Digər lüğətlərdə "ŞƏRTLİ EKSTREM"in nə olduğuna baxın:

f (x1,..., xn + m) funksiyasının n + m dəyişənlərindən nisbi ekstremumu, ekstremumu, bu dəyişənlərin də m əlaqə tənliklərinə (şərtlərinə) tabe olduğu fərziyyəsi ilə: φk (x1,..., xn) + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (bax Ekstremum).… …

Çoxluq açıq və funksiyalar verilsin. Qoy olsun. Bu tənliklərə məhdudiyyət tənlikləri deyilir (terminologiya mexanikadan götürülüb). G... Vikipediyada funksiya müəyyən edilsin

- (latın ekstremum ifrat sözündən) fasiləsiz f (x) funksiyasının maksimum və ya minimum olan qiyməti. Daha dəqiq desək: x0 nöqtəsində fasiləsiz olan f (x) funksiyası, bu nöqtənin qonşuluğu (x0 + δ, x0 δ) varsa, x0-da maksimuma (minimum) malikdir,... ... Böyük Sovet Ensiklopediyası

Bu terminin başqa mənaları da var, bax Ekstremum (mənalar). Riyaziyyatda ekstremum (lat. extremum ifrat) verilmiş çoxluqda funksiyanın maksimum və ya minimum qiymətidir. Ekstremuma çatdığı nöqtə... ... Vikipediya

Məsələləri həll edərkən istifadə olunan funksiya şərti ifratçox dəyişənlərin və funksionalların funksiyaları. L. f-nin köməyi ilə. qeydə alınır zəruri şərtlərşərti ekstremum üzrə məsələlərdə optimallıq. Bu halda yalnız dəyişənləri ifadə etmək lazım deyil... Riyaziyyat ensiklopediyası

Bir və ya bir neçə funksiyanın seçimindən asılı olan dəyişənlərin funksionallarının ekstremal (ən böyük və ən kiçik) qiymətlərini tapmağa həsr olunmuş riyazi intizam. və. həmin fəslin təbii inkişafıdır...... Böyük Sovet Ensiklopediyası

Şərti ekstremum üzrə məsələləri öyrənərkən onların köməyi ilə Laqranj funksiyasının qurulduğu dəyişənlər. Xətti üsullardan və Laqranj funksiyasından istifadə şərti ekstremumu əhatə edən məsələlərdə lazımi optimallıq şərtlərini vahid şəkildə əldə etməyə imkan verir... Riyaziyyat ensiklopediyası

Dəyişikliklərin hesablanması funksional analizin funksional variasiyalarını öyrənən bir bölməsidir. Dəyişikliklərin hesablanmasında ən tipik problem verilmiş funksionalın əldə etdiyi funksiyanı tapmaqdır... ... Wikipedia

Riyaziyyatın müxtəlif növ məhdudiyyətlər (faza, diferensial, inteqral və s.) altında bir və ya bir neçə funksiyanın seçilməsindən asılı olan funksionalların ekstremallarının tapılması üsullarının öyrənilməsinə həsr olunmuş bölməsi... ... Riyaziyyat ensiklopediyası

Dəyişikliklərin hesablanması funksiyaların variasiyalarını öyrənən riyaziyyatın bir sahəsidir. Dəyişikliklərin hesablanmasında ən tipik problem funksionalın ekstremal qiymətə çatdığı funksiyanı tapmaqdır. Metodlar... ...Vikipediya

Kitablar

• Nəzarət nəzəriyyəsi üzrə mühazirələr. Cild 2. Optimal nəzarət, V. Boss. Optimal idarəetmə nəzəriyyəsinin klassik problemləri nəzərdən keçirilir. Təqdimat sonlu ölçülü fəzalarda optimallaşdırmanın əsas anlayışları ilə başlayır: şərti və qeyd-şərtsiz ekstremum,...

Misal

Bu şərtlə funksiyanın ekstremumunu tapın X Və saat münasibətlə bağlıdır: . Həndəsi olaraq problem aşağıdakıları ifadə edir: ellips üzərində
təyyarə
.

Bu problemi belə həll etmək olar: tənlikdən
Biz tapdıq
X:

bir şərtlə ki
, interval üzrə bir dəyişənin funksiyasının ekstremumunun tapılması məsələsinə endirilmişdir
.

Həndəsi olaraq problem aşağıdakıları ifadə edir: ellips üzərində , silindrdən keçməklə əldə edilir
təyyarə
, ərizənin maksimum və ya minimum dəyərini tapmaq lazımdır (Şəkil 9). Bu problemi belə həll etmək olar: tənlikdən
Biz tapdıq
. Tapılmış y qiymətini müstəvi tənliyində əvəz edərək, bir dəyişənin funksiyasını alırıq. X:

Beləliklə, funksiyanın ekstremumunun tapılması məsələsi
bir şərtlə ki
, intervalda bir dəyişənli funksiyanın ekstremumunun tapılması məsələsinə endirilmişdir.

Belə ki, şərti ekstremumu tapmaq problemi– bu, məqsəd funksiyasının ekstremumunu tapmaq problemidir
, bir şərtlə ki, dəyişənlər X Və saat məhdudiyyətə məruz qalır
, çağırdı əlaqə tənliyi.

Belə deyək nöqtə
, birləşmə tənliyini təmin etmək, yerli şərti maksimum nöqtəsidir (minimum), məhəllə varsa
hər hansı bir nöqtə üçün
, koordinatları əlaqə tənliyini təmin edən bərabərsizlik təmin edilir.

Əgər birləşmə tənliyindən bir ifadə tapmaq olar saat, sonra bu ifadəni orijinal funksiyaya əvəz etməklə, sonuncunu bir dəyişənin mürəkkəb funksiyasına çeviririk. X.

Şərti ekstremum probleminin həlli üçün ümumi üsul Laqranj çarpan metodu. Köməkçi funksiya yaradaq, harada ─ bəzi rəqəm. Bu funksiya deyilir Laqranj funksiyası, A ─ Laqranj çarpanı. Beləliklə, şərti ekstremumun tapılması vəzifəsi Laqranj funksiyası üçün yerli ekstremum nöqtələrinin tapılmasına qədər azaldılmışdır. Mümkün ekstremum nöqtələrini tapmaq üçün üç naməlum olan 3 tənlik sistemini həll etməlisiniz x, y Və.

Sonra ekstremum üçün aşağıdakı kifayət qədər şərtdən istifadə etməlisiniz.

TEOREM. Nöqtə Laqranj funksiyası üçün mümkün ekstremum nöqtəsi olsun. Fərz edək ki, nöqtənin yaxınlığında
funksiyaların ikinci sırasının davamlı qismən törəmələri var Və . işarə edək

Sonra əgər
, Bu
─ funksiyanın şərti ekstremum nöqtəsi
birləşmə tənliyi ilə
bu halda, əgər
, Bu
─ şərti minimum nöqtə, əgər
, Bu
─ şərti maksimum nöqtə.

