5.2. Закон за разпределение на дискретна случайна величина. Разпределителен полигон
На пръв поглед може да изглежда, че за да се дефинира дискретна случайна променлива е достатъчно да се изброят всички нейни възможни стойности. В действителност това не е така: случайните променливи могат да имат едни и същи списъци възможни стойности, а вероятностите им са различни. Следователно, за да посочите дискретна случайна променлива, не е достатъчно да изброите всички нейни възможни стойности; трябва също да посочите техните вероятности.
Закон за разпределение на дискретна случайна величинаобадете се на съответствието между възможните стойности и техните вероятности; може да се посочи таблично, аналитично (под формата на формула) и графично.
Определение.Всяко правило (таблица, функция, графика), което ви позволява да намерите вероятностите за произволни събития А С (С– -алгебра на събитията в пространството ), по-специално, посочвайки вероятностите на отделните стойности на случайна променлива или набор от тези стойности, се нарича закон за разпределение на случайната променлива(или просто: разпространение). Относно с.в. те казват, че „то се подчинява на даден закон за разпределение“.
Позволявам х– д.с.в., който приема стойности х 1 , х 2 , …, х н,… (наборът от тези стойности е краен или изброим) с известна вероятност стр аз, Където аз = 1,2,…, н,… Закон за разпределение d.s.v. удобен за настройка с помощта на формулата стр аз = П{х = х аз)Където аз = 1,2,…, н,..., което определя вероятността в резултат на експеримента р.в. хще вземе стойността х аз. За д.с.в. хзаконът за разпределение може да бъде даден във формата разпределителни маси:
|
х н | |||||
|
Р н |
При посочване на закона за разпределение на дискретна случайна величина в таблица първият ред на таблицата съдържа възможните стойности, а вторият – техните вероятности. такава таблица се нарича близко разпространение.
Като вземем предвид, че в един опит случайната променлива приема една и само една възможна стойност, заключаваме, че събитията х = х 1 , х = х 2 , ..., х = х нобразуват пълна група; следователно сумата от вероятностите за тези събития, т.е. сумата от вероятностите на втория ред на таблицата е равна на единица, т.е.
Ако наборът от възможни стойности хбезкрайно (изброимо), след това серията Р 1 + Р 2 + ... се събира и сумата му е равна на едно.
Пример.Има издадени 100 билета за паричната лотария. Тегли се една печалба от 50 рубли. и десет печалби от 1 rub. Намерете закона за разпределение на случайна променлива х– цената на възможните печалби за притежателя на един лотарен билет.
Решение.Нека напишем възможните стойности х: х 1 = 50, х 2 = 1, х 3 = 0. Вероятностите за тези възможни стойности са: Р 1 = 0,01, Р 2 = 0,01, Р 3 = 1 – (Р 1 + Р 2)=0,89.
Нека напишем необходимия закон за разпределение:
Контрола: 0,01 + 0,1 + 0,89 =1.
Пример.В урната има 8 топки, 5 от които са бели, останалите са черни. От него произволно се изтеглят 3 топки. Намерете закона за разпределение на броя на белите топки в извадката.
Решение.Възможни стойности на r.v. х– в извадката има брой бели топки х 1 = 0, х 2 = 1, х 3 = 2, х 4 = 3. Техните вероятности ще бъдат съответно
;
;
.
Нека напишем закона за разпределение под формата на таблица.
|
|
|
|
|
Контрол: 
.
Закон за разпределение d.s.v. могат да бъдат посочени графично, ако възможните стойности на r.v. са нанесени на абсцисната ос, а вероятностите на тези стойности са нанесени на ординатната ос. прекъсната линия, свързваща последователно точки ( х 1 , Р 1), (х 2 , Р 2),... наречен многоъгълник(или многоъгълник) разпространение(виж Фиг. 5.1).
Ориз. 5.1. Разпределителен полигон
Сега можете да дадете повече точно определениед.с.в.
Определение.Случайна стойност X е дискретно, ако има краен или изброим набор от числа х 1 , х 2 , ... такова, че П{х = х аз } = стр аз > 0 (аз= 1,2,...) и стр 1 + стр 2 + Р 3 +… = 1.
