En muchos casos, la población estadística de gatos incluye una gran o incluso más número infinito opción, que se encuentra más a menudo con variación continua, es prácticamente imposible y poco práctico formar un grupo de unidades para cada opción. En tales casos, combinar unidades estadísticas en grupos sólo es posible sobre la base de un intervalo, es decir, un grupo que tiene ciertos límites para los valores de una característica variable. Estos límites están indicados por dos números que indican los límites superior e inferior de cada grupo. El uso de intervalos conduce a la formación de una serie de distribución de intervalos.

rad de intervalo es una serie de variaciones, cuyas variantes se presentan en forma de intervalos.

Se puede formar una serie de intervalos con intervalos iguales y desiguales, mientras que la elección del principio para construir esta serie depende principalmente del grado de representatividad y conveniencia de la población estadística. Si la población es lo suficientemente grande (representativa) en términos del número de unidades y es completamente homogénea en su composición, entonces es aconsejable basar la formación de una serie de intervalos en la igualdad de intervalos. Por lo general, utilizando este principio, se forma una serie de intervalos para aquellas poblaciones donde el rango de variación es relativamente pequeño, es decir, las opciones máxima y mínima suelen diferir entre sí varias veces. En este caso, el valor de intervalos iguales se calcula mediante la relación entre el rango de variación de una característica y un número determinado de intervalos formados. para determinar igual Y intervalo, se puede utilizar la fórmula de Sturgess (generalmente con una pequeña variación de las características del intervalo y una gran cantidad de unidades en la población estadística):

donde x yo - valor de intervalo igual; X max, X min: opciones máximas y mínimas en un agregado estadístico; norte . - el número de unidades en total.

Ejemplo. Es aconsejable calcular el tamaño de un intervalo igual según la densidad de contaminación radiactiva con cesio: 137 en 100 asentamientos del distrito de Krasnopolsky de la región de Mogilev, si se sabe que la opción inicial (mínima) es igual a I km. / km 2, la final ( máximo) - 65 ki/km 2. Usando la fórmula 5.1. obtenemos:

Por lo tanto, para formar una serie de intervalos con a intervalos iguales Según la densidad de contaminación por cesio: 137 localidades de la región de Krasnopolsky, el tamaño de un intervalo igual puede ser de 8 ki/km 2.

En condiciones de distribución desigual, es decir cuando las opciones máxima y mínima son cientos de veces, al formar una serie de intervalos, se puede aplicar el principio desigual intervalos. Los intervalos desiguales suelen aumentar a medida que avanzamos hacia valores mayores de la característica.

La forma de los intervalos puede ser cerrada o abierta. Cerrado Es habitual llamar intervalos que tienen límites tanto superior como inferior. Abierto los intervalos tienen un solo límite: en el primer intervalo hay un límite superior, en el último hay un límite inferior.

Evaluación serie de intervalos, especialmente a intervalos desiguales, es aconsejable realizar teniendo en cuenta densidad de distribución, La forma más sencilla de calcular cuál es la relación entre la frecuencia local (o frecuencia) y el tamaño del intervalo.

Para formar prácticamente una serie de intervalos, puede utilizar el diseño de tabla. 5.3.

Tabla 5.3. El procedimiento para formar una serie de intervalos. asentamientos Distrito de Krasnopolsky según la densidad de contaminación radiactiva con cesio -137

La principal ventaja de la serie de intervalos es su máximo. compacidad. al mismo tiempo, en la serie de distribución de intervalos, las variantes individuales de la característica están ocultas en los intervalos correspondientes

Al representar gráficamente una serie de intervalos en un sistema de coordenadas rectangulares, los límites superiores de los intervalos se trazan en el eje de abscisas y las frecuencias locales de la serie se trazan en el eje de ordenadas. La construcción gráfica de una serie de intervalos se diferencia de la construcción de un polígono de distribución en que cada intervalo tiene límites superior e inferior, y dos abscisas corresponden a un valor de ordenada. Por lo tanto, en la gráfica de una serie de intervalos no se marca un punto, como en un polígono, sino una línea recta que conecta dos puntos. Estas líneas horizontales se conectan entre sí mediante líneas verticales y se obtiene la figura de un polígono escalonado, que comúnmente se llama histograma distribución (Fig. 5.3).

En construcción grafica serie de intervalos sobre una población estadística suficientemente grande, el histograma se aproxima simétrico forma de distribución. En aquellos casos donde la población estadística es pequeña, por regla general, asimétrico gráfico de barras.

En algunos casos, es aconsejable formar una serie de frecuencias acumuladas, es decir, acumulativo fila. Se puede formar una serie acumulativa sobre la base de una serie de distribución discreta o de intervalo. Al representar gráficamente una serie acumulativa en un sistema de coordenadas rectangulares, las variantes se trazan en el eje de abscisas y las frecuencias acumuladas (frecuencias) se trazan en el eje de ordenadas. La línea curva resultante generalmente se llama acumulativo distribución (Fig. 5.4).