§8. Qradient və istiqamətli törəmə

Qoy funksiya olsun
bəzi (açıq) regionda müəyyən edilmişdir. İstənilən nöqtəni nəzərdən keçirin
bu sahə və istənilən istiqamətlənmiş düz xətt (ox) , bu nöqtədən keçərək (şək. 1). Qoy
- bu oxda başqa bir nöqtə,
– arasındakı seqmentin uzunluğu
Və
, artı işarəsi ilə götürülmüşdür, əgər istiqamət
oxun istiqaməti ilə üst-üstə düşür , və onların istiqamətləri əks olduqda mənfi işarəsi ilə.

Qoy
qeyri-müəyyən yaxınlaşır
. Limit

çağırdı funksiyanın törəməsi
doğru (və ya ox boyunca ) və aşağıdakı kimi işarələnir:

.

Bu törəmə nöqtədə funksiyanın “dəyişiklik sürətini” xarakterizə edir
doğru . Xüsusilə, adi qismən törəmələr ,“istiqamətə görə” törəmələr kimi də düşünmək olar.

İndi tutaq ki, funksiya
nəzərdən keçirilən regionda davamlı qismən törəmələrə malikdir. Qoy oxu koordinat oxları ilə bucaqlar əmələ gətirir
Və . Edilən fərziyyələrə əsasən, istiqamətli törəmə mövcuddur və düsturla ifadə edilir

.

Əgər vektor
onun koordinatları ilə verilir
, sonra funksiyanın törəməsi
vektor istiqamətində
düsturla hesablana bilər:

.

Koordinatları olan vektor
çağırdı gradient vektoru funksiyaları
nöqtədə
. Qradiyent vektoru verilmiş nöqtədə funksiyanın ən sürətli artımının istiqamətini göstərir.

Misal

Verilmiş funksiya, A(1, 1) nöqtəsi və vektoru
. Tapın: 1) A nöqtəsində grad z; 2) vektor istiqamətində A nöqtəsində törəmə .

Verilmiş funksiyanın nöqtədə qismən törəmələri
:

;
.

Bu nöqtədə funksiyanın qradiyenti vektoru belədir:
. Qradiyent vektoru vektor parçalanmasından istifadə etməklə də yazıla bilər Və :

. Funksiya törəməsi vektor istiqamətində :

Belə ki,
,
.◄

Şərti ekstremum.

Bir neçə dəyişənli funksiyanın ekstremumları

Ən kiçik kvadrat üsulu.

FNP-nin yerli ekstremumu

Funksiya verilsin Və= f(P), РÎDÌR n və P 0 nöqtəsi olsun ( A 1 , A 2 , ..., a p) –daxili D dəstinin nöqtəsi.

Tərif 9.4.

1) P 0 nöqtəsi çağırılır maksimum nöqtə funksiyaları Və= f(P), əgər bu nöqtənin U(P 0) M D qonşuluğu varsa, hər hansı P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , şərt ödənilir f(P)£ f(P 0) . Məna f maksimum nöqtədə (P 0) funksiyası çağırılır funksiyanın maksimumu və təyin edilir f(P0) = maks f(P) .

2) P 0 nöqtəsi çağırılır minimum nöqtə funksiyaları Və= f(P), əgər bu U(P 0)Ì D nöqtəsinin elə qonşuluğu varsa ki, hər hansı P( nöqtəsi üçün) X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , şərt ödənilir f(P)³ f(P 0) . Məna f minimum nöqtədə (P 0) funksiyası çağırılır minimum funksiya və təyin edilir f(P 0) = min f(P).

Funksiyanın minimum və maksimum nöqtələri deyilir ekstremal nöqtələr, ekstremal nöqtələrdə funksiyanın qiymətləri deyilir funksiyanın ekstremumu.

Tərifdən aşağıdakı kimi, bərabərsizliklər f(P)£ f(P 0) , f(P)³ f(P 0) funksiyanın tərifinin bütün sahəsində deyil, yalnız P 0 nöqtəsinin müəyyən qonşuluğunda təmin edilməlidir, bu o deməkdir ki, funksiya eyni tipli bir neçə ekstremal (bir neçə minimum, bir neçə maksimum) ola bilər. . Buna görə də yuxarıda müəyyən edilmiş ekstremallar deyilir yerli(yerli) ifrat.

Teorem 9.1 (FNP-nin ekstremumu üçün zəruri şərt)

Əgər funksiyası Və= f(X 1 , X 2 , ..., x n) P 0 nöqtəsində ekstremuma malikdir, onda onun bu nöqtədə birinci dərəcəli qismən törəmələri ya sıfıra bərabərdir, ya da mövcud deyildir.

Sübut. P nöqtəsində 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) funksiyası Və= f(P) ekstremuma malikdir, məsələn, maksimum. Gəlin arqumentləri düzəldək X 2 , ..., x n, qoymaq X 2 =A 2 ,..., x n = a p. Sonra Və= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., a p) bir dəyişənin funksiyasıdır X 1 . Çünki bu funksiya var X 1 = A 1 ekstremum (maksimum), sonra f 1 ¢=0və ya mövcud deyil X 1 =A 1 (bir dəyişənin funksiyasının ekstremumunun olması üçün zəruri şərt). Ancaq bu, P 0 nöqtəsində - ekstremum nöqtəsində o deməkdir və ya yoxdur. Eynilə, digər dəyişənlərə münasibətdə qismən törəmələri nəzərdən keçirə bilərik. CTD.

Birinci dərəcəli qismən törəmələrin sıfıra bərabər olduğu və ya mövcud olmadığı funksiyanın oblastındakı nöqtələrə deyilir. kritik nöqtələr bu funksiya.

Teorem 9.1-dən göründüyü kimi, FNP-nin ekstremum nöqtələri funksiyanın kritik nöqtələri arasında axtarılmalıdır. Ancaq bir dəyişənin funksiyasına gəldikdə, hər bir kritik nöqtə ekstremum nöqtə deyil.

Teorem 9.2 (FNP-nin ekstremumu üçün kafi şərt)

P 0 funksiyanın kritik nöqtəsi olsun Və= f(P) və bu funksiyanın ikinci dərəcəli diferensialıdır. Sonra

və əgər d 2 u(P 0) > 0 at, onda P 0 nöqtədir minimum funksiyaları Və= f(P);

b) əgər d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimum funksiyaları Və= f(P);

c) əgər d 2 u(P 0) işarə ilə müəyyən edilmir, onda P 0 ekstremal nöqtə deyil;

Bu teoremi sübutsuz nəzərdən keçirəcəyik.

Nəzərə alın ki, teorem nə zaman olduğunu nəzərə almır d 2 u(P 0) = 0 və ya mövcud deyil. Bu o deməkdir ki, belə şəraitdə P 0 nöqtəsində ekstremumun olması məsələsi açıq qalır - bizə lazımdır əlavə tədqiqat məsələn, bu nöqtədə funksiyanın artımını öyrənmək.

