Extremos de funciones de varias variables. Una condición necesaria para un extremo. Condición suficiente para un extremo. Extremo condicional. Método del multiplicador de Lagrange. Encontrar los valores más grandes y más pequeños.

Conferencia 5.

Definición 5.1. Punto M 0 (x 0, y 0) llamado punto máximo funciones z = f (x, y), Si f (xo, y o) > f(x,y) para todos los puntos (x,y) M 0.

Definición 5.2. Punto M 0 (x 0, y 0) llamado punto mínimo funciones z = f (x, y), Si f (xo, y o) < f(x,y) para todos los puntos (x,y) desde algún barrio de un punto M 0.

Nota 1. Los puntos máximo y mínimo se denominan puntos extremos funciones de varias variables.

Observación 2. El punto extremo de una función de cualquier número de variables se determina de manera similar.

Teorema 5.1 (las condiciones necesarias extremo). Si M 0 (x 0, y 0)– punto extremo de la función z = f (x, y), entonces en este punto las derivadas parciales de primer orden de esta función son iguales a cero o no existen.

Prueba.

Arreglemos el valor de la variable. en, contando y = y 0. Entonces la función f (x, y 0) será una función de una variable X, para cual x = x 0 es el punto extremo. Por tanto, según el teorema de Fermat, o no existe. La misma afirmación se demuestra de manera similar para .

Definición 5.3. Los puntos que pertenecen al dominio de una función de varias variables en los que las derivadas parciales de la función son iguales a cero o no existen se llaman puntos estacionarios esta función.

Comentario. Así, el extremo sólo puede alcanzarse en puntos estacionarios, pero no necesariamente se observa en cada uno de ellos.

Teorema 5.2(condiciones suficientes para un extremo). Deja entrar algún barrio del punto. M 0 (x 0, y 0), que es un punto estacionario de la función z = f (x, y), esta función tiene derivadas parciales continuas hasta el tercer orden inclusive. Denotemos entonces:

1) f(x,y) tiene en el punto M 0 máximo si AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) tiene en el punto M 0 mínimo si AC–B² > 0, A > 0;

3) no hay extremo en el punto crítico si AC–B² < 0;

4) si AC–B² = 0, se necesita más investigación.

Prueba.

Escribamos la fórmula de Taylor de segundo orden para la función f(x,y), recordando que en un punto estacionario las derivadas parciales de primer orden son iguales a cero:

Dónde Si el ángulo entre el segmento M 0 M, Dónde m (x 0 +Δ x, y 0 +Δ en), y el eje O X denota φ, entonces Δ x =Δ ρ porque φ, Δ y=Δρsinφ. En este caso, la fórmula de Taylor tomará la forma: . Entonces podemos dividir y multiplicar la expresión entre paréntesis por A. Obtenemos:

Consideremos ahora cuatro posibles casos:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и a un Δρ suficientemente pequeño. Por eso, en algún barrio METRO 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), eso es M 0– punto máximo.

2) dejar AC–B² > 0, A > 0. Entonces , Y M 0– punto mínimo.

3) dejar AC-B² < 0, A> 0. Considere el incremento de argumentos a lo largo del rayo φ = 0. Luego de (5.1) se deduce que , es decir, al moverse a lo largo de este rayo, la función aumenta. Si nos movemos a lo largo de un rayo tal que tg φ 0 = -A/B, Eso , por tanto, al moverse a lo largo de este rayo, la función disminuye. Entonces, punto M 0 No es un punto extremo.

3`) Cuando AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

similar al anterior.

3``) Si AC–B² < 0, A= 0, entonces . Donde. Entonces, para φ suficientemente pequeño, la expresión 2 B cosφ + C senφ está cerca de 2 EN, es decir, conserva un signo constante, pero senφ cambia de signo en las proximidades del punto M 0. Esto significa que el incremento de la función cambia de signo en las proximidades de un punto estacionario, que por tanto no es un punto extremo.

4) si AC–B² = 0, y , , es decir, el signo del incremento está determinado por el signo de 2α 0. Al mismo tiempo, es necesaria más investigación para aclarar la cuestión de la existencia de un extremo.

Ejemplo. Encontremos los puntos extremos de la función. z=x² - 2 xy + 2y² + 2 X. Para encontrar puntos estacionarios, resolvemos el sistema. . Entonces, el punto estacionario es (-2,-1). Donde Una = 2, EN = -2, CON= 4. Entonces AC–B² = 4 > 0, por lo tanto, en un punto estacionario se alcanza un extremo, es decir, un mínimo (ya que A > 0).

Definición 5.4. Si los argumentos de la función f (x 1 , x 2 ,…, x n ) conectado condiciones adicionales como metro ecuaciones ( metro< n) :

φ1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0,…, φ metro ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

donde las funciones φ i tienen derivadas parciales continuas, entonces las ecuaciones (5.2) se llaman ecuaciones de conexión.

Definición 5.5. Extremo de la función f (x 1 , x 2 ,…, x n ) cuando se cumplen las condiciones (5.2), se llama extremo condicional.

Comentario. Podemos ofrecer la siguiente interpretación geométrica del extremo condicional de una función de dos variables: sean los argumentos de la función f(x,y) relacionado por la ecuación φ (x,y)= 0, definiendo alguna curva en el plano O xy. Reconstruyendo perpendiculares al plano O desde cada punto de esta curva xy hasta que se cruza con la superficie z = f(x,y), obtenemos una curva espacial que se encuentra en la superficie sobre la curva φ (x,y)= 0. La tarea es encontrar los puntos extremos de la curva resultante, que, por supuesto, caso general no coinciden con los puntos extremos incondicionales de la función f(x,y).

