Domov Protetika a implantace Souřadnice bodu symetrické k bodu vzhledem k přímce online. Nejjednodušší úlohy s přímkou na rovině

Protetika a implantace

Souřadnice bodu symetrické k bodu vzhledem k přímce online. Nejjednodušší úlohy s přímkou na rovině

Prohlášení o problému. Najděte souřadnice bodu symetrického k bodu vzhledem k rovině.

Plán řešení.

1. Najděte rovnici přímky, která je kolmá k dané rovině a prochází bodem . Protože přímka je kolmá k dané rovině, pak lze za její směrový vektor brát normálový vektor roviny, tzn.

Proto bude rovnice přímky

2. Najděte bod průsečík přímky a letadla (viz problém 13).

3. Bod je střed segmentu, kde je bod je bod symetrický k bodu , Proto

Problém 14. Najděte bod symetrický k bodu vzhledem k rovině.

Rovnice přímky, která prochází bodem kolmým k dané rovině, bude:

Najdeme průsečík přímky a roviny.

Kde – průsečík přímky a roviny je tedy středem úsečky

Tito. .

Homogenní rovinné souřadnice.

Afinní transformace na rovině. Nechat M X A

Nechat(M, Ana (M, A Mae

na (M, A

na (M, A , 1) v prostoru (obr. 8).

hu.

(hx, hy, h), h  0,

Komentář h Komentář

(Například, Komentář

(hx, hy, h), h  0,

Vlastně s ohledem

Příklad 1b ) do úhlu

(obr. 9).

1. krok. 2. krok.

Otočte o úhel 

matice odpovídající transformace. 3. krok. Přenést do vektoru A(a,

Otočte o úhel 

 Příklad 3

(obr. 9).

Otočte o úhel 

1. krok.

matice odpovídající transformace.

podél osy x a

(hx, hy, h), h  0,

konečně to dostaneme

Afinní transformace na rovině. Nechat[R],[D],[M],[T], M X A- libovolný bod roviny se souřadnicemi

, vypočtené vzhledem k danému přímočarému souřadnicovému systému. Homogenní souřadnice tohoto bodu jsou libovolné trojice současně nenulových čísel x 1, x 2, x 3, vztažených k daným číslům x a y pomocí následujících vztahů: Nechat(M, A Při řešení problémů počítačové grafiky se homogenní souřadnice obvykle zadávají takto: do libovolného bodu na (M, A Mae

) rovině je přiřazen bod na (M, A Všimněte si, že libovolný bod na přímce spojující počátek, bod 0(0, 0, 0), s bodem

Vektor se souřadnicemi hx, hy je směrový vektor přímky spojující body 0 (0, 0, 0) a na (M, A, 1). Tato přímka protíná rovinu z = 1 v bodě (x, y, 1), který jednoznačně definuje bod (x, y) souřadnicové roviny , 1) v prostoru (obr. 8).

Tedy mezi libovolným bodem se souřadnicemi (x, y) a množinou trojic čísel tvaru

hu.

je stanovena (jedna ku jedné) korespondence, která nám umožňuje považovat čísla hx, hy, h za nové souřadnice tohoto bodu.

(hx, hy, h), h  0,

Homogenní souřadnice, široce používané v projektivní geometrii, umožňují efektivně popsat takzvané nevlastní prvky (v podstatě ty, ve kterých se projektivní rovina liší od známé euklidovské roviny). Více podrobností o nových možnostech, které poskytují zavedené homogenní souřadnice, je diskutováno ve čtvrté části této kapitoly.

V projektivní geometrii pro homogenní souřadnice je akceptován následující zápis:

x:y:1, nebo obecněji x1:x2:x3

(nezapomeňte, že zde je bezpodmínečně nutné, aby se čísla x 1, x 2, x 3 nezměnila současně na nulu).

Použití homogenních souřadnic se ukazuje jako výhodné i při řešení nejjednodušších problémů.

