محاضرات في الجبر والهندسة. الفصل الدراسي 1.

المحاضرة 15. القطع الناقص.

الفصل 15. القطع الناقص.

البند 1. التعاريف الأساسية.

تعريف. القطع الناقص هو GMT للمستوى، ومجموع المسافات إلى نقطتين ثابتتين في المستوى، تسمى البؤرتين، هو قيمة ثابتة.

تعريف. تسمى المسافة من النقطة العشوائية M من المستوى إلى بؤرة القطع الناقص نصف القطر البؤري للنقطة M.

التسميات:
- بؤر القطع الناقص،
- نصف القطر البؤري للنقطة M.

بواسطة تعريف القطع الناقص، النقطة M هي نقطة القطع الناقص إذا وفقط إذا
- قيمة ثابتة. يُشار إلى هذا الثابت عادةً بالرمز 2a:

. (1)

لاحظ أن
.

حسب تعريف القطع الناقص، فإن بؤرته عبارة عن نقاط ثابتة، وبالتالي فإن المسافة بينهما هي أيضًا قيمة ثابتة لقطع ناقص معين.

تعريف. المسافة بين بؤرتي الشكل الناقص تسمى البعد البؤري.

تعيين:
.

من مثلث
يتبع ذلك
، أي.

.

دعونا نشير بواسطة ب إلى الرقم الذي يساوي
، أي.

. (2)

تعريف. سلوك

(3)

يسمى الانحراف المركزي للقطع الناقص.

دعونا نقدم نظام الإحداثيات على هذا المستوى، والذي سنسميه النظام الأساسي للقطع الناقص.

تعريف. يسمى المحور الذي تقع عليه بؤر القطع الناقص بالمحور البؤري.

لنقم بإنشاء PDSC أساسي للقطع الناقص، انظر الشكل 2.

نختار المحور البؤري كمحور الإحداثي، ونرسم المحور الإحداثي عبر منتصف القطعة
عمودي على المحور البؤري.

ثم البؤر لها إحداثيات
,
.

البند 2. المعادلة الكنسية للقطع الناقص.

نظرية. في نظام الإحداثيات المتعارف عليه للقطع الناقص، تكون معادلة القطع الناقص بالشكل:

. (4)

دليل. نقوم بتنفيذ الإثبات على مرحلتين. في المرحلة الأولى، سنثبت أن إحداثيات أي نقطة تقع على القطع الناقص تحقق المعادلة (4). في المرحلة الثانية سنثبت أن أي حل للمعادلة (4) يعطي إحداثيات نقطة تقع على القطع الناقص. من هنا سيتبع أن المعادلة (4) يتم تحقيقها بواسطة تلك النقاط فقط من المستوى الإحداثي التي تقع على القطع الناقص. ومن هذا ومن تعريف معادلة المنحنى يتبين أن المعادلة (4) هي معادلة القطع الناقص.

1) اجعل النقطة M(x, y) نقطة من القطع الناقص، أي. مجموع نصف القطر البؤري هو 2a:

.

دعونا نستخدم صيغة المسافة بين نقطتين على المستوى الإحداثي ونستخدم هذه الصيغة للعثور على نصف القطر البؤري لنقطة معينة M:

,
، من حيث نحصل على:

دعنا ننقل جذرًا واحدًا إلى الجانب الأيمن من المساواة ونقوم بتربيعه:

بالتصغير نحصل على:

نقدم مثيلاتها ونخفضها بمقدار 4 ونزيل الجذر:

.

التربيع

افتح الأقواس واختصرها
:

حيث نحصل على:

وباستخدام المساواة (2) نحصل على:

.

قسمة المساواة الأخيرة على
نحصل على المساواة (4) الخ.

2) دع الآن زوجًا من الأرقام (x، y) يحقق المعادلة (4) ودع M(x، y) تكون النقطة المقابلة على المستوى الإحداثي Oxy.

ثم من (4) يأتي ما يلي:

.

نستبدل هذه المساواة في التعبير عن نصف القطر البؤري للنقطة M:

.

استخدمنا هنا المساواة (2) و (3).

هكذا،
. على نفس المنوال،
.

والآن لاحظ أنه من المساواة (4) يتبع ذلك

أو
إلخ.
، فإن عدم المساواة يلي:

.

ومن هنا يتبع ذلك بدوره

أو
و

,
. (5)

ومن التساوي (5) ينتج ذلك
، أي. النقطة M(x,y) هي نقطة القطع الناقص، وما إلى ذلك.

لقد تم إثبات النظرية.

تعريف. المعادلة (4) تسمى المعادلة القانونية للقطع الناقص.

تعريف. تسمى محاور الإحداثيات الأساسية للقطع الناقص بالمحاور الرئيسية للقطع الناقص.

تعريف. يُطلق على أصل نظام الإحداثيات القانوني للقطع الناقص مركز القطع الناقص.

البند 3. خصائص القطع الناقص.

نظرية. (خصائص القطع الناقص.)

1. في نظام الإحداثيات المتعارف عليه للقطع الناقص، كل شيء

نقاط القطع الناقص تقع في المستطيل

,
.

2. النقاط تكمن

3. القطع الناقص هو منحنى متماثل بالنسبة إلى

محاورهم الرئيسية.

4. مركز القطع الناقص هو مركز التماثل.

دليل. 1، 2) يتبع مباشرة من المعادلة القانونية للقطع الناقص.

3, 4) اجعل M(x, y) نقطة عشوائية في القطع الناقص. ثم تحقق إحداثياتها المعادلة (4). لكن إحداثيات النقاط تحقق أيضًا المعادلة (4)، وبالتالي فهي نقاط القطع الناقص، والتي تتبع منها بيانات النظرية.

لقد تم إثبات النظرية.

تعريف. الكمية 2a تسمى المحور الرئيسي للقطع الناقص، والكمية a تسمى المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص.

تعريف. الكمية 2b تسمى المحور الأصغر للقطع الناقص، والكمية b تسمى المحور شبه الأصغر للقطع الناقص.

تعريف. تسمى نقاط تقاطع القطع الناقص مع محاوره الرئيسية رؤوس القطع الناقص.

تعليق. يمكن بناء القطع الناقص على النحو التالي. على المستوى، "ندق مسمارًا في نقاط التركيز" ونربطها بطول الخيط
. ثم نأخذ قلم رصاص ونستخدمه لشد الخيط. ثم نقوم بتحريك قلم الرصاص على طول المستوى، مع التأكد من أن الخيط مشدود.

من تعريف الانحراف يتبع ذلك

دعونا نثبت الرقم أ ونوجه الرقم ج إلى الصفر. ثم في
,
و
. في الحد الذي نحصل عليه

أو
- معادلة الدائرة.

دعونا الآن نوجه
. ثم
,
ونلاحظ أن القطع الناقص في النهاية يتحول إلى قطعة مستقيمة
في تدوين الشكل 3.

البند 4. المعادلات البارامترية للقطع الناقص.

نظرية. يترك
- الأعداد الحقيقية التعسفية. ثم نظام المعادلات

,
(6)

هي معادلات حدودية للقطع الناقص في نظام الإحداثيات المتعارف عليه للقطع الناقص.

دليل. ويكفي إثبات أن نظام المعادلات (6) يعادل المعادلة (4) أي. لديهم نفس مجموعة الحلول.

1) ليكن (x, y) حلاً اعتباطيًا للنظام (6). قسّم المعادلة الأولى على أ، والثانية على ب، وقم بتربيع المعادلتين وأضف:

.

أولئك. أي حل (x، y) للنظام (6) يحقق المعادلة (4).

2) بالعكس ليكن الزوج (x,y) حلاً للمعادلة (4) أي.

.

ومن هذه المساواة يترتب على النقطة ذات الإحداثيات
تقع على دائرة وحدة نصف القطر ومركزها نقطة الأصل، أي. هي نقطة على دائرة مثلثية تقابلها زاوية معينة
:

من تعريف الجيب وجيب التمام يتبع ذلك مباشرة

,
، أين
، ويترتب على ذلك أن الزوج (x، y) هو حل للنظام (6)، الخ.

لقد تم إثبات النظرية.

تعليق. يمكن الحصول على القطع الناقص نتيجة "الضغط" الموحد لدائرة نصف قطرها a باتجاه محور الإحداثي السيني.

يترك
- معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل. "ضغط" الدائرة على محور الإحداثي ليس أكثر من تحويل للمستوى الإحداثي يتم وفقًا للقاعدة التالية. لكل نقطة M(x,y) نربط نقطة على نفس المستوى
، أين
,
- نسبة الضغط.

مع هذا التحويل، كل نقطة على الدائرة "تنتقل" إلى نقطة أخرى على المستوى، والتي لها نفس الإحداثي الإحداثي، ولكن بإحداثيات أصغر. لنعبر عن الإحداثي القديم لنقطة ما من خلال الإحداثي الجديد:

واستبدال الدوائر في المعادلة:

.

