- — [] función cuadrática Función de la forma y= ax2 + bx + c (a ? 0). Gráfico K.f. - una parábola, cuyo vértice tiene coordenadas [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], con a>0 ramas de la parábola... ...
FUNCIÓN CUADRÁTICA, FUNCIÓN matemática cuyo valor depende del cuadrado de la variable independiente, x, y está dado, respectivamente, por un POLINOMIO cuadrático, por ejemplo: f(x) = 4x2 + 17 o f(x) = x2 + 3x + 2. ver también CUADRAR LA ECUACIÓN… Diccionario enciclopédico científico y técnico.
Función cuadrática- Función cuadrática: una función de la forma y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). Gráfico K.f. - una parábola, cuyo vértice tiene coordenadas [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], para a> 0 las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, para a< 0 –вниз… …
- (cuadrática) Una función que tiene la siguiente forma: y=ax2+bx+c, donde a≠0 y el grado más alto de x es un cuadrado. Ecuación cuadrática y=ax2 +bx+c=0 también se puede resolver usando la siguiente fórmula: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Estas raíces son reales... Diccionario económico
Una función cuadrática afín en un espacio afín S es cualquier función Q: S→K, que en forma vectorizada tiene la forma Q(x)=q(x)+l(x)+c, donde q es una función cuadrática, l es una función lineal, c es una constante. Contenido 1 Desplazamiento del punto de referencia 2 ... ... Wikipedia
Una función cuadrática afín en un espacio afín es cualquier función que tiene la forma vectorizada, donde es una matriz simétrica, una función lineal, una constante. Contenido... Wikipedia
Una función en un espacio vectorial definido por un polinomio homogéneo de segundo grado en las coordenadas del vector. Contenido 1 Definición 2 Definiciones relacionadas... Wikipedia
- – función, que en teoría soluciones estadísticas Caracteriza las pérdidas debidas a la toma de decisiones incorrectas basadas en datos observados. Si se resuelve el problema de estimar un parámetro de señal en un contexto de ruido, entonces la función de pérdida es una medida de la discrepancia... ... Wikipedia
función objetiva- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Diccionario inglés-ruso de ingeniería eléctrica e ingeniería energética, Moscú, 1999] función objetiva En problemas extremos, una función cuyo mínimo o máximo debe encontrarse. Este… … Guía del traductor técnico
Función objetiva- en problemas extremos, una función cuyo mínimo o máximo debe encontrarse. Este concepto clave programación óptima. Habiendo encontrado el extremo de C.f. y, por tanto, habiendo determinado los valores de las variables controladas que van a él... ... Diccionario económico-matemático
Libros
- Conjunto de mesas. Matemáticas. Gráficas de funciones (10 tablas), . Álbum educativo de 10 hojas. Función lineal. Asignación gráfica y analítica de funciones. Función cuadrática. Transformación de gráficos función cuadrática. Función y=senx. Función y=cosx.…
- La función más importante de las matemáticas escolares es la cuadrática: en problemas y soluciones, Petrov N.N.. La función cuadrática es la función principal del curso de matemáticas escolares. No es de extrañar. Por un lado, la sencillez de esta función, y por otro, el profundo significado. Muchas tareas de la escuela...
En las lecciones de matemáticas en la escuela, ya te familiarizaste con las propiedades más simples y la gráfica de una función. y = x2. Ampliemos nuestro conocimiento sobre función cuadrática.
Ejercicio 1.
Grafica la función y = x2. Escala: 1 = 2 cm Marca un punto en el eje Oy. F(0; 1/4). Usando un compás o una tira de papel, mida la distancia desde el punto F hasta algún punto METRO parábolas. Luego fije la tira en el punto M y gírela alrededor de ese punto hasta que quede vertical. El final de la tira caerá ligeramente por debajo del eje x. (Figura 1). Marque en la tira cuánto se extiende más allá del eje x. Ahora toma otro punto de la parábola y repite la medición nuevamente. ¿A qué distancia ha caído el borde de la tira por debajo del eje x?
Resultado: cualquier punto de la parábola y = x 2 que tomes, la distancia desde este punto hasta el punto F(0; 1/4) será más distancia desde el mismo punto hasta el eje x siempre en el mismo número: 1/4.
Podemos decirlo de otra manera: la distancia desde cualquier punto de la parábola al punto (0; 1/4) es igual a la distancia desde el mismo punto de la parábola a la recta y = -1/4. Este maravilloso punto F(0; 1/4) se llama enfocar parábolas y = x 2, y recta y = -1/4 – directora esta parábola. Toda parábola tiene una directriz y un foco.
Propiedades interesantes de una parábola:
1. Cualquier punto de la parábola equidista de algún punto, llamado foco de la parábola, y de alguna línea recta, llamada directriz.