Daha ətraflı riyaziyyat kurslarında sübut olunur ki, xüsusilə funksiya üçün z = f(x,y) ikinci dərəcəli diferensial formanın cəmi olan iki dəyişənin

kritik P 0 nöqtəsində ekstremumun mövcudluğunun öyrənilməsi sadələşdirilə bilər.

, , işarə edək. Determinant tərtib edək

.

Belə çıxır:

d 2 z P 0 nöqtəsində > 0, yəni. P 0 - minimum nöqtə, əgər A(P 0) > 0 və D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

əgər D(P 0)< 0, то d 2 z P 0 nöqtəsinin yaxınlığında işarəni dəyişir və P 0 nöqtəsində ekstremum yoxdur;

əgər D(Р 0) = 0 olarsa, o zaman kritik nöqtə R 0 yaxınlığında funksiyanın əlavə tədqiqatları da tələb olunur.

Beləliklə, funksiya üçün z = f(x,y) iki dəyişəndən bir ekstremumu tapmaq üçün aşağıdakı alqoritmimiz var (gəlin buna “D alqoritmi” deyək):

1) D(tərif sahəsini tapın) f) funksiyaları.

2) Kritik nöqtələri tapın, yəni. D-dən xallar( f), bunun üçün və sıfıra bərabərdir və ya mövcud deyil.

3) Hər bir kritik nöqtədə P 0 yoxlayın kifayət qədər şərait ekstremum. Bunu etmək üçün tapın , burada , , və D(P 0) və hesablayın A(P 0).Sonra:

əgər D(P 0) >0, onda P 0 nöqtəsində ekstremum var və əgər A(P 0) > 0 – onda bu minimumdur və əgər A(P 0)< 0 – максимум;

əgər D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Əgər D(P 0) = 0 olarsa, əlavə tədqiqat tələb olunur.

4) Tapılmış ekstremum nöqtələrində funksiyanın qiymətini hesablayın.

Misal 1.

Funksiyanın ekstremumunu tapın z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Həll. Bu funksiyanın tərif sahəsi bütün koordinat müstəvisidir. Gəlin kritik nöqtələri tapaq.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Ekstremum üçün kifayət qədər şərtlərin yerinə yetirildiyini yoxlayaq. tapacağıq

6X, = -3, = 48saat Və = 288xy – 9.

Onda D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – R 1 nöqtəsində ekstremum var və ondan bəri A(P 1) = 3 >0, onda bu ekstremum minimumdur. Belə ki, min z=z(S 1) = .

Misal 2.

Funksiyanın ekstremumunu tapın .

Həlli: D( f) =R 2. Kritik məqamlar: ; nə vaxt mövcud deyil saat= 0, yəni P 0 (0,0) bu funksiyanın kritik nöqtəsidir.

2, = 0, = , = , lakin D(P 0) müəyyən edilməmişdir, ona görə də onun işarəsini öyrənmək mümkün deyil.

Eyni səbəbdən, 9.2 teoremini birbaşa tətbiq etmək mümkün deyil - d 2 z bu nöqtədə mövcud deyil.

Funksiyanın artımını nəzərdən keçirək f(x, y) P 0 nöqtəsində. Əgər D f =f(P) - f(P 0)>0 "P, onda P 0 minimum nöqtədir, lakin əgər D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Bizim vəziyyətimizdə var

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

D-də x= 0.1 və D y= -0,008 D alırıq f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 və D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, yəni. P 0 nöqtəsinin yaxınlığında D şərtinin heç biri təmin edilmir f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) və buna görə də P 0 maksimum nöqtə deyil), nə də D şərti f> 0 (yəni. f(x, y) > f(0, 0) və sonra P 0 minimum nöqtə deyil). Beləliklə, ekstremumun tərifinə görə, bu funksiya heç bir ifrata malik deyil.

Şərti ekstremum.

Funksiyanın hesab edilən ekstremumu adlanır qeyd-şərtsiz, çünki funksiya arqumentlərinə heç bir məhdudiyyət (şərtlər) qoyulmur.

Tərif 9.2. Funksiyanın ekstremumu Və = f(X 1 , X 2 , ... , x n), arqumentlərinin olması şərtilə tapılır X 1 , X 2 , ... , x n j 1 tənliklərini təmin edin ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, burada P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), çağırdı şərti ekstremum .

Tənliklər j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, adlandırılır əlaqə tənlikləri.

Gəlin funksiyalara baxaq z = f(x,y) iki dəyişən. Əgər əlaqə tənliyi birdirsə, yəni. , onda şərti ekstremumun tapılması o deməkdir ki, ekstremum funksiyanın tərifinin bütün sahəsində deyil, D(-də yatan hansısa əyri üzərində axtarılır. f) (yəni, axtarılan səthin ən yüksək və ya ən aşağı nöqtələri deyil z = f(x,y) və bu səthin silindrlə kəsişmə nöqtələri arasında ən yüksək və ya ən aşağı nöqtələr, Şəkil 5).

Funksiyanın şərti ekstremumu z = f(x,y) iki dəyişənin aşağıdakı şəkildə tapıla bilər ( aradan qaldırılması üsulu). Tənlikdən dəyişənlərdən birini digərinin funksiyası kimi ifadə edin (məsələn, yazın) və dəyişənin bu dəyərini funksiyada əvəz edərək, sonuncunu bir dəyişənin funksiyası kimi yazın (nəzərə alınan halda). ). Bir dəyişənin yaranan funksiyasının ekstremumunu tapın.

Bir neçə dəyişənli funksiyaların ekstremumları. Ekstremum üçün zəruri şərt. Ekstremum üçün kifayət qədər şərt. Şərti ekstremum. Laqranj çarpan metodu. Ən böyük və ən kiçik dəyərləri tapmaq.

Mühazirə 5.

Tərif 5.1. Nöqtə M 0 (x 0, y 0)çağırdı maksimum nöqtə funksiyaları z = f (x, y),Əgər f (x o, y o) > f(x,y) bütün nöqtələr üçün (x, y) M 0.

Tərif 5.2. Nöqtə M 0 (x 0, y 0)çağırdı minimum nöqtə funksiyaları z = f (x, y),Əgər f (x o, y o) < f(x,y) bütün nöqtələr üçün (x, y) bir nöqtənin hansısa məhəlləsindən M 0.

Qeyd 1. Maksimum və minimum ballar çağırılır ekstremal nöqtələr bir neçə dəyişənin funksiyaları.

Qeyd 2. İstənilən sayda dəyişənin funksiyası üçün ekstremum nöqtəsi oxşar şəkildə müəyyən edilir.

Teorem 5.1(ekstremum üçün zəruri şərtlər). Əgər M 0 (x 0, y 0)– funksiyanın ekstremum nöqtəsi z = f (x, y), onda bu nöqtədə bu funksiyanın birinci dərəcəli qismən törəmələri sıfıra bərabərdir və ya mövcud deyil.

Sübut.

