Diplom

Výzkumné dovednosti lze rozdělit na obecné a specifické. K obecným badatelským dovednostem, k jejichž utváření a rozvoji dochází v procesu řešení úloh s parametry, patří: schopnost vidět za danou rovnicí s parametrem různé třídy rovnic, charakterizované společnou přítomností počtu a typu kořeny; schopnost ovládat analytické a graficko-analytické metody....

Rovnice a nerovnice s parametrem jako prostředek rozvoje badatelských dovedností žáků 7.–9. (esej, práce v kurzu, diplom, test)

Absolventská práce

Po tématu: Rovnice a nerovnice s parametrem jako prostředek formování výzkumu dovednosti žáků 7. - 9. ročníku

Rozvoj schopností tvořivého myšlení je nemožný mimo problémové situace, proto mají při učení zvláštní význam nestandardní úkoly. Patří sem také úlohy obsahující parametr. Matematický obsah těchto úloh nepřesahuje rámec programu, ale jejich řešení zpravidla působí studentům potíže.

Před reformou školního vyučování matematiky v 60. letech měly školní osnovy a učebnice speciální oddíly: nauka o lineárních a kvadratických rovnicích, nauka o soustavách lineárních rovnic. Kde bylo úkolem studovat rovnice, nerovnice a systémy v závislosti na jakýchkoli podmínkách nebo parametrech.

Program v současné době neobsahuje konkrétní odkazy na studie nebo parametry v rovnicích nebo nerovnicích. Jsou ale právě jedním z účinných prostředků matematiky, které pomáhají řešit programem nastavený problém formování intelektuální osobnosti. K odstranění tohoto rozporu bylo nutné vytvořit volitelný předmět na téma „Rovnice a nerovnice s parametry“. To je přesně to, co určuje relevanci této práce.

Rovnice a nerovnice s parametry jsou výborným materiálem pro skutečnou výzkumnou práci, školní vzdělávací program však problémy s parametry jako samostatné téma neobsahuje.

Řešení většiny problémů ve školním matematickém kurzu má za cíl rozvíjet u školáků takové vlastnosti, jako je zvládnutí pravidel a algoritmů jednání v souladu s aktuálními programy a schopnost provádět základní výzkum.

Výzkum ve vědě znamená studium objektu s cílem identifikovat vzorce jeho výskytu, vývoje a transformace. Ve výzkumném procesu se využívají nashromážděné zkušenosti, dosavadní poznatky, ale i metody a metody studia objektů. Výsledkem výzkumu by mělo být získání nových poznatků. V procesu pedagogického výzkumu jsou syntetizovány znalosti a zkušenosti nashromážděné studentem při studiu matematických objektů.

Při aplikaci na parametrické rovnice a nerovnice lze rozlišit následující výzkumné dovednosti:

1) Schopnost vyjádřit prostřednictvím parametru podmínky pro to, aby daná parametrická rovnice patřila do určité třídy rovnic;

2) Schopnost určit typ rovnice a uvést typ koeficientů v závislosti na parametrech;

3) Schopnost vyjádřit pomocí parametrů podmínky přítomnosti řešení parametrické rovnice;

4) V případě přítomnosti kořenů (roztoků) umět vyjádřit podmínky pro přítomnost určitého počtu kořenů (roztoků);

5) Schopnost vyjádřit kořeny parametrických rovnic (řešení nerovnic) prostřednictvím parametrů.

Vývojová povaha rovnic a nerovnic s parametry je dána jejich schopností realizovat mnoho druhů duševní činnosti žáků:

Vývoj určitých myšlenkových algoritmů, Schopnost určit přítomnost a počet kořenů (v rovnici, soustavě);

Řešení rodin rovnic, které jsou toho důsledkem;

Vyjádření jedné proměnné z hlediska druhé;

Nalezení definičního oboru rovnice;

Opakování velkého objemu vzorců při řešení;

Znalost vhodných metod řešení;

Široké využití verbální a grafické argumentace;

Rozvoj grafické kultury studentů;

Vše výše uvedené nám umožňuje mluvit o potřebě studovat rovnice a nerovnice s parametry v kurzu školní matematiky.

V současné době není třída problémů s parametry dosud jednoznačně metodicky zpracována. Relevance výběru tématu volitelného předmětu „Kvadratické rovnice a nerovnice s parametrem“ je dána důležitostí tématu „Kvadratický trinom a jeho vlastnosti“ v kurzu školní matematiky a zároveň nedostatkem čas zvážit problémy související se studiem kvadratického trinomu obsahujícího parametr.

V naší práci chceme ukázat, že parametrické úlohy by neměly být náročným doplňkem hlavní studované látky, kterou zvládnou jen schopné děti, ale mohou a měly by být použity na všeobecně vzdělávací škole, která obohatí učení o nové metody a nápady a pomáhají studentům rozvíjet jejich myšlení.

Cílem práce je prostudovat místo rovnic a nerovnic s parametry v kurzu algebra pro 7.–9. ročník, vypracovat volitelný předmět „Kvadratické rovnice a nerovnice s parametrem“ a metodická doporučení k jeho realizaci.

Předmětem studia je proces výuky matematiky v 7.–9. ročníku střední školy.

Předmětem výzkumu je obsah, formy, metody a prostředky řešení rovnic a nerovnic s parametry na střední škole, zajištění vypracování volitelného předmětu „Kvadratické rovnice a nerovnice s parametrem“.

Výzkumnou hypotézou je, že tento volitelný předmět napomůže k hlubšímu prostudování obsahu matematické části „Rovnice a nerovnice s parametry“, odstraní nesrovnalosti v požadavcích v matematice na přípravu absolventů škol a uchazečů o vysokou školu, rozšířit příležitosti pro rozvoj mentální aktivity studentů, pokud se v procesu jejího studia použijí následující:

· zohlednění grafických technik řešení kvadratických rovnic a nerovnic s parametrem s využitím práce školáků s naučnou literaturou;

· řešení úloh při studiu kvadratického trinomu obsahujícího parametr s využitím sebekontroly školáků a vzájemné kontroly;

· tabulky pro shrnutí materiálu na témata „Znaménko odmocnin čtvercové trojčlenky“, „umístění paraboly vzhledem k ose úsečky“;

· využití různých metod hodnocení výsledků učení a kumulativního bodového systému;

· prostudování všech témat kurzu, což dává studentovi příležitost samostatně najít způsob řešení problému.

V souladu s účelem, předmětem, předmětem a hypotézou studie jsou navrženy následující výzkumné cíle:

· zvážit obecná ustanovení pro studium rovnic a nerovnic s parametry v 7.–9. ročníku;

· vypracovat volitelný předmět z algebry „Kvadratické rovnice a nerovnice s parametrem“ a metodiku jeho realizace.

Během studie byly použity následující metody:

· rozbor literatury;

· analýza zkušeností s vývojem volitelných předmětů.

Kapitola 1. Psychologické a pedagogické rysy studovat Témata « Rovnice a nerovnice s parametry“ v kurzu algebry 7−9 třída

§ 1. Věkové, fyziologické a psychologické charakteristikybenefity školáků 7.–9

Střední školní věk (adolescence) se vyznačuje rychlým růstem a vývojem celého organismu. Dochází k intenzivnímu růstu těla do délky (u chlapců dochází k nárůstu o 6–10 centimetrů za rok, u dívek až o 6–8 centimetrů). Pokračuje osifikace kostry, kosti získávají pružnost a tvrdost, zvyšuje se svalová síla. K vývoji vnitřních orgánů však dochází nerovnoměrně, růst cév zaostává za růstem srdce, což může způsobit narušení rytmu jeho činnosti a zvýšenou srdeční frekvenci. Vyvíjí se plicní aparát, dýchání se v tomto věku zrychluje. Objem mozku se blíží objemu mozku dospělého člověka. Zlepšuje se kontrola mozkové kůry nad instinkty a emocemi. Stále však převažují excitační procesy nad inhibičními. Začíná zvýšená aktivita asociativních vláken.

V tomto věku nastává puberta. Zvyšuje se činnost endokrinních žláz, zejména pohlavních. Objevují se sekundární pohlavní znaky. Tělo teenagera vykazuje větší únavu v důsledku dramatických změn v něm. Vnímání teenagera je soustředěnější, organizovanější a plánovanější než u mladšího školáka. Rozhodující je postoj teenagera k pozorovanému předmětu. Pozornost je dobrovolná, selektivní. Teenager se může dlouho soustředit na zajímavý materiál. Do popředí se dostává zapamatování pojmů, které přímo souvisí s porozuměním, analýzou a systematizací informací. Dospívání se vyznačuje kritickým myšlením. Studenti tohoto věku se vyznačují většími nároky na poskytované informace. Zlepšuje se schopnost abstraktního myšlení. Projevy emocí u teenagerů jsou často dost násilné. Hněv je obzvláště silný. Tento věk se vyznačuje tvrdohlavostí, sobectvím, uzavřeností do sebe, krutostí emocí a konflikty s ostatními. Tyto projevy umožnily učitelům a psychologům mluvit o krizi dospívání. Utváření identity vyžaduje, aby člověk přehodnotil své spojení s ostatními, své místo mezi ostatními lidmi. V období dospívání dochází k intenzivní morální a sociální formaci osobnosti. Probíhá proces utváření morálních ideálů a morálních přesvědčení. Často mají nestabilní, rozporuplný charakter.

Komunikace teenagerů s dospělými se výrazně liší od komunikace mladších školáků. Teenageři často nepovažují dospělé za možné partnery pro svobodnou komunikaci, dospělé vnímají jako zdroj organizace a podpory svého života a organizační funkci dospělých vnímají adolescenti nejčastěji pouze jako omezující a regulující.

Snížil se počet dotazů adresovaných učitelům. Položené otázky se týkají především organizace a obsahu životních aktivit dospívajících v případech, kdy se neobejdou bez příslušných informací a pokynů dospělých. Sníží se počet etických problémů. Oproti předchozímu věku se výrazně snižuje autorita učitele jako nositele společenských norem a možného pomocníka při řešení složitých životních problémů.

§ 2. Věková charakteristika vzdělávacích aktivit

Výuka je pro teenagera hlavní činností. Vzdělávací činnost teenagera má svá úskalí a rozpory, ale existují i ​​výhody, na které se učitel může a měl by se spolehnout. Velkou výhodou teenagera je jeho připravenost na všechny typy vzdělávacích aktivit, které z něj dělají v jeho vlastních očích dospělého. Přitahují ho samostatné formy organizace hodin ve třídě, komplexní vzdělávací materiál a možnost samostatně budovat svou kognitivní činnost mimo školu. Teenager však neví, jak tuto připravenost realizovat, protože neví, jak provádět nové formy vzdělávací činnosti.

Teenager reaguje emocionálně na nový akademický předmět a u některých tato reakce docela rychle mizí. Často také klesá jejich obecný zájem o učení a školu. Jak ukazují psychologické výzkumy, hlavní důvod spočívá v nedostatečném rozvoji učebních dovedností u žáků, což neumožňuje uspokojit aktuální potřebu věku – potřebu sebepotvrzení.

Jedním ze způsobů, jak zvýšit efektivitu učení, je cílevědomé utváření učebních motivů. To přímo souvisí s uspokojením převažujících potřeb věku. Jednou z těchto potřeb je kognitivní. Když je uspokojen, rozvíjí stabilní kognitivní zájmy, které určují jeho pozitivní vztah k akademickým předmětům. Teenagery velmi přitahuje možnost rozšířit, obohatit své znalosti, proniknout do podstaty studovaných jevů a navázat vztahy příčina-následek. Z výzkumných aktivit zažívají velké emocionální uspokojení. Neuspokojení kognitivních potřeb a kognitivních zájmů způsobuje nejen stav nudy a lhostejnosti, ale někdy i ostře negativní postoj k „nezajímavým předmětům“. V tomto případě je stejně důležitý obsah i proces, metody a techniky získávání znalostí.

Zájmy adolescentů se liší ve směru jejich kognitivní činnosti. Někteří studenti preferují popisný materiál, přitahují je jednotlivá fakta, jiní se snaží pochopit podstatu studovaných jevů, vysvětlit je z hlediska teorie, jiní jsou aktivnější ve využívání znalostí v praktických činnostech, jiní - k tvořivým , výzkumná činnost. 15]

Spolu s kognitivními zájmy je pro pozitivní postoj adolescentů k učení zásadní pochopení významu znalostí. Je pro ně velmi důležité uvědomit si a pochopit zásadní význam znalostí a především jejich význam pro osobní rozvoj. Teenager má rád mnoho vzdělávacích předmětů, protože splňují jeho potřeby jako všestranně rozvinutého člověka. Víra a zájmy, které se spojují, vytvářejí u dospívajících zvýšený emocionální tón a určují jejich aktivní postoj k učení.

Pokud teenager nevidí zásadní význam znalostí, může se u něj vyvinout negativní přesvědčení a negativní postoj k existujícím akademickým předmětům. U dospívajících, kteří mají negativní postoj k učení, je velmi důležité jejich vědomí a zkušenost se selháním při zvládnutí určitých akademických předmětů. Strach z neúspěchu, strach z porážky někdy vede teenagery k hledání věrohodných důvodů, proč nechodit do školy nebo opustit třídu. Emoční pohoda teenagera do značné míry závisí na hodnocení jeho vzdělávacích aktivit dospělými. Smyslem hodnocení pro teenagera je často touha dosáhnout úspěchu ve vzdělávacím procesu a tím získat důvěru ve své schopnosti a schopnosti. Je to dáno tak dominantní potřebou věku, jako je potřeba uvědomit si a zhodnotit sebe jako osobu, své silné a slabé stránky. Výzkumy ukazují, že právě v období dospívání hraje sebeúcta dominantní roli. Pro emocionální pohodu teenagera je velmi důležité, aby se hodnocení a sebeúcta shodovaly. Jinak vzniká vnitřní a někdy i vnější konflikt.

Ve středních ročnících začínají žáci studovat a zvládat základy vědy. Studenti budou muset zvládnout velké množství znalostí. Zvládnutá látka na jedné straně vyžaduje vyšší úroveň vzdělávací, kognitivní a duševní činnosti než dosud a na druhé straně směřuje k jejich rozvoji. Studenti musí ovládat systém vědeckých pojmů a pojmů, proto nové akademické předměty kladou nové požadavky na metody osvojování znalostí a jsou zaměřeny na rozvoj vyšší inteligence - teoretické, formální, reflektivní myšlení. Tento způsob myšlení je typický pro dospívání, ale začíná se rozvíjet u mladších teenagerů.