Zvažte například problémy související se změnami v měřítku. Pokud zobrazovací zařízení pracuje pouze s celými čísly (nebo pokud potřebujete pracovat pouze s celými čísly), pak pro libovolnou hodnotu Komentář h Komentář= 1) bod s homogenními souřadnicemi

nemožné si představit. Při rozumné volbě h je však možné zajistit, aby souřadnice tohoto bodu byly celá čísla. Konkrétně pro h = 10 pro uvažovaný příklad, který máme

Podívejme se na jiný případ. Aby výsledky transformace nevedly k aritmetickému přetečení, pro bod se souřadnicemi (80000 40000 1000) můžete vzít například h=0,001. Výsledkem je (80 40 1).

Uvedené příklady ukazují užitečnost použití homogenních souřadnic při provádění výpočtů. Hlavním účelem zavedení homogenních souřadnic v počítačové grafice je však jejich nepochybná výhodnost při aplikaci na geometrické transformace.

Pomocí trojic homogenních souřadnic a matic třetího řádu lze popsat jakoukoli afinní transformaci roviny.

(Například, Komentář= 1, porovnejte dva záznamy: označené symbolem * a následující, matice:

Je dobře vidět, že po vynásobení výrazů na pravé straně posledního vztahu získáme oba vzorce (*) a správnou číselnou rovnost 1=1.

(hx, hy, h), h  0,

Někdy se v literatuře používá jiný zápis - sloupcový zápis:

Tento zápis je ekvivalentní výše uvedenému zápisu po řádcích (a získává se z něj transpozicí).

Prvky libovolné afinní transformační matice nemají explicitní geometrický význam. Proto, aby bylo možné realizovat to či ono mapování, tedy najít prvky odpovídající matice podle daného geometrického popisu, jsou potřeba speciální techniky. Typicky je konstrukce této matice v souladu se složitostí uvažovaného problému a speciálními případy popsanými výše rozdělena do několika fází.

V každé fázi se hledá matice, která odpovídá jednomu nebo druhému z výše uvedených případů A, B, C nebo D, které mají dobře definované geometrické vlastnosti.

Zapišme si odpovídající matice třetího řádu.

A. Rotační matice

B. Dilatační matrice

B. Reflexní matice

D. Převodová matice (překlad)

Uvažujme příklady afinních transformací roviny.

Vlastně s ohledem

Sestrojte rotační matici kolem bodu A (a,Příklad 1b ) do úhlu

(obr. 9). Transfer to vector – A (-a, -b) pro zarovnání středu rotace s počátkem souřadnic;

Otočte o úhel 

1. krok. 2. krok.

Otočte o úhel 

matice odpovídající transformace. 3. krok. Přenést do vektoru A(a, vrátit střed otáčení do předchozí polohy;

Otočte o úhel 

Vynásobme matice ve stejném pořadí, v jakém jsou napsány:

V důsledku toho zjistíme, že požadovaná transformace (v maticovém zápisu) bude vypadat takto:

Prvky výsledné matice (zejména v posledním řádku) nejsou tak snadno zapamatovatelné. Zároveň lze každou ze tří vynásobených matic snadno sestrojit z geometrického popisu odpovídajícího zobrazení.

Sestrojte matici roztažení s koeficienty roztažení Příklad 3 podél svislé osy a se středem v bodě A(a, b).

(obr. 9). Přeneste do vektoru -A(-a, -b) pro zarovnání středu roztažení s počátkem souřadnic;

Otočte o úhel 

1. krok. Protažení podél souřadnicových os s koeficienty  a , v daném pořadí; transformační matice má tvar

matice odpovídající transformace. Přeneste se do vektoru A(a, b) pro návrat středu napětí do jeho předchozí polohy; matice odpovídající transformace –

Násobení matic ve stejném pořadí

podél osy x a

(hx, hy, h), h  0,

Uvažování obdobným způsobem, tedy rozbití navrhované transformace do fází podpořených maticemi konečně to dostaneme z jejího geometrického popisu lze sestrojit matici jakékoli afinní transformace.

Posun je implementován sčítáním a změna měřítka a rotace jsou implementovány násobením.

