Vea qué es "CONDICIONAL EXTREMO" en otros diccionarios:

Extremo relativo, extremo de una función f (x1,..., xn + m) de n + m variables bajo el supuesto de que estas variables también están sujetas a m ecuaciones (condiciones) de conexión: φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (ver Extremum).… …

Que el conjunto esté abierto y se den las funciones. Permitir. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de restricción (la terminología está tomada de la mecánica). Dejemos que una función se defina en G... Wikipedia

- (del latín extremum extreme) el valor de una función continua f (x), que es un máximo o un mínimo. Más precisamente: una función f(x) continua en un punto x0 tiene un máximo (mínimo) en x0 si hay una vecindad (x0 + δ, x0 δ) de este punto,... ... Gran enciclopedia soviética

Este término tiene otros significados, ver Extremum (significados). Extremum (lat. extremum extreme) en matemáticas es el valor máximo o mínimo de una función en un conjunto dado. El punto en el que se alcanza el extremo... ... Wikipedia

Función utilizada al resolver problemas en extremo condicional funciones de muchas variables y funcionales. Con la ayuda de L. f. son grabados las condiciones necesarias Optimidad en problemas en extremos condicionales. En este caso, no es necesario expresar sólo variables... Enciclopedia Matemática

Una disciplina matemática dedicada a encontrar valores extremos (mayores y más pequeños) de funcionales de variables que dependen de la elección de una o más funciones. Y en. Es un desarrollo natural de ese capítulo... ... Gran enciclopedia soviética

Variables con las que se construye la función de Lagrange al estudiar problemas en un extremo condicional. ... El uso de métodos lineales y la función de Lagrange nos permite obtener las condiciones de optimización necesarias en problemas que involucran un extremo condicional de manera uniforme... Enciclopedia Matemática

El cálculo de variaciones es una rama del análisis funcional que estudia las variaciones de funcionales. El problema más típico en el cálculo de variaciones es encontrar una función en la que un funcional determinado logre... ... Wikipedia

Rama de las matemáticas dedicada al estudio de métodos para encontrar extremos de funcionales que dependen de la elección de una o varias funciones bajo diversos tipos de restricciones (fase, diferencial, integral, etc.) impuestas a éstas... ... Enciclopedia Matemática

El cálculo de variaciones es una rama de las matemáticas que estudia las variaciones de funcionales. El problema más típico en el cálculo de variaciones es encontrar la función en la que el funcional alcanza un valor extremo. Métodos... ...Wikipedia

Libros

• Conferencias sobre teoría del control. Volumen 2. Control óptimo, V. Boss. Se consideran los problemas clásicos de la teoría del control óptimo. La presentación comienza con los conceptos básicos de optimización en espacios de dimensión finita: extremo condicional e incondicional,...

Ejemplo

Encuentre el extremo de la función siempre que X Y en están relacionados por la relación: . Geométricamente, el problema significa lo siguiente: en una elipse
avión
.

Este problema se puede resolver de esta manera: a partir de la ecuación
encontramos
X:

siempre que
, reducido al problema de encontrar el extremo de una función de una variable en el intervalo
.

Geométricamente, el problema significa lo siguiente: en una elipse , obtenido cruzando el cilindro
avión
, necesita encontrar el valor máximo o mínimo de la aplicación (Figura 9). Este problema se puede resolver de esta manera: a partir de la ecuación
encontramos
. Sustituyendo el valor encontrado de y en la ecuación del plano, obtenemos una función de una variable X:

Por tanto, el problema de encontrar el extremo de la función.
siempre que
, reducido al problema de encontrar el extremo de una función de una variable en un intervalo.

Entonces, el problema de encontrar un extremo condicional– este es el problema de encontrar el extremo de la función objetivo
, siempre que las variables X Y en sujeto a restricción
, llamado ecuación de conexión.

digamos que punto
, satisfaciendo la ecuación de acoplamiento, es el punto del máximo condicional local (mínimo), si hay un barrio
tal que para cualquier punto
, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación de conexión, se satisface la desigualdad.

Si a partir de la ecuación de acoplamiento se puede encontrar una expresión para en, luego, al sustituir esta expresión en la función original, convertimos esta última en una función compleja de una variable X.

El método general para resolver el problema del extremo condicional es Método del multiplicador de Lagrange. Creemos una función auxiliar, donde ─ algún número. Esta función se llama función de Lagrange, A ─ Multiplicador de Lagrange. Por tanto, la tarea de encontrar un extremo condicional se ha reducido a encontrar puntos extremos locales para la función de Lagrange. Para encontrar posibles puntos extremos, necesitas resolver un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas. x,y Y.

Entonces deberías usar la siguiente condición suficiente para un extremo.

TEOREMA. Sea el punto un posible punto extremo de la función de Lagrange. Supongamos que en las proximidades del punto
hay derivadas parciales continuas de segundo orden de funciones Y . denotemos

Entonces sí
, Eso
─ punto extremo condicional de la función
con la ecuación de acoplamiento
en este caso, si
, Eso
─ punto mínimo condicional, si
, Eso
─ punto máximo condicional.

§8. Derivada de gradiente y direccional.

Deja que la función
definido en alguna región (abierta). Considere cualquier punto
esta área y cualquier línea recta dirigida (eje) , pasando por este punto (Fig. 1). Dejar
- algún otro punto en este eje,
– longitud del segmento entre
Y
, tomado con un signo más, si la dirección
coincide con la dirección del eje , y con signo menos si sus direcciones son opuestas.