Formación y representación gráfica. varios tipos La serie de variación contribuye a un cálculo simplificado de las principales características estadísticas, que se analizan en detalle en el tema 6, ayuda a comprender mejor la esencia de las leyes de distribución de la población estadística. Análisis serie de variación adquiere especial importancia en los casos en los que es necesario identificar y rastrear la relación entre opciones y frecuencias (frecuencias). Esta dependencia se manifiesta en el hecho de que el número de casos por opción está en cierta manera relacionado con el tamaño de esta opción, es decir con valores crecientes de la característica variable, las frecuencias (frecuencias) de estos valores experimentan ciertos cambios sistemáticos. Esto significa que los números en la columna de frecuencia (frecuencia) no fluctúan caóticamente, sino que cambian en una determinada dirección, en un determinado orden y secuencia.

Si las frecuencias muestran cierta sistematicidad en sus cambios, entonces esto significa que estamos en camino de identificar un patrón. El sistema, el orden y la secuencia en frecuencias cambiantes son un reflejo. razones comunes, condiciones generales, característico de toda la población.

No se debe suponer que el patrón de distribución siempre se presenta en forma prefabricada. Hay muchas series de variaciones en las que las frecuencias saltan de forma extraña, a veces aumentando y otras disminuyendo. En tales casos, es aconsejable averiguar con qué tipo de distribución se enfrenta el investigador: o esta distribución no tiene ningún patrón inherente o su naturaleza aún no ha sido revelada: el primer caso es raro, pero el segundo Este caso es un fenómeno bastante común y muy extendido.

Por lo tanto, al formar una serie de intervalos, el número total de unidades estadísticas puede ser pequeño y cada intervalo contiene una pequeña cantidad de variantes (por ejemplo, 1 a 3 unidades). En tales casos, no se puede contar con la manifestación de ningún patrón. Para que se obtenga un resultado natural basado en observaciones aleatorias, es necesario que la ley entre en vigor. números grandes, es decir. de modo que para cada intervalo no habría varias, sino decenas y cientos de unidades estadísticas. Para ello, debemos intentar aumentar el número de observaciones tanto como sea posible. Esto es lo más la direccion correcta Detectar patrones en procesos masivos. Si no parece verdadera oportunidad Si se aumenta el número de observaciones, se puede identificar un patrón reduciendo el número de intervalos en la serie de distribución. Al reducir el número de intervalos en una serie de variación, aumenta el número de frecuencias en cada intervalo. Esto significa que las fluctuaciones aleatorias de cada unidad estadística se superponen entre sí, "suavizan", convirtiéndose en un patrón.

La formación y construcción de series de variación nos permite obtener sólo una imagen general y aproximada de la distribución de la población estadística. Por ejemplo, un histograma sólo en forma aproximada expresa la relación entre los valores de una característica y sus frecuencias (frecuencias). Por lo tanto, las series de variación son esencialmente solo la base para un estudio más profundo de la regularidad interna de la estática. distribución.

PREGUNTAS DE EXAMEN PARA EL TEMA 5

1. ¿Qué es la variación? ¿Qué causa la variación en un rasgo en una población estadística?

2. ¿Qué tipos de características variables pueden ocurrir en las estadísticas?

3. ¿Qué es una serie de variación? ¿Qué tipos de series de variación puede haber?

4. ¿Qué es una serie clasificatoria? ¿Cuáles son sus ventajas y desventajas?

5. ¿Qué es una serie discreta y cuáles son sus ventajas y desventajas?

6. ¿Cuál es el procedimiento para formar una serie de intervalos, cuáles son sus ventajas y desventajas?

7. ¿Qué es una representación gráfica de series de distribución de intervalos discretas y clasificadas?

8. ¿Qué es el acumulado de distribución y qué lo caracteriza?

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TAREA1

La siguiente información está disponible sobre salarios empleados de la empresa:

Tabla 1.1

	El monto de los salarios en términos convencionales. guarida. unidades

Se requiere construir una serie de distribución de intervalos para encontrar;

1) salario medio;

2) desviación lineal promedio;

4) desviación estándar;

5) rango de variación;

6) coeficiente de oscilación;

7) coeficiente lineal variaciones;

8) coeficiente de variación simple;

10) mediana;

11) coeficiente de asimetría;

12) índice de asimetría de Pearson;

13) coeficiente de curtosis.

Solución

Como usted sabe, las opciones (valores reconocidos) están dispuestas en orden ascendente para formar series de variación discreta. Con un gran número opción (más de 10), incluso en el caso de variación discreta, se construyen series de intervalos.

