Podívejte se, co je „CONDITIONAL EXTREME“ v jiných slovnících:

Relativní extrém, extrém funkce f (x1,..., xn + m) z n + m proměnných za předpokladu, že i na tyto proměnné platí m rovnic (podmínek): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (viz Extrém).… …

Nechť je množina otevřená a funkce dané. Nech být. Tyto rovnice se nazývají omezující rovnice (terminologie je vypůjčena z mechaniky). Nechť je funkce definována na G... Wikipedie

- (z latinského extrému extrém) hodnota spojité funkce f (x), která je buď maximem nebo minimem. Přesněji: funkce f (x) spojitá v bodě x0 má maximum (minimum) v x0, pokud existuje okolí (x0 + δ, x0 δ) tohoto bodu,... ... Velká sovětská encyklopedie

Tento termín má jiné významy, viz Extremum (významy). Extrém (lat. extrém extrém) v matematice je maximální nebo minimální hodnota funkce na dané množině. Bod, ve kterém je dosaženo extrému... ... Wikipedie

Funkce používaná při řešení problémů na podmíněný extrém funkce mnoha proměnných a funkcionálů. S pomocí L. f. jsou zaznamenány potřebné podmínky optimalita v problémech na podmíněném extrému. V tomto případě není nutné vyjadřovat pouze proměnné... Matematická encyklopedie

Matematická disciplína věnovaná hledání extrémních (největších a nejmenších) hodnot funkcionálů proměnných, které závisí na volbě jedné nebo více funkcí. V a. je přirozený vývoj té kapitoly...... Velká sovětská encyklopedie

Proměnné, s jejichž pomocí je konstruována Lagrangeova funkce při studiu problémů na podmíněném extrému. Použití lineárních metod a Lagrangeovy funkce nám umožňuje získat potřebné podmínky optimality v problémech zahrnujících podmíněný extrém jednotným způsobem... Matematická encyklopedie

Variační počet je odvětví funkční analýzy, které studuje variace funkcionálů. Nejtypičtějším problémem ve variačním počtu je najít funkci, na které daný funkcionál dosahuje... ... Wikipedie

Obor matematiky věnovaný studiu metod pro hledání extrémů funkcionálů, které závisí na volbě jedné nebo několika funkcí pod různými druhy omezení (fázových, diferenciálních, integrálních atd.) kladených na tyto... ... Matematická encyklopedie

Variační počet je odvětví matematiky, které studuje variace funkcionálů. Nejtypičtějším problémem variačního počtu je najít funkci, při které funkcionál dosáhne extrémní hodnoty. Metody... ...Wikipedie

knihy

• Přednášky z teorie řízení. Hlasitost 2. Optimální ovládání, V. Boss. Jsou zvažovány klasické problémy teorie optimálního řízení. Prezentace začíná základními pojmy optimalizace v konečně-dimenzionálních prostorech: podmíněný a nepodmíněný extrém,...

Příklad

Najděte extrém funkce za předpokladu, že X A na jsou příbuzné vztahem: . Geometricky problém znamená následující: na elipse
letadlo
.

Tento problém lze vyřešit takto: z rovnice
shledáváme
X:

pokud
, redukováno na problém nalezení extrému funkce jedné proměnné na intervalu
.

Geometricky problém znamená následující: na elipse , získaný křížením válce
letadlo
, musíte najít maximální nebo minimální hodnotu aplikace (Obr.9). Tento problém lze vyřešit takto: z rovnice
shledáváme
. Dosazením nalezené hodnoty y do rovnice roviny získáme funkci jedné proměnné X:

Tedy problém hledání extrému funkce
pokud
, redukováno na problém nalezení extrému funkce jedné proměnné na intervalu.

Tak, problém najít podmíněný extrém– to je problém nalezení extrému účelové funkce
za předpokladu, že proměnné X A na předmětem omezení
, volal rovnice spojení.

Řekněme to tečka
splňující spojovací rovnici, je bod místního podmíněného maxima (minimum), pokud existuje sousedství
tak, že za jakékoli body
, jehož souřadnice splňují rovnici spojení, je splněna nerovnost.

Jestliže ze spojovací rovnice lze najít výraz pro na, pak dosazením tohoto výrazu do původní funkce z ní uděláme komplexní funkci jedné proměnné X.

Obecná metoda pro řešení problému podmíněného extrému je Lagrangeova multiplikační metoda. Vytvořme pomocnou funkci, kde ─ nějaké číslo. Tato funkce se nazývá Lagrangeova funkce, A ─ Lagrangeův multiplikátor. Úkol hledání podmíněného extrému byl tedy redukován na hledání bodů lokálního extrému pro Lagrangeovu funkci. Chcete-li najít možné extrémy, musíte vyřešit systém 3 rovnic se třemi neznámými x, y A.

Pak byste měli použít následující postačující podmínku pro extrém.

TEORÉM. Nechť bod je možným extrémem pro Lagrangeovu funkci. Předpokládejme, že v blízkosti bodu
existují spojité parciální derivace druhého řádu funkcí A . Označme

Pak pokud
, Že
─ podmíněný krajní bod funkce
se spojovací rovnicí
v tomto případě, pokud
, Že
─ podmíněný minimální bod, pokud
, Že
─ podmíněný maximální bod.

