربيعي للمتغير العشوائي نفسه، وهو أمر ليس مناسبًا دائمًا. ولذلك الكمية

الانحراف المعياري(الانحراف المعياري أو المعياري) للمتغير العشوائي هو القيمة الحسابية للجذر التربيعي لتباينه

قم برمي عملتين من فئة 2 و 5 روبل. إذا هبطت العملة كشعار، فسيتم منح صفر نقاط، وإذا هبطت كرقم، فإن عدد النقاط يساوي فئة العملة. أوجد التوقع الرياضي والتباين لعدد النقاط.

حل.دعونا أولاً نوجد توزيع المتغير العشوائي X - عدد النقاط. جميع التركيبات - (2;5)،(2;0)،(0;5)،(0;0) - متساوية في الاحتمال وقانون التوزيع هو:

القيمة المتوقعة:

نجد التباين باستخدام الصيغة

لماذا نحسب

مثال 2.

العثور على احتمال غير معروف ر، التوقع الرياضي والتباين للمتغير العشوائي المنفصل، جدول معينالتوزيعات الاحتمالية

نجد التوقع الرياضي والتباين:

م(X) = 00,0081 + 10,0756 + 20,2646 + 3 0,4116 + +40,2401=2,8

لحساب التشتت نستخدم الصيغة (19.4)

د(X) = 020 ,0081 + 120,0756 + 220,2646 + 320,4116 + 420,2401 - 2,82 = 8,68 -

مثال 3.يعقد رياضيان قويان على قدم المساواة بطولة تستمر إما حتى الفوز الأول لأحدهما، أو حتى لعب خمس مباريات. احتمال الفوز في مباراة واحدة لكل من الرياضيين هو 0.3، واحتمال التعادل هو 0.4. أوجد قانون التوزيع والتوقع الرياضي وتشتيت عدد المباريات التي تم لعبها.

حل.قيمة عشوائية X- عدد المباريات التي تم لعبها، يأخذ القيم من 1 إلى 5، أي.

دعونا نحدد احتمالات إنهاء المباراة. ستنتهي المباراة بالمجموعة الأولى إذا فاز أحد لاعبيهم. احتمال الفوز هو

ر(1) = 0,3+0,3 =0,6.

إذا كان هناك تعادل (احتمال التعادل هو 1 - 0.6 = 0.4)، فستستمر المباراة. وتنتهي المباراة في الشوط الثاني إذا انتهت المباراة الأولى بالتعادل وفاز أحد بالثانية. احتمالا

ر(2) = 0,4 0,6=0,24.

وبالمثل، ستنتهي المباراة في الشوط الثالث إذا كان هناك تعادلين متتاليين وفاز أحدهم مرة أخرى

ر(3) = 0,4 0,4 0,6 = 0,096. ر(4)= 0,4 0,4 0,4 0,6=0,0384.

اللعبة الخامسة هي الأخيرة في أي إصدار.

ر(5)= 1 - (ر(1)+ر(2)+ر(3)+ر(4)) = 0,0256.

دعونا نضع كل شيء في الجدول. قانون توزيع المتغير العشوائي "عدد المباريات التي تم الفوز بها" له الشكل

القيمة المتوقعة

نحسب التباين باستخدام الصيغة (19.4)

التوزيعات المنفصلة القياسية.

توزيع ثنائي.دع مخطط برنولي التجريبي يتم تنفيذه: نتجارب مستقلة متطابقة، في كل منها الحدث أقد تظهر مع احتمال ثابت صولن تظهر مع الاحتمال

(انظر المحاضرة 18).

عدد مرات حدوث الحدث أفي هذه نالتجارب هناك متغير عشوائي منفصل X، والقيم المحتملة لها هي:

0; 1; 2; ... ;م; ... ; ن.