Нека дефинираме математически операции върху дискретни r.v.
Определение.Количество (разлика, работа) д.с.в. х, приемайки стойности х азс вероятности стр аз = П{х = х аз }, аз = 1, 2, …, н, и д.с.в. Y, приемайки стойности г й с вероятности стр й = П{Y = г й }, й = 1, 2, …, м, се нарича д.с.в. З = х + Y (З = х – Y, З = х Y), вземайки стойности z ij = х аз + г й (z ij = х аз – г й , z ij = х аз г й) с вероятности стр ij = П{х = х аз , Y = г й) за всички посочени стойности азИ й. Ако някои суми съвпадат х аз + г й (разлики х аз – г й, върши работа х аз г й) се добавят съответните вероятности.
Определение.работад.с.в. На номер sнаречен д.с.в. cX, приемайки стойности сх азс вероятности стр аз = П{х = х аз }.
Определение.Две д.с.в. хИ Yса наречени независима, ако събития ( х = х аз } = А азИ ( Y = г й } = б йнезависими за всякакви аз = 1, 2, …, н, й = 1, 2, …, м, това е
Иначе р.в. Наречен зависим. Няколко р.в. се наричат взаимно независими, ако законът за разпределение на някое от тях не зависи от това какви възможни стойности са взели другите количества.
Нека разгледаме няколко от най-често използваните закони за разпределение.
В раздела от курса, посветен на основните понятия на теорията на вероятностите, вече въведохме изключително важното понятие за случайна променлива. Тук ще дадем по-нататъчно развитиетази концепция и посочва начините, по които случайните променливи могат да бъдат описани и характеризирани.
Както вече споменахме, случайна променлива е величина, която в резултат на експеримент може да приеме една или друга стойност, но не е известно предварително каква. Ние също се съгласихме да правим разлика между случайни променливи на непрекъснати (дискретни) и непрекъснат тип. Възможните стойности на прекъснати количества могат да бъдат изброени предварително. Възможните стойности на непрекъснати количества не могат да бъдат изброени предварително и непрекъснато да запълват определена празнина.
Примери за прекъснати случайни променливи:
1) броят на изявите на герба по време на три хвърляния на монети (възможни стойности 0, 1, 2, 3);
2) честота на появяване на герба в един и същ експеримент (възможни стойности);
3) броят на неуспешните елементи в устройство, състоящо се от пет елемента (възможните стойности са 0, 1, 2, 3, 4, 5);
4) броят на ударите на самолета, достатъчни, за да го деактивират (възможни стойности 1, 2, 3, ..., n, ...);
5) броят на самолетите, свалени във въздушен бой (възможни стойности 0, 1, 2, ..., N, където е общият брой на самолетите, участващи в битката).
Примери за непрекъснати случайни променливи:
1) абсциса (ордината) на точката на попадение при изстрел;
2) разстоянието от точката на удара до центъра на целта;
3) грешка на ръстомера;
4) време на безотказна работа на радиотръбата.
Нека се съгласим по-нататък случайните променливи да се обозначават с главни букви, а възможните им стойности със съответните малки букви. Например – броят на попаденията с три изстрела; възможни стойности: .
Нека разгледаме прекъсната случайна променлива с възможни стойности. Всяка от тези стойности е възможна, но не е сигурна и стойността X може да приеме всяка от тях с известна вероятност. В резултат на експеримента стойността X ще приеме една от тези стойности, т.е. Ще се случи едно от пълната група несъвместими събития:
Нека означим вероятностите за тези събития с буквите p със съответните индекси:
Тъй като несъвместимите събития (5.1.1) образуват пълна група, тогава
тези. сумата от вероятностите на всички възможни стойности на случайна променлива е равна на единица. Тази обща вероятност по някакъв начин се разпределя между отделните стойности. Случайната променлива ще бъде напълно описана от вероятностна гледна точка, ако посочим това разпределение, т.е. Нека посочим точно каква вероятност има всяко от събитията (5.1.1). С това ще установим така наречения закон за разпределение на случайна променлива.