ومن هنا نحصل على:

. (7)

ويترتب على ذلك أنه إذا كانت النقطة M (x، y) تقع على الدائرة قبل تحويل "الضغط" ، أي. حققت إحداثياتها معادلة الدائرة، ثم بعد تحويل "الضغط" "تحولت" هذه النقطة إلى نقطة
، التي تحقق إحداثياتها معادلة القطع الناقص (7). إذا أردنا الحصول على معادلة القطع الناقص مع المحور شبه الأصغر ب، فإننا بحاجة إلى أخذ عامل الضغط

.

البند 5. الظل إلى القطع الناقص.

نظرية. يترك
- النقطة التعسفية للقطع الناقص

.

ثم معادلة المماس لهذا القطع الناقص عند النقطة
لديه النموذج:

. (8)

دليل. يكفي النظر في الحالة التي تقع فيها نقطة التماس في الربع الأول أو الثاني من المستوى الإحداثي:
. معادلة القطع الناقص في النصف العلوي من المستوى لها الشكل:

. (9)

دعونا نستخدم معادلة الظل للرسم البياني للوظيفة
عند هذه النقطة
:

أين
- قيمة مشتق دالة معينة عند نقطة ما
. يمكن اعتبار القطع الناقص في الربع الأول بمثابة رسم بياني للدالة (8). لنجد مشتقتها وقيمتها عند نقطة التماس:

,

. هنا استفدنا من حقيقة أن نقطة الظل
هي نقطة من القطع الناقص وبالتالي فإن إحداثياتها تلبي معادلة القطع الناقص (9)، أي.

.

نعوض بالقيمة الموجودة للمشتق في معادلة الظل (10):

,

حيث نحصل على:

هذا يعني:

دعونا نقسم هذه المساواة على
:

.

يبقى أن نلاحظ ذلك
، لأن نقطة
ينتمي إلى القطع الناقص وإحداثياته ​​تحقق معادلته.

يتم إثبات معادلة الظل (8) بطريقة مماثلة عند نقطة التماس الواقعة في الربع الثالث أو الرابع من المستوى الإحداثي.

وأخيرًا، يمكننا بسهولة التحقق من أن المعادلة (8) تعطي معادلة الظل عند النقاط
,
:

أو
، و
أو
.

لقد تم إثبات النظرية.

البند 6. خاصية مرآة القطع الناقص.

نظرية. المماس للقطع الناقص له زوايا متساوية مع نصف القطر البؤري لنقطة التماس.

يترك
- نقطة الاتصال،
,
- نصف القطر البؤري لنقطة التماس، P وQ - إسقاطات البؤر على المماس المرسوم على القطع الناقص عند هذه النقطة
.

تنص النظرية على ذلك

. (11)

يمكن تفسير هذه المساواة على أنها تساوي زوايا السقوط وانعكاس شعاع الضوء من القطع الناقص المنطلق من بؤرته. تسمى هذه الخاصية خاصية المرآة للقطع الناقص:

شعاع الضوء المنطلق من بؤرة القطع الناقص، بعد انعكاسه من مرآة القطع الناقص، يمر عبر بؤرة أخرى للقطع الناقص.

إثبات النظرية. لإثبات تساوي الزوايا (11)، سنثبت تشابه المثلثات
و
، فيها الأطراف
و
سوف تكون مماثلة. وبما أن المثلثين قائما الزاوية، فهذا يكفي لإثبات المساواة

تعريف. القطع الناقص هو المحل الهندسي للنقاط على المستوى، ومجموع مسافات كل منها من نقطتين معينتين في هذا المستوى، تسمى البؤر، هو قيمة ثابتة (شريطة أن تكون هذه القيمة أكبر من المسافة بين البؤرتين) .

دعونا نشير إلى البؤر من خلال المسافة بينهما - وقيمة ثابتة، يساوي المبلغالمسافات من كل نقطة من نقاط القطع الناقص إلى البؤر خلال (حسب الشرط).

لنقم ببناء نظام إحداثيات ديكارتي بحيث تكون البؤر على محور الإحداثيات، ويتزامن أصل الإحداثيات مع منتصف المقطع (الشكل 44). ثم سيكون للبؤر الإحداثيات التالية: التركيز الأيسر والتركيز الأيمن. دعونا نشتق معادلة القطع الناقص في نظام الإحداثيات الذي اخترناه. لهذا الغرض، النظر في نقطة تعسفية من القطع الناقص. حسب تعريف القطع الناقص، فإن مجموع المسافات من هذه النقطة إلى البؤر يساوي:

باستخدام صيغة المسافة بين نقطتين، نحصل على ذلك

لتبسيط هذه المعادلة نكتبها على الصورة

ثم بتربيع طرفي المعادلة، نحصل على

أو بعد التبسيط الواضح:

الآن نقوم بتربيع طرفي المعادلة مرة أخرى، وبعد ذلك لدينا:

أو بعد تحولات متطابقة:

لأنه، وفقًا للشرط الوارد في تعريف القطع الناقص، يكون الرقم موجبًا. دعونا نقدم التدوين

عندها ستأخذ المعادلة الشكل التالي:

وبتعريف القطع الناقص، فإن إحداثيات أي نقطة من نقاطه تحقق المعادلة (26). لكن المعادلة (29) هي نتيجة للمعادلة (26). وبالتالي، فهو محقق أيضًا بإحداثيات أي نقطة من القطع الناقص.

يمكن إثبات أن إحداثيات النقاط التي لا تقع على القطع الناقص لا تحقق المعادلة (29). وبالتالي فإن المعادلة (29) هي معادلة القطع الناقص. وتسمى المعادلة القانونية للقطع الناقص.

دعونا نحدد شكل القطع الناقص باستخدام معادلته الأساسية.

بداية، دعونا ننتبه إلى أن هذه المعادلة تحتوي فقط حتى درجاتس و ص. وهذا يعني أنه إذا كانت أي نقطة تنتمي إلى القطع الناقص، فإنها تحتوي أيضًا على نقطة متناظرة مع النقطة بالنسبة لمحور الإحداثي، ونقطة متناظرة مع النقطة بالنسبة للمحور الإحداثي. وبالتالي، فإن القطع الناقص له محوران متعامدان من التماثل، والذي يتطابق في نظام الإحداثيات الذي اخترناه مع محاور الإحداثيات. ومن الآن فصاعدا سوف نسمي محاور التماثل للقطع الناقص محاور القطع الناقص، ونقطة تقاطعهما مركز القطع الناقص. المحور الذي تقع عليه بؤرة القطع الناقص (في في هذه الحالةالمحور السيني) يسمى المحور البؤري.

دعونا أولاً نحدد شكل القطع الناقص في الربع الأول. للقيام بذلك، دعونا نحل المعادلة (28) لـ y:

من الواضح أنه هنا، حيث أن y تأخذ قيمًا خيالية. كلما زادت من 0 إلى a، تنخفض y من b إلى 0. سيكون جزء القطع الناقص الموجود في الربع الأول عبارة عن قوس يحده النقاط B (0؛ b) ويقع على محاور الإحداثيات (الشكل 45). وباستخدام تماثل القطع الناقص، نصل إلى نتيجة مفادها أن القطع الناقص له الشكل الموضح في الشكل. 45.

تسمى نقاط تقاطع القطع الناقص مع المحاور رؤوس القطع الناقص. ويترتب على تماثل القطع الناقص أنه بالإضافة إلى القمم، يحتوي القطع الناقص على رأسين آخرين (انظر الشكل 45).

تسمى الأجزاء والرؤوس المقابلة للقطع الناقص، وكذلك أطوالها، بالمحاور الكبرى والصغرى للقطع الناقص، على التوالي. يُطلق على الرقمين a وb أنصاف المحاور الكبرى والصغرى للقطع الناقص، على التوالي.

تسمى نسبة نصف المسافة بين البؤرتين إلى المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص الانحراف المركزي للقطع الناقص وعادة ما يُشار إليها بالحرف:

بما أن الانحراف المركزي للقطع الناقص أقل من الوحدة: الانحراف المركزي يميز شكل القطع الناقص. في الواقع، من الصيغة (28) يترتب على ذلك أنه كلما كان انحراف القطع الناقص أصغر، قل اختلاف نصف المحور الصغير ب عن شبه المحور الرئيسي أ، أي كلما كان القطع الناقص أقل استطالة (على طول المحور البؤري).

في الحالة المقيدة، تكون النتيجة دائرة نصف قطرها a: أو . في الوقت نفسه، يبدو أن بؤر القطع الناقص تندمج عند نقطة واحدة - مركز الدائرة. انحراف الدائرة هو صفر:

يمكن إنشاء الاتصال بين القطع الناقص والدائرة من وجهة نظر أخرى. دعونا نبين أن القطع الناقص مع نصف المحاور a و b يمكن اعتباره إسقاطًا لدائرة نصف قطرها a.