احتمال وقوع مالأحداث A في سلسلة محددة من نيتم إعطاء التجارب وقانون التوزيع لمثل هذا المتغير العشوائي من خلال صيغة برنولي (انظر المحاضرة 18)

الخصائص العددية للمتغير العشوائي Xموزعة حسب قانون ذات الحدين:

لو نعظيم ()، إذن، عندما تدخل الصيغة (19.6) في الصيغة

والدالة الغوسية المجدولة (يرد جدول قيم الدالة الغوسية في نهاية المحاضرة 18).

ومن الناحية العملية، ما يهم في كثير من الأحيان ليس احتمال حدوثه في حد ذاته. مالأحداث أفي سلسلة محددة من نالتجارب، واحتمال وقوع الحدث ألن يظهر أقل

مرات وليس أكثر من مرات، أي احتمال أن تأخذ X القيم

للقيام بذلك، نحن بحاجة إلى تلخيص الاحتمالات

لو نعظيم ()، ثم عندما تتحول الصيغة (19.9) إلى صيغة تقريبية

وظيفة مجدولة. وترد الجداول في نهاية المحاضرة 18.

عند استخدام الجداول، فمن الضروري أن تأخذ في الاعتبار ذلك

مثال 1. يمكن للسيارة التي تقترب من التقاطع أن تستمر في التحرك على أي من الطرق الثلاثة: A أو B أو C مع احتمالية متساوية. خمس سيارات تقترب من التقاطع. أوجد متوسط ​​عدد السيارات التي ستسافر على الطريق (أ)، واحتمال أن تسير ثلاث سيارات على الطريق (ب).

حل.عدد السيارات المارة على كل طريق متغير عشوائي. إذا افترضنا أن جميع السيارات التي تقترب من التقاطع تسير بشكل مستقل عن بعضها البعض، فإن هذا المتغير العشوائي يتم توزيعه وفقا لقانون ذي الحدين

ن= 5 و ص = .

وبالتالي فإن متوسط ​​عدد السيارات التي ستتبع الطريق A هو حسب الصيغة (19.7)

والاحتمال المطلوب عند

مثال 2.احتمال فشل الجهاز أثناء كل اختبار هو 0.1. تم إجراء 60 اختبارًا للجهاز. ما هو احتمال حدوث عطل في الجهاز: أ) 15 مرة؛ ب) لا يزيد عن 15 مرة؟

أ.وبما أن عدد الاختبارات هو 60، فإننا نستخدم الصيغة (19.8)

ووفقا للجدول 1 من ملحق المحاضرة 18 نجد

ب. نستخدم الصيغة (19.10).

وفقا للجدول 2 من ملحق المحاضرة 18

• - 0,495
• 0,49995

توزيع بواسون) قانون الأحداث النادرة).لو نكبيرة و رقليلا ()، والمنتج إلخيحتفظ بقيمة ثابتة، والتي نشير إليها بـ l،

ثم تصبح الصيغة (19.6) صيغة بواسون

قانون توزيع بواسون له الشكل:

من الواضح أن تعريف قانون بواسون صحيح، لأنه الخاصية الرئيسية لسلسلة التوزيع

تم، لأن مجموع السلسلة

توسيع سلسلة الدالة في

نظرية. إن التوقع الرياضي والتباين لمتغير عشوائي موزع وفق قانون بواسون يتطابقان ويساويان معلمة هذا القانون، أي.

دليل.

مثال.للترويج لمنتجاتها في السوق، تضع الشركة منشورات في صناديق البريد. تظهر التجربة السابقة أنه في حالة واحدة تقريبًا من بين 2000 حالة، يتم اتباع أمر ما. أوجد احتمال أنه عند وضع 10000 إعلان، سيصل طلب واحد على الأقل، ومتوسط ​​عدد الطلبات المستلمة، والتباين في عدد الطلبات المستلمة.

حل. هنا

سيتم العثور على احتمال وصول أمر واحد على الأقل من خلال الاحتمال الحدث المعاكس، أي.

