Extrémy funkcí více proměnných. Nutná podmínka pro extrém. Dostatečná podmínka pro extrém. Podmíněný extrém. Lagrangeova multiplikační metoda. Hledání největších a nejmenších hodnot.

Přednáška 5.

Definice 5.1. Tečka M 0 (x 0, y 0) volal maximální bod funkcí z = f (x, y), Li f (x o, y o) > f(x,y) za všechny body (x, y) M 0.

Definice 5.2. Tečka M 0 (x 0, y 0) volal minimální bod funkcí z = f (x, y), Li f (x o, y o) < f(x,y) za všechny body (x, y) z nějakého sousedství bodu M 0.

Poznámka 1. Jsou volány maximální a minimální body extrémní body funkce několika proměnných.

Poznámka 2. Extrémní bod pro funkci libovolného počtu proměnných se určí podobným způsobem.

Věta 5.1 (potřebné podmínky extrém). Li M 0 (x 0, y 0)– extrémní bod funkce z = f (x, y), pak v tomto bodě jsou parciální derivace prvního řádu této funkce rovny nule nebo neexistují.

Důkaz.

Opravme hodnotu proměnné na, počítání y = y 0. Pak funkce f (x, y 0) bude funkcí jedné proměnné X, pro který x = x 0 je extrémní bod. Proto podle Fermatovy věty ani neexistuje. Stejné tvrzení je dokázáno podobně pro .

Definice 5.3. Nazývají se body patřící do definičního oboru funkce více proměnných, ve kterých jsou parciální derivace funkce rovny nule nebo neexistují. stacionární body tuto funkci.

Komentář. Extrém lze tedy dosáhnout pouze ve stacionárních bodech, ale nemusí být nutně pozorován v každém z nich.

Věta 5.2(dostatečné podmínky pro extrém). Nechte v nějakém okolí bodu M 0 (x 0, y 0), což je stacionární bod funkce z = f (x, y), tato funkce má spojité parciální derivace až do 3. řádu včetně. Označme tedy:

1) f(x,y) má na místě M 0 maximálně pokud AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) má na místě M 0 minimální pokud AC–B² > 0, A > 0;

3) neexistuje žádný extrém v kritickém bodě if AC–B² < 0;

4) pokud AC–B² = 0, je zapotřebí další výzkum.

Důkaz.

Napišme Taylorův vzorec druhého řádu pro funkci f(x,y), pamatovat si, že ve stacionárním bodě jsou parciální derivace prvního řádu rovny nule:

Kde Pokud úhel mezi segmentem M 0 M, Kde M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ na), a osa O X označte φ, pak Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y =Δρsinφ. V tomto případě bude mít Taylorův vzorec tvar: . Nechť Potom můžeme výraz v závorkách dělit a násobit A. Dostaneme:

Podívejme se nyní na čtyři možné případy:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и při dostatečně malém Δρ. Proto v nějaké čtvrti M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0, y 0), to je M 0- maximální bod.

2) Nechat AC–B² > 0, A > 0. Pak , A M 0- minimální bod.

3) Nechat AC-B² < 0, A> 0. Uvažujme přírůstek argumentů podél paprsku φ = 0. Pak z (5.1) vyplývá, že , to znamená, že při pohybu po tomto paprsku se funkce zvyšuje. Pohybujeme-li se po paprsku tak, že tg φ 0 = -A/B,Že , proto při pohybu po tomto paprsku funkce klesá. Takže tečka M 0 není extrémní bod.

3') Kdy AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

podobný předchozímu.

3``) Pokud AC–B² < 0, A= 0, pak . V čem . Pak pro dostatečně malé φ výraz 2 B cosφ + C sinφ se blíží 2 V, to znamená, že si zachovává konstantní znaménko, ale sinφ mění znaménko v blízkosti bodu M 0. To znamená, že přírůstek funkce mění znaménko v blízkosti stacionárního bodu, který tedy není extrémním bodem.

4) Pokud AC–B² = 0 a , , to znamená, že znaménko přírůstku je určeno znaménkem 2α 0. Zároveň je nutný další výzkum k objasnění otázky existence extrému.

Příklad. Pojďme najít extrémní body funkce z = x² - 2 xy + 2y² + 2 X. Abychom našli stacionární body, řešíme soustavu . Stacionární bod je tedy (-2,-1). V čem A = 2, V = -2, S= 4. Potom AC–B² = 4 > 0, tedy ve stacionárním bodě je dosaženo extrému, konkrétně minima (od A > 0).

Definice 5.4. Pokud argumenty funkce f (x 1 , x 2 ,…, x n) připojeno dodatečné podmínky tak jako m rovnice ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

kde funkce φ i mají spojité parciální derivace, pak se volají rovnice (5.2). rovnice připojení.

Definice 5.5. Extrém funkce f (x 1 , x 2 ,…, x n) při splnění podmínek (5.2) se volá podmíněný extrém.

Komentář. Můžeme nabídnout následující geometrickou interpretaci podmíněného extrému funkce dvou proměnných: nechť argumenty funkce f(x,y) souvisí rovnicí φ (x,y)= 0, definující nějakou křivku v rovině O xy. Rekonstrukce kolmice k rovině O z každého bodu této křivky xy dokud se neprotne s povrchem z = f (x, y), získáme prostorovou křivku ležící na ploše nad křivkou φ (x,y)= 0. Úkolem je najít krajní body výsledné křivky, které ovšem obecný případ se neshodují s nepodmíněnými extrémními body funkce f(x,y).