Законът за разпределение на случайна променлива е всяка връзка, която установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните вероятности. За една случайна величина ще кажем, че се подчинява на даден закон на разпределение.
Нека установим формата, в която може да бъде определен законът за разпределение на прекъсната случайна променлива. Най-простата формаДефиницията на този закон е таблица, която изброява възможните стойности на случайната променлива и съответните вероятности:
Такава таблица ще наричаме серия на разпределение на случайна променлива.
За да придадат по-визуален вид на серията разпределение, те често прибягват до нейното графично представяне: възможните стойности на случайната променлива са нанесени по абсцисната ос, а вероятностите на тези стойности са нанесени по ординатната ос. За по-голяма яснота получените точки са свързани с прави сегменти. Такава фигура се нарича многоъгълник на разпределение (фиг. 5.1.1). Полигонът на разпределение, подобно на серията на разпределение, напълно характеризира случайната променлива; това е една от формите на закона за разпределение.
Понякога така наречената „механична“ интерпретация на серията за разпределение е удобна. Нека си представим, че определена маса, равна на единица, е разпределена по абсцисната ос по такъв начин, че масите са концентрирани съответно в отделни точки. Тогава серията на разпределение се интерпретира като система от материални точки с някои маси, разположени по абсцисната ос.
Нека разгледаме няколко примера за прекъснати случайни променливи с техните закони за разпределение.
Пример 1. Провежда се един експеримент, в който събитието може или не може да се появи. Вероятността за събитието е 0,3. Разглежда се случайна променлива - броят на появяванията на събитие в даден експеримент (т.е. характерна случайна променлива на събитие, приемаща стойност 1, ако се появи, и 0, ако не се появи). Построете серия на разпределение и многоъгълник на разпределение на величината.
Решение. Стойността има само две стойности: 0 и 1.
Разпределителният полигон е показан на фиг. 5.1.2.
Пример 2. Стрелецът стреля три пъти по мишена. Вероятността за попадение в целта с всеки изстрел е 0,4. За всяко попадение стрелецът получава 5 точки. Изградете серия на разпределение на броя отбелязани точки.
Решение. Нека обозначим броя на отбелязаните точки. Възможни стойности: .
Ние намираме вероятността от тези стойности, използвайки теоремата за повторение на експериментите:
Серията на разпределението на стойността има формата:
Разпределителният полигон е показан на фиг. 5.1.3.
Пример 3. Вероятността за възникване на събитие в един експеримент е равна на . Провеждат се поредица от независими експерименти, които продължават до първото възникване на събитието, след което експериментите се спират. Случайна променлива – броят на извършените експерименти. Изградете серия от разпределение на стойността.
Решение. Възможни стойности: 1, 2, 3, ... (теоретично не са ограничени от нищо). За да може дадено количество да приеме стойност 1, е необходимо събитието да се случи в първия експеримент; вероятността за това е равна. За да може дадено количество да приеме стойност 2, е необходимо събитието да не се появи в първия експеримент, но да се появи във втория; вероятността за това е равна на , където и т.н. Серията на разпределението на стойността има формата:
Първите пет ординати на разпределителния полигон за случая са показани на фиг. 5.1.4.
Пример 4. Стрелецът стреля по мишена до първото попадение с 4 патрона. Вероятността за попадение за всеки изстрел е 0,6. Изградете серия за разпределение на количеството боеприпаси, останали неизразходвани.
Решение. Случайната променлива - броят на неизразходваните касети - има четири възможни стойности: 0, 1, 2 и 3. Вероятностите на тези стойности са съответно равни:
Серията на разпределението на стойността има формата:
Разпределителният полигон е показан на фиг. 5.1.5.
Пример 5. Едно техническо средство може да се използва при различни условия и в зависимост от това изисква периодична настройка. Когато използвате устройството веднъж, то може случайно да попадне в благоприятен или неблагоприятен режим. При благоприятен режим устройството може да издържи три употреби без настройка; преди четвъртата трябва да се коригира. При неблагоприятен режим устройството трябва да се настрои след първото използване. Вероятността устройството да попадне в благоприятен режим е 0,7, а да попадне в неблагоприятен режим е 0,3. Разглежда се случайна променлива - броят на използванията на устройството преди настройката. Конструирайте неговите разпределителни серии.