دعونا نفكر في طائرتين P و Q، تشكلان فيما بينهما مثل هذه الزاوية a، والتي (الشكل 46). دعونا نبني نظام إحداثيات في المستوى P، وفي المستوى Q نظام أوكسي ذو أصل مشترك O ومحور الإحداثي المشترك يتزامن مع خط تقاطع المستويات. خذ بعين الاعتبار دائرة في المستوى P

مع مركز عند نقطة الأصل ونصف قطر يساوي أ. فليكن نقطة مختارة بشكل تعسفي على الدائرة، وليكن إسقاطها على المستوى Q، وليكن إسقاط النقطة M على محور الثور. دعونا نبين أن النقطة تقع على شكل بيضاوي ذي نصفي المحورين a وb.

خطوط من الدرجة الثانية.
القطع الناقص ومعادلته القانونية. دائرة

بعد دراسة مستفيضة خطوط مستقيمة في الطائرةنواصل دراسة هندسة العالم ثنائي الأبعاد. لقد تضاعفت المخاطر وأدعوك لزيارة معرض خلاب من القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ، والتي تمثل ممثلين نموذجيين خطوط الترتيب الثاني. لقد بدأت الرحلة بالفعل، أولا معلومات مختصرةنبذة عن المعرض بأكمله في طوابق المتحف المختلفة:

مفهوم الخط الجبري وترتيبه

يسمى الخط الموجود على المستوى جبري، إذا كان في نظام الإحداثيات التقاربيمعادلتها لها الشكل، حيث هي كثيرة الحدود تتكون من حدود الشكل (- عدد حقيقي، - أعداد صحيحة غير سالبة).

كما ترون، معادلة الخط الجبري لا تحتوي على جيب التمام، وجيب التمام، واللوغاريتمات وغيرها من العالم الوظيفي. فقط X و Y موجودان الأعداد الصحيحة غير السالبةدرجات.

ترتيب الخطيساوي الحد الأقصى لقيمة الشروط الواردة فيه.

وفقًا للنظرية المقابلة، فإن مفهوم الخط الجبري وترتيبه لا يعتمدان على الاختيار نظام الإحداثيات التقاربيلذلك، لسهولة الوجود، نفترض أن جميع الحسابات اللاحقة تتم في الإحداثيات الديكارتية.

المعادلة العامةيحتوي سطر الترتيب الثاني على النموذج حيث - الأعداد الحقيقية التعسفية (ومن المعتاد كتابتها بعامل اثنين)والمعاملات لا تساوي الصفر في نفس الوقت.

إذا، يتم تبسيط المعادلة إلى وإذا كانت المعاملات لا تساوي الصفر في نفس الوقت، فهذا هو بالضبط المعادلة العامة للخط "المسطح".، التي تمثل خط الطلب الأول.

لقد فهم الكثيرون معنى المصطلحات الجديدة، ولكن، مع ذلك، من أجل إتقان المادة بنسبة 100٪، ندخل أصابعنا في المقبس. لتحديد ترتيب السطر، تحتاج إلى التكرار جميع المصطلحاتمعادلاتها وإيجاد لكل منها مجموع الدرجاتالمتغيرات الواردة.

على سبيل المثال:

يحتوي المصطلح على "x" للقوة الأولى؛
يحتوي المصطلح على "Y" للقوة الأولى؛
لا توجد متغيرات في الحد، وبالتالي فإن مجموع قواها هو صفر.

الآن دعونا نكتشف لماذا تحدد المعادلة الخط ثانيةطلب:

يحتوي المصطلح على "x" للقوة الثانية؛
يحتوي الجمع على مجموع قوى المتغيرات: 1 + 1 = 2؛
يحتوي المصطلح على "Y" للقوة الثانية؛
جميع المصطلحات الأخرى - أقلدرجات.

الحد الأقصى للقيمة: 2

إذا أضفنا، على سبيل المثال، إلى المعادلة لدينا، فسيتم تحديد ذلك بالفعل خط الدرجة الثالثة. من الواضح أن الشكل العام للمعادلة الخطية من الدرجة الثالثة يحتوي على "مجموعة كاملة" من الحدود، حيث يساوي مجموع قوى المتغيرات ثلاثة:
حيث أن المعاملات لا تساوي الصفر في نفس الوقت.

في حالة قيامك بإضافة واحد أو أكثر من المصطلحات المناسبة التي تحتوي على ، ثم سنتحدث عنه بالفعل خطوط الترتيب الرابع، إلخ.

سيتعين علينا مواجهة الخطوط الجبرية للطلبات الثالثة والرابعة والأعلى أكثر من مرة، على وجه الخصوص، عند التعرف عليها نظام الإحداثيات القطبية.

ومع ذلك، دعونا نعود إلى المعادلة العامة ونتذكر أبسط الاختلافات المدرسية. على سبيل المثال، يقترح القطع المكافئ نفسه، والذي يمكن بسهولة اختزال معادلته إلى المظهر العاموالقطع الزائد مع المعادلة المكافئة . ومع ذلك، ليس كل شيء على نحو سلس جدا ...

العيب الكبير في المعادلة العامة هو أنه ليس من الواضح دائمًا الخط الذي تحدده. حتى في أبسط الحالات، لن تدرك على الفور أن هذا مبالغة. مثل هذه التخطيطات جيدة فقط في حفلة تنكرية، لذلك نعتبرها في سياق الهندسة التحليلية مهمة نموذجية جلب معادلة خط الترتيب الثاني إلى الشكل القانوني.

ما هو الشكل القانوني للمعادلة؟

هذا مقبول بشكل عام طريقة العرض القياسيةالمعادلة، عندما يصبح واضحًا في غضون ثوانٍ ما هو الكائن الهندسي الذي تحدده. بالإضافة إلى ذلك، فإن النموذج الكنسي مناسب للغاية لحل الكثير المهام العملية. لذلك، على سبيل المثال، وفقا للمعادلة القانونية "مسطحة" على التواليأولاً، من الواضح على الفور أن هذا خط مستقيم، وثانيًا، النقطة التي تنتمي إليه ومتجه الاتجاه يمكن رؤيتهما بسهولة.

ومن الواضح أن أي خط الطلب الأولهو خط مستقيم. في الطابق الثاني، لم يعد الحارس هو الذي ينتظرنا، بل مجموعة أكثر تنوعًا مكونة من تسعة تماثيل:

تصنيف خطوط الدرجة الثانية

باستخدام مجمع خاصالإجراءات، يتم تقليل أي معادلة خط من الدرجة الثانية إلى أحد الأشكال التالية:

(وهي أرقام حقيقية موجبة)

1) - المعادلة القانونية للقطع الناقص؛

2) – المعادلة القانونية للقطع الزائد؛

3) - المعادلة الأساسية للقطع المكافئ؛

4) – خياليالشكل البيضاوي؛

5) – زوج من الخطوط المتقاطعة؛

6) – زوج خياليالخطوط المتقاطعة (مع نقطة تقاطع صالحة واحدة عند الأصل)؛

7) – زوج من الخطوط المتوازية.

8) – زوج خياليخطوط متوازية؛

9) – زوج من الخطوط المتطابقة.

قد يكون لدى بعض القراء انطباع بأن القائمة غير مكتملة. على سبيل المثال، في النقطة رقم 7، تحدد المعادلة الزوج مباشرالموازية للمحور، والسؤال الذي يطرح نفسه: أين هي المعادلة التي تحدد المستقيمات الموازية للمحور الإحداثي؟ الإجابة عليه لا يعتبر الكنسي. تمثل الخطوط المستقيمة نفس الحالة القياسية، مدورة بمقدار 90 درجة، والإدخال الإضافي في التصنيف زائد عن الحاجة، لأنه لا يجلب أي شيء جديد بشكل أساسي.

وبالتالي هناك تسعة وتسعة فقط أنواع مختلفةخطوط من الدرجة الثانية، ولكن في الممارسة العملية يتم العثور عليها في أغلب الأحيان القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ.

دعونا ننظر إلى القطع الناقص أولا. كالعادة، أركز على تلك النقاط التي لها أهمية عظيمةلحل المسائل، وإذا كنت بحاجة إلى اشتقاق مفصل للصيغ وأدلة النظريات، فيرجى الرجوع، على سبيل المثال، إلى الكتاب المدرسي الذي كتبه بازيليف/أتاناسيان أو ألكساندروف.

القطع الناقص ومعادلته القانونية

تهجئة... من فضلك لا تكرر أخطاء بعض مستخدمي ياندكس المهتمين بـ "كيفية بناء القطع الناقص"، "الفرق بين القطع الناقص والبيضاوي" و"غرابة الأطوار في القطع الناقص".

المعادلة الأساسية للقطع الناقص لها الشكل، حيث توجد أرقام حقيقية موجبة، و. سأقوم بصياغة تعريف القطع الناقص لاحقًا، ولكن حان الوقت الآن لأخذ استراحة من متجر الحديث وحل مشكلة شائعة:

كيفية بناء القطع الناقص؟

نعم، فقط خذها وارسمها فقط. تحدث المهمة بشكل متكرر، ولا يتعامل جزء كبير من الطلاب مع الرسم بشكل صحيح:

مثال 1

أنشئ القطع الناقص الذي تعطيه المعادلة

حل: أولاً، لنحول المعادلة إلى الصيغة الأساسية:

لماذا جلب؟ إحدى مزايا المعادلة الأساسية هي أنها تسمح لك بالتحديد الفوري رؤوس القطع الناقصوالتي تقع في نقاط. من السهل أن نرى أن إحداثيات كل نقطة من هذه النقاط تحقق المعادلة.