Stanovme nutné podmínky pro podmíněný extrém pro funkci dvou proměnných tak, že nejprve zavedeme následující definici:

Definice 5.6. Funkce L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1, x 2,…, x n) +…+λ m φ m (x 1, x 2,…, x n), (5.3)

Kde λ i – některé jsou stálé, tzv Lagrangeova funkce a čísla λi– neurčité Lagrangeovy multiplikátory.

Věta 5.3(nezbytné podmínky pro podmíněný extrém). Podmíněný extrém funkce z = f (x, y) za přítomnosti vazebné rovnice φ ( x, y)= 0 lze dosáhnout pouze ve stacionárních bodech Lagrangeovy funkce L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Důkaz. Vazební rovnice specifikuje implicitní vztah na z X, proto budeme předpokládat, že na existuje funkce od X: y = y(x). Pak z existuje složitá funkce X a jeho kritické body jsou určeny podmínkou: . (5.4) Z vazebné rovnice vyplývá, že . (5.5)

Vynásobme rovnost (5.5) nějakým číslem λ a přičtěme k (5.4). Dostaneme:

, nebo .

Poslední rovnost musí být splněna ve stacionárních bodech, z čehož vyplývá:

(5.6)

Získá se systém tří rovnic pro tři neznámé: x, y a λ a první dvě rovnice jsou podmínky pro stacionární bod Lagrangeovy funkce. Vyloučením pomocné neznámé λ ze systému (5.6) zjistíme souřadnice bodů, ve kterých může mít původní funkce podmíněný extrém.

Poznámka 1. Přítomnost podmíněného extrému v nalezeném bodě lze ověřit studiem parciálních derivací Lagrangeovy funkce druhého řádu analogicky s větou 5.2.

Poznámka 2. Body, ve kterých lze dosáhnout podmíněného extrému funkce f (x 1 , x 2 ,…, x n) při splnění podmínek (5.2) lze definovat jako řešení systému (5.7)

Příklad. Pojďme najít podmíněný extrém funkce z = xy vzhledem k tomu x + y= 1. Složme Lagrangeovu funkci L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Systém (5.6) vypadá takto:

Kde -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. V čem L(x,y) mohou být zastoupeny ve formě L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, tedy v nalezeném stacionárním bodě L(x,y) má maximum a z = xy – podmíněné maximum.

Podmíněný extrém.

Extrémy funkce více proměnných

Metoda nejmenších čtverců.

Lokální extrém FNP

Nechť je funkce dána A= F(P), РÎDÌR n a nechej bod P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) –vnitřní bod sady D.

Definice 9.4.

1) Bod P 0 se nazývá maximální bod funkcí A= F(P), pokud existuje okolí tohoto bodu U(P 0) М D takové, že pro jakýkoli bod P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , podmínka je splněna F(P)£ F(P 0) . Význam F(P 0) je volána funkce v maximálním bodě maximum funkce a je určeno F(P0) = max F(P) .

2) Bod P 0 se nazývá minimální bod funkcí A= F(P), pokud existuje okolí tohoto bodu U(P 0)Ì D takové, že pro jakýkoli bod P( X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , podmínka je splněna F(P)³ F(P 0) . Význam F(P 0) je volána funkce v minimálním bodě minimální funkce a je určeno F(P 0) = min F(P).

Volají se minimální a maximální body funkce extrémní body, jsou volány hodnoty funkce v extrémních bodech extrém funkce.

Jak vyplývá z definice, nerovnosti F(P)£ F(P 0), F(P)³ F(P 0) musí být splněna pouze v určitém okolí bodu P 0, nikoli v celém definičním oboru funkce, což znamená, že funkce může mít několik extrémů stejného typu (několik minim, několik maxim) . Proto se nazývají výše definované extrémy místní(místní) extrémy.

Věta 9.1 (nutná podmínka pro extrém FNP)

Pokud je funkce A= F(X 1 , X 2 , ..., x n) má v bodě P 0 extrém, pak jsou jeho parciální derivace prvního řádu v tomto bodě buď rovny nule, nebo neexistují.

Důkaz. Nechť v bodě P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) funkce A= F(P) má extrém, např. maximum. Pojďme opravit argumenty X 2 , ..., x n, uvedení X 2 =A 2 ,..., x n = a p. Pak A= F(P) = F 1 ((X 1 , A 2 , ..., a p) je funkcí jedné proměnné X 1. Protože tato funkce má X 1 = A 1 extrém (maximum), tedy F 1 ¢=0nebo neexistuje, když X 1 =A 1 (nutná podmínka pro existenci extrému funkce jedné proměnné). Ale to znamená nebo neexistuje v bodě P 0 - extrémním bodě. Podobně můžeme uvažovat parciální derivace vzhledem k jiným proměnným. CTD.

Volají se body v definičním oboru funkce, ve kterých jsou parciální derivace prvního řádu rovny nule nebo neexistují kritické body tuto funkci.

Jak vyplývá z věty 9.1, mezi kritickými body funkce je třeba hledat extrémní body FNP. Ale pokud jde o funkci jedné proměnné, ne každý kritický bod je extrémním bodem.

Věta 9.2 (dostatečná podmínka pro extrém FNP)

Nechť P 0 je kritický bod funkce A= F(P) a je diferenciál druhého řádu této funkce. Pak

a pokud d 2 u(P 0) > 0 v , pak P 0 je bod minimální funkcí A= F(P);

b) pokud d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximum funkcí A= F(P);

c) pokud d 2 u(P 0) není definováno znaménkem, pak P 0 není extrémní bod;

Tuto větu budeme uvažovat bez důkazu.