Si una serie de intervalos se compila con intervalos pares, entonces el rango de variación se divide por el número especificado de intervalos. Además, si el valor resultante es entero e inequívoco (lo cual es raro), se supone que la longitud del intervalo es igual a este número. En otros casos producido redondeo Necesariamente V lado aumentar, Entonces a el último dígito que quedaba era par. Obviamente, a medida que aumenta la duración del intervalo, la rango de variación por una cantidad igual al producto del número de intervalos: por la diferencia entre la duración calculada y la inicial del intervalo

A) Si la magnitud de la expansión del rango de variación es insignificante, entonces se suma al valor más grande o se resta del valor más pequeño de la característica;

b) Si la magnitud de la expansión del rango de variación es notable, entonces, para que el centro del rango no se desplace, se divide aproximadamente por la mitad, sumando simultáneamente al mayor y restando de valores más bajos firmar.

Si se compila una serie de intervalos con intervalos desiguales, entonces el proceso se simplifica, pero aún así la longitud de los intervalos debe expresarse como un número con el último dígito par, lo que simplifica enormemente los cálculos posteriores de características numéricas.

30 es el tamaño de la muestra.

Creemos una serie de distribución de intervalos usando la fórmula de Sturges:

K = 1 + 3,32*log norte,

K - número de grupos;

K = 1 + 3,32*lg 30 = 5,91=6

Encontramos el rango del atributo - salarios de los trabajadores de la empresa - (x) usando la fórmula

R= xmax - xmin y dividir por 6; R= 195-112=83

Entonces la duración del intervalo será yo carril=83:6=13.83

El comienzo del primer intervalo será 112. Sumando a 112 yo ras = 13,83, obtenemos su valor final 125,83, que también es el comienzo del segundo intervalo, etc. final del quinto intervalo - 195.

Al encontrar frecuencias, uno debe guiarse por la regla: "si el valor de una característica coincide con el límite del intervalo interno, entonces debe atribuirse al intervalo anterior".

Obtenemos una serie de intervalos de frecuencias y frecuencias acumuladas.

Tabla 1.2

Por tanto, 3 empleados tienen un salario. tarifa de 112 a 125,83 unidades monetarias convencionales. salario más alto tarifa de 181,15 a 195 unidades monetarias convencionales. sólo 6 empleados.

Para calcular las características numéricas transformamos la serie de intervalos en una serie discreta, tomando como opción la mitad de los intervalos:

Tabla 1.3

							14131,83

Usando la fórmula de la media aritmética ponderada

unidades monetarias convencionales

Desviación lineal promedio:

donde xi es el valor de la característica en estudio para la i-ésima unidad de la población,

Valor medio del rasgo estudiado.

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Unidades monetarias convencionales

Desviación Estándar:

Dispersión:

Rango relativo de variación (coeficiente de oscilación): c= R:,

Desviación lineal relativa: q = L:

El coeficiente de variación: V = y:

El coeficiente de oscilación muestra la fluctuación relativa de los valores extremos de una característica alrededor de la media aritmética, y el coeficiente de variación caracteriza el grado y la homogeneidad de la población.

c= R: = 83 / 159,485*100% = 52,043%

Así, la diferencia entre los valores extremos es un 5,16% (=94,84%-100%) menor que el salario medio de los empleados de la empresa.

q = L: = 17,765/ 159,485*100% = 11,139%

V = y: = 21,704/ 159,485*100% = 13,609%

El coeficiente de variación es inferior al 33%, lo que indica una variación débil de los salarios de los trabajadores de la empresa, es decir. que el valor medio es una característica típica de los salarios de los trabajadores (la población es homogénea).

En series de distribución de intervalos moda determinado por la fórmula -

Frecuencia del intervalo modal, es decir, el intervalo que contiene el mayor número de opciones;

Frecuencia del intervalo que precede al modal;

Frecuencia del intervalo que sigue al modal;

Longitud del intervalo modal;

El límite inferior del intervalo modal.

Para determinar medianas en la serie de intervalos usamos la fórmula

¿Dónde está la frecuencia acumulada (acumulada) del intervalo anterior a la mediana?

Límite inferior del intervalo mediano;

Frecuencia del intervalo mediano;

Longitud del intervalo mediano.

Intervalo mediano- un intervalo cuya frecuencia acumulada (=3+3+5+7) excede la mitad de la suma de frecuencias - (153,49; 167,32).

Calculemos la asimetría y la curtosis, para lo cual crearemos una nueva hoja de trabajo:

Tabla 1.4

Datos fácticos	Datos de cálculo

Calculemos el momento de tercer orden.

Por lo tanto, la asimetría es igual a

Dado que 0,3553 · 0,25, la asimetría se considera significativa.

Calculemos el momento de cuarto orden.

Por tanto, la curtosis es igual a

Porque< 0, то эксцесс является плосковершинным.

El grado de asimetría se puede determinar utilizando el coeficiente de asimetría de Pearson (As): oscilación valor de muestra rotación

¿Dónde está la media aritmética de la serie de distribución? -- moda; -- Desviación Estándar.

Con una distribución simétrica (normal) = Mo, por lo tanto, el coeficiente de asimetría es cero. Si As > 0, entonces hay más moda, por lo tanto, hay asimetría hacia la derecha.