في هذه الحالة :


القطعة المستقيمةمُسَمًّى المحور الرئيسيالشكل البيضاوي؛
القطعة المستقيمة – محور صغير;
رقم مُسَمًّى رمح شبه رئيسيالشكل البيضاوي؛
رقم – محور صغير.
في مثالنا: .

لتتخيل بسرعة كيف يبدو شكل قطع ناقص معين، ما عليك سوى إلقاء نظرة على قيمتي "a" و"be" في معادلته الأساسية.

كل شيء على ما يرام وسلس وجميل، ولكن هناك تحذير واحد: لقد قمت بالرسم باستخدام البرنامج. ويمكنك الرسم باستخدام أي تطبيق. ومع ذلك، في الواقع القاسيهناك قطعة من الورق مربعة الشكل على الطاولة، والفئران ترقص في دوائر على أيدينا. بالطبع، يمكن للأشخاص ذوي المواهب الفنية أن يجادلوا، ولكن لديك أيضًا فئران (على الرغم من أنها أصغر حجمًا). ليس عبثًا أن اخترعت البشرية المسطرة والبوصلة والمنقلة وغيرها من الأجهزة البسيطة للرسم.

لهذا السبب، من غير المرجح أن نكون قادرين على رسم قطع ناقص بدقة بمعرفة القمم فقط. لا بأس إذا كان القطع الناقص صغيرًا، على سبيل المثال، مع أنصاف محاور. بدلا من ذلك، يمكنك تقليل الحجم، وبالتالي، أبعاد الرسم. ولكن في الحالة العامةمن المرغوب فيه للغاية العثور على نقاط إضافية.

هناك طريقتان لبناء القطع الناقص - هندسية وجبرية. لا أحب البناء باستخدام البوصلة والمسطرة لأن الخوارزمية ليست الأقصر والرسم مزدحم بشكل كبير. في حالة الطوارئ، يرجى الرجوع إلى الكتاب المدرسي، ولكن في الواقع يكون استخدام أدوات الجبر أكثر عقلانية. من معادلة القطع الناقص في المسودة نعبر بسرعة عن:

ثم تنقسم المعادلة إلى دالتين:
- يحدد القوس العلوي للقطع الناقص؛
- يحدد القوس السفلي للقطع الناقص.

القطع الناقص الذي تحدده المعادلة القانونية هو متماثل بالنسبة إلى محاور الإحداثيات، وكذلك بالنسبة إلى الأصل. وهذا أمر رائع - فالتماثل دائمًا ما يكون نذيرًا بالهدايا المجانية. من الواضح أنه يكفي التعامل مع الربع الإحداثي الأول، لذلك نحن بحاجة إلى الوظيفة . يطرح مسألة العثور على نقاط إضافية مع الإحداثيات . دعونا نضغط على ثلاث رسائل SMS على الآلة الحاسبة:

بالطبع، من الجيد أيضًا أنه إذا تم ارتكاب خطأ جسيم في الحسابات، فسوف يصبح واضحًا على الفور أثناء البناء.

ضع علامة على النقاط الموجودة على الرسم (اللون الأحمر)، نقاط متناظرةعلى الأقواس المتبقية ( لون ازرق) وقم بتوصيل الشركة بأكملها بعناية بخط:


من الأفضل رسم المخطط الأولي بشكل رقيق جدًا، وبعد ذلك فقط قم بالضغط باستخدام قلم رصاص. يجب أن تكون النتيجة قطعًا ناقصًا لائقًا تمامًا. بالمناسبة، هل تريد أن تعرف ما هو هذا المنحنى؟

تعريف القطع الناقص. بؤر القطع الناقص وغرابة الأطوار القطع الناقص

القطع الناقص هو حالة خاصةبيضاوي لا ينبغي فهم كلمة "بيضاوي" بالمعنى التافه ("رسم الطفل شكلًا بيضاويًا" وما إلى ذلك). هذا مصطلح رياضي له صياغة مفصلة. ليس الغرض من هذا الدرس النظر في نظرية الأشكال البيضاوية وأنواعها المختلفة، والتي لا تحظى بأي اهتمام تقريبًا دورة قياسيةالهندسة التحليلية. وبحسب المزيد الاحتياجات الحالية، ننتقل فورًا إلى التعريف الصارم للقطع الناقص:

الشكل البيضاويهي مجموعة جميع نقاط المستوى، ويطلق عليها مجموع المسافات إلى كل منها من نقطتين محددتين الخدعالقطع الناقص، هو كمية ثابتة، تساوي عدديا طول المحور الرئيسي لهذا القطع الناقص: .
وفي هذه الحالة تكون المسافات بين البؤر أقل من هذه القيمة: .

الآن سوف يصبح كل شيء أكثر وضوحا:

تخيل أن النقطة الزرقاء "تنتقل" على طول القطع الناقص. لذلك، بغض النظر عن نقطة القطع الناقص التي نأخذها، فإن مجموع أطوال القطع سيكون دائمًا هو نفسه:

دعونا نتأكد من أن قيمة المجموع في مثالنا تساوي ثمانية. ضع النقطة "أم" ذهنيًا في الرأس الأيمن للقطع الناقص، ثم: وهو ما يجب التحقق منه.

طريقة أخرى للرسم تعتمد على تعريف القطع الناقص. في بعض الأحيان تكون الرياضيات العليا هي سبب التوتر والإجهاد، لذا فقد حان الوقت لإجراء جلسة تفريغ أخرى. يرجى أخذ ورق Whatman أو ورقة كبيرة من الورق المقوى وتثبيتها على الطاولة بمسامير. ستكون هذه حيلًا. اربطي خيطًا أخضر برؤوس الظفر البارزة واسحبيه بالكامل بقلم رصاص. سينتهي قلم الرصاص عند نقطة معينة تنتمي إلى الشكل الناقص. ابدأ الآن برسم قلم الرصاص على طول الورقة، مع إبقاء الخيط الأخضر مشدودًا بإحكام. استمر في العملية حتى تعود إلى نقطة البداية...رائع...يمكن مراجعة الرسم عند طبيب ومعلم =)

كيفية العثور على بؤرة القطع الناقص؟

في المثال أعلاه قمت بتصوير نقاط التركيز “الجاهزة”، والآن سنتعلم كيفية استخراجها من أعماق الهندسة.

إذا تم إعطاء شكل بيضاوي بواسطة معادلة قانونية، فإن بؤرته لها إحداثيات ، أين هي المسافة من كل بؤرة إلى مركز تناظر القطع الناقص.

الحسابات أبسط من البساطة:

! لا يمكن تحديد الإحداثيات المحددة للبؤر بمعنى "tse"!وأكرر أن هذا هو المسافة من كل التركيز إلى المركز(والذي في الحالة العامة لا يجب أن يكون موجودًا بالضبط في الأصل).
وبالتالي، لا يمكن أيضًا ربط المسافة بين البؤرتين بالموضع القانوني للقطع الناقص. بمعنى آخر، يمكن نقل الشكل الناقص إلى مكان آخر وستبقى قيمته دون تغيير، بينما ستغير البؤر إحداثياتها بشكل طبيعي. يرجى الأخذ بالإعتبار هذه اللحظةأثناء دراسة الموضوع.

القطع الناقص الانحراف ومعناه الهندسي

الانحراف المركزي للقطع الناقص هو النسبة التي يمكن أن تأخذ القيم ضمن النطاق.

في حالتنا هذه:

دعونا نكتشف كيف يعتمد شكل القطع الناقص على انحرافه. لهذا إصلاح القمم اليسرى واليمنىللقطع الناقص قيد النظر، أي أن قيمة المحور شبه الرئيسي ستبقى ثابتة. ثم صيغة الانحراف سوف تأخذ الشكل: .

لنبدأ بتقريب قيمة الانحراف إلى الوحدة. هذا ممكن فقط إذا . ماذا يعني ذلك؟ ... تذكر الحيل . وهذا يعني أن بؤر القطع الناقص سوف "تتحرك بعيدًا" على طول محور الإحداثي السيني إلى القمم الجانبية. وبما أن "الشرائح الخضراء ليست مطاطية"، فإن القطع الناقص سيبدأ حتما في التسطيح، ويتحول إلى نقانق أرق وأرق، معلقة على المحور.

هكذا، كيف قيمة أقربانحراف القطع الناقص إلى الوحدة، وأكثر استطالة القطع الناقص.

الآن دعونا نمثل العملية المعاكسة: بؤرة القطع الناقص ساروا نحو بعضهم البعض، يقتربون من المركز. وهذا يعني أن قيمة "ce" تصبح أقل فأقل، وبالتالي يميل الانحراف إلى الصفر: .
في هذه الحالة، على العكس من ذلك، فإن "القطاعات الخضراء" سوف "تزدحم" وستبدأ في "دفع" خط القطع الناقص لأعلى ولأسفل.