Všimněte si, že teorém nezvažuje případ kdy d 2 u(P 0) = 0 nebo neexistuje. To znamená, že otázka přítomnosti extrému v bodě P 0 za takových podmínek zůstává otevřená - potřebujeme další výzkum, například studovat přírůstek funkce v tomto bodě.

V podrobnějších kurzech matematiky je prokázáno, že zejména pro funkci z = f(X,y) dvou proměnných, jejichž diferenciál druhého řádu je součtem tvaru

studium přítomnosti extrému v kritickém bodě P 0 lze zjednodušit.

Označme , , . Sestavme determinant

.

Ukazuje se:

d 2 z> 0 v bodě P 0, tzn. P 0 – minimální bod, pokud A(P 0) > 0 a D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

pokud D(P 0)< 0, то d 2 z v okolí bodu P 0 mění znaménko a v bodě P 0 není extrém;

je-li D(Р 0) = 0, pak jsou nutné další studie funkce v blízkosti kritického bodu Р 0.

Tedy pro funkci z = f(X,y) ze dvou proměnných máme následující algoritmus (říkejme mu „algoritmus D“) pro nalezení extrému:

1) Najděte definiční obor D( F) funkce.

2) Najděte kritické body, tzn. body z D( F), pro které a jsou rovny nule nebo neexistují.

3) V každém kritickém bodě P 0 zkontrolujte dostatečné podmínky pro extrém. Chcete-li to provést, najděte , kde , , a vypočítat D(P 0) a A(P 0). Pak:

jestliže D(P 0) >0, pak v bodě P 0 je extrém, a jestliže A(P 0) > 0 – pak je to minimum, a pokud A(P 0)< 0 – максимум;

pokud D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Pokud D(P 0) = 0, je zapotřebí další výzkum.

4) V nalezených extrémních bodech vypočítejte hodnotu funkce.

Příklad 1.

Najděte extrém funkce z = X 3 + 8y 3 – 3xy .

Řešení. Oblastí definice této funkce je celá rovina souřadnic. Pojďme najít kritické body.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Zkontrolujme, zda jsou splněny dostatečné podmínky pro extrém. najdeme

6X, = -3, = 48na A = 288xy – 9.

Potom D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – v bodě Р 1 je extrém, a od r. A(P 1) = 3 >0, pak je tento extrém minimum. Takže min z=z(P 1) = .

Příklad 2

Najděte extrém funkce .

Řešení: D( F) =R2. Kritické body: ; neexistuje kdy na= 0, což znamená, že P 0 (0,0) je kritický bod této funkce.

2, = 0, = , = , ale D(P 0) není definováno, takže studium jeho znaménka je nemožné.

Ze stejného důvodu není možné přímo aplikovat větu 9.2 - d 2 z v tomto bodě neexistuje.

Uvažujme přírůstek funkce F(X, y) v bodě P 0. Pokud D F =F(P) – F(P 0)>0 "P, pak P 0 je minimální bod, ale pokud D F < 0, то Р 0 – точка максимума.

V našem případě máme

D F = F(X, y) – F(0, 0) = F(0+D X,0+D y) – F(0, 0) = .

U D X= 0,1 a D y= -0,008 dostaneme D F = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 a D y= 0,001 D F= 0,01 + 0,1 > 0, tzn. v blízkosti bodu P 0 není splněna ani jedna podmínka D F <0 (т.е. F(X, y) < F(0, 0) a proto P 0 není maximální bod), ani podmínka D F>0 (tj. F(X, y) > F(0, 0) a pak P 0 není minimální bod). To znamená, že podle definice extrému tato funkce nemá žádné extrémy.

Podmíněný extrém.

Zavolá se uvažovaný extrém funkce bezpodmínečné, protože na argumenty funkce nejsou kladena žádná omezení (podmínky).

Definice 9.2. Extrém funkce A = F(X 1 , X 2 , ... , x n), shledal pod podmínkou, že jeho argumenty X 1 , X 2 , ... , x n splnit rovnice j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, kde P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( F), volal podmíněný extrém .

Rovnice j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, jsou nazývány rovnice připojení.

Podívejme se na funkce z = f(X,y) dvě proměnné. Je-li rovnice spojení jedna, tzn. , pak nalezení podmíněného extrému znamená, že extrém není hledán v celém oboru definice funkce, ale na nějaké křivce ležící v D( F) (tj. nehledají se nejvyšší nebo nejnižší body povrchu z = f(X,y), a nejvyšší nebo nejnižší body mezi průsečíky této plochy s válcem, obr. 5).

Podmíněný extrém funkce z = f(X,y) ze dvou proměnných lze nalézt následujícím způsobem( eliminační metoda). Z rovnice vyjádřete jednu z proměnných jako funkci jiné (například napište ) a dosazením této hodnoty proměnné do funkce zapište druhou jako funkci jedné proměnné (v uvažovaném případě ). Najděte extrém výsledné funkce jedné proměnné.

Definice1: Říká se, že funkce má lokální maximum v bodě, pokud existuje okolí bodu takové, že pro jakýkoli bod M se souřadnicemi (x, y) nerovnost platí: . V tomto případě tedy přírůstek funkce< 0.

Definice2: Říká se, že funkce má lokální minimum v bodě, pokud existuje okolí bodu takové, že pro jakýkoli bod M se souřadnicemi (x, y) nerovnost platí: . V tomto případě, tj. přírůstek funkce > 0.

Definice 3: Volají se body lokálního minima a maxima extrémní body.

Podmíněné extrémy

Při hledání extrémů funkce mnoha proměnných často vznikají problémy spojené s tzv podmíněný extrém. Tento koncept lze vysvětlit na příkladu funkce dvou proměnných.