Determinemos las condiciones necesarias para un extremo condicional para una función de dos variables introduciendo primero la siguiente definición:

Definición 5.6. Función L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Dónde λi – algunos son constantes, llamados función de Lagrange y los números λi– multiplicadores de Lagrange indefinidos.

Teorema 5.3(condiciones necesarias para un extremo condicional). Extremo condicional de una función. z = f (x, y) en presencia de la ecuación de acoplamiento φ ( x,y)= 0 sólo se puede alcanzar en puntos estacionarios de la función de Lagrange L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Prueba. La ecuación de acoplamiento especifica una relación implícita. en de X, por lo tanto asumiremos que en hay una función de X: y = y(x). Entonces z hay una función compleja de X, y sus puntos críticos están determinados por la condición: . (5.4) De la ecuación de acoplamiento se deduce que . (5.5)

Multipliquemos la igualdad (5.5) por algún número λ y sumémoslo a (5.4). Obtenemos:

, o .

La última igualdad debe cumplirse en puntos estacionarios, de lo que se sigue:

(5.6)

Se obtiene un sistema de tres ecuaciones para tres incógnitas: x,y y λ, y las dos primeras ecuaciones son las condiciones para el punto estacionario de la función de Lagrange. Eliminando la incógnita auxiliar λ del sistema (5.6), encontramos las coordenadas de los puntos en los que la función original puede tener un extremo condicional.

Observación 1. La presencia de un extremo condicional en el punto encontrado se puede comprobar estudiando las derivadas parciales de segundo orden de la función de Lagrange por analogía con el teorema 5.2.

Observación 2. Puntos en los que se puede alcanzar el extremo condicional de la función. f (x 1 , x 2 ,…, x n ) cuando se cumplen las condiciones (5.2), se pueden definir como soluciones del sistema (5.7)

Ejemplo. Encontremos el extremo condicional de la función. z = xy dado que x + y= 1. Compongamos la función de Lagrange L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). El sistema (5.6) se ve así:

Donde -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. Donde L(x,y) se puede representar en la forma L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0,5 ≤ 0,5, por lo tanto en el punto estacionario encontrado L(x,y) tiene un máximo y z = xy – máximo condicional.

Extremo condicional.

Extremos de una función de varias variables.

Método de mínimos cuadrados.

Extremo local del FNP

Sea dada la función Y= F(P), РÎDÌR norte y deja que el punto P 0 ( A 1 , A 2 , ..., una p) –interno punto del conjunto D.

Definición 9.4.

1) Se llama el punto P 0 punto máximo funciones Y= F(P), si existe una vecindad de este punto U(P 0) М D tal que para cualquier punto P( X 1 , X 2 , ..., xn)О U(P 0) , Р¹Р 0 , se cumple la condición F(P)£ F(P0). Significado F(P 0) la función en el punto máximo se llama máximo de la función y es designado F(P0) = máx. F(PAG) .

2) Se llama el punto P 0 punto mínimo funciones Y= F(P), si existe una vecindad de este punto U(P 0)Ì D tal que para cualquier punto P( X 1 , X 2 , ..., xn)ОU(P 0), Р¹Р 0 , se cumple la condición F(P)³ F(P0). Significado F(P 0) la función en el punto mínimo se llama función mínima y es designado F(P 0) = mín. F(PAG).

Los puntos mínimo y máximo de una función se llaman puntos extremos, los valores de la función en los puntos extremos se llaman extremos de la función.

Como se desprende de la definición, las desigualdades F(P)£ F(P 0), F(P)³ F(P 0) debe cumplirse solo en una determinada vecindad del punto P 0, y no en todo el dominio de definición de la función, lo que significa que la función puede tener varios extremos del mismo tipo (varios mínimos, varios máximos) . Por lo tanto, los extremos definidos anteriormente se llaman local extremos (locales).

Teorema 9.1 (condición necesaria para el extremo del FNP)

Si la función Y= F(X 1 , X 2 , ..., xn) tiene un extremo en el punto P 0 , entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto son iguales a cero o no existen.

Prueba. Dejemos en el punto P 0 ( A 1 , A 2 , ..., una p) función Y= F(P) tiene un extremo, por ejemplo, un máximo. Arreglemos los argumentos X 2 , ..., xn, poniendo X 2 =A 2 ,..., xn = una p. Entonces Y= F(P) = F 1 ((X 1 , A 2 , ..., una p) es una función de una variable X 1 . Dado que esta función tiene X 1 = A 1 extremo (máximo), luego F 1 ¢=0o no existe cuando X 1 =A 1 (una condición necesaria para la existencia de un extremo de una función de una variable). Pero eso significa que existe o no en el punto P 0, el punto extremo. De manera similar, podemos considerar derivadas parciales con respecto a otras variables. CTD.

Los puntos en el dominio de una función en los que las derivadas parciales de primer orden son iguales a cero o no existen se llaman puntos críticos esta función.

Como se desprende del teorema 9.1, los puntos extremos del FNP deben buscarse entre los puntos críticos de la función. Pero, en cuanto a una función de una variable, no todo punto crítico es un punto extremo.

Teorema 9.2 (condición suficiente para el extremo del FNP)

Sea P 0 el punto crítico de la función. Y= F(P) y es el diferencial de segundo orden de esta función. Entonces

y si d 2 tu(P 0) > 0 en , entonces P 0 es un punto mínimo funciones Y= F(PAG);

b) si d 2 tu(P0)< 0 при , то Р 0 – точка máximo funciones Y= F(PAG);

c) si d 2 tu(P 0) no está definido por el signo, entonces P 0 no es un punto extremo;

Consideraremos este teorema sin prueba.