§8. Gradient a směrová derivace

Nechte funkci
definované v nějakém (otevřeném) regionu. Zvažte jakýkoli bod
tato oblast a jakákoli směrovaná přímka (osa) , procházející tímto bodem (obr. 1). Nechat
- nějaký jiný bod na této ose,
– délka segmentu mezi
A
, převzato se znaménkem plus, pokud směr
se shoduje se směrem osy a se znaménkem mínus, pokud jsou jejich směry opačné.

Nechat
přibližuje neomezeně
. Omezit

volal derivace funkce
vůči (nebo podél osy ) a označuje se takto:

.

Tato derivace charakterizuje „rychlost změny“ funkce v bodě
vůči . Zejména běžné parciální derivace ,lze také považovat za deriváty "s ohledem na směr".

Předpokládejme nyní, že funkce
má v uvažované oblasti spojité parciální derivace. Nechte osu svírá úhly se souřadnicovými osami
A . Za provedených předpokladů směrová derivace existuje a je vyjádřen vzorcem

.

Pokud je vektor
daný jeho souřadnicemi
, pak derivace funkce
ve směru vektoru
lze vypočítat pomocí vzorce:

.

Vektor se souřadnicemi
volal vektor přechodu funkcí
na místě
. Vektor gradientu udává směr nejrychlejšího nárůstu funkce v daném bodě.

Příklad

Je dána funkce, bod A(1, 1) a vektor
. Najděte: 1)grad z v bodě A; 2) derivace v bodě A ve směru vektoru .

Parciální derivace dané funkce v bodě
:

;
.

Pak je gradientový vektor funkce v tomto bodě:
. Přechodový vektor lze také zapsat pomocí vektorové dekompozice A :

. Derivace funkce ve směru vektoru :

Tak,
,
.◄

Podmíněný extrém.

Extrémy funkce více proměnných

Metoda nejmenších čtverců.

Lokální extrém FNP

Nechť je funkce dána A= F(P), РÎDÌR n a nechej bod P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) –vnitřní bod sady D.

Definice 9.4.

1) Bod P 0 se nazývá maximální bod funkcí A= F(P), pokud existuje okolí tohoto bodu U(P 0) М D takové, že pro jakýkoli bod P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , podmínka je splněna F(P)£ F(P 0). Význam F(P 0) je volána funkce v maximálním bodě maximum funkce a je určeno F(P0) = max F(P) .

2) Bod P 0 se nazývá minimální bod funkcí A= F(P), pokud existuje okolí tohoto bodu U(P 0)Ì D takové, že pro jakýkoli bod P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , podmínka je splněna F(P)³ F(P 0). Význam F(P 0) je volána funkce v minimálním bodě minimální funkce a je určeno F(P 0) = min F(P).

Volají se minimální a maximální body funkce extrémní body, jsou volány hodnoty funkce v extrémních bodech extrém funkce.

Jak vyplývá z definice, nerovnosti F(P)£ F(P 0), F(P)³ F(P 0) musí být splněna pouze v určitém okolí bodu P 0, nikoli v celém definičním oboru funkce, což znamená, že funkce může mít několik extrémů stejného typu (několik minim, několik maxim) . Proto se nazývají výše definované extrémy místní(místní) extrémy.

Věta 9.1 (nutná podmínka pro extrém FNP)

Pokud je funkce A= F(X 1 , X 2 , ..., x n) má v bodě P 0 extrém, pak jsou jeho parciální derivace prvního řádu v tomto bodě buď rovny nule, nebo neexistují.

Důkaz. Nechť v bodě P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) funkce A= F(P) má extrém, např. maximum. Pojďme opravit argumenty X 2 , ..., x n, uvedení X 2 =A 2 ,..., x n = a p. Pak A= F(P) = F 1 ((X 1 , A 2 , ..., a p) je funkcí jedné proměnné X 1. Protože tato funkce má X 1 = A 1 extrém (maximum), tedy F 1 ¢=0nebo neexistuje, když X 1 =A 1 (nutná podmínka pro existenci extrému funkce jedné proměnné). Ale to znamená nebo neexistuje v bodě P 0 - extrémním bodě. Podobně můžeme uvažovat o parciálních derivacích vzhledem k jiným proměnným. CTD.

Volají se body v definičním oboru funkce, ve kterých jsou parciální derivace prvního řádu rovné nule nebo neexistují kritické body tuto funkci.

Jak vyplývá z věty 9.1, mezi kritickými body funkce je třeba hledat extrémní body FNP. Ale pokud jde o funkci jedné proměnné, ne každý kritický bod je extrémním bodem.

Věta 9.2 (dostatečná podmínka pro extrém FNP)

Nechť P 0 je kritický bod funkce A= F(P) a je diferenciál druhého řádu této funkce. Pak

a pokud d 2 u(P 0) > 0 v , pak P 0 je bod minimální funkcí A= F(P);

b) pokud d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximum funkcí A= F(P);

c) pokud d 2 u(P 0) není definováno znaménkem, pak P 0 není extrémní bod;

Tuto větu budeme uvažovat bez důkazu.

Všimněte si, že teorém nezvažuje případ kdy d 2 u(P 0) = 0 nebo neexistuje. To znamená, že otázka přítomnosti extrému v bodě P 0 za takových podmínek zůstává otevřená - potřebujeme další výzkum, například studovat přírůstek funkce v tomto bodě.

V podrobnějších kurzech matematiky je prokázáno, že zejména pro funkci z = f(X,y) dvou proměnných, jejichž diferenciál druhého řádu je součtem tvaru

studium přítomnosti extrému v kritickém bodě P 0 lze zjednodušit.

Označme , , . Sestavme determinant

.