2. Si giras una parábola alrededor del eje de simetría (por ejemplo, la parábola y = x 2 alrededor del eje Oy), obtendrás una superficie muy interesante llamada paraboloide de revolución.
La superficie del líquido en un recipiente en rotación tiene la forma de un paraboloide de revolución. Puedes ver esta superficie si revuelves vigorosamente con una cuchara en un vaso de té incompleto y luego retiras la cuchara.
3. Si arrojas una piedra al vacío con un cierto ángulo con respecto al horizonte, volará en parábola. (Figura 2).
4. Si intersectas la superficie de un cono con un plano paralelo a cualquiera de sus generatrices, entonces la sección transversal dará como resultado una parábola. (Fig. 3).
5. Los parques de diversiones a veces tienen una atracción divertida llamada Paraboloid of Wonders. A todos los que están dentro del paraboloide giratorio les parece que él está parado en el suelo, mientras que el resto de la gente de alguna manera se aferra milagrosamente a las paredes.
6. En los telescopios reflectores también se utilizan espejos parabólicos: la luz de una estrella distante, que llega en un haz paralelo y cae sobre el espejo del telescopio, se enfoca.
7. Los focos suelen tener un espejo en forma de paraboloide. Si coloca una fuente de luz en el foco de un paraboloide, los rayos reflejados por el espejo parabólico forman un haz paralelo.
Graficar una función cuadrática
En las lecciones de matemáticas, estudiaste cómo obtener gráficas de funciones de la forma a partir de la gráfica de la función y = x 2:
1) y = hacha 2– estirar la gráfica y = x 2 a lo largo del eje Oy en |a| veces (con |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, arroz. 4).
2) y = x 2 + norte– desplazamiento del gráfico en n unidades a lo largo del eje Oy, y si n > 0, entonces el desplazamiento es hacia arriba, y si n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).
3) y = (x + metro) 2– desplazamiento del gráfico en m unidades a lo largo del eje Ox: si m< 0, то вправо, а если m >0, luego a la izquierda, (Figura 5).
4) y = -x 2– visualización simétrica con respecto al eje Ox del gráfico y = x 2 .
Echemos un vistazo más de cerca a cómo trazar el gráfico de funciones. y = a(x – m) 2 + norte.
Una función cuadrática de la forma y = ax 2 + bx + c siempre se puede reducir a la forma
y = a(x – m) 2 + n, donde m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).
Demostrémoslo.
En realidad,
y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =
A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =
A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).
Introduzcamos nuevas notaciones.
Dejar metro = -b/(2a), A norte = -(b 2 – 4ac)/(4a),
entonces obtenemos y = a(x – m) 2 + n o y – n = a(x – m) 2.
Hagamos algunas sustituciones más: sea y – n = Y, x – m = X (*).
Luego obtenemos la función Y = aX 2, cuya gráfica es una parábola.
El vértice de la parábola está en el origen. X = 0; Y = 0.
Sustituyendo las coordenadas del vértice en (*), obtenemos las coordenadas del vértice de la gráfica y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.
Por lo tanto, para trazar una función cuadrática representada como
y = a(x – m) 2 + norte
A través de transformaciones, se puede proceder de la siguiente manera:
a) trazar la función y = x 2 ;
b) mediante traslación paralela a lo largo del eje Ox en m unidades y a lo largo del eje Oy en n unidades - transfiera el vértice de la parábola desde el origen al punto con coordenadas (m; n) (Figura 6).
Grabación de transformaciones:
y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.
Ejemplo.
Usando transformaciones, construye una gráfica de la función y = 2(x – 3) 2 en el sistema de coordenadas cartesiano. – 2.
Solución.
Cadena de transformaciones:
y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .
El trazado se muestra en arroz. 7.
Puedes practicar cómo graficar funciones cuadráticas por tu cuenta. Por ejemplo, construye una gráfica de la función y = 2(x + 3) 2 + 2 en un sistema de coordenadas usando transformaciones. Si tienes alguna pregunta o quieres recibir consejos de un maestro, tienes la oportunidad de realizarla. lección gratuita de 25 minutos con un tutor en línea después . Para seguir trabajando con un profesor, puedes elegir el que más te convenga.
¿Aún tienes preguntas? ¿No sabes cómo graficar una función cuadrática?
Para obtener ayuda de un tutor -.
¡La primera lección es gratis!
blog.site, al copiar material total o parcialmente, se requiere un enlace a la fuente original.
Como muestra la práctica, las tareas sobre las propiedades y gráficas de una función cuadrática causan serias dificultades. Esto es bastante extraño, porque estudian la función cuadrática en el octavo grado, y luego durante el primer trimestre del noveno grado "atormentan" las propiedades de la parábola y construyen sus gráficas para varios parámetros.