Nechť je dána funkce a přímka L na povrchu 0xy. Úkolem je dostat se na řadu L najít takový bod P(x, y), ve kterém je hodnota funkce největší nebo nejmenší ve srovnání s hodnotami této funkce v bodech na přímce L, který se nachází v blízkosti bodu P. Takové body P jsou nazývány podmíněné extrémní body funkce on-line L. Na rozdíl od obvyklého extrémního bodu se hodnota funkce v podmíněném extrémním bodě porovnává s hodnotami funkce ne ve všech bodech jejího okolí, ale pouze v těch, které leží na přímce. L.

Je naprosto jasné, že bod obvyklého extrému (také říkají bezpodmínečný extrém) je také podmíněným krajním bodem pro jakoukoli přímku procházející tímto bodem. Opak samozřejmě neplatí: podmíněný extrémní bod nemusí být obyčejný extrémní bod. Dovolte mi vysvětlit, co jsem řekl, na jednoduchém příkladu. Grafem funkce je horní polokoule (příloha 3 (obr. 3)).

Tato funkce má na počátku maximum; vrchol tomu odpovídá M hemisféry. Pokud linka L body prochází přímka A A V(její rovnice x+y-1=0), pak je geometricky jasné, že pro body této přímky nejvyšší hodnotu funkce je dosaženo v bodě ležícím uprostřed mezi body A A V. Toto je bod podmíněného extrému (maxima) funkce na tomto řádku; odpovídá bodu M 1 na polokouli a z obrázku je zřejmé, že o nějakém obyčejném extrému zde nemůže být řeč.

Všimněte si, že v závěrečné části problému hledání největších a nejmenších hodnot funkce v uzavřené oblasti musíme najít extrémní hodnoty funkce na hranici této oblasti, tzn. na nějakém řádku, a tím vyřešit problém podmíněného extrému.

Nyní přistoupíme k praktickému hledání bodů podmíněného extrému funkce Z= f(x, y) za předpokladu, že proměnné x a y spolu souvisí rovnicí (x, y) = 0. Tento vztah nazveme rovnice spojení. Pokud lze z vazebné rovnice y vyjádřit explicitně pomocí x: y=(x), získáme funkci jedné proměnné Z= f(x, (x)) = Ф(x).

Nalezením hodnoty x, při které tato funkce dosahuje extrému, a poté určením odpovídajících hodnot y z rovnice spojení získáme požadované body podmíněného extrému.

Takže ve výše uvedeném příkladu z rovnice vztahu x+y-1=0 máme y=1-x. Odtud

Je snadné zkontrolovat, že z dosahuje svého maxima při x = 0,5; ale pak z rovnice spojení y = 0,5 a dostaneme přesně bod P, zjištěný z geometrických úvah.

Problém podmíněného extrému je velmi snadno řešitelný, i když lze reprezentovat rovnici spojení parametrické rovnice x=x(t), y=y(t). Dosazení výrazů pro x a y do tuto funkci, opět se dostáváme k problému hledání extrému funkce jedné proměnné.

Pokud má vazebná rovnice více než komplexní vzhled a nejsme schopni buď explicitně vyjádřit jednu proměnnou v termínech druhé, nebo ji nahradit parametrickými rovnicemi, pak je úkol najít podmíněný extrém obtížnější. Nadále budeme předpokládat, že ve vyjádření funkce z= f(x, y) je proměnná (x, y) = 0. Celková derivace funkce z= f(x, y) je rovna:

Kde derivaci y` najdeme pomocí pravidla derivace implicitní funkce. V bodech podmíněného extrému musí být nalezená celková derivace rovna nule; to dává jednu rovnici týkající se x a y. Protože musí splňovat i vazebnou rovnici, dostáváme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých

Převedeme tento systém na mnohem pohodlnější tak, že napíšeme první rovnici ve formě proporce a zavedeme novou pomocnou neznámou:

(znaménko mínus vpředu je pro pohodlí). Z těchto rovností je snadné přejít na následující systém:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

která spolu se spojovací rovnicí (x, y) = 0 tvoří soustavu tří rovnic s neznámými x, y a.

Tyto rovnice (*) se nejsnáze pamatují pomocí následujícího pravidla: abychom našli body, které mohou být body podmíněného extrému funkce

Z= f(x, y) s rovnicí spojení (x, y) = 0, musíte vytvořit pomocnou funkci

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Kde je nějaká konstanta a vytvořte rovnice pro nalezení extrémních bodů této funkce.

Naznačená soustava rovnic poskytuje zpravidla jen nezbytné podmínky, tzn. ne každá dvojice hodnot x a y, která vyhovuje tomuto systému, je nutně podmíněným extrémním bodem. Pro podmíněné extrémní body nedávám dostatečné podmínky; velmi často samotný konkrétní obsah problému napovídá, co je nalezeným bodem. Popsaná technika řešení problémů na podmíněném extrému se nazývá Lagrangeova multiplikační metoda.