Dejar
se acerca indefinidamente
. Límite

llamado derivada de una función
hacia (o a lo largo del eje ) y se denota de la siguiente manera:

.

Esta derivada caracteriza la “tasa de cambio” de la función en el punto
hacia . En particular, las derivadas parciales ordinarias ,También se pueden considerar como derivados "con respecto a la dirección".

Supongamos ahora que la función
tiene derivadas parciales continuas en la región considerada. deja que el eje forma ángulos con los ejes coordenados
Y . Bajo los supuestos realizados, la derivada direccional existe y se expresa mediante la fórmula

.

si el vector
dada por sus coordenadas
, entonces la derivada de la función
en la dirección del vector
se puede calcular usando la fórmula:

.

Vector con coordenadas
llamado vector gradiente funciones
en el punto
. El vector gradiente indica la dirección del aumento más rápido de la función en un punto determinado.

Ejemplo

Dada una función, punto A(1, 1) y vector
. Encuentre: 1)grad z en el punto A; 2) derivada en el punto A en la dirección del vector .

Derivadas parciales de una función dada en un punto
:

;
.

Entonces el vector gradiente de la función en este punto es:
. El vector gradiente también se puede escribir mediante descomposición vectorial. Y :

. Derivada de una función en la dirección del vector :

Entonces,
,
.◄

Extremo condicional.

Extremos de una función de varias variables.

Método de mínimos cuadrados.

Extremo local del FNP

Sea dada la función Y= F(P), РÎDÌR norte y deja que el punto P 0 ( A 1 , A 2 , ..., una p) –interno punto del conjunto D.

Definición 9.4.

1) Se llama el punto P 0 punto máximo funciones Y= F(P), si existe una vecindad de este punto U(P 0) М D tal que para cualquier punto P( X 1 , X 2 , ..., xn)О U(P 0) , Р¹Р 0 , se cumple la condición F(P)€ F(P0). Significado F(P 0) la función en el punto máximo se llama máximo de la función y es designado F(P0) = máx. F(PAG) .

2) Se llama el punto P 0 punto mínimo funciones Y= F(P), si existe una vecindad de este punto U(P 0)Ì D tal que para cualquier punto P( X 1 , X 2 , ..., xn)ОU(P 0), Р¹Р 0 , se cumple la condición F(P)³ F(P0). Significado F(P 0) la función en el punto mínimo se llama función mínima y es designado F(P 0) = mín. F(PAG).

Los puntos mínimo y máximo de una función se llaman puntos extremos, los valores de la función en los puntos extremos se llaman extremos de la función.

Como se desprende de la definición, las desigualdades F(P)€ F(P 0), F(P)³ F(P 0) debe cumplirse solo en una determinada vecindad del punto P 0, y no en todo el dominio de definición de la función, lo que significa que la función puede tener varios extremos del mismo tipo (varios mínimos, varios máximos) . Por lo tanto, los extremos definidos anteriormente se llaman local extremos (locales).

Teorema 9.1 (condición necesaria para el extremo del FNP)

Si la función Y= F(X 1 , X 2 , ..., xn) tiene un extremo en el punto P 0 , entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto son iguales a cero o no existen.

Prueba. Dejemos en el punto P 0 ( A 1 , A 2 , ..., una p) función Y= F(P) tiene un extremo, por ejemplo, un máximo. Arreglemos los argumentos X 2 , ..., xn, poniendo X 2 =A 2 ,..., xn = una p. Entonces Y= F(P) = F 1 ((X 1 , A 2 , ..., una p) es una función de una variable X 1 . Dado que esta función tiene X 1 = A 1 extremo (máximo), luego F 1 ¢=0o no existe cuando X 1 =A 1 (una condición necesaria para la existencia de un extremo de una función de una variable). Pero eso significa que existe o no en el punto P 0, el punto extremo. De manera similar, podemos considerar derivadas parciales con respecto a otras variables. CTD.

Los puntos en el dominio de una función en los que las derivadas parciales de primer orden son iguales a cero o no existen se llaman puntos críticos esta función.

Como se desprende del teorema 9.1, los puntos extremos del FNP deben buscarse entre los puntos críticos de la función. Pero, en cuanto a una función de una variable, no todo punto crítico es un punto extremo.

Teorema 9.2 (condición suficiente para el extremo del FNP)

Sea P 0 el punto crítico de la función. Y= F(P) y es el diferencial de segundo orden de esta función. Entonces

y si d 2 tu(P 0) > 0 en , entonces P 0 es un punto mínimo funciones Y= F(PAG);

b) si d 2 tu(P0)< 0 при , то Р 0 – точка máximo funciones Y= F(PAG);

c) si d 2 tu(P 0) no está definido por el signo, entonces P 0 no es un punto extremo;

Consideraremos este teorema sin prueba.

Tenga en cuenta que el teorema no considera el caso cuando d 2 tu(P 0) = 0 o no existe. Esto significa que la cuestión de la presencia de un extremo en el punto P 0 en tales condiciones permanece abierta: necesitamos investigación adicional, por ejemplo, estudiando el incremento de una función en este punto.

En cursos de matemáticas más detallados se demuestra que, en particular para la función z = f(X,y) de dos variables, cuyo diferencial de segundo orden es una suma de la forma

se puede simplificar el estudio de la presencia de un extremo en el punto crítico P 0.

Denotemos , , . Compongamos un determinante

.