Ukazuje se:

d 2 z> 0 v bodě P 0, tzn. P 0 – minimální bod, pokud A(P 0) > 0 a D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

pokud D(P 0)< 0, то d 2 z v okolí bodu P 0 mění znaménko a v bodě P 0 není extrém;

je-li D(Р 0) = 0, pak jsou nutné další studie funkce v blízkosti kritického bodu Р 0.

Tedy pro funkci z = f(X,y) ze dvou proměnných máme následující algoritmus (říkejme mu „algoritmus D“) pro nalezení extrému:

1) Najděte definiční obor D( F) funkce.

2) Najděte kritické body, tzn. body z D( F), pro které a jsou rovny nule nebo neexistují.

3) V každém kritickém bodě zkontrolujte P 0 dostatečné podmínky extrém. Chcete-li to provést, najděte , kde , , a vypočítat D(P 0) a A(P 0). Pak:

jestliže D(P 0) >0, pak v bodě P 0 je extrém, a jestliže A(P 0) > 0 – pak je to minimum, a pokud A(P 0)< 0 – максимум;

pokud D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Pokud D(P 0) = 0, pak je zapotřebí další výzkum.

4) V nalezených extrémních bodech vypočítejte hodnotu funkce.

Příklad 1.

Najděte extrém funkce z = X 3 + 8y 3 – 3xy .

Řešení. Oblastí definice této funkce je celá rovina souřadnic. Pojďme najít kritické body.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Zkontrolujme, zda jsou splněny dostatečné podmínky pro extrém. najdeme

6X, = -3, = 48na A = 288xy – 9.

Potom D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – v bodě Р 1 je extrém, a od r. A(P 1) = 3 >0, pak je tento extrém minimum. Takže min z=z(P 1) = .

Příklad 2

Najděte extrém funkce .

Řešení: D( F) = R2. Kritické body: ; neexistuje kdy na= 0, což znamená, že P 0 (0,0) je kritický bod této funkce.

2, = 0, = , = , ale D(P 0) není definováno, takže studium jeho znaménka je nemožné.

Ze stejného důvodu není možné přímo aplikovat větu 9.2 - d 2 z v tomto bodě neexistuje.

Uvažujme přírůstek funkce F(X, y) v bodě P 0. Pokud D F =F(P) – F(P 0)>0 "P, pak P 0 je minimální bod, ale pokud D F < 0, то Р 0 – точка максимума.

V našem případě máme

D F = F(X, y) – F(0, 0) = F(0+D X,0+D y) – F(0, 0) = .

U D X= 0,1 a D y= -0,008 dostaneme D F = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 a D y= 0,001 D F= 0,01 + 0,1 > 0, tzn. v blízkosti bodu P 0 není splněna ani jedna podmínka D F <0 (т.е. F(X, y) < F(0, 0) a proto P 0 není maximální bod), ani podmínka D F>0 (tj. F(X, y) > F(0, 0) a pak P 0 není minimální bod). Takže podle definice extrému, tuto funkci nemá žádné extrémy.

Podmíněný extrém.

Zavolá se uvažovaný extrém funkce bezpodmínečné, protože na argumenty funkce nejsou kladena žádná omezení (podmínky).

Definice 9.2. Extrém funkce A = F(X 1 , X 2 , ... , x n), shledal pod podmínkou, že jeho argumenty X 1 , X 2 , ... , x n splnit rovnice j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, kde P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( F), volal podmíněný extrém .

Rovnice j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, jsou nazývány rovnice připojení.

Podívejme se na funkce z = f(X,y) dvě proměnné. Je-li rovnice spojení jedna, tzn. , pak nalezení podmíněného extrému znamená, že extrém není hledán v celém oboru definice funkce, ale na nějaké křivce ležící v D( F) (tj. nehledají se nejvyšší nebo nejnižší body povrchu z = f(X,y), a nejvyšší nebo nejnižší body mezi průsečíky této plochy s válcem, obr. 5).

Podmíněný extrém funkce z = f(X,y) ze dvou proměnných lze nalézt následujícím způsobem( eliminační metoda). Z rovnice vyjádřete jednu z proměnných jako funkci jiné (například napište ) a dosazením této hodnoty proměnné do funkce zapište druhou jako funkci jedné proměnné (v uvažovaném případě ). Najděte extrém výsledné funkce jedné proměnné.

Extrémy funkcí více proměnných. Nutná podmínka pro extrém. Dostatečná podmínka pro extrém. Podmíněný extrém. Lagrangeova multiplikační metoda. Hledání největších a nejmenších hodnot.

Přednáška 5.

Definice 5.1. Tečka M 0 (x 0, y 0) volal maximální bod funkcí z = f (x, y), Li f (x o, y o) > f(x,y) za všechny body (x, y) M 0.

Definice 5.2. Tečka M 0 (x 0, y 0) volal minimální bod funkcí z = f (x, y), Li f (x o, y o) < f(x,y) za všechny body (x, y) z nějakého sousedství bodu M 0.

Poznámka 1. Jsou volány maximální a minimální body extrémní body funkce několika proměnných.

Poznámka 2. Extrémní bod pro funkci libovolného počtu proměnných se určí podobným způsobem.

Věta 5.1(nutné podmínky pro extrém). Li M 0 (x 0, y 0)– extrémní bod funkce z = f (x, y), pak v tomto bodě jsou parciální derivace prvního řádu této funkce rovny nule nebo neexistují.

Důkaz.

