بيت اللسان المغلفة أوجد نقطة متناظرة للنقطة أ. كيفية العثور على نقطة متناظرة حول الخط

اللسان المغلفة

أوجد نقطة متناظرة للنقطة أ. كيفية العثور على نقطة متناظرة حول الخط

دعونا نعطي خطًا مستقيمًا معينًا محددًا بمعادلة خطية ونقطة محددة بإحداثياتها (x0، y0) ولا تقع على هذا الخط. مطلوب العثور على نقطة تكون متناظرة مع نقطة معينة حول خط مستقيم معين، أي أنها ستتزامن معها إذا كان المستوى منحنيًا عقليًا إلى النصف على طول هذا الخط المستقيم.

تعليمات

1. ومن الواضح أن النقطتين - المعطى والمرغوب - يجب أن تقعا على نفس الخط، وهذا الخط يجب أن يكون متعامدا مع المعطى. وبالتالي، فإن الجزء الأول من المشكلة هو اكتشاف معادلة الخط الذي سيكون عموديًا على خط معين ويمر في نفس الوقت بنقطة معينة.

2. يمكن تحديد الخط المستقيم بطريقتين. تبدو المعادلة الأساسية للخط كما يلي: Ax + By + C = 0، حيث A وB وC ثوابت. يمكنك أيضًا تحديد خط مستقيم باستخدام دالة خطية: y = kx + b، حيث k هو الأس الزاوي، b هو الإزاحة، وهاتان الطريقتان قابلتان للتبادل، ومن الممكن الانتقال من إحداهما إلى الأخرى. إذا كان Ax + By + C = 0، فإن y = – (Ax + C)/B. بمعنى آخر، في الدالة الخطية y = kx + b، الأس الزاوي k = -A/B، والإزاحة b = -C/B. بالنسبة للمهمة المطروحة، فمن المريح أكثر التفكير بناءً عليها المعادلة الكنسيةمستقيم.

3. إذا كان هناك خطان متعامدان مع بعضهما البعض، وكانت معادلة الخط الأول هي Ax + By + C = 0، فإن معادلة الخط الثاني يجب أن تبدو مثل Bx – Ay + D = 0، حيث D ثابت. من أجل اكتشاف قيمة معينة لـ D، من الضروري أيضًا معرفة النقطة التي يمر عبرها الخط العمودي. في في هذه الحالةهذه هي النقطة (x0, y0)، وبالتالي يجب أن تحقق D المساواة: Bx0 – Ay0 + D = 0، أي D = Ay0 – Bx0.

4. بعد اكتشاف الخط العمودي، من الضروري حساب إحداثيات نقطة تقاطعه مع النقطة المحددة. للقيام بذلك، نحن بحاجة إلى حل النظام المعادلات الخطية:Ax + By + C = 0,Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. سيعطي حلها الأرقام (x1, y1) التي تعمل بمثابة إحداثيات نقطة تقاطع الخطوط.

5. يجب أن تقع النقطة المطلوبة على الخط المكتشف، ويجب أن تكون المسافة بينها وبين نقطة التقاطع مساوية للمسافة من نقطة التقاطع إلى النقطة (x0, y0). يمكن بالتالي إيجاد إحداثيات نقطة متناظرة مع النقطة (x0, y0) عن طريق حل نظام المعادلات: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. ولكن يمكنك أن تفعل ذلك أسهل. إذا كانت النقطتان (x0, y0) و (x, y) على مسافة متساوية من النقطة (x1, y1) وكانت النقاط الثلاث تقع على نفس الخط المستقيم، فإن: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0 وبالتالي، x = 2×1 – x0، y = 2y1 – y0. ومن خلال استبدال هذه القيم في المعادلة الثانية للنظام الأول وتبسيط التعبيرات، من السهل التأكد من أن طرفها الأيمن يصبح هو نفس الجانب الأيسر. بالإضافة إلى ذلك، لا فائدة من النظر في المعادلة الأولى أكثر من ذلك، فمن المعلوم أن النقطتين (x0، y0) و (x1، y1) تحققانها، ومن الواضح أن النقطة (x، y) تقع على نفس الخط .

وتتمثل المهمة في العثور على إحداثيات نقطة متناظرة مع النقطة بالنسبة للخط المستقيم . أقترح تنفيذ الخطوات بنفسك، ولكنني سألخص خوارزمية الحل بنتائج متوسطة:

1) ابحث عن مستقيم عمودي على الخط.

2) أوجد نقطة تقاطع الخطين: .

تتم مناقشة كلا الإجراءين بالتفصيل في هذا الدرس.

3) النقطة هي منتصف القطعة . نحن نعرف إحداثيات الوسط وأحد الأطراف. بواسطة صيغ إحداثيات نقطة المنتصف للقطعةنجد .

وستكون فكرة جيدة أن نتأكد من أن المسافة أيضًا تساوي 2.2 وحدة.

قد تنشأ صعوبات في العمليات الحسابية هنا، لكن الآلة الحاسبة الدقيقة تساعد بشكل كبير في البرج، مما يسمح لك بالحساب الكسور المشتركة. لقد نصحتك مرات عديدة وسوف أوصيك مرة أخرى.

كيفية العثور على المسافة بين خطين متوازيين؟

مثال 9

العثور على المسافة بين خطين متوازيين

وهذا مثال آخر ل قرار مستقل. سأعطيك تلميحًا بسيطًا: هناك طرق عديدة لحل هذه المشكلة. استخلاص المعلومات في نهاية الدرس، ولكن من الأفضل أن تحاول التخمين بنفسك، أعتقد أن براعتك كانت متطورة بشكل جيد.