Resulta:

d 2 z> 0 en el punto P 0, es decir P 0 – punto mínimo, si A(P 0) > 0 y D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

si D(P 0)< 0, то d 2 z en las proximidades del punto P 0 cambia de signo y no hay extremo en el punto P 0;

si D(Р 0) = 0, entonces también se requieren estudios adicionales de la función en las proximidades del punto crítico Р 0.

Así, para la función z = f(X,y) de dos variables tenemos el siguiente algoritmo (llamémoslo “algoritmo D”) para encontrar un extremo:

1) Encuentra el dominio de definición D( F) funciones.

2) Encontrar puntos críticos, es decir. puntos de D( F), para los cuales y son iguales a cero o no existen.

3) En cada punto crítico control P 0 condiciones suficientes extremo. Para hacer esto, encuentre , donde , , y calcular D(P 0) y A(P 0). Entonces:

si D(P 0) >0, entonces en el punto P 0 hay un extremo, y si A(P 0) > 0 – entonces este es el mínimo, y si A(P 0)< 0 – максимум;

si D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Si D(P 0) = 0, entonces se necesita investigación adicional.

4) En los puntos extremos encontrados, calcule el valor de la función.

Ejemplo 1.

Encuentra el extremo de la función. z = X 3 + 8y 3 – 3xy .

Solución. El dominio de definición de esta función es todo el plano coordenado. Busquemos puntos críticos.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Comprobemos si se cumplen las condiciones suficientes para el extremo. Lo encontraremos

6X, = -3, = 48en Y = 288xy – 9.

Entonces D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – en el punto Р 1 hay un extremo, y dado que A(P 1) = 3 >0, entonces este extremo es un mínimo. tan min z=z(P 1) = .

Ejemplo 2.

Encuentra el extremo de la función. .

Solución: D( F) =R2. Puntos críticos: ; no existe cuando en= 0, lo que significa que P 0 (0,0) es el punto crítico de esta función.

2, = 0, = , = , pero D(P 0) no está definido, por lo que estudiar su signo es imposible.

Por la misma razón, es imposible aplicar el Teorema 9.2 directamente: d 2 z no existe en este momento.

Consideremos el incremento de la función. F(X, y) en el punto P 0 . Si D F =F(PAG) - F(P 0)>0 "P, entonces P 0 es el punto mínimo, pero si D F < 0, то Р 0 – точка максимума.

En nuestro caso tenemos

D F = F(X, y) – F(0, 0) = F(0+D X,0+D y) – F(0, 0) = .

En D X= 0,1 y D y= -0.008 obtenemos D F = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 y D y= 0,001D F= 0,01 + 0,1 > 0, es decir en las proximidades del punto P 0 no se cumple ninguna de las condiciones D F <0 (т.е. F(X, y) < F(0, 0) y por tanto P 0 no es un punto máximo), ni condición D F>0 (es decir F(X, y) > F(0, 0) y entonces P 0 no es un punto mínimo). Entonces, por definición de extremo, esta función no tiene extremos.

Extremo condicional.

El extremo considerado de la función se llama incondicional, ya que no se imponen restricciones (condiciones) a los argumentos de la función.

Definición 9.2. Extremo de la función Y = F(X 1 , X 2 , ... , xn), concluyó bajo la condición de que sus argumentos X 1 , X 2 , ... , xn satisfacer las ecuaciones j 1 ( X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, …, j t(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, donde P ( X 1 , X 2 , ... , xn) О D( F), llamado extremo condicional .

Ecuaciones j k(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0 , k = 1, 2,..., metro, son llamados ecuaciones de conexión.

Veamos las funciones. z = f(X,y) dos variables. Si la ecuación de conexión es uno, es decir , entonces encontrar un extremo condicional significa que el extremo no se busca en todo el dominio de definición de la función, sino en alguna curva que se encuentra en D( F) (es decir, no son los puntos más altos o más bajos de la superficie los que se buscan z = f(X,y), y los puntos más altos o más bajos entre los puntos de intersección de esta superficie con el cilindro, Fig. 5).

Extremo condicional de una función. z = f(X,y) de dos variables se puede encontrar de la siguiente manera ( método de eliminación). A partir de la ecuación, exprese una de las variables en función de otra (por ejemplo, escriba ) y, sustituyendo este valor de la variable en la función, escriba esta última en función de una variable (en el caso considerado ). Encuentra el extremo de la función resultante de una variable.

Extremos de funciones de varias variables. Una condición necesaria para un extremo. Condición suficiente para un extremo. Extremo condicional. Método del multiplicador de Lagrange. Encontrar los valores más grandes y más pequeños.

Conferencia 5.

Definición 5.1. Punto M 0 (x 0, y 0) llamado punto máximo funciones z = f (x, y), Si f (x o, y o) > f(x,y) para todos los puntos (x,y) M 0.

Definición 5.2. Punto M 0 (x 0, y 0) llamado punto mínimo funciones z = f (x, y), Si f (x o, y o) < f(x,y) para todos los puntos (x,y) desde algún barrio de un punto M 0.

Nota 1. Los puntos máximo y mínimo se denominan puntos extremos funciones de varias variables.

Observación 2. El punto extremo de una función de cualquier número de variables se determina de manera similar.

Teorema 5.1(condiciones necesarias para un extremo). Si M 0 (x 0, y 0)– punto extremo de la función z = f (x, y), entonces en este punto las derivadas parciales de primer orden de esta función son iguales a cero o no existen.

Prueba.