Opravme hodnotu proměnné na, počítání y = y 0. Pak funkce f (x, y 0) bude funkcí jedné proměnné X, pro který x = x 0 je extrémní bod. Proto podle Fermatovy věty ani neexistuje. Stejné tvrzení je dokázáno podobně pro .

Definice 5.3. Nazývají se body patřící do definičního oboru funkce více proměnných, ve kterých jsou parciální derivace funkce rovny nule nebo neexistují. stacionární body tuto funkci.

Komentář. Extrém lze tedy dosáhnout pouze ve stacionárních bodech, ale nemusí být nutně pozorován v každém z nich.

Věta 5.2(dostatečné podmínky pro extrém). Nechte v nějakém okolí bodu M 0 (x 0, y 0), což je stacionární bod funkce z = f (x, y), tato funkce má spojité parciální derivace až do 3. řádu včetně. Označme tedy:

1) f(x,y) má na místě M 0 maximálně pokud AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) má na místě M 0 minimální pokud AC–B² > 0, A > 0;

3) neexistuje žádný extrém v kritickém bodě if AC–B² < 0;

4) pokud AC–B² = 0, je nutný další výzkum.

Důkaz.

Napišme Taylorův vzorec druhého řádu pro funkci f(x,y), pamatovat si, že ve stacionárním bodě jsou parciální derivace prvního řádu rovny nule:

Kde Pokud úhel mezi segmentem M 0 M, Kde M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ na), a osa O X označte φ, pak Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y =Δρsinφ. V tomto případě bude mít Taylorův vzorec tvar: . Nechť Potom můžeme výraz v závorce vydělit a vynásobit A. Dostaneme:

Podívejme se nyní na čtyři možné případy:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и při dostatečně malém Δρ. Proto v nějaké čtvrti M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0, y 0), to je M 0- maximální bod.

2) Nechat AC–B² > 0, A > 0. Pak , A M 0- minimální bod.

3) Nechat AC-B² < 0, A> 0. Uvažujme přírůstek argumentů podél paprsku φ = 0. Pak z (5.1) vyplývá, že , to znamená, že při pohybu po tomto paprsku se funkce zvyšuje. Pohybujeme-li se po paprsku tak, že tg φ 0 = -A/B,Že , proto při pohybu po tomto paprsku funkce klesá. Takže tečka M 0 není extrémní bod.

3') Kdy AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

podobný předchozímu.

3``) Pokud AC–B² < 0, A= 0, pak . V čem . Pak pro dostatečně malé φ výraz 2 B cosφ + C sinφ se blíží 2 V, to znamená, že si zachovává konstantní znaménko, ale sinφ mění znaménko v blízkosti bodu M 0. To znamená, že přírůstek funkce mění znaménko v blízkosti stacionárního bodu, který tedy není extrémním bodem.

4) Pokud AC–B² = 0 a , , to znamená, že znaménko přírůstku je určeno znaménkem 2α 0. Zároveň je nutný další výzkum k objasnění otázky existence extrému.

Příklad. Pojďme najít extrémní body funkce z = x² - 2 xy + 2y² + 2 X. Abychom našli stacionární body, řešíme soustavu . Stacionární bod je tedy (-2,-1). V čem A = 2, V = -2, S= 4. Potom AC–B² = 4 > 0, tedy ve stacionárním bodě je dosaženo extrému, konkrétně minima (od A > 0).

Definice 5.4. Pokud argumenty funkce f (x 1 , x 2 ,…, x n) připojeno dodatečné podmínky tak jako m rovnice ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

kde funkce φ i mají spojité parciální derivace, pak se volají rovnice (5.2). rovnice připojení.

Definice 5.5. Extrém funkce f (x 1 , x 2 ,…, x n) při splnění podmínek (5.2) se volá podmíněný extrém.

Komentář. Můžeme nabídnout následující geometrickou interpretaci podmíněného extrému funkce dvou proměnných: nechť argumenty funkce f(x,y) souvisí rovnicí φ (x,y)= 0, definující nějakou křivku v rovině O xy. Rekonstrukce kolmice k rovině O z každého bodu této křivky xy dokud se neprotne s povrchem z = f (x, y), získáme prostorovou křivku ležící na ploše nad křivkou φ (x,y)= 0. Úkolem je najít krajní body výsledné křivky, které ovšem obecný případ se neshodují s nepodmíněnými extrémními body funkce f(x,y).

Stanovme nutné podmínky pro podmíněný extrém pro funkci dvou proměnných tak, že nejprve zavedeme následující definici:

Definice 5.6. Funkce L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1, x 2,…, x n) +…+λ m φ m (x 1, x 2,…, x n), (5.3)

Kde λi – některé jsou stálé, tzv Lagrangeova funkce a čísla λi– neurčité Lagrangeovy multiplikátory.

Věta 5.3(nezbytné podmínky pro podmíněný extrém). Podmíněný extrém funkce z = f (x, y) v přítomnosti vazebné rovnice φ ( x, y)= 0 lze dosáhnout pouze ve stacionárních bodech Lagrangeovy funkce L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Důkaz. Vazební rovnice specifikuje implicitní vztah na z X, proto budeme předpokládat, že na existuje funkce od X: y = y(x). Pak z existuje složitá funkce X a jeho kritické body jsou určeny podmínkou: . (5.4) Z vazebné rovnice vyplývá, že . (5.5)

Vynásobme rovnost (5.5) nějakým číslem λ a přičtěme k (5.4). Dostaneme:

, nebo .

