"Encuentra el desarrollo en serie de Maclaurin de la función f(x)"- Así es exactamente como suena la tarea de matemáticas superiores, que algunos estudiantes pueden realizar, mientras que otros no pueden hacer frente a los ejemplos. Hay varias formas de expandir una serie en potencias; aquí daremos una técnica para expandir funciones en una serie de Maclaurin. Al desarrollar una función en serie, debes ser bueno calculando derivadas.
Ejemplo 4.7 Expandir una función en potencias de x
Cálculos: Realizamos la expansión de la función según la fórmula de Maclaurin. Primero, expandamos el denominador de la función a una serie. 
Finalmente, multiplica la expansión por el numerador.
El primer término es el valor de la función en cero f (0) = 1/3.
Encontremos las derivadas de la función de primer y superior orden f (x) y el valor de estas derivadas en el punto x=0 
A continuación, basándonos en el patrón de cambios en el valor de las derivadas en 0, escribimos la fórmula para la enésima derivada 
Entonces, representamos el denominador en forma de expansión en la serie de Maclaurin. 
Multiplicamos por el numerador y obtenemos la expansión deseada de la función en una serie en potencias de x 
Como puedes ver, aquí no hay nada complicado.
Todos los puntos clave se basan en la capacidad de calcular derivadas y generalizar rápidamente el valor de la derivada de orden superior a cero. Los siguientes ejemplos le ayudarán a aprender cómo organizar rápidamente una función en una serie.
Ejemplo 4.10 Encuentre la expansión en serie de Maclaurin de la función
Cálculos: Como habrás adivinado, pondremos el coseno en el numerador en una serie. Para hacer esto, puedes usar fórmulas para cantidades infinitesimales o derivar la expansión del coseno mediante derivadas. Como resultado, llegamos a la siguiente serie en potencias de x 
Como puede ver, tenemos un mínimo de cálculos y una representación compacta de la expansión en serie.
Ejemplo 4.16 Expandir una función en potencias de x:
7/(12-xx^2)
Cálculos: En este tipo de ejemplos, es necesario expandir la fracción mediante la suma de fracciones simples.
No le mostraremos cómo hacer esto ahora, pero con la ayuda coeficientes inciertos Lleguemos a la suma de las fracciones.
A continuación escribimos los denominadores en forma exponencial. 
Queda por ampliar los términos utilizando la fórmula de Maclaurin. Resumiendo los términos a las mismas potencias de "x", redactamos una fórmula para el término general de la expansión de una función en una serie. 
La última parte de la transición a la serie al principio es difícil de implementar, ya que es difícil combinar fórmulas para índices (grados) emparejados y no emparejados, pero con la práctica mejorarás.
Ejemplo 4.18 Encuentre la expansión en serie de Maclaurin de la función
Cálculos: Encontremos la derivada de esta función: 
Ampliemos la función en una serie usando una de las fórmulas de McLaren: 
Sumamos la serie término por término basándonos en el hecho de que ambos son absolutamente idénticos. Habiendo integrado toda la serie término a término, obtenemos la expansión de la función en una serie en potencias de x 
Hay una transición entre las dos últimas líneas de la expansión que te llevará mucho tiempo al principio. Generalizar una fórmula en serie no es fácil para todos, así que no te preocupes por no poder obtener una fórmula agradable y compacta.
Ejemplo 4.28 Encuentre la expansión en serie de Maclaurin de la función:
Escribamos el logaritmo de la siguiente manera. 
Usando la fórmula de Maclaurin, expandimos la función logaritmo en una serie en potencias de x 
La convolución final es compleja a primera vista, pero al alternar signos siempre obtendrás algo similar. Se completa la lección de entrada sobre el tema de la programación de funciones en una fila. Otros esquemas de descomposición igualmente interesantes se analizarán en detalle en los siguientes materiales.
Si la función f(x) tiene derivadas de todos los órdenes en un cierto intervalo que contiene el punto a, entonces se le puede aplicar la fórmula de Taylor:
,
Dónde rn– el llamado término restante o resto de la serie, se puede estimar mediante la fórmula de Lagrange:
, donde el número x está entre x y a.