Arreglemos el valor de la variable. en, contando y = y 0. Entonces la función f (x, y 0) será una función de una variable X, para cual x = x 0 es el punto extremo. Por tanto, según el teorema de Fermat, o no existe. La misma afirmación se demuestra de manera similar para .

Definición 5.3. Los puntos que pertenecen al dominio de una función de varias variables en los que las derivadas parciales de la función son iguales a cero o no existen se llaman puntos estacionarios esta función.

Comentario. Así, el extremo sólo puede alcanzarse en puntos estacionarios, pero no necesariamente se observa en cada uno de ellos.

Teorema 5.2(condiciones suficientes para un extremo). Deja entrar algún barrio del punto. M 0 (x 0, y 0), que es un punto estacionario de la función z = f (x, y), esta función tiene derivadas parciales continuas hasta el tercer orden inclusive. Denotemos entonces:

1) f(x,y) tiene en el punto M 0 máximo si AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) tiene en el punto M 0 mínimo si AC–B² > 0, A > 0;

3) no hay extremo en el punto crítico si AC–B² < 0;

4) si AC–B² = 0, se necesita más investigación.

Prueba.

Escribamos la fórmula de Taylor de segundo orden para la función. f(x,y), recordando que en un punto estacionario las derivadas parciales de primer orden son iguales a cero:

Dónde Si el ángulo entre el segmento M 0 M, Dónde m (x 0 +Δ x, y 0 +Δ en), y el eje O X denota φ, entonces Δ x =Δ ρ porque φ, Δ y =Δρsinφ. En este caso, la fórmula de Taylor tomará la forma: . Entonces podemos dividir y multiplicar la expresión entre paréntesis por A. Obtenemos:

Consideremos ahora cuatro posibles casos:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и a un Δρ suficientemente pequeño. Por eso, en algún barrio METRO 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0, y 0), eso es M 0– punto máximo.

2) dejar AC–B² > 0, A > 0. Entonces , Y M 0– punto mínimo.

3) dejar AC-B² < 0, A> 0. Considere el incremento de argumentos a lo largo del rayo φ = 0. Luego de (5.1) se deduce que , es decir, al moverse a lo largo de este rayo, la función aumenta. Si nos movemos a lo largo de un rayo tal que tg φ 0 = -A/B, Eso , por tanto, al moverse a lo largo de este rayo, la función disminuye. Entonces, punto M 0 No es un punto extremo.

3`) Cuando AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

similar al anterior.

3``) Si AC–B² < 0, A= 0, entonces . Donde. Entonces, para φ suficientemente pequeño, la expresión 2 B cosφ + C senφ está cerca de 2 EN, es decir, conserva un signo constante, pero senφ cambia de signo en las proximidades del punto M 0. Esto significa que el incremento de la función cambia de signo en las proximidades de un punto estacionario, que por tanto no es un punto extremo.

4) si AC–B² = 0, y , , es decir, el signo del incremento está determinado por el signo de 2α 0. Al mismo tiempo, es necesaria más investigación para aclarar la cuestión de la existencia de un extremo.

Ejemplo. Encontremos los puntos extremos de la función. z=x² - 2 xy + 2y² + 2 X. Para encontrar puntos estacionarios, resolvemos el sistema. . Entonces, el punto estacionario es (-2,-1). Donde Una = 2, EN = -2, CON= 4. Entonces AC–B² = 4 > 0, por lo tanto, en un punto estacionario se alcanza un extremo, es decir, un mínimo (ya que A > 0).

Definición 5.4. Si los argumentos de la función f (x 1 , x 2 ,…, x n ) conectado condiciones adicionales como metro ecuaciones ( metro< n) :

φ1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0,…, φ metro ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

donde las funciones φ i tienen derivadas parciales continuas, entonces las ecuaciones (5.2) se llaman ecuaciones de conexión.

Definición 5.5. Extremo de la función f (x 1 , x 2 ,…, x n ) cuando se cumplen las condiciones (5.2), se llama extremo condicional.

Comentario. Podemos ofrecer la siguiente interpretación geométrica del extremo condicional de una función de dos variables: sean los argumentos de la función f(x,y) relacionado por la ecuación φ (x,y)= 0, definiendo alguna curva en el plano O xy. Reconstruyendo perpendiculares al plano O desde cada punto de esta curva xy hasta que se cruza con la superficie z = f(x,y), obtenemos una curva espacial que se encuentra en la superficie sobre la curva φ (x,y)= 0. La tarea es encontrar los puntos extremos de la curva resultante, que, por supuesto, caso general no coinciden con los puntos extremos incondicionales de la función f(x,y).

Determinemos las condiciones necesarias para un extremo condicional para una función de dos variables introduciendo primero la siguiente definición:

Definición 5.6. Función L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Dónde λi – algunos son constantes, llamados función de Lagrange y los números λi– multiplicadores de Lagrange indefinidos.

Teorema 5.3(condiciones necesarias para un extremo condicional). Extremo condicional de una función. z = f (x, y) en presencia de la ecuación de acoplamiento φ ( x,y)= 0 sólo se puede alcanzar en puntos estacionarios de la función de Lagrange L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Prueba. La ecuación de acoplamiento especifica una relación implícita. en de X, por lo tanto asumiremos que en hay una función de X: y = y(x). Entonces z hay una función compleja de X, y sus puntos críticos están determinados por la condición: . (5.4) De la ecuación de acoplamiento se deduce que . (5.5)

Multipliquemos la igualdad (5.5) por algún número λ y sumémoslo a (5.4). Obtenemos:

, o .