Решение. Случайната променлива има три възможни стойности: 1, 2 и 3. Вероятността , е равна на вероятността при първото използване на устройството да попадне в неблагоприятен режим, т.е. . За да приеме стойността 2, устройството трябва да е в благоприятен режим при първото използване и в неблагоприятен режим при второто използване; вероятността от това 
. За да приеме стойността 3, устройството трябва да е в благоприятен режим първите два пъти (след третия път пак ще трябва да се настрои). Вероятността за това е равна 
.
Серията на разпределението на стойността има формата:
Разпределителният полигон е показан на фиг. 5.1.6.
Разпределителна функция
В предишния номер въведохме серията на разпределение като изчерпателна характеристика (закон на разпределение) на прекъсната случайна променлива. Тази характеристика обаче не е универсална; съществува само за прекъснати случайни променливи. Лесно е да се види, че е невъзможно да се конструира такава характеристика за непрекъсната случайна променлива. Наистина, една непрекъсната случайна променлива има безкраен брой възможни стойности, напълно запълващи определен интервал (така нареченото „изброимо множество“). Невъзможно е да се създаде таблица, изброяваща всички възможни стойности на такава случайна променлива. Освен това, както ще видим по-късно, всяка отделна стойност на непрекъсната случайна променлива обикновено няма различна от нула вероятност. Следователно за непрекъсната случайна променлива няма ред на разпределение в смисъла, в който съществува за прекъсната променлива. Въпреки това, различни области на възможни стойности на случайна променлива все още не са еднакво вероятни и за непрекъсната променлива има „вероятностно разпределение“, макар и не в същия смисъл като за прекъсната.
За количествено характеризиране на това разпределение на вероятностите е удобно да се използва невероятността на събитието и вероятността на събитието, където е някаква текуща променлива. Вероятността за това събитие очевидно зависи от , има някаква функция на . Тази функция се нарича функция на разпределение на случайна променлива и се означава с:
. (5.2.1)
Функцията на разпределение понякога се нарича също кумулативна функция на разпределение или кумулативен закон на разпределение.
Функцията на разпределение е най-универсалната характеристика на случайна променлива. Съществува за всички случайни променливи: както прекъснати, така и непрекъснати. Функцията на разпределение напълно характеризира случайна променлива от вероятностна гледна точка, т.е. е една от формите на закона за разпределение.
Нека формулираме някои общи свойства на функцията на разпределение.
1. Функцията на разпределение е ненамаляваща функция на своя аргумент, т.е. при .
2. При минус безкрайност функцията на разпределение е равна на нула: .
3. При плюс безкрайност функцията на разпределение е равна на единица: .
Без да даваме строго доказателство за тези свойства, ние ще ги илюстрираме с помощта на визуална геометрична интерпретация. За да направим това, ще разгледаме случайна променлива като произволна точка на оста Ox (фиг. 5.2.1), която в резултат на експеримент може да заеме една или друга позиция. Тогава функцията на разпределение е вероятността произволна точка в резултат на експеримента да падне отляво на точката.
Ще увеличим, тоест ще преместим точката надясно по абсцисната ос. Очевидно в този случай вероятността произволна точка да падне отляво не може да намалее; следователно функцията на разпределение не може да намалява с нарастване.
За да сме сигурни, че , ще преместим точката наляво по абсцисата за неопределено време. В този случай уцелването на произволна точка вляво от лимита става невъзможно събитие; Естествено е да се вярва, че вероятността от това събитие клони към нула, т.е. .
По подобен начин, премествайки точката надясно без ограничение, ние се уверяваме, че , тъй като събитието става надеждно в ограничението.
Графика на функцията на разпределение в общ случайе графика на ненамаляваща функция (фиг. 5.2.2), чиито стойности започват от 0 и достигат до 1, като в определени точки функцията може да има скокове (прекъсвания).
Познавайки серията на разпределение на прекъсната случайна променлива, може лесно да се конструира функцията на разпределение на тази променлива. Наистина ли,
,
където неравенството под знака за сумата показва, че сумирането се прилага за всички онези стойности, които са по-малки от .