Reglas para ingresar funciones.:
Si por algun valor X rn→0 en norte→∞, entonces en el límite la fórmula de Taylor se vuelve convergente para este valor serie de taylor:
,
Por tanto, la función f(x) se puede expandir a una serie de Taylor en el punto x considerado si:
1) tiene derivados de todos los órdenes;
2) la serie construida converge en este punto.
Cuando a = 0 obtenemos una serie llamada cerca de Maclaurin:
,
Ampliación de las funciones más simples (elementales) de la serie Maclaurin:
Funciones exponenciales
, R=∞
Funciones trigonométricas 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
La función actgx no se expande en potencias de x, porque ctg0=∞
Funciones hiperbólicas
Funciones logarítmicas
, -1
Serie binomial
.
Ejemplo No. 1. Expande la función a una serie de potencias. f(x)= 2X.
Solución. Encontremos los valores de la función y sus derivadas en X=0
f(x) = 2X, F( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2X ln2, F"( 0)
= 2 0
ln2= ln2;
f""(x) = 2X en 2 2, F""( 0)
= 2 0
en 2 2= en 2 2;
…
f(n)(x) = 2X en norte 2, f(n)( 0)
= 2 0
en norte 2=en norte 2.
Sustituyendo los valores obtenidos de las derivadas en la fórmula de la serie de Taylor, obtenemos:
El radio de convergencia de esta serie es igual al infinito, por lo tanto esta expansión es válida para -∞<X<+∞.
Ejemplo No. 2. Escribe la serie de Taylor en potencias ( X+4) para función f(x)= mi X.
Solución. Encontrar las derivadas de la función e. X y sus valores en el punto X=-4.
f(x)= mi X, F(-4)
= mi -4
;
f"(x)= mi X, F"(-4)
= mi -4
;
f""(x)= mi X, F""(-4)
= mi -4
;
…
f(n)(x)= mi X, f(n)( -4)
= mi -4
.
Por lo tanto, la serie de Taylor requerida de la función tiene la forma:
Esta expansión también es válida para -∞<X<+∞.
Ejemplo No. 3. Expandir una función f(x)=ln X en una serie en potencias ( X- 1),
(es decir, en la serie de Taylor en las proximidades del punto X=1).
Solución. Encuentra las derivadas de esta función.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos la serie de Taylor deseada:
Usando la prueba de d'Alembert, puedes verificar que la serie converge en ½x-1½<1 . Действительно,
La serie converge si ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 obtenemos una serie alterna que satisface las condiciones del criterio de Leibniz. Cuando x=0 la función no está definida. Por tanto, la región de convergencia de la serie de Taylor es el intervalo semiabierto (0;2].
Ejemplo No. 4. Expande la función a una serie de potencias. Ejemplo No. 5. Expanda la función a una serie de Maclaurin. Comentario
.