La última igualdad debe cumplirse en puntos estacionarios, de lo que se sigue:

(5.6)

Se obtiene un sistema de tres ecuaciones para tres incógnitas: x,y y λ, y las dos primeras ecuaciones son las condiciones para el punto estacionario de la función de Lagrange. Excluyendo la incógnita auxiliar λ del sistema (5.6), encontramos las coordenadas de los puntos en los que la función original puede tener un extremo condicional.

Observación 1. La presencia de un extremo condicional en el punto encontrado se puede comprobar estudiando las derivadas parciales de segundo orden de la función de Lagrange por analogía con el teorema 5.2.

Observación 2. Puntos en los que se puede alcanzar el extremo condicional de la función. f (x 1 , x 2 ,…, x n ) cuando se cumplen las condiciones (5.2), se pueden definir como soluciones del sistema (5.7)

Ejemplo. Encontremos el extremo condicional de la función. z = xy dado que x + y= 1. Compongamos la función de Lagrange L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). El sistema (5.6) se ve así:

Donde -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. Donde L(x,y) se puede representar en la forma L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0,5 ≤ 0,5, por lo tanto en el punto estacionario encontrado L(x,y) tiene un máximo y z = xy – máximo condicional.

Sea la función z - /(x, y) definida en algún dominio D y sea Mo(xo, Vo) un punto interior de este dominio. Definición. Si hay un número tal que para todas las condiciones que satisfacen la desigualdad es verdadera, entonces el punto Mo(xo, yo) se llama punto máximo local funciones /(x, y); si para todo Dx, Du, se cumplen las condiciones | entonces el punto Mo(xo,yo) se llama mínimo local delgado. En otras palabras, el punto M0(x0, y0) es un punto de máximo o mínimo de la función f(x, y) si existe una vecindad 6 del punto A/o(x0, y0) tal que en absoluto puntos M(x, y) de este en la vecindad, el incremento de la función mantiene su signo. Ejemplos. 1. Para el punto de función - punto mínimo (Fig. 17). 2. Para la función, el punto 0(0,0) es el punto máximo (Fig. 18). 3. Para una función, el punto 0(0,0) es un punto máximo local. 4 De hecho, existe una vecindad del punto 0(0, 0), por ejemplo, un círculo de radio j (ver Fig. 19), en cualquier punto del cual, diferente del punto 0(0,0), el valor de la función /(x,y) menor que 1 = Consideraremos solo puntos de máximo y mínimo estrictos de funciones cuando se cumpla la desigualdad estricta o la desigualdad estricta para todos los puntos M(x) y) de algún vecindario de 6 perforado del punto Mq. El valor de una función en el punto máximo se llama máximo y el valor de la función en el punto mínimo se llama mínimo de esta función. Los puntos máximo y mínimo de una función se denominan puntos extremos de la función, y los máximos y mínimos de la función se denominan extremos. Teorema 11 (condición necesaria para un extremo). Si una función es un extremo de una función de varias variables El concepto de extremo de una función de varias variables. Condiciones necesarias y suficientes para un extremo Extremo condicional Los valores más grandes y más pequeños de funciones continuas tienen un extremo en el punto, luego en este punto cada derivada parcial u desaparece o no existe. Sea en el punto M0(x0, yо) que la Función z = f(x) y) tenga un extremo. Démosle a la variable y el valor oo. Entonces la función z = /(x, y) será función de una variable x\ Dado que en x = xo tiene un extremo (máximo o mínimo, Fig. 20), entonces su derivada con respecto a x = “o, | (*o,l>)" Igual a cero o no existe. De manera similar, estamos convencidos de que) es igual a cero o no existe. Los puntos en los que = 0 y χ = 0 o no existen se llaman críticos puntos de la función z = Dx, y). Los puntos en los que $£ = φ = 0 también se denominan puntos estacionarios de la función. El teorema 11 expresa sólo las condiciones necesarias para el extremo, que no son suficientes. Ejemplo. Función Fig 18 Fig. 20 derivadas immt que desaparecen en Pero esta función es delgada en el imvat del rasgueo. De hecho, la función es igual a cero en el punto 0(0,0) y toma coeficientes positivos en los puntos M(x, y), arbitrariamente cerca del punto 0(0,0), y valores negativos. Por ello, en los puntos (0, y) para un punto arbitrariamente pequeño 0(0,0) del tipo indicado se denomina punto mini-max (Fig. 21). Las condiciones suficientes para un extremo de una función de dos variables se expresan mediante el siguiente teorema. Teorema 12 (condiciones suficientes para un extremo en dos variables). Sea el punto Mo(xo»Yo) un punto estacionario de la función f(x, y), y en alguna vecindad del punto /, incluido el propio punto Mo, la función f(z, y) tiene derivadas parciales continuas hasta el segundo orden inclusive. Entonces". en el punto Mo(xo, V0) la función /(xo, y) no tiene extremo si D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>El extremo de la función f(x, y) puede existir o no. En este caso, se requiere más investigación. m Limitémonos a demostrar los enunciados 1) y 2) del teorema. Escribamos la fórmula de Taylor de segundo orden para la función /(i, y): donde. Según la condición, es claro que el signo del incremento D/ está determinado por el signo del trinomio del lado derecho de (1), es decir, el signo del segundo diferencial d2f. Denotémoslo por brevedad. Entonces la igualdad (l) se puede escribir de la siguiente manera: Dejar en el punto MQ(entonces, V0) tenemos... Dado que, por condición, las derivadas parciales de segundo orden de la función f(s, y) son continuas, entonces