هكذا، كلما كانت قيمة الانحراف أقرب إلى الصفر، كلما كان القطع الناقص أكثر تشابهًا... انظر إلى الحالة المقيدة عندما يتم جمع البؤر بنجاح في الأصل:

الدائرة هي حالة خاصة من القطع الناقص

وبالفعل، في حالة تساوي أنصاف المحاور، تأخذ المعادلة القانونية للقطع الناقص الشكل، والتي تتحول بشكل انعكاسي إلى معادلة دائرة مركزها عند أصل نصف القطر "أ"، المعروفة من المدرسة.

في الممارسة العملية، يتم استخدام التدوين بالحرف "الناطق" "er" في أغلب الأحيان: . نصف القطر هو طول القطعة، مع إزالة كل نقطة من الدائرة من المركز بمسافة نصف قطرها.

لاحظ أن تعريف القطع الناقص يظل صحيحًا تمامًا: البؤرتان متطابقتان، ومجموع أطوال القطع المتطابقة لكل نقطة على الدائرة ثابت. وبما أن المسافة بين البؤرتين هي إذن الانحراف المركزي لأي دائرة هو صفر.

إن إنشاء دائرة أمر سهل وسريع، فقط استخدم البوصلة. ومع ذلك، في بعض الأحيان يكون من الضروري معرفة إحداثيات بعض نقاطها، في هذه الحالة نسير بالطريقة المألوفة - نأتي بالمعادلة إلى صيغة ماتانوف المبهجة:

- وظيفة نصف الدائرة العلوي؛
- وظيفة نصف الدائرة السفلية.

وبعد ذلك نجد القيم المطلوبة, يميز, دمجوالقيام بأشياء جيدة أخرى.

المقال بالطبع للإشارة فقط، لكن كيف يمكنك العيش في العالم بدون حب؟ مهمة إبداعية ل قرار مستقل

مثال 2

قم بتكوين المعادلة القانونية للقطع الناقص إذا كانت إحدى بؤرته ومحوره شبه الأصغر معروفة (المركز عند نقطة الأصل). ابحث عن القمم والنقاط الإضافية وارسم خطًا على الرسم. حساب الانحراف.

الحل والرسم في نهاية الدرس

دعونا نضيف الإجراء:

تدوير وبالتوازي ترجمة القطع الناقص

دعونا نعود إلى المعادلة القانونية للقطع الناقص، أي إلى الحالة التي عذب سرها العقول الفضولية منذ أول ذكر لهذا المنحنى. لذلك نظرنا إلى القطع الناقص ولكن أليس من الممكن عمليا تحقيق المعادلة ؟ بعد كل شيء، يبدو هنا أنه شكل بيضاوي أيضًا!

هذا النوع من المعادلات نادر، لكنه موجود. وهو في الواقع يحدد الشكل الناقص. دعونا نزيل الغموض:

نتيجة للبناء، تم الحصول على القطع الناقص الأصلي لدينا، بتدوير 90 درجة. إنه، - هذا دخول غير قانونيالشكل البيضاوي . سِجِلّ!- المعادلة لا يحدد أي قطع ناقص آخر، حيث لا توجد نقاط (بؤر) على المحور تلبي تعريف القطع الناقص.

11.1. مفاهيم أساسية

لنفكر في الخطوط المحددة بمعادلات الدرجة الثانية بالنسبة للإحداثيات الحالية

معاملات المعادلة هي أرقام حقيقية، لكن واحدًا على الأقل من الأرقام A أو B أو C ليس صفرًا. تسمى هذه الخطوط خطوط (منحنيات) من الدرجة الثانية. أدناه سنوضح أن المعادلة (11.1) تحدد الدائرة أو القطع الناقص أو القطع الزائد أو القطع المكافئ على المستوى. قبل الانتقال إلى هذه العبارة، دعونا ندرس خصائص المنحنيات المذكورة.

11.2. دائرة

أبسط منحنى من الدرجة الثانية هو الدائرة. تذكر أن الدائرة التي نصف قطرها R ومركزها عند نقطة ما هي مجموعة جميع النقاط M للمستوى التي تحقق الشرط. دع نقطة في نظام إحداثيات مستطيل لها إحداثيات x 0 و y 0 و - نقطة عشوائية على الدائرة (انظر الشكل 48).

ثم من الشرط نحصل على المعادلة

(11.2)

تتحقق المعادلة (11.2) بإحداثيات أي نقطة على دائرة معينة ولا تتحقق بإحداثيات أي نقطة غير واقعة على الدائرة.

تسمى المعادلة (11.2). المعادلة القانونية للدائرة

على وجه الخصوص، الإعداد و ، نحصل على معادلة الدائرة التي مركزها عند نقطة الأصل .

معادلة الدائرة (11.2) بعد التحويلات البسيطة سوف تأخذ الشكل . عند مقارنة هذه المعادلة بالمعادلة العامة (11.1) لمنحنى من الدرجة الثانية، فمن السهل ملاحظة توافر شرطين لمعادلة الدائرة:

1) معاملات x 2 و y 2 متساوية مع بعضها البعض؛

2) لا يوجد عضو يحتوي على المنتج xy للإحداثيات الحالية.

دعونا ننظر في المشكلة العكسية. وبوضع القيم في المعادلة (11.1) نحصل عليها

دعونا نحول هذه المعادلة:

(11.4)

ويترتب على ذلك أن المعادلة (11.3) تحدد دائرة تحت الشرط . مركزها عند النقطة ، ونصف القطر

.

لو ، فإن المعادلة (11.3) لها الشكل

.

يتم استيفاءها بإحداثيات نقطة واحدة . في هذه الحالة يقولون: "لقد تحولت الدائرة إلى نقطة" (نصف قطرها صفر).

لو ثم المعادلة (11.4) وبالتالي معادلة مكافئة(11.3) لن يحدد أي سطر منذ ذلك الحين الجزء الأيمنفالمعادلة (11.4) سالبة، واليسرى ليست سالبة (قل: الدائرة وهمية).

11.3. الشكل البيضاوي

معادلة القطع الناقص الكنسي

الشكل البيضاوي هي مجموعة جميع نقاط المستوى، ومجموع المسافات من كل منها إلى نقطتين معينتين من هذا المستوى، تسمى الخدع ، هي قيمة ثابتة أكبر من المسافة بين البؤرتين.

دعونا نشير إلى التركيز بواسطة ف 1و ف 2، المسافة بينهما 2 جومجموع المسافات من نقطة تعسفية للقطع الناقص إلى البؤر - في 2 أ(انظر الشكل 49). حسب التعريف 2 أ > 2ج، أي. أ > ج.

لاشتقاق معادلة القطع الناقص، نختار نظام الإحداثيات بحيث تكون البؤرتان ف 1و ف 2تقع على المحور، وتزامن الأصل مع منتصف القطعة ف 1 ف 2. ثم سيكون للبؤر الإحداثيات التالية: و .

اسمحوا أن تكون نقطة التعسفي من القطع الناقص. ثم، وفقا لتعريف القطع الناقص، أي.

هذه، في جوهرها، هي معادلة القطع الناقص.

دعونا نحول المعادلة (11.5) إلى المزيد عرض بسيطبالطريقة الآتية:

لأن أ>مع، الذي - التي . هيا نضع

(11.6)

ثم المعادلة الأخيرة سوف تأخذ الشكل أو

(11.7)

ويمكن إثبات أن المعادلة (11.7) تعادل المعادلة الأصلية. تسمى معادلة القطع الناقص الأساسية .

القطع الناقص هو منحنى من الدرجة الثانية.

دراسة شكل القطع الناقص باستخدام معادلته

دعونا نحدد شكل القطع الناقص باستخدام معادلته الأساسية.

1. المعادلة (11.7) تحتوي على x وy فقط في قوى زوجية، فإذا كانت نقطة تنتمي إلى القطع الناقص، فإن النقطتين،، تنتميان إليها أيضًا. ويترتب على ذلك أن القطع الناقص متماثل بالنسبة للمحاور، وكذلك بالنسبة للنقطة التي تسمى مركز القطع الناقص.

2. أوجد نقاط تقاطع القطع الناقص مع محاور الإحداثيات. بوضع ، نجد نقطتين و حيث يتقاطع المحور مع القطع الناقص (انظر الشكل 50). وبتعويض المعادلة (11.7) نجد نقاط تقاطع القطع الناقص مع المحور: و . نقاط أ 1 , أ2 , ب 1, ب 2وتسمى رؤوس القطع الناقص. شرائح أ 1 أ2و ب1 ب2وكذلك أطوالها 2 أو 2 بيتم استدعاؤها وفقا لذلك المحاور الكبرى والصغرىالشكل البيضاوي. أعداد أو بتسمى الكبيرة والصغيرة على التوالي مهاوي المحورالشكل البيضاوي.

3. من المعادلة (11.7) يترتب على أن كل حد في الطرف الأيسر لا يزيد عن واحد، أي. عدم المساواة و أو و تحدث. وبالتالي فإن جميع نقاط القطع الناقص تقع داخل المستطيل الذي تشكله الخطوط المستقيمة.

