Hajde da razmotrimo sistem linearnih algebarskih jednadžbi(SLAU) relativno n nepoznato x 1 , x 2 , ..., x n :
Ovaj sistem u "srušenom" obliku može se napisati na sljedeći način:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
U skladu sa pravilom množenja matrice, razmatrani sistem linearne jednačine može se upisati matrični oblik Ax=b, Gdje
,
,.
Matrix A, čiji su stupci koeficijenti za odgovarajuće nepoznate, a redovi koeficijenti za nepoznate u odgovarajućoj jednadžbi naziva se matrica sistema. Matrica kolona b, čiji su elementi desna strana jednadžbi sistema, naziva se matrica desne strane ili jednostavno desnu stranu sistema. Matrica kolona x , čiji su elementi nepoznate nepoznanice, naziva se sistemsko rešenje.
Sistem linearnih algebarskih jednačina napisanih u obliku Ax=b, je matrična jednačina.
Ako je sistemska matrica nedegenerisan, onda ima inverzna matrica a zatim i rješenje sistema Ax=b je dato formulom:
x=A -1 b.
Primjer Riješite sistem 
matrična metoda.
Rješenje hajde da nađemo inverznu matricu za matricu koeficijenata sistema
Izračunajmo determinantu proširenjem duž prvog reda:
Zbog Δ ≠ 0 , To A -1 postoji.
Inverzna matrica je pronađena ispravno.
Hajde da nađemo rešenje za sistem 
dakle, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
pregled: 
7. Kronecker-Capelli teorema o kompatibilnosti sistema linearnih algebarskih jednadžbi.
Sistem linearnih jednačina ima oblik:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Ovdje su dati a i j i b i (i = ; j = ), a x j su nepoznati realni brojevi. Koristeći koncept proizvoda matrica, možemo prepisati sistem (5.1) u obliku:
gdje je A = (a i j) matrica koja se sastoji od koeficijenata za nepoznanice sistema (5.1), koja se naziva matrica sistema, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T su vektori stupaca sastavljeni od nepoznatih x j i slobodnih termina b i .
Naručena kolekcija n zovu se realni brojevi (c 1 , c 2 ,..., c n). sistemsko rešenje(5.1), ako se kao rezultat zamjene ovih brojeva umjesto odgovarajućih varijabli x 1, x 2,..., x n, svaka jednačina sistema pretvara u aritmetički identitet; drugim riječima, ako postoji vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T takav da je AC B.
Sistem (5.1) se poziva zglob, ili rješivo, ako ima barem jedno rješenje. Sistem se zove nespojivo, ili nerešivo, ako nema rješenja.
,
formiran dodeljivanjem kolone slobodnih pojmova matrici A sa desne strane se zove proširena matrica sistema.
Pitanje kompatibilnosti sistema (5.1) rješava se sljedećom teoremom.
Kronecker-Capelli teorem . Sistem linearnih jednačina je konzistentan ako i samo ako se rangovi matrica A i A poklapaju, tj. r(A) = r(A) = r.
Za skup M rješenja sistema (5.1) postoje tri mogućnosti:
1) M = (u ovom slučaju sistem je nekonzistentan);
2) M se sastoji od jednog elementa, tj. sistem ima jedinstveno rješenje (u ovom slučaju sistem se zove siguran);
3) M se sastoji od više od jednog elementa (tada se sistem zove neizvjesno). U trećem slučaju sistem (5.1) ima beskonačan broj rješenja.