الزاوية بين خطين مستقيمين

كل زاوية هي عضادة:

في الهندسة، تعتبر الزاوية الواقعة بين خطين مستقيمين هي الزاوية الأصغر، والتي يتبع منها تلقائيًا أنها لا يمكن أن تكون منفرجة. في الشكل، الزاوية المشار إليها بالقوس الأحمر لا تعتبر الزاوية بين الخطوط المتقاطعة. وجاره "الأخضر" أو موجهة بشكل معاكسزاوية "التوت".

إذا كانت الخطوط متعامدة، فيمكن اعتبار أي من الزوايا الأربع هي الزاوية بينهما.

كيف تختلف الزوايا؟ توجيه. أولاً، الاتجاه الذي يتم فيه "تمرير" الزاوية مهم بشكل أساسي. ثانياً، يتم كتابة الزاوية ذات الاتجاه السالب بعلامة الطرح، على سبيل المثال if .

لماذا قلت لك هذا؟ يبدو أنه يمكننا التعامل مع المفهوم المعتاد للزاوية. والحقيقة هي أن الصيغ التي سنجد بها الزوايا يمكن أن تؤدي بسهولة إلى نتيجة سلبية، وهذا لا ينبغي أن يفاجئك. الزاوية التي بها علامة ناقص ليست أسوأ، ولها زاوية محددة للغاية معنى هندسي. في الرسم، بالنسبة للزاوية السلبية، تأكد من الإشارة إلى اتجاهها بسهم (في اتجاه عقارب الساعة).

كيفية العثور على الزاوية بين خطين مستقيمين؟هناك صيغتان للعمل:

مثال 10

أوجد الزاوية بين الخطوط

حلو الطريقة الأولى

النظر في خطين مستقيمين معطى في المعادلات في منظر عام:

إذا كان مستقيما ليس عموديا، الذي - التي الموجهةيمكن حساب الزاوية بينهما باستخدام الصيغة:

دعونا نولي اهتماما وثيقا للمقام - هذا هو بالضبط المنتج العدديتوجيه ناقلات الخطوط المستقيمة:

إذا كان مقام الصيغة يصبح صفرًا، وستكون المتجهات متعامدة والخطوط متعامدة. ولهذا السبب تم التحفظ على عدم تعامد الخطوط المستقيمة في الصياغة.

بناءً على ما سبق، من المناسب صياغة الحل في خطوتين:

1) لنحسب المنتج العددي لمتجهات الاتجاه للخطوط:

2) أوجد الزاوية بين الخطوط المستقيمة باستخدام الصيغة:

باستخدام الدالة العكسية، من السهل العثور على الزاوية نفسها. في هذه الحالة، نستخدم غرابة ظل القطب الشمالي (انظر. الرسوم البيانية والخصائص وظائف أولية ):

إجابة:

وفي الجواب نشير القيمة الدقيقة، بالإضافة إلى قيمة تقريبية (يفضل أن تكون بالدرجات والراديان)، يتم حسابها باستخدام الآلة الحاسبة.

حسنا، ناقص، ناقص، ليس مشكلة كبيرة. هنا رسم توضيحي هندسي:

ليس من المستغرب أن تكون الزاوية ذات اتجاه سلبي، لأنه في بيان المشكلة، الرقم الأول هو خط مستقيم وبدأ "فك" الزاوية به على وجه التحديد.

إذا كنت تريد حقًا الحصول على زاوية موجبة، فأنت بحاجة إلى تبديل الخطوط، أي أخذ المعاملات من المعادلة الثانية ، وخذ المعاملات من المعادلة الأولى. باختصار، عليك أن تبدأ مباشرة .

لن أخفي ذلك، فأنا أختار الخطوط المستقيمة بنفسي بالترتيب بحيث تكون الزاوية موجبة. إنها أجمل، لكن ليس أكثر.

للتحقق من الحل، يمكنك استخدام منقلة وقياس الزاوية.

الطريقة الثانية

إذا تم إعطاء خطوط مستقيمة بواسطة معادلات ذات ميل و ليس عموديا، الذي - التي الموجهةويمكن إيجاد الزاوية بينهما باستخدام الصيغة:

يتم التعبير عن حالة عمودي الخطوط من خلال المساواة، والتي، بالمناسبة، تتبع علاقة مفيدة للغاية بين المعاملات الزاوية للخطوط المتعامدة: والتي تستخدم في بعض المسائل.

خوارزمية الحل مشابهة للفقرة السابقة. لكن أولاً، دعونا نعيد كتابة خطوطنا المستقيمة بالشكل المطلوب:

وبالتالي فإن المنحدرات هي:

1) دعونا نتحقق مما إذا كانت الخطوط متعامدة:
مما يعني أن الخطوط ليست متعامدة.

2) استخدم الصيغة:

إجابة:

الطريقة الثانية مناسبة للاستخدام عندما يتم تحديد معادلات الخطوط المستقيمة مبدئيًا بمعامل زاوية. تجدر الإشارة إلى أنه إذا كان خط مستقيم واحد على الأقل موازيا للمحور الإحداثي، فإن الصيغة غير قابلة للتطبيق على الإطلاق، لأنه بالنسبة لهذه الخطوط المستقيمة، لم يتم تحديد الميل (انظر المقالة معادلة الخط المستقيم على المستوى).

هناك حل ثالث. تتمثل الفكرة في حساب الزاوية بين متجهات الاتجاه للخطوط باستخدام الصيغة التي تمت مناقشتها في الدرس المنتج النقطي للمتجهات:

ولم نعد هنا نتحدث عن زاوية موجهة، بل "عن زاوية فقط"، أي أن النتيجة ستكون إيجابية بالتأكيد. المهم هو أنه قد ينتهي بك الأمر بزاوية منفرجة (ليست الزاوية التي تحتاجها). في هذه الحالة، سيتعين عليك حجز أن الزاوية بين الخطوط المستقيمة هي زاوية أصغر، وطرح جيب التمام الناتج من راديان "pi" (180 درجة).