Změna měřítka (dilatace) vzhledem k počátku má tvar:

nebo v maticové podobě:

Kde Dx,Dy jsou faktory měřítka podél os a

- škálovací matice.

Když D > 1, dojde k expanzi, když 0<=D<1- сжатие

Transformace rotace vzhledem k původu má tvar:

nebo v maticové podobě:

kde φ je úhel natočení a

- rotační matice.

Komentář: Sloupce a řádky rotační matice jsou vzájemně ortogonální jednotkové vektory. Ve skutečnosti jsou druhé mocniny délek řádkových vektorů rovné jedné:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 a (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

a skalární součin řádkových vektorů je

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Od skalárního součinu vektorů A · B = |A| ·| B| ·cosψ, kde | A| - vektorová délka A, |B| - vektorová délka B, a ψ je nejmenší kladný úhel mezi nimi, pak z rovnosti 0 skalárního součinu dvou řádkových vektorů délky 1 vyplývá, že úhel mezi nimi je 90°.

Nechť je nám dána určitá přímka, definovaná lineární rovnicí, a bod, definovaný jejími souřadnicemi (x0, y0) a neležící na této přímce. Je třeba najít bod, který by byl symetrický k danému bodu kolem dané přímky, to znamená, že by se s ním shodoval, pokud je rovina mentálně ohnutá na polovinu podél této přímky.

Instrukce

1. Je jasné, že oba body – daný i požadovaný – musí ležet na stejné přímce a tato přímka musí být na danou přímku kolmá. První částí úlohy je tedy objevit rovnici přímky, která by byla kolmá k nějaké dané přímce a zároveň procházela daným bodem.

2. Přímku lze zadat dvěma způsoby. Kanonická rovnice přímky vypadá takto: Ax + By + C = 0, kde A, B a C jsou konstanty. Přímku můžete určit také pomocí lineární funkce: y = kx + b, kde k je úhlový exponent, b je posunutí Tyto dvě metody jsou vzájemně zaměnitelné a lze mezi nimi přecházet. Pokud Ax + By + C = 0, pak y = – (Ax + C)/B. Jinými slovy, v lineární funkci y = kx + b, úhlový exponent k = -A/B a posunutí b = -C/B. Pro daný úkol je pohodlnější uvažovat na základě kanonické rovnice přímky.

3. Pokud jsou dvě přímky na sebe kolmé a rovnice první přímky je Ax + By + C = 0, pak by rovnice 2. přímky měla vypadat jako Bx – Ay + D = 0, kde D je konstanta. Pro detekci určité hodnoty D je potřeba dodatečně vědět, kterým bodem kolmice prochází. V tomto případě se jedná o bod (x0, y0), D tedy musí splňovat rovnost: Bx0 – Ay0 + D = 0, tedy D = Ay0 – Bx0.

4. Po objevení kolmice je nutné vypočítat souřadnice bodu jejího průsečíku s danou. K tomu je potřeba vyřešit soustavu lineárních rovnic: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Jejím řešením získáte čísla (x1, y1), která slouží jako souřadnice průsečík čar.

5. Požadovaný bod musí ležet na detekované čáře a jeho vzdálenost k průsečíku musí být rovna vzdálenosti od průsečíku k bodu (x0, y0). Souřadnice bodu symetrického k bodu (x0, y0) lze tedy zjistit řešením soustavy rovnic: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Ale můžete to udělat jednodušeji. Pokud jsou body (x0, y0) a (x, y) ve stejné vzdálenosti od bodu (x1, y1) a všechny tři body leží na stejné přímce, pak: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0 tedy x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Dosazením těchto hodnot do druhé rovnice prvního systému a zjednodušením výrazů je snadné zajistit, aby jeho pravá strana byla stejná jako levá. Navíc nemá smysl dále uvažovat o první rovnici, protože je známo, že body (x0, y0) a (x1, y1) ji splňují a bod (x, y) zjevně leží na stejné přímce. .