Sistem ima jedinstveno rješenje samo ako je r(A) = n. U ovom slučaju, broj jednačina nije manji od broja nepoznatih (mn); ako je m>n, onda m-n jednačine su posledice drugih. Ako je 0 Da biste riješili proizvoljni sistem linearnih jednačina, morate znati rješavati sisteme u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih - tzv. Sistemi tipa Cramer: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistemi (5.3) se rešavaju na jedan od sledećih načina: 1) Gausovom metodom, odnosno metodom eliminisanja nepoznanica; 2) prema Cramerovim formulama; 3) matrična metoda. Primjer 2.12. Istražite sistem jednačina i riješite ga ako je konzistentan: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Rješenje. Zapisujemo proširenu matricu sistema:
Izračunajmo rang glavne matrice sistema. Očigledno je da je, na primjer, minor drugog reda u gornjem lijevom uglu = 7 0; minori trećeg reda koji ga sadrže jednaki su nuli: Prema tome, rang glavne matrice sistema je 2, tj. r(A) = 2. Za izračunavanje ranga proširene matrice A, razmotrite granični minor to znači da je rang proširene matrice r(A) = 3. Pošto je r(A) r(A), sistem je nekonzistentan. U prvom dijelu razmatrali smo teorijski materijal, metodu zamjene, kao i metodu sabiranja sistemskih jednačina po članu. Preporučujem svima koji su pristupili stranici preko ove stranice da pročitaju prvi dio. Možda će nekim posjetiteljima materijal biti prejednostavan, ali u procesu rješavanja sistema linearnih jednačina iznio sam niz vrlo važnih komentara i zaključaka u vezi sa rješavanjem matematičkih problema općenito. Sada ćemo analizirati Cramerovo pravilo, kao i rješavanje sistema linearnih jednadžbi korištenjem inverzne matrice (matrična metoda). Svi materijali su predstavljeni jednostavno, detaljno i jasno skoro svi čitaoci će moći da nauče kako da rešavaju sisteme koristeći gore navedene metode. Prvo ćemo pobliže pogledati Cramerovo pravilo za sistem od dvije linearne jednačine u dvije nepoznate. Za što? – Na kraju krajeva, najjednostavniji sistem se može riješiti školskom metodom, metodom sabiranja termin po član! Činjenica je da ponekad, ali ponekad postoji takav zadatak - riješiti sistem od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice koristeći Cramerove formule. Drugo, jednostavniji primjer će vam pomoći da shvatite kako koristiti Cramerovo pravilo za složeniji slučaj - sistem od tri jednačine sa tri nepoznate. Osim toga, postoje sistemi linearnih jednadžbi sa dvije varijable, koje je preporučljivo riješiti korištenjem Cramerovog pravila! Razmotrimo sistem jednačina U prvom koraku izračunavamo determinantu, ona se zove glavna odrednica sistema. Gaussova metoda. Ako je , tada sistem ima jedinstveno rješenje, a da bismo pronašli korijene moramo izračunati još dvije determinante: U praksi se gore navedeni kvalifikatori mogu označiti i latiničnim slovom. Korijene jednadžbe pronalazimo pomoću formula: Primjer 7 Riješiti sistem linearnih jednačina Rješenje: Vidimo da su koeficijenti jednačine prilično veliki na desnoj strani su decimalni razlomci sa zarezom. Zarez je prilično rijedak gost u praktičnim zadacima iz matematike. Ovaj sistem sam preuzeo iz ekonometrijskog problema. Kako riješiti takav sistem? Možete pokušati izraziti jednu varijablu u terminima druge, ali u ovom slučaju ćete vjerovatno završiti sa strašnim fensi razlomcima s kojima je izuzetno nezgodno raditi, a dizajn rješenja će izgledati jednostavno užasno. Možete pomnožiti drugu jednačinu sa 6 i oduzeti član po član, ali isti razlomci će se pojaviti i ovdje. sta da radim? U takvim slučajevima u pomoć priskaču Cramerove formule. ; ; Odgovori: , Oba korijena imaju beskonačne repove i nalaze se približno, što je sasvim prihvatljivo (pa čak i uobičajeno) za probleme ekonometrije. Komentari ovdje nisu potrebni, jer se zadatak rješava pomoću gotovih formula, međutim, postoji jedno upozorenje. Kada koristite ovu metodu, obavezna Fragment dizajna zadatka je sljedeći fragment: “To znači da sistem ima jedinstveno rješenje”. U suprotnom, recenzent vas može