أولئك الذين يرغبون يمكنهم حل المشكلة بطريقة ثالثة. لكن مازلت أنصح بالالتزام بالنهج الأول بزاوية موجهة، لأنه منتشر على نطاق واسع.

مثال 11

أوجد الزاوية بين السطور.

هذا مثال لك لحله بنفسك. حاول حلها بطريقتين.

بطريقة ما ماتت الحكاية الخيالية على طول الطريق ... لأنه لا يوجد كاششي الخالد. هناك أنا، وأنا لست على البخار بشكل خاص. بصراحة، اعتقدت أن المقال سيكون أطول بكثير. لكنني سأظل أحمل قبعتي ونظارتي التي اشتريتها مؤخرًا وأذهب للسباحة في مياه بحيرة سبتمبر. يخفف تماما التعب والطاقة السلبية.

قبل اراك قريبا!

وتذكر أنه لم يتم إلغاء بابا ياجا =)

الحلول والأجوبة:

مثال 3:حل : دعونا نجد متجه الاتجاه للخط :

لنقم بتكوين معادلة الخط المطلوب باستخدام النقطة وناقل الاتجاه . بما أن أحد إحداثيات متجه الاتجاه هو صفر، فإن المعادلة. لنعيد كتابتها بالشكل:

إجابة :

مثال 5:حل :
1) معادلة الخط دعونا نعوض نقطتين :

2) معادلة الخط دعونا نعوض نقطتين :

3) المعاملات المقابلة للمتغيرات غير متناسب: مما يعني أن الخطوط متقاطعة.
4) العثور على نقطة :

ملحوظة : هنا يتم ضرب المعادلة الأولى للنظام في 5، ثم يتم طرح الثانية حداً حداً من المعادلة الأولى.
إجابة :

أوه-أوه-أوه-أوه... حسنًا، الأمر صعب، كما لو كان يقرأ جملة لنفسه =) لكن الاسترخاء سيساعد لاحقًا، خاصة وأنني اشتريت اليوم الملحقات المناسبة. لذلك، دعونا ننتقل إلى القسم الأول، وآمل أنه بنهاية المقال سأحافظ على مزاج مبهج.

الموضع النسبي لخطين مستقيمين

هذا هو الحال عندما يغني الجمهور في جوقة. يمكن لخطين مستقيمين:

1) المباراة؛

2) تكون متوازية : ;

3) أو تتقاطع في نقطة واحدة : .

مساعدة للدمى : من فضلك تذكر علامة التقاطع الرياضية، سوف تظهر في كثير من الأحيان. الترميز يعني أن الخط يتقاطع مع الخط عند النقطة .

كيفية تحديد الموضع النسبي لخطين؟

لنبدأ بالحالة الأولى:

يتطابق الخطان إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما المقابلة متناسبةأي أن هناك رقم "لامدا" بحيث يتم استيفاء المساواة

لنفكر في الخطوط المستقيمة وننشئ ثلاث معادلات من المعاملات المقابلة: . ويترتب على كل معادلة أن هذه الخطوط متطابقة.

وبالفعل، إذا كانت جميع معاملات المعادلة اضرب بـ -1 (علامات التغيير)، وجميع معاملات المعادلة وبقطع 2 تحصل على نفس المعادلة: .

الحالة الثانية عندما يكون المستقيمان متوازيين:

يكون الخطان متوازيين إذا وفقط إذا كانت معاملات متغيراتهما متناسبة: ، لكن.

على سبيل المثال، النظر في خطين مستقيمين. نتحقق من تناسب المعاملات المقابلة للمتغيرات:

ومع ذلك، فمن الواضح تماما أن.

والحالة الثالثة عندما تتقاطع الخطوط:

يتقاطع خطان إذا وفقط إذا كانت معاملات المتغيرات الخاصة بهما غير متناسبةأي أنه لا توجد قيمة لـ "لامدا" بحيث يتم استيفاء المساواة

لذلك، بالنسبة للخطوط المستقيمة، سنقوم بإنشاء نظام:

من المعادلة الأولى ينتج ذلك، ومن المعادلة الثانية: مما يعني النظام غير متناسق(لا توجد حلول). وبالتالي فإن معاملات المتغيرات ليست متناسبة.

الخلاصة: الخطوط متقاطعة

في المسائل العملية، يمكنك استخدام مخطط الحل الذي تمت مناقشته للتو. بالمناسبة، إنه يذكرنا جدًا بخوارزمية فحص المتجهات بحثًا عن العلاقة الخطية المتداخلة، والتي نظرنا إليها في الفصل مفهوم الاعتماد الخطي (في) على المتجهات. أساس المتجهات. ولكن هناك عبوة أكثر تحضرا:

مثال 1

لمعرفة ذلك الترتيب المتبادلمباشر:

حلبناءً على دراسة توجيه متجهات الخطوط المستقيمة:

أ) من المعادلات نجد متجهات الاتجاه للخطوط: .

مما يعني أن المتجهات ليست على خط مستقيم وأن الخطوط متقاطعة.

فقط في حالة، سأضع حجرًا عليه علامات عند مفترق الطرق:

يقفز الباقون فوق الحجر ويتبعون مباشرة إلى كاششي الخالد =)

ب) أوجد متجهات الاتجاه للخطوط:

الخطوط لها نفس متجه الاتجاه، مما يعني أنها إما متوازية أو متطابقة. ليست هناك حاجة لحساب المحدد هنا.

ومن الواضح أن معاملات المجهولين متناسبة، و.