To, co je nové ve vývoji myšlení teenagera, spočívá v jeho postoji k intelektuálním úkolům jako k těm, které vyžadují jejich předběžné mentální řešení. Schopnost pracovat s hypotézami při řešení intelektuálních problémů je nejdůležitějším získáním teenagerů při analýze reality. Konjekturální myšlení je svébytným nástrojem vědeckého uvažování, a proto se nazývá reflektivní myšlení. Asimilace přírodovědných pojmů ve škole sice sama o sobě vytváří řadu objektivních podmínek pro formování teoretického myšlení u školáků, ale ne u každého se formuje: různí studenti mohou mít různou úroveň a kvalitu jeho skutečného utváření.

Teoretické myšlení lze formovat nejen zvládnutím školních znalostí. Řeč se stává kontrolovanou a ovladatelnou a v některých osobně významných situacích se dospívající zvláště snaží mluvit krásně a správně. V procesu a v důsledku asimilace vědeckých pojmů se vytváří nový obsah myšlení, nové formy intelektuální činnosti. Významným indikátorem nedostatečné asimilace teoretických znalostí je neschopnost teenagera řešit problémy, které vyžadují použití těchto znalostí.

Ústřední místo začíná zaujímat rozbor obsahu materiálu, jeho originalita a vnitřní logika. Někteří teenageři se vyznačují flexibilitou ve výběru způsobů učení, jiní preferují jeden způsob a někteří se snaží zorganizovat a logicky zpracovat jakýkoli materiál. Schopnost logického zpracování materiálu se u dospívajících často rozvíjí spontánně. Na tom závisí nejen akademický výkon, hloubka a síla znalostí, ale také možnost dalšího rozvoje inteligence a schopností teenagera.

§ 3. Organizace vzdělávacích aktivitcharakteristika školáků 7.–9

Organizace výchovně vzdělávací činnosti dospívajících je nejdůležitějším a nejsložitějším úkolem. Středoškolský student je docela schopný porozumět argumentům učitele nebo rodiče a souhlasit s rozumnými argumenty. Kvůli zvláštnostem myšlení charakteristickým pro tento věk však teenager již nebude spokojen s procesem sdělování informací v hotové, úplné podobě. Bude chtít zkontrolovat jejich spolehlivost, aby se ujistil, že jeho úsudky jsou správné. Charakteristickým rysem tohoto věku jsou spory s učiteli, rodiči a přáteli. Jejich důležitou rolí je, že umožňují vyměňovat si názory na téma, ověřovat si pravdivost svých názorů a obecně uznávaných názorů a vyjadřovat se. Zejména ve výuce má velký efekt zavádění problémových úloh. Základy tohoto přístupu k výuce vytvořili již v 60. a 70. letech 20. století domácí učitelé. Základem všech akcí v problémovém přístupu je vědomí nedostatku znalostí k řešení konkrétních problémů a řešení rozporů. V moderních podmínkách by měl být tento přístup realizován v kontextu úrovně výdobytků moderní vědy a úkolů socializace žáků.

Je důležité podporovat samostatné myšlení, vyjadřování vlastního názoru, schopnost srovnávat, nacházet společné a charakteristické rysy, vyzdvihovat to hlavní, vytvářet vztahy příčiny a následku a vyvozovat závěry.

Pro teenagera budou mít velký význam zajímavé, fascinující informace, které podněcují jeho představivost a donutí ho přemýšlet. Dobrého efektu dosáhnete periodickou obměnou typů aktivit – nejen ve třídě, ale i při přípravě domácích úkolů. Různé druhy práce se mohou stát velmi účinným prostředkem ke zvýšení pozornosti a důležitým způsobem prevence celkové fyzické únavy, spojené jak s výchovnou zátěží, tak s celkovým procesem radikální restrukturalizace organismu v období puberty. 20]

Před prostudováním příslušných částí školního vzdělávacího programu mají studenti často již určité každodenní představy a koncepty, které jim umožňují poměrně dobře se orientovat v každodenní praxi. Tato okolnost v případech, kdy jejich pozornost není specificky zaměřena na spojení znalostí, které získávají, s praktickým životem, zbavuje mnohé studenty potřeby získávat a asimilovat nové znalosti, protože pro ně nemají praktický význam.

Morální ideály a morální přesvědčení dospívajících se utvářejí pod vlivem mnoha faktorů, zejména posilování vzdělávacího potenciálu učení. Při řešení složitých životních problémů je třeba věnovat větší pozornost nepřímým metodám ovlivňování vědomí adolescentů: nepředkládat hotovou morální pravdu, ale vést k ní a nevyjadřovat kategorické soudy, které mohou adolescenti vnímat nepřátelsky.

§ 4. Pedagogický výzkum v systému základních požadavků na obsah matematického vzdělávání a úroveň přípravy studentů

Rovnice a nerovnice s parametry jsou vynikajícím materiálem pro skutečnou výzkumnou práci. Problémy s parametry ale školní vzdělávací program neobsahuje jako samostatné téma.

Pojďme analyzovat různé části vzdělávacího standardu ruských škol z hlediska identifikace problémů souvisejících s učením se řešit problémy s parametry.

Studium programového materiálu umožňuje studentům základních škol „získat počáteční pochopení problému s parametry, které lze redukovat na lineární a kvadratické“ a naučit se, jak sestrojit grafy funkcí a prozkoumat umístění těchto grafů v souřadnicové rovině v závislosti na hodnoty parametrů obsažených ve vzorci.

Řádek „funkce“ nezmiňuje slovo „parametr“, ale říká, že studenti mají možnost „organizovat a rozvíjet znalosti funkce; rozvíjet grafickou kulturu, naučit se plynule „číst“ grafy, odrážet vlastnosti funkce v grafu.“

Po analýze školních učebnic algebry od takových skupin autorů, jako jsou: Alimov Sh. A. et al., Makarychev Yu N. et al., Mordkovich A. G. et al., jsme dospěli k závěru, že problémy s parametry v těchto učebnicích jsou. věnována malá pozornost. V učebnicích pro 7. ročník je několik příkladů na studium otázky počtu kořenů lineární rovnice, na studium závislosti umístění grafu lineární funkce y = kh a y = kh + b v závislosti na hodnotách z k. V učebnicích pro 8.–9. ročník jsou v částech jako „Úlohy pro mimoškolní práci“ nebo „Opakovací cvičení“ uvedeny 2–3 úlohy pro studium kořenů v kvadratických a bikvadratických rovnicích s parametry, umístěním grafu a kvadratická funkce v závislosti na hodnotách parametrů.

V programu matematika pro školy a třídy s prohlubovacím studiem je ve vysvětlivce uvedeno „v části „Požadavky na matematickou přípravu žáků“ je stanoveno přibližné množství znalostí, dovedností a schopností, které musí školák ovládat. Do tohoto rozsahu samozřejmě spadají ty znalosti, schopnosti a dovednosti, jejichž povinné osvojení u všech studentů je stanoveno požadavky všeobecného vzdělávacího programu; navrhuje se však jiná, vyšší kvalita jejich tvorby. Studenti musí získat schopnost řešit problémy vyšší úrovně složitosti, než je požadovaná úroveň složitosti, přesně a kvalifikovaně formulovat prostudované teoretické principy a při řešení problémů předkládat vlastní úvahy...“

Pojďme si rozebrat některé učebnice pro studenty s pokročilým studiem matematiky.

Formulace takových problémů a jejich řešení nepřesahují rámec školního kurikula, ale obtíže, se kterými se studenti setkávají, jsou vysvětlovány jednak přítomností parametru, jednak větvením řešení a odpovědí. Nácvik řešení úloh s parametry je však užitečný pro rozvoj a posílení schopnosti samostatného logického myšlení a pro obohacení matematické kultury.

V hodinách všeobecného vzdělávání ve škole se těmto úkolům zpravidla věnuje zanedbatelná pozornost. Vzhledem k tomu, že řešení rovnic a nerovnic s parametry je možná nejobtížnější částí kurzu elementární matematiky, je stěží vhodné učit řešení takových úloh s parametry masu školáků, ale silných studentů, kteří projevují zájem, sklony a schopnosti matematiku, kteří se snaží jednat samostatně, vyučují Určitě je třeba takové problémy řešit. Spolu s takovými tradičními obsahově-metodologickými liniemi školního kurzu matematiky, jako je funkcionální, numerická, geometrická, linie rovnic a linie identických transformací, musí proto zaujmout určitou pozici i linie parametrů. Obsah látky a požadavky na studenty na téma „problémy s parametry“ by samozřejmě měly být dány úrovní matematické přípravy celé třídy jako celku i každého jednotlivce.

Učitel musí pomáhat uspokojovat potřeby a požadavky školáků, kteří projeví zájem, nadání a schopnosti o předmět. V otázkách zájmu studentů lze organizovat konzultace, kroužky, doplňkové třídy a volitelné předměty. To plně platí pro problematiku problémů s parametry.

§ 5. Edukační výzkum struktury kognitivní činnosti školáků

V tuto chvíli je otázka přípravy studenta, který se snaží jednat samostatně, nad rámec požadavků učitele, který neomezuje rozsah svých zájmů a aktivního bádání na jemu nabízený vzdělávací materiál, který umí prezentovat a argumentačně obhájit své řešení konkrétního problému, kdo ví, jak konkretizovat nebo naopak zobecnit posuzovaný výsledek, identifikovat vztahy příčina-následek atd. V tomto ohledu jsou studie, které analyzují základy psychologie matematické tvořivosti ve škole -věkové děti, zkoumat problém řízení procesu duševní činnosti studentů, formování a rozvíjení jejich schopností samostatně získávat znalosti, aplikovat znalosti, doplňovat je a systematizovat, problém zvyšování aktivity kognitivní činnosti školáků (L.S. Vygotsky, P. Ya Krutetsky, N. A. Menchinskaya, S. L. Rubinstein, L. M. Friedman atd.).

Výzkumná metoda výuky zahrnuje dvě výzkumné metody: vzdělávací a vědeckou.

Řešení významné části problémů školního matematického kurzu předpokládá, že si studenti osvojili takové kvality, jako je zvládnutí pravidel a algoritmů akcí v souladu s aktuálními programy a schopnost provádět základní výzkum. Výzkum ve vědě znamená studium objektu za účelem identifikace zákonitostí jeho výskytu a vývoje transformace. Ve výzkumném procesu jsou využívány nashromážděné předchozí zkušenosti, dosavadní poznatky, ale i metody a metody (techniky) studia objektů. Výsledkem výzkumu by mělo být získání nových vědeckých poznatků.

Při aplikaci na proces vyučování matematiky na střední škole je důležité poznamenat následující: mezi hlavní součásti pedagogického výzkumu patří formulace výzkumného problému, povědomí o jeho cílech, předběžná analýza dostupných informací o zvažované problematice, předběžná analýza dostupných informací o probírané problematice. podmínky a metody řešení problémů blízkých výzkumnému problému, návrh a formulace výchozích hypotéz, rozbor a zobecnění výsledků získaných během studia, ověření výchozí hypotézy na základě získaných skutečností, konečná formulace nových výsledků, zákonitostí, vlastností , určení místa nalezeného řešení nastoleného problému v systému dosavadních znalostí. Hlavní místo mezi objekty pedagogického výzkumu zaujímají ty pojmy a vztahy školního matematického kurzu, v procesu studia, u nichž se odhalují zákonitosti jejich změny a transformace, podmínky jejich realizace, jedinečnost atd.

Vážný potenciál při formování takových výzkumných dovedností, jako je schopnost cílevědomě pozorovat, porovnávat, předkládat, dokazovat nebo vyvracet hypotézu, schopnost zobecňovat atd., má úkoly na konstrukci v kurzu geometrie, rovnic a nerovnic s parametry v kurz algebry, tzv. dynamické problémy, při jejichž řešení studenti ovládají základní techniky duševní činnosti: analýza, syntéza (analýza syntézou, syntéza analýzou), zobecnění, specifikace atd., cílevědomě pozoruje měnící se objekty , předkládá a formuluje hypotézu o vlastnostech uvažovaných objektů, testuje předloženou hypotézu, určuje místo naučeného výsledku v systému dříve získaných znalostí, jeho praktický význam. Rozhodující význam má organizace pedagogického výzkumu učitelem. Metody výuky duševní činnosti, schopnost provádět prvky výzkumu - tyto cíle neustále přitahují pozornost učitele a povzbuzují ho, aby našel odpovědi na mnoho metodologických otázek souvisejících s řešením zvažovaného problému.

Studium mnoha problémů programu poskytuje vynikající příležitosti k vytvoření ucelenějšího a úplného obrazu spojeného s posouzením konkrétního problému.

V procesu pedagogického výzkumu jsou syntetizovány znalosti a zkušenosti nashromážděné studentem při studiu matematických objektů. Rozhodující význam při organizování pedagogického výzkumu studenta má upoutat jeho pozornost (nejprve nedobrovolně a poté dobrovolně), vytvářet podmínky pro pozorování: zajištění hlubokého povědomí, nezbytný postoj studenta k práci, předmětu studia ("https:/ /site", 9).

Ve školní výuce matematiky existují dvě úzce související roviny pedagogického výzkumu: empirická a teoretická. První se vyznačuje pozorováním jednotlivých skutečností, jejich klasifikací a navázáním logické souvislosti mezi nimi, ověřitelné zkušeností. Teoretická rovina pedagogického výzkumu je odlišná v tom, že ve výsledku student formuluje obecné matematické zákonitosti, na jejichž základě jsou hlouběji interpretována nejen nová fakta, ale i ta získaná na empirické úrovni.

Provádění pedagogického výzkumu vyžaduje, aby student používal jak specifické metody, charakteristické pouze pro matematiku, tak obecné; rozbor, syntéza, indukce, dedukce atd., používané při studiu předmětů a jevů různých školních oborů.

Rozhodující význam má organizace pedagogického výzkumu učitelem. Při aplikaci na proces výuky matematiky na střední škole je důležité poznamenat následující: mezi hlavní součásti pedagogického výzkumu patří formulace výzkumného problému, uvědomění si jeho cílů, předběžná analýza dostupných informací o probírané problematice, předběžná analýza dostupných informací o probírané problematice. podmínky a metody řešení problémů blízkých výzkumnému problému, návrh a formulace výchozí hypotézy, rozbor a zobecnění výsledků získaných v průběhu studia, ověření výchozí hypotézy na základě zjištěných skutečností, konečná formulace nových výsledků, zákonitostí, analýza a zobecnění výsledků získaných v průběhu studia. vlastnosti, určení místa nalezeného řešení nastoleného problému v systému dosavadních znalostí. Hlavní místo mezi objekty pedagogického výzkumu zaujímají ty pojmy a vztahy školního matematického kurzu, v procesu studia, u nichž se odhalují zákonitosti jejich změny a transformace, podmínky jejich realizace, jedinečnost atd.