Como si< 0, то menos moda Por tanto, existe asimetría por el lado izquierdo. El coeficiente de asimetría puede variar de -3 a +3.

La distribución no es simétrica, sino que tiene asimetría hacia la izquierda.

TAREA 2

¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para que con probabilidad 0.954 el error muestral no supere 0.04 si con base en encuestas anteriores se sabe que la varianza es 0.24?

Solución

El tamaño de la muestra para el muestreo no repetitivo se calcula mediante la fórmula:

t - coeficiente de confianza (con una probabilidad de 0,954 es igual a 2,0; determinado a partir de tablas de integrales de probabilidad),

y2=0,24 - desviación estándar;

10.000 personas - tamaño de la muestra;

Dx =0,04 - error máximo de la media muestral.

Con una probabilidad del 95,4%, se puede afirmar que el tamaño de la muestra, asegurando un error relativo no superior a 0,04, debe ser de al menos 566 familias.

TAREA3

Se dispone de los siguientes datos sobre los ingresos de las principales actividades de la empresa, en millones de rublos.

Para analizar una serie de dinámicas, determine los siguientes indicadores:

1) cadena y básico:

Aumentos absolutos;

Tasas de crecimiento;

Tasa de crecimiento;

2) promedio

Nivel de fila dinámica;

Aumento absoluto;

Tasa de crecimiento;

Tasa de incremento;

3) valor absoluto de aumento del 1%.

Solución

1. Aumento absoluto (Dy)- esta es la diferencia entre el siguiente nivel de la serie y el anterior (o básico):

cadena: DN = yi - yi-1,

básico: DN = yi - y0,

уi - nivel de fila,

i - número de nivel de fila,

y0 - nivel del año base.

2. Tasa de crecimiento (Tu) es la relación entre el nivel posterior de la serie y el anterior (o año base 2001):

cadena: Tu = ;

básico: Tu =

3. Tasa de crecimiento (TD) es la relación entre el crecimiento absoluto y el nivel anterior, expresada en %.

cadena: Tu = ;

básico: Tu =

4. Valor absoluto del 1% de incremento (A)- esta es la relación entre el crecimiento absoluto de la cadena y la tasa de crecimiento, expresada en%.

A =

Nivel de fila promedio calculado utilizando la fórmula de la media aritmética.

Nivel medio de ingresos de las actividades principales durante 4 años:

Incremento absoluto promedio calculado por la fórmula:

donde n es el número de niveles de la serie.

En promedio, durante el año los ingresos de las actividades principales aumentaron en 3,333 millones de rublos.

Tasa media de crecimiento anual calculado usando la fórmula de la media geométrica:

уn es el nivel final de la fila,

y0- Primer nivel fila.

Tu = 100% = 102,174%

Tasa media de crecimiento anual calculado por la fórmula:

¿T? = Tu - 100% = 102,74% - 100% = 2,74%.

Así, en promedio durante el año, los ingresos de las principales actividades de la empresa aumentaron un 2,74%.

TAREASA4

Calcular:

1. Índices de precios individuales;

2. Índice general de volumen de negocios comercial;

3. Índice de precios agregados;

4. Índice agregado del volumen físico de ventas de bienes;

5. Desglosar el aumento absoluto en el valor del volumen de negocios comercial por factores (debido a cambios en los precios y el número de bienes vendidos);

6. Sacar breves conclusiones sobre todos los indicadores obtenidos.

Solución

1. Según la condición, los índices de precios individuales de los productos A, B, C ascendieron a -

ipA=1,20; iрБ=1,15; iрВ=1,00.

2. Calcularemos el índice general de facturación comercial mediante la fórmula:

Yo w = = 1470/1045*100% = 140,67%

El volumen de negocios comercial aumentó un 40,67% (140,67%-100%).

En promedio, los precios de las materias primas aumentaron un 10,24%.

El monto de los costos adicionales para los compradores por los aumentos de precios:

w(p) = ? p1q1-? p0q1 = 1470 - 1333,478 = 136,522 millones de rublos.

Como resultado del aumento de los precios, los compradores tuvieron que gastar 136,522 millones de rublos adicionales.

4. Índice general de volumen físico de facturación comercial:

El volumen físico del volumen de negocios comercial aumentó un 27,61%.

5. Determinemos el cambio general en el volumen de negocios comercial en el segundo período en comparación con el primero:

w = 1470-1045 = 425 millones de rublos.

debido a cambios de precios:

W(p) = 1470 - 1333,478 = 136,522 millones de rublos.

debido a cambios en el volumen físico:

w(q) = 1333,478 - 1045 = 288,478 millones de rublos.

La facturación de mercancías aumentó un 40,67%. Los precios promedio de tres bienes aumentaron un 10,24%. El volumen físico del volumen de negocios comercial aumentó un 27,61%.