دعونا نعرف ما إذا كانت المساواة صحيحة:

هكذا،

ج) أوجد متجهات الاتجاه للخطوط:

لنحسب المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات:
وبالتالي فإن متجهات الاتجاه تكون على خط واحد. الخطوط إما متوازية أو متطابقة.

من السهل رؤية معامل التناسب "لامدا" مباشرة من نسبة متجهات الاتجاه الخطية المتداخلة. ومع ذلك، يمكن العثور عليه أيضًا من خلال معاملات المعادلات نفسها: .

الآن دعونا معرفة ما إذا كانت المساواة صحيحة. كلا الحدين المجانيين صفر، لذلك:

القيمة الناتجة تلبي هذه المعادلة (أي رقم بشكل عام يرضيها).

وهكذا تتطابق الخطوط.

إجابة:

ستتعلم قريبًا جدًا (أو حتى تعلمت بالفعل) حل المشكلة التي تمت مناقشتها لفظيًا حرفيًا في غضون ثوانٍ. في هذا الصدد، لا أرى أي فائدة من تقديم أي شيء لحل مستقل، فمن الأفضل وضع لبنة مهمة أخرى في الأساس الهندسي:

كيفية بناء خط موازي لخط معين؟

لجهل هذه المهمة البسيطة، يعاقب السارق العندليب بشدة.

مثال 2

يتم إعطاء الخط المستقيم بالمعادلة. اكتب معادلة المستقيم الموازي الذي يمر بالنقطة.

حل: نرمز إلى السطر المجهول بالحرف . ماذا تقول الحالة عنها؟ يمر الخط المستقيم عبر هذه النقطة. وإذا كانت الخطوط متوازية، فمن الواضح أن متجه الاتجاه للخط المستقيم "tse" مناسب أيضًا لبناء الخط المستقيم "de".

نخرج متجه الاتجاه من المعادلة:

إجابة:

يبدو المثال الهندسي بسيطًا:

يتكون الاختبار التحليلي من الخطوات التالية:

1) نتحقق من أن الخطوط لها نفس متجه الاتجاه (إذا لم يتم تبسيط معادلة الخط بشكل صحيح، فإن المتجهات ستكون على خط واحد).

2) التحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة الناتجة.

في معظم الحالات، يمكن إجراء الاختبارات التحليلية بسهولة عن طريق الفم. انظروا إلى المعادلتين، والعديد منكم سيحدد بسرعة توازي الخطين دون أي رسم.

أمثلة على الحلول المستقلة اليوم ستكون إبداعية. لأنه لا يزال يتعين عليك التنافس مع بابا ياجا، وهي، كما تعلمون، من محبي جميع أنواع الألغاز.

مثال 3

اكتب معادلة المستقيم الذي يمر بنقطة موازية للخط إذا

هناك طريقة عقلانية وغير عقلانية لحلها. أقصر طريق هو في نهاية الدرس.

لقد عملنا قليلاً مع الخطوط المتوازية وسنعود إليها لاحقاً. إن حالة الخطوط المتطابقة ليست ذات أهمية كبيرة، لذلك دعونا نفكر في مشكلة مألوفة بالنسبة لك المنهج المدرسي:

كيفية العثور على نقطة تقاطع خطين؟

إذا كان مستقيما تتقاطع عند نقطة فإن إحداثياتها هي الحل أنظمة المعادلات الخطية

كيفية العثور على نقطة تقاطع الخطوط؟ حل النظام.

ها أنت ذا المعنى الهندسي لنظام من معادلتين خطيتين مع مجهولين- هذان خطان متقاطعان (في أغلب الأحيان) على المستوى.

مثال 4

العثور على نقطة تقاطع الخطوط

حل: هناك طريقتان للحل - رسومية وتحليلية.

الطريقة الرسومية هي ببساطة رسم الخطوط المعطاة ومعرفة نقطة التقاطع مباشرة من الرسم:

وهنا وجهة نظرنا: . للتحقق من ذلك، يجب عليك استبدال إحداثياته في كل معادلة للخط، حيث يجب أن تتناسب هناك وهناك. بمعنى آخر، إحداثيات النقطة هي حل للنظام. في الأساس، نظرنا إلى حل رسومي أنظمة المعادلات الخطيةمع معادلتين، مجهولين.

الطريقة الرسومية بالطبع ليست سيئة، لكن هناك عيوب ملحوظة. لا، النقطة ليست أن طلاب الصف السابع يقررون بهذه الطريقة، النقطة المهمة هي أن إنشاء رسم صحيح ودقيق سيستغرق وقتًا. بالإضافة إلى ذلك، ليس من السهل إنشاء بعض الخطوط المستقيمة، وقد تكون نقطة التقاطع نفسها موجودة في مكان ما في المملكة الثلاثين خارج ورقة دفتر الملاحظات.

ولذلك فمن الأفضل البحث عن نقطة التقاطع باستخدام الطريقة التحليلية. دعونا نحل النظام:

لحل النظام، تم استخدام طريقة جمع المعادلات حداً تلو الآخر. لتطوير المهارات ذات الصلة، خذ درسًا كيفية حل نظام المعادلات؟

إجابة:

التحقق تافه - إحداثيات نقطة التقاطع يجب أن تلبي كل معادلة في النظام.

مثال 5

أوجد نقطة تقاطع الخطين إذا كانا متقاطعين.

هذا مثال لك لحله بنفسك. من الملائم تقسيم المهمة إلى عدة مراحل. يشير تحليل الحالة إلى أنه من الضروري:
1) أكتب معادلة الخط المستقيم .
2) أكتب معادلة الخط المستقيم .
3) معرفة الموقع النسبي للخطوط.
4) إذا تقاطع المستقيمان فأوجد نقطة التقاطع.

يعد تطوير خوارزمية الإجراء نموذجيًا للعديد من المشكلات الهندسية، وسأركز بشكل متكرر على هذا الأمر.