Tenga en cuenta que el teorema no considera el caso cuando d 2 tu(P 0) = 0 o no existe. Esto significa que la cuestión de la presencia de un extremo en el punto P 0 en tales condiciones permanece abierta: necesitamos investigación adicional, por ejemplo, estudiando el incremento de una función en este punto.

En cursos de matemáticas más detallados se demuestra que, en particular para la función z = f(X,y) de dos variables, cuyo diferencial de segundo orden es una suma de la forma

se puede simplificar el estudio de la presencia de un extremo en el punto crítico P 0.

Denotemos , , . Compongamos un determinante

.

Resulta:

d 2 z> 0 en el punto P 0, es decir P 0 – punto mínimo, si A(P 0) > 0 y D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

si D(P 0)< 0, то d 2 z en las proximidades del punto P 0 cambia de signo y no hay extremo en el punto P 0;

si D(Р 0) = 0, entonces también se requieren estudios adicionales de la función en las proximidades del punto crítico Р 0.

Así, para la función z = f(X,y) de dos variables tenemos el siguiente algoritmo (llamémoslo “algoritmo D”) para encontrar un extremo:

1) Encuentra el dominio de definición D( F) funciones.

2) Encontrar puntos críticos, es decir. puntos de D( F), para los cuales y son iguales a cero o no existen.

3) En cada punto crítico P 0, verificar las condiciones suficientes para el extremo. Para hacer esto, encuentre , donde , , y calcular D(P 0) y A(P 0). Entonces:

si D(P 0) >0, entonces en el punto P 0 hay un extremo, y si A(P 0) > 0 – entonces este es el mínimo, y si A(P 0)< 0 – максимум;

si D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Si D(P 0) = 0, entonces se necesita investigación adicional.

4) En los puntos extremos encontrados, calcule el valor de la función.

Ejemplo 1.

Encuentra el extremo de la función. z = X 3 + 8y 3 – 3xy .

Solución. El dominio de definición de esta función es todo el plano coordenado. Busquemos puntos críticos.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Comprobemos si se cumplen las condiciones suficientes para el extremo. Lo encontraremos

6X, = -3, = 48en Y = 288xy – 9.

Entonces D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – en el punto Р 1 hay un extremo, y dado que A(P 1) = 3 >0, entonces este extremo es un mínimo. tan min z=z(P 1) = .

Ejemplo 2.

Encuentra el extremo de la función. .

Solución: D( F) =R2. Puntos críticos: ; no existe cuando en= 0, lo que significa que P 0 (0,0) es el punto crítico de esta función.

2, = 0, = , = , pero D(P 0) no está definido, por lo que estudiar su signo es imposible.

Por la misma razón, es imposible aplicar directamente el teorema 9.2: d 2 z no existe en este momento.

Consideremos el incremento de la función. F(X, y) en el punto P 0 . Si D F =F(PAG) - F(P 0)>0 "P, entonces P 0 es el punto mínimo, pero si D F < 0, то Р 0 – точка максимума.

En nuestro caso tenemos

D F = F(X, y) – F(0, 0) = F(0+D X,0+D y) – F(0, 0) = .

En D X= 0,1 y D y= -0.008 obtenemos D F = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 y D y= 0,001D F= 0,01 + 0,1 > 0, es decir en las proximidades del punto P 0 no se cumple ninguna de las condiciones D F <0 (т.е. F(X, y) < F(0, 0) y por tanto P 0 no es un punto máximo), ni condición D F>0 (es decir F(X, y) > F(0, 0) y entonces P 0 no es un punto mínimo). Esto significa que, por definición de extremo, esta función no tiene extremos.

Extremo condicional.

El extremo considerado de la función se llama incondicional, ya que no se imponen restricciones (condiciones) a los argumentos de la función.

Definición 9.2. Extremo de la función Y = F(X 1 , X 2 , ... , xn), concluyó bajo la condición de que sus argumentos X 1 , X 2 , ... , xn satisfacer las ecuaciones j 1 ( X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, …, j t(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, donde P ( X 1 , X 2 , ... , xn) О D( F), llamado extremo condicional .

Ecuaciones j k(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0 , k = 1, 2,..., metro, son llamados ecuaciones de conexión.

Veamos las funciones. z = f(X,y) dos variables. Si la ecuación de conexión es uno, es decir , entonces encontrar un extremo condicional significa que el extremo no se busca en todo el dominio de definición de la función, sino en alguna curva que se encuentra en D( F) (es decir, no son los puntos más altos o más bajos de la superficie los que se buscan z = f(X,y), y los puntos más altos o más bajos entre los puntos de intersección de esta superficie con el cilindro, Fig. 5).

Extremo condicional de una función. z = f(X,y) de dos variables se puede encontrar de la siguiente manera ( método de eliminación). A partir de la ecuación, exprese una de las variables en función de otra (por ejemplo, escriba ) y, sustituyendo este valor de la variable en la función, escriba esta última en función de una variable (en el caso considerado ). Encuentra el extremo de la función resultante de una variable.

Definición1: Se dice que una función tiene un máximo local en un punto si existe una vecindad del punto tal que para cualquier punto METRO con coordenadas (x,y) la desigualdad se cumple: . En este caso, es decir, el incremento de la función.< 0.

Definición2: Se dice que una función tiene un mínimo local en un punto si existe una vecindad del punto tal que para cualquier punto METRO con coordenadas (x,y) la desigualdad se cumple: . En este caso, es decir, el incremento de la función > 0.