En general, el volumen de ventas aumentó en 425 millones de rublos, incluso debido al aumento de los precios en 136,522 millones de rublos y debido al aumento en el volumen de ventas en 288,478 millones de rublos.

TAREA5

Los siguientes datos están disponibles para 10 fábricas en una industria.

Número de planta	Producción de producto, miles de unidades. (X)

Basado en los datos dados:

I) confirmar las disposiciones del análisis lógico sobre la presencia de una correlación lineal entre la característica del factor (volumen del producto) y la característica resultante (consumo de electricidad), trazar los datos iniciales en el gráfico del campo de correlación y sacar conclusiones sobre la forma de la relación, indicar su fórmula;

2) determinar los parámetros de la ecuación de conexión y trazar la línea teórica resultante en la gráfica del campo de correlación;

3) calcular el coeficiente de correlación lineal,

4) explicar el significado de los indicadores obtenidos en los párrafos 2) y 3);

5) utilizando el modelo resultante, hacer un pronóstico sobre el posible consumo de energía en una planta con un volumen de producción de 4,5 mil unidades.

Solución

Los datos del atributo, el volumen de producción (factor), se denotarán por xi; signo - consumo de electricidad (resultado) a través de yi; Los puntos con coordenadas (x, y) se trazan en el campo de correlación OXY.

Los puntos del campo de correlación están ubicados a lo largo de una determinada línea recta. Por tanto, la relación es lineal, buscaremos una ecuación de regresión en forma de recta Уx=ax+b. Para encontrarlo utilizamos el sistema de ecuaciones normales:

Creemos una tabla de cálculo.

Usando los promedios encontrados, componemos un sistema y lo resolvemos con respecto a los parámetros a y b:

Entonces, obtenemos la ecuación de regresión para y sobre x: = 3,57692 x + 3,19231

Construimos una línea de regresión en el campo de correlación.

Sustituyendo los valores de x de la columna 2 en la ecuación de regresión, obtenemos los calculados (columna 7) y los comparamos con los datos de y, que se reflejan en la columna 8. Por cierto, la exactitud de los cálculos se confirma mediante la coincidencia de los valores medios de y y.

Coeficientecorrelación lineal evalúa la cercanía de la relación entre las características x e y y se calcula utilizando la fórmula

El coeficiente angular de regresión directa a (en x) caracteriza la dirección del identificadodependenciassignos: para a>0 son iguales, para a<0- противоположны. es absoluto valor: una medida del cambio en la característica resultante cuando la característica del factor cambia en una unidad de medida.

El término libre de regresión directa revela la dirección y su valor absoluto es una medida cuantitativa de la influencia de todos los demás factores sobre la característica resultante.

Si< 0, entonces el recurso del factor característico de un objeto individual se utiliza con menos, y cuando>0 Conmayor eficiencia que el promedio para todo el conjunto de objetos.

Realicemos un análisis posterior a la regresión.

El coeficiente en x de la regresión directa es igual a 3.57692 >0, por lo tanto, con un aumento (disminución) en la producción, el consumo de electricidad aumenta (disminuye). Aumento de la producción en mil unidades. da un aumento medio en el consumo de electricidad de 3.57692 mil kWh.

2. El término libre de la regresión directa es igual a 3,19231, por lo tanto, la influencia de otros factores aumenta la fuerza del impacto de la producción del producto sobre el consumo de electricidad en medida absoluta en 3.19231 mil kWh.

3. El coeficiente de correlación de 0,8235 revela una dependencia muy estrecha del consumo de electricidad de la producción del producto.

Según la ecuación. Modelo de regresión fácil hacer predicciones. Para ello, se sustituyen los valores de x (el volumen de producción) en la ecuación de regresión y se predice el consumo de electricidad. En este caso, los valores de x se pueden tomar no solo dentro de un rango determinado, sino también fuera de él.

Hagamos una previsión sobre el posible consumo de energía en una planta con un volumen de producción de 4,5 mil unidades.

3,57692*4,5 + 3,19231= 19,288 45 mil kWh.

LISTA DE FUENTES UTILIZADAS

1. Zakharenkov S.N. Estadísticas socioeconómicas: libro de texto y guía práctica. -Mn.: BSEU, 2002.

2. Efimova M.R., Petrova E.V., Rumyantsev V.N. Teoría general de la estadística. - M.: INFRA - M., 2000.

3. Eliseeva I.I. Estadísticas. - M.: Prospect, 2002.

4. Teoría general de la estadística / En general. ed. Equipo original Bashina, A.A. Espirina. - M.: Finanzas y Estadística, 2000.

5. Estadísticas socioeconómicas: educativas y prácticas. subsidio / Zakharenkov S.N. y otros - Mn.: Universidad Estatal de Ereván, 2004.