Este método se basa en el teorema de la unicidad del desarrollo de una función en una serie de potencias. La esencia de este teorema es que en las proximidades de un mismo punto no se pueden obtener dos series de potencias diferentes que convergerían en la misma función, sin importar cómo se realice su expansión. Ejemplo No. 5a. Expande la función en una serie de Maclaurin e indica la región de convergencia. La fracción 3/(1-3x) puede considerarse como la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente con denominador 3x, si |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Ejemplo No. 6. Expande la función a una serie de Taylor en la vecindad del punto x = 3. Ejemplo No. 7. Escribe la serie de Taylor en potencias (x -1) de la función ln(x+2). Ejemplo No. 8. Expande la función f(x)=sin(πx/4) en una serie de Taylor en la vecindad del punto x =2. Ejemplo No. 1. Calcule ln(3) al 0,01 más cercano. Ejemplo No. 2. Calcule al 0,0001 más cercano. Ejemplo No. 3. Calcula la integral ∫ 0 1 4 sen (x) x con una precisión de 10 -5 . Ejemplo No. 4. Calcula la integral ∫ 0 1 4 e x 2 con una precisión de 0.001. Los estudiantes de matemáticas superiores deben saber que la suma de una determinada serie de potencias perteneciente al intervalo de convergencia de la serie que nos han dado resulta ser una función continua e ilimitada de veces diferenciada. Surge la pregunta: ¿es posible decir que una función arbitraria dada f(x) es la suma de una determinada serie de potencias? Es decir, ¿bajo qué condiciones se puede representar la función f(x) mediante una serie de potencias? La importancia de esta pregunta radica en el hecho de que es posible reemplazar aproximadamente la función f(x) con la suma de los primeros términos de una serie de potencias, es decir, un polinomio. Esta sustitución de una función por una expresión bastante simple, un polinomio, también es conveniente a la hora de resolver ciertos problemas, a saber: al resolver integrales, al calcular, etc. Se ha demostrado que para una determinada función f(x), en la que es posible calcular derivadas hasta el orden (n+1), incluida la última, en la vecindad de (α - R; x 0 + R ) algún punto x = α, es cierto que la fórmula: Esta fórmula lleva el nombre de la famosa científica Brooke Taylor. La serie que se obtiene de la anterior se llama serie de Maclaurin: La regla que permite realizar una expansión en una serie de Maclaurin: R n (x) -> 0 en n -> infinito. Si existe, la función f(x) debe coincidir con la suma de la serie de Maclaurin. Consideremos ahora la serie Maclaurin para funciones individuales. 1. Entonces, el primero será f(x) = e x. Por supuesto, por sus características, dicha función tiene derivadas de muy diferentes órdenes, y f (k) (x) = e x , donde k es igual a todo x = 0. Obtenemos f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Con base en lo anterior, la serie e x se verá así: 2. Serie de Maclaurin para la función f(x) = sen x. Aclaremos de inmediato que la función para todas las incógnitas tendrá derivadas, además, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), donde k es igual a cualquier número natural. Es decir, después de hacer cálculos simples, podemos llegar a. la conclusión es que la serie para f(x) = sen x se verá así: 3. Ahora intentemos considerar la función f(x) = cos x. Para todas las incógnitas tiene derivadas de orden arbitrario, y |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так: Entonces, hemos enumerado las funciones más importantes que se pueden expandir en una serie de Maclaurin, pero se complementan con series de Taylor para algunas funciones. Ahora los enumeraremos. También vale la pena señalar que las series de Taylor y Maclaurin son una parte importante del trabajo práctico de resolución de series en matemáticas superiores. Entonces, serie de Taylor. 1. La primera será la serie de la función f(x) = ln(1+x). Como en los ejemplos anteriores, para f(x) = ln(1+x) dada podemos sumar la serie usando la forma general de la serie de Maclaurin. sin embargo, para esta función se puede obtener la serie de Maclaurin de forma mucho más sencilla. Habiendo integrado una determinada serie geométrica, obtenemos una serie para f(x) = ln(1+x) de tal muestra: 2. Y la segunda, que será la definitiva en nuestro artículo, será la serie para f(x) = arctan x. Para x perteneciente al intervalo [-1;1] la expansión es válida: Eso es todo. Este artículo examinó las series de Taylor y Maclaurin más utilizadas en matemáticas superiores, en particular en economía y universidades técnicas. Si la función f(x) tiene en algún intervalo que contiene el punto A, derivadas de todos los órdenes, entonces se le puede aplicar la fórmula de Taylor: Dónde rn– el llamado término restante o resto de la serie, se puede estimar mediante la fórmula de Lagrange: Si por algun valor xrn®0 en norte®¥, entonces en el límite la fórmula de Taylor se convierte en una fórmula convergente para este valor serie de taylor: Entonces la función f(x) se puede expandir a una serie de Taylor en el punto en cuestión X, Si: 1) tiene derivados de todos los órdenes; 2) la serie construida converge en este punto. En A=0 obtenemos una serie llamada cerca de Maclaurin: Ejemplo 1