Gəlin dəyişənin dəyərini təyin edək saat, saymaq y = y 0. Sonra funksiya f (x, y 0) bir dəyişənin funksiyası olacaq X, hansı üçün x = x 0 ekstremum nöqtəsidir. Buna görə də Fermat teoreminə görə yoxdur və ya yoxdur. Eyni ifadə üçün də eyni şəkildə sübut edilmişdir.

Tərif 5.3. Bir neçə dəyişənli funksiyanın oblastına aid olan və funksiyanın qismən törəmələri sıfıra bərabər olan və ya mövcud olmayan nöqtələrə deyilir. stasionar nöqtələr bu funksiya.

Şərh. Beləliklə, ekstremuma yalnız stasionar nöqtələrdə çatmaq olar, lakin onların hər birində mütləq müşahidə olunmur.

Teorem 5.2(ekstremum üçün kifayət qədər şərait). Nöqtənin bəzi məhəlləsində olsun M 0 (x 0, y 0), funksiyanın stasionar nöqtəsidir z = f (x, y), bu funksiyanın 3-cü sıra daxil olmaqla davamlı qismən törəmələri var. Sonra işarə edək:

1) f(x,y) nöqtəsində var M 0 maksimum olarsa AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) nöqtəsində var M 0 minimum olarsa AC–B² > 0, A > 0;

3) kritik nöqtədə ekstremum yoxdursa AC–B² < 0;

4) əgər AC–B² = 0, əlavə tədqiqata ehtiyac var.

Sübut.

Funksiya üçün ikinci dərəcəli Teylor düsturunu yazaq f(x,y), stasionar nöqtədə birinci dərəcəli qismən törəmələrin sıfıra bərabər olduğunu xatırlayaraq:

Harada Seqment arasındakı bucaq varsa M 0 M, Harada M (x 0+Δ x, y 0 +Δ saat) və O oxu Xφ, sonra Δ işarələyin x =Δ ρ cos φ, Δ y=Δρsinφ. Bu halda Teylor düsturu aşağıdakı formanı alacaq: . Qoy Sonra mötərizədəki ifadəni bölmək və çoxalda bilərik A. Biz əldə edirik:

İndi dördü nəzərdən keçirək mümkün hallar:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и kifayət qədər kiçik Δρ. Buna görə də bəzi məhəllədə M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), yəni M 0- maksimum nöqtə.

2) Qoy AC–B² > 0, A > 0. Sonra , Və M 0- minimum nöqtə.

3) Qoy AC-B² < 0, A> 0. φ = 0 şüası boyunca arqumentlərin artımını nəzərdən keçirək. Onda (5.1)-dən belə nəticə çıxır ki, , yəni bu şüa boyunca hərəkət etdikdə funksiya artır. Belə bir şüa boyunca hərəkət etsək, tg φ 0 = -A/B, Bu , buna görə də bu şüa boyunca hərəkət edərkən funksiya azalır. Beləliklə, dövr M 0 ekstremum nöqtə deyil.

3`) Nə vaxt AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

əvvəlkinə bənzəyir.

3``) Əgər AC–B² < 0, A= 0, onda . Harada. Sonra kifayət qədər kiçik φ üçün 2 ifadəsi B cosφ + C sinφ 2-yə yaxındır IN, yəni sabit işarəni saxlayır, lakin sinφ nöqtənin yaxınlığında işarəni dəyişir M 0. Bu o deməkdir ki, funksiyanın artımı stasionar nöqtənin yaxınlığında işarəni dəyişir, buna görə də ekstremum nöqtə deyil.

4) Əgər AC–B² = 0, və , , yəni artımın işarəsi 2α 0 işarəsi ilə müəyyən edilir. Eyni zamanda, ekstremumun mövcudluğu məsələsini aydınlaşdırmaq üçün əlavə tədqiqatlar lazımdır.

Misal. Funksiyanın ekstremum nöqtələrini tapaq z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Stasionar nöqtələri tapmaq üçün sistemi həll edirik . Beləliklə, stasionar nöqtə (-2,-1) olur. Harada A = 2, IN = -2, İLƏ= 4. Sonra AC–B² = 4 > 0, buna görə də stasionar nöqtədə ekstremuma, yəni minimuma çatır (çünki A > 0).

Tərif 5.4.Əgər funksiya arqumentlər verirsə f (x 1 , x 2 ,…, x n)əlaqədar əlavə şərtlər kimi m tənliklər ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

burada φ i funksiyalarının davamlı qismən törəmələri var, onda (5.2) tənliklər adlanır. əlaqə tənlikləri.

Tərif 5.5. Funksiyanın ekstremumu f (x 1 , x 2 ,…, x n)(5.2) şərtləri yerinə yetirildikdə çağırılır şərti ekstremum.

Şərh. İki dəyişənli funksiyanın şərti ekstremumunun aşağıdakı həndəsi şərhini təklif edə bilərik: funksiyanın arqumentləri olsun. f(x,y)φ tənliyi ilə əlaqələndirilir (x,y)= 0, O müstəvisində bəzi əyriləri təyin edir xy. Bu əyrinin hər bir nöqtəsindən O müstəvisinə perpendikulyarların yenidən qurulması xy səthi ilə kəsişənə qədər z = f (x,y),φ əyrisinin üstündəki səthdə uzanan fəza əyrisini alırıq (x,y)= 0. Tapşırıq yaranan əyrinin ekstremum nöqtələrini tapmaqdır ki, bu da təbii ki, ümumi hal funksiyanın qeyd-şərtsiz ekstremum nöqtələri ilə üst-üstə düşmür f(x,y).

Əvvəlcə aşağıdakı tərifi təqdim etməklə iki dəyişənli funksiya üçün şərti ekstremum üçün zəruri şərtləri müəyyən edək:

Tərif 5.6. Funksiya L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Harada λi – bəziləri daimi, adlanır Laqranj funksiyası, və nömrələr λi– qeyri-müəyyən Laqranj çarpanları.

Teorem 5.3(şərti ekstremum üçün zəruri şərtlər). Funksiyanın şərti ekstremumu z = f (x, y)φ birləşmə tənliyi olduqda ( x, y)= 0 yalnız Laqranj funksiyasının stasionar nöqtələrində əldə edilə bilər L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Sübut. Birləşmə tənliyi gizli əlaqəni təyin edir saat-dan X, buna görə də biz bunu fərz edəcəyik saat-dən bir funksiya var X: y = y(x). Sonra z-dən mürəkkəb funksiya var X, və onun kritik nöqtələri şərtlə müəyyən edilir: . (5.4) Birləşmə tənliyindən belə çıxır ki . (5.5)

(5.5) bərabərliyini hansısa λ ədədinə vurub (5.4) əlavə edək. Biz əldə edirik:

, və ya .