Pro pedagogický výzkum je vhodný materiál související se studiem funkcí studovaných v kurzu algebra. Jako příklad uvažujme lineární funkci.

Zadání: Prozkoumejte lineární funkci pro sudou a lichou. Tip: Zvažte následující případy:

2) a = 0 a b? 0;

3) a? 0 a b = 0;

4) a? 0 a b? 0.

V důsledku výzkumu vyplňte tabulku a uveďte výsledek získaný na průsečíku odpovídajícího řádku a sloupce.

Jako výsledek řešení by studenti měli obdržet následující tabulku:

	sudý a lichý
	zvláštní	ani sudé, ani liché

Jeho symetrie navozuje pocit spokojenosti a důvěry ve správnost plnění.

Utváření metod duševní činnosti hraje významnou roli jak v celkovém rozvoji školáků, tak i s cílem vštípit jim dovednosti provádět pedagogický výzkum (obecně nebo ve fragmentech).

Výsledkem pedagogického výzkumu jsou subjektivně nové poznatky o vlastnostech uvažovaného předmětu (vztahu) a jejich praktických aplikacích. Tyto vlastnosti mohou, ale nemusí být zahrnuty do učiva matematiky na střední škole. Je důležité si uvědomit, že novost výsledku činnosti studenta je dána jak povahou hledání způsobu provedení činnosti, způsobem samotné činnosti, tak i místem získaného výsledku ve znalostním systému. toho studenta.

Metoda výuky matematiky pomocí pedagogického výzkumu se nazývá výzkum, bez ohledu na to, zda je schéma pedagogického výzkumu realizováno v plném rozsahu nebo ve fragmentech.

Při realizaci každé etapy pedagogického výzkumu jsou nutně přítomny prvky herecké i tvůrčí činnosti. Nejzřetelněji je to pozorováno v případě studenta samostatně provádějícího konkrétní studium. Také při pedagogickém výzkumu může některé etapy realizovat učitel, jiné žák sám. Míra nezávislosti závisí na mnoha faktorech, zejména na úrovni formování, schopnosti pozorovat určitý objekt (proces), schopnosti soustředit svou pozornost na stejný předmět, někdy i po dlouhou dobu, schopnosti vidět problém, jasně a jednoznačně formulovat, schopnost nacházet a používat vhodné (někdy nečekané) asociace, schopnost soustředěně analyzovat existující poznatky za účelem výběru potřebných informací atd.

Nelze také přeceňovat vliv studentovy představivosti, intuice, inspirace, schopností (a možná i talentu či geniality) na úspěch jeho výzkumných aktivit.

§ 6 . Výzkum v systému vyučovacích metod

Metodám výuky bylo věnováno více než desítka zásadních studií, na kterých závisí značný úspěch práce učitele i školy jako celku. A přesto zůstává problém vyučovacích metod jak v teorii výuky, tak v pedagogické praxi velmi aktuální. Koncept vyučovací metody je poměrně složitý. To je způsobeno mimořádnou složitostí procesu, který má tato kategorie odrážet. Mnoho autorů považuje metodu výuky za způsob organizace vzdělávací a poznávací činnosti žáků.

Slovo „metoda“ je řeckého původu a v překladu do ruštiny znamená výzkum, metoda. "Metoda - v nejobecnějším smyslu - je způsob dosažení cíle, určitý způsob uspořádání činnosti." Je zřejmé, že v procesu učení metoda působí jako spojení mezi aktivitami učitele a žáků k dosažení určitých vzdělávacích cílů. Každá výuková metoda z tohoto pohledu organicky zahrnuje výukovou práci učitele (prezentace, výklad probírané látky) a organizaci aktivní vzdělávací a poznávací činnosti žáků. Koncept vyučovací metody tedy odráží:

1. Metody pedagogické práce učitele a metody výchovné práce žáků v jejich vzájemném vztahu.

2. Specifika jejich práce k dosažení různých učebních cílů. Vyučovací metody jsou tedy způsoby společné činnosti učitele a žáků zaměřené na řešení učebních problémů, tedy didaktické úkoly.

To znamená, že vyučovací metody je třeba chápat jako metody pedagogické práce učitele a organizace vzdělávacích a kognitivních činností studentů k řešení různých didaktických úkolů zaměřených na zvládnutí studované látky. Jedním z akutních problémů moderní didaktiky je problém klasifikace vyučovacích metod. V současné době neexistuje jediný úhel pohledu na tuto problematiku. Vzhledem k tomu, že různí autoři zakládají rozdělení výukových metod do skupin a podskupin na různých kritériích, existuje řada klasifikací. Ale ve 20. letech se v sovětské pedagogice bojovalo proti metodám scholastického vyučování a mechanickému učení nazpaměť, které vzkvétaly ve staré škole, a hledaly se metody, které by studentům zajistily vědomé, aktivní a tvořivé osvojování vědomostí. Právě v těchto letech učitel B.V. Vieviatsky vyvinul názor, že ve výuce mohou existovat pouze dvě metody: metoda výzkumu a metoda hotových znalostí. Metoda hotových znalostí byla přirozeně kritizována. Za nejdůležitější metodu výuky byla uznána výzkumná metoda, jejíž podstata spočívala v tom, že by se studenti měli vše naučit na základě pozorování a analýzy studovaných jevů, samostatně přistupovat k nezbytným závěrům. Stejná výzkumná metoda ve třídě nemusí být aplikována na všechna témata.

Podstatou této metody je také to, že učitel rozloží problematický problém na podproblémy a studenti provádějí jednotlivé kroky k nalezení jeho řešení. Každý krok zahrnuje kreativní činnost, ale holistické řešení problému zatím neexistuje. Při výzkumu si studenti osvojují metody vědeckého poznání a rozvíjejí zkušenosti ve výzkumné činnosti. Činností žáků školených touto metodou je osvojení technik samostatného kladení problémů, hledání způsobů jejich řešení, výzkumných úkolů, kladení a rozvíjení problémů, které jim učitelé předkládají.

Lze také poznamenat, že psychologie vytváří určité vzorce s vývojovou psychologií. Než začnete pracovat se studenty pomocí metod, musíte důkladně prostudovat metody studia jejich vývojové psychologie. Seznámení s těmito metodami může být praktickým přínosem přímo pro organizátory tohoto procesu, protože tyto metody jsou vhodné nejen pro vlastní vědecký výzkum, ale také pro organizaci hloubkového studia dětí pro praktické vzdělávací účely. Individuální přístup k výcviku a výchově předpokládá dobrou znalost a pochopení individuálních psychologických vlastností žáků a jedinečnosti jejich osobnosti. V důsledku toho si učitel potřebuje osvojit schopnost studovat studenty, nevidět šedou, homogenní studentskou masu, ale kolektiv, v němž každý představuje něco zvláštního, individuálního a jedinečného. Takové studium je úkolem každého učitele, ale přesto je potřeba jej řádně organizovat.

Jednou z hlavních metod organizace je metoda pozorování. Psychiku samozřejmě nelze pozorovat přímo. Tato metoda zahrnuje nepřímé poznání jednotlivých charakteristik lidské psychiky prostřednictvím studia jeho chování. To znamená, že zde je nutné posuzovat studenta podle individuálních vlastností (činy, činy, řeč, vzhled atd.), duševního stavu studenta (procesy vnímání, paměti, myšlení, představivosti atd.) a podle jeho povahové vlastnosti, temperament, charakter. To vše je pro žáka, se kterým učitel pracuje badatelskou metodou výuky, nutné při plnění některých úkolů.

Řešení významné části problémů školního matematického kurzu předpokládá, že si studenti osvojili takové kvality, jako je zvládnutí pravidel a algoritmů jednání v souladu s aktuálními programy a schopnost provádět základní výzkum. Výzkum ve vědě znamená studium objektu s cílem identifikovat vzorce jeho výskytu, vývoje a transformace. Ve výzkumném procesu jsou využívány nashromážděné předchozí zkušenosti, dosavadní poznatky, ale i metody a metody (techniky) studia objektů. Výsledkem výzkumu by mělo být získání nových vědeckých poznatků. Metody výuky duševní činnosti, schopnost provádět prvky výzkumu - tyto cíle neustále přitahují pozornost učitele a povzbuzují ho, aby našel odpovědi na mnoho metodologických otázek souvisejících s řešením zvažovaného problému. Studium mnoha problémů programu poskytuje vynikající příležitosti k vytvoření ucelenějšího a úplného obrazu spojeného s posouzením konkrétního úkolu. Výzkumná metoda vyučování matematice přirozeně zapadá do klasifikace metod výuky v závislosti na povaze činnosti žáků a míře jejich kognitivní samostatnosti. Pro úspěšnou organizaci výzkumné činnosti studenta musí učitel porozumět a vzít v úvahu jak jeho osobní vlastnosti a procedurální rysy tohoto typu činnosti, tak i úroveň znalostí studenta ve studovaném materiálu kurzu. Není možné přeceňovat vliv fantazie, intuice, inspirace a schopností studenta na úspěch jeho výzkumných aktivit.

Formy úkolů ve výzkumné metodě mohou být různé. Mohou to být úkoly, které lze rychle vyřešit ve třídě i doma, nebo úkoly, které vyžadují celou vyučovací hodinu. Většina výzkumných úkolů by měla být malými vyhledávacími úkoly, které vyžadují dokončení všech nebo většiny kroků výzkumného procesu. Jejich kompletní řešení zajistí, že metoda výzkumu plní své funkce. Fáze výzkumného procesu jsou následující:

1 Cílevědomé pozorování a porovnávání skutečností a jevů.

Identifikace nejasných jevů, které mají být zkoumány.

Předběžná analýza dostupných informací k uvažované problematice.

4. Návrh a formulace hypotézy.

5. Konstrukce výzkumného záměru.

Realizace plánu, objasnění souvislostí studovaného jevu s ostatními.

Formulace nových výsledků, zákonitostí, vlastností, určení místa nalezeného řešení k zadanému výzkumu v systému dosavadních znalostí.

Kontrola nalezeného řešení.

Praktické závěry o možné aplikaci nových poznatků.

§ 7 . Schopnost výzkumu v systémechmáme speciální znalosti

Dovednost je vědomá aplikace znalostí a dovedností žáka k provádění složitých akcí v různých podmínkách, tedy k řešení relevantních problémů, protože provedení každé složité akce působí na studenta jako řešení problému.

Výzkumné dovednosti lze rozdělit na obecné a specifické. K obecným badatelským dovednostem, k jejichž utváření a rozvoji dochází v procesu řešení úloh s parametry, patří: schopnost vidět za danou rovnicí s parametrem různé třídy rovnic, charakterizované společnou přítomností počtu a typu kořeny; schopnost ovládat analytické a graficko-analytické metody.

Speciální výzkumné dovednosti zahrnují dovednosti, které se formují a rozvíjejí v procesu řešení konkrétní třídy problémů.

Při řešení lineárních rovnic obsahujících parametr se vytvářejí následující speciální dovednosti:

§ Schopnost identifikovat speciální hodnoty parametrů, při kterých má daná lineární rovnice:

Jediný kořen;

Nekonečný počet kořenů;

3) Nemá kořeny;

Schopnost interpretovat odpověď v jazyce původního úkolu. Speciální výzkumné dovednosti, k jejichž tvorbě a rozvoji dochází v procesu řešení lineárních nerovností obsahujících parametr, zahrnují:

§ Schopnost vidět koeficient neznámého a volného členu jako funkci parametru;

§ Schopnost identifikovat speciální hodnoty parametrů, při kterých má daná lineární nerovnost řešení:

1) interval;

2) Nemá žádná řešení;

§ Schopnost interpretovat odpověď v jazyce původního úkolu Mezi speciální výzkumné dovednosti, k jejichž tvorbě a rozvoji dochází v procesu řešení kvadratických rovnic obsahujících parametr, patří:

§ Schopnost identifikovat speciální hodnotu parametru, při které se vedoucí koeficient stane nulovým, tj. rovnice se stane lineární, a najít řešení výsledné rovnice pro identifikované speciální hodnoty parametru;

§ Schopnost řešit otázku přítomnosti a počtu kořenů dané kvadratické rovnice v závislosti na znaménku diskriminantu;

§ Schopnost vyjádřit kořeny kvadratické rovnice pomocí parametru (pokud je k dispozici);

Mezi speciální výzkumné dovednosti, k jejichž tvorbě a rozvoji dochází v procesu řešení frakčně-racionálních rovnic obsahujících parametr, který lze redukovat na kvadratické, patří:

§ Schopnost redukovat zlomkovou racionální rovnici obsahující parametr na kvadratickou rovnici obsahující parametr.

Speciální výzkumné dovednosti, k jejichž tvorbě a rozvoji dochází v procesu řešení kvadratických nerovností obsahujících parametr, zahrnují:

§ Schopnost identifikovat speciální hodnotu parametru, při které se vedoucí koeficient stane nulovým, to znamená, že se nerovnost stane lineární, a najít mnoho řešení výsledné nerovnosti pro speciální hodnoty parametru;

§ Schopnost vyjádřit množinu řešení kvadratické nerovnosti pomocí parametru.

Níže jsou uvedeny vzdělávací dovednosti, které se promítají do výuky a výzkumu, stejně jako výzkumné dovednosti.

třída 6-7:

- rychle využít staré znalosti v situaci získávání nových;

- volně přenášet komplex duševních akcí z jednoho materiálu na druhý, z jednoho subjektu na druhý;

distribuovat získané znalosti do velkého souboru objektů;

spojit proces „kolapsu“ a „rozvinutí“ znalostí;

cílevědomě shrnout myšlenky textu zvýrazněním hlavních myšlenek v jeho segmentech a částech;

systematizovat a třídit informace;

— porovnat informace o systémech vlastností, zvýrazňovat podobnosti a rozdíly;

- umět propojit symbolický jazyk s písemným a ústním projevem;

— analyzovat a plánovat metody pro budoucí práci;

„propojovat“ rychle a volně složky nových znalostí;

umět stručně prezentovat hlavní myšlenky a fakta textu;

- získávat nové znalosti přechodem od systémotvorných znalostí ke konkrétním pomocí diagramů, tabulek, poznámek atd.;

používat různé formy nahrávání během zdlouhavého procesu poslechu;

zvolit optimální řešení;

prokázat nebo vyvrátit pomocí vzájemně souvisejících technik;

- používat různé typy analýz a syntéz;

- zvážit problém z různých úhlů pohledu;

— vyjádřit úsudek ve formě algoritmu myšlenek.