6. Estadísticas socioeconómicas: libro de texto. prestación. / Ed. Nesterovich S.R. - Manganeso: BSEU, 2003.

7. Teslyuk I.E., Tarlovskaya V.A., Estadísticas Terlizhenko N. - Minsk, 2000.

8. Kharchenko L.P. Estadísticas. - M.: INFRA-M, 2002.

9. Kharchenko L.P., Dolzhenkova V.G., Ionin V.G. Estadísticas. - M.: INFRA-M, 1999.

10. Estadísticas económicas / Ed. Yu.N. Ivanov - M., 2000.

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Un ejemplo de resolución de una prueba de estadística matemática.

Problema 1

Datos iniciales : los estudiantes de un grupo determinado formado por 30 personas aprobaron un examen en el curso "Informática". Las calificaciones recibidas por los estudiantes forman la siguiente serie de números:

I. Creemos una serie de variación.

	metro X	w X	metro X nak	w X nak
Total:

II. Representación gráfica de información estadística.

III. Características numéricas de la muestra.

1. Media aritmética

2. Media geométrica

3. Moda

4. Mediana

222222333333333 | 3 34444444445555

5. Variación de la muestra

7. Coeficiente de variación

8. Asimetría

9. Coeficiente de asimetría

10. Exceso

11. Coeficiente de curtosis

Problema 2

Datos iniciales : Los alumnos de algún grupo escribieron su prueba final. El grupo está formado por 30 personas. Los puntos obtenidos por los estudiantes forman la siguiente serie de números.

Solución

I. Dado que la característica adopta muchos valores diferentes, construiremos una serie de variación de intervalo para ella. Para hacer esto, primero establezca el valor del intervalo. h. Usemos la fórmula de Stanger

Creemos una escala de intervalo. En este caso tomaremos como límite superior del primer intervalo el valor determinado por la fórmula:

Determinamos los límites superiores de los intervalos posteriores utilizando la siguiente fórmula recurrente:

, Entonces

Terminamos de construir la escala de intervalo, ya que el límite superior del siguiente intervalo se ha vuelto mayor o igual que el valor máximo de muestra.
.

II. Visualización gráfica de series de variación de intervalo.

III. Características numéricas de la muestra.

Para determinar las características numéricas de la muestra, elaboraremos una tabla auxiliar.

Suma:

1. Media aritmética

2. Media geométrica

3. Moda

4. Mediana

10 11 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 |15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 18 19 19 20 20

5. Variación de la muestra

6. Desviación estándar de la muestra

7. Coeficiente de variación

8. Asimetría

9. Coeficiente de asimetría

10. Exceso

11. Coeficiente de curtosis

Problema 3

Condición : el valor de división de la escala del amperímetro es 0,1 A. Las lecturas se redondean a la división entera más cercana. Encuentre la probabilidad de que durante la lectura se cometa un error superior a 0,02 A.

Solución.

El error de redondeo de la muestra se puede considerar como una variable aleatoria. X, que se distribuye uniformemente en el intervalo entre dos divisiones enteras adyacentes. Densidad de distribución uniforme

Dónde
- longitud del intervalo que contiene posibles valores X; fuera de este intervalo
En este problema, la longitud del intervalo que contiene valores posibles es X, es igual a 0,1, por lo que

El error de lectura excederá 0,02 si está en el intervalo (0,02; 0,08). Entonces

Respuesta: R=0,6

Problema 4

Datos iniciales: Expectativa matemática y desviación estándar de una característica distribuida normalmente. X respectivamente igual a 10 y 2. Encuentre la probabilidad de que como resultado de la prueba X tomará el valor contenido en el intervalo (12, 14).

Solución.

Usemos la fórmula

Y frecuencias teóricas.

Solución

para x ella valor esperado M(X) y varianza D(X). Solución. Encontremos la función de distribución F(x) variable aleatoria... error de muestreo). vamos a componer variacional fila Ancho del intervalo será: Para cada valor fila Calculemos cuantos...

Solución: ecuación separable

Solución

En forma de Para encontrar el cociente soluciones ecuación no homogénea arreglemonos sistema Resolvamos el sistema resultante... ; +47; +61; +10; -8. Intervalo de construcción variacional fila. Dar estimaciones estadísticas del valor promedio...

Solución: Calculemos aumentos absolutos básicos y en cadena, tasas de crecimiento, tasas de crecimiento. Resumimos los valores obtenidos en la Tabla 1.

Solución

Volumen de producción. Solución: Media aritmética del intervalo variacional fila se calcula de la siguiente manera: para... Error de muestreo marginal con probabilidad 0,954 (t=2) será: Δ w = t*μ = 2*0.0146 = 0.02927 Definamos los límites...

Solución. Firmar

Solución

ACERCA DE Experiencia laboral cual y arreglado muestra. La experiencia laboral promedio de la muestra... de estos empleados y arreglado muestra. La duración promedio de la muestra... 1,16, nivel de significancia α = 0,05. Solución. variacional fila de esta muestra se ve así: 0,71...

Plan de estudios práctico en biología para los grados 10-11 Compilado por: Polikarpova S. V.