Son bərabərlik stasionar nöqtələrdə təmin edilməlidir ki, ondan belə çıxır:

(5.6)

Üç naməlum üçün üç tənlik sistemi əldə edilir: x, y və λ və ilk iki tənlik Laqranj funksiyasının stasionar nöqtəsi üçün şərtlərdir. (5.6) sistemdən köməkçi naməlum λ xaric etməklə, ilkin funksiyanın şərti ekstremum ola biləcəyi nöqtələrin koordinatlarını tapırıq.

Qeyd 1. Tapılan nöqtədə şərti ekstremumun olmasını 5.2 teoreminin analoqu ilə Laqranj funksiyasının ikinci dərəcəli qismən törəmələrini öyrənməklə yoxlamaq olar.

Qeyd 2. Funksiyanın şərti ekstremumuna çatmaq olar f (x 1 , x 2 ,…, x n)şərtlər (5.2) yerinə yetirildikdə, sistemin həlli kimi müəyyən edilə bilər (5.7)

Misal. Funksiyanın şərti ekstremumunu tapaq z = xy bunu nəzərə alaraq x + y= 1. Laqranj funksiyasını tərtib edək L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Sistem (5.6) belə görünür:

Burada -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5. Harada L(x,y)şəklində təmsil oluna bilər L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, buna görə də tapılan stasionar nöqtədə L(x,y) maksimuma malikdir və z = xy –şərti maksimum.