kazniti zbog nepoštovanja Cramerove teoreme. Ne bi bilo suvišno provjeriti, što se zgodno može izvesti na kalkulatoru: zamjenjujemo približne vrijednosti u lijevu stranu svake jednadžbe sistema. Kao rezultat toga, uz malu grešku, trebali biste dobiti brojeve koji su na desnoj strani. Primjer 8 Odgovor predstaviti u običnim nepravilnim razlomcima. Proveri. Ovo je primjer koji možete sami riješiti (primjer konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije). Hajdemo dalje da razmotrimo Cramerovo pravilo za sistem od tri jednačine sa tri nepoznanice: Pronalazimo glavnu odrednicu sistema: Ako je , onda sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan (nema rješenja). U ovom slučaju, Cramerovo pravilo neće pomoći; Ako je , tada sistem ima jedinstveno rješenje i da bismo pronašli korijene moramo izračunati još tri determinante: I na kraju, odgovor se izračunava pomoću formula: Kao što vidite, slučaj „tri po tri“ se u osnovi ne razlikuje od slučaja „dva po dva“ kolona slobodnih pojmova uzastopno „šeta“ s lijeva na desno duž stupaca glavne determinante. Primjer 9 Riješite sistem koristeći Cramerove formule. Rješenje: Rešimo sistem koristeći Cramerove formule. Odgovori: Zapravo, ovdje se opet nema šta posebno komentirati, s obzirom na to da rješenje slijedi gotove formule. Ali ima par komentara. Dešava se da se kao rezultat proračuna dobiju "loši" nesvodljivi razlomci, na primjer: . 1) Možda postoji greška u proračunima. Čim naiđete na "loš" razlomak, odmah morate provjeriti Da li je uslov ispravno napisan?. Ako je uslov prepisan bez grešaka, onda morate ponovo izračunati determinante koristeći proširenje u drugom redu (koloni). 2) Ako se ne identifikuju greške kao rezultat provjere, onda je najvjerovatnije došlo do greške u kucanju u uslovima zadatka. U ovom slučaju, mirno i PAŽLJIVO odradite zadatak do kraja, a zatim obavezno provjeri a mi to sastavljamo na čistom listu nakon odluke. Naravno, provjera razlomaka odgovora je neugodan zadatak, ali će to biti razoružavajući argument za nastavnika, koji zaista voli dati minus za svako sranje poput . Kako postupati s razlomcima detaljno je opisano u odgovoru na primjer 8. Ako imate računar pri ruci, koristite automatizirani program za provjeru, koji možete besplatno preuzeti na samom početku lekcije. Inače, najisplativije je koristiti program odmah (čak i prije pokretanja rješenja odmah ćete vidjeti međukorak u kojem ste pogriješili); Isti kalkulator automatski izračunava rješenje sistema pomoću matrične metode. Druga primjedba. S vremena na vrijeme postoje sistemi u čijim jednačinama nedostaju neke varijable, na primjer: Primjer 10 Riješite sistem koristeći Cramerove formule. Ovo je primjer za samostalno rješenje (uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije). Za slučaj sistema od 4 jednačine sa 4 nepoznate, Cramerove formule se pišu po sličnim principima. Primjer uživo možete vidjeti u lekciji Svojstva determinanti. Smanjenje reda determinante - pet determinanti 4. reda je sasvim rješivo. Iako zadatak već jako podsjeća na profesorsku cipelu na grudima srećnog studenta. Metoda inverzne matrice je u suštini poseban slučaj matrična jednačina(Vidi primjer br. 3 navedene lekcije). Da biste proučili ovaj dio, morate biti u stanju proširiti determinante, pronaći inverznu vrijednost matrice i izvršiti množenje matrice. Relevantne veze će biti dostupne kako objašnjenja budu napredovala. Primjer 11 Riješite sistem matričnim metodom Rješenje: Zapišimo sistem u matričnom obliku: Molimo pogledajte sistem jednačina i matrica. Mislim da svi razumiju princip po kojem upisujemo elemente u matrice. Jedini komentar: ako neke varijable nedostaju u jednadžbi, onda bi nule morale biti postavljene na odgovarajuća mjesta u matrici. Inverznu matricu pronalazimo pomoću formule: Prvo, pogledajmo determinantu: Ovdje je determinanta proširena na prvi red. Pažnja! Ako je , tada inverzna matrica ne postoji i nemoguće je riješiti sistem matričnim metodom. U ovom slučaju sistem se rješava metodom eliminacije nepoznanica (Gaussova