الحل الكاملوالجواب في نهاية الدرس :

ولم يتم ارتداء حتى زوج من الأحذية قبل أن نصل إلى القسم الثاني من الدرس:

خطوط متعامدة. المسافة من نقطة إلى خط.
الزاوية بين الخطوط المستقيمة

لنبدأ مع نموذجي وجدا مهمة هامة. في الجزء الأول، تعلمنا كيفية بناء خط مستقيم موازٍ لهذا الخط، والآن سيتحول الكوخ الموجود على أرجل الدجاج إلى 90 درجة:

كيفية بناء خط عمودي على واحد معين؟

مثال 6

يتم إعطاء الخط المستقيم بالمعادلة. اكتب معادلة عمودية على الخط الذي يمر بالنقطة.

حل: بالشرط المعروف أن . سيكون من الجيد العثور على المتجه الموجه للخط. بما أن الخطوط متعامدة، فالخدعة بسيطة:

من المعادلة نقوم "بإزالة" المتجه العادي: والذي سيكون المتجه الموجه للخط المستقيم.

لنقم بتكوين معادلة الخط المستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه:

إجابة:

دعونا نوسع الرسم الهندسي:

هممممم... سماء برتقالية، بحر برتقالي، جمل برتقالي.

التحقق التحليلي من الحل:

1) نخرج متجهات الاتجاه من المعادلات وبالمساعدة المنتج العددي للمتجهاتنصل إلى استنتاج مفاده أن الخطوط المتعامدة بالفعل: .

بالمناسبة، يمكنك استخدام المتجهات العادية، بل إنه أسهل.

2) التحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة الناتجة .

ومرة أخرى، من السهل إجراء الاختبار شفويا.

مثال 7

أوجد نقطة تقاطع المستقيمين المتعامدين إذا كانت المعادلة معروفة والفترة.

هذا مثال لك لحله بنفسك. هناك العديد من الإجراءات في المشكلة، لذلك من الملائم صياغة الحل نقطة تلو الأخرى.

رحلتنا المثيرة مستمرة:

المسافة من نقطة إلى خط

أمامنا شريط مستقيم من النهر ومهمتنا هي الوصول إليه بأقصر طريق. لا توجد عقبات، والطريق الأمثل هو التحرك على طول الخط العمودي. أي أن المسافة من نقطة إلى خط مستقيم هي طول القطعة المتعامدة.

يُشار إلى المسافة في الهندسة تقليديًا بالحرف اليوناني "rho"، على سبيل المثال: - المسافة من النقطة "em" إلى الخط المستقيم "de".

المسافة من نقطة إلى خط يتم التعبير عنها بواسطة الصيغة

مثال 8

أوجد المسافة من نقطة إلى خط

حل: كل ما عليك فعله هو استبدال الأرقام بعناية في الصيغة وإجراء الحسابات:

إجابة:

لنقم بالرسم:

المسافة التي تم العثور عليها من النقطة إلى الخط هي بالضبط طول القطعة الحمراء. إذا قمت برسم رسم على ورق مربعات بمقياس وحدة واحدة. = 1 سم (خليتان)، فيمكن قياس المسافة بمسطرة عادية.

لنفكر في مهمة أخرى بناءً على نفس الرسم:

1) ابحث عن مستقيم عمودي على الخط.

2) أوجد نقطة تقاطع الخطين: .

تتم مناقشة كلا الإجراءين بالتفصيل في هذا الدرس.

وستكون فكرة جيدة أن نتأكد من أن المسافة أيضًا تساوي 2.2 وحدة.

قد تنشأ صعوبات في العمليات الحسابية هنا، ولكن الآلة الحاسبة الدقيقة هي مساعدة كبيرة في البرج، مما يسمح لك بحساب الكسور العادية. لقد نصحتك مرات عديدة وسوف أوصيك مرة أخرى.

كيفية العثور على المسافة بين خطين متوازيين؟

مثال 9

العثور على المسافة بين خطين متوازيين

وهذا مثال آخر عليك أن تقرره بنفسك. سأعطيك تلميحًا بسيطًا: هناك طرق عديدة لحل هذه المشكلة. استخلاص المعلومات في نهاية الدرس، ولكن من الأفضل أن تحاول التخمين بنفسك، أعتقد أن براعتك كانت متطورة بشكل جيد.

الزاوية بين خطين مستقيمين

إذا كانت الخطوط متعامدة، فيمكن اعتبار أي من الزوايا الأربع هي الزاوية بينهما.

لماذا قلت لك هذا؟ يبدو أنه يمكننا التعامل مع المفهوم المعتاد للزاوية. والحقيقة هي أن الصيغ التي سنجد بها الزوايا يمكن أن تؤدي بسهولة إلى نتيجة سلبية، وهذا لا ينبغي أن يفاجئك. الزاوية التي تحمل علامة الطرح ليست أسوأ، ولها معنى هندسي محدد للغاية. في الرسم، بالنسبة للزاوية السلبية، تأكد من الإشارة إلى اتجاهها بسهم (في اتجاه عقارب الساعة).

كيفية العثور على الزاوية بين خطين مستقيمين؟هناك صيغتان للعمل:

مثال 10

أوجد الزاوية بين الخطوط

حلو الطريقة الأولى

لنفكر في خطين مستقيمين تحددهما المعادلات بشكل عام:

إذا كان مستقيما ليس عموديا، الذي - التي الموجهةيمكن حساب الزاوية بينهما باستخدام الصيغة:

دعونا نولي اهتماما وثيقا للمقام - هذا هو بالضبط المنتج العدديتوجيه ناقلات الخطوط المستقيمة:

بناءً على ما سبق، من المناسب صياغة الحل في خطوتين:

1) لنحسب المنتج العددي لمتجهات الاتجاه للخطوط:
مما يعني أن الخطوط ليست متعامدة.