Nechť je funkce z - /(x, y) definována v nějaké oblasti D a nechť Mo(xo, Vo) je vnitřní bod této oblasti. Definice. Pokud existuje číslo takové, že pro všechny splňující podmínky platí nerovnost, pak bod Mo(xo, y) se nazývá lokální maximální bod funkce /(x, y); pokud pro všechny Dx, Du, splňující podmínky | pak se bod Mo(xo,yo) nazývá tenké lokální minimum. Jinými slovy, bod M0(x0, y0) je bod maxima nebo minima funkce f(x, y), pokud existuje 6-ti sousedství bodu A/o(x0, y0) takové, že vůbec bodů M(x, y) tohoto v okolí, přírůstek funkce si zachovává své znaménko. Příklady. 1. Pro funkční bod - minimální bod (obr. 17). 2. Pro funkci je bod 0(0,0) maximálním bodem (obr. 18). 3. Pro funkci je bod 0(0,0) lokálním maximálním bodem. 4 Skutečně existuje okolí bodu 0(0, 0), například kružnice o poloměru j (viz obr. 19), v jejímž libovolném bodě, odlišném od bodu 0(0,0), hodnota funkce /(x,y) menší než 1 = Budeme uvažovat pouze body striktního maxima a minima funkcí, když je splněna striktní nerovnost nebo striktní nerovnost pro všechny body M(x) y) z nějakého proraženého 6-okolí bod Mq. Hodnota funkce v bodě maxima se nazývá maximum a hodnota funkce v bodě minima se nazývá minimum této funkce. Maximální a minimální body funkce se nazývají extrémní body funkce a maxima a minima samotné funkce se nazývají její extrémy. Věta 11 (nutná podmínka pro extrém). Pokud je funkce Extremum funkcí několika Koncept proměnných extrém funkce více proměnných. Nutné a postačující podmínky pro extrém Podmíněný extrém Největší a nejmenší hodnoty spojitých funkcí mají extrém v bodě, pak v tomto bodě každá parciální derivace a u buď zmizí, nebo neexistuje. Nechť v bodě M0(x0, y®) má Funkce z = f(x) y) extrém. Dejme proměnné y hodnotu oo. Pak funkce z = /(x, y) bude funkcí jedné proměnné x\ Protože v x = xo má extrém (maximum nebo minimum, obr. 20), pak její derivace vzhledem k x = “o, | (*o,l>)" Rovná se nule nebo neexistuje. Podobně jsme přesvědčeni, že) je buď rovno nule, nebo neexistuje. Body, ve kterých = 0 a χ = 0 nebo neexistují, se nazývají kritické body funkce z = Dx, y). 20 derivací, které mizí v Ale tato funkce je tenká na imvatu brnknutí, funkce je ve skutečnosti rovna nule v bodě 0(0,0) a nabývá kladných hodnot v bodech M(x,y), libovolně blízko bodu 0(0,0) a záporné hodnoty tak, že v bodech (0, y) pro libovolně malý Bod 0(0,0) uvedeného typu se nazývá minimax bod (. Obr. 21. Dostatečné podmínky pro extrém funkce dvou proměnných Věta 12 (dostatečné podmínky pro extrém funkcí dvou proměnných) Nechť bod Mo(x, y) je stacionární bod funkce f(x, y) a v některém okolí bodu / včetně samotného bodu Mo má funkce /(r, y ) spojité parciální derivace až do druhého řádu včetně. Potom". v bodě Mo(xo, V0) funkce /(xo, y) nemá extrém, pokud D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Extrém funkce f(x, y) může a nemusí existovat. V tomto případě je nutný další výzkum. m Omezme se na dokazování tvrzení 1) a 2) věty. Napišme Taylorův vzorec druhého řádu pro funkci /(i, y): kde. Podle podmínky je vidět, že znaménko přírůstku D/ je určeno znaménkem trinomu na pravé straně (1), tj. znaménkem druhého diferenciálu d2f. Pro stručnost si to označme. Pak rovnost (l) můžeme zapsat takto: Nechť v bodě MQ(so, V0) máme... Protože podle podmínky jsou parciální derivace druhého řádu funkce f(s, y) spojité, pak nerovnost (3) bude také platit v nějakém okolí bodu M0(s0,yo). Pokud je podmínka splněna (v bodě А/0 a na základě spojitosti si derivace /,z(s,y) zachová své znaménko v určitém okolí bodu Af0. V oblasti, kde А Ф 0, máme z toho jasné, že pokud ЛС - В2 > 0 v nějakém okolí bodu M0(x0) y0), pak se znaménko trinomu AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 shoduje se znaménkem A v bodě. (takže V0) (stejně jako se znaménkem C, protože pro AC - B2 > 0 A a C nemohou mít různá znaménka). Protože znaménko součtu AAs2 + 2BAxAy + CAy2 v bodě (s0 + $ Ax, y0 + 0 Dyn) určuje znaménko rozdílu, dojdeme k následujícímu závěru: pokud pro funkci /(s,y) při podmínka stacionárního bodu (s0, V0), pak pro dostatečně malé || nerovnost bude uspokojena. V bodě (sq, V0) má tedy funkce /(s, y) maximum. Pokud je podmínka splněna ve stacionárním bodě (s0, y0), pak pro všechny dostatečně malé |Dr| a |Du| nerovnost je pravdivá, což znamená, že v bodě (tak,jo) má funkce /(s, y) minimum. Příklady. 1. Prozkoumejte funkci pro extrém 4 Pomocí nezbytných podmínek pro extrém hledáme stacionární body funkce. K tomu najdeme parciální derivace u a přirovnáme je k nule. Získáme soustavu rovnic odkud - stacionární bod. Použijme nyní větu 12. Máme To znamená, že v bodě Ml je extrém. Protože tohle je minimum. Převedeme-li funkci r do tvaru, je snadné to vidět pravá část(“) bude minimální, když je absolutní minimum této funkce. 