z - /(x, y) funksiyası hansısa D sahəsində müəyyən edilsin və Mo(xo, Vo) bu oblastın daxili nöqtəsi olsun. Tərif. Əgər bütün şərtləri ödəyən üçün bərabərsizliyin doğru olduğu bir ədəd varsa, onda Mo(xo, y) nöqtəsi /(x, y) funksiyasının lokal maksimum nöqtəsi adlanır; əgər bütün Dx, Du, şərtləri təmin edən | onda Mo(xo,yo) nöqtəsi nazik lokal minimum adlanır. Başqa sözlə, M0(x0, y0) nöqtəsi, əgər A/o(x0, y0) nöqtəsinin 6 qonşuluğu varsa, f(x, y) funksiyasının maksimum və ya minimum nöqtəsidir ki, ümumiyyətlə bunun M(x, y) nöqtələrində qonşuluqda funksiyanın artımı öz işarəsini saxlayır. Nümunələr. 1. Funksiya nöqtəsi üçün - minimum nöqtə (şək. 17). 2. Funksiya üçün 0(0,0) nöqtəsi maksimum nöqtədir (şək. 18). 3. Funksiya üçün 0(0,0) nöqtəsi lokal maksimum nöqtədir. 4 Həqiqətən də, 0(0, 0) nöqtəsinin qonşuluğu, məsələn, j radiuslu dairə (bax. Şəkil 19) var ki, onun istənilən nöqtəsində 0(0,0) nöqtəsindən fərqli olaraq /(x,y) funksiyasının qiyməti 1-dən kiçik = Bəzi deşilmiş 6 qonşuluğundan bütün M(x) y) nöqtələri üçün ciddi bərabərsizlik və ya ciddi bərabərsizlik təmin edildikdə, funksiyaların yalnız ciddi maksimum və minimum nöqtələrini nəzərdən keçirəcəyik. nöqtəsi Mq. Funksiyanın maksimum nöqtəsindəki qiyməti maksimum, minimum nöqtədəki funksiyanın qiyməti isə bu funksiyanın minimumu adlanır. Funksiyanın maksimum və minimum nöqtələrinə funksiyanın ekstremum nöqtələri, funksiyanın maksimum və minimumlarına isə onun ekstremumları deyilir. Teorem 11 (ekstremum üçün zəruri şərt). Əgər funksiya bir neçə dəyişənli funksiyanın ekstremumudursa.Bir neçə dəyişənli funksiyanın ekstremumu anlayışı. Ekstremum üçün zəruri və kafi şərtlər Şərti ekstremum Davamlı funksiyaların ən böyük və ən kiçik qiymətləri nöqtədə ekstremuma malikdir, bu nöqtədə hər bir qismən törəmə u ya yox olur, ya da yoxdur. M0(x0, yо) nöqtəsində z = f(x) y) funksiyasının ekstremumu olsun. y dəyişəninə yo qiymətini verək. Onda z = /(x, y) funksiyası bir x dəyişənin funksiyası olacaq\ x = xo-da onun ekstremum (maksimum və ya minimum, şək. 20) olduğu üçün onun x = “o-ya nisbətdə törəməsi, | (*o,l>)" Sıfıra bərabərdir və ya yoxdur. Eynilə biz əminik ki) ya sıfıra bərabərdir, ya da yoxdur. = 0 və χ = 0 olan və ya mövcud olmayan nöqtələr kritik adlanır. z = Dx, y funksiyasının nöqtələri).$£ = φ = 0 olan nöqtələr də funksiyanın stasionar nöqtələri adlanır.11-ci teorem yalnız ekstremum üçün kifayət olmayan zəruri şərtləri ifadə edir.Məsələn: Funksiya şək. 18 Şəkil 20 immt törəmələri sıfıra çevrilir. Amma bu funksiya dümbülün imvatında nazikdir. Həqiqətən də, funksiya 0(0,0) nöqtəsində sıfıra bərabərdir və M(x,y) nöqtələrində ixtiyari olaraq 0(0,0) nöqtəsinə yaxın olan müsbət və mənfi qiymətlər alır. Bunun üçün (0, y) nöqtələrində ixtiyari kiçik olan nöqtələrdə göstərilən tipli 0(0,0) nöqtəsi mini-max nöqtəsi adlanır (şək. 21). İki dəyişənli funksiyanın ekstremumu üçün kafi şərtlər aşağıdakı teoremlə ifadə edilir. Teorem 12 (iki dəyişəndə ​​ekstremum üçün kifayət qədər şərtlər). Qoy Mo(xo»Yo) nöqtəsi f(x, y) funksiyasının stasionar nöqtəsi olsun və Mo nöqtəsinin özü də daxil olmaqla / nöqtəsinin bəzi qonşuluğunda f(z, y) funksiyasının davamlı qismən törəmələri var. ikinci sifariş daxil olmaqla. Sonra". Mo(xo, V0) nöqtəsində /(xo, y) funksiyasının ekstremumu yoxdur, əgər D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>f(x, y) funksiyasının ekstremumu mövcud ola bilər, olmaya da bilər. Bu vəziyyətdə əlavə tədqiqat tələb olunur. m Teoremin 1) və 2) müddəalarını sübut etməklə kifayətlənək. /(i, y) funksiyası üçün ikinci dərəcəli Teylor düsturunu yazaq: burada. Şərtə görə aydın olur ki, D/ artımının işarəsi (1-in sağ tərəfindəki üçbucaqlının işarəsi), yəni ikinci diferensialın işarəsi d2f ilə müəyyən edilir. Qısalıq üçün onu işarə edək. Onda bərabərliyi (l) aşağıdakı kimi yazmaq olar: MQ(belə, V0) nöqtəsində bizdə olsun... Şərtə görə f(s, y) funksiyasının ikinci dərəcəli qismən törəmələri kəsilməz olduğundan, onda (3) bərabərsizliyi M0(s0,yo) nöqtəsinin bəzi qonşuluğunda da keçərlidir. Şərt yerinə yetirilərsə (A/0 nöqtəsində və fasiləsizliyə görə törəmə /,z(s,y) Af0 nöqtəsinin bəzi qonşuluğunda işarəsini saxlayacaq. А Ф 0 olan bölgədə bizdə .Bundan aydın olur ki, M0(x0) y0 nöqtəsinin hansısa qonşuluğunda ЛС - В2 > 0 olarsa, onda AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 üçhəcminin işarəsi A nöqtəsindəki A işarəsi ilə üst-üstə düşür (deməli , V0) (həmçinin C işarəsi ilə, çünki AC üçün - B2 > 0 A və C fərqli işarələrə malik ola bilməz). (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) nöqtəsindəki AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 cəminin işarəsi fərqin işarəsini təyin etdiyi üçün aşağıdakı nəticəyə gəlirik: əgər /(s,y) funksiyası üçün stasionar nöqtə (s0, V0) şərti, sonra kifayət qədər kiçik || üçün bərabərsizlik təmin olunacaq. Beləliklə, (kv, V0) nöqtəsində /(s, y) funksiyası maksimuma malikdir. Əgər şərt stasionar nöqtədə (s0, y0) ödənilirsə, onda bütün kifayət qədər kiçik |Dr| və |Du| bərabərsizlik doğrudur, bu o deməkdir ki, (so,yo) nöqtəsində /(s, y) funksiyası minimuma malikdir. Nümunələr. 1. Ekstremum üçün funksiyanı araşdırın 4 Ekstremum üçün lazımi şərtlərdən istifadə edərək, funksiyanın stasionar nöqtələrini axtarırıq. Bunun üçün u qismən törəmələri tapırıq və onları sıfıra bərabərləşdiririk. Harada - stasionar nöqtədən tənliklər sistemi alırıq. İndi Teorem 12-dən istifadə edək. Bu o deməkdir ki, Ml nöqtəsində ekstremum var. Çünki bu minimumdur. r funksiyasını formaya çevirsək, bunu asanlıqla görmək olar sağ hissə Bu funksiyanın mütləq minimumu olduqda (“) minimal olacaqdır. 2.Funksiyanı ekstremum üçün yoxlayın.Funksiyanın stasionar nöqtələrini tapırıq, onlar üçün tənliklər sistemini tərtib edirik.Deməli, nöqtə stasionar olsun. Çünki 12-ci teorem əsasında M nöqtəsində ekstremum yoxdur. * 3. Funksiyanın ekstremumunu tədqiq edin.Funksiyanın stasionar nöqtələrini tapın. Tənliklər sistemindən alırıq ki, nöqtə stasionardır. Sonra bizdə var ki, 12-ci teorem ekstremumun olub-olmaması ilə bağlı suala cavab vermir. Gəlin bunu belə edək. Nöqtədən fərqli bütün nöqtələr haqqında bir funksiya üçün, tərifinə görə və A/o(0,0) nöqtəsi üçün r funksiyası mütləq minimuma malikdir. Oxşar hesablamalarla müəyyən edirik ki, funksiya nöqtədə maksimuma malikdir, lakin funksiyanın nöqtədə ekstremumu yoxdur. Nöqtədə n müstəqil dəyişənin funksiyası diferensiallana bilsin Mo nöqtəsi 13-cü teorem (ekstremum üçün kifayət qədər şərtlərə qədər) olduqda funksiyanın stasionar nöqtəsi adlanır. Funksiya müəyyən edilsin və incə Mt(xi...)