Когато текущата променлива преминава през някоя от възможните стойности на прекъснатата стойност, функцията на разпределение се променя рязко и големината на скока е равна на вероятността от тази стойност.
Пример 1. Провежда се един експеримент, в който събитието може или не може да се появи. Вероятността за събитието е 0,3. Случайна променлива – броят на появяванията на събитие в експеримент (характерна случайна променлива на събитие). Конструирайте неговата функция на разпределение.
Опитът е всяко изпълнение на определени условия и действия, при които се наблюдава изучаваното случайно явление. Експериментите могат да бъдат характеризирани качествено и количествено. Случайна величина е величина, която в резултат на експеримент може да приеме една или друга стойност, като предварително не е известно каква.
Случайните променливи обикновено се обозначават (X,Y,Z), а съответните стойности (x,y,z)
Дискретните са случайни променливи, които приемат отделни стойности, изолирани една от друга, които могат да бъдат надценени. Непрекъснати количествавъзможните стойности на които непрекъснато запълват определен диапазон. Законът за разпределение на случайна променлива е всяко отношение, което установява връзка между възможните стойности на случайни променливи и съответните вероятности. Разпределителен ред и полигон. Най-простата форма на закона за разпределение дискретна стойносте серията за разпространение. Графичната интерпретация на серията на разпределение е полигонът на разпределение.
Информацията, която ви интересува, можете да намерите и в научната търсачка Otvety.Online. Използвайте формата за търсене:
Още по тема 13. Дискретна случайна величина. Разпределителен полигон. Операции със случайни променливи, пример:
- 13. Дискретна случайна величина и закон за нейното разпределение. Разпределителен полигон. Операции със случайни величини. Пример.
- Понятието „случайна величина” и нейното описание. Дискретна случайна величина и нейния закон (серия) на разпределение. Независими случайни променливи. Примери.
- 14. Случайни величини, техните видове. Закон за вероятностно разпределение на дискретна случайна променлива (DRV). Методи за конструиране на случайни величини (СВ).
- 16. Закон за разпределение на дискретна случайна величина. Числени характеристики на дискретна случайна величина: математическо очакване, дисперсия и стандартно отклонение.
- Математически операции върху дискретни случайни променливи и примери за конструиране на закони за разпределение на KX, X"1, X + K, XV въз основа на дадени разпределения на независими случайни променливи X и Y.
- Концепцията за случайна променлива. Закон за разпределение на дискретни случаи. количества. Математически операции върху случаен принцип. количества.
Случайни величини: дискретни и непрекъснати.
При провеждане на стохастичен експеримент се формира пространство от елементарни събития - възможни резултатитози експеримент. Смята се, че на това пространство от елементарни събития има даденост произволна стойност X, ако е даден закон (правило), според който всяко елементарно събитие се свързва с число. По този начин случайната променлива X може да се разглежда като функция, дефинирана в пространството на елементарни събития.
■ Случайна променлива- количество, което отнема един или друг за всеки тест числова стойност(не се знае предварително коя), в зависимост от случайни причини, които не могат да бъдат предварително взети предвид. Случайните променливи се отбелязват с главни букви латиница, а възможните стойности на случайната променлива са малки. И така, когато хвърляте зар, възниква събитие, свързано с числото x, където x е броят на хвърлените точки. Броят на точките е случайна променлива, а числата 1, 2, 3, 4, 5, 6 са възможните стойности на тази стойност. Разстоянието, което снарядът ще измине при изстрел от пистолет, също е случайна променлива (в зависимост от инсталирането на мерника, силата и посоката на вятъра, температурата и други фактори), а възможните стойности на тази стойност принадлежат до определен интервал (a; b).
■ Дискретна случайна променлива– случайна променлива, която приема отделни изолирани възможни стойности с определени вероятности. Броят на възможните стойности на дискретна случайна променлива може да бъде краен или безкраен.
■ Непрекъсната случайна променлива– случайна променлива, която може да приема всички стойности от някакъв краен или безкраен интервал. Броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкраен.