2. Prozkoumejte funkci pro extrém Najdeme stacionární body funkce, pro které tedy sestavíme soustavu rovnic, aby byl bod stacionární. Vzhledem k tomu, že na základě věty 12 neexistuje žádný extrém v bodě M. * 3. Prozkoumejte extrém funkce. Najděte stacionární body funkce. Ze soustavy rovnic to dostaneme, takže bod je stacionární. Dále máme, že Věta 12 neodpovídá na otázku o přítomnosti nebo nepřítomnosti extrému. Udělejme to takto. Pro funkci o všech bodech odlišných od bodu tak, podle definice, a bodu A/o(0,0) má funkce r absolutní minimum. Podobnými výpočty zjistíme, že funkce má maximum v bodě, ale funkce nemá extrém v bodě. Nechť je funkce n nezávislých proměnných diferencovatelná v bodě Bod Mo se nazývá stacionární bod funkce podle věty 13 (až do dostatečných podmínek pro extrém). Nechť je funkce definována a má spojité parciální derivace druhého řádu v nějakém okolí jemného Mt(xi..., což je stacionární jemná funkce, pokud má kvadratický tvar (druhý diferenciál funkce f v jemném je kladný určitý (záporně určitý), minimální bod (resp. jemné maximum) funkce f je v pořádku kvadratická forma (4) je kladná nebo záporná, můžete použít například Sylvesterovo kritérium pro kladnou (negativní) jistotu kvadratické formy 15.2 lokální extrémy funkce v celé její definiční oblasti, když argumenty funkce nejsou vázány žádnými dalšími podmínkami. Takové extrémy se nazývají bezpodmínečné. Často se však vyskytují problémy s nalezením tzv. podmíněných extrémů. Nechť je funkce z = /(x, y) definována v definičním oboru D. Předpokládejme, že v tomto oboru je dána křivka L a potřebujeme najít extrémy funkce f(x> y) pouze mezi těmi jejích hodnot, které odpovídají bodům křivky L. Stejné extrémy se nazývají podmíněné extrémy funkce z = f(x) y) na křivce L. Definice Říkají, že v bodě ležícím na křivce L , funkce f(x, y) má podmíněné maximum (minimum), pokud je nerovnost splněna ve všech bodech M (s, y) y) křivka L, patřící do některého okolí bodu M0(x0, V0) a různá z bodu M0 (Je-li křivka L dána rovnicí, pak problém nalezení podmíněného extrému funkce r - f(x,y) na křivce! lze formulovat následovně: najděte extrémy funkce x = /(z, y) v oblasti D, za předpokladu, že Při hledání podmíněných extrémů funkce z = y tedy již nelze argumenty pakoně považovat za nezávislé proměnné: jsou vzájemně vztaženy vztah y) = 0, který se nazývá rovnice spojení. Abychom objasnili rozdíl mezi nepodmíněným a podmíněným extrémem, podívejme se na příklad, kdy nepodmíněné maximum funkce (obr. 23) je rovno jedné a je dosaženo v bodě (0,0). Odpovídá bodu M - vrcholu pvvboloidu Doplňme rovnici spojení y = j. Podmíněné maximum se mu pak zjevně bude rovnat. Je dosaženo v bodě (o,|) a odpovídá vrcholu Afj koule, což je přímka průsečíku koule s rovinou y = j. V případě nepodmíněného mvxima máme mvximum aplikaci mezi všemi vpplicvt povrchu * = 1 - l;2 ~ y1; summvv podmíněné - pouze mezi vllikvt body pvraboloidv, odpovídající bodu* přímky y = j ne rovině xOy. Jedna z metod pro nalezení podmíněného extrému funkce v přítomnosti a spojení je následující. Nechť rovnice spojení y) - O definuje y jako jedinečnou diferencovatelnou funkci argumentu x: Dosazením funkce místo y do funkce získáme funkci jednoho argumentu, ve které je již podmínka spojení zohledněna. (Nepodmíněný) extrém funkce je požadovaným podmíněným extrémem. Příklad. Najděte extrém funkce za podmínky Extrém funkce více proměnných Pojem extrém funkce více proměnných. Nutné a postačující podmínky pro extrém Podmíněný extrém Největší a nejmenší hodnoty spojitých funkcí A Ze spojovací rovnice (2") zjistíme y = 1-x. Dosazením této hodnoty y do (V) získáme funkci jednoho argumentu x: Prozkoumejme ji pro extrém: odkud x = 1 je kritický bod; , takže poskytuje podmíněné minimum funkce r (obr. 24). Naznačme další způsob řešení problému podmíněného extrému, který se nazývá Lagrangeova multiplikační metoda. Nechť existuje podmíněný extrém funkce za přítomnosti souvislosti Předpokládejme, že rovnice vazby definuje jedinečnou spojitě diferencovatelnou funkci v určitém okolí bodu xx. Uvážíme-li, že dostaneme, že derivace vzhledem k x funkce /(r, ip(x)) v bodě xq musí být rovna nule nebo, což je ekvivalentní tomuto, diferenciálu f(x, y) v bod Mo" O se musí rovnat nule ) Z rovnice spojení máme (5) Vynásobením poslední rovnosti zatím neurčeným číselným faktorem A a sečtením členu po členu s rovností (4) dostaneme (předpokládáme, že ) Potom díky libovolnosti dx dostaneme Rovnice (6) a (7) vyjadřující nutné podmínky pro nepodmíněný extrém v bodě funkce, který se nazývá Lagrangeova funkce funkce /(x, y), if, je nezbytně stacionárním bodem Lagrangeovy funkce, kde A je určitý číselný koeficient Odtud dostaneme pravidlo pro hledání podmíněných extrémů: najít body, které mohou být body funkční extrém funkce za přítomnosti vazby: 1) složíme Lagrangeovu funkci, 2) tak, že derivace a U této funkce dáme rovnítko nule a k výsledným rovnicím přičteme rovnici spojení, získáme soustavu tří rovnic. ze kterých najdeme hodnoty A a souřadnice x, y možných extrémních bodů. Otázka existence a povahy podmíněného extrému je vyřešena na základě studia znaménka druhého diferenciálu Lagrangeovy funkce pro uvažovaný systém hodnot x0, V0, A, získaných z (8) za předpokladu, že , pak v bodě (x0, V0) má funkce /(x, y ) podmíněné maximum; pokud d2F > 0 - pak podmíněné minimum. Konkrétně, je-li ve stacionárním bodě (xo, J/o) determinant D pro funkci F(x, y) kladný, pak v bodě (®o, V0) existuje podmíněné maximum funkce f( x, y), jestliže a podmíněné minimum funkce /(x, y), jestliže Příklad. Vraťme se znovu k podmínkám předchozího příkladu: najděte extrém funkce za podmínky, že x + y = 1. Úlohu vyřešíme metodou Lagrangeova multiplikátoru. Lagrangeova funkce v v tomto případě má tvar Pro nalezení stacionárních bodů sestavíme soustavu Z prvních dvou rovnic soustavy získáme, že x = y. Pak ze třetí rovnice soustavy (rovnice spojení) zjistíme, že x - y = j jsou souřadnice možného extrémního bodu. V tomto případě (je indikováno, že A = -1. Lagrangeova funkce. je tedy podmíněným minimálním bodem funkce * = x2 + y2 za podmínky, že pro Lagrangeovu funkci neexistuje žádný nepodmíněný extrém. P(x, y ) ještě neznamená absenci podmíněného extrému pro funkci /(x, y) za přítomnosti spojení Příklad Najděte extrém funkce pod podmínkou y 4 Složíme Lagrangeovu funkci a vypíšeme systém