التدفق العشوائي للأحداث.دفق الأحداث هو سلسلة من الأحداث التي تحدث في لحظات عشوائيةوقت. أمثلة نموذجيةالتدفقات هي فشل في شبكات الكمبيوتر، والمكالمات في بدايات الهاتف، وتدفق طلبات إصلاح المعدات، وما إلى ذلك.

تدفقتسمى الأحداث ثابت، إذا كان احتمال وقوع عدد معين من الأحداث في فترة زمنية طويلة يعتمد فقط على طول الفترة ولا يعتمد على موقع الفترة الزمنية على محور الوقت.

يتم استيفاء شرط الاستقرار من خلال تدفق الطلبات التي لا تعتمد خصائصها الاحتمالية على الوقت. على وجه الخصوص، يتميز التدفق الثابت بكثافة ثابتة (متوسط ​​عدد الطلبات لكل وحدة زمنية). ومن الناحية العملية، غالبًا ما تكون هناك تدفقات من الطلبات التي يمكن اعتبارها (على الأقل لفترة زمنية محدودة) ثابتة. على سبيل المثال، يمكن اعتبار تدفق المكالمات في مقسم هاتف المدينة في الفترة الزمنية من 12 إلى 13 ساعة خطًا أرضيًا. لم يعد من الممكن اعتبار نفس التدفق على مدار يوم كامل ثابتًا (في الليل تكون كثافة الاتصال أقل بكثير مما كانت عليه أثناء النهار).

تدفقالأحداث تسمى الدفق مع عدم وجود أثر لاحق، إذا كان عدد الأحداث التي تقع على إحداها، بالنسبة لأي فترات زمنية غير متداخلة، لا يعتمد على عدد الأحداث التي تقع على الفترات الأخرى.

إن حالة غياب التأثير اللاحق - وهو الشرط الأكثر أهمية لأبسط تدفق - تعني أن التطبيقات تدخل النظام بشكل مستقل عن بعضها البعض. على سبيل المثال، يمكن اعتبار تدفق الركاب الذين يدخلون محطة مترو تدفقًا بدون آثار لاحقة لأن الأسباب التي حددت وصول راكب فردي في لحظة معينة دون أخرى، كقاعدة عامة، لا تتعلق بأسباب مماثلة لركاب آخرين . ومع ذلك، فإن حالة عدم وجود آثار لاحقة يمكن أن تنتهك بسهولة بسبب ظهور مثل هذا الاعتماد. على سبيل المثال، لم يعد من الممكن اعتبار تدفق الركاب الذين يغادرون محطة المترو تدفقًا بدون تأثير لاحق، نظرًا لأن لحظات خروج الركاب الذين يصلون في نفس القطار تعتمد على بعضهم البعض.

تدفقتسمى الأحداث عادي، إذا كان احتمال وقوع حدثين أو أكثر خلال فترة زمنية قصيرة t لا يكاد يذكر مقارنة باحتمال وقوع حدث واحد (في هذا الصدد، يسمى قانون بواسون بقانون الأحداث النادرة).

تعني حالة الاعتيادية أن الأوامر تصل منفردة، وليس في أزواج أو ثلاثة توائم وما إلى ذلك. انحراف التباين توزيع برنولي

على سبيل المثال، يمكن اعتبار تدفق العملاء الذين يدخلون صالون تصفيف الشعر عاديًا تقريبًا. إذا وصلت التطبيقات في التدفق غير العادي فقط في أزواج، فقط في ثلاثة توائم، وما إلى ذلك، فيمكن بسهولة تقليل التدفق غير العادي إلى تدفق عادي؛ للقيام بذلك، يكفي النظر في دفق من الأزواج والثلاثية وما إلى ذلك بدلاً من دفق الطلبات الفردية. سيكون الأمر أكثر صعوبة إذا كان كل طلب يمكن أن يتحول بشكل عشوائي إلى مزدوج وثلاثي وما إلى ذلك. ثم عليك أن التعامل مع تيار من الأحداث غير المتجانسة، ولكن غير المتجانسة.