-nin bəzi qonşuluğunda ikinci dərəcəli davamlı qismən törəmələrə malik olsun, əgər kvadrat forması (f funksiyasının ikinci diferensialı müsbət olarsa) stasionar incə funksiyadır. müəyyən (mənfi müəyyən), f funksiyasının minimum nöqtəsi (müvafiq olaraq, incə maksimum) gözəldir Əgər kvadrat forma (4) işarəsi ilə növbələşirsə, onda incə LG0-da ekstremum yoxdur. Kvadratın olub olmadığını müəyyən etmək üçün (4) forması müsbət və ya mənfi müəyyən olacaq, məsələn, kvadrat formanın müsbət (mənfi ) əminliyi üçün Silvestr kriteriyasından istifadə edə bilərsiniz.15.2.Şərti ekstremum.İndiyədək biz funksiyanın lokal ekstremumlarını axtarırdıq. funksiyanın arqumentləri heç bir əlavə şərtlərlə bağlanmadıqda onun tərif dairəsi boyunca.Belə ekstremallar şərtsiz adlanır.Lakin şərti ekstremumlar deyilənləri tapmaq problemlərinə tez-tez rast gəlinir.z = /(x, y funksiyası olsun. ) D sahəsində müəyyən edilsin. Fərz edək ki, bu sahədə L əyri verilmişdir və biz f(x> y) funksiyasının ekstremumunu onun qiymətlərinin yalnız nöqtələrə uyğun gələnləri arasında tapmaq lazımdır. L əyrisinin L. Eyni ekstremumlara L əyrisində z = f(x) y) funksiyasının şərti ekstremumları deyilir. Tərif L əyrisinin üzərində yerləşən nöqtədə f(x, y) funksiyasının şərti maksimum (minimum) bərabərsizlik bütün M (s, y) y) nöqtələrində ödənilirsə, M0(x0, V0) nöqtəsinin bəzi qonşuluğuna aid olan və M0 nöqtəsindən fərqli (Əgər L əyrisi olarsa) L əyrisi tənliklə verilmişdirsə, onda məsələ əyri üzərində r - f(x,y) funksiyasının şərti ekstremumunu tapmaqdır! aşağıdakı kimi tərtib oluna bilər: D bölgəsində x = /(z, y) funksiyasının ekstremumunu tapın, bu şərtlə ki, z = y funksiyasının şərti ekstremumunu taparkən vəhşi heyvanın arqumentləri artıq ola bilməz. müstəqil dəyişənlər kimi qəbul edilir: onlar bir-biri ilə y ) = 0 münasibəti ilə bağlıdır ki, bu da birləşmə tənliyi adlanır. Şərtsiz və şərti ekstremum arasındakı fərqi aydınlaşdırmaq üçün funksiyanın qeyd-şərtsiz maksimumunun (şək. 23) birinə bərabər olduğu və (0,0) nöqtəsində əldə edildiyi misala baxaq. M nöqtəsinə - pvvboloidin təpəsinə uyğundur.Y = j əlaqə tənliyini əlavə edək. Onda şərti maksimum açıq-aydın ona bərabər olacaq.(o,|) nöqtəsində çatılır və o, topun y = j müstəvisi ilə kəsişmə xətti olan topun Afj təpəsinə uyğun gəlir. Şərtsiz mvximum halında, səthin bütün vpplicvtləri arasında mvximum tətbiqimiz var * = 1 - l;2 ~ y1; summvv şərti - yalnız vllikvt nöqtələri arasında pvraboloidv, xOy müstəvisi deyil y = j düz xəttinin nöqtəsinə* uyğundur. Varlıqda və əlaqədə funksiyanın şərti ekstremumunu tapmaq üsullarından biri aşağıdakı kimidir. y) - O əlaqə tənliyi x arqumentinin unikal diferensiallanan funksiyası kimi y təyin edilsin: Funksiyada y əvəzinə funksiyanı əvəz etməklə, əlaqə şərtinin artıq nəzərə alındığı bir arqumentin funksiyasını alırıq. Funksiyanın (şərtsiz) ekstremumu arzu olunan şərti ekstremumdur. Misal. Bir neçə dəyişənli funksiyanın ekstremumu şərti altında funksiyanın ekstremumunu tapın Bir neçə dəyişənli funksiyanın ekstremumu anlayışı. Ekstremum üçün zəruri və kafi şərtlər Şərti ekstremum Davamlı A funksiyalarının ən böyük və ən kiçik qiymətləri (2") əlaqə tənliyindən y = 1-x tapırıq. Bu y dəyərini (V) əvəz edərək, bir funksiya əldə edirik. bir x arqumenti: Onu ekstremum üçün araşdıraq: buradan x = 1 kritik nöqtədir; , buna görə də r funksiyasının şərti minimumunu verir (şək. 24) Şərti məsələnin həllinin başqa yolunu göstərək. ekstremum, Laqranj çarpan metodu adlanır.Əlaqənin mövcudluğunda funksiyanın şərti ekstremumunun nöqtəsi olsun.Fərz edək ki, əlaqə tənliyi xx nöqtəsinin müəyyən qonşuluğunda unikal davamlı diferensiallanan funksiyanı təyin edir.Fərz edək ki, alırıq ki, xq nöqtəsindəki /(r, ip(x)) funksiyasının x-ə nisbətdə törəməsi sıfıra bərabər olmalıdır və ya buna ekvivalent olan f(x, y)-nin diferensialı sıfıra bərabər olmalıdır. nöqtəsi Mo" O) Əlaqə tənliyindən əldə edirik (5) Son bərabərliyi hələ təyin olunmamış ədədi A amilinə vuraraq və (4) bərabərliyi ilə həd-həd əlavə etsək (biz bunu güman edirik). Sonra dx-in özbaşınalığına görə funksiyanın nöqtəsində qeyd-şərtsiz ekstremum üçün zəruri şərtləri ifadə edən (6) və (7) bərabərliklərini alırıq ki, bu da Laqranj funksiyası adlanır. Beləliklə, /(x, y) funksiyasının şərti ekstremum nöqtəsi, əgər, A-nın müəyyən ədədi əmsal olduğu Laqranj funksiyasının stasionar nöqtəsidir. Buradan şərti ekstremumların tapılması qaydasını əldə edirik: əlaqənin mövcudluğunda funksiyanın şərti ekstremumunun nöqtələri ola biləcək nöqtələri tapmaq üçün 1) Laqranj funksiyasını tərtib edirik, 2) bunun törəmələrini bərabərləşdirməklə. funksiyasını sıfıra endirərək və nəticədə yaranan tənliklərə əlaqə tənliyini əlavə edərək, A dəyərlərini və mümkün ekstremal nöqtələrin x, y koordinatlarını tapdığımız üç tənlik sistemi əldə edirik. Şərti ekstremumun mövcudluğu və təbiəti məsələsi, (8)-dən alınan x0, V0, A qiymətlər sistemi üçün Laqranj funksiyasının ikinci diferensialının işarəsinin öyrənilməsi əsasında həll edilir. , onda (x0, V0) nöqtəsində /(x, y ) funksiyası şərti maksimuma malikdir; əgər d2F > 0 - onda şərti minimum. Xüsusilə, stasionar nöqtədə (xo, J/o) F(x, y) funksiyası üçün D determinantı müsbət olarsa, (®o, V0) nöqtəsində f( funksiyasının şərti maksimumu olur. x, y), if və /(x, y) funksiyasının şərti minimumu, əgər Misal. Yenə əvvəlki misalın şərtlərinə keçək: x+y=1 şərti ilə funksiyanın ekstremumunu tapın.Laqranj çarpan metodundan istifadə edərək məsələni həll edəcəyik. Lagrange funksiyası bu halda formasına malikdir stasionar nöqtələri tapmaq üçün sistem qururuq.Sistemin ilk iki tənliyindən x = y alırıq. Onda sistemin üçüncü tənliyindən (əlaqə tənliyindən) tapırıq ki, x - y = j mümkün ekstremum nöqtəsinin koordinatlarıdır. Bu halda (göstərilir ki, A = -1. Beləliklə, Laqranj funksiyası. * = x2 + y2 şərti ilə funksiyasının şərti minimum nöqtəsidir. Laqranj funksiyası üçün qeyd-şərtsiz ekstremum yoxdur. P(x, y). ) hələlik əlaqənin mövcudluğunda /(x, y) funksiyası üçün şərti ekstremumun olmamasını bildirmir. A və mümkün ekstremum nöqtələrinin koordinatlarını təyin etmək: İlk iki tənlikdən x + y = 0 alırıq və x = y = A = 0 olduğu sistemə gəlirik. Beləliklə, müvafiq Laqranj funksiyası nöqtədə formaya malikdir. (0,0) F(x, y; 0) funksiyasının şərtsiz ekstremumu yoxdur, lakin r = xy funksiyasının şərti ekstremumu. y = x olduqda "vardır. Həqiqətən də, bu halda r = x2.Buradan aydın olur ki (0,0) nöqtəsində şərti minimum var.