Uno de los signos de un paralelogramo es que si dos lados de un cuadrilátero son iguales y paralelos, entonces dicho cuadrilátero es un paralelogramo. Es decir, si un cuadrilátero tiene dos lados iguales y paralelos, entonces los otros dos lados también resultan iguales y paralelos entre sí, ya que este hecho es definición y propiedad de un paralelogramo.
Por tanto, un paralelogramo sólo puede definirse por dos lados iguales y paralelos entre sí.
Esta característica de un paralelogramo puede formularse como un teorema y demostrarse. En este caso nos dan un cuadrilátero cuyos dos lados son iguales y paralelos entre sí. Es necesario demostrar que dicho cuadrilátero es un paralelogramo (es decir, sus otros dos lados son iguales y paralelos entre sí).
Sea el cuadrilátero dado ABCD y sus lados AB || CD y AB = CD.
Por condición, se nos da un cuadrilátero. No se dice nada sobre si es convexo o no (aunque sólo los cuadriláteros convexos pueden ser paralelogramos). Sin embargo, incluso en un cuadrilátero no convexo siempre hay una diagonal que lo divide en dos triángulos. Si esta es una diagonal AC, entonces obtenemos dos triángulos ABC y ADC. Si esta es la diagonal BD, entonces habrá ∆ABD y ∆BCD.
Digamos que obtenemos los triángulos ABC y ADC. Tienen un lado en común (diagonal AC), el lado AB de un triángulo es igual al lado CD del otro (por condición), el ángulo BAC es igual al ángulo ACD (que se encuentra transversalmente entre las líneas transversal y paralela). Esto significa ∆ABC = ∆ADC en dos lados y el ángulo entre ellos.
De la igualdad de los triángulos se deduce que sus otros lados y ángulos son respectivamente iguales. Pero el lado BC del triángulo ABC corresponde al lado AD del triángulo ADC, lo que significa BC = AD. El ángulo B corresponde al ángulo D, lo que significa ∠B = ∠D. Estos ángulos pueden ser iguales entre sí si BC || AD (dado que AB || CD, estas líneas se pueden combinar mediante traslación paralela, entonces ∠B se convertirá en ∠D cruzado, y su igualdad solo puede ocurrir si BC || AD).
Por definición, un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son iguales y paralelos entre sí.
Así, se demostró que si un cuadrilátero ABCD tiene lados AB y CD iguales y paralelos y la diagonal AC lo divide en dos triángulos, entonces su otro par de lados resultan iguales y paralelos.
Si el cuadrilátero ABCD se dividiera en dos triángulos por otra diagonal (BD), entonces se considerarían los triángulos ABD y BCD. Su igualdad se demostraría de manera similar a la anterior. Resultaría que BC = AD y ∠A = ∠C, lo que implicaría que BC || ANUNCIO.
Sign-ki pa-ral-le-lo-gram-ma
1. Definición y propiedades básicas de un paralelogramo.
Comencemos recordando la definición de para-ral-le-lo-grama.
Definición. Paralelogramo- what-you-rekh-gon-nick, que tiene cada dos lados pro-ti-falsos que son paralelos (ver Fig. 1).
Arroz. 1. Pa-ral-le-lo-grama
Recordemos propiedades básicas de pa-ral-le-lo-gram-ma:
Para poder utilizar todas estas propiedades, debe estar seguro de que la fi-gu-ra, de alguien -roy de quien estamos hablando, - par-ral-le-lo-gram. Para hacer esto, es necesario conocer hechos como los signos de pa-ral-le-lo-gram-ma. Estamos viendo los dos primeros ahora.
2. El primer signo de un paralelogramo.
Teorema. El primer signo de pa-ral-le-lo-gram-ma. Si en un cuatro carbones los dos lados opuestos son iguales y paralelos, entonces este apodo de cuatro carbones: paralelogramo. 
.
Arroz. 2. El primer signo de pa-ral-le-lo-gram-ma
Prueba. Pongamos el dia-go-nal en el cuatro-reh-coal-ni-ka (ver Fig. 2), lo dividió en dos tri-coal-ni-ka. Anotemos lo que sabemos sobre estos triángulos:
según el primer signo de la igualdad de los triángulos.
De la igualdad de los triángulos indicados se deduce que, por el signo de paralelismo de las rectas al cruzar ch-nii, sus s-ku-shchi. Tenemos eso:
Do-ka-za-pero.
3. Segundo signo de un paralelogramo
Teorema. El segundo signo es pa-ral-le-lo-gram-ma. Si en un cuádruple cada dos lados pro-ti-falso son iguales, entonces este cuádruple es paralelogramo. 
.
Arroz. 3. El segundo signo de pa-ral-le-lo-gram-ma
Prueba. Colocamos la diagonal en las cuatro esquinas (ver Fig. 3), ella la divide en dos triángulos. Anotemos lo que sabemos sobre estos triángulos, según la forma de la teoría:
según el tercer signo de la igualdad de los triángulos.
De la igualdad de los triángulos se deduce que, por el signo de las rectas paralelas, al cruzarlas s-ku-shchey. Comamos:
par-ral-le-lo-grama por definición. Q.E.D.
Do-ka-za-pero.
4. Un ejemplo del uso de la primera característica del paralelogramo.
Veamos un ejemplo del uso de signos de pa-ral-le-lo-grama.
Ejemplo 1. En el bulto no hay carbones Encuentre: a) las esquinas de los carbones; b) cien ro-pozo.
Solución. Ilustración Fig. 4.
pa-ral-le-lo-gram según el primer signo de pa-ral-le-lo-gram-ma.
A. 
por la propiedad de un par-ral-le-lo-gramo sobre ángulos pro-ti-falsos, por la propiedad de un par-ral-le-lo-gramo sobre la suma de ángulos, cuando está acostado de lado.