Definición 3: Los puntos de mínimo y máximo local se llaman puntos extremos.

Extremos condicionales

Al encontrar los extremos de una función de muchas variables, a menudo surgen problemas relacionados con el llamado extremo condicional. Este concepto se puede explicar usando el ejemplo de una función de dos variables.

Sean dadas una función y una recta. l en la superficie 0xy. La tarea es ponerse en la línea. l encontrar tal punto P(x,y), en el que el valor de una función es el mayor o el menor en comparación con los valores de esta función en puntos de la recta l, ubicado cerca del punto PAG. tales puntos PAG son llamados puntos extremos condicionales funciones en línea l. A diferencia del punto extremo habitual, el valor de la función en el punto extremo condicional se compara con los valores de la función no en todos los puntos de algunos de sus alrededores, sino solo en aquellos que se encuentran en la línea recta. l.

Está absolutamente claro que el punto del extremo habitual (también dicen extremo incondicional) también es un punto extremo condicional para cualquier línea que pase por este punto. Lo contrario, por supuesto, no es cierto: el punto extremo condicional puede no ser el punto extremo ordinario. Déjame explicarte lo que dije con un ejemplo sencillo. La gráfica de la función es el hemisferio superior (Apéndice 3 (Fig. 3)).

Esta función tiene un máximo en el origen; el vértice le corresponde METRO hemisferios. si la linea l hay una recta que pasa por los puntos A Y EN(su ecuación x+y-1=0), entonces es geométricamente claro que para los puntos de esta recta valor más alto La función se logra en un punto que se encuentra en el medio entre los puntos. A Y EN. Este es el punto del extremo condicional (máximo) de la función en esta línea; corresponde al punto M 1 del hemisferio, y de la figura se desprende claramente que aquí no se puede hablar de ningún extremo ordinario.

Tenga en cuenta que en la parte final del problema de encontrar los valores mayor y menor de una función en una región cerrada, tenemos que encontrar los valores extremos de la función en el límite de esta región, es decir en alguna línea, y así resolver el problema del extremo condicional.

Procedamos ahora a la búsqueda práctica de los puntos extremos condicionales de la función Z= f(x, y) siempre que las variables x e y estén relacionadas por la ecuación (x, y) = 0. A esta relación la llamaremos ecuación de conexión. Si a partir de la ecuación de acoplamiento y se puede expresar explícitamente en términos de x: y=(x), obtenemos una función de una variable Z= f(x, (x)) = Ф(x).

Habiendo encontrado el valor x en el que esta función alcanza un extremo, y luego determinados a partir de la ecuación de conexión los valores correspondientes de y, obtenemos los puntos deseados del extremo condicional.

Entonces, en el ejemplo anterior, de la ecuación de relación x+y-1=0 tenemos y=1-x. De aquí

Es fácil comprobar que z alcanza su máximo en x = 0,5; pero luego de la ecuación de conexión y = 0,5, obtenemos exactamente el punto P, calculado a partir de consideraciones geométricas.

El problema de un extremo condicional se resuelve muy fácilmente incluso cuando la ecuación de conexión se puede representar ecuaciones paramétricas x=x(t), y=y(t). Sustituyendo las expresiones para x e y en esta función, llegamos nuevamente al problema de encontrar el extremo de una función de una variable.

Si la ecuación de acoplamiento tiene más de mirada compleja y no podemos expresar explícitamente una variable en términos de otra, ni reemplazarla con ecuaciones paramétricas, entonces la tarea de encontrar un extremo condicional se vuelve más difícil. Continuaremos asumiendo que en la expresión de la función z= f(x, y) la variable (x, y) = 0. La derivada total de la función z= f(x, y) es igual a:

Donde la derivada y` se encuentra usando la regla de derivación de la función implícita. En los puntos del extremo condicional, la derivada total encontrada debe ser igual a cero; esto da una ecuación que relaciona xey. Como también deben satisfacer la ecuación de acoplamiento, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Transformemos este sistema en uno mucho más conveniente escribiendo la primera ecuación en forma de proporción e introduciendo una nueva incógnita auxiliar:

(El signo menos al frente es para mayor comodidad). A partir de estas igualdades es fácil pasar al siguiente sistema:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

que, junto con la ecuación de conexión (x, y) = 0, forma un sistema de tres ecuaciones con incógnitas x, y y.

Estas ecuaciones (*) son más fáciles de recordar usando la siguiente regla: para encontrar puntos que puedan ser puntos del extremo condicional de la función

Z= f(x, y) con la ecuación de conexión (x, y) = 0, necesitas formar una función auxiliar

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

¿Dónde hay una constante y crea ecuaciones para encontrar los puntos extremos de esta función?

El sistema de ecuaciones indicado proporciona, por regla general, sólo las condiciones necesarias, es decir No todos los pares de valores xey que satisfacen este sistema son necesariamente un punto extremo condicional. No daré condiciones suficientes para los puntos extremos condicionales; muy a menudo el contenido específico del problema mismo sugiere cuál es el punto encontrado. La técnica descrita para resolver problemas en un extremo condicional se llama método del multiplicador de Lagrange.