La desigualdad (3) también se cumplirá en alguna vecindad del punto M0(s0,yo). Si se cumple la condición (en el punto А/0, y en virtud de la continuidad la derivada /,z(s,y) conservará su signo en alguna vecindad del punto Af0. En la región donde А Ф 0, tenemos De esto se desprende claramente que si ЛС - В2 > 0 en alguna vecindad del punto M0(x0) y0), entonces el signo del trinomio AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 coincide con el signo de A en el punto (por lo que , V0) (así como con el signo de C, ya que para AC - B2 > 0 A y C no pueden tener signos diferentes). Dado que el signo de la suma AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 en el punto (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) determina el signo de la diferencia, llegamos a la siguiente conclusión: si para la función /(s,y) en la condición del punto estacionario (s0, V0), entonces para || suficientemente pequeño la desigualdad quedará satisfecha. Así, en el punto (sq, V0) la función /(s, y) tiene un máximo. Si la condición se cumple en el punto estacionario (s0, y0), entonces para todos los |Dr| suficientemente pequeños y |Du| la desigualdad es verdadera, lo que significa que en el punto (so,yo) la función /(s, y) tiene un mínimo. Ejemplos. 1. Investigar la función para un extremo 4 Usando las condiciones necesarias para un extremo, buscamos puntos estacionarios de la función. Para hacer esto, encontramos las derivadas parciales u y las igualamos a cero. Obtenemos un sistema de ecuaciones de donde - un punto estacionario. Usemos ahora el teorema 12. Esto significa que hay un extremo en el punto Ml. Porque este es el mínimo. Si transformamos la función r en forma, es fácil ver que parte derecha (“) será mínimo cuando sea el mínimo absoluto de esta función. 2. Examinar la función en busca de un extremo. Encontramos puntos estacionarios de la función, para los cuales componemos un sistema de ecuaciones, por lo tanto, el punto es estacionario. Dado que, en virtud del teorema 12, no existe ningún extremo en el punto M. * 3. Investiga el extremo de la función Encuentra los puntos estacionarios de la función. Del sistema de ecuaciones obtenemos eso, entonces el punto es estacionario. A continuación tenemos que el Teorema 12 no responde a la pregunta sobre la presencia o ausencia de un extremo. Hagámoslo de esta manera. Para una función sobre todos los puntos diferentes del punto entonces, por definición, y el punto A/o(0,0) la función r tiene un mínimo absoluto. Mediante cálculos similares establecemos que la función tiene un máximo en el punto, pero la función no tiene un extremo en el punto. Sea una función de n variables independientes diferenciable en un punto. El punto Mo se llama punto estacionario de la función si se cumple el Teorema 13 (hasta condiciones suficientes para un extremo). Dejemos que la función esté definida y tenga derivadas parciales continuas de segundo orden en alguna vecindad de la multa Mt(xi..., que es una función multa estacionaria si la forma cuadrática (el segundo diferencial de la función f en la multa es positiva definida (definida negativa), el punto mínimo (respectivamente, máximo fino) de la función f es fino Si la forma cuadrática (4) es alterna en signo, entonces no hay ningún extremo en la fina LG0. Para establecer si la forma cuadrática Si la forma (4) será definida positiva o negativa, puede utilizar, por ejemplo, el criterio de Sylvester para la certeza positiva (negativa) de la forma cuadrática. 15.2. Extremos condicionales. Hasta ahora, hemos estado buscando extremos locales de una función. en todo su dominio de definición, cuando los argumentos de la función no están sujetos a ninguna condición adicional. Estos extremos se llaman incondicionales. Sin embargo, a menudo se encuentran problemas para encontrar los llamados extremos condicionales. Sea la función z = /(x, y ) definirse en el dominio D. Supongamos que se da una curva L en este dominio, y necesitamos encontrar los extremos de la función f(x> y) solo entre aquellos de sus valores que corresponden a los puntos de la curva L. Los mismos extremos se llaman extremos condicionales de la función z = f(x) y) en la curva L. Definición Dicen que en un punto que se encuentra en la curva L, la función f(x, y) tiene un máximo (mínimo) condicional si la desigualdad se satisface en todos los puntos M (s, y) y) curva L, perteneciente a alguna vecindad del punto M0(x0, V0) y diferente del punto M0 (Si la curva L es dado por una ecuación, entonces el problema es encontrar el extremo condicional de la función r - f(x,y) en la curva. se puede formular de la siguiente manera: encontrar los extremos de la función x = /(z, y) en la región D, siempre que Por lo tanto, al encontrar los extremos condicionales de la función z = y), los argumentos de ñu ya no pueden ser consideradas como variables independientes: están relacionadas entre sí por la relación y ) = 0, que se llama ecuación de acoplamiento. Para aclarar la distinción entre extremo incondicional y condicional, veamos un ejemplo donde el máximo incondicional de la función (Fig. 23) es igual a uno y se alcanza en el punto (0,0). Corresponde al punto M, el vértice del pvvboloide, agreguemos la ecuación de conexión y = j. Entonces el máximo condicional será obviamente igual a él, se alcanza en el punto (o,|), y corresponde al vértice Afj de la pelota, que es la línea de intersección de la pelota con el plano y = j. En el caso de un mvximum incondicional, tenemos un mvximum aplicable entre todos los vpplicvt de la superficie * = 1 - l;2 ~ y1; summvv condicional - sólo entre los puntos vllikvt pvraboloidv, correspondientes al punto* de la recta y = j, no al plano xOy. Uno de los métodos para encontrar el extremo condicional de una función en presencia y conexión es el siguiente. Dejemos que la ecuación de conexión y) - O defina y como una función diferenciable única del argumento x: Sustituyendo una función en lugar de y en la función, obtenemos una función de un argumento en la que la condición de conexión ya se tiene en cuenta. El extremo (incondicional) de la función es el extremo condicional deseado. Ejemplo. Encuentre el extremo de una función bajo la condición Extremo de una función de varias variables El concepto de extremo de una función de varias variables. Condiciones necesarias y suficientes para un extremo Extremo condicional Los valores más grande y más pequeño de funciones continuas A De la ecuación de conexión (2") encontramos y = 1-x. Sustituyendo este valor y en (V), obtenemos una función de un argumento x: Examinemos el extremo: de donde x = 1 es el punto crítico; , por lo que entrega el mínimo condicional de la función r (Fig. 24). Indiquemos otra forma de resolver el problema del condicional extremo, llamado método del multiplicador de Lagrange. Sea un punto del extremo condicional de la función en presencia de una conexión. Supongamos que la ecuación de conexión define una función única continuamente diferenciable en una determinada vecindad del punto xx. que obtenemos que la derivada respecto de x de la función /(r, ip(x)) en el punto xq debe ser igual a cero o, lo que es equivalente a esto, la diferencial de f(x, y) en el punto punto Mo" O) De la ecuación de conexión tenemos (5) Multiplicando la última igualdad por un factor numérico A aún indeterminado y sumando término por término con igualdad (4), tendremos (asumimos que). Luego, debido a la arbitrariedad de dx, obtenemos que las igualdades (6) y (7) expresan las condiciones necesarias para un extremo incondicional en el punto de la función, que se llama función de Lagrange. Por tanto, el punto extremo condicional de la función /(x, y), si, es necesariamente un punto estacionario de la función de Lagrange donde A es un determinado coeficiente numérico. De aquí obtenemos una regla para encontrar extremos condicionales: para encontrar puntos que puedan ser puntos del extremo convencional de una función en presencia de una conexión, 1) componemos la función de Lagrange, 2) igualando las derivadas de esta función a cero y sumando la ecuación de conexión a las ecuaciones resultantes, obtenemos un sistema de tres ecuaciones del cual encontramos los valores de A y las coordenadas x, y de posibles puntos extremos. La cuestión de la existencia y naturaleza del extremo condicional se resuelve a partir del estudio del signo del segundo diferencial de la función de Lagrange para el sistema considerado de valores x0, V0, A, obtenido de (8) siempre que Si , entonces en el punto (x0, V0) la función /(x, y ) tiene un máximo condicional; si d2F > 0 - entonces un mínimo condicional. En particular, si en un punto estacionario (xo, J/o) el determinante D de la función F(x, y) es positivo, entonces en el punto (®o, V0) existe un máximo condicional de la función f( x, y), si y mínimo condicional de la función /(x, y), si Ejemplo. Volvamos nuevamente a las condiciones del ejemplo anterior: encuentre el extremo de la función bajo la condición de que x + y = 1. Resolveremos el problema usando el método del multiplicador de Lagrange. función de Lagrange en en este caso tiene la forma Para encontrar puntos estacionarios, componemos un sistema. De las dos primeras ecuaciones del sistema, obtenemos que x = y. Luego, de la tercera ecuación del sistema (la ecuación de conexión) encontramos que x - y = j son las coordenadas del posible punto extremo. En este caso (se indica que A = -1. Por tanto, la función de Lagrange. es el punto mínimo condicional de la función * = x2 + y2 bajo la condición No existe un extremo incondicional para la función de Lagrange. P(x, y ) aún no significa la ausencia de un extremo condicional para la función /(x, y) en presencia de una conexión Ejemplo: Encuentre el extremo de una función bajo la condición y 4 Componemos la función de Lagrange y escribimos un sistema para determinando A y las coordenadas de posibles puntos extremos: De las dos primeras ecuaciones obtenemos x + y = 0 y llegamos al sistema desde donde x = y = A = 0. Así, la función de Lagrange correspondiente tiene la forma En el punto (0,0) la función F(x, y; 0) no tiene un extremo incondicional, sin embargo, el extremo condicional de la función r = xy. Cuando y = x, existe ". De hecho, en este caso r = x2. De aquí queda claro que en el punto (0,0) hay un mínimo condicional. "El método de los multiplicadores de Lagrange se traslada al caso de funciones de cualquier número de argumentos/ Busquemos el extremo de la función en presencia de ecuaciones de conexión. Componga la función de Lagrange donde A|, Az,..., A„, son factores constantes indefinidos. Igualando a cero todas las derivadas parciales de primer orden de la función F y sumando las ecuaciones de conexión (9) a las ecuaciones resultantes, obtenemos un sistema de n + m ecuaciones, a partir del cual determinamos Ab A3|..., En y coordenadas x \)x2). » xn de posibles puntos de extremo condicional. La cuestión de si los puntos encontrados mediante el método de Lagrange son en realidad puntos de un extremo condicional a menudo puede resolverse basándose en consideraciones de naturaleza física o geométrica. 