4. في المعادلة (11.7) مجموع الحدود غير السالبة ويساوي واحدا. وبالتالي، كلما زاد أحد الحدود، نقص الآخر، أي إذا زاد نقص، والعكس صحيح.

ويترتب على ما سبق أن القطع الناقص له الشكل الموضح في الشكل. 50 (منحنى مغلق بيضاوي).

مزيد من المعلومات حول القطع الناقص

يعتمد شكل القطع الناقص على النسبة. عندما يتحول القطع الناقص إلى دائرة، فإن معادلة القطع الناقص (11.7) تأخذ الشكل . غالبًا ما تستخدم النسبة لوصف شكل القطع الناقص. تسمى نسبة نصف المسافة بين البؤر إلى المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص الانحراف المركزي للقطع الناقص ويشار إلى o6o بالحرف ε ("epsilon"):

مع 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

وهذا يدل على أنه كلما كان انحراف القطع الناقص أصغر، كلما كان القطع الناقص أقل تسطيحًا؛ إذا وضعنا ε = 0، فإن القطع الناقص يتحول إلى دائرة.

دع M(x;y) تكون نقطة تعسفية للقطع الناقص مع البؤرتين F 1 وF 2 (انظر الشكل 51). تسمى أطوال القطع F 1 M = r 1 و F 2 M = r 2 نصف القطر البؤري للنقطة M. بوضوح،

الصيغ تحمل

يتم استدعاء الخطوط المباشرة

نظرية 11.1.إذا كانت المسافة من نقطة تعسفية في القطع الناقص إلى بعض البؤرة، d هي المسافة من نفس النقطة إلى الدليل المقابل لهذا التركيز، فإن النسبة هي قيمة ثابتة تساوي انحراف القطع الناقص:

ومن المساواة (11.6) يترتب على ذلك. إذا، فإن المعادلة (11.7) تحدد القطع الناقص، الذي يقع محوره الرئيسي على محور Oy، والمحور الأصغر على محور الثور (انظر الشكل 52). بؤر مثل هذا القطع الناقص هي في نقاط وأين .

11.4. القطع الزائد

معادلة القطع الزائد الكنسي

مقارنة مبالغ فيها هي مجموعة جميع نقاط المستوى، ومعامل الفرق في المسافات من كل منها إلى نقطتين معلومتين من هذا المستوى، تسمى الخدع ، هي قيمة ثابتة أقل من المسافة بين البؤرتين.

دعونا نشير إلى التركيز بواسطة ف 1و ف 2المسافة بينهما هي 2 ثانيةومعامل الفرق في المسافات من كل نقطة من القطع الزائد إلى البؤر 2 أ. أ-بريوري 2 أ < 2 ثانية، أي. أ < ج.

لاشتقاق معادلة القطع الزائد، نختار نظام الإحداثيات بحيث تكون البؤر ف 1و ف 2تقع على المحور، وتزامن الأصل مع منتصف القطعة ف 1 ف 2(انظر الشكل 53). ثم سيكون للبؤر إحداثيات و

اسمحوا أن تكون نقطة تعسفية من القطع الزائد. ثم حسب تعريف القطع الزائد أو، أي بعد التبسيط، كما حدث عند اشتقاق معادلة القطع الناقص، نحصل على معادلة القطع الزائد الكنسي

(11.9)

(11.10)

القطع الزائد هو خط من الدرجة الثانية.

دراسة شكل القطع الزائد باستخدام معادلته

دعونا نحدد شكل القطع الزائد باستخدام معادلته الكاجونية.

1. المعادلة (11.9) تحتوي على x وy فقط في قوى زوجية. وبالتالي، فإن القطع الزائد يكون متماثلًا حول المحاور، وكذلك حول النقطة التي تسمى مركز القطع الزائد.

2. أوجد نقاط تقاطع القطع الزائد مع محاور الإحداثيات. وبتعويض المعادلة (11.9) نجد نقطتي تقاطع القطع الزائد مع المحور: و. وبوضع (11.9) نحصل على وهذا لا يمكن أن يكون. لذلك، القطع الزائد لا يتقاطع مع محور أوي.

يتم استدعاء النقاط قمم القطع الزائد، والجزء

المحور الحقيقي ، القطعة المستقيمة - نصف المحور الحقيقي مقارنة مبالغ فيها.

يسمى الجزء الذي يربط النقاط محور وهمي رقم ب - نصف محور وهمي . مستطيل ذو جوانب 2 أو 2بمُسَمًّى المستطيل الأساسي للقطع الزائد .

3. من المعادلة (11.9) يترتب على أن الحد الأدنى لا يقل عن واحد أي ذلك أو . وهذا يعني أن نقاط القطع الزائد تقع على يمين السطر (الفرع الأيمن من القطع الزائد) وعلى يسار السطر (الفرع الأيسر من القطع الزائد).

4. يتضح من المعادلة (11.9) للقطع الزائد أنه إذا زاد فإنه يزيد. وينبع هذا من حقيقة أن الفرق يحتفظ بقيمة ثابتة تساوي واحدًا.

ويترتب على ما سبق أن القطع الزائد له الشكل الموضح في الشكل 54 (منحنى يتكون من فرعين غير محدودين).

الخطوط المقاربة للقطع الزائد

يسمى الخط المستقيم L بالخط المقارب منحنى غير محدود K، إذا كانت المسافة d من النقطة M من المنحنى K إلى هذا الخط المستقيم تميل إلى الصفر عندما تكون مسافة النقطة M على طول المنحنى K من الأصل غير محدودة. يقدم الشكل 55 توضيحًا لمفهوم الخط المقارب: الخط المستقيم L هو خط مقارب للمنحنى K.

دعونا نبين أن القطع الزائد له خطان مقاربان:

(11.11)

نظرًا لأن الخطوط المستقيمة (11.11) والقطع الزائد (11.9) متماثلتان فيما يتعلق بمحاور الإحداثيات، فيكفي النظر فقط إلى نقاط الخطوط المشار إليها الموجودة في الربع الأول.

لنأخذ نقطة N على خط مستقيم لها نفس الإحداثي السيني x مثل النقطة الموجودة على القطع الزائد (انظر الشكل 56)، وأوجد الفرق ΜΝ بين إحداثيات الخط المستقيم وفرع القطع الزائد:

كما ترون، مع زيادة x، يزداد مقام الكسر؛ البسط هو قيمة ثابتة. وبالتالي طول المقطع ΜΝ يميل إلى الصفر. وبما أن MΝ أكبر من المسافة d من النقطة M إلى الخط، فإن d يميل إلى الصفر. إذن، الخطوط هي الخطوط المقاربة للقطع الزائد (11.9).

عند إنشاء القطع الزائد (11.9)، يُنصح أولاً ببناء المستطيل الرئيسي للقطع الزائد (انظر الشكل 57)، ورسم خطوط مستقيمة تمر عبر القمم المقابلة لهذا المستطيل - الخطوط المقاربة للقطع الزائد ووضع علامة على القمم و , من المبالغة.

معادلة القطع الزائد متساوي الأضلاع.

الخطوط المقاربة هي محاور الإحداثيات

يسمى القطع الزائد (11.9) متساوي الأضلاع إذا كانت أنصاف محاوره تساوي (). معادلتها الكنسية

(11.12)

الخطوط المقاربة للقطع الزائد متساوي الأضلاع لها معادلات، وبالتالي فهي منصفات للزوايا الإحداثية.

لنفكر في معادلة هذا القطع الزائد في نظام إحداثي جديد (انظر الشكل 58)، تم الحصول عليه من النظام القديم عن طريق تدوير محاور الإحداثيات بزاوية. نستخدم الصيغ لتدوير محاور الإحداثيات:

نعوض بقيمتي x و y في المعادلة (11.12):

معادلة القطع الزائد متساوي الأضلاع، والتي يكون فيها محورا Ox وOy خطين مقاربين، سيكون لها الشكل .

مزيد من المعلومات حول المبالغة

الانحراف القطع الزائد (11.9) هو نسبة المسافة بين البؤرتين إلى قيمة المحور الحقيقي للقطع الزائد، ويُشار إليه بـ ε:

نظرًا لأنه بالنسبة للقطع الزائد، فإن انحراف القطع الزائد أكبر من واحد: . الانحراف يميز شكل القطع الزائد. وبالفعل من المساواة (11.10) يترتب على ذلك أي. و .

من هذا يمكن أن نرى أنه كلما كان انحراف القطع الزائد أصغر، كلما كانت نسبة أنصاف محاوره أصغر، وبالتالي كلما زاد استطالة مستطيله الرئيسي.

الانحراف المركزي للقطع الزائد متساوي الأضلاع هو . حقًا،

نصف القطر البؤري و بالنسبة لنقاط الفرع الأيمن، يكون للقطع الزائد الشكل و، وبالنسبة للفرع الأيسر - و .

تسمى الخطوط المباشرة توجيهات القطع الزائد. بما أن القطع الزائد ε > 1، إذن . وهذا يعني أن الدليل الأيمن يقع بين المركز والرأس الأيمن للقطع الزائد، واليسار - بين المركز والرأس الأيسر.