Laboral programa de entrenamiento

Los esquemas de cruce más simples" 5 L.r. " Solución Problemas genéticos elementales" 6 L.b. " Solución Problemas genéticos elementales" 7 L.r. "..., 110, 115, 112, 110. Componer variacional fila, dibujar variacional curva, encuentre el valor promedio de la característica...

Se construye una serie de variación discreta para características discretas.

Para construir una serie de variación discreta, es necesario realizar los siguientes pasos: 1) organizar las unidades de observación en orden creciente del valor estudiado de la característica,

2) determinar todos los valores posibles del atributo x i , organizarlos en orden ascendente,

El valor del atributo, i .

frecuencia del valor del atributo y denotar F i . La suma de todas las frecuencias de una serie es igual al número de elementos de la población que se estudia.

Ejemplo 1 .

Lista de calificaciones recibidas por los estudiantes en los exámenes: 3; 4; 3; 5; 4; 2; 2; 4; 4; 3; 5; 2; 4; 5; 4; 3; 4; 3; 3; 4; 4; 2; 2; 5; 5; 4; 5; 2; 3; 4; 4; 3; 4; 5; 2; 5; 5; 4; 3; 3; 4; 2; 4; 4; 5; 4; 3; 5; 3; 5; 4; 4; 5; 4; 4; 5; 4; 5; 5; 5.

Aquí está el número X - calificaciónes una variable aleatoria discreta y la lista resultante de estimaciones esdatos estadísticos (observables) .

Organizar las unidades de observación en orden ascendente del valor característico estudiado:

2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5.

2) determinar todos los valores posibles del atributo x i, ordenarlos en orden ascendente:

En este ejemplo, todas las estimaciones se pueden dividir en cuatro grupos con los siguientes valores: 2; 3; 4; 5.

El valor de una variable aleatoria correspondiente a un grupo particular de datos observados se llama El valor del atributo, opción (opción) y designar x i .

Un número que muestra cuántas veces ocurre el valor correspondiente de una característica en varias observaciones se llama frecuencia del valor del atributo y denotar F i .

Para nuestro ejemplo

la puntuación 2 ocurre - 8 veces,

la puntuación 3 ocurre - 12 veces,

la puntuación 4 ocurre - 23 veces,

La puntuación 5 ocurre - 17 veces.

Hay 60 valoraciones en total.

4) escriba los datos recibidos en una tabla de dos filas (columnas): x i y f i.

Con base en estos datos, es posible construir una serie de variación discreta.

Serie de variación discreta – esta es una tabla en la que los valores que ocurren de la característica en estudio se indican como valores individuales en orden ascendente y sus frecuencias

1. Construcción de una serie de variación de intervalo.

Además de las series variacionales discretas, a menudo se encuentra un método de agrupación de datos, como una serie variacional de intervalo.

Se construye una serie de intervalos si:

el signo tiene un carácter continuo de cambio;

Había muchos valores discretos (más de 10)

las frecuencias de valores discretos son muy pequeñas (no excedan de 1 a 3 con un número relativamente grande de unidades de observación);

muchos valores discretos de una característica con las mismas frecuencias.

Una serie de variación de intervalo es una forma de agrupar datos en forma de tabla que tiene dos columnas (los valores de la característica en forma de intervalo de valores y la frecuencia de cada intervalo).

A diferencia de serie discreta los valores de un atributo de serie de intervalo no están representados por valores individuales, sino por un intervalo de valores ("de - a").

El número que muestra cuántas unidades de observación cayeron en cada intervalo seleccionado se llama frecuencia del valor del atributo y denotar F i . La suma de todas las frecuencias de una serie es igual al número de elementos (unidades de observación) de la población que se estudia.

Si una unidad tiene un valor característico igual a limite superior intervalo, entonces debe asignarse al siguiente intervalo.

Por ejemplo, un niño con una altura de 100 cm caerá en el segundo intervalo y no en el primero; y un niño con una altura de 130 cm caerá en el último intervalo y no en el tercero.

Con base en estos datos, se puede construir una serie de variación de intervalo.

Cada intervalo tiene un límite inferior (xn), un límite superior (xv) y un ancho de intervalo ( i).

El límite del intervalo es el valor del atributo que se encuentra en el límite de dos intervalos.

altura de los niños (cm)	altura de los niños (cm)			cantidad de niños
más de 130

Si un intervalo tiene un límite superior e inferior, entonces se llama intervalo cerrado. Si un intervalo tiene solo un límite inferior o solo superior, entonces es: intervalo abierto. Sólo se puede abrir el primer o el último intervalo. En el ejemplo anterior, el último intervalo está abierto.