2) أوجد الزاوية بين الخطوط المستقيمة باستخدام الصيغة:

باستخدام الدالة العكسية، من السهل العثور على الزاوية نفسها. في هذه الحالة، نستخدم غرابة ظل القطب الشمالي (انظر. الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية):

إجابة:

في إجابتك، نشير إلى القيمة الدقيقة، بالإضافة إلى القيمة التقريبية (ويفضل أن تكون بالدرجات والراديان)، والتي يتم حسابها باستخدام الآلة الحاسبة.

صياغة المشكلة. أوجد إحداثيات نقطة متناظرة لنقطة ما نسبة إلى الطائرة.

خطة الحل.

1. أوجد معادلة الخط المستقيم العمودي على مستوى معين ويمر بالنقطة . بما أن الخط المستقيم عمودي على مستوى معين، فيمكن اعتبار المتجه الطبيعي للمستوى كمتجه اتجاهه، أي.

وبالتالي ستكون معادلة الخط المستقيم

2. ابحث عن النقطة تقاطع خط مستقيم والطائرات (انظر المشكلة 13).

3. نقطة هي نقطة منتصف الجزء حيث النقطة هي نقطة متماثلة لهذه النقطة ، لهذا

المشكلة 14. أوجد نقطة متناظرة مع النقطة بالنسبة للمستوى.

معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة عمودية على مستوى معين تكون:

دعونا نجد نقطة تقاطع الخط والمستوى.

أين – نقطة تقاطع المستقيم والمستوى هي منتصف القطعة إذن

أولئك. .

إحداثيات الطائرة المتجانسة. التحولات المتقاربة على متن الطائرة.

يترك م Xو في

م(X, فيماي (X, في، 1) في الفضاء (الشكل 8).

ماي (X, في

ماي (X, في هو.

(س، هاي، ح)، ح  0،

تعليق

ح(على سبيل المثال، ح

في الواقع، مع الأخذ في الاعتبار ح

تعليق

مثال 1.

ب) إلى زاوية (الشكل 9).

الخطوة الأولى.

الخطوة الثانية.التدوير بالزاوية 

مصفوفة التحول المقابل.

الخطوة الثالثة.نقل إلى المتجه A(أ، ب)

مصفوفة التحول المقابل.

مثال 3

 على طول المحور السيني و

الخطوة الأولى.

مصفوفة التحول المقابل.

الخطوة الثانية.

الخطوة الثالثة.

سوف نحصل عليه أخيرا

تعليق

[ص]،[د]،[م]،[T]،

يترك م- نقطة تعسفية للطائرة مع الإحداثيات Xو في، محسوبة بالنسبة لنظام إحداثيات مستقيم معين. الإحداثيات المتجانسة لهذه النقطة هي أي ثلاثية من الأرقام غير الصفرية في وقت واحد x 1، x 2، x 3، مرتبطة بالأرقام المعطاة x و y بالعلاقات التالية:

عند حل مشاكل رسومات الكمبيوتر، عادة ما يتم إدخال الإحداثيات المتجانسة على النحو التالي: إلى نقطة تعسفية م(X, في) يتم تعيين نقطة للطائرة ماي (X, في، 1) في الفضاء (الشكل 8).

لاحظ أن هناك نقطة عشوائية على الخط الذي يصل نقطة الأصل، النقطة 0(0، 0، 0)، مع النقطة ماي (X, في، 1)، يمكن أن تعطى بثلاثة أرقام من النموذج (hx، hy، h).

المتجه ذو الإحداثيات hx، hy، هو متجه الاتجاه للخط المستقيم الذي يربط النقاط 0 (0، 0، 0) و ماي (X, في، 1). يتقاطع هذا الخط مع المستوى z = 1 عند النقطة (x، y، 1)، والذي يحدد بشكل فريد النقطة (x، y) للمستوى الإحداثي هو.

وهكذا، بين نقطة تعسفية مع الإحداثيات (س، ص) ومجموعة من ثلاثة أرقام من النموذج

(س، هاي، ح)، ح  0،

تم إنشاء مراسلة (واحد لواحد) تسمح لنا باعتبار الأرقام hx، hy، h بمثابة الإحداثيات الجديدة لهذه النقطة.

تعليق

تستخدم الإحداثيات المتجانسة على نطاق واسع في الهندسة الإسقاطية، مما يجعل من الممكن وصف ما يسمى بالعناصر غير الصحيحة بشكل فعال (أساسًا تلك التي يختلف فيها المستوى الإسقاطي عن المستوى الإقليدي المألوف). تمت مناقشة المزيد من التفاصيل حول الإمكانيات الجديدة التي توفرها الإحداثيات المتجانسة المقدمة في القسم الرابع من هذا الفصل.

في الهندسة الإسقاطية للإحداثيات المتجانسة، يتم قبول الترميز التالي:

x:y:1، أو بشكل عام x1:x2:x3

(تذكر أنه من الضروري هنا ألا تتحول الأرقام x 1، x 2، x 3 إلى الصفر في نفس الوقت).

تبين أن استخدام الإحداثيات المتجانسة يكون مناسبًا حتى عند حل أبسط المشكلات.

خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، القضايا المتعلقة بالتغيرات في الحجم. إذا كان جهاز العرض يعمل فقط مع الأعداد الصحيحة (أو إذا كنت بحاجة إلى العمل مع الأعداد الصحيحة فقط)، فعندئذٍ للحصول على قيمة عشوائية ح(على سبيل المثال، ح= 1) نقطة ذات إحداثيات متجانسة

من المستحيل أن نتصور. ومع ذلك، مع اختيار معقول لـ h، من الممكن التأكد من أن إحداثيات هذه النقطة هي أعداد صحيحة. على وجه الخصوص، لـ h = 10 للمثال قيد النظر لدينا

دعونا نفكر في حالة أخرى. لمنع نتائج التحويل من أن تؤدي إلى تجاوز حسابي، بالنسبة لنقطة ذات إحداثيات (80000 40000 1000)، يمكنك أن تأخذ، على سبيل المثال، h=0.001. ونتيجة لذلك نحصل على (80 40 1).

توضح الأمثلة المقدمة فائدة استخدام الإحداثيات المتجانسة عند إجراء العمليات الحسابية. ومع ذلك، فإن الغرض الرئيسي من إدخال إحداثيات متجانسة في رسومات الكمبيوتر هو ملاءمتها بلا شك في تطبيق التحولات الهندسية.

باستخدام ثلاثية الإحداثيات المتجانسة ومصفوفات الدرجة الثالثة، يمكن وصف أي تحويل تقاربي للمستوى.

في الواقع، مع الأخذ في الاعتبار ح= 1، قارن بين إدخالين: تم وضع علامة عليهما بالرمز * والمصفوفة التالية:

من السهل أن نرى أنه بعد ضرب التعبيرات الموجودة على الجانب الأيمن من العلاقة الأخيرة، نحصل على الصيغتين (*) والمساواة العددية الصحيحة 1=1.

تعليق

في بعض الأحيان يتم استخدام تدوين آخر في الأدبيات - تدوين عمودي:

هذا الترميز يعادل الترميز أعلاه سطرًا تلو الآخر (ويتم الحصول عليه منه عن طريق النقل).

لا تحمل عناصر مصفوفة التحويل التقاربي التعسفي معنى هندسيًا واضحًا. لذلك، من أجل تنفيذ هذا التعيين أو ذاك، أي العثور على عناصر المصفوفة المقابلة وفقًا لوصف هندسي معين، هناك حاجة إلى تقنيات خاصة. عادة، ينقسم بناء هذه المصفوفة، وفقا لتعقيد المشكلة قيد النظر والحالات الخاصة الموضحة أعلاه، إلى عدة مراحل.

في كل مرحلة، يتم البحث عن مصفوفة تتوافق مع واحدة أو أخرى من الحالات المذكورة أعلاه A أو B أو C أو D، والتي لها خصائص هندسية محددة جيدًا.

دعونا نكتب المصفوفات المقابلة من الدرجة الثالثة.

أ. مصفوفة الدوران

ب. مصفوفة التوسع

ب. مصفوفة الانعكاس

د. مصفوفة النقل (الترجمة)

دعونا نفكر في أمثلة التحولات التقاربية للمستوى.

مثال 1.

أنشئ مصفوفة دوران حول النقطة A (a،ب) إلى زاوية (الشكل 9).

الخطوة الأولى.النقل إلى المتجه - A (-a, -b) لمحاذاة مركز الدوران مع أصل الإحداثيات؛

مصفوفة التحول المقابل.

الخطوة الثانية.التدوير بالزاوية 

مصفوفة التحول المقابل.

الخطوة الثالثة.نقل إلى المتجه A(أ، ب)لإعادة مركز الدوران إلى وضعه السابق؛

مصفوفة التحول المقابل.

دعونا نضرب المصفوفات بنفس الترتيب الذي كتبت به:

ونتيجة لذلك، نجد أن التحويل المطلوب (في تدوين المصفوفة) سيبدو كما يلي:

ليس من السهل تذكر عناصر المصفوفة الناتجة (خاصة في الصف الأخير). وفي الوقت نفسه، يمكن بسهولة إنشاء كل من المصفوفات الثلاث المضاعفة من الوصف الهندسي للرسم المقابل.

مثال 3

بناء مصفوفة التمدد مع معاملات التمدد على طول المحور السيني و على طول المحور الإحداثي ومع المركز عند النقطة A(a,b).

الخطوة الأولى.نقل إلى المتجه -A(-a, -b) لمحاذاة مركز التمدد مع أصل الإحداثيات؛

مصفوفة التحول المقابل.

الخطوة الثانية.تمتد على طول محاور الإحداثيات مع المعاملات  و ، على التوالي؛ مصفوفة التحويل لها الشكل

الخطوة الثالثة.النقل إلى المتجه A(a,b) لإعادة مركز التوتر إلى موضعه السابق؛ مصفوفة التحويل المقابل –

ضرب المصفوفات بنفس الترتيب

سوف نحصل عليه أخيرا

تعليق

الاستدلال بطريقة مماثلة، أي تقسيم التحويل المقترح إلى مراحل مدعومة بالمصفوفات[ص]،[د]،[م]،[T]، يمكن للمرء بناء مصفوفة لأي تحويل تقاربي من وصفها الهندسي.

يتم تنفيذ التحول عن طريق الجمع، ويتم تنفيذ القياس والتدوير عن طريق الضرب.

تحويل التحجيم (التوسع) نسبة إلى الأصل له الشكل:

أو في شكل مصفوفة:

أين دس,دذهي عوامل القياس على طول المحاور، و

- مصفوفة القياس.

عندما يكون D> 1، يحدث التوسع، عندما يكون 0<=D<1- сжатие

تحويل الدوران نسبة إلى الأصل له الشكل:

أو في شكل مصفوفة:

حيث φ هي زاوية الدوران، و

- مصفوفة الدوران.