إذا كان لتدفق الأحداث الخصائص الثلاث (أي ثابت وعادي وليس له تأثير لاحق)، فإنه يُسمى بتيار بواسون البسيط (أو الثابت). يرجع اسم "بواسون" إلى أنه في حالة استيفاء الشروط المذكورة، سيتم توزيع عدد الأحداث التي تقع في أي فترة زمنية محددة على قانون بواسون

هنا هو متوسط ​​عدد الأحداث أ، تظهر لكل وحدة زمنية.

هذا القانون ذو معلمة واحدة، أي. لتعيينه، ما عليك سوى معرفة معلمة واحدة. يمكن إثبات أن التوقع والتباين في قانون بواسون متساويان عددياً:

مثال. لنفترض أنه في منتصف يوم العمل، يبلغ متوسط ​​عدد الطلبات 2 في الثانية. ما هو احتمال 1) عدم تلقي أي طلبات في الثانية، 2) وصول 10 طلبات في ثانيتين؟

حل.وبما أن صحة تطبيق قانون بواسون لا شك فيها وأن معلمته معطاة (= 2)، فإن حل المشكلة يتم اختزاله في تطبيق صيغة بواسون (19.11)

1) ر = 1, م = 0:

2) ر = 2, م = 10:

قانون أعداد كبيرة. الأساس الرياضي لكون قيم مجموعة المتغيرات العشوائية حول بعض القيم الثابتة هو قانون الأعداد الكبيرة.

تاريخيًا، كانت أول صياغة لقانون الأعداد الكبيرة هي نظرية برنولي:

"مع زيادة غير محدودة في عدد التجارب المتطابقة والمستقلة n، فإن تكرار حدوث الحدث A يتقارب في الاحتمالية مع احتماليته"، أي.

أين هو تكرار حدوث الحدث A في تجارب n،

في جوهره، التعبير (19.10) يعني أنه مع عدد كبير من التجارب، فإن تكرار حدوث الحدث أيمكن أن يحل محل الاحتمال غير المعروف لهذا الحدث، وكلما زاد عدد التجارب التي تم إجراؤها، كلما اقتربت p* من p. مثير للاهتمام حقيقة تاريخية. ألقى ك. بيرسون قطعة نقود معدنية 12000 مرة، فظهر شعار النبالة الخاص به 6019 مرة (التردد 0.5016). عند رمي نفس العملة 24000 مرة حصل على 12012 شعار النبالة، أي. التردد 0.5005.

أهم شكل من أشكال قانون الأعداد الكبيرة هو نظرية تشيبيشيف: مع زيادة غير محدودة في عدد التجارب المستقلة ذات التباين المحدود والتي يتم إجراؤها في ظل ظروف متطابقة، فإن الوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي يتقارب في الاحتمالية مع توقعه الرياضي. وفي الصورة التحليلية يمكن كتابة هذه النظرية على النحو التالي:

بالإضافة إلى أهميتها النظرية الأساسية، فإن لنظرية تشيبيشيف أيضًا تطبيقات عملية مهمة، على سبيل المثال، في نظرية القياس. بعد أخذ قياسات n لكمية معينة X، احصل على قيم مختلفة غير متطابقة X 1, X 2, ..., xn. للقيمة التقريبية للكمية المقاسة Xخذ الوسط الحسابي للقيم المرصودة

حيث، كلما تم إجراء المزيد من التجارب، كلما كانت النتيجة أكثر دقة.والحقيقة هي أن تشتت الكمية يتناقص مع زيادة عدد التجارب المنجزة، لأن

د(س 1) = د(س 2)=…= د(xn) د(س) ، الذي - التي

توضح العلاقة (19.13) أنه حتى مع عدم الدقة العالية لأدوات القياس (قيمة كبيرة)، من خلال زيادة عدد القياسات، من الممكن الحصول على نتيجة بدقة عالية بشكل تعسفي.