Úkolem je najít souřadnice bodu, který je symetrický k bodu vzhledem k přímce . Navrhuji provést kroky sami, ale nastíním algoritmus řešení s průběžnými výsledky:

1) Najděte přímku, která je k přímce kolmá.

2) Najděte průsečík čar: .

Obě akce jsou podrobně popsány v této lekci.

3) Bod je středem segmentu. Známe souřadnice středu a jednoho z konců. Podle vzorce pro souřadnice středu segmentu najdeme.

Bylo by dobré zkontrolovat, zda je vzdálenost také 2,2 jednotky.

Potíže zde mohou nastat při výpočtech, ale ve věži je velkým pomocníkem mikrokalkulačka, která vám umožní počítat běžné zlomky. Mnohokrát jsem vám radil a doporučím znovu.

Jak zjistit vzdálenost mezi dvěma rovnoběžnými čarami?

Příklad 9

Najděte vzdálenost mezi dvěma rovnoběžnými čarami

Toto je další příklad, kdy se můžete rozhodnout sami. Dám vám malou nápovědu: existuje nekonečně mnoho způsobů, jak to vyřešit. Shrnutí na konci lekce, ale je lepší zkusit to uhodnout sami, myslím, že vaše vynalézavost byla dobře vyvinuta.

Úhel mezi dvěma přímkami

Každý roh je zárubní:

V geometrii je úhel mezi dvěma přímkami považován za MENŠÍ úhel, z čehož automaticky vyplývá, že nemůže být tupý. Na obrázku není úhel označený červeným obloukem považován za úhel mezi protínajícími se čarami. A jeho „zelený“ soused resp opačně orientované"malinový" koutek.

Jsou-li čáry kolmé, lze za úhel mezi nimi považovat kterýkoli ze 4 úhlů.

Jak se liší úhly? Orientace. Za prvé, směr, ve kterém je úhel „posouván“, je zásadně důležitý. Za druhé, záporně orientovaný úhel se zapíše se znaménkem mínus, například pokud .

Proč jsem ti to řekl? Zdá se, že si vystačíme s obvyklou koncepcí úhlu. Faktem je, že vzorce, podle kterých najdeme úhly, mohou snadno vyústit v negativní výsledek, a to by vás nemělo překvapit. Úhel se znaménkem mínus není o nic horší a má velmi specifický geometrický význam. V případě záporného úhlu na výkresu označte jeho orientaci šipkou (ve směru hodinových ručiček).

Jak zjistit úhel mezi dvěma přímkami? Existují dva pracovní vzorce:

Příklad 10

Najděte úhel mezi čarami

Řešení A Metoda jedna

Uvažujme dvě přímky definované rovnicemi v obecném tvaru:

Pokud rovnou ne kolmé, To orientovanýÚhel mezi nimi lze vypočítat pomocí vzorce:

Dávejme dobrý pozor na jmenovatele – přesně ten bodový produkt směrování vektorů přímých čar:

Jestliže , pak se jmenovatel vzorce stane nulou a vektory budou ortogonální a čáry budou kolmé. Proto byla vznesena výhrada k nekolmosti přímek ve formulaci.

Na základě výše uvedeného je vhodné formalizovat řešení ve dvou krocích:

1) Vypočítejme skalární součin směrových vektorů úseček:

2) Najděte úhel mezi přímkami pomocí vzorce:

Pomocí inverzní funkce je snadné najít samotný úhel. V tomto případě použijeme lichost arkustangens (viz. Grafy a vlastnosti elementárních funkcí):

Odpověď:

V odpovědi uvedeme přesnou hodnotu a také přibližnou hodnotu (nejlépe ve stupních i radiánech), vypočítanou pomocí kalkulačky.

No, mínus, mínus, nic velkého. Zde je geometrická ilustrace:

Není divu, že se ukázalo, že úhel má negativní orientaci, protože v zadání problému je první číslo přímka a „odšroubování“ úhlu začalo přesně s ním.