تعليق:الأعمدة والصفوف في مصفوفة التدوير هي متجهات وحدة متعامدة بشكل متبادل. في الواقع، مربعات أطوال ناقلات الصفوف تساوي واحدًا:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 و (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1،

والمنتج العددي لمتجهات الصف هو

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

منذ المنتج العددي للمتجهات أ · ب = |أ| ·| ب| ·cosψ، حيث | أ| - طول المتجه أ, |ب| - طول المتجه ب، و ψ هي أصغر زاوية موجبة بينهما، ثم من المساواة 0 للمنتج القياسي لمتجهين صفين بطول 1 يترتب على ذلك أن الزاوية بينهما هي 90 درجة.

يمكن دائمًا تعريف الخط المستقيم في الفضاء بأنه خط تقاطع مستويين غير متوازيين. إذا كانت معادلة أحد المستويين هي معادلة المستوي الثاني، فإن معادلة الخط تعطى بالشكل

هنا غير خطية
. تسمى هذه المعادلات معادلات عامة مباشرة في الفضاء.

المعادلات الكنسية للخط

أي متجه غير صفري يقع على خط معين أو موازي له يسمى متجه الاتجاه لهذا الخط.

إذا كانت النقطة معروفة
الخط المستقيم ومتجه اتجاهه
، فإن المعادلات القانونية للخط لها الشكل:

. (9)

المعادلات البارامترية للخط

دع المعادلات الأساسية للخط تعطى

ومن هنا نحصل على المعادلات البارامترية للخط:

(10)

هذه المعادلات مفيدة لإيجاد نقطة تقاطع الخط والمستوى.

معادلة الخط الذي يمر بنقطتين
و
لديه النموذج:

الزاوية بين الخطوط المستقيمة

الزاوية بين الخطوط المستقيمة

تساوي الزاوية بين متجهات اتجاهها. ولذلك يمكن حسابها باستخدام الصيغة (4):

حالة الخطوط المتوازية:

شرط أن تكون الطائرات متعامدة:

مسافة النقطة من الخط

ص لنفترض أن هذه النقطة معطاة
ومستقيم

من المعادلات القانونية للخط نعرف النقطة
، ينتمي إلى الخط، ومتجه اتجاهه
. ثم مسافة النقطة
من خط مستقيم يساوي ارتفاع متوازي الأضلاع المبني على المتجهات و
. لذلك،

شرط تقاطع الخطوط

خطان غير متوازيين

تتقاطع إذا وفقط إذا

الموقع النسبي للخط المستقيم والطائرة.

دع الخط المستقيم يعطى
والطائرة. ركن بينهما يمكن العثور عليها من خلال الصيغة

المشكلة 73.اكتب المعادلات الأساسية للخط

(11)

حل. من أجل كتابة المعادلات القانونية للخط (9)، من الضروري معرفة أي نقطة تنتمي إلى الخط ومتجه الاتجاه للخط.

دعونا نجد المتجه ، بالتوازي مع هذا الخط. لأنه يجب أن يكون متعامدا مع المتجهات العادية لهذه المستويات، أي.

,
، الذي - التي

ومن المعادلات العامة للخط المستقيم لدينا ذلك
,
. ثم

منذ هذه النقطة
أي نقطة على الخط، فإن إحداثياتها يجب أن تحقق معادلات الخط ويمكن تحديد إحداها، على سبيل المثال،
نجد الإحداثيتين الأخريين من النظام (11):

من هنا،
.

وبالتالي، فإن المعادلات القانونية للخط المطلوب لها الشكل:

أو
.

المشكلة 74.

و
.

حل.ومن المعادلات القانونية للخط الأول، يتم معرفة إحداثيات النقطة
تنتمي إلى الخط، وإحداثيات متجه الاتجاه
. ومن المعادلات الأساسية للخط الثاني، تُعرف أيضًا إحداثيات النقطة
وإحداثيات متجه الاتجاه
.

المسافة بين الخطوط المتوازية تساوي مسافة النقطة
من الخط المستقيم الثاني. يتم حساب هذه المسافة بواسطة الصيغة

دعونا نجد إحداثيات المتجه
.

دعونا نحسب المنتج المتجه
:

المشكلة 75.العثور على نقطة نقطة متناظرة
مستقيم نسبيا

حل. دعونا نكتب معادلة المستوى العمودي على مستقيم معين ويمر بنقطة . كما ناقلاتها العادية يمكنك أن تأخذ المتجه الموجه للخط المستقيم. ثم
. لذلك،

دعونا نجد نقطة
نقطة تقاطع هذا الخط مع المستوى P. للقيام بذلك، نكتب المعادلات البارامترية للخط باستخدام المعادلات (10)، نحصل على

لذلك،
.

يترك
نقطة متناظرة إلى نقطة
نسبة إلى هذا الخط. ثم أشر
نقطة المنتصف
. للعثور على إحداثيات نقطة نستخدم الصيغ لإحداثيات منتصف القطعة:

,
,
.

لذا،
.

المشكلة 76.اكتب معادلة المستوى الذي يمر عبر الخط
و

أ) من خلال نقطة
;

ب) عمودي على الطائرة.

حل.دعونا نكتب المعادلات العامة لهذا الخط. للقيام بذلك، ضع في اعتبارك معادلتين:

وهذا يعني أن المستوى المطلوب ينتمي إلى مجموعة مستويات ذات مولدات ويمكن كتابة معادلتها على الصورة (8):

أ) دعونا نجد
و من شرط أن الطائرة تمر عبر هذه النقطة
ولذلك فإن إحداثياته يجب أن تحقق معادلة المستوى. دعونا نعوض بإحداثيات النقطة
في معادلة مجموعة من الطائرات:

وجدت قيمة
لنعوض بها في المعادلة (12). نحصل على معادلة المستوى المطلوب:

ب) دعونا نجد
و بشرط أن يكون المستوى المطلوب عموديا على المستوى . المتجه الطبيعي لطائرة معينة
، المتجه الطبيعي للمستوى المطلوب (انظر معادلة مجموعة من المستويات (12).