Например, броят точки, хвърлени при хвърляне на зар, резултатът за тест са отделни случайни променливи; разстоянието, което снарядът лети при изстрел от пистолет, грешката на измерване на индикатора за време за усвояване на учебен материал, височината и теглото на човек са непрекъснати случайни променливи.
Закон за разпределение на случайна величина– съответствие между възможните стойности на случайна променлива и техните вероятности, т.е. Всяка възможна стойност x i е свързана с вероятността p i, с която случайната променлива може да приеме тази стойност. Законът за разпределение на случайна величина може да бъде определен таблично (под формата на таблица), аналитично (под формата на формула) и графично.
Нека дискретна случайна променлива X приема стойности x 1 , x 2 , …, x n с вероятности p 1 , p 2 , …, p n съответно, т.е. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. Когато посочвате закона за разпределение на това количество в таблица, първият ред на таблицата съдържа възможните стойности x 1 , x 2 , ..., x n , а вторият ред съдържа техните вероятности
| х | х 1 | х 2 | … | x n |
| стр | стр. 1 | p2 | … | p n |
В резултат на теста дискретна случайна променлива X приема една и само една от възможните стойности, следователно събитията X=x 1, X=x 2, ..., X=x n образуват пълна група от двойки несъвместими събития и следователно сумата от вероятностите за тези събития е равна на единица, т.е. p 1 + p 2 +… + p n =1.
Закон за разпределение на дискретна случайна величина. Разпределителен полигон (многоъгълник).
Както знаете, случайната променлива е променлива, която може да приема определени стойности в зависимост от случая. Случайни променливи означават с главни буквилатиница (X, Y, Z), а значенията им - със съответните малки букви (x, y, z). Случайните величини се делят на прекъснати (дискретни) и непрекъснати.
Дискретна случайна променлива е случайна променлива, която приема само краен или безкраен (изброим) набор от стойности с определени ненулеви вероятности.
Закон за разпределение на дискретна случайна величинае функция, която свързва стойностите на случайна променлива със съответните им вероятности. Законът за разпределение може да бъде определен по един от следните начини.
1. Законът за разпределение може да бъде даден от таблицата:
където λ>0, k = 0, 1, 2, … .
в) използване на функцията на разпределение F(x), която определя за всяка стойност x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от x, т.е. F(x) = P(X< x).
 |
Свойства на функцията F(x)
3. Законът за разпределение може да се посочи графично – чрез многоъгълник на разпределение (многоъгълник) (виж задача 3).
Имайте предвид, че за решаването на някои задачи не е необходимо да знаете закона за разпределение. В някои случаи е достатъчно да знаете едно или повече числа, които отразяват най-много важни характеристикиразпределителен закон. Това може да е число, което има значението на "средната стойност" на случайна променлива, или число, което показва средният размеротклонение на случайна величина от нейната средна стойност. Числата от този вид се наричат числени характеристики на случайна променлива.
Основни числени характеристики на дискретна случайна променлива:
- Математическо очакване (средна стойност) на дискретна случайна променлива M(X)=Σ x i p i .
За биномиално разпределение M(X)=np, за разпределение на Поасон M(X)=λ - Дисперсия на дискретна случайна променлива D(X)= M 2 или D(X) = M(X 2)− 2. Разликата X–M(X) се нарича отклонение на случайна променлива от нейната математическо очакване.
За биномиално разпределение D(X)=npq, за разпределение на Поасон D(X)=λ - Стандартно отклонение ( стандартно отклонение) σ(X)=√D(X).
· За яснота на представяне на вариационната серия голямо значениеима графични изображения от него. Графично една вариационна серия може да бъде изобразена като многоъгълник, хистограма и кумулация.
· Разпределителен многоъгълник (букв. разпределителен многоъгълник) се нарича начупена линия, която е построена в правоъгълна координатна система. Стойността на атрибута се нанася по абсцисата, съответните честоти (или относителните честоти) - по ординатата. Точките (или) се свързват с прави сегменти и се получава разпределителен многоъгълник. Най-често полигоните се използват за изобразяване на дискретни вариационна серия, но могат да се използват и за интервални серии. В този случай точките, съответстващи на средните точки на тези интервали, се нанасят върху абсцисната ос.