Zvláštní místo by mělo být a je věnováno matematickému vzdělávání v procesech utváření myšlení či duševního rozvoje žáků, protože prostředky výuky matematiky nejúčinněji ovlivňují mnohé ze základních složek celé osobnosti a především myšlení.

Zvláštní pozornost je tedy věnována rozvoji žákova myšlení, neboť právě to souvisí se všemi ostatními duševními funkcemi: představivostí, flexibilitou mysli, šířkou a hloubkou myšlení atd. Všimněme si, že při zvažování rozvoje myšlení v kontextu učení zaměřeného na studenta, je třeba pamatovat na to, že nezbytnou podmínkou pro realizaci takového rozvoje je individualizace učení. Právě to zajišťuje zohlednění charakteristik duševní činnosti studentů různých kategorií.

Cesta ke kreativitě je individuální. Zároveň by všichni studenti v procesu studia matematiky měli pocítit její tvůrčí povahu, seznámit se v procesu učení matematiky s některými dovednostmi tvůrčí činnosti, které budou potřebovat ve svém budoucím životě a činnosti. K řešení tohoto složitého problému musí být výuka matematiky strukturována tak, aby žák často hledal nové kombinace, přetvářel věci, jevy, procesy reality a hledal neznámé souvislosti mezi předměty.

Výborným způsobem, jak přiblížit žákům tvůrčí činnost při výuce matematiky, je samostatná práce ve všech jejích podobách a projevech. Velmi zásadní je v tomto ohledu výrok akademika P. L. Kapitsy, že samostatnost je jednou z nejzákladnějších vlastností tvůrčí osobnosti, neboť pěstování tvořivých schopností u člověka je založeno na rozvoji samostatného myšlení.

Úroveň připravenosti studentů a studijních skupin k samostatné tvůrčí činnosti lze zjistit zodpovězením následujících otázek:

Jak efektivně mohou školáci používat poznámky, referenční poznámky a číst diagramy a různé typy tabulek?

Umí studenti při řešení problémového problému učitelem objektivně zhodnotit navržené nápady a zohlednit možnost jejich uplatnění? 3) Jak rychle přecházejí školáci z jednoho způsobu řešení problému na druhý? 4) Analyzovat efektivitu orientace studentů během hodiny k sebeorganizaci samostatné práce; 5) Prozkoumat schopnost studentů pružně modelovat a řešit problémy.

Kapitola 2. Metodický rozbor tématu „Rovnice a nerovnice s parametry“ a vývoj volitelného předmětu „Kvadratické rovnice a nerovnice s parametrem“

§ 1. Role A místo parametrické rovnic A nerovnosti ve formaci výzkum dovednostth studentů

Přestože středoškolské učivo matematiky problémy s parametry výslovně nezmiňuje, bylo by chybou tvrdit, že problematika řešení úloh s parametry není v kurzu školní matematiky nijak řešena. Stačí si připomenout školní rovnice: ax2+bx+c=0, y=khx, y=khx+b, ax=b, ve kterých a, b, c, k nejsou nic jiného než parametry. Ale v rámci školního kurzu se pozornost nezaměřuje na takový pojem, parametr, jak se liší od neznámého.

Zkušenosti ukazují, že úlohy s parametry jsou z logického a odborného hlediska nejsložitějším úsekem elementární matematiky, i když z formálního hlediska matematický obsah takových úloh nepřekračuje hranice programů. To je způsobeno různými úhly pohledu na parametr. Na jedné straně lze parametr považovat za proměnnou, která je při řešení rovnic a nerovnic považována za konstantní hodnotu, na druhé straně je parametrem veličina, jejíž číselná hodnota není dána, ale musí být považována za známou, a parametr může nabývat libovolné hodnoty, tj. parametr, který je pevným, ale neznámým číslem, má dvojí povahu. Za prvé, předpokládaná známost umožňuje, aby se s parametrem zacházelo jako s číslem, a za druhé je míra volnosti omezena jeho neznámostí.

V každém z popisů povahy parametrů je nejistota - v jakých fázích řešení lze parametr považovat za konstantu a kdy hraje roli proměnné. Všechny tyto protichůdné charakteristiky parametru mohou u žáků hned na začátku jejich seznamování způsobit určitou psychickou bariéru.

V tomto ohledu je v počáteční fázi seznamování se s parametrem velmi užitečné uchýlit se co nejčastěji k vizuální a grafické interpretaci získaných výsledků. To umožňuje studentům nejen překonat přirozenou neurčitost parametru, ale také dává učiteli možnost paralelně jako propedeutika učit studenty používat grafické metody dokazování při řešení úloh. Neměli bychom také zapomínat, že použití alespoň schematických grafických ilustrací v některých případech pomáhá určit směr výzkumu a někdy nám umožňuje okamžitě vybrat klíč k řešení problému. U určitých typů problémů totiž i primitivní kresba, která je daleko od skutečného grafu, umožňuje vyhnout se různým typům chyb a získat odpověď na rovnici nebo nerovnici jednodušším způsobem.

Řešení matematických problémů obecně je nejnáročnější součástí činnosti školáků při studiu matematiky a vysvětluje se to tím, že řešení problémů vyžaduje poměrně vysokou úroveň rozvoje inteligence nejvyšší úrovně, tedy teoretického, formálního a reflektivního myšlení a podobně. myšlení, jak již bylo uvedeno, se stále vyvíjí během dospívání.

Státní rozpočtová vzdělávací instituce

Střední všeobecné vzdělání v regionu Samara

Škola č. 2 pojmenovaná po. železnice V. Maskina Umění. Klyavlino

Městský obvod Klyavlinsky

oblast Samara

„Rovnice

A

nerovnosti

s parametry"

tutorial

Klyavlino

Tutorial

"Rovnice a nerovnice s parametry" pro studenty 10.–11

tato příručka je přílohou programu volitelného předmětu „Rovnice a nerovnice s parametry“, který složil externí zkoušku (vědecká a metodická odborná rada Ministerstva školství a vědy regionu Samara ze dne 19. prosince 2008 doporučila pro použití ve vzdělávacích institucích v regionu Samara)

Autoři

Romadanová Irina Vladimirovna

učitel matematiky ve společnosti Klyavlinskaya Secondary Educational Institution

Škola č. 2 pojmenovaná po. V. Maskina, okres Klyavlinsky, oblast Samara

Serbaeva Irina Alekseevna

Úvod……………………………………………………………………… 3-4

Lineární rovnice a nerovnice s parametry……………..4-7

Kvadratické rovnice a nerovnice s parametry……………7-9

Zlomkově-racionální rovnice s parametry……………..10-11

Iracionální rovnice a nerovnice s parametry……11-13

Goniometrické rovnice a nerovnice s parametry.14-15

Exponenciální rovnice a nerovnice s parametry………16-17

Logaritmické rovnice a nerovnice s parametry......16-18

Cíle jednotné státní zkoušky………………………………………………………...18-20

Úkoly pro samostatnou práci………………………………21-28

Úvod.

Rovnice a nerovnice s parametry.

Pokud v rovnici nebo nerovnosti některé koeficienty nemají konkrétní číselné hodnoty, ale jsou označeny písmeny, pak se nazývají parametry, a samotná rovnice nebo nerovnost parametrické.

Chcete-li vyřešit rovnici nebo nerovnici s parametry, musíte:

Vybrat zvláštní význam- je to hodnota parametru, ve kterém nebo při průchodu kterým se mění řešení rovnice nebo nerovnice.

Definovat platné hodnoty– to jsou hodnoty parametru, při kterých dává rovnice nebo nerovnost smysl.

Řešení rovnice nebo nerovnosti s parametry znamená:

1) určit, při jakých hodnotách parametrů existují řešení;

2) pro každý přípustný systém hodnot parametrů najděte odpovídající sadu řešení.

Rovnici s parametrem můžete vyřešit pomocí následujících metod: analytické nebo grafické.

Analytická metoda zahrnuje úkol studovat rovnici zvažováním několika případů, z nichž žádný nelze vynechat.

Řešení rovnic a nerovnic s parametry každého typu pomocí analytické metody zahrnuje podrobnou analýzu situace a důsledný výzkum, při kterém vyvstane potřeba "opatrné zacházení" s parametrem.

Grafická metoda zahrnuje sestavení grafu rovnice, ze kterého lze určit, jak změna parametru ovlivní řešení rovnice, resp. Graf někdy umožňuje analyticky formulovat nutné a dostatečné podmínky pro řešení problému. Metoda grafického řešení je zvláště účinná, když potřebujete určit, kolik kořenů má rovnice v závislosti na parametru, a má nepochybnou výhodu v tom, že to vidíte jasně.

§ 1. Lineární rovnice a nerovnice.

Lineární rovnice A X = b , zapsané v obecné formě, lze považovat za rovnici s parametry, kde X – neznámý , A , b - možnosti. Pro tuto rovnici je speciální nebo kontrolní hodnotou parametru ta, při které koeficient neznámé mizí.

Při řešení lineární rovnice s parametrem jsou uvažovány případy, kdy je parametr roven své speciální hodnotě a liší se od ní.

Speciální hodnota parametru A je hodnota A = 0.

b = 0 je hodnota speciálního parametru b .

Na b ¹ 0 rovnice nemá řešení.

Na b = 0 rovnice bude mít tvar: 0x = 0. Řešením této rovnice je libovolné reálné číslo.

Nerovnosti formy aha > b A sekera < b (a ≠ 0) se nazývají lineární nerovnosti. Sada řešení nerovnosti aha >b- interval

(; +), Li A > 0 , A (-;) , Pokud A< 0 . Podobně pro nerovnost

Ach< b množina řešení - interval(-;), Li A > 0, A (; +), Li A< 0.

Příklad 1. Vyřešte rovnici sekera = 5

Řešení: Toto je lineární rovnice.

Li a = 0, pak rovnice 0 × x = 5 nemá řešení.

Li A¹ 0, x =- řešení rovnice.

Odpovědět: na A¹ 0, x=

pro a = 0 neexistuje řešení.

Příklad 2 Vyřešte rovnici sekera – 6 = 2a – 3x.

Řešení: Toto je lineární rovnice, ax – 6 = 2a – 3x (1)

ax + 3x = 2a +6

Přepsání rovnice jako (a+3)x = 2(a+3), zvažte dva případy:

a = -3 A A¹ -3.

Li a = -3, pak libovolné reálné číslo X je kořen rovnice (1). Li A¹ -3 , rovnice (1) má jeden kořen x = 2.

Odpovědět: Na a = -3, x R ; na A ¹ -3, x = 2.

Příklad 3 Při jakých hodnotách parametrů A mezi kořeny rovnice

2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0 kořenů je více 1 ?

Řešení: Pojďme řešit rovnici 2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0- lineární rovnice

2(a - 2) x = a 2 - 4a +4

2(a – 2) x = (a – 2) 2

Na a = 2řešení rovnice 0x = 0 bude libovolné číslo, včetně jedničky větší než 1.

Na A¹ 2 x =
. Podle stavu x > 1, to je
>1 a >4.

Odpovědět: Na A (2) U (4;∞).

Příklad 4 . Pro každou hodnotu parametru A zjistěte počet kořenů rovnice ah=8.

Řešení. sekera = 8- lineární rovnice.

y = A– skupina vodorovných čar;

y = - Graf je hyperbola. Pojďme sestavit grafy těchto funkcí.

Odpověď: Pokud a = 0, pak rovnice nemá řešení. Li a ≠ 0, pak má rovnice jedno řešení.

Příklad 5 . Pomocí grafů zjistěte, kolik kořenů má rovnice:

|x| = aha – 1.

y =| x | ,

y = aha – 1– graf je přímka procházející bodem (0;-1).

Pojďme sestavit grafy těchto funkcí.

Odpověď: Kdy |a|>1- jeden kořen

na | a|≤1 – rovnice nemá kořeny.

Příklad 6 . Vyřešte nerovnost ax + 4 > 2x + a 2

Řešení : ax + 4 > 2x + a 2
(a – 2) x >A 2 – 4. Uvažujme tři případy.

Odpovědět. x > a + 2 na a > 2; X<а + 2, na A< 2; na a=2 neexistují žádná řešení.

§ 2. Kvadratické rovnice a nerovnice

Kvadratická rovnice je rovnice tvaru Ach ² + b x + c = 0 , Kde a≠ 0,

A, b , S - možnosti.

Chcete-li vyřešit kvadratické rovnice s parametrem, můžete použít standardní metody řešení pomocí následujících vzorců:

1 ) diskriminant kvadratické rovnice: D = b ² - 4 ac , (
²- ac)

2) vzorce pro kořeny kvadratické rovnice:X 1 =
, X 2 =
,

(X 1,2 =
)

Kvadratické nerovnosti se nazývají

A X 2 + b x + c > 0,A X 2 + b x + c< 0, (1), (2)

A X 2 + b x + c ≥ 0,A X 2 + b x + c ≤ 0,(3), (4)

Množinu řešení nerovnice (3) získáme kombinací množin řešení nerovnice (1) a rovnice , A X 2 + b x + c = 0. Obdobně lze nalézt množinu řešení nerovnice (4).

Je-li diskriminant kvadratického trinomu A X 2 + b x + c je menší než nula, pak pro a > 0 je trojčlen kladný pro všechna x R.

Pokud má kvadratický trinom kořeny (x 1 < х 2 ), pak pro a > 0 je kladné na množině(-; x 2 )
(X 2; +) a záporné na intervalu

(x 1; x 2 ). Pokud< 0, то трехчлен положителен на интервале (х 1; x 2 ) a záporné pro všechna x (-; x 1 )
(X 2; +).

Příklad 1. Vyřešte rovnici ax² – 2 (a – 1)x – 4 = 0.

Toto je kvadratická rovnice

Řešení: Zvláštní význam a = 0.

Na a = 0 dostaneme lineární rovnici 2x – 4 = 0. Má jeden kořen x = 2.

Na a ≠ 0. Pojďme najít diskriminant.