Sea la función z - /(x, y) definida en algún dominio D y sea Mo(xo, Vo) un punto interior de este dominio. Definición. Si hay un número tal que para todas las condiciones que satisfacen la desigualdad es verdadera, entonces el punto Mo(xo, yo) se llama punto máximo local de la función /(x, y); si para todo Dx, Du, se cumplen las condiciones | entonces el punto Mo(xo,yo) se llama mínimo local delgado. En otras palabras, el punto M0(x0, y0) es un punto de máximo o mínimo de la función f(x, y) si existe una vecindad 6 del punto A/o(x0, y0) tal que en absoluto puntos M(x, y) de este en la vecindad, el incremento de la función mantiene su signo. Ejemplos. 1. Para el punto de función - punto mínimo (Fig. 17). 2. Para la función, el punto 0(0,0) es el punto máximo (Fig. 18). 3. Para una función, el punto 0(0,0) es un punto máximo local. 4 De hecho, existe una vecindad del punto 0(0, 0), por ejemplo, un círculo de radio j (ver Fig. 19), en cualquier punto del cual, diferente del punto 0(0,0), el valor de la función /(x,y) menor que 1 = Consideraremos sólo puntos de máximo y mínimo estrictos de funciones cuando se satisfaga desigualdad estricta o desigualdad estricta para todos los puntos M(x) y) de alguna vecindad 6 perforada de el punto Mq. El valor de una función en el punto máximo se llama máximo y el valor de la función en el punto mínimo se llama mínimo de esta función. Los puntos máximo y mínimo de una función se denominan puntos extremos de la función, y los máximos y mínimos de la función se denominan extremos. Teorema 11 (condición necesaria para un extremo). Si la función Extremum es función de varios Concepto de variables Extremo de una función de varias variables. Condiciones necesarias y suficientes para un extremo Extremo condicional Los valores más grandes y más pequeños de funciones continuas tienen un extremo en el punto, luego en este punto cada derivada parcial u desaparece o no existe. Sea la función z = f(x) y) tener un extremo en el punto M0(x0, yо). Démosle a la variable y el valor yo. Entonces la función z = /(x, y) será función de una variable x\ Dado que en x = xo tiene un extremo (máximo o mínimo, Fig. 20), entonces su derivada con respecto a x = “o, | (*o,l>)" Igual a cero o no existe. De manera similar, estamos convencidos de que) es igual a cero o no existe. Los puntos en los que = 0 y χ = 0 o no existen se llaman críticos puntos de la función z = Dx, y). Los puntos en los que $£ = φ = 0 también se denominan puntos estacionarios de la función. El teorema 11 expresa sólo las condiciones necesarias para el extremo, que no son suficientes. La función es delgada en el imvat del rasgueo. De hecho, la función es igual a cero en el punto 0(0,0) y toma valores positivos en los puntos M(x,y), arbitrariamente cerca del punto 0(0). ,0), y valores negativos para que en los puntos (0, y) sean arbitrariamente pequeños. El punto 0(0,0) del tipo indicado se denomina punto minimax (Fig. 21). El extremo de una función de dos variables se expresa de la siguiente manera. Teorema 12 (condiciones suficientes para el extremo de las funciones de dos variables. Sea el punto Mo(x, y) un punto estacionario de la función f(x, y). ), y en alguna vecindad del punto /, incluido el propio punto Mo, la función /(r, y ) tiene derivadas parciales continuas hasta el segundo orden inclusive. Entonces". en el punto Mo(xo, V0) la función /(xo, y) no tiene extremo si D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>El extremo de la función f(x, y) puede existir o no. En este caso, se requiere más investigación. m Limitémonos a demostrar los enunciados 1) y 2) del teorema. Escribamos la fórmula de Taylor de segundo orden para la función /(i, y): donde. Según la condición, es claro que el signo del incremento D/ está determinado por el signo del trinomio del lado derecho de (1), es decir, el signo del segundo diferencial d2f. Denotémoslo por brevedad. Entonces la igualdad (l) se puede escribir de la siguiente manera: Dejar en el punto MQ(entonces, V0) tenemos... Dado que, por condición, las derivadas parciales de segundo orden de la función f(s, y) son continuas, entonces La desigualdad (3) también se cumplirá en alguna vecindad del punto M0(s0,yo). Si se cumple la condición (en el punto А/0, y en virtud de la continuidad la derivada /,z(s,y) conservará su signo en alguna vecindad del punto Af0. En la región donde А Ф 0, tenemos De esto se desprende claramente que si ЛС - В2 > 0 en alguna vecindad del punto M0(x0) y0), entonces el signo del trinomio AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 coincide con el signo de A en el punto (así. , V0) (así como con el signo de C, ya que para AC - B2 > 0 A y C no pueden tener signos diferentes). Dado que el signo de la suma AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 en el punto (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) determina el signo de la diferencia, llegamos a la siguiente conclusión: si para la función /(s,y) en la condición del punto estacionario (s0, V0), entonces para || suficientemente pequeño la desigualdad quedará satisfecha. Así, en el punto (sq, V0) la función /(s, y) tiene un máximo. Si la condición se cumple en el punto estacionario (s0, y0), entonces para todos los |Dr| suficientemente pequeños y |Du| la desigualdad es verdadera, lo que significa que en el punto (so,yo) la función /(s, y) tiene un mínimo. Ejemplos. 1. Investigar la función para un extremo 4 Usando las condiciones necesarias para un extremo, buscamos puntos estacionarios de la función. Para hacer esto, encontramos las derivadas parciales u y las igualamos a cero. Obtenemos un sistema de ecuaciones de donde - un punto estacionario. Usemos ahora el teorema 12. Esto significa que hay un extremo en el punto Ml. Porque este es el mínimo. Si transformamos la función r en forma, es fácil ver que parte derecha(“) será mínimo cuando sea el mínimo absoluto de esta función. 