إن أدلة القطع الزائد لها نفس خاصية أدلة القطع الناقص.

المنحنى الذي تحدده المعادلة هو أيضًا قطع زائد، حيث يقع المحور الحقيقي 2b على المحور Oy، والمحور التخيلي 2 أ- على محور الثور. ويظهر في الشكل 59 كخط منقط.

من الواضح أن القطع الزائدة لها خطوط مقاربة مشتركة. تسمى هذه القطع الزائدة بالمرافقة.

11.5. القطع المكافئ

معادلة القطع المكافئ الكنسي

القطع المكافئ هو مجموعة جميع نقاط المستوى، كل منها على مسافة متساوية من نقطة معينة تسمى البؤرة، وخط معين يسمى الدليل. المسافة من التركيز F إلى الدليل تسمى معلمة القطع المكافئ ويشار إليها بـ p (p > 0).

لاشتقاق معادلة القطع المكافئ نختار النظام الإحداثي Oxy بحيث يمر محور الثور بالبؤرة F عمودياً على الدليل في الاتجاه من الدليل إلى F، ويكون أصل الإحداثيات O في المنتصف بين الدليل التركيز والدليل (انظر الشكل 60). في النظام المختار، التركيز F له إحداثيات، ومعادلة الدليل لها الشكل أو.

1. في المعادلة (11.13) يظهر المتغير y بدرجة زوجية، مما يعني أن القطع المكافئ متماثل حول محور الثور؛ محور الثور هو محور تناظر القطع المكافئ.

2. منذ ρ > 0، يتبع من (11.13) أن . وبالتالي، يقع القطع المكافئ على يمين محور أوي.

3. عندما يكون لدينا y = 0. لذلك، يمر القطع المكافئ عبر نقطة الأصل.

4. مع زيادة x إلى أجل غير مسمى، تزداد الوحدة y أيضًا إلى أجل غير مسمى. القطع المكافئ له الشكل (الشكل) الموضح في الشكل 61. النقطة O(0; 0) تسمى قمة القطع المكافئ، الجزء FM = r يسمى نصف القطر البؤري للنقطة M.

معادلات ، ، ( ع > 0) قم أيضًا بتعريف القطع المكافئة، وهي موضحة في الشكل 62

فمن السهل أن تظهر أن الرسم البياني ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية، حيث B و C عبارة عن أرقام حقيقية، وهو عبارة عن قطع مكافئ بمعنى تعريفه الوارد أعلاه.

11.6. المعادلة العامة لخطوط الدرجة الثانية

معادلات منحنيات الدرجة الثانية ذات محاور التماثل الموازية لمحاور الإحداثيات

دعونا أولاً نوجد معادلة القطع الناقص الذي مركزه عند النقطة التي تكون محاور تماثلها موازية لمحوري الإحداثيات Ox وOy وأنصاف المحاور متساوية على التوالي أو ب. دعونا نضع في وسط القطع الناقص O 1 بداية نظام إحداثي جديد، محاوره وأنصاف محاوره أو ب(انظر الشكل 64):

وأخيرًا، القطع المكافئة الموضحة في الشكل 65 لها معادلات مقابلة.

المعادلة

يمكن كتابة معادلات القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ ومعادلة الدائرة بعد التحويلات (بين قوسين مفتوحين، نقل جميع حدود المعادلة إلى جانب واحد، إحضار حدود متشابهة، إدخال رموز جديدة للمعاملات) باستخدام معادلة واحدة من استمارة

حيث لا يساوي المعاملان A وC الصفر في نفس الوقت.

والسؤال الذي يطرح نفسه: هل كل معادلة على الشكل (11.14) تحدد أحد المنحنيات (دائرة، قطع ناقص، قطع زائد، قطع مكافئ) من الدرجة الثانية؟ يتم إعطاء الجواب من خلال النظرية التالية.

نظرية 11.2. تحدد المعادلة (11.14) دائمًا: إما دائرة (لـ A = C)، أو قطع ناقص (لـ A C > 0)، أو قطع زائد (لـ A C)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

معادلة عامة من الدرجة الثانية

دعونا نفكر الآن المعادلة العامةالدرجة الثانية مع مجهولين:

وتختلف عن المعادلة (11.14) بوجود حد حاصل ضرب الإحداثيات (B¹ 0). ومن الممكن، عن طريق تدوير محاور الإحداثيات بزاوية a، تحويل هذه المعادلة بحيث يغيب الحد الذي حاصل ضرب الإحداثيات.

استخدام صيغ دوران المحور

لنعبر عن الإحداثيات القديمة بدلالة الإحداثيات الجديدة:

دعونا نختار الزاوية a بحيث يصبح معامل x" · y" صفراً، أي بحيث تصبح المساواة

وبالتالي، عندما يتم تدوير المحاور بزاوية a التي تحقق الشرط (11.17)، يتم تقليل المعادلة (11.15) إلى المعادلة (11.14).

خاتمة: المعادلة العامة من الدرجة الثانية (11.15) تحدد على المستوى (باستثناء حالات الانحطاط والاضمحلال) المنحنيات التالية: الدائرة، القطع الناقص، القطع الزائد، القطع المكافئ.

ملحوظة: إذا كانت A = C فإن المعادلة (11.17) تصبح بلا معنى. في هذه الحالة، cos2α = 0 (انظر (11.16)) ثم 2α = 90°، أي α = 45°. لذا، عندما يكون A = C، يجب أن يتم تدوير نظام الإحداثيات بمقدار 45 درجة.

القطع الناقص هو المحل الهندسي للنقاط على المستوى، ومجموع المسافات من كل منها إلى نقطتين محددتين F_1، وF_2 هي قيمة ثابتة (2a) أكبر من المسافة (2c) بين هاتين النقطتين. نقاط معينة(الشكل 3.36، أ). ويعبر هذا التعريف الهندسي الخاصية البؤرية للقطع الناقص.

الخاصية البؤرية للقطع الناقص

تسمى النقطتان F_1 وF_2 بؤرتي القطع الناقص، والمسافة بينهما 2c=F_1F_2 هي الطول البؤري، والوسط O للقطعة F_1F_2 هو مركز القطع الناقص، والرقم 2a هو طول المحور الرئيسي للقطع الناقص. القطع الناقص (وبالتالي فإن الرقم أ هو المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص). يُطلق على المقطعين F_1M وF_2M اللذين يربطان النقطة M من الشكل الناقص مع بؤرتهما اسم نصف القطر البؤري للنقطة M. الجزء الذي يربط بين نقطتين من القطع الناقص يسمى وتر القطع الناقص.

النسبة e=\frac(c)(a) تسمى الانحراف المركزي للقطع الناقص. من التعريف (2a>2c) يترتب على ذلك أن 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

التعريف الهندسي للقطع الناقص، معبرًا عن خاصيته البؤرية، يعادل تعريفه التحليلي - الخط المعطى بواسطة المعادلة الأساسية للقطع الناقص:

في الواقع، دعونا نقدم نظام إحداثيات مستطيل (الشكل 3.36ج). نحن نأخذ المركز O للقطع الناقص باعتباره أصل نظام الإحداثيات؛ نأخذ الخط المستقيم الذي يمر عبر البؤرتين (المحور البؤري أو المحور الأول للقطع الناقص) كمحور الإحداثي المحوري (الاتجاه الموجب عليه من النقطة F_1 إلى النقطة F_2)؛ لنأخذ خطًا مستقيمًا متعامدًا مع المحور البؤري ويمر عبر مركز القطع الناقص (المحور الثاني للقطع الناقص) باعتباره المحور الإحداثي (يتم اختيار الاتجاه على المحور الإحداثي بحيث يكون نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي صحيحًا) .

لنقم بإنشاء معادلة للقطع الناقص باستخدام تعريفه الهندسي، الذي يعبر عن الخاصية البؤرية. في نظام الإحداثيات المحدد، نحدد إحداثيات البؤر F_1(-ج,0),~F_2(ج,0). بالنسبة لنقطة عشوائية M(x,y) تنتمي إلى القطع الناقص، لدينا:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

وبكتابة هذه المساواة بالصورة الإحداثية نحصل على:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

ننقل الجذر الثاني إلى الجانب الأيمن ونربع طرفي المعادلة ونأتي بحدود متشابهة:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

بالقسمة على 4، نقوم بتربيع طرفي المعادلة:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=أ^2(أ^2-ج^2).

وقد عين ب=\sqrt(a^2-c^2)>0، نحن نحصل ب^2x^2+أ^2y^2=أ^2ب^2. بقسمة الطرفين على a^2b^2\ne0، نصل إلى المعادلة الأساسية للقطع الناقص:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

ولذلك، فإن نظام الإحداثيات المختار هو نظام أساسي.

إذا تطابقت بؤرتا القطع الناقص، فإن القطع الناقص هو دائرة (الشكل 3.36،6)، حيث أن a=b. في هذه الحالة، أي نظام إحداثي مستطيل له نقطة الأصل سيكون نظامًا أساسيًا O\equiv F_1\equiv F_2والمعادلة x^2+y^2=a^2 هي معادلة دائرة مركزها النقطة O ونصف قطرها يساوي a.