باستخدام الصيغة (19.10) يمكنك العثور على احتمال أن ينحرف التكرار الإحصائي عن الاحتمال بما لا يزيد عن

مثال.احتمال وقوع حدث في كل تجربة هو 0.4. ما عدد الاختبارات التي يتعين عليك إجراؤها لكي تتوقع، باحتمال لا يقل عن 0.8، أن التكرار النسبي لحدث ما سوف ينحرف عن الاحتمال في القيمة المطلقة بأقل من 0.01؟

حل.حسب الصيغة (19.14)

لذلك، وفقا للجدول هناك تطبيقان

لذلك، ن 3932.

في السابق قدمنا ​​عددا من الصيغ التي تسمح لنا بإيجاد الخصائص العددية للدوال عندما تكون قوانين توزيع الحجج معروفة. ومع ذلك، في كثير من الحالات، للعثور على الخصائص العددية للدوال، ليس من الضروري حتى معرفة قوانين توزيع الحجج، ولكن يكفي معرفة بعض خصائصها العددية فقط؛ وفي الوقت نفسه، فإننا عمومًا نستغني عن أي قوانين للتوزيع. يتم استخدام تحديد الخصائص العددية للوظائف من الخصائص العددية المعطاة للحجج على نطاق واسع في نظرية الاحتمالات ويمكن أن يبسط بشكل كبير حل عدد من المشاكل. وتتعلق معظم هذه الطرق المبسطة بالدوال الخطية؛ ومع ذلك، فإن بعض الوظائف غير الخطية الأولية تسمح أيضًا باتباع نهج مماثل.

سنقدم في الوقت الحاضر عددًا من النظريات حول الخصائص العددية للدوال، والتي تمثل معًا جهازًا بسيطًا للغاية لحساب هذه الخصائص، ويمكن تطبيقه في نطاق واسع من الظروف.

1. التوقع الرياضي لقيمة غير عشوائية

الخاصية المصاغة واضحة تمامًا؛ ويمكن إثباته من خلال اعتبار المتغير غير العشوائي نوعًا خاصًا من العشوائية، بواحد معنى ممكنمع احتمال واحد؛ ثم حسب الصيغة العامة للتوقع الرياضي:

.

2. تباين كمية غير عشوائية

إذا كانت قيمة غير عشوائية، إذن

3. استبدال قيمة غير عشوائية بعلامة التوقع الرياضي

, (10.2.1)

أي أنه يمكن إخراج قيمة غير عشوائية كعلامة على التوقع الرياضي.

دليل.

أ) للكميات المتقطعة

ب) للكميات المستمرة

.

4. استبدال قيمة غير عشوائية لإشارة التشتت والانحراف المعياري

إذا كانت كمية غير عشوائية، وهي عشوائية، إذن

, (10.2.2)

أي أنه يمكن إخراج قيمة غير عشوائية من علامة التشتت عن طريق تربيعها.

دليل. حسب تعريف التباين

عاقبة

,

أي أنه يمكن أخذ قيمة غير عشوائية خارج علامة انحرافها المعياري قيمه مطلقه. نحصل على الدليل عن طريق أخذ الجذر التربيعي من الصيغة (10.2.2) ومراعاة أن r.s.o. - قيمة إيجابية بشكل ملحوظ.

5. التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية

دعونا نثبت أنه لأي متغيرين عشوائيين و

أي أن التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع توقعاتهما الرياضية.

تُعرف هذه الخاصية بنظرية جمع التوقعات الرياضية.

دليل.

أ) ليكن نظاما من المتغيرات العشوائية المتقطعة. تنطبق على مجموع المتغيرات العشوائية صيغة عامة(10.1.6) للتوقع الرياضي لدالة ذات وسيطتين:

.

لا يمثل Ho شيئًا أكثر من الاحتمال الإجمالي بأن تأخذ الكمية القيمة:

;

لذلك،

.

وسوف نثبت ذلك بالمثل

,

وتم إثبات النظرية.