2. Investigamos el extremo de la función. Encontramos puntos estacionarios de la función, para los cuales componemos un sistema de ecuaciones, por lo tanto, de modo que el punto sea estacionario. Dado que, en virtud del teorema 12, no existe ningún extremo en el punto M. * 3. Investiga el extremo de la función. Encuentra los puntos estacionarios de la función. Del sistema de ecuaciones obtenemos eso, entonces el punto es estacionario. Además, tenemos que el Teorema 12 no responde a la pregunta sobre la presencia o ausencia de un extremo. Hagámoslo de esta manera. Para una función sobre todos los puntos diferentes del punto entonces, por definición, y el punto A/o(0,0) la función r tiene un mínimo absoluto. Mediante cálculos similares establecemos que la función tiene un máximo en el punto, pero la función no tiene un extremo en el punto. Sea una función de n variables independientes diferenciable en un punto. El punto Mo se llama punto estacionario de la función si se cumple el Teorema 13 (hasta condiciones suficientes para un extremo). Dejemos que la función esté definida y tenga derivadas parciales continuas de segundo orden en alguna vecindad de la multa Mt(xi..., que es una función multa estacionaria si la forma cuadrática (el segundo diferencial de la función f en la multa es positiva definida (definida negativa), el punto mínimo (respectivamente, máximo fino) de la función f es fino. Si la forma cuadrática (4) es de signo alternante, entonces no hay ningún extremo en la fina LG0. La forma cuadrática (4) es definida positiva o negativa, puedes usar, por ejemplo, el criterio de Sylvester para la certeza positiva (negativa) de la forma cuadrática 15.2. extremos locales una función en todo su dominio de definición, cuando los argumentos de la función no están sujetos a ninguna condición adicional. Estos extremos se denominan incondicionales. Sin embargo, a menudo surgen problemas a la hora de encontrar los llamados extremos condicionales. Definamos la función z = /(x, y) en el dominio D. Supongamos que se da una curva L en este dominio, y necesitamos encontrar los extremos de la función f(x> y) sólo entre aquellos de sus valores que corresponden a los puntos de la curva L. Los mismos extremos se llaman extremos condicionales de la función z = f(x) y) en la curva L. Definición Dicen que en un punto que se encuentra en la curva L , la función f(x, y) tiene un máximo (mínimo) condicional si la desigualdad se satisface en todos los puntos M (s, y) y) de la curva L, pertenecientes a alguna vecindad del punto M0(x0, V0) y diferentes desde el punto M0 (¡Si la curva L está dada por una ecuación, entonces el problema de encontrar el extremo condicional de la función r - f(x,y) en la curva! se puede formular de la siguiente manera: encontrar los extremos de la función x = /(z, y) en la región D, siempre que así, al encontrar los extremos condicionales de la función z = y), los argumentos de ñu ya no pueden considerarse como variables independientes: están relacionados entre sí por el relación y) = 0, que se llama ecuación de conexión. Para aclarar la distinción entre extremo incondicional y condicional, veamos un ejemplo donde el máximo incondicional de la función (Fig. 23) es igual a uno y se alcanza en el punto (0,0). Corresponde al punto M, el vértice del pvvboloide. Agreguemos la ecuación de conexión y = j. Entonces el máximo condicional será obviamente igual a él. Se alcanza en el punto (o,|), y corresponde al vértice Afj de la pelota, que es la línea de intersección de la pelota con el plano y = j. En el caso de un mvximum incondicional, tenemos un mvximum aplicable entre todos los vpplicvt de la superficie * = 1 - l;2 ~ y1; summvv condicional - sólo entre los puntos vllikvt pvraboloidv, correspondientes al punto* de la recta y = j, no al plano xOy. Uno de los métodos para encontrar el extremo condicional de una función en presencia y conexión es el siguiente. Dejemos que la ecuación de conexión y) - O defina y como una función diferenciable única del argumento x: Sustituyendo una función en lugar de y en la función, obtenemos una función de un argumento en la que la condición de conexión ya se tiene en cuenta. El extremo (incondicional) de la función es el extremo condicional deseado. Ejemplo. Encuentre el extremo de una función bajo la condición Extremo de una función de varias variables El concepto de extremo de una función de varias variables. Condiciones necesarias y suficientes para un extremo Extremo condicional Los valores más grandes y más pequeños de funciones continuas A De la ecuación de conexión (2") encontramos y = 1-x. Sustituyendo este valor y en (V), obtenemos una función de un argumento x: Examinemos el extremo: de donde x = 1 es el punto crítico; , de modo que proporcione un mínimo condicional de la función r (Fig. 24). Indiquemos otra forma de resolver el problema del extremo condicional, llamada método del multiplicador de Lagrange. Sea un punto extremo condicional de una función en presencia de una conexión. Supongamos que la ecuación de conexión define una función única continuamente diferenciable en una determinada vecindad del punto xx. Considerando que obtenemos que la derivada respecto de x de la función /(r, ip(x)) en el punto xq debe ser igual a cero o, lo que equivale a esto, la diferencial de f(x, y) en el punto Mo" O debe ser igual a cero ) De la ecuación de conexión tenemos (5) Multiplicando la última igualdad por un factor numérico A aún indeterminado y sumando término por término con igualdad (4), tendremos (asumimos que ) Entonces, debido a la arbitrariedad de dx, obtenemos que las igualdades (6) y (7) expresan las condiciones necesarias para un extremo incondicional en un punto de una función que se llama función de Lagrange. la función /(x, y), si, es necesariamente un punto estacionario de la función de Lagrange donde A es un cierto coeficiente numérico. De aquí obtenemos una regla para encontrar extremos condicionales: encontrar puntos que puedan ser los puntos de la. extremo general de una función en presencia de una conexión: 1) componemos la función de Lagrange, 2) igualando las derivadas y U de esta función a cero y sumando la ecuación de conexión a las ecuaciones resultantes, obtenemos un sistema de tres ecuaciones de donde encontramos los valores de A y las coordenadas x, y posibles puntos extremos. La cuestión de la existencia y naturaleza del extremo condicional se resuelve a partir del estudio del signo del segundo diferencial de la función de Lagrange para el sistema considerado de valores x0, V0, A, obtenido de (8) siempre que Si , entonces en el punto (x0, V0) la función /(x, y ) tiene un máximo condicional; si d2F > 0 - entonces un mínimo condicional. En particular, si en un punto estacionario (xo, J/o) el determinante D de la función F(x, y) es positivo, entonces en el punto (®o, V0) existe un máximo condicional de la función f( x, y), si y mínimo condicional de la función /(x, y), si Ejemplo. Volvamos nuevamente a las condiciones del ejemplo anterior: encuentre el extremo de la función bajo la condición de que x + y = 1. Resolveremos el problema usando el método del multiplicador de Lagrange. función de Lagrange en en este caso tiene la forma Para encontrar puntos estacionarios, componemos un sistema A partir de las dos primeras ecuaciones del sistema, obtenemos que x = y. Luego, de la tercera ecuación del sistema (la ecuación de conexión) encontramos que x - y = j son las coordenadas del posible punto extremo. En este caso (se indica que A = -1. Por tanto, la función de Lagrange. es el punto mínimo condicional de la función * = x2 + y2 bajo la condición No existe un extremo incondicional para la función de Lagrange. P(x, y ) aún no significa la ausencia de un extremo condicional para la función /(x, y) en presencia de una conexión Ejemplo: Encuentre el extremo de una función