pro. určení A a souřadnic možných extrémních bodů: Z prvních dvou rovnic získáme x + y = 0 a dojdeme k systému, kde x = y = A = 0. Odpovídající Lagrangeova funkce má tedy tvar V bodě (0,0), funkce F(x, y; 0) nemá nepodmíněný extrém, ale existuje podmíněný extrém funkce r = xy, když y = x Opravdu, v tomto případě r = x2 zde je zřejmé, že v bodě (0,0) je podmíněné minimum "Metoda Lagrangeových multiplikátorů se přenese na případ funkcí libovolného počtu argumentů. Hledejme extrém funkce za přítomnosti rovnice spojení Sestavme Lagrangeovu funkci kde A|, Az,..., A„, jsou neurčité konstantní faktory. Vyrovnáme-li všechny parciální derivace prvního řádu funkce F na nulu a k výsledným rovnicím přičteme rovnice spojení (9), získáme soustavu n + m rovnic, ze které určíme Ab A3|..., At a souřadnice x \) x2). » xn možných bodů podmíněného extrému. Otázka, zda body nalezené pomocí Lagrangeovy metody jsou skutečně body podmíněného extrému, může být často vyřešena na základě úvah fyzické nebo geometrické povahy. 15.3. Největší a nejmenší hodnoty spojitých funkcí Nechť je požadováno najít největší (nejmenší) hodnotu funkce z = /(x, y), spojitá v nějaké uzavřené omezené oblasti D. Podle věty 3 v této oblasti existuje je bod (xo, V0), ve kterém funkce nabývá největší (nejmenší) hodnoty. Pokud bod (xo, y0) leží uvnitř oblasti D, pak má funkce / v něm maximum (minimum), takže v tomto případě je pro nás bod zájmu obsažen mezi kritickými body funkce /(x, y). Funkce /(x, y) však může dosáhnout své největší (nejmenší) hodnoty na hranici oblasti. Proto, abyste našli největší (nejmenší) hodnotu, kterou má funkce z = /(x, y) v omezené uzavřené oblasti 2), musíte najít všechna maxima (minimum) funkce dosažená uvnitř této oblasti, stejně jako největší (nejmenší) hodnotu funkce na hranici této oblasti. Největší (nejmenší) ze všech těchto čísel bude požadovaná největší (nejmenší) hodnota funkce z = /(x,y) v oblasti 27. Ukažme si, jak se to dělá v případě diferencovatelné funkce. Prmmr. Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce oblasti 4. Najdeme kritické body funkce uvnitř oblasti D. K tomu sestavíme soustavu rovnic. Odtud dostaneme x = y « 0, takže bod 0 (0,0) je kritickým bodem funkce x. Protože Nyní najdeme největší a nejmenší hodnoty funkce na hranici Г oboru D. Na části hranice máme, že y = 0 je kritický bod, a protože = pak v tomto bodě funkce z = 1 + y2 má minimum rovné jedné. Na koncích úsečky Г", v bodech (, máme. Pomocí úvah o symetrii získáme stejné výsledky pro další části hranice. Nakonec získáme: nejmenší hodnotu funkce z = x2+y2 v oblasti "B je rovna nule a je dosažena ve vnitřním bodě 0(0, 0) oblasti a maximální hodnota této funkce, rovná dvěma, je dosažena ve čtyřech bodech hranice (obr. 25) obr. 25 Cvičení Najděte obor definice funkcí: Sestrojte úrovňové čáry funkcí: 9 Najděte úrovňové povrchy funkcí tří nezávislých proměnných: Vypočítejte limity funkcí: Najděte parciální derivace funkcí a jejich plné diferenciály : Najděte derivace komplexních funkcí: 3 Najděte J. Extrém funkce více proměnných Pojem extrém funkce více proměnných. Nutné a postačující podmínky pro extrém Podmíněný extrém Největší a nejmenší hodnoty spojitých funkcí 34. Použití vzorce pro derivaci komplexní funkce dvou proměnných, hledání a funkcí: 35. Použití vzorce pro derivaci komplexu funkce dvou proměnných, najděte |J a funkce: Najděte jj funkce dané implicitně: 40. Najděte úhlový koeficient tečné křivky v bodě jejího průsečíku s přímkou ​​x = 3. 41. Najděte body, ve kterých tečna křivky křivka x je rovnoběžná s osou Ox. . V následujících úlohách najdi a T: Napište rovnice tečné roviny a normály plochy: 49. Napište rovnice tečných rovin plochy x2 + 2y2 + 3z2 = 21, rovnoběžné s rovinou x + 4y. + 6z = 0. Najděte první tři nebo čtyři členy rozvoje pomocí Taylorova vzorce : 50. y v okolí bodu (0, 0). Pomocí definice extrému funkce prozkoumejte následující funkce pro extrém:). Pomocí dostatečných podmínek pro extrém funkce dvou proměnných prozkoumejte extrém funkce: 84. Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce z = x2 - y2 v uzavřeném kruhu 85. Najděte největší a nejmenší hodnotu ​​funkce * = x2y(4-x-y) v trojúhelníku ohraničeném přímkami x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Určete rozměry obdélníkového otevřeného bazénu, který má nejmenší povrch, za předpokladu, že jeho objem je roven V. 87. Najděte rozměry obdélníkového rovnoběžnostěnu, který má maximální objem daný celkovou plochou 5. Odpovědi 1. a | Čtverec tvořený úsečkami x včetně jeho stran. 3. Rodina soustředných prstenců 2= 0,1,2,... .4. Celá rovina kromě bodů na přímkách. Část roviny umístěná nad parabolou y = -x?. 8. Body kružnice x. Celá rovina kromě přímek x Radikálový výraz je nezáporný ve dvou případech j * ^ nebo j x ^ ^, což je ekvivalentní nekonečné řadě nerovnic, resp. l, která je ekvivalentní nekonečné řadě Funkce je definována v bodech. a) Přímky rovnoběžné s přímkou ​​x b) soustředné kružnice se středem v počátku. 10. a) paraboly y) paraboly y a) paraboly b) hyperboly | .Letadla xc. 13. Prim - jednodutinové hyperboloidy rotace kolem osy Oz; když a jsou dvouvrstvé hyperboloidy rotace kolem osy Oz, jsou obě rodiny povrchů odděleny kuželem; Neexistuje žádný limit, b) 0. 18. Položme y = kxt, pak z lim z = -2, takže daná funkce v bodě (0,0) nemá limitu. 19. a) Bod (0,0); b) bod (0,0). 20. a) Přerušovací čára - kružnice x2 + y2 = 1; b) čára přerušení je přímka y = x. 21. a) Zlomové čáry - souřadnicové osy Ox a Oy; b) 0 (prázdná sada). 22. Všechny body (m, n), kde a n jsou celá čísla