B. 
por la naturaleza de la igualdad de los lados pro-falsos.
signo re-tiy pa-ral-le-lo-gram-ma
5. Repaso: Definición y propiedades de un paralelogramo
recordemos eso paralelogramo- Esta es una esquina de cuatro cuadrados, que tiene lados pro-ti-falsos en pares. Es decir, si - par-ral-le-lo-gramo, entonces 
(ver figura 1).
El paralelo-le-lo-gramo tiene una serie de propiedades: los ángulos opuestos son iguales (), los ángulos opuestos -somos iguales ( 
). Además, el dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram-ma en el punto de re-se-che-niya se divide según la suma de los ángulos, at-le- presionando hacia cualquier lado pa-ral-le-lo-gram-ma, igual, etc.
Pero para aprovechar todas estas propiedades, es necesario estar absolutamente seguro de que el r-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. Para ello, existen signos de par-ral-le-lo-gram: es decir, aquellos hechos de los que se puede sacar una conclusión univaluada , que lo que-rekh-coal-nick es un par-ral- le-lo-gram-mamá. En la lección anterior ya vimos dos señales. Ahora estamos viendo la tercera vez.
6. El tercer signo de un paralelogramo y su demostración.
Si en un cuatro carbón hay un dia-go-on en el punto de re-se-che-niya que hacen por lams, entonces el cuatro-tú Roh-coal-nick dado es un pa-ral-le -lo-gram-mamá.
Dado:
¿Qué-eres-carbón-nick? ; .
Probar:
Paralelogramo.
Prueba:
Para probar este hecho, es necesario mostrar el paralelismo de las partes del par-le-lo-grama. Y el paralelismo de líneas rectas se logra con mayor frecuencia mediante la igualdad de los ángulos internos transversales en estos ángulos rectos. Así, aquí tienes el siguiente método para obtener el tercer signo de par-ral -le-lo-gram-ma: mediante la igualdad de triángulos 
.
Veamos cómo estos triángulos son iguales. De hecho, de la condición se sigue: . Además, como los ángulos son verticales, son iguales. Eso es:
(primer signo de igualdadtri-carbón-ni-cov- a lo largo de dos lados y la esquina entre ellos).
De la igualdad de triángulos: (ya que los ángulos transversales internos en estas rectas y separadores son iguales). Además, de la igualdad de triángulos se deduce que . Esto significa que entendemos que en cuatro carbones doscientos son iguales y paralelos. Según el primer signo, pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.
Do-ka-za-pero.
7. Ejemplo de problema sobre el tercer signo de un paralelogramo y generalización.
Veamos el ejemplo del uso del tercer signo de pa-ral-le-lo-grama.
Ejemplo 1
Dado:
- paralelogramo; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (ver Fig. 2).
Probar:- pa-ral-le-lo-grama.
Prueba:
Esto significa que en los cuatro carbones-no-dia-go-on-si en el punto de re-se-che-niya lo hacen-by-lam. Por el tercer signo de pa-ral-le-lo-gram, se deduce de esto que - pa-ral-le-lo-gram.
Do-ka-za-pero.
Si analiza el tercer signo de par-ral-le-lo-grama, entonces puede notar que este signo es con-vet- tiene la propiedad de un par-ral-le-lo-grama. Es decir, el hecho de que el dia-go-na-li de-la-xia no sea solo una propiedad del par-le-lo-gram, y su distintivo, kha-rak-te-ri-sti-che- propiedad, por la cual se puede distinguir del conjunto what-you-rekh-coal-ni-cov.
FUENTE
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma
http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg
http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg
http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif
Este es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos en pares.
Propiedad 1. Cualquier diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales.
Prueba . Según la característica II (ángulos transversales y lado común).
El teorema está demostrado..
Propiedad 2. en un paralelogramo lados opuestos son iguales, los ángulos opuestos son iguales.
Prueba .
Asimismo,
El teorema está demostrado..
Propiedad 3. En un paralelogramo, las diagonales son bisecadas por el punto de intersección.
Prueba .
El teorema está demostrado..
Propiedad 4. La bisectriz de un paralelogramo, que cruza el lado opuesto, lo divide en un triángulo isósceles y un trapezoide. (Cap. palabras - vértice - ¿dos isósceles? -ka).
Prueba .
El teorema está demostrado..
Propiedad 5. En un paralelogramo, un segmento de recta con extremos en lados opuestos que pasa por el punto de intersección de las diagonales es bisecado por este punto.
Prueba .
El teorema está demostrado..
Propiedad 6. El ángulo entre las altitudes que caen desde el vértice de un ángulo obtuso de un paralelogramo es igual a un ángulo agudo de un paralelogramo.
Prueba .
El teorema está demostrado..
Propiedad 7. La suma de los ángulos de un paralelogramo adyacente a un lado es 180°.
Prueba .
El teorema está demostrado..
Construir la bisectriz de un ángulo. Propiedades de la bisectriz de un triángulo.
1) Construir un rayo arbitrario DE.
2) En un rayo dado, construye un círculo arbitrario con centro en el vértice y el mismo
con el centro al inicio del rayo construido.
3) F y G - puntos de intersección del círculo con los lados de un ángulo dado, H - punto de intersección del círculo con el rayo construido
Construya un círculo con centro en el punto H y radio igual a FG.
5) I es el punto de intersección de los círculos de la viga construida.
6) Dibuja una línea recta que pase por el vértice y I.
IDH es el ángulo requerido.
)
Propiedad 1. La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide al lado opuesto en proporción a los lados adyacentes.
Prueba . Sean x, y segmentos del lado c. Continuamos el rayo BC. En el rayo BC trazamos desde C un segmento CK igual a AC.