15.3. Los valores más grande y más pequeño de funciones continuas Sea necesario encontrar el valor más grande (más pequeño) de la función z = /(x, y), continuo en algún dominio limitado cerrado D. Según el teorema 3, en este dominio hay es un punto (xo, V0) en el que la función toma el valor mayor (menor). Si el punto (xo, y0) se encuentra dentro del dominio D, entonces la función / tiene un máximo (mínimo), por lo que en este caso el punto que nos interesa está contenido entre los puntos críticos de la función /(x, y). Sin embargo, la función /(x, y) puede alcanzar su valor mayor (menor) en el límite de la región. Por lo tanto, para encontrar el valor más grande (más pequeño) tomado por la función z = /(x, y) en un tiempo limitado zona cerrada 2), es necesario encontrar todos los máximos (mínimos) de la función que se alcanzan dentro de esta área, así como el valor más grande (más pequeño) de la función en el límite de esta área. El mayor (el menor) de todos estos números será el valor mayor (el menor) deseado de la función z = /(x,y) en la región 27. Mostremos cómo se hace esto en el caso de una función diferenciable. Pmmr. Encuentre los valores mayor y menor de la función de la región 4. Encontramos los puntos críticos de la función dentro de la región D. Para ello, componemos un sistema de ecuaciones, de aquí obtenemos x = y « 0, de modo que El punto 0 (0,0) es el punto crítico de la función x. Dado que ahora encontremos los valores mayor y menor de la función en el límite Г de la región D. En parte del límite tenemos que y = 0 es un punto crítico, y como = entonces en este punto la función z = 1 + y2 tiene un mínimo igual a uno. En los extremos del segmento Г", en los puntos (, tenemos. Usando consideraciones de simetría, obtenemos los mismos resultados para otras partes de la frontera. Finalmente obtenemos: el valor más pequeño de la función z = x2+y2 en la región "B es igual a cero y se logra en el punto interno 0( 0, 0) áreas, y valor más alto de esta función, igual a dos, se logra en cuatro puntos de la frontera (Fig. 25) Fig. 25 Ejercicios Encuentre el dominio de definición de las funciones: Construya las líneas de nivel de las funciones: 9 Encuentre las superficies de nivel de las funciones de tres variables independientes: Calcular los límites de las funciones: Encontrar las derivadas parciales de las funciones y sus diferenciales completos : Encuentra derivadas de funciones complejas: 3 Encuentra J. Extremo de una función de varias variables El concepto de extremo de una función de varias variables. Condiciones necesarias y suficientes para un extremo Extremo condicional Los valores más grande y más pequeño de funciones continuas 34. Usando la fórmula para la derivada de una función compleja de dos variables, encuentre y funciones: 35. Usando la fórmula para la derivada de un complejo función de dos variables, encuentre |J y funciones: Encuentre jj funciones dadas implícitamente: 40. Encuentre el coeficiente angular de la curva tangente en el punto de su intersección con la recta x = 3. 41. Encuentre los puntos en los que la tangente de la curva x es paralela al eje Ox. . En los siguientes problemas, encuentre y T: Escriba las ecuaciones del plano tangente y la normal de la superficie: 49. Escriba las ecuaciones de los planos tangentes de la superficie x2 + 2y2 + 3z2 = 21, paralela al plano x + 4y + 6z = 0. Encuentre los primeros tres o cuatro términos del desarrollo usando la fórmula de Taylor: 50. y en las proximidades del punto (0, 0). Utilizando la definición de extremo de una función, examine las siguientes funciones para determinar el extremo:). Usando condiciones suficientes para el extremo de una función de dos variables, examine el extremo de la función: 84. Encuentre los valores mayor y menor de la función z = x2 - y2 en un círculo cerrado 85. Encuentre los valores mayor y menor ​​de la función * = x2y(4-x-y) en un triángulo delimitado por rectas x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Determinar las dimensiones de una piscina abierta rectangular que tiene la superficie más pequeña, siempre que su volumen sea igual a V. 87. Calcular las dimensiones de un paralelepípedo rectangular que tiene el volumen máximo dada la superficie total 5. Respuestas 1. y | Un cuadrado formado por segmentos de recta x incluyendo sus lados. 3. Familia de anillos concéntricos 2= 0,1,2,... .4. Todo el plano excepto los puntos de las rectas. Parte del plano situada encima de la parábola y = -x?. 8. Puntos del círculo x. Todo el plano excepto las rectas x La expresión radical no es negativa en dos casos j * ^ o j x ^ ^ lo que equivale a una serie infinita de desigualdades, respectivamente. El dominio de definición son los cuadrados sombreados (Fig. 26); l que equivale a una serie infinita La función está definida en puntos. a) Rectas paralelas a la recta x b) Círculos concéntricos con centro en el origen. 10. a) parábolas y) parábolas y a) parábolas b) hipérbolas | .Aviones xc. 13.Prime: hiperboloides de rotación de una sola cavidad alrededor del eje Oz; cuando y son hiperboloides de rotación de dos láminas alrededor del eje Oz, ambas familias de superficies están separadas por un cono; No hay límite, b) 0. 18. Establezcamos y = kxt entonces z lim z = -2, por lo que la función dada en el punto (0,0) no tiene límite. 19. a) Punto (0,0); b) punto (0,0). 20. a) Línea de ruptura - círculo x2 + y2 = 1; b) la línea de ruptura es la recta y = x. 21. a) Líneas de ruptura: ejes de coordenadas Ox y Oy; b) 0 (conjunto vacío). 22. Todos los puntos (m, n), donde y n son números enteros