Poslední rovnost musí být splněna ve stacionárních bodech, z čehož vyplývá:

(5.6)

Získá se systém tří rovnic pro tři neznámé: x, y a λ a první dvě rovnice jsou podmínky pro stacionární bod Lagrangeovy funkce. Vyloučením pomocné neznámé λ ze systému (5.6) zjistíme souřadnice bodů, ve kterých může mít původní funkce podmíněný extrém.

Poznámka 1. Přítomnost podmíněného extrému v nalezeném bodě lze ověřit studiem parciálních derivací Lagrangeovy funkce druhého řádu analogicky s větou 5.2.

Poznámka 2. Body, ve kterých lze dosáhnout podmíněného extrému funkce f (x 1 , x 2 ,…, x n) při splnění podmínek (5.2) lze definovat jako řešení systému (5.7)

Příklad. Pojďme najít podmíněný extrém funkce z = xy vzhledem k tomu x + y= 1. Složme Lagrangeovu funkci L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Systém (5.6) vypadá takto:

kde -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. V čem L(x,y) mohou být zastoupeny ve formě L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, tedy v nalezeném stacionárním bodě L(x,y) má maximum a z = xy – podmíněné maximum.

Nechť je funkce z - /(x, y) definována v nějaké oblasti D a nechť Mo(xo, Vo) je vnitřní bod této oblasti. Definice. Pokud existuje číslo takové, že pro všechny splnění podmínek platí nerovnost, pak bod Mo(xo, yo) se nazývá bod místní maximum funkce /(x, y); pokud pro všechny Dx, Du, splňující podmínky | pak se bod Mo(xo,yo) nazývá tenké lokální minimum. Jinými slovy, bod M0(x0, y0) je bod maxima nebo minima funkce f(x, y), pokud existuje 6-ti sousedství bodu A/o(x0, y0) takové, že vůbec bodů M(x, y) tohoto v okolí, přírůstek funkce si zachovává své znaménko. Příklady. 1. Pro funkční bod - minimální bod (obr. 17). 2. Pro funkci je bod 0(0,0) maximálním bodem (obr. 18). 3. Pro funkci je bod 0(0,0) lokálním maximálním bodem. 4 Skutečně existuje okolí bodu 0(0, 0), například kružnice o poloměru j (viz obr. 19), v jejímž libovolném bodě, odlišném od bodu 0(0,0), hodnota funkce /(x,y) menší než 1 = Budeme uvažovat pouze body striktního maxima a minima funkcí, když je splněna striktní nerovnost nebo striktní nerovnost pro všechny body M(x) y) z nějakého proraženého 6-okolí bod Mq. Hodnota funkce v bodě maxima se nazývá maximum a hodnota funkce v bodě minima se nazývá minimum této funkce. Maximální a minimální body funkce se nazývají extrémní body funkce a maxima a minima samotné funkce se nazývají její extrémy. Věta 11 (nutná podmínka pro extrém). Je-li funkce extrémem funkce více proměnných Pojem extrému funkce více proměnných. Nutné a postačující podmínky pro extrém Podmíněný extrém Největší a nejmenší hodnoty spojitých funkcí mají extrém v bodě, pak v tomto bodě každá parciální derivace u buď zaniká, nebo neexistuje. Nechť v bodě M0(x0, y®) má Funkce z = f(x) y) extrém. Dejme proměnné y hodnotu yo. Pak funkce z = /(x, y) bude funkcí jedné proměnné x\ Protože v x = xo má extrém (maximum nebo minimum, obr. 20), pak její derivace vzhledem k x = “o, | (*o,l>)" Rovná se nule nebo neexistuje. Podobně jsme přesvědčeni, že) je buď rovno nule, nebo neexistuje. Body, ve kterých = 0 a χ = 0 nebo neexistují, se nazývají kritické body funkce z = Dx, y).Body, ve kterých $£ = φ = 0 nazýváme také stacionární body funkce Věta 11 vyjadřuje pouze nutné podmínky pro extrém, které nestačí.Příklad Funkce Obr. 18 Obr. 20 derivace immt, které zanikají v y), libovolně blízko bodu 0(0,0) a záporné hodnoty. Pro něj tedy v bodech v bodech (0, y) pro libovolně malý Bod 0(0,0) uvedeného typu se nazývá mini-max bod (obr. 21). Dostatečné podmínky pro extrém funkce dvou proměnných vyjadřuje následující věta. Věta 12 (dostatečné podmínky pro extrém ve dvou proměnných). Nechť bod Mo(xo»Yo) je stacionární bod funkce f(x, y) a v nějakém okolí bodu / včetně samotného bodu Mo má funkce f(z, y) spojité parciální derivace. až do druhé objednávky včetně. Potom". v bodě Mo(xo, V0) funkce /(xo, y) nemá extrém, pokud D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Extrém funkce f(x, y) může a nemusí existovat. V tomto případě je nutný další výzkum. m Omezme se na dokazování tvrzení 1) a 2) věty. Napišme Taylorův vzorec druhého řádu pro funkci /(i, y): kde. Podle podmínky je zřejmé, že znaménko přírůstku D/ je určeno znaménkem trinomu na pravé straně (1), tedy znaménkem druhého diferenciálu d2f. Pro stručnost si to označme. Pak rovnost (l) můžeme zapsat takto: Nechť v bodě MQ(so, V0) máme... Protože podle podmínky jsou parciální derivace druhého řádu funkce f(s, y) spojité, pak nerovnost (3) bude