metoda). Sada trebamo izračunati 9 minora i upisati ih u matricu minora referenca: Korisno je znati značenje dvostrukih indeksa u linearnoj algebri. Prva cifra je broj reda u kojem se element nalazi. Druga znamenka je broj kolone u kojoj se element nalazi: Neka postoji kvadratna matrica n-tog reda Matrica A -1 se zove inverzna matrica u odnosu na matricu A, ako je A*A -1 = E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda. Matrica identiteta- takva kvadratna matrica u kojoj su svi elementi duž glavne dijagonale, koji prelaze iz gornjeg lijevog kuta u donji desni kut, jedinice, a ostali su nule, na primjer: inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice one. za one matrice u kojima se broj redova i kolona poklapa. Da bi matrica imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da bude nesingularna. Matrica A = (A1, A2,...A n) se zove nedegenerisan, ako su vektori stupaca linearno nezavisni. Broj linearno nezavisnih vektora stupaca matrice naziva se rang matrice. Dakle, možemo reći da je za postojanje inverzne matrice potrebno i dovoljno da rang matrice bude jednak njenoj dimenziji, tj. r = n. Za matricu A, pronađite inverznu matricu A -1 Rješenje: Zapisujemo matricu A i dodjeljujemo matricu identiteta E koristeći Jordanove transformacije, svodimo matricu A na matricu identiteta E. Proračuni su dati u tabeli 31.1. Provjerimo ispravnost proračuna množenjem originalne matrice A i inverzne matrice A -1. Kao rezultat množenja matrice, dobijena je matrica identiteta. Stoga su proračuni obavljeni korektno. odgovor: Matrične jednadžbe mogu izgledati ovako: AX = B, HA = B, AXB = C, gdje su A, B, C specificirane matrice, X je željena matrica. Matrične jednadžbe se rješavaju množenjem jednačine inverznim matricama.
Na primjer, da biste pronašli matricu iz jednačine, trebate pomnožiti ovu jednačinu sa lijevo. Stoga, da biste pronašli rješenje jednadžbe, morate pronaći inverznu matricu i pomnožiti je sa matricom na desnoj strani jednadžbe. Ostale jednačine se rješavaju slično. Riješite jednačinu AX = B ako Rješenje: Pošto je inverzna matrica jednaka (vidi primjer 1) Zajedno sa ostalima, također se koriste matrične metode. Ove metode se zasnivaju na linearnoj i vektorsko-matričnoj algebri. Ovakve metode se koriste za potrebe analize složenih i višedimenzionalnih ekonomskih pojava. Najčešće se ove metode koriste kada je potrebno izvršiti uporednu procjenu funkcionisanja organizacija i njihovih strukturnih podjela. U procesu primjene metoda matrične analize može se izdvojiti nekoliko faza. U prvoj fazi formira se sistem ekonomskih pokazatelja i na osnovu njega se sastavlja matrica početnih podataka, a to je tabela u kojoj su brojevi sistema prikazani u pojedinačnim redovima (i = 1,2,....,n), au vertikalnim kolonama - brojevi indikatora (j = 1,2,....,m). U drugoj fazi Za svaki vertikalni stupac identificira se najveća od dostupnih vrijednosti indikatora, koja se uzima kao jedna. Nakon toga, svi iznosi prikazani u ovoj koloni se dijele sa najvećom vrijednošću i formira se matrica standardiziranih koeficijenata. U trećoj fazi sve komponente matrice su na kvadrat. Ako imaju različitu važnost, tada se svakom matričnom indikatoru dodjeljuje određeni težinski koeficijent k. Vrijednost potonjeg utvrđuje se stručnim mišljenjem. na posljednjoj, četvrta faza pronađene vrijednosti ocjena R j grupisane su po njihovom porastu ili smanjenju. Navedene matrične metode treba koristiti, na primjer, u komparativnoj analizi različitih investicionih projekata, kao iu procjeni drugih ekonomskih pokazatelja aktivnosti organizacija. (ponekad se ova metoda naziva i matrična metoda ili metoda inverzne matrice) zahtijeva preliminarno upoznavanje s takvim konceptom kao što je matrični oblik zapisa SLAE. Metoda inverzne matrice namijenjena je rješavanju onih sistema linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je determinanta sistemske matrice različita od nule. Naravno, ovo pretpostavlja da je matrica sistema kvadratna (koncept determinante postoji samo za kvadratne