بالاستدلال في ترتيب عكسي، يمكن إثبات أن جميع النقاط التي تحقق إحداثياتها المعادلة (3.49)، وهي فقط، تنتمي إلى المحل الهندسي للنقاط الذي يسمى القطع الناقص. وبعبارة أخرى، فإن التعريف التحليلي للقطع الناقص يعادل تعريفه الهندسي، الذي يعبر عن الخاصية البؤرية للقطع الناقص.

الخاصية التوجيهية للقطع الناقص

إن توجيهات القطع الناقص عبارة عن خطين مستقيمين موازيين للمحور الإحداثي لنظام الإحداثيات المتعارف عليه على نفس المسافة \frac(a^2)(c) منه. عند c=0، عندما يكون القطع الناقص عبارة عن دائرة، لا توجد دلائل (يمكننا أن نفترض أن الدلائل موجودة عند اللانهاية).

القطع الناقص مع الانحراف 0 موضع النقاط في المستوى، حيث تكون نسبة المسافة إلى نقطة معينة F (البؤرة) إلى المسافة إلى خط مستقيم معين d (الدليل) الذي لا يمر عبر نقطة معينة ثابتة وتساوي الانحراف المركزي ه ( الخاصية التوجيهية للقطع الناقص). هنا F و d هما إحدى بؤرتي القطع الناقص وأحد توجيهاته، وتقع على جانب واحد من المحور الإحداثي لنظام الإحداثيات الكنسي، أي. F_1,d_1 أو F_2,d_2 .

في الواقع، على سبيل المثال، بالنسبة للتركيز F_2 والموجه d_2 (الشكل 3.37،6) الشرط \frac(r_2)(\rho_2)=eيمكن كتابتها بالشكل الإحداثي:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

التخلص من اللاعقلانية والاستبدال e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2نصل إلى معادلة القطع الناقص الأساسية (3.49). يمكن تنفيذ تفكير مماثل للتركيز F_1 والمخرج d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

معادلة القطع الناقص في نظام الإحداثيات القطبية

معادلة القطع الناقص في نظام الإحداثيات القطبية F_1r\varphi (الشكل 3.37، c و3.37 (2)) لها الشكل

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

حيث p=\frac(b^2)(a) هي المعلمة البؤرية للقطع الناقص.

في الواقع، دعونا نختار التركيز الأيسر F_1 للقطع الناقص كقطب لنظام الإحداثيات القطبية، والشعاع F_1F_2 كمحور قطبي (الشكل 3.37، ج). ثم بالنسبة للنقطة الاختيارية M(r,\varphi)، وفقًا للتعريف الهندسي (الخاصية البؤرية) للقطع الناقص، لدينا r+MF_2=2a. نعبر عن المسافة بين النقطتين M(r,\varphi) وF_2(2c,0) (انظر الفقرة 2 من الملاحظات 2.8):

\begin(محاذاة)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(محاذاة)

لذلك، في الصيغة الإحداثية، تكون معادلة القطع الناقص F_1M+F_2M=2a هي الصيغة

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

نعزل الجذر ونربع طرفي المعادلة ونقسمه على 4 ونقدم مصطلحات مماثلة:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

عبر عن نصف القطر القطبي r وقم بالاستبدال ه=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

المعنى الهندسي للمعاملات في معادلة القطع الناقص

دعونا نجد نقاط تقاطع القطع الناقص (انظر الشكل 3.37، أ) مع محاور الإحداثيات (رؤوس القطع الناقص). بالتعويض y=0 في المعادلة، نجد نقاط تقاطع القطع الناقص مع محور الإحداثي السيني (مع المحور البؤري): x=\pm a. وبالتالي، فإن طول قطعة المحور البؤري الموجودة داخل القطع الناقص يساوي 2أ. هذا الجزء، كما ذكرنا أعلاه، يسمى المحور الرئيسي للقطع الناقص، والرقم a هو المحور شبه الرئيسي للقطع الناقص. بالتعويض x=0، نحصل على y=\pm b. ولذلك فإن طول قطعة المحور الثاني للقطع الناقص الموجودة داخل القطع الناقص يساوي 2b. يُسمى هذا الجزء بالمحور الأصغر للقطع الناقص، والرقم b هو المحور شبه الأصغر للقطع الناقص.

حقًا، ب=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a، ويتم الحصول على المساواة b=a فقط في الحالة c=0، عندما يكون القطع الناقص دائرة. سلوك k=\frac(b)(a)\leqslant1تسمى نسبة ضغط القطع الناقص.

ملاحظات 3.9

1. الخطوط المستقيمة x=\pm a,~y=\pm b تحد من المستطيل الرئيسي على المستوى الإحداثي، الذي يوجد بداخله شكل بيضاوي (انظر الشكل 3.37، أ).

2. يمكن تعريف القطع الناقص بأنه موضع النقاط الذي يتم الحصول عليه عن طريق ضغط الدائرة إلى قطرها.

في الواقع، لتكن معادلة الدائرة في نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي بالشكل x^2+y^2=a^2. عند ضغطها على المحور السيني بمعامل 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

باستبدال الدائرتين x=x" و y=\frac(1)(k)y" في المعادلة، نحصل على معادلة إحداثيات الصورة M"(x",y") للنقطة M(x,y) ) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

منذ b=k\cdot a . هذه هي المعادلة القانونية للقطع الناقص.

3. المحاور الإحداثية (نظام الإحداثيات القانوني) هي محاور تناظر القطع الناقص (وتسمى المحاور الرئيسية للقطع الناقص)، ومركزها هو مركز التناظر.

في الواقع، إذا كانت النقطة M(x,y) تنتمي إلى القطع الناقص. ثم النقطتان M"(x,-y) وM""(-x,y)، المتناظرتان للنقطة M بالنسبة إلى محاور الإحداثيات، تنتميان أيضًا إلى نفس القطع الناقص.

4. من معادلة القطع الناقص في نظام الإحداثيات القطبية r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(انظر الشكل 3.37، ج)، اتضح معنى هندسيالمعلمة البؤرية هي نصف طول وتر القطع الناقص الذي يمر عبر بؤرته بشكل عمودي على المحور البؤري ( r = p في \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. الانحراف المركزي يميز شكل القطع الناقص، أي الفرق بين القطع الناقص والدائرة. كلما زاد حجم e، زاد استطالة القطع الناقص، وكلما اقتربت e من الصفر، كلما اقترب القطع الناقص من الدائرة (الشكل 3.38 أ). في الواقع، مع الأخذ في الاعتبار أن e=\frac(c)(a) و c^2=a^2-b^2 ، نحصل على

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

حيث k هي نسبة ضغط القطع الناقص، 0

6. المعادلة \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1في أ

7. المعادلة \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bيحدد القطع الناقص بمركزه عند النقطة O"(x_0,y_0)، ومحاورها موازية لمحاور الإحداثيات (الشكل 3.38، ج). يتم تقليل هذه المعادلة إلى المعادلة الأساسية باستخدام الترجمة المتوازية (3.36).

عندما a=b=R المعادلة (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2يصف دائرة نصف قطرها R ومركزها عند النقطة O"(x_0,y_0) .

المعادلة البارامترية للقطع الناقص

المعادلة البارامترية للقطع الناقصفي نظام الإحداثيات الكنسي له النموذج

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

في الواقع، باستبدال هذه التعبيرات في المعادلة (3.49)، نصل إلى الهوية المثلثية الرئيسية \cos^2t+\sin^2t=1 .

مثال 3.20.ارسم شكلًا ناقصًا \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1في نظام الإحداثيات الكنسي أوكسي. ابحث عن أنصاف المحاور، البعد البؤري، الانحراف المركزي، نسبة العرض إلى الارتفاع، المعلمة البؤرية، معادلات الدليل.

حل.بمقارنة المعادلة المعطاة بالمعادلة الأساسية، نحدد أنصاف المحاور: أ=2 - محور شبه رئيسي، ب=1 - محور شبه ثانوي للقطع الناقص. قمنا ببناء مستطيل أساسي بأضلاعه 2a=4,~2b=2 مع مركزه عند نقطة الأصل (الشكل 3.39). بالنظر إلى تماثل القطع الناقص، فإننا ندخله في المستطيل الرئيسي. إذا لزم الأمر، حدد إحداثيات بعض نقاط القطع الناقص. على سبيل المثال، بالتعويض x=1 في معادلة القطع الناقص، نحصل على

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ رباعي y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

ولذلك، نقاط مع الإحداثيات \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\يمين)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\يمين)- تنتمي إلى القطع الناقص.

حساب نسبة الضغط ك=\فارك(ب)(أ)=\فارك(1)(2); البعد البؤري 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); الانحراف e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); المعلمة البؤرية ع=\فارك(ب^2)(أ)=\فارك(1^2)(2)=\فارك(1)(2). نحن نؤلف معادلات الدليل: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.
لإجراء العمليات الحسابية، يجب عليك تمكين عناصر تحكم ActiveX!