“Laqranj çarpanlarının metodu istənilən sayda arqumentli funksiya halına köçürülür/ Funksiyanın ekstremumunu axtaraq. əlaqə tənliklərinin mövcudluğunda A|, Az,..., A„ qeyri-müəyyən sabit amillər olduğu Laqranj funksiyasını qurun. F funksiyasının bütün birinci dərəcəli qismən törəmələrini sıfıra bərabər tutaraq və nəticədə yaranan tənliklərə əlaqə tənliklərini (9) əlavə edərək, n + m tənliklər sistemini əldə edirik, ondan Ab A3|..., At və x koordinatlarını təyin edirik. \) x2). » şərti ekstremumun mümkün nöqtələrinin xn. Laqranj metodundan istifadə etməklə tapılan nöqtələrin əslində şərti ekstremum nöqtələri olub-olmaması məsələsi çox vaxt fiziki və ya həndəsi xarakterli mülahizələrə əsasən həll edilə bilər. 15.3. Davamlı funksiyaların ən böyük və ən kiçik qiymətləri Bəzi qapalı məhdud D sahəsində davamlı olan z = /(x, y) funksiyasının ən böyük (kiçik) qiymətini tapmaq lazım gəlsin. Teorem 3-ə görə, bu sahədə var funksiyanın ən böyük (ən kiçik) qiymət aldığı nöqtədir (xo, V0). Əgər (xo, y0) nöqtəsi D sahəsinin daxilində yerləşirsə, onda / funksiyası onda maksimuma (minimum) malikdir, ona görə də bu halda bizi maraqlandıran məqam /(x,) funksiyasının kritik nöqtələri arasında yer alır. y). Lakin /(x, y) funksiyası regionun sərhəddində ən böyük (ən kiçik) qiymətinə çata bilər. Buna görə də, z = /(x, y) funksiyasının məhdud miqyasda qəbul etdiyi ən böyük (ən kiçik) qiyməti tapmaq üçün qapalı sahə 2), bu sahənin daxilində əldə edilən funksiyanın bütün maksimumlarını (minimum), həmçinin bu sahənin sərhəddində funksiyanın ən böyük (ən kiçik) qiymətini tapmaq lazımdır. Bütün bu ədədlərin ən böyüyü (ən kiçiyi) 27-ci regionda z = /(x,y) funksiyasının istənilən ən böyük (kiçik) qiyməti olacaq. Diferensiallaşan funksiya vəziyyətində bunun necə edildiyini göstərək. Prmmr. 4-cü bölgənin funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapın.D bölgəsinin daxilində funksiyanın kritik nöqtələrini tapırıq.Bunun üçün tənliklər sistemi qururuq.Buradan x =y« 0 alırıq ki, 0 (0,0) nöqtəsi x funksiyasının kritik nöqtəsidir. İndi D bölgəsinin G sərhəddində funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapaq. Sərhədin bir hissəsində y = 0 kritik nöqtədir və = o vaxtdan bu nöqtədə z funksiyası = 1 + y2 birə bərabər minimuma malikdir. Seqmentinin uclarında Г", nöqtələrində (, bizdə var. Simmetriya mülahizələrindən istifadə edərək, sərhədin digər hissələri üçün də eyni nəticələr əldə edirik. Nəhayət, əldə edirik: z = x2+y2 funksiyasının regionda ən kiçik qiyməti. "B sıfıra bərabərdir və 0( 0, 0) sahələrinin daxili nöqtəsində əldə edilir və ən yüksək dəyər bu funksiyanın ikiyə bərabər olması sərhədin dörd nöqtəsində əldə edilir (şək. 25) Şəkil 25 Təlimlər Funksiyaların təyini oblastını tapın: Funksiyaların səviyyə xətlərini qurun: 9 Funksiyaların səviyyəli səthlərini tapın. üç müstəqil dəyişənin: Funksiyaların hədlərini hesablayın: Funksiyaların qismən törəmələrini və onların tam diferensiallar : Mürəkkəb funksiyaların törəmələrini tapın: 3 J tapın. Bir neçə dəyişənli funksiyanın ekstremumunu tapın. Ekstremum üçün zəruri və kafi şərtlər Şərti ekstremum Davamlı funksiyaların ən böyük və ən kiçik qiymətləri 34. İki dəyişənli kompleks funksiyanın törəməsi üçün düsturdan istifadə edərək, tapın və funksiyaları: 35. Kompleksin törəməsi üçün düsturdan istifadə edin. iki dəyişənli funksiyanı tapın, |J və funksiyaları tapın: Dolayı şəkildə verilmiş jj funksiyalarını tapın: 40. Teğet əyrisinin x = 3 düz xətti ilə kəsişdiyi nöqtədə bucaq əmsalını tapın. 41. Tangensin olduğu nöqtələri tapın. x əyrisinin Ox oxuna paraleldir. . Aşağıdakı məsələlərdə T-ni tapın: Tangens müstəvisinin və səthin normalının tənliklərini yazın: 49. Səthin x2 + 2y2 + 3z2 = 21, x + 4y müstəvisinə paralel toxunan müstəvilərinin tənliklərini yazın. + 6z = 0. Taylor düsturundan istifadə edərək genişlənmənin ilk üç və ya dörd üzvünü tapın : 50. (0, 0) nöqtəsinin yaxınlığında y. Funksiyanın ekstremumunun tərifindən istifadə edərək, ekstremum üçün aşağıdakı funksiyaları araşdırın:). İki dəyişənli funksiyanın ekstremumu üçün kifayət qədər şərtlərdən istifadə edərək, funksiyanın ekstremumunu araşdırın: 84. Qapalı dairədə z = x2 - y2 funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapın 85. Ən böyük və ən kiçik qiymətləri tapın. x = 0, y = 0, x + y = b düz xətləri ilə məhdudlaşan üçbucaqda * = x2y(4-x-y) funksiyasının. 88. Səthi ən kiçik olan düzbucaqlı açıq hovuzun həcmi V-ə bərabər olmaq şərti ilə onun ölçülərini təyin edin. 87. Ümumi səthi 5 verilmiş maksimum həcmi olan düzbucaqlı paralelepipedin ölçülərini tapın. Cavablar 1. və ​​| Yanları da daxil olmaqla x xətti seqmentlərindən əmələ gələn kvadrat. 3. Konsentrik halqalar ailəsi 2= 0,1,2,... .4. Düz xətlər üzərindəki nöqtələr istisna olmaqla, bütün təyyarə. y = -x parabolasının üstündə yerləşən təyyarənin bir hissəsi? 8. X dairəsinin nöqtələri. Düz xətlərdən başqa bütün müstəvi x Radikal ifadə iki halda qeyri-mənfidir j * ^ və ya j x ^ ^ müvafiq olaraq sonsuz bərabərsizliklər seriyasına ekvivalentdir.Tərif dairəsi kölgəli kvadratlardır (şək. 26); Sonsuz seriyaya ekvivalent olan l Funksiya nöqtələrlə müəyyən edilmişdir. a) X düz xəttinə paralel düz xətlər b) mərkəzi başlanğıcda olan konsentrik dairələr. 10. a) parabola y) parabola y a) parabola b) hiperbola | .Təyyarələr xc. 13. Prim - Oz oxu ətrafında fırlanmanın tək boşluqlu hiperboloidləri; Oz oxu ətrafında fırlanmanın iki vərəqli hiperboloidləri olduqda və olduqda, səthlərin hər iki ailəsi konusla ayrılır; Heç bir məhdudiyyət yoxdur, b) 0. 18. y = kxt sonra z lim z = -2 təyin edək, ona görə də (0,0) nöqtəsində verilmiş funksiyanın limiti yoxdur. 19. a) Nöqtə (0,0); b) nöqtə (0,0). 20. a) Qırılma xətti - dairə x2 + y2 = 1; b) qırılma xətti y = x düz xəttidir. 21. a) Qırılma xətləri - Ox və Oy koordinat oxları; b) 0 (boş dəst). 22. Bütün nöqtələr (m, n), burada və n tam ədədlərdir