bajo la condición y 4 Componemos la función de Lagrange y escribimos un sistema para determinando A y las coordenadas de posibles puntos extremos: De las dos primeras ecuaciones obtenemos x + y = 0 y llegamos al sistema desde donde x = y = A = 0. Así, la función de Lagrange correspondiente tiene la forma En el punto (0,0), la función F(x, y; 0) no tiene un extremo incondicional, sin embargo, existe un extremo condicional de la función r = xy cuando y = x. Efectivamente, en este caso r = x2. De aquí queda claro que en el punto (0,0) hay un mínimo condicional "El método de los multiplicadores de Lagrange se traslada al caso de funciones de cualquier número de argumentos. Busquemos el extremo de la función en presencia de ecuaciones de conexión. Compongamos la función de Lagrange donde A|, Az,..., A„, son factores constantes indefinidos. Igualando a cero todas las derivadas parciales de primer orden de la función F y sumando las ecuaciones de conexión (9) a las ecuaciones resultantes, obtenemos un sistema de n + m ecuaciones, a partir del cual determinamos Ab A3|..., En y coordenadas x \)x2). » xn de posibles puntos de extremo condicional. La cuestión de si los puntos encontrados mediante el método de Lagrange son en realidad puntos de un extremo condicional a menudo puede resolverse basándose en consideraciones de naturaleza física o geométrica. 15.3. Los valores más grande y más pequeño de funciones continuas Sea necesario encontrar el valor más grande (más pequeño) de la función z = /(x, y), continuo en algún dominio limitado cerrado D. Según el teorema 3, en este dominio hay es un punto (xo, V0) en el que la función toma el valor mayor (menor). Si el punto (xo, y0) se encuentra dentro del dominio D, entonces la función / tiene un máximo (mínimo), por lo que en este caso el punto que nos interesa está contenido entre los puntos críticos de la función /(x, y). Sin embargo, la función /(x, y) puede alcanzar su valor mayor (menor) en el límite de la región. Por lo tanto, para encontrar el valor más grande (más pequeño) tomado por la función z = /(x, y) en un área cerrada limitada 2), es necesario encontrar todos los máximos (mínimos) de la función alcanzados dentro de esta área, así como el valor mayor (menor) de la función en el borde de esta área. El mayor (el menor) de todos estos números será el valor mayor (el menor) deseado de la función z = /(x,y) en la región 27. Mostremos cómo se hace esto en el caso de una función diferenciable. Pmmr. Encuentra los valores mayor y menor de la función de la región 4. Encontramos los puntos críticos de la función dentro de la región D. Para ello, componemos un sistema de ecuaciones. De aquí obtenemos x = y « 0, de modo que. El punto 0 (0,0) es el punto crítico de la función x. Dado que ahora encontremos los valores mayor y menor de la función en el límite Г de la región D. En parte del límite tenemos que y = 0 es un punto crítico, y como = entonces en este punto la función z = 1 + y2 tiene un mínimo igual a uno. En los extremos del segmento Г", en los puntos (, tenemos. Usando consideraciones de simetría, obtenemos los mismos resultados para otras partes de la frontera. Finalmente obtenemos: valor más pequeño la función z = x2+y2 en la región "B es igual a cero y se logra en el punto interno 0(0, 0) de la región, y el valor máximo de esta función, igual a dos, se logra en cuatro puntos de la frontera (Fig. 25) Fig. 25 Ejercicios Encontrar dominio de definición de funciones: Construir líneas de nivel de funciones: 9 Encontrar superficies de nivel de funciones de tres variables independientes: Calcular límites de funciones: Encontrar derivadas parciales de funciones y sus diferenciales completos : Encuentra derivadas de funciones complejas: 3 Encuentra J. Extremo de una función de varias variables El concepto de extremo de una función de varias variables. Condiciones necesarias y suficientes para un extremo Extremo condicional Los valores más grande y más pequeño de funciones continuas 34. Usando la fórmula para la derivada de una función compleja de dos variables, encuentre y funciones: 35. Usando la fórmula para la derivada de un complejo función de dos variables, encuentre |J y funciones: Encuentre jj funciones dadas implícitamente: 40. Encuentre el coeficiente angular de la curva tangente en el punto de su intersección con la recta x = 3. 41. Encuentre los puntos en los que la tangente de la curva x es paralela al eje Ox. . En los siguientes problemas, encuentre y T: Escriba las ecuaciones del plano tangente y la normal de la superficie: 49. Escriba las ecuaciones de los planos tangentes de la superficie x2 + 2y2 + 3z2 = 21, paralela al plano x + 4y + 6z = 0. Encuentre los primeros tres o cuatro términos del desarrollo usando la fórmula de Taylor: 50. y en las proximidades del punto (0, 0). Utilizando la definición de extremo de una función, examine las siguientes funciones para determinar el extremo:). Usando condiciones suficientes para el extremo de una función de dos variables, examine el extremo de la función: 84. Encuentre los valores mayor y menor de la función z = x2 - y2 en un círculo cerrado 85. Encuentre los valores mayor y menor ​​de la función * = x2y(4-x-y) en un triángulo delimitado por rectas x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Determinar las dimensiones de una piscina rectangular abierta que tiene la superficie más pequeña, siempre que su volumen sea igual a V. 87. Calcular las dimensiones de un paralelepípedo rectangular que tiene el volumen máximo dada la superficie total 5. Respuestas 1. y | Un cuadrado formado por segmentos de recta x incluidos sus lados. 3. Familia de anillos concéntricos 2= 0,1,2,... .4. Todo el plano excepto los puntos de las rectas. Parte del plano situada encima de la parábola y = -x?. 8. Puntos del círculo x. Todo el plano excepto las rectas x La expresión radical no es negativa en dos casos j * ^ o j x ^ ^ lo que equivale a una serie infinita de desigualdades, respectivamente. El dominio de definición son los cuadrados sombreados (Fig. 26); l que equivale a una serie infinita La función está definida en puntos. a) Rectas paralelas a la recta x b) Círculos concéntricos con centro en el origen. 10. a) parábolas y) parábolas y a) parábolas b) hipérbolas | .Aviones xc. 13. Prim: hiperboloides de rotación de una sola cavidad alrededor del eje Oz; cuando y son hiperboloides de rotación de dos láminas alrededor del eje Oz, ambas familias de superficies están separadas por un cono; No hay límite, b) 0. 18. Establezcamos y = kxt entonces z lim z = -2, por lo que la función dada en el punto (0,0) no tiene límite. 19. a) Punto (0,0); b) punto (0,0). 20. a) Línea de ruptura - círculo x2 + y2 = 1; b) la línea de ruptura es la recta y = x. 21. a) Líneas de ruptura: ejes de coordenadas Ox y Oy; b) 0 (conjunto vacío). 22. Todos los puntos (m, n), donde y n son números enteros