D = (a-1)² + 4a = (a+1)²

Li a = -1,Že D = 0 - jeden kořen.

Najdeme kořen dosazením a = -1.

-x² + 4x – 4= 0, to je x² -4x + 4 = 0, najdeme to x=2.

Li a ≠ - 1, Že D >0 . Pomocí kořenového vzorce dostaneme:x=
;

X 1 =2, x 2 = -.

Odpovědět: Na a=0 a a= -1 rovnice má jeden kořen x = 2; na a ≠ 0 a

A ≠ - 1 rovnice má dva kořenyX 1 =2, x 2 =-.

Příklad 2 Najděte počet kořenů této rovnice x²-2x-8-a=0 v závislosti na hodnotách parametrů A.

Řešení. Přepišme tuto rovnici do tvaru x²-2x-8=a

y = x²-2x-8- graf je parabola;

y =a- rodina vodorovných čar.

Pojďme sestavit grafy funkcí.

Odpověď: Kdy A<-9 , rovnice nemá řešení; když a=-9, rovnice má jedno řešení; na a>-9, rovnice má dvě řešení.

Příklad 3 v čem A nerovnost (a – 3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0 platí pro všechny hodnoty x?

Řešení. Kvadratický trinom je kladný pro všechny hodnoty x if

a-3 > 0 a D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств

, odkud z toho plyneA > 6 .

Odpovědět.A > 6

§ 3. Zlomkové racionální rovnice s parametrem,

redukovatelné na lineární

Proces řešení zlomkových rovnic se provádí podle obvyklého schématu: zlomek se nahradí celým číslem vynásobením obou stran rovnice společným jmenovatelem její levé a pravé strany. Poté je vyřešena celá rovnice, s vyloučením cizích kořenů, tedy čísel, která změní jmenovatele na nulu.

V případě rovnic s parametrem je tento problém složitější. Zde, aby bylo možné „eliminovat“ cizí kořeny, je nutné najít hodnotu parametru, který změní společného jmenovatele na nulu, tedy vyřešit odpovídající rovnice pro parametr.

Příklad 1. Vyřešte rovnici
= 0

Řešení: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2

x – a = 0, x = a.

Odpovědět: Na a ≠ - 2, x=a

Na a = -2 nejsou tam žádné kořeny.

Příklad 2 . Vyřešte rovnici
-
=
(1)

Toto je zlomková racionální rovnice

Řešení: Význam a = 0 je speciální. Na a = 0 rovnice nedává smysl, a proto nemá kořeny. Li a ≠ 0, pak po transformacích bude mít rovnice tvar: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a – 3 = 0 (2)- kvadratická rovnice.

Pojďme najít diskriminant = (1 – a)² - (a² - 2a – 3)= 4, najít kořeny rovniceX 1 = a + 1, x 2 = a - 3.

Při přechodu od rovnice (1) k rovnici (2) se oblast definice rovnice (1) rozšířila, což by mohlo vést ke vzniku vnějších kořenů. Proto je nutné ověření.

Zkouška. Vynechme z nalezených hodnot X ty, ve kterých

x 1 +1 = 0, x 1 +2 = 0, x 2 +1 = 0, x 2 +2 = 0.

Li X 1 +1=0, to je (a+1) + 1 = 0, Že a= -2. Tím pádem,

na a= -2 , X 1 -

Li X 1 +2=0, to je (a+1)+2=0,Že a = - 3. Tedy, když a = -3, x 1 - cizí kořen rovnice. (1).

Li X 2 +1=0, to je (a – 3) + 1 = 0, Že a = 2. Tedy, když a = 2 x 2 - cizí kořen rovnice (1).

Li X 2 +2=0, to je ( a – 3) + 2 = 0,Že a=1. Tedy, když a = 1,

X 2 - cizí kořen rovnice (1).

V souladu s tím, kdy a = - 3 dostaneme x = - 3 - 3 = -6;

na a = -2 x = -2 – 3= - 5;

na a = 1 x = 1 + 1 = 2;

na a = 2 x = 2+1 = 3.

Odpověď si můžete zapsat.

Odpovědět: 1) pokud a= -3,Že x= -6; 2) pokud a= -2, Že x= -5; 3) pokud a = 0, pak nejsou žádné kořeny; 4) pokud a = 1, Že x=2; 5) pokud a=2, Že x=3; 6) pokud a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a≠ 1, a ≠ 2, pak x 1 = a + 1, x 2 = a-3.

§4. Iracionální rovnice a nerovnice

Volají se rovnice a nerovnice, ve kterých je proměnná obsažena pod kořenovým znaménkem iracionální.

Řešení iracionálních rovnic se snižuje od iracionální k racionální rovnici umocněním obou stran rovnice nebo nahrazením proměnné. Když jsou obě strany rovnice zvýšeny na sudou mocninu, mohou se objevit cizí kořeny. Proto byste při použití této metody měli zkontrolovat všechny nalezené kořeny jejich dosazením do původní rovnice s přihlédnutím ke změnám hodnot parametrů.

Rovnice formuláře
=g (x) je ekvivalentní systému

Nerovnice f (x) ≥ 0 vyplývá z rovnice f (x) = g 2 (x).

Při řešení iracionálních nerovnic použijeme následující ekvivalentní transformace:

≤ g(x)


≥g(x)

Příklad 1. Vyřešte rovnici
= x + 1 (3)

To je iracionální rovnice

Řešení: Podle definice aritmetického kořene je rovnice (3) ekvivalentní systému
.

Na a = 2 první rovnice soustavy má tvar 0 x = 5, to znamená, že nemá řešení.

Na a≠ 2 x=
. Pojďme zjistit, v jakých hodnotáchA nalezená hodnotaX vyhoví nerovnostix ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,

kde a ≤ nebo a > 2.

Odpovědět: Na a≤, a > 2 x=
, na < а ≤ 2 rovnice nemá řešení.

Příklad 2 Vyřešte rovnici
= a (Příloha 4)

Řešení. y =

y = a– rodina vodorovných čar.

Pojďme sestavit grafy funkcí.

Odpovědět: na A<0 – neexistují žádná řešení;

na A≥ 0 - jedno řešení.

Příklad 3 . Pojďme vyřešit nerovnost(a+1)
<1.

Řešení. O.D.Z. x ≤ 2. Li a+1 ≤0, pak nerovnost platí pro všechny přípustné hodnoty X. Li a+1>0, Že

(a+1)
<1.

<

kde X (2-
2

Odpovědět. X (- ;2v a (-;-1, X (2-
2

na A (-1;+).

§ 5. Goniometrické rovnice a nerovnice.

Zde jsou vzorce pro řešení nejjednodušších goniometrických rovnic:

Sinx = a
x= (-1) n arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)

Cos x = a
x = ±arccos a + 2 πn, n Z, ≤1. (2)

Li >1, pak rovnice (1) a (2) nemají řešení.

tan x = a
x= arctan a + πn, n Z,a R

ctg x = a
x = arcctg a + πn, n Z,a R

Pro každou standardní nerovnost označujeme sadu řešení:

1. hřích x > a
arcsin a + 2 πn Z,

na A <-1, X R ; na A ≥ 1, neexistují žádná řešení.

2. hřích x< a
π - arcsin a + 2 πnZ,

pro a≤-1 neexistují žádná řešení; pro > 1,X R

3. cos X > A
- arccos A + 2 πn < X < arccos A + 2 πn , n Z ,

na A<-1, X R ; na A ≥ 1 , neexistují žádná řešení.

4. cos x arccos a+ 2 πnZ,

na a≤-1 , žádná řešení; naA > 1, X R

5. tan x > a, arctan a + πnZ

6.tg x< a, -π/2 + πn Z

Příklad 1. Nalézt A, pro který má tato rovnice řešení:

Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.

Řešení. Zapišme rovnici ve tvaru

Sos 2 X + (2 A -4) cosx +(A – 5)(a+1) =0, když to vyřešíme kvadraticky, dostaneme cosx = 5-A A cosx = -a-1.

Rovnice cosx = 5- A má poskytnutá řešení -1≤ 5-A ≤1
4≤ A< 6, a Eq. cosx = - a-1 poskytnuto -1≤ -1-A ≤ 1
-2 ≤ A ≤0.

Odpovědět. A -2; 0
4; 6

Příklad 2 v čem bexistuje taková, že nerovnost
+ b> 0 platí pro všechna x ≠πn , n Z .

Řešení. Položme A= 0. Nerovnice platí pro b >0. Ukažme nyní, že žádné b ≤0 nesplňuje podmínky problému. Opravdu stačí dát x = π /2, Li A <0, и х = - π /2 na A ≥0.

Odpovědět.b>0

§ 6. Exponenciální rovnice a nerovnice

1. Rovnice h(X) F ( X ) = h(X) G ( X) na h(X) > 0 je ekvivalentní kolekci dvou systémů
A

2. Ve speciálním případě (h (x)= A ) rovnice A f(x) = A g(x) at A> 0, je ekvivalentem souboru dvou systémů

A

3. Rovnice A f(x) = b , Kde A > 0, A ≠1, b>0, ekvivalentní rovnici

f (x )= log a b . Happening A=1 se posuzují samostatně.

Řešení nejjednodušších exponenciálních nerovností je založeno na mocninné vlastnosti. Nerovnost tvaruF(A X ) > 0 pomocí změny proměnnét= A X redukuje na řešení systému nerovností
a poté k řešení odpovídajících jednoduchých exponenciálních nerovnic.

Při řešení nepřísné nerovnice je nutné k množině řešení přísné nerovnice přidat kořeny odpovídající rovnice. Stejně jako při řešení rovnic ve všech příkladech obsahujících výraz A f (x), předpokládáme A> 0. Případ A= 1 se posuzují samostatně.

Příklad 1 . v čem A rovnice 8 x =
má jen pozitivní kořeny?

Řešení. Vlastností exponenciální funkce se základem větším než jedna máme x>0
8 X >1

>1

>0, odkudA (1,5;4).

Odpovědět. A (1,5;4).

Příklad 2 Vyřešte nerovnost A 2 ∙2 X > A

Řešení. Uvažujme tři případy:

1. A< 0 . Protože levá strana nerovnosti je kladná a pravá záporná, nerovnost platí pro libovolné x R.

2. A=0. Neexistují žádná řešení.

3. A > 0 . A 2 ∙2 X >a
2 X >
x > - log 2 A

Odpovědět. X R na A > 0; neexistují žádná řešení A =0; X (- log 2 A; +) naa > 0 .

§ 7. Logaritmické rovnice a nerovnice

Uveďme některé ekvivalence používané při řešení logaritmické rovnice a nerovnice.

1. Rovnice log f (x) g (x) = log f (x) h (x) je ekvivalentní soustavě

Zejména pokud A >0, A≠1 tedy

log A g(x)=log A h(x)

2. Rovnice log A g(x)=b
g(x)=A b ( A >0, a ≠ 1, g(x) > 0).

3. Nerovnost log F ( X ) G (X) ≤ log F ( X ) h(X) je ekvivalentní kombinaci dvou systémů:
A

Pokud, b jsou čísla, a >0, a ≠1, tedy

log A f(x) ≤ b

log A f(x)>b

Příklad 1. Vyřešte rovnici

Řešení. Pojďme najít ODZ: x > 0, x ≠ A 4 , A > 0, A≠ 1. Transformujte rovnici

log x – 2 = 4 – log A X
log x + log A X– 6 = 0, odkud log A X = - 3

x = A-3 a log A X = 2
x = A 2. Podmínka x = A 4
A – 3 = A 4 nebo A 2 = A 4 se na ODZ neprovádí.

Odpovědět: x = A-3, x = A 2 v A (0; 1)
(1; ).

Příklad 2 . Najděte největší hodnotu A, pro které platí rovnice

2 log -
+ A = 0 má řešení.

Řešení. Uděláme náhradu
= ta dostaneme kvadratickou rovnici 2t 2 – t + A = 0. Řešením najdemeD = 1-8 A . Uvažujme D≥0, 1-8 A ≥0
A ≤.

Na A = kvadratická rovnice má kořent= >0.

Odpovědět. A =

Příklad 3 . Vyřešte nerovnostlog(X 2 – 2 X + A ) > - 3

Řešení. Pojďme vyřešit systém nerovností

Odmocniny čtvercových trojčlenů x 1,2 = 1 ±
jejich 3,4 = 1 ±
.

Kritické hodnoty parametrů: A= 1 a A= 9.

Nechť X 1 a X 2 jsou množiny řešení první a druhé nerovnice

X 1
X 2 = X je řešením původní nerovnosti.

V 0< A <1 Х 1 = (- ;1 -
)
(1 +
; +), naA> 1 x 1 = (-;+).

V 0< A < 9 Х 2 = (1 -
; 1 +
), naA≥9 X 2 – žádná řešení.

Uvažujme tři případy:

1. 0< A ≤1 X = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).

2. 1 < A < 9 Х = (1 -
;1 +
).

3. A≥ 9 X – žádná řešení.

Cíle jednotné státní zkoušky

Vysoká úroveň C1, C2

Příklad 1. Najděte všechny hodnoty R, pro které platí rovnice

R ∙ ctg 2x+2sinx+ p= 3 má alespoň jeden kořen.

Řešení. Pojďme transformovat rovnici

R ∙ (
- 1) + 2sinx + p= 3, sinx =t, t
,t 0.

- p+2t+ p = 3, + 2 t = 3, 3-2t = , 3t 2 – 2t 3 = p .

Nechat F(y) = 3 t 2 – 2 t 3 . Pojďme najít sadu hodnot funkcíF(X) na


. na / = 6 t – 6 t 2 , 6 t - 6 t 2 = 0, t 1 =0, t 2 = 1. F(-1) = 5, F(1) = 1.

Na t
, E(F) =
,

Na t
, E(F) =
, tedy kdy t


, E(F) =
.

K rovnici 3t 2 – 2 t 3 = p (odtud daný) měl alespoň jeden kořen nutný a postačujícíp E(F), tzn p
.

Odpovědět.
.

Příklad 2

Při jakých hodnotách parametrůA rovnice log
(4 X 2 – 4 A + A 2 +7) = 2 má přesně jeden kořen?

Řešení. Převedeme rovnici na jeden ekvivalent:

4x 2–4 A + A 2 + 7 = (x 2 + 2) 2.

Všimněte si, že pokud je určité číslo x kořenem výsledné rovnice, pak číslo – x je také kořenem této rovnice. Podle podmínky to není možné, takže jediným kořenem je číslo 0.

najdeme A.