f(x)= 2X. Solución. Encontremos los valores de la función y sus derivadas en X=0 f(x) = 2X, F( 0)
= 2 0
=1; f¢(x) = 2X ln2, f¢( 0)
= 2 0
ln2= ln2; f¢¢(x) = 2X en 2 2, f¢¢( 0)
= 2 0
en 2 2= en 2 2; f(n)(x) = 2X en norte 2, f(n)( 0)
= 2 0
en norte 2=en norte 2. Sustituyendo los valores obtenidos de las derivadas en la fórmula de la serie de Taylor, obtenemos: El radio de convergencia de esta serie es igual al infinito, por lo tanto esta expansión es válida para -¥<X<+¥. Ejemplo 2
X+4) para función f(x)= mi X. Solución. Encontrar las derivadas de la función e. X y sus valores en el punto X=-4. f(x)= mi X, F(-4)
= mi -4
; f¢(x)= mi X, f¢(-4)
= mi -4
; f¢¢(x)= mi X, f¢¢(-4)
= mi -4
; f(n)(x)= mi X, f(n)( -4)
= mi -4
. Por lo tanto, la serie de Taylor requerida de la función tiene la forma: Esta ampliación también es válida para -¥<X<+¥. Ejemplo 3
. Expandir una función f(x)=ln X en una serie en potencias ( X- 1), (es decir, en la serie de Taylor en las proximidades del punto X=1). Solución. Encuentra las derivadas de esta función. Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos la serie de Taylor deseada: Usando la prueba de d'Alembert, puedes verificar que la serie converge cuando ½ X- 1½<1. Действительно, La serie converge si ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 obtenemos una serie alterna que satisface las condiciones del criterio de Leibniz. En X=0 la función no está definida. Por tanto, la región de convergencia de la serie de Taylor es el intervalo semiabierto (0;2]. Presentemos las expansiones obtenidas de esta manera en la serie de Maclaurin (es decir, en las proximidades del punto X=0) para algunas funciones elementales: (2) (3) ( la última descomposición se llama serie binomial) Ejemplo 4
. Expande la función a una serie de potencias. Solución. En la expansión (1) reemplazamos X en - X 2, obtenemos: Ejemplo 5
. Ampliar la función en una serie de Maclaurin. Solución. Tenemos Usando la fórmula (4), podemos escribir: sustituyendo en su lugar X en la fórmula -X, obtenemos: Desde aquí encontramos: Abriendo los paréntesis, reordenando los términos de la serie y acercando términos similares, obtenemos Esta serie converge en el intervalo (-1;1), ya que se obtiene a partir de dos series, cada una de las cuales converge en este intervalo. Comentario
. Las fórmulas (1)-(5) también se pueden usar para expandir las funciones correspondientes en una serie de Taylor, es decir para funciones en expansión en potencias enteras positivas ( Ja). Para hacer esto, es necesario realizar transformaciones idénticas en una función dada para obtener una de las funciones (1)-(5), en la que en lugar X cuesta k( Ja) m , donde k es un número constante, m es un número entero positivo. Muchas veces es conveniente hacer un cambio de variable t=Ja y expandir la función resultante con respecto a t en la serie de Maclaurin. Este método ilustra el teorema sobre la unicidad de una expansión en serie de potencias de una función. La esencia de este teorema es que en las proximidades de un mismo punto no se pueden obtener dos series de potencias diferentes que convergerían en la misma función, sin importar cómo se realice su expansión. Ejemplo 6
. Expandir la función en una serie de Taylor en la vecindad de un punto X=3. Solución. Este problema se puede resolver, como antes, utilizando la definición de la serie de Taylor, para lo cual necesitamos encontrar las derivadas de la función y sus valores en X=3. Sin embargo, será más fácil utilizar la expansión existente (5): La serie resultante converge en Ejemplo 7
. Escribe la serie de Taylor en potencias ( X-1) funciones Solución. La serie converge en
Solución. En el desarrollo (1) reemplazamos x con -x 2, obtenemos:
, -∞
Solución. Tenemos
Usando la fórmula (4), podemos escribir:
sustituyendo –x en lugar de x en la fórmula, obtenemos:
De aquí encontramos: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Abriendo los paréntesis, reordenando los términos de la serie y acercando términos similares, obtenemos
. Esta serie converge en el intervalo (-1;1), ya que se obtiene a partir de dos series, cada una de las cuales converge en este intervalo.