matrice). Suština metode inverzne matrice može se izraziti u tri tačke: Bilo koji SLAE se može napisati u matričnom obliku kao $A\cdot X=B$, gdje je $A$ matrica sistema, $B$ je matrica slobodnih termina, $X$ je matrica nepoznatih. Neka postoji matrica $A^(-1)$. Pomnožimo obje strane jednakosti $A\cdot X=B$ sa matricom $A^(-1)$ s lijeve strane: $$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Pošto je $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ je matrica identiteta), gore napisana jednakost postaje: $$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Pošto je $E\cdot X=X$, onda: $$X=A^(-1)\cdot B.$$ Primjer br. 1 Riješite SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ koristeći inverznu matricu. $$ A=\left(\begin(niz) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(niz) (c) 29\\ -11 \end(niz)\desno);\; X=\left(\begin(niz) (c) x_1\\ x_2 \end(niz)\desno). $$ Nađimo inverznu matricu sistemskoj matrici, tj. Izračunajmo $A^(-1)$. U primjeru br. 2 $$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$ Sada zamijenimo sve tri matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) u jednakost $X=A^(-1)\cdot B$. Zatim vršimo množenje matrice $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(niz)\desno)\cdot \left(\početak(niz) (c) 29\\ -11 \end(niz)\desno)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(niz)\desno)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(niz) (c) 309\\ -206 \end(niz)\desno)=\left( \begin(niz) (c) -3\\ 2\end(niz)\desno). $$ Dakle, dobili smo jednakost $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( niz )\desno)$. Iz ove jednakosti imamo: $x_1=-3$, $x_2=2$. Odgovori: $x_1=-3$, $x_2=2$. Primjer br. 2 Riješite SLAE $ \levo\(\begin(poravnano) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(poravnano)\desno .$ koristeći metodu inverzne matrice. Zapišimo matricu sistema $A$, matricu slobodnih termina $B$ i matricu nepoznatih $X$. $$ A=\left(\begin(niz) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(niz) (c) -1\\0\\6\end(niz)\desno);\; X=\left(\begin(niz) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(niz)\desno). $$ Sada je red da pronađemo inverznu matricu sistemskoj matrici, tj. pronaći $A^(-1)$. U primjeru br. 3 na stranici posvećenoj pronalaženju inverznih matrica, inverzna matrica je već pronađena. Iskoristimo gotov rezultat i napišemo $A^(-1)$: $$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\kraj (niz)\desno). $$ Sada zamijenimo sve tri matrice ($X$, $A^(-1)$, $B$) u jednakost $X=A^(-1)\cdot B$, a zatim izvršimo množenje matrice na desnoj strani ove jednakosti. $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(niz) \desno)\cdot \left(\begin(niz) (c) -1\\0\ \6\end(niz)\desno)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(niz) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(niz)\desno)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(niz) (c) 0\\-104\\234\end(niz)\right)=\left( \begin(niz) (c) 0\\-4\\9\end(niz)\desno) $$ Dakle, dobili smo jednakost $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(niz)\desno)$. Iz ove jednakosti imamo: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$. Ovo je koncept koji generalizira sve moguće operacije izvedene s matricama. Matematička matrica - tabela elemenata. O stolu gdje m linije i n kolone, kaže se da ova matrica ima dimenziju m on n. Opšti izgled matrice: Za matrična rješenja potrebno je razumjeti šta je matrica i znati njene glavne parametre. Glavni elementi matrice: Glavne vrste matrica: Matrica može biti simetrična u odnosu na glavnu i sekundarnu dijagonalu. Odnosno, ako a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, tada je matrica simetrična oko glavne dijagonale. Samo kvadratne matrice mogu biti simetrične. Gotovo sve matrične metode rješavanja sastoji se u pronalaženju njegove determinante n-. reda i većina njih je prilično glomazna. Za pronalaženje determinante 2. i 3. reda postoje druge, racionalnije metode. Za izračunavanje determinante matrice A 2. reda, potrebno je od