4∙ 0 2 - 4A + A 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,

A 2 - 4A +7 = 4, A 2 - 4A +3 = 0, A 1 = 1, A 2 = 3.

Zkouška.

1) A 1 = 1. Pak rovnice vypadá takto:log
(4 X 2 +4) = 2. Pojďme to vyřešit

4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4, x 4 = 0, x = 0 je jediný kořen.

2) A 2 = 3. Rovnice vypadá takto:log
(4 X 2 +4) =2
x = 0 je jediný kořen.

Odpovědět. 1; 3

Vysoká úroveň C4, C5

Příklad 3 Najděte všechny hodnoty R, pro které platí rovnice

x 2 – ( R+ 3)x + 1= 0 má celočíselné kořeny a tyto kořeny jsou řešením nerovnice: x 3 – 7 R x 2 + 2 x 2 – 14 R x - 3x +21 R ≤ 0.

Řešení. Nechte x 1, X 2 – celočíselné kořeny rovnice x 2 – (R + 3)x + 1= 0. Potom podle vzorce Vieta platí rovnosti x 1 + x 2 = R + 3, x 1 ∙ x 2 = 1. Součin dvou celých čísel x 1 , X 2 se může rovnat jedné pouze ve dvou případech: x 1 = x 2 = 1 nebo x 1 = x 2 = - 1. Pokud x 1 = x 2 = 1, tedyR + 3 = 1+1 = 2
R = -1; pokud x 1 = x 2 = - 1, tedyR + 3 = - 1 – 1 = - 2
R = - 5. Zkontrolujeme, zda kořeny rovnice x 2 – (R + 3)x + 1= 0 v popsaných případech řešením této nerovnosti. Pro tuto příležitostR = - 1, x 1 = x 2 = 1 máme

1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – pravda; pro tuto příležitost R= - 5, x 1 = x 2 = - 1 máme (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – správně. Jsou tedy splněny pouze podmínky problému R= - 1 a R = - 5.

Odpovědět.R 1 = - 1 a R 2 = - 5.

Příklad 4. Najděte všechny kladné hodnoty parametru A, pro které číslo 1 patří do definičního oboru funkce

na = (A
- A
).

Třída: 11

cíle:

Vzdělávací:

• systematizovat a zobecnit poznatky o řešení rovnice s parametrem;
• ukázat základní techniky řešení takových rovnic.

Vývojový: rozšířit a prohloubit studium různých technik řešení rovnic s parametrem.

Vzdělávací: ukázat význam závislosti odpovědi v problému s parametrem na zvolené hodnotě parametru.

Používané vyučovací metody - jejich aplikace.

• Vysvětlující a názorné.
• Zobecnění, analogie a srovnání.
• UDE – tvorba klíčových úloh, analogie obrázků v rovině.
• Integrované - algebraické mapování a geometrické interpretace, diapozitivy.

Formování všeobecných vzdělávacích dovedností:

• Identifikace podstatných rysů studovaných objektů;
• Rozvoj praktických dovedností;
• Metody práce s publikem: práce v dialogu;
• Psychologické aspekty lekce;
• Vytvoření příjemné pracovní atmosféry;
• Povzbuzení k aktivitám aktivního dialogu.

Během vyučování

Úvod. Úvodní řeč učitele.

Rovnice se staly běžnou součástí možností přijímacích zkoušek USE.

Rovnice s parametrem způsobují vážné logické potíže.
Každá taková rovnice je v podstatě krátkou verzí rodiny rovnic. Je jasné, že nelze zapsat každou rovnici z nekonečné rodiny, ale přesto je třeba každou z nich vyřešit. Proto je potřeba zvážit systém pojmů a hledat metody řešení rovnic s parametry (lineární, racionální atd.)

Nechť je dána rovnice F(x;a) = 0 Pokud parametru dáme nějakou pevnou hodnotu, pak lze tuto rovnici považovat za „obyčejnou“ rovnici s jednou proměnnou.

Pojďme nastavit úkol: Zjistěte, jaká může být situace s vybranou hodnotou parametru?

Práce se studenty v dialogu.

Pojďme si nastínit hlavní problémy:

1. Stanovte základní pojmy rovnic s parametry.
2. Pro každý typ rovnic ve školním kurzu matematiky stanovte obecnou metodu pro řešení odpovídajících rovnic s parametry - stejnou pro jeden i dva parametry.
3. Zvažte příklady úloh pro studium rovnic.
4. Jaké je určení počtu kořenů rovnic.
5. Hledání společného kořene dvou rovnic - jaká je jeho podstata?
6. Geometrické interpretace.

jáetapa – řešení prvního problému.

Práce se studenty interaktivně.

Jaké otázky si budete klást, abyste si stanovili základní pojmy?

Jaký je problém s parametrem? Jaký je rozsah přijatelných hodnot parametrů? Co to znamená vyřešit problém s parametrem? Kolik typů problémů s parametry existuje? Co je třeba vzít při jejich řešení v úvahu?

Zobrazí se snímek a shrnutí - Úloha s parametrem je sada úloh, z nichž každá je získána z podmínky nahrazením konkrétní hodnoty parametru. - Rozsah přípustných hodnot parametrů je sada hodnot parametrů, jejichž nahrazení vede k úkolu, který dává smysl. - Řešení úlohy s parametrem znamená pro libovolnou přípustnou hodnotu parametru nalezení množiny všech řešení daného problému. - Budeme zvažovat problémy se dvěma hlavními typy parametrů. V úlohách typu I je požadováno řešení úlohy pro každou hodnotu parametru. K tomu potřebujete: rozdělit ODZ parametru na části, na každé z nich lze problém vyřešit stejným způsobem; vyřešit problém na každé z výsledných částí. V problémech typu II je nutné najít všechny hodnoty parametrů, při kterých jsou splněny určité specifikované podmínky. - Odpověď na problém s parametrem je popis sady odpovědí na problémy získané pro konkrétní hodnoty parametru.

Například.

1) Řešte rovnici a (a – 1) = a – 1.

Řešení. Máme před sebou lineární rovnici, která dává smysl pro všechny přípustné hodnoty a. Vyřešíme to „jako obvykle“: obě strany rovnice vydělíme koeficientem neznámé. Je ale rozdělení vždy možné?

Nelze dělit nulou. Samostatně budeme muset uvažovat případ, kdy je koeficient neznámé roven o. Dostaneme:

Odpověď: 1) pokud a 0, a 1, pak x = ;

2) jestliže a = 1, pak x je libovolné číslo;

3) jestliže a = 0, pak neexistují žádné kořeny.

2) Řešte rovnici (a – 1)x 2 + 2 (2a – 1)x + 4 a + 3 = 0.

Řešení. Uvažujme dva případy:

Uvažujme diskriminant: D = (2a – 1) 2 – (a – 1) (4a + 3) = - 3a + 4.

Pokud a, pak x 1,2 = .

Odpověď: 1) jestliže a > , pak neexistují žádné kořeny;

2) jestliže a = 1, pak x = - 3,5;

3) jestliže a a a1, pak x 1,2 = .

IIetapa – řešení druhého problému.

Zvažme způsob klasifikace parciálních rovnic pomocí obecného modelu řešení.
Objeví se snímek.

Například. V racionální rovnici funkce f 1 (a) = je obecné řešení pro ty hodnoty parametrů, pro které . Protože

obecné řešení rovnice na A f1 = ).

Funkce f 2 (a) = je obecným řešením rovnice na množině A f2 = .
Sestavme model obecných řešení v následujícím tvaru

Na modelu zvýrazníme všechny typy parciálních rovnic: ; ; .

Základní pojmy rovnic s parametry jsou tedy uvažovány na příkladech: rozsah přípustných hodnot; doména; obecná řešení; kontrolní hodnoty parametrů; typy parciálních rovnic.

Na základě zavedených parametrů definujeme obecné schéma pro řešení libovolné rovnice F(a;x) = 0 s parametrem a (pro případ dvou parametrů je schéma podobné):

• je stanoven rozsah přípustných hodnot parametru a rozsah definice;
• jsou určeny kontrolní hodnoty parametru dělením oblasti přípustných hodnot parametrů na oblasti podobnosti dílčích rovnic;
• pro kontrolní hodnoty parametru jsou příslušné dílčí rovnice studovány samostatně;
• obecná řešení x = f 1 (a), ..., f k (a) rovnice F(a;x) = 0 najdeme na odpovídajících množinách A f1, ......, A fk hodnot parametrů ;
• model obecných řešení a hodnot kontrolních parametrů je sestaven v následující podobě (na snímku);

• model identifikuje intervaly hodnot parametrů s identickými řešeními (oblasti uniformity);
• pro kontrolní hodnoty parametru a vybrané oblasti uniformity jsou zaznamenány charakteristiky všech typů konkrétních řešení.

Etapa III – příklady úloh pro studium rovnic.

Podívejme se na příklady řešení úloh s parametry 2. typu.

Obzvláště běžné jsou problémy týkající se umístění kořenů kvadratické rovnice. Při jejich řešení dobře fungují grafické ilustrace. Umístění kořenů vzhledem k daným bodům rovinou je určeno směrem větví odpovídající paraboly, souřadnicemi vrcholu a také hodnotami v daných bodech.

Například.

1) Pro jaké hodnoty parametru a má rovnice (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5 = 0 dva kořeny, z nichž jeden je větší než 1 a jiné méně než 1?

Řešení. Nechť f(x) = (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5. Protože a 2 + a + 1 >0, pak pro kvadratickou funkci f(x) problémová podmínka lze splnit pouze za podmínky f (x)< 1.

Řešení nerovnosti f(1) = a 2 + 4a – 7< 0, получим, что -2 - < а < - 2 + .

Odpovědět: -2 - < а < - 2 + .

2) Při jakých hodnotách parametrům kořenů rovnice (m – 1) x 2 – 2mx +m + 3 = 0 kladné?

Řešení. Nechť f(x) = (m-1)x 2 - 2 mx + m + 3, pak:

1) jestliže m = 1, pak -2x + 4 = 0, x = 2 - odmocnina je kladná;

2) pokud m 1, pak pomocí obrázku můžete získat následující vztahy:

Uvažujme 2 případy:

1) je-li 1,5 m > 0, pak z nerovností 2 a 3 poslední soustavy získáme, že m > 1, tzn. konečně 1,5 m > 1;

2) pokud m< 0, тогда из неравенства (m-1)m >0 dostaneme m-1< 0, откуда m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.

Odpovědět: m (-; -3)

IVetapa - zvažte úkol stanovit počet kořenů rovnice.

Příklad 1. Při jakých hodnotách parametru a rovnice 2 cos 2 x – (2a + 9) cosx + 9a = 0 nemá kořeny.

Řešení. Nechť y = cosх, pak bude mít původní rovnice tvar 2y 2 – (2 a + 9)y + 9a = 0, jejíž kořeny jsou y 1 = a, y 2 = 4,5. Rovnice cosх = 4,5 nemá kořeny a rovnice cosх = a nemá kořeny, pokud > 1.

Odpovědět: (- ; -1) (1; ).

Příklad 2. Najděte všechny hodnoty parametru a, pro které platí rovnice nemá kořeny.

Řešení. Tato rovnice je ekvivalentní soustavě: .

Rovnice nemá řešení ve dvou případech: a = a

Příklad 3 . Při jakých hodnotách parametru a platí rovnice má jediné řešení?

Řešení. Řešení rovnice může být jedinečné, pouze pokud x = 0. Pokud x = 0, pak a 2 -1 = 0 a a = 1.

Uvažujme 2 případy:

1) je-li a = 1, pak x 2 - = 0 – tři kořeny;

2). Pokud a = -1, pak x 2 + = 0, x = 0 je jediný kořen.

Příklad 4. Pro jaké hodnoty parametru a má rovnice 2 kořeny?

Řešení. Tato rovnice je ekvivalentní soustavě: . Zjistíme, kdy má kvadratická rovnice x 2 – x – a = 0 2 nezáporné kořeny.

Výsledná rovnice má dva kořeny, jestliže 1+ 4a > 0; jsou nezáporné, pokud

0 > a > - .

Odpovědět: (- ; 0] .

V mnoha případech při stanovení počtu kořenů rovnice záleží na symetrii.

PROTIetapa - nalezení společného kořene dvou rovnic.

Příklad 1. Pro jaké hodnoty parametru a mají rovnice x 2 + 3x + 7a -21 =0 a x 2 +6x +5a -6 =0 společný kořen?

Řešení. Vynechme parametr a z výsledného systému. Chcete-li to provést, vynásobte první rovnici -5, druhou 7 a sečtěte výsledky. Dostaneme: 2x 2 + 27x +63 = 0, jejichž kořeny jsou x 1 = -3, x 2 = -10,5. Dosadíme kořeny do jedné z rovnic a zjistíme hodnotu parametru a.

Odpovědět: 3 a – 8.25.

Příklad 2 Pro jaké hodnoty parametru a je rovnice x 2 – ax + 2 = 0 a 3x 2 + (a - 9)x + 3=0 ekvivalentní?

Řešení. Jak víte, rovnice jsou ekvivalentní, pokud se mnoho jejich kořenů shoduje. Uvažujme 2 případy.

1) Rovnice nemají kořeny (množina kořenů je prázdná). Pak jsou jejich diskriminanty záporné:

Systém nerovností nemá řešení.

2) Rovnice mají společné kořeny. Pak

V důsledku toho mohou mít tyto rovnice společné kořeny pouze tehdy, když a = 3 nebo a = .

Přesvědčte se sami!

VIetapa – geometrické interpretace.

Řešení problémů s parametry může výrazně usnadnit používání grafů.

Příklad 1 . Řešte rovnici v závislosti na parametru a: .

Řešení. Je jasné, že za 0:

Jsou všechny kořeny vhodné? Abychom to zjistili, nakreslíme funkci a =.
Počet kořenů je vidět na obrázku:

1. Pokud< 0, то корней нет;
2. pokud a = 0 a a > 0, pak jsou 2 kořeny.

Pojďme najít tyto kořeny.

Když a = 0 dostaneme x 2 – 2x – 3 = 0 a x 1 = -1, x 2 = 3; pro a > 4 jsou to kořeny rovnice x 2 – 2x – 3 – a = 0.

Pokud 0< а < 4 – все 4 корня подходят.