ب) ليكن نظام المتغيرات العشوائية المستمرة. حسب الصيغة (10.1.7)

. (10.2.4)

دعونا نحول أول التكاملات (10.2.4):

;

بصورة مماثلة

,

وتم إثبات النظرية.

وتجدر الإشارة بشكل خاص إلى أن نظرية إضافة التوقعات الرياضية صالحة لأي متغيرات عشوائية - مستقلة ومستقلة.

يتم تعميم نظرية إضافة التوقعات الرياضية على عدد عشوائي من المصطلحات:

, (10.2.5)

أي أن التوقع الرياضي لمجموع عدة متغيرات عشوائية يساوي مجموع توقعاتها الرياضية.

لإثبات ذلك، يكفي استخدام طريقة الحث الكامل.

6. التوقع الرياضي دالة خطية

خذ بعين الاعتبار دالة خطية مكونة من عدة وسيطات عشوائية:

حيث هي معاملات غير عشوائية. دعونا نثبت ذلك

, (10.2.6)

أي أن التوقع الرياضي للدالة الخطية يساوي نفس الوظيفة الخطية للتوقعات الرياضية للوسيطات.

دليل. باستخدام نظرية الجمع لـ m.o. وقاعدة وضع كمية غير عشوائية خارج إشارة mo.o نحصل على:

.

7. ديسالجيش الشعبيهذا مجموع المتغيرات العشوائية

إن تباين مجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع تبايناتهم بالإضافة إلى ضعف لحظة الارتباط:

دليل. دعونا نشير

وفقا لنظرية جمع التوقعات الرياضية

دعنا ننتقل من المتغيرات العشوائية إلى المتغيرات المركزية المقابلة. بطرح المساواة (10.2.9) حدًا تلو الآخر من المساواة (10.2.8) نحصل على:

حسب تعريف التباين

Q.E.D.

يمكن تعميم الصيغة (10.2.7) لتباين المجموع على أي عدد من المصطلحات:

, (10.2.10)

أين هي لحظة الارتباط للكميات، الإشارة الموجودة أسفل المجموع تعني أن الجمع يمتد إلى جميع المجموعات الزوجية الممكنة للمتغيرات العشوائية .

الدليل مشابه للبرهان السابق ويتبع من صيغة مربع كثيرة الحدود.

يمكن كتابة الصيغة (10.2.10) بشكل آخر:

, (10.2.11)

حيث يمتد المجموع المزدوج إلى جميع عناصر مصفوفة الارتباط لنظام الكميات ، تحتوي على لحظات الارتباط والفروق.

إذا كانت جميع المتغيرات العشوائية ، المضمنة في النظام، غير مرتبطة (أي عندما)، تأخذ الصيغة (10.2.10) الشكل:

, (10.2.12)

أي أن تباين مجموع المتغيرات العشوائية غير المرتبطة يساوي مجموع تباينات المصطلحات.

يُعرف هذا الموقف بنظرية إضافة الفروق.

8. تباين الدالة الخطية

دعونا نفكر في دالة خطية لعدة متغيرات عشوائية.

أين الكميات غير العشوائية

دعونا نثبت أن تشتت هذه الوظيفة الخطية يتم التعبير عنه بالصيغة

, (10.2.13)

أين هي لحظة الارتباط للكميات.

دليل. دعونا نقدم التدوين:

. (10.2.14)

وبتطبيق الصيغة (10.2.10) لتشتيت المجموع إلى الجانب الأيمن من التعبير (10.2.14) ومع مراعاة ذلك نحصل على:

أين هي لحظة الارتباط للكميات:

.

دعونا نحسب هذه اللحظة. لدينا:

;

بصورة مماثلة

باستبدال هذا التعبير في (10.2.15)، نصل إلى الصيغة (10.2.13).

في حالة خاصة عند جميع الكميات غير مترابطة، الصيغة (10.2.13) تأخذ الشكل:

, (10.2.16)

أي أن تباين الدالة الخطية للمتغيرات العشوائية غير المرتبطة يساوي مجموع منتجات مربعات المعاملات وتباين الوسائط المقابلة.

9. التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية

التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية بالإضافة إلى لحظة الارتباط:

دليل. سننتقل من تعريف لحظة الارتباط:

دعونا نحول هذا التعبير باستخدام خصائص التوقع الرياضي:

وهو ما يعادل بشكل واضح الصيغة (10.2.17).

إذا كانت المتغيرات العشوائية غير مترابطة، فإن الصيغة (10.2.17) تأخذ الشكل:

أي أن التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين غير مرتبطين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية.

يُعرف هذا الموقف بنظرية مضاعفة التوقعات الرياضية.

الصيغة (10.2.17) ليست أكثر من تعبير عن اللحظة المركزية المختلطة الثانية للنظام من خلال اللحظة الأولية المختلطة الثانية والتوقعات الرياضية:

. (10.2.19)

غالبًا ما يستخدم هذا التعبير عمليًا عند حساب لحظة الارتباط بنفس الطريقة التي يتم بها حساب التباين لمتغير عشوائي واحد من خلال اللحظة الأولية الثانية والتوقع الرياضي.

يتم تعميم نظرية ضرب التوقعات الرياضية على عدد اعتباطي من العوامل، فقط في هذه الحالة، لتطبيقها، لا يكفي أن تكون الكميات غير مترابطة، ولكن يشترط وجود بعض العزوم المختلطة الأعلى، والتي يعتمد عددها على عدد المصطلحات في المنتج، تتلاشى. من المؤكد أن هذه الشروط تتحقق إذا كانت المتغيرات العشوائية المتضمنة في المنتج مستقلة. في هذه الحالة

, (10.2.20)

أي أن التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي منتج توقعاتها الرياضية.

يمكن إثبات هذا الاقتراح بسهولة عن طريق الاستقراء الكامل.

10. تباين منتج المتغيرات العشوائية المستقلة

دعونا نثبت ذلك للكميات المستقلة

دليل. دعونا نشير . حسب تعريف التباين

وبما أن الكميات مستقلة، و

عندما تكون الكميات مستقلة، تكون أيضًا مستقلة؛ لذلك،

,

ولكن لا يوجد شيء أكثر من اللحظة الأولية الثانية للحجم، وبالتالي يتم التعبير عنها من خلال التشتت:

;

بصورة مماثلة

.

باستبدال هذه التعبيرات في الصيغة (10.2.22) وإحضار مصطلحات مماثلة، نصل إلى الصيغة (10.2.21).

في حالة ضرب المتغيرات العشوائية المتمركزة (متغيرات ذات توقعات رياضية تساوي صفر)، تأخذ الصيغة (10.2.21) الشكل التالي:

, (10.2.23)

أي أن تباين حاصل ضرب المتغيرات العشوائية المتمركزة المستقلة يساوي حاصل ضرب تبايناتها.

11. العزوم الأعلى لمجموع المتغيرات العشوائية

في بعض الحالات، من الضروري حساب أعلى لحظات مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة. دعونا نثبت بعض العلاقات ذات الصلة هنا.

1) إذا كانت الكميات مستقلة

دليل.

من أين، وفقا لنظرية ضرب التوقعات الرياضية

لكن اللحظة المركزية الأولى لأي كمية هي صفر؛ ويختفي الحدان الأوسطان، وتثبت الصيغة (10.2.24).

يمكن تعميم العلاقة (10.2.24) بسهولة عن طريق الاستقراء لعدد عشوائي من المصطلحات المستقلة:

. (10.2.25)

2) يتم التعبير عن اللحظة المركزية الرابعة لمجموع متغيرين عشوائيين مستقلين بالصيغة

أين هي الفروق في الكميات و .

والدليل مشابه تمامًا للبرهان السابق.

باستخدام طريقة الاستقراء الكامل، من السهل إثبات تعميم الصيغة (10.2.26) على عدد عشوائي من الحدود المستقلة.