Ancho del intervalo (i) – la diferencia entre los límites superior e inferior.

i = x norte - x en

Se supone que el ancho del intervalo abierto es igual al ancho del intervalo cerrado adyacente.

altura de los niños (cm)		cantidad de niños	Ancho del intervalo (i)
	para cálculos 130+20=150		20 (porque el ancho del intervalo cerrado adyacente es 20)

Todas las series de intervalos se dividen en series de intervalos con intervalos iguales y series de intervalos con intervalos desiguales. . En filas espaciadas con intervalos iguales, el ancho de todos los intervalos es el mismo. En series de intervalos con intervalos desiguales, el ancho de los intervalos es diferente.

En el ejemplo considerado, una serie de intervalos con intervalos desiguales.

Si la variable aleatoria en estudio es continua, entonces la clasificación y agrupación de los valores observados a menudo no permite identificar rasgos de personaje variando sus valores. Esto se explica por el hecho de que los valores individuales de una variable aleatoria pueden diferir entre sí tan poco como se desee y, por lo tanto, en la totalidad de los datos observados, rara vez pueden aparecer valores idénticos de una cantidad, y las frecuencias de Las variantes difieren poco entre sí.

Tampoco es práctico construir una serie discreta para una variable aleatoria discreta, el número valores posibles Lo cual es genial. En tales casos, se debe construir serie de variación de intervalo distribuciones.

Para construir una serie de este tipo, todo el intervalo de variación de los valores observados de una variable aleatoria se divide en una serie. intervalos parciales y contar la frecuencia de aparición de los valores de valor en cada intervalo parcial.

Intervalo serie de variación Llame a un conjunto ordenado de intervalos de valores variables de una variable aleatoria con frecuencias correspondientes o frecuencias relativas de valores de la variable que caen en cada uno de ellos.

Para construir una serie de intervalos necesitas:

1. definir tamaño intervalos parciales;
2. definir ancho intervalos;
3. configurarlo para cada intervalo arriba Y límite inferior ;
4. agrupar los resultados de la observación.

1 . La cuestión de elegir el número y la anchura de los intervalos de agrupación debe decidirse en cada caso específico basándose en objetivos investigación, volumen muestras y grado de variación característica en la muestra.

Número aproximado de intervalos k se puede estimar basándose únicamente en el tamaño de la muestra norte de una de las siguientes maneras:

• según la fórmula esturiones : k = 1 + 3,32 iniciar sesión norte ;
• utilizando la tabla 1.

tabla 1

2 . Generalmente se prefieren espacios de igual ancho. Para determinar el ancho de los intervalos. h calcular:

• rango de variación R - valores de muestra: R = x máx - x mín ,

Dónde xmax Y xmin - opciones de muestreo máximas y mínimas;

• ancho de cada intervalo h determinado por la siguiente fórmula: h = R/k .

3 . Línea de fondo primer intervalo x h1 se selecciona de modo que la opción de muestra mínima xmin cayó aproximadamente a la mitad de este intervalo: x h1 = x mín - 0,5 h .

Intervalos intermedios obtenido sumando la longitud del intervalo parcial al final del intervalo anterior h :

x hola = x hola-1 +h.

La construcción de una escala de intervalo basada en el cálculo de los límites del intervalo continúa hasta que se alcanza el valor. x hola satisface la relación:

x hola< x max + 0,5·h .

4 . De acuerdo con la escala de intervalo, los valores característicos se agrupan; para cada intervalo parcial se calcula la suma de frecuencias. n yo opción incluida en i º intervalo. En este caso, el intervalo incluye valores de la variable aleatoria que son mayores o iguales al límite inferior y menores que el límite superior del intervalo.

Polígono e histograma

Para mayor claridad, se construyen varios gráficos de distribución estadística.

A partir de los datos de una serie de variaciones discretas, construyen polígono frecuencias o frecuencias relativas.

Polígono de frecuencia x1 ; n 1 ), (x2 ; norte 2 ), ..., (x k ; nk ). Para construir un polígono de frecuencias, las opciones se trazan en el eje de abscisas. xyo , y en ordenadas, las frecuencias correspondientes n yo . Puntos ( xyo ; n yo ) se conectan mediante segmentos rectos y se obtiene un polígono de frecuencias (Fig. 1).

Polígono de frecuencias relativas llamada línea discontinua cuyos segmentos conectan puntos ( x1 ; W 1 ), (x2 ; W 2 ), ..., (x k ; semana ). Para construir un polígono de frecuencias relativas, las opciones se trazan en el eje de abscisas. xyo , y en ordenadas, las frecuencias relativas correspondientes yo . Puntos ( xyo ; yo ) se conectan mediante segmentos rectos y se obtiene un polígono de frecuencias relativas.

Cuando signo continuo es recomendable construir histograma .

Histograma de frecuencia Se llama figura escalonada que consta de rectángulos, cuyas bases son intervalos parciales de longitud. h , y las alturas son iguales a la razón NIH (densidad de frecuencia).

Para construir un histograma de frecuencia, se colocan intervalos parciales en el eje de abscisas y sobre ellos se dibujan segmentos paralelos al eje de abscisas a una distancia NIH .