Pokud a = 4 – tři kořeny:
Odpovědět: 1) pokud a< 0, то корней нет;

2) jestliže a = 0, pak x 1 = -1, x 2 = 3;

3) pokud 0< a < 4, то х 1,2,3.4 = 1 ;

4) jestliže a = 4, pak x 1 = 1; x 2,3 = 1;

5) pokud a > 4, pak x 1,2 = 1.

Příklad 2 . Pro jaké hodnoty a má rovnice více než dva kořeny?

Řešení. Pokud do původní rovnice dosadíme x = 0, dostaneme 6 = 6, což znamená, že x = 0 je řešením rovnice pro libovolné a.

Nyní x 0, pak můžeme psát . Pojďme zjistit znaménka výrazů 2x + 3 a 2x – 3.

Rozšiřme moduly: a = (1)

V rovině x0a sestrojíme množinu bodů (x;a), jejichž souřadnice splňují vztah (1).

Pokud a = 0, pak má rovnice nekonečný počet řešení na intervalu pro ostatní hodnoty a, počet řešení rovnice nepřesahuje dvě.

Odpovědět: a = 0.

Testovací kontrola

1 možnost	Možnost 2
1) Řešte rovnici: 0 x = a Odpovědi	1) Řešte rovnici: a x = a. Odpovědi: a) pro a ≠ 0, x = 1, pro a = 0, x R b) pro a = 0, x R, pro a ≠ 0 kořeny nejsou c) pro a = 0 nejsou kořeny, pro a ≠ x =
2) Řešte rovnici: (в – 2) x = 5 + в. Odpovědi:	2) Řešte rovnici (b + 1) x = 3 – b. Odpovědi: a) pro β = 2 nejsou žádné kořeny; pro β ≠2, x = ; b) pro β = -2 nejsou kořeny, pro β ≠-2 x = c) pro β = -1 nejsou kořeny, pro a ≠ - 1
3) Pro jaké hodnoty parametru c má rovnice nekonečný počet řešení? c (c + 1) x = c 2 – 1. Odpovědět a) kde c = -1, xR1; Chaplygin V.F., Chaplygina N.B. Problémy s parametry v algebře a analýze, 1998.

Volitelný kurz lekce

na toto téma: "Řešení rovnic a nerovnic pomocí parametrů"

(Lekce zobecnění a opakování)

Cílová: 1.Opakovat a zobecnit znalosti studentů o metodách řešení rovnic a nerovnic s parametry; upevnit schopnost aplikovat znalosti při řešení konkrétních úkolů; 2. Rozvíjet logické myšlení; 3. Kultivujte pozornost a přesnost.

Plán lekce: I. Organizační moment_______________________________2 min.

II. Aktualizace základních znalostí:

1. Opakování__________________________________3 min.
2. Ústní práce_________________________________3 min.
3. Práce s kartami (během 1 a 2)

III. Řešení cvičení__________________________________22 min.

IY. Provedení testu_______________________________8 min.

Y. Shrnutí, zadání domácího úkolu__2 min.

Během lekcí:

já Organizace času.

Učitel: - Ahoj hoši. Rád vás všechny vidím, začínáme lekci. Dnes v lekci je naším cílem zopakovat a procvičit znalosti, dovednosti a schopnosti získané v předchozích lekcích při studiu tohoto tématu.

II . Aktualizace základních znalostí:

1) Opakování.

Učitel: - Takže, zopakujme.

Jak se nazývá lineární rovnice s parametry?

Jaké případy jsme uvažovali při řešení takových rovnic?

Uveďte příklady lineárních rovnic s parametry.

Uveďte příklady lineárních nerovnic s parametry.

2) Ústní práce.

Úkol: Převeďte tuto rovnici do lineárního tvaru.

Na stole:

a) 3a x – 1 = 2 x;

b) 2+5 x = 5a x;

c) 2 x – 4 = a x + 1.

3) Práce s kartami.

III . Řešení cvičení.

Cvičení 1. Řešte rovnici s parametrem A.

3(ax + 1) + 1 = 2(a – x) + 1.

Úkol se plní na tabuli a v sešitech.

Úkol 2. V jaké hodnotě a, přímka y = 7ax + 9, prochází

t. A(-3;2)?

Úkol plní samostatně u tabule jeden žák. Zbytek pracujte v sešitech a poté zkontrolujte pomocí tabule.

Tělesná výchova minutku.

Úkol 3. V jaké hodnotě a, rovnice 3(ax – a) = x – 1 má

Nekonečně mnoho řešení?

Studenti jsou požádáni, aby tento úkol vyřešili samostatně ve svých sešitech. Poté zkontrolujte odpovědi.

Úkol 4. Při jaké hodnotě parametru A , součet kořenů rovnice

2х² + (4а² - 2)х – (а² + 1) = 0 rovná 1?

Úkol se plní komentováním z místa.

Úkol 5. Vyřešte nerovnost pomocí parametru R:

р (5х – 2)

Tento úkol se provádí u tabule a v sešitech.

IY. Provedení testu.

Studenti dostanou jednotlivé listy s úkoly:

1) Je rovnice6(ax + 1) + a = 3(a – x) + 7 lineární?

A) ano; b) ne; c) lze redukovat na lineární

2) Rovnice (2ax + 1)a = 5a – 1 redukováno do tvaru lineární rovnice

A) ne; b) ano;

3) Při jaké hodnotě parametru a prochází přímka y = ax – 3

T.A(-2;9)?

A) a = 1/6; b) a = 1/2; c) a = -6; d) a = 6.

4) Při jaké a rovnici 2ax + 1 = x má kořen rovný -1?

a) a = -1; b) a = 0; c) a = 1; d) a = 1/2.

5) Je-li kvadratická rovnice ax² + inx + c = 0 D ax² + inx + c >0 závisí na

A) hodnoty v ; b) hodnoty a; c) hodnoty -v/a;

d) nemá řešení.

ODPOVĚDI NA TEST: PROTI; A; PROTI; PROTI; b.

Yii. Shrnutí lekce. Nastavení domácího úkolu.

Učitel: - Dnes jsme si v hodině zopakovali a upevnili znalosti nabyté v předchozích hodinách, procvičili potřebné dovednosti při plnění různých úkolů. Myslím, že jsi odvedl dobrou práci, dobře odvedenou.

Kromě známek přidělených na lekci můžete v lekci hodnotit práci řady dalších studentů.

Učitel : - Zapište si domácí úkol:

Na stole:

Vyřešit nerovnost: x² - 2ax + 4 > 0.

Lekce skončila.

Ministerstvo školství Vladimirského kraje

Ministerstvo školství Sudogodského okresu

Městský vzdělávací ústav

"Moshok střední škola"

« Řešení rovnic A nerovnosti S parametr»

Vývojář: Gavrilova G.V.

učitel matematiky

městská vzdělávací instituce "Moshokskaya průměr"

všeobecná střední škola"

rok 2009

Řešení rovnic a nerovnic s parametry

Vysvětlivka
Pojem parametr je matematický pojem, který se často používá ve školní matematice a příbuzných oborech.

7. ročník - při studiu lineární funkce a lineární rovnice s jednou proměnnou.

8. třída - při studiu kvadratických rovnic.

Všeobecně vzdělávací kurikulum školního matematického předmětu nepočítá s řešením úloh s parametry a při přijímacích zkouškách na vysoké školy a jednotné státní zkoušce z matematiky se vyskytují problémy s parametry, jejichž řešení působí studentům velké problémy s parametry mají diagnostickou a prognostickou hodnotu, což umožňuje otestovat znalosti hlavních částí školního kurzu matematiky, úroveň logického myšlení, počáteční výzkumné dovednosti.

Hlavním cílem předmětu je seznámit studenty s obecnými přístupy k řešení úloh s parametry, připravit studenty tak, aby byli schopni úspěšně zvládnout problémy obsahující parametry v atmosféře soutěžní zkoušky.

Řešte rovnici, určete počet řešení, prozkoumejte rovnici, najděte kladné kořeny, dokažte, že nerovnice nemá řešení atd. – to vše jsou možnosti pro parametrické příklady. Proto není možné podat univerzální návod na řešení příkladů, tento kurz zkoumá různé příklady s řešením. Učební látka je prezentována podle následujícího schématu: podklady, příklady s řešením, příklady pro samostatnou práci, příklady pro zjištění úspěšnosti zvládnutí látky.

Řešení úloh s parametry přispívá k formování badatelských dovedností a intelektuálního rozvoje.

Cíle kurzu:

Systematizovat znalosti získané v 7. a 8. ročníku při řešení lineárních a kvadratických rovnic a nerovnic;

Identifikovat a rozvíjet své matematické schopnosti;

Vytvořte holistické chápání řešení lineárních rovnic a nerovnic obsahujících parametry;

Vytvořit holistické chápání řešení kvadratických rovnic a nerovnic obsahujících parametry;

Prohloubit znalosti v matematice, zajistit formování trvalého zájmu studentů o předmět;

• 
  poskytují přípravu na profesionální činnosti vyžadující vysokou matematickou kulturu.

Vzdělávací a tematický plán

№ p/p	Předmět	množství hodin	Činnosti
1.			Dílna
2.	Počáteční informace o úkolech s parametrem.		Seminář
3.	Řešení lineárních rovnic obsahujících parametry.
4.	Řešení lineárních nerovnic obsahujících parametry.		Výzkumná práce; školení dovedností; samostatná práce.
5.	Kvadratické rovnice. Vietova věta.	3	Výzkumná práce; školení dovedností; samostatná práce.
6.	Úspěšné ukončení kurzu	1	Závěrečný test

Téma 1.Řešení lineárních rovnic a nerovnic, kvadratických rovnic a nerovnic, řešení úloh pomocí Vietovy věty.
Téma 2. Úvodní informace o úlohách s parametrem.

Pojem parametru. Co to znamená „vyřešit problém s parametrem“? Základní typy problémů s parametrem. Základní metody řešení úloh s parametrem.

Příklady řešení lineárních rovnic s parametrem.
Téma 4. Řešení lineárních nerovnic obsahujících parametry.

Příklady řešení lineárních nerovnic s parametrem.

Téma 5. Kvadratické rovnice. Vietova věta.

Příklady řešení kvadratických rovnic s parametrem.

Didaktický materiál k volitelnému předmětu

"Řešení rovnic a

nerovnosti s parametrem"
Téma 1. Příklady k tomuto tématu.
Téma 2. Příklady, kdy se studenti již setkali s parametry:

Funkce přímé úměrnosti: y = kx (x a y jsou proměnné; k je parametr, k ≠ 0);

Funkce inverzní úměrnosti: y = k / x (x a y jsou proměnné, k je parametr, k ≠ 0)

Lineární funkce: y = kh + b (x a y jsou proměnné; k a b jsou parametry);

Lineární rovnice: ax + b = 0 (x je proměnná; aab jsou parametry);

Kvadratická rovnice ax 2 + bx + c = 0 (x je proměnná; a, b a c jsou parametry,

Co je to parametr?

Pokud jsou v rovnici nebo nerovnosti některé koeficienty nahrazeny nikoli konkrétními číselnými hodnotami, ale jsou označeny písmeny, pak se nazývají parametry a rovnice nebo nerovnost je parametrická.

Parametry se obvykle označují prvními písmeny latinské abecedy: a, b, c, ... nebo a 1, a 2, a 3, ..., a neznámé posledními písmeny latinské abecedy x, y, z, ... Tato označení nejsou povinná, ale pokud ve stavu není uvedeno, která písmena jsou parametry a která jsou neznámá -

mi, pak se použijí následující zápisy.

Vyřešte například rovnici (4x - ax)a = 6x - 10. Zde x je neznámá a a je parametr.

Co to znamená „vyřešit problém s parametrem“?

Řešení úlohy s parametrem znamená pro každou hodnotu parametru a najít hodnotu x, která tomuto problému vyhovuje, tzn. záleží na otázce v problému.

Řešení rovnice nebo nerovnosti s parametry znamená:

Určete, při jakých hodnotách parametrů existují řešení;

Pro každý přípustný systém hodnot parametrů najděte odpovídající sadu řešení.

Jaké jsou hlavní typy problémů s parametrem?
Typ 1. Rovnice, nerovnosti, které je třeba vyřešit buď pro jakoukoli hodnotu parametru, nebo pro hodnoty parametru patřící do předem určené množiny. Tento typ úloh je základní při zvládnutí tématu „Problémy s parametry“.

Typ 2. Rovnice, nerovnice, pro které je nutné určit počet řešení v závislosti na hodnotě parametru.

Typ 3. Rovnice, nerovnice, pro které je nutné najít všechny ty hodnoty parametrů, pro které mají zadané rovnice a nerovnice daný počet řešení (zejména nemají nebo mají nekonečný počet řešení). Problémy typu 3 jsou v určitém smyslu opakem problémů typu 2.

Typ 4. Rovnice, nerovnice, pro které pro požadované hodnoty parametru množina řešení splňuje dané podmínky v oblasti definice.

Najděte například hodnoty parametrů, při kterých:

1) rovnice je splněna pro jakoukoli hodnotu proměnné z daného intervalu;

2) množina řešení první rovnice je podmnožinou množiny řešení druhé rovnice atd.

Základní metody řešení úloh s parametrem.
Metoda 1. (analytická) Tato metoda je tzv. přímé řešení, opakující standardní metody hledání odpovědi v úlohách bez parametru.

Metoda 2. (grafická) V závislosti na úloze jsou uvažovány grafy v souřadnicové rovině (x; y) nebo v souřadnicové rovině (x; a).

Metoda 3. (rozhodnutí o parametru) Při řešení pomocí této metody se předpokládá, že proměnné x a a jsou stejné a vybere se proměnná, vzhledem k níž je analytické řešení považováno za jednodušší. Po přirozených zjednodušeních se vrátíme k původnímu významu proměnných x a a a dokončíme řešení.

Komentář. Zásadním krokem při řešení problémů s parametry je zapsání odpovědi. To platí zejména pro ty příklady, kde se zdá, že se řešení „větví“ v závislosti na hodnotách parametrů. V takových případech je sestavení odpovědi souborem dříve získaných výsledků. A zde je velmi důležité nezapomenout promítnout do odpovědi všechny fáze řešení.

Podívejme se na příklady. 2.1. Porovnejte -a a 5a.

Řešení. Je nutné uvažovat tři případy: pokud a 5a;

pokud a = 0, pak –a = 5a;

pokud a > 0, pak –a

Odpovědět. Když 5a; při a = 0, –a = 5a; pro a > 0, -a

1. 
   Řešte rovnici ax = 1.

Řešení. Jestliže a = 0, pak rovnice nemá řešení.