také platit v nějakém okolí bodu M0(s0,yo). Pokud je podmínka splněna (v bodě А/0 a díky spojitosti si derivace /,z(s,y) zachová své znaménko v nějakém okolí bodu Af0. V oblasti, kde А Ф 0, máme Z toho je zřejmé, že pokud ЛС - В2 > 0 v nějakém okolí bodu M0(x0) y0), pak se znaménko trojčlenu AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 shoduje se znaménkem A v bodě (tj. , V0) (stejně jako se znaménkem C, protože pro AC - B2 > 0 nemohou mít A a C různá znaménka). Protože znaménko součtu AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 v bodě (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) určuje znaménko rozdílu, dojdeme k následujícímu závěru: pokud pro funkci /(s,y) při podmínka stacionárního bodu (s0, V0), pak pro dostatečně malé || nerovnost bude uspokojena. V bodě (sq, V0) má tedy funkce /(s, y) maximum. Pokud je podmínka splněna ve stacionárním bodě (s0, y0), pak pro všechny dostatečně malé |Dr| a |Du| nerovnost je pravdivá, což znamená, že v bodě (so,yo) má funkce /(s, y) minimum. Příklady. 1. Prozkoumejte funkci pro extrém 4 Pomocí nezbytných podmínek pro extrém hledáme stacionární body funkce. K tomu najdeme parciální derivace u a přirovnáme je k nule. Získáme soustavu rovnic odkud - stacionární bod. Použijme nyní větu 12. Máme To znamená, že v bodě Ml je extrém. Protože tohle je minimum. Převedeme-li funkci r do tvaru, je snadné to vidět pravá část (“) bude minimální, když je absolutní minimum této funkce. 2. Zkoumejte funkci pro extrém, najdeme stacionární body funkce, pro které sestavíme soustavu rovnic, tedy tak, aby byl bod stacionární. Vzhledem k tomu, že na základě věty 12 neexistuje žádný extrém v bodě M. * 3. Prozkoumejte extrém funkce a najděte stacionární body funkce. Ze soustavy rovnic to dostaneme, takže bod je stacionární. Dále máme, že Věta 12 neodpovídá na otázku o přítomnosti nebo nepřítomnosti extrému. Udělejme to takto. Pro funkci o všech bodech odlišných od bodu tak, podle definice, a bodu A/o(0,0) má funkce r absolutní minimum. Podobnými výpočty zjistíme, že funkce má maximum v bodě, ale funkce nemá extrém v bodě. Nechť je funkce n nezávislých proměnných diferencovatelná v bodě Bod Mo se nazývá stacionární bod funkce podle věty 13 (až do dostatečných podmínek pro extrém). Nechť je funkce definována a má spojité parciální derivace druhého řádu v nějakém okolí jemného Mt(xi..., což je stacionární jemná funkce, pokud má kvadratický tvar (druhý diferenciál funkce f v jemném je kladný určitý (záporně určitý), minimální bod (respektive jemné maximum) funkce f je v pořádku Pokud je kvadratická forma (4) střídavá ve znaménku, pak v jemném LG0 není žádný extrém. tvar (4) bude kladně nebo záporně definitní, můžete použít např. Sylvesterovo kritérium pro pozitivní (negativní) jistotu kvadratické formy 15.2 Podmíněné extrémy Doposud jsme hledali lokální extrémy funkce v celé své definiční oblasti, kdy argumenty funkce nejsou vázány žádnou další podmínkou. Takové extrémy se nazývají nepodmíněné. Často se však setkáváme s problémy s hledáním tzv. podmíněných extrémů. Nechť funkci z = /(x, y ) být definován v oblasti D. Předpokládejme, že v této oblasti je dána křivka L a my potřebujeme najít extrémy funkce f(x> y) pouze mezi těmi jejími hodnotami, které odpovídají bodům křivky L. Stejné extrémy nazýváme podmíněné extrémy funkce z = f(x) y) na křivce L. Definice Říkají, že v bodě ležícím na křivce L má funkce f(x, y) podmíněné maximum (minimum), pokud je nerovnost splněna ve všech bodech M (s, y) y) křivka L, patřící do některého okolí bodu M0(x0, V0) a odlišná od bodu M0 (Pokud je křivka L dáno rovnicí, pak je problém najít podmíněný extrém funkce r - f(x,y) na křivce! lze formulovat následovně: najděte extrémy funkce x = /(z, y) v oblasti D, za předpokladu, že Při hledání podmíněných extrémů funkce z = y tedy již nemohou být argumenty pakoně považovány za nezávislé proměnné: jsou spolu vztaženy vztahem y ) = 0, který se nazývá vazebná rovnice. Abychom objasnili rozdíl mezi nepodmíněným a podmíněným extrémem, podívejme se na příklad, kdy nepodmíněné maximum funkce (obr. 23) je rovno jedné a je dosaženo v bodě (0,0). Odpovídá bodu M - vrcholu pvvboloidu.Přidejme rovnici spojení y = j. Pak se mu zřejmě bude rovnat podmíněné maximum, kterého dosáhneme v bodě (o,|) a odpovídá vrcholu Afj koule, který je průsečíkem koule s rovinou y = j. V případě nepodmíněného mvxima máme mvximum aplikaci mezi všemi vpplicvt povrchu * = 1 - l;2 ~ y1; summvv podmíněné - pouze mezi vllikvt body