umnoška elemenata glavne dijagonale oduzeti proizvod elemenata sekundarne dijagonale: Ispod su pravila za pronalaženje determinante 3. reda. Pojednostavljeno pravilo trougla kao jedno od matrične metode rješavanja, može se prikazati na ovaj način: Drugim riječima, proizvod elemenata u prvoj determinanti koji su povezani pravim linijama uzima se sa znakom “+”; Također, za 2. odrednicu, odgovarajući proizvodi se uzimaju sa znakom "-", odnosno prema sljedećoj shemi: At rješavanje matrica korištenjem Sarrusovog pravila, desno od determinante, dodati prve 2 kolone i proizvode odgovarajućih elemenata na glavnoj dijagonali i na dijagonalama koje su joj paralelne uzeti sa znakom “+”; i produkte odgovarajućih elemenata sekundarne dijagonale i dijagonala koje su joj paralelne, sa znakom "-": Dekompozicija determinante u red ili kolonu pri rješavanju matrica. Determinanta je jednaka zbroju proizvoda elemenata reda determinante i njihovih algebarskih komplementa. Obično se bira red/kolona koji sadrži nule. Red ili stupac duž kojeg se vrši dekompozicija bit će označen strelicom. Svođenje determinante na trokutasti oblik pri rješavanju matrica. At rješavanje matrica metodom svođenja determinante na trokutasti oblik, funkcioniraju ovako: korištenjem najjednostavnijih transformacija na redovima ili stupcima, determinanta postaje trokutastog oblika i tada će njena vrijednost, u skladu sa svojstvima determinante, biti jednaka umnošku elemenata koji se nalaze na glavnoj dijagonali. Laplaceov teorem za rješavanje matrica. Kada rješavate matrice korištenjem Laplaceove teoreme, morate znati samu teoremu. Laplaceov teorem: Neka Δ
- ovo je odrednica n-th red. Odabiremo bilo koju k redovi (ili kolone), predviđeni k≤
n - 1. U ovom slučaju, zbir proizvoda svih maloljetnika k-ti red koji se nalazi u odabranom k redovi (kolone), po svojim algebarskim komplementama biće jednaki determinanti. Redoslijed radnji za inverzna matrična rješenja: Za rješenja matričnih sistema Najčešće se koristi Gaussova metoda. Gaussova metoda je standardna metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE) i sastoji se u tome da se varijable sekvencijalno eliminišu, odnosno da se uz pomoć elementarnih promjena sistem jednačina dovodi do ekvivalentnog sistema trougla oblik i iz njega, uzastopno, počevši od potonjeg (po broju), pronađite svaki element sistema. Gaussova metoda je najsvestraniji i najbolji alat za pronalaženje matričnih rješenja. Ako sistem ima beskonačan broj rješenja ili je sistem nekompatibilan, onda se ne može riješiti korištenjem Cramerovog pravila i matrične metode. Gaussova metoda također podrazumijeva direktne (svođenje proširene matrice na stepenasti oblik, tj. dobijanje nula ispod glavne dijagonale) i obrnuto (dobivanje nula iznad glavne dijagonale proširene matrice) kretanja. Kretanje naprijed je Gaussova metoda, a obrnuto je Gauss-Jordan metoda. Gauss-Jordan metoda se razlikuje od Gaussove metode samo po redoslijedu eliminiranja varijabli.
.
I
, 
, 
, 
, što znači da sistem ima jedinstveno rješenje.
.
Preporučujem sljedeći algoritam "liječenja". Ako nemate računar pri ruci, uradite ovo:
Ovdje u prvoj jednačini nema varijable, u drugoj nema varijable. U takvim slučajevima veoma je važno pravilno i PAŽLJIVO zapisati glavnu odrednicu: 
– nule se stavljaju na mjesto varijabli koje nedostaju.
Inače, racionalno je otvarati determinante sa nulama prema redu (koloni) u kojem se nula nalazi, jer je primjetno manje proračuna.
Rješavanje sistema korištenjem inverzne matrice
, Gdje 
, gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.
To jest, dvostruki indeks označava da se element nalazi u prvom redu, trećem stupcu i, na primjer, element je u 3 reda, 2 stupca
Teorema za uslov postojanja inverzne matrice
Algoritam za pronalaženje inverzne matrice
Primjer 1 
Rješavanje matričnih jednačina
Matrična metoda u ekonomskoj analizi
Metode rješavanja matrica.
Pronalaženje determinanti 2. reda.
Metode za pronalaženje determinanti 3. reda.
Rješavanje inverzne matrice.
Rešavanje matričnih sistema.