Nezbytné a postačující podmínky pro extrém funkcí dvou proměnných. Bod se nazývá minimální (maximální) bod funkce, pokud je v určitém okolí bodu funkce definována a splňuje nerovnost (respektive maximální a minimální body se nazývají extrémní body funkce.

Nutná podmínka pro extrém. Pokud má funkce v extrémním bodě první parciální derivace, pak v tomto bodě zanikají. Z toho vyplývá, že k nalezení extrémních bodů takové funkce je třeba vyřešit soustavu rovnic Body, jejichž souřadnice splňují tento systém, se nazývají kritické body funkce. Mezi nimi může být maximální počet bodů, minimální počet bodů a také body, které nejsou extrémními body.

K identifikaci extrémních bodů ze sady kritických bodů se používají dostatečné extrémní podmínky a jsou uvedeny níže.

Nechť má funkce v kritickém bodě spojité druhé parciální derivace. Pokud je to v tuto chvíli pravda

podmínka pak je minimální bod v a maximální bod v kritickém bodě If, pak to není extrémní bod. V tomto případě je nutná jemnější studie povahy kritického bodu, který v tomto případě může, ale nemusí být extrémním bodem.

Extrémy funkcí tří proměnných. V případě funkce tří proměnných opakují definice extrémních bodů doslovně odpovídající definice pro funkci dvou proměnných. Omezíme se na představení postupu pro studium funkce pro extrém. Při řešení soustavy rovnic je třeba najít kritické body funkce a poté v každém z kritických bodů vypočítat hodnoty

Jsou-li všechny tři veličiny kladné, pak je dotyčným kritickým bodem minimální bod; jestliže pak je tento kritický bod maximálním bodem.

Podmíněný extrém funkce dvou proměnných. Bod se nazývá podmíněný minimální (maximální) bod funkce za předpokladu, že existuje okolí bodu, ve kterém je funkce definována a ve kterém (respektive) pro všechny body, jejichž souřadnice splňují rovnici

Chcete-li najít podmíněné extrémní body, použijte funkci Lagrange

kde se toto číslo nazývá Lagrangeův multiplikátor. Řešení soustavy tří rovnic

najít kritické body Lagrangeovy funkce (stejně jako hodnotu pomocného faktoru A). V těchto kritických bodech může existovat podmíněný extrém. Výše uvedený systém poskytuje pouze nezbytné podmínky pro extrém, nikoli však postačující: může být splněn souřadnicemi bodů, které nejsou body podmíněného extrému. Na základě podstaty problému je však často možné určit povahu kritického bodu.

Podmíněný extrém funkce více proměnných. Uvažujme funkci proměnných za podmínky, že spolu souvisí rovnicemi