Las fórmulas (1)-(5) también se pueden usar para expandir las funciones correspondientes en una serie de Taylor, es decir para funciones en expansión en potencias enteras positivas ( Ja). Para hacer esto, es necesario realizar transformaciones idénticas en una función dada para obtener una de las funciones (1)-(5), en la que en lugar X cuesta k( Ja) m , donde k es un número constante, m es un número entero positivo. Muchas veces es conveniente hacer un cambio de variable t=Ja y expandir la función resultante con respecto a t en la serie de Maclaurin.
Solución. Primero encontramos 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
a elemental:
con región de convergencia |x|< 1/3.
Solución. Este problema se puede resolver, como antes, utilizando la definición de la serie de Taylor, para lo cual necesitamos encontrar las derivadas de la función y sus valores en X=3. Sin embargo, será más fácil utilizar la expansión existente (5):
=
La serie resultante converge en o –3
Solución.
La serie converge en , o -2< x < 5.
Solución. Hagamos el reemplazo t=x-2:
Usando el desarrollo (3), en el que sustituimos π / 4 t en lugar de x, obtenemos:
La serie resultante converge a la función dada en -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Cálculos aproximados utilizando series de potencias.
Las series de potencias se utilizan ampliamente en cálculos aproximados. Con su ayuda, puedes calcular los valores de raíces, funciones trigonométricas, logaritmos de números e integrales definidas con una precisión determinada. Las series también se utilizan al integrar ecuaciones diferenciales.
Considere la expansión de una función en una serie de potencias:
Para calcular el valor aproximado de una función en un punto dado X, pertenecientes a la región de convergencia de la serie indicada, las primeras quedan en su expansión norte miembros ( norte– un número finito), y se descartan los términos restantes:
Para estimar el error del valor aproximado obtenido, es necesario estimar el resto descartado rn (x). Para hacer esto, utilice las siguientes técnicas:
Solución. Usemos la expansión donde x=1/2 (ver ejemplo 5 en el tema anterior):
Comprobemos si podemos descartar el resto después de los tres primeros términos del desarrollo; para ello lo evaluaremos utilizando la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente:
Entonces podemos descartar este resto y obtener
Solución. Usemos la serie binomial. Dado que 5 3 es el cubo de un número entero más cercano a 130, es aconsejable representar el número 130 como 130 = 5 3 +5. 
ya que el cuarto término de la serie alterna resultante que satisface el criterio de Leibniz es menor que la precisión requerida:
, por lo que éste y los términos siguientes pueden descartarse.
Muchas integrales definidas o impropias prácticamente necesarias no se pueden calcular utilizando la fórmula de Newton-Leibniz, porque su aplicación está asociada con la búsqueda de la antiderivada, que a menudo no tiene expresión en funciones elementales. También sucede que es posible encontrar una antiderivada, pero requiere mucha mano de obra innecesaria. Sin embargo, si la función integrando se expande a una serie de potencias y los límites de integración pertenecen al intervalo de convergencia de esta serie, entonces es posible un cálculo aproximado de la integral con una precisión predeterminada.
Solución. La integral indefinida correspondiente no se puede expresar en funciones elementales, es decir representa una “integral no permanente”. La fórmula de Newton-Leibniz no se puede aplicar aquí. Calculemos la integral aproximadamente.
Dividiendo término por término la serie del pecado X en X, obtenemos: 
Integrando esta serie término a término (esto es posible, ya que los límites de integración pertenecen al intervalo de convergencia de esta serie), obtenemos:
Dado que la serie resultante satisface las condiciones de Leibniz y basta con tomar la suma de los dos primeros términos para obtener el valor deseado con una precisión determinada.
Así, encontramos 
.
Solución.
. Comprobemos si podemos descartar el resto después del segundo término de la serie resultante.
0.0001<0.001. Следовательно, 
.
, donde el número x está entre X Y A.
,
,
o –3<X- 3<3, 0<X< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
.
, o 2< X£5.