pvraboloidv, odpovídající bodu* přímky y = j ne rovině xOy. Jedna z metod pro nalezení podmíněného extrému funkce v přítomnosti a spojení je následující. Nechť rovnice spojení y) - O definuje y jako jedinečnou diferencovatelnou funkci argumentu x: Dosazením funkce místo y do funkce získáme funkci jednoho argumentu, ve které je již podmínka spojení zohledněna. (Nepodmíněný) extrém funkce je požadovaným podmíněným extrémem. Příklad. Najděte extrém funkce za podmínky Extrém funkce více proměnných Pojem extrém funkce více proměnných. Nutné a postačující podmínky pro extrém Podmíněný extrém Největší a nejmenší hodnoty spojitých funkcí A Ze spojovací rovnice (2") zjistíme y = 1-x. Dosazením této hodnoty y do (V) získáme funkci jeden argument x: Prozkoumejme to pro extrém: odkud x = 1 je kritický bod; , takže poskytuje podmíněné minimum funkce r (obr. 24). extrém, nazývaný metoda Lagrangeova multiplikátoru Nechť existuje bod podmíněného extrému funkce za přítomnosti souvislosti Předpokládejme, že rovnice spojení definuje jedinečnou spojitě diferencovatelnou funkci v určitém okolí bodu xx. že dostaneme, že derivace vzhledem k x funkce /(r, ip(x)) v bodě xq musí být rovna nule nebo, což je ekvivalentní, diferenciálu f(x, y) v bodě xq bod Mo" O) Ze spojovací rovnice máme (5) Vynásobením poslední rovnosti dosud neurčeným číselným faktorem A a přičtením členu po členu s rovností (4) dostaneme (předpokládáme, že). Pak díky libovolnosti dx získáme Rovnice (6) a (7) vyjadřují nutné podmínky pro nepodmíněný extrém v bodě funkce, který se nazývá Lagrangeova funkce. Podmíněný krajní bod funkce /(x, y), if, je tedy nutně stacionárním bodem Lagrangeovy funkce, kde A je určitý číselný koeficient. Odtud získáme pravidlo pro hledání podmíněných extrémů: abychom našli body, které mohou být body konvenčního extrému funkce za přítomnosti spojení, 1) sestavíme Lagrangeovu funkci, 2) položíme rovnítko mezi derivace této funkce. funkce na nulu a přidáním spojovací rovnice k výsledným rovnicím získáme systém tří rovnic, ze kterých zjistíme hodnoty A a souřadnice x, y možných extrémních bodů. Otázka existence a povahy podmíněného extrému je vyřešena na základě studia znaménka druhého diferenciálu Lagrangeovy funkce pro uvažovaný systém hodnot x0, V0, A, získaných z (8) za předpokladu, že , pak v bodě (x0, V0) má funkce /(x, y ) podmíněné maximum; pokud d2F > 0 - pak podmíněné minimum. Konkrétně, je-li ve stacionárním bodě (xo, J/o) determinant D pro funkci F(x, y) kladný, pak v bodě (®o, V0) existuje podmíněné maximum funkce f( x, y), jestliže a podmíněné minimum funkce /(x, y), jestliže Příklad. Vraťme se znovu k podmínkám předchozího příkladu: najděte extrém funkce za podmínky, že x + y = 1. Úlohu vyřešíme pomocí metody Lagrangeova multiplikátoru. Lagrangeova funkce v v tomto případě má tvar Pro nalezení stacionárních bodů sestavíme soustavu Z prvních dvou rovnic soustavy získáme, že x = y. Pak ze třetí rovnice soustavy (rovnice spojení) zjistíme, že x - y = j jsou souřadnice možného extrémního bodu. V tomto případě (je indikováno, že A = -1. Lagrangeova funkce. je tedy podmíněným minimálním bodem funkce * = x2 + y2 za podmínky, že pro Lagrangeovu funkci neexistuje žádný nepodmíněný extrém. P(x, y ) ještě neznamená absenci podmíněného extrému pro funkci /(x, y) za přítomnosti spojení Příklad: Najděte extrém funkce pod podmínkou y 4 Složíme Lagrangeovu funkci a vypíšeme soustavu pro určení A a souřadnic možných extrémních bodů: Z prvních dvou rovnic získáme x + y = 0 a dojdeme k systému, kde x = y = A = 0. Odpovídající Lagrangeova funkce má tedy tvar V bodě (0,0) funkce F(x, y; 0) nemá nepodmíněný extrém, nicméně podmíněný extrém funkce r = xy. Když y = x, existuje ". V tomto případě r = x2. Odtud je zřejmé, že v bodě (0,0) je podmíněné minimum.“ Metoda Lagrangeových multiplikátorů se přenese na případ funkcí libovolného počtu argumentů/ Hledejme extrém funkce v přítomnosti spojovacích rovnic Sestavte Lagrangeovu funkci, kde A|, Az,..., A„, jsou neurčité konstantní faktory. Vyrovnáme-li všechny parciální derivace prvního řádu funkce F na nulu a k výsledným rovnicím přičteme rovnice spojení (9), získáme soustavu n + m rovnic, ze které určíme Ab A3|..., At a souřadnice x \) x2). » xn možných bodů podmíněného extrému. Otázka, zda body nalezené pomocí Lagrangeovy metody jsou skutečně body podmíněného extrému, může být často vyřešena na základě úvah fyzické nebo geometrické povahy. 