Pokud opravdu chcete získat kladný úhel, musíte prohodit řádky, to znamená vzít koeficienty z druhé rovnice a vezměte koeficienty z první rovnice. Stručně řečeno, musíte začít s přímým .

Nebudu to skrývat, vybírám rovné čáry sám v pořadí, aby se úhel ukázal jako pozitivní. Je to krásnější, ale nic víc.

Chcete-li zkontrolovat své řešení, můžete si vzít úhloměr a změřit úhel.

Metoda dva

Jsou-li přímky dány rovnicemi se sklonem a ne kolmé, To orientovanýÚhel mezi nimi lze zjistit pomocí vzorce:

Podmínka kolmosti úseček je vyjádřena rovností, z níž mimochodem plyne velmi užitečný vztah mezi úhlovými koeficienty kolmých úseček: , který se v některých úlohách používá.

Algoritmus řešení je podobný předchozímu odstavci. Nejprve však přepišme naše rovné čáry do požadovaného tvaru:

Sjezdovky jsou tedy:

1) Zkontrolujeme, zda jsou čáry kolmé:
, což znamená, že čáry nejsou kolmé.

2) Použijte vzorec:

Odpověď:

Druhou metodu je vhodné použít, když jsou rovnice přímek zpočátku specifikovány úhlovým koeficientem. Je třeba poznamenat, že pokud je alespoň jedna přímka rovnoběžná s osou pořadnice, pak vzorec není vůbec použitelný, protože pro takové přímky není sklon definován (viz článek Rovnice přímky na rovině).

Existuje ještě třetí řešení. Cílem je vypočítat úhel mezi směrovými vektory čar pomocí vzorce probraného v lekci Bodový součin vektorů:

Zde již nehovoříme o orientovaném úhlu, ale „jen o úhlu“, to znamená, že výsledek bude jistě pozitivní. Háček je v tom, že můžete skončit s tupým úhlem (ne s tím, který potřebujete). V tomto případě budete muset provést rezervaci, že úhel mezi přímkami je menší úhel, a odečíst výsledný arkosinus od radiánů „pí“ (180 stupňů).

Kdo chce, může problém vyřešit třetím způsobem. Ale přesto doporučuji držet se prvního přístupu s orientovaným úhlem, z toho důvodu, že je rozšířený.

Příklad 11

Najděte úhel mezi čarami.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Zkuste to vyřešit dvěma způsoby.

Pohádka po cestě nějak vyhasla... Protože žádný Kashchei the Immortal neexistuje. Jsem tu já a nejsem nijak zvlášť nadšený. Abych byl upřímný, myslel jsem si, že článek bude mnohem delší. Ale stejně si vezmu svůj nedávno získaný klobouk a brýle a půjdu si zaplavat do zářijové vody jezera. Dokonale odstraňuje únavu a negativní energii.

Brzy se uvidíme!

A pamatujte, Baba Yaga nebyla zrušena =)

Řešení a odpovědi:

Příklad 3:Řešení : Najdeme směrový vektor úsečky :

Sestavme rovnici požadované přímky pomocí bodu a směrový vektor . Protože jedna ze souřadnic směrového vektoru je nula, Rov. přepišme to do tvaru:

Odpověď :

Příklad 5:Řešení :
1) Rovnice přímky udělejme dva body :

2) Rovnice přímky udělejme dva body :

3) Odpovídající koeficienty pro proměnné není proporcionální: , což znamená, že se čáry protínají.
4) Najděte bod :

Poznámka : zde se první rovnice soustavy vynásobí 5, poté se 2. odečte člen po členu od 1. rovnice.
Odpověď :

Přímku v prostoru lze vždy definovat jako průsečík dvou nerovnoběžných rovin. Jestliže rovnice jedné roviny je rovnicí druhé roviny, pak rovnice přímky je dána jako

Zde nekolineární
. Tyto rovnice se nazývají obecné rovnice přímo v prostoru.

Kanonické rovnice přímky

Jakýkoli nenulový vektor ležící na dané přímce nebo rovnoběžně s ní se nazývá směrový vektor této přímky.