Pokud a ≠ 0, pak x = 1 / a.

Odpovědět. Pro a = 0 neexistují žádná řešení; pro a ≠ 0, x = 1 / a.

1. 
   Porovnejte s a – 7c.
2. 
   Vyřešte rovnici cx = 10

Téma 3.

Lineární rovnice

Rovnice formuláře

kde a, b patří do množiny reálných čísel a x je neznámá, nazývaná lineární rovnice vzhledem k x.

Schéma pro studium lineární rovnice (1).

1.Je-li a ≠ 0, je b libovolné reálné číslo. Rovnice má jednoznačné řešení x = b/a.

2. Jestliže a=0, b=0, pak rovnice bude mít tvar 0 ∙ x = 0, řešením rovnice bude množina všech reálných čísel.

3. Jestliže a=0, b ≠ 0, pak rovnice 0 ∙ x = b nemá řešení.

Komentář. Pokud lineární rovnice není uvedena ve tvaru (1), musíte ji nejprve převést do tvaru (1) a teprve poté provést studii.
Příklady. 3.1 Řešte rovnici (a -3)x = b+2a

Rovnice je zapsána jako (1).

Řešení: Je-li a≠ 3, pak má rovnice řešení x = b+2a/ a-3 pro libovolné b.

To znamená, že jediná hodnota a, při které nemusí existovat řešení rovnice, je a = 3. V tomto případě má rovnice (a -3)x = b+2a tvar

0 ∙ x = b+6. (2)

Jestliže β≠ - 6, pak rovnice (2) nemá řešení.

Jestliže β = - 6, pak libovolné x je řešením (2).

V důsledku toho je β = - 6 jedinou hodnotou parametru β, pro kterou má rovnice (1) řešení pro libovolné a (x=2 pro a ≠3 a x patří do množiny reálných čísel pro a=3).

Odpověď: b = -6.

3.2. Řešte rovnici 3(x-2a) = 4(1-x).

3.3. Řešte rovnici 3/kx-12=1/3x-k

3.4. Řešte rovnici (a 2 -1)x = a 2 – a -2

3.5. Řešte rovnici x 2 + (2a +4)x +8a+1=0
Samostatná práce.

Možnost 1. Řešte rovnice: a) zadání + 2 = - 1;

b) (a – 1)x = a – 2;

c) (a 2 – 1)x – a 2 + 2a – 1 = 0.

Možnost 2. Řešte rovnice: a) – 8 = in + 1;

b) (a + 1)x = a – 1;

c) (9a 2 – 4) x – 9a 2 + 12a – 4 = 0.
Téma 4.

Lineární nerovnosti s parametrem

Nerovnosti

ah > dovnitř, ach
kde a, b jsou výrazy závislé na parametrech a x je neznámá, se nazývají lineární nerovnosti s parametry.

Řešení nerovnice s parametry znamená nalezení sady řešení nerovnice pro všechny hodnoty parametrů.

Schéma řešení nerovnosti aX > c.

1. 
   Pokud a > 0, pak x > b/a.
2. 
   Pokud
3. 
   Pokud a = 0, pak nerovnost bude mít tvar 0 ∙ x > b. Pro β ≥ 0 nemá nerovnost řešení; na

Studenti sami vytvářejí diagramy pro řešení dalších nerovností.
Příklady. 4.1. Vyřešte nerovnici a(3x-1)>3x – 2.

Řešení: a(3x-1)>3x – 2, což znamená 3x(a-1)>a-2.

Uvažujme tři případy.

1. 
   a=1, řešení 0 ∙ x > -1 je libovolné reálné číslo.
2. 
   a>1, 3x(a-1)>a-2, což znamená x>a-2/3 (a-1).
3. 
   a a-2 znamená x

Odpověď: x > a-2/3 (a-1) pro a>1; x Řešte nerovnosti. 4.2. (a – 1)x > a 2 – 1.

1. 
   2x +5 > a+10x .
2. 
   (a + 1)x – 3a + 1 ≤ 0.
3. 
   X 2 + ax +1 > 0.

Samostatná práce.

Možnost 1.Řešte nerovnice: a) ( A– 1)x ≤ A 2 – 1;

b) 3x-a > ah – 2.

Možnost 2. Vyřešte nerovnice: a) (a – 1)x – 2a +3 ≥ 0;

b) ah-2c
Téma 5.

Kvadratické rovnice obsahující parametry. Vietova věta.

Rovnice formuláře

ax 2 +in + c = 0, (1)

kde a, b, c jsou výrazy závislé na parametrech, a ≠ 0, x je neznámá, nazývá se kvadratická rovnice s parametry.
Schéma pro studium kvadratické rovnice (1).

1. 
   Pokud a = 0, pak máme lineární rovnici bx + c = 0.
2. 
   Pokud a ≠ 0 a diskriminant rovnice D = 2 – 4ac
3. 
   Pokud a ≠ 0 a D = 0, pak má rovnice jednoznačné řešení x = - B / 2a nebo, jak se také říká, shodné kořeny x 1 = x 2 = - B / 2a.
4. 
   Jestliže a ≠ 0 a D > 0, pak má rovnice dva různé kořeny X 1,2 = (- V ± √D) / 2a

Příklady. 5.1. Pro všechny hodnoty parametru a vyřešte rovnici

(a – 1)x 2 – 2ax + a + 2 = 0.

Řešení. 1. a – 1 = 0, tzn. a = 1. Potom bude mít rovnice tvar -2x + 3 = 0, x = 3 / 2.

2. a ≠ 1. Najděte diskriminant rovnice D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 2) = - 4a + 8.

Možné jsou tyto případy: a) D 8, a > 2. Rovnice nemá

b) D = 0, tzn. -4a + 8 = 0, 4a = 8, a = 2. Rovnice má jedničku

kořen x = a / (a ​​– 1) = 2 / (2 – 1) = 2.

c) D > 0, tzn. -4a + 8 > 0,4a

odmocnina x 1,2 = (2a ± √ -4a + 8) / 2(a – 1) = (a ± √ 2 – a) / (a ​​​​– 1)

Odpovědět. Když a = 1 x = 3/2;

když a = 2 x = 2;

pro a > 2 nejsou žádné kořeny;

Pro všechny hodnoty parametrů vyřešte rovnice:

1. 
   ax 2 + 3ax – a – 2 = 0;
2. 
   ax 2 +6x – 6 = 0;
3. 
   ve 2 – (in + 1)x +1 = 0;
4. 
   (b + 1) x 2 – 2 x + 1 – b = 0.

Samostatná práce.

Možnost 1. Řešte rovnici ax 2 - (a+3)x + 3 = 0.

Možnost 2. Řešte rovnici a 2 + (a + 1)x + 2a-4 = 0.
Úkoly.

1. 
   . Najděte všechny hodnoty parametru a, pro které platí kvadratická rovnice

(a -1)x 2 + 2(2a + 1)x + 4a + 3 = 0 má dva různé kořeny; nemá kořeny; má jeden kořen.

Řešení. Tato rovnice je kvadratická podle podmínky, což znamená

a – 1 ≠ 0, tj. a ≠ 1. Najděte diskriminant D = 4(2a + 1) 2 – 4(a – 1)(4a +3) =

4(4a 2 + 4a + 1 – 4a 2 + a + 3) = 4 (5a + 4).

Máme: 1) Pro a ≠ 1 a D > 0, tzn. 4(5a + 4) > 0, a > - 4 / 5 rovnice má dvě

různé kořeny.

2) Pro a ≠ 1 a D

3) Pro a ≠ 1 a D = 0, tzn. a = - 4 / 5 rovnice má jeden kořen.

Odpovědět. Jestliže a > - 4 / 5 a a ≠ 1, pak má rovnice dva různé kořeny;

jestliže a = - 4 / 5, pak má rovnice jeden kořen.

1. 
   .Pro jaké hodnoty parametru a má rovnice (a + 6)x 2 + 2ax +1 = 0 jednoznačné řešení?
2. 
   .Pro jaké hodnoty parametru a nemá rovnice (a 2 – a – 2)x 2 + (a +1)x + 1 = 0 řešení?
3. 
   .Pro jaké hodnoty parametru a má rovnice ax 2 - (2a+3)x+a+5=0 dva různé kořeny?

Samostatná práce.

Možnost 1. Najděte všechny hodnoty parametrů A, pro kterou platí kvadratická rovnice (2 A – 1)X 2 +2X– 1 = 0 má dva různé kořeny; nemá kořeny; má jeden kořen.

Možnost 2.. Najděte všechny hodnoty parametru a, pro které platí kvadratická rovnice (1 – A)X 2 +4X– 3 = 0 má dva různé kořeny; nemá kořeny; má jeden kořen.
Vietova věta.

Následující věty se používají k řešení mnoha problémů zahrnujících kvadratické rovnice obsahující parametry.

Vietova věta. Jestliže x 1, x 2 jsou kořeny kvadratické rovnice ax 2 + bx + c = 0, a≠0, pak x 1 + x 2 = - B / a a x 1 ∙ x 2 = C / a.
Věta 1. Aby odmocniny čtvercového trinomu ax 2 + bx + c byly reálné a měly stejná znaménka, je nutné a postačující splnit následující podmínky: D = v 2 – 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C/A > 0.

V tomto případě budou oba kořeny kladné, pokud x 1 + x 2 = - B /a > 0, a oba kořeny budou záporné, pokud x 1 + x 2 = - B /a
Věta 2. Aby odmocniny čtvercového trinomu ax 2 + bx + c byly skutečné a oba nezáporné nebo oba kladné, je nutné a postačující splnit následující podmínky: D = v 2 – 4ac ≥ 0, x 1∙ x 2 = C/a≥ 0.

V tomto případě budou oba kořeny nezáporné, pokud x 1 + x 2 = - B /a ≥ 0, a oba kořeny budou záporné, pokud x 1 + x 2 = - B /a ≤ 0.

Věta 3. Aby kořeny kvadratického trinomu ax 2 + bx + c byly reálné a měly různá znaménka, je nutné a postačující splnit následující podmínky: x 1 ∙ x 2 = C /aV tomto případě podmínka D = b 2 – 4ac > 0 je splněno automaticky.
Poznámka. Tyto věty hrají důležitou roli při řešení problémů souvisejících se studiem znamének kořenů rovnice ax 2 + bx + c = 0.

Užitečné rovnosti: x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2, (1)

x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2) (x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 + x 2) ((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2), (2)

(x 1 – x 2) 2 = (x 1 + x 2) 2 – 4x 1 x 2, (3)

(5)

5.10.

(a – 1)x 2 – 2ax + a +1 = 0 má: a) dva kladné kořeny; b) dva záporné kořeny; c) kořeny různých znaků?

Řešení. Rovnice je kvadratická, což znamená a ≠ 1. Podle Vietovy věty máme

x 1 + x 2 = 2a / (a ​​– 1), x 1 x 2 = (a + 1) / (a ​​– 1) .

Vypočítejme diskriminant D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 1) = 4.

a) Podle věty 1 má rovnice kladné kořeny, jestliže

D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 > 0, tzn. (a + 1) / (a ​​– 1) > 0, 2a / (a ​​– 1) > 0.

Proto a є (-1; 0).

b) Podle věty 1 má rovnice záporné kořeny, jestliže

D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 0, 2a / (a ​​​​– 1)

Proto a є (0; 1).

c) Podle věty 3 má rovnice kořeny různých znamének, jestliže x 1 x 2

(a + 1) / (a ​​– 1) Odpověď. a) pro a є (-1; 0) má rovnice kladné kořeny;

b) pro a є (0; 1) má rovnice záporné kořeny;

c) pro a є (-1; 1) má rovnice kořeny různých znamének.
5.11. Při jakých hodnotách parametru a je kvadratická rovnice

(a – 1)x 2 – 2(a +1)x + a +3 = 0 má: a) dva kladné kořeny; b) dva záporné kořeny; c) kořeny různých znaků?

5. 12. Bez řešení rovnice 3x 2 – (b + 1)x – 3b 2 +0 najděte x 1 -1 + x 2 -1, kde x 1, x 2 jsou kořeny rovnice.

5.13. Pro jaké hodnoty parametru a má rovnice x 2 – 2(a + 1)x + a 2 = 0 kořeny, jejichž součet druhých mocnin je 4.

Test.
Možnost 1. 1. Řešte rovnici (a 2 +4a)x = 2a + 8.

2. Vyřešte nerovnici (v + 1)x ≥ (v 2 – 1).

3. Pro jaké hodnoty parametru a platí rovnice

x 2 – (2a +1)x + a 2 + a – 6 = 0 má: a) dva kladné kořeny; b) dva záporné kořeny; c) kořeny různých znaků?

Možnost 2. 1. Řešte rovnici (a 2 – 2a)x = 3a.

2. Vyřešte nerovnici (a + 2)x ≤ a 2 – 4.

3. Při jakých hodnotách parametru v rovnici

x 2 – (2b – 1)x + b 2 – t – 2 = 0 má: a) dva kladné kořeny; b) dva záporné kořeny; c) kořeny různých znaků?

Literatura.

1. 
   V.V. Mochalov, V.V. Silvestrov. Rovnice a nerovnice s parametry. Ch.: Nakladatelství ChSU, 2004. – 175 s.
2. 
   Yastrebinsky G.A. Problémy s parametry. M.: Vzdělávání, 1986, - 128 s.
3. 
   Bašmakov M.I. Algebra a počátky analýzy. Učebnice pro 10 – 11 ročníků střední školy. M.: Vzdělávání, 1991. – 351 s.
4. 
   T. Pešková. První úvod do parametrů v rovnicích. Vzdělávací a metodické noviny „Matematika“. č. 36, 1999.
5. 
   T. Kosjakové. Řešení lineárních a kvadratických nerovnic obsahujících parametry. 9. třída Naučné a metodické noviny "Matematika" č. 25 - 26, č. 27 - 28. 2004.
6. 
   T. Goršenina. Problémy s parametrem. 8. třída Vzdělávací a metodické noviny „Matematika“. č. 16. 2004.
7. 
   Sh. Čtvercové trojčleny a parametry. Vzdělávací a metodické noviny „Matematika“. č. 5. 1999.
8. 
   S. Neděljaeva. Vlastnosti řešení problémů s parametrem. Vzdělávací a metodické noviny „Matematika“. č. 34. 1999.

9. V.V. Loket Problémy s parametry. Lineární a kvadratické rovnice, nerovnice, soustavy. Vzdělávací a metodická příručka Moskva 2005.