15.3. Největší a nejmenší hodnoty spojitých funkcí Nechť je třeba najít největší (nejmenší) hodnotu funkce z = /(x, y), spojitou v nějaké uzavřené omezené oblasti D. Podle věty 3 je v této oblasti je bod (xo, V0), ve kterém funkce nabývá největší (nejmenší) hodnoty. Pokud bod (xo, y0) leží uvnitř definičního oboru D, pak má funkce / v něm maximum (minimum), takže v tomto případě je pro nás bod zájmu obsažen mezi kritickými body funkce /(x, y). Funkce /(x, y) však může dosáhnout své největší (nejmenší) hodnoty na hranici oblasti. Proto najít největší (nejmenší) hodnotu nabytou funkcí z = /(x, y) v omezeném uzavřená oblast 2), musíte najít všechna maxima (minimum) funkce, kterých je v této oblasti dosaženo, a také největší (nejmenší) hodnotu funkce na hranici této oblasti. Největší (nejmenší) ze všech těchto čísel bude požadovaná největší (nejmenší) hodnota funkce z = /(x,y) v oblasti 27. Ukažme si, jak se to dělá v případě diferencovatelné funkce. Prmmr. Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce oblasti 4. Najdeme kritické body funkce uvnitř oblasti D. K tomu sestavíme soustavu rovnic. Odtud dostaneme x = y « 0, takže bod 0 (0,0) je kritickým bodem funkce x. Protože Nyní najdeme největší a nejmenší hodnoty funkce na hranici Г oblasti D. Na části hranice máme, že y = 0 je kritický bod, a protože = pak v tomto bodě funkce z = 1 + y2 má minimum rovné jedné. Na koncích úsečky Г", v bodech (, máme. Pomocí úvah o symetrii získáme stejné výsledky pro další části hranice. Nakonec získáme: nejmenší hodnotu funkce z = x2+y2 v oblasti "B se rovná nule a je dosaženo ve vnitřním bodě 0( 0, 0) oblastí a nejvyšší hodnotu této funkce, rovné dvěma, je dosaženo ve čtyřech bodech hranice (obr. 25) Obr. 25 Cvičení Najděte definiční obor funkcí: Sestrojte úrovňové čáry funkcí: 9 Najděte úrovňové plochy funkcí tří nezávislých proměnných: Vypočítejte limity funkcí: Najděte parciální derivace funkcí a jejich plné diferenciály : Najděte derivace komplexních funkcí: 3 Najděte J. Extrém funkce více proměnných Pojem extrém funkce více proměnných. Nutné a postačující podmínky pro extrém Podmíněný extrém Největší a nejmenší hodnoty spojitých funkcí 34. Použití vzorce pro derivaci komplexní funkce dvou proměnných, hledání a funkcí: 35. Použití vzorce pro derivaci komplexu funkce dvou proměnných, najdi |J a funkce: Najděte jj funkce dané implicitně: 40. Najděte úhlový koeficient tečné křivky v bodě jejího průsečíku s přímkou ​​x = 3. 41. Najděte body, ve kterých tečna křivky x je rovnoběžná s osou Ox. . V následujících úlohách najdi a T: Napište rovnice tečné roviny a normály plochy: 49. Napište rovnice tečných rovin plochy x2 + 2y2 + 3z2 = 21, rovnoběžné s rovinou x + 4y. + 6z = 0. Najděte první tři nebo čtyři členy rozvoje pomocí Taylorova vzorce : 50. y v okolí bodu (0, 0). Pomocí definice extrému funkce prozkoumejte následující funkce pro extrém:). Pomocí dostatečných podmínek pro extrém funkce dvou proměnných prozkoumejte extrém funkce: 84. Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce z = x2 - y2 v uzavřeném kruhu 85. Najděte největší a nejmenší hodnotu ​​funkce * = x2y(4-x-y) v trojúhelníku ohraničeném přímkami x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Určete rozměry obdélníkového otevřeného bazénu, který má nejmenší povrch, za předpokladu, že jeho objem je roven V. 87. Najděte rozměry obdélníkového rovnoběžnostěnu, který má maximální objem daný celkovou plochou 5. Odpovědi 1. a | Čtverec tvořený úsečkami x včetně jeho stran. 3. Rodina soustředných prstenců 2= 0,1,2,... .4. Celá rovina kromě bodů na přímkách. Část roviny umístěná nad parabolou y = -x?. 8. Body kružnice x. Celá rovina kromě přímek x Radikálový výraz je nezáporný ve dvou případech j * ^ nebo j x ^ ^, což je ekvivalentní nekonečné řadě nerovností, v daném pořadí Definiční obor jsou stínované čtverce (obr. 26); l, která je ekvivalentní nekonečné řadě Funkce je definována v bodech. a) Přímky rovnoběžné s přímkou ​​x b) soustředné kružnice se středem v počátku. 10. a) paraboly y) paraboly y a) paraboly b) hyperboly | .Letadla xc. 13. Prvočíslo - jednodutinové hyperboloidy rotace kolem osy Oz; když a jsou dvouvrstvé hyperboloidy rotace kolem osy Oz, jsou obě rodiny povrchů odděleny kuželem; Neexistuje žádný limit, b) 0. 18. Položme y = kxt, pak z lim z = -2, takže daná funkce v bodě (0,0) nemá limitu. 19. a) Bod (0,0); b) bod (0,0). 20. a) Přerušovací čára - kružnice x2 + y2 = 1; b) čára přerušení je přímka y = x. 21. a) Zlomové čáry - souřadnicové osy Ox a Oy; b) 0 (prázdná sada). 22. Všechny body (m, n), kde a n jsou celá čísla