Pokud je bod znám
přímka a její směrový vektor
, pak kanonické rovnice přímky mají tvar:

. (9)

Parametrické rovnice přímky

Nechť jsou dány kanonické rovnice přímky

Odtud získáme parametrické rovnice přímky:

(10)

Tyto rovnice jsou užitečné pro nalezení průsečíku přímky a roviny.

Rovnice přímky procházející dvěma body
A
má tvar:

Úhel mezi přímkami

Úhel mezi přímkami

rovný úhlu mezi jejich směrovými vektory. Proto jej lze vypočítat pomocí vzorce (4):

Podmínka pro paralelní čáry:

Podmínka, aby roviny byly kolmé:

Vzdálenost bodu od přímky

P řekněme, že pointa je dána
a rovný

Z kanonických rovnic přímky známe bod
, patřící k přímce a její směrový vektor
. Potom vzdálenost bodu
od přímky se rovná výšce rovnoběžníku postaveného na vektorech A
. Proto,

Podmínka pro průsečík čar

Dvě neparalelní linie

protínají tehdy a jen tehdy

Vzájemná poloha přímky a roviny.

Nechť je dána přímka
a letadlo. Roh mezi nimi lze nalézt podle vzorce

Problém 73. Napište kanonické rovnice přímky

(11)

Řešení. Pro zapsání kanonických rovnic přímky (9) je nutné znát libovolný bod patřící k přímce a směrový vektor přímky.

Pojďme najít vektor , rovnoběžně s touto linií. Jelikož musí být kolmá na normálové vektory těchto rovin, tzn.

,
, To

Z obecných rovnic přímky to máme
,
. Pak

Od věci
libovolný bod na přímce, pak jeho souřadnice musí splňovat rovnice přímky a lze zadat jednu z nich, např.
, najdeme další dvě souřadnice ze systému (11):

Odtud,
.

Kanonické rovnice požadovaného řádku mají tedy tvar:

nebo
.

Problém 74.

A
.

Řešení. Z kanonických rovnic prvního řádku jsou známy souřadnice bodu
náležející k přímce a souřadnice směrového vektoru
. Z kanonických rovnic druhého řádku jsou také známy souřadnice bodu
a souřadnice směrového vektoru
.

Vzdálenost mezi rovnoběžnými čarami je rovna vzdálenosti bodu
z druhé přímky. Tato vzdálenost se vypočítá podle vzorce

Najdeme souřadnice vektoru
.

Pojďme vypočítat vektorový součin
:

Problém 75. Najděte bod symetrický bod
relativně rovné

Řešení. Zapišme rovnici roviny kolmé k dané přímce a procházející bodem . Jako jeho normální vektor můžete vzít směrový vektor přímky. Pak
. Proto,

Pojďme najít bod
průsečík této přímky a roviny P. K tomu zapíšeme parametrické rovnice přímky pomocí rovnic (10), dostaneme

Proto,
.

Nechat
bod symetrický k bodu
vzhledem k této linii. Pak bod
střed
. Chcete-li zjistit souřadnice bodu pro souřadnice středu segmentu použijeme vzorce:

,
,
.

Tak,
.

Problém 76. Napište rovnici roviny procházející přímkou
A

a) přes bod
;

b) kolmo k rovině.

Řešení. Zapišme si obecné rovnice této přímky. Chcete-li to provést, zvažte dvě rovnosti:

To znamená, že požadovaná rovina patří do svazku rovin s generátory a její rovnici lze zapsat ve tvaru (8):

a) Pojďme najít
A z podmínky, že rovina prochází bodem
, proto jeho souřadnice musí splňovat rovnici roviny. Dosadíme souřadnice bodu
do rovnice hromady rovin:

Nalezená hodnota
Dosadíme to do rovnice (12). dostaneme rovnici požadované roviny:

b) Pojďme najít
A z podmínky, že požadovaná rovina je kolmá k rovině. Normální vektor dané roviny
, normálový vektor požadované roviny (viz rovnice svazku rovin (12).