Condiciones necesarias y suficientes para el extremo de funciones de dos variables. Un punto se llama punto mínimo (máximo) de una función si en una determinada vecindad del punto la función está definida y satisface la desigualdad (respectivamente, los puntos máximo y mínimo se llaman puntos extremos de la función).

Una condición necesaria para un extremo. Si en un punto extremo una función tiene primeras derivadas parciales, entonces éstas desaparecen en ese punto. De ello se deduce que para encontrar los puntos extremos de dicha función, es necesario resolver un sistema de ecuaciones. Los puntos cuyas coordenadas satisfacen este sistema se denominan puntos críticos de la función. Entre ellos puede haber puntos máximos, puntos mínimos y también puntos que no son puntos extremos.

Se utilizan condiciones extremas suficientes para identificar puntos extremos de un conjunto de puntos críticos y se enumeran a continuación.

Sea la función tener segundas derivadas parciales continuas en el punto crítico. Si en este punto

condición entonces es un punto mínimo en y un punto máximo en Si está en un punto crítico entonces no es un punto extremo. En este caso se requiere un estudio más sutil de la naturaleza del punto crítico, que en este caso puede ser o no un punto extremo.

Extremos de funciones de tres variables. En el caso de una función de tres variables, las definiciones de puntos extremos repiten textualmente las definiciones correspondientes para una función de dos variables. Nos limitamos a presentar el procedimiento para estudiar una función para un extremo. Al resolver un sistema de ecuaciones, se deben encontrar los puntos críticos de la función y luego, en cada uno de los puntos críticos, calcular los valores.

Si las tres cantidades son positivas, entonces el punto crítico en cuestión es el punto mínimo; si entonces este punto crítico es un punto máximo.

Extremo condicional de una función de dos variables. Un punto se denomina punto mínimo (máximo) condicional de una función siempre que exista una vecindad del punto en el que se define la función y en la que (respectivamente) para todos los puntos cuyas coordenadas satisfagan la ecuación

Para encontrar puntos extremos condicionales, use la función de Lagrange

donde el número se llama multiplicador de Lagrange. Resolver un sistema de tres ecuaciones.

Encuentre los puntos críticos de la función de Lagrange (así como el valor del factor auxiliar A). En estos puntos críticos puede haber un extremo condicional. El sistema anterior proporciona sólo las condiciones necesarias para un extremo, pero no suficientes: puede satisfacerse mediante las coordenadas de puntos que no son puntos de un extremo condicional. Sin embargo, basándose en la esencia del problema, a menudo es posible establecer la naturaleza del punto crítico.

Extremo condicional de una función de varias variables. Consideremos una función de variables siempre que estén relacionadas por las ecuaciones