Esto se debe al hecho de que cuando obligan a los estudiantes a construir parábolas, prácticamente no dedican tiempo a "leer" los gráficos, es decir, no practican la comprensión de la información recibida de la imagen. Aparentemente, se supone que, después de construir una docena o dos gráficos, un estudiante inteligente descubrirá y formulará la relación entre los coeficientes en la fórmula y apariencia Artes graficas. En la práctica esto no funciona. Para tal generalización, se requiere una experiencia seria en miniinvestigación matemática, que la mayoría de los estudiantes de noveno grado, por supuesto, no poseen. Mientras tanto, la Inspección del Estado propone determinar los signos de los coeficientes utilizando el cuadro.
No exigiremos lo imposible a los escolares y simplemente ofreceremos uno de los algoritmos para resolver este tipo de problemas.
Entonces, una función de la forma y = hacha 2 + bx + c llamada cuadrática, su gráfica es una parábola. Como sugiere el nombre, el término principal es hacha 2. Eso es A no debe ser igual a cero, los coeficientes restantes ( b Y Con) puede ser igual a cero.
Veamos cómo los signos de sus coeficientes afectan la apariencia de una parábola.
La dependencia más simple del coeficiente. A. La mayoría de los escolares responden con confianza: “si A> 0, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, y si A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.
y = 0.5x 2 - 3x + 1
EN en este caso A = 0,5
Y ahora por A < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
En este caso A = - 0,5
Impacto del coeficiente Con También es bastante fácil de seguir. Imaginemos que queremos encontrar el valor de una función en un punto X= 0. Sustituye cero en la fórmula:
y = a 0 2 + b 0 + C = C. Resulta que y = c. Eso es Con es la ordenada del punto de intersección de la parábola con el eje y. Normalmente, este punto es fácil de encontrar en el gráfico. Y determine si está por encima de cero o por debajo. Eso es Con> 0 o Con < 0.
Con > 0:
y = x 2 + 4x + 3
Con < 0
y = x 2 + 4x - 3
En consecuencia, si Con= 0, entonces la parábola pasará necesariamente por el origen:
y = x2 + 4x
Más difícil con el parámetro. b. El punto en el que lo encontraremos depende no sólo de b sino también de A. Esta es la cima de la parábola. Su abscisa (coordenada del eje X) se encuentra mediante la fórmula x en = - b/(2a). De este modo, b = - 2ax pulg. Es decir, procedemos de la siguiente manera: encontramos el vértice de la parábola en la gráfica, determinamos el signo de su abscisa, es decir, miramos a la derecha de cero ( x en> 0) o hacia la izquierda ( x en < 0) она лежит.
Sin embargo, eso no es todo. También debemos prestar atención al signo del coeficiente. A. Es decir, mira hacia dónde se dirigen las ramas de la parábola. Y solo después de eso, según la fórmula. b = - 2ax pulg determinar el signo b.
Veamos un ejemplo:
Las ramas están dirigidas hacia arriba, lo que significa A> 0, la parábola corta al eje en bajo cero significa Con < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x en> 0. Entonces b = - 2ax pulg = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Con < 0.
Una función de la forma donde se llama función cuadrática.
Gráfica de una función cuadrática – parábola.
Consideremos los casos:
CASO I, PARÁBOLA CLÁSICA
Eso es , ,
Para construir, complete la tabla sustituyendo los valores de x en la fórmula:
Marque los puntos (0;0); (1;1); (-1;1), etc. en el plano de coordenadas (cuanto menor sea el paso que demos en los valores de x (en este caso, paso 1), y cuantos más valores de x demos, más suave será la curva), obtenemos una parábola:
Es fácil ver que si tomamos el caso, es decir, obtenemos una parábola que es simétrica con respecto al eje (oh). Es fácil verificar esto completando una tabla similar:
II CASO, “a” ES DIFERENTE DE LA UNIDAD
¿Qué pasará si tomamos , , ? ¿Cómo cambiará el comportamiento de la parábola? Con título="Representado por QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
En la primera imagen (ver arriba) se ve claramente que los puntos de la tabla de la parábola (1;1), (-1;1) se transformaron en puntos (1;4), (1;-4), es decir, con los mismos valores se multiplica la ordenada de cada punto por 4. Esto sucederá con todos los puntos clave de la tabla original. Razonamos de manera similar en los casos de los cuadros 2 y 3.
Y cuando la parábola “se vuelve más ancha” que la parábola:
Resumamos:
1)El signo del coeficiente determina la dirección de las ramas. Con título="Representado por QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Valor absoluto El coeficiente (módulo) es responsable de la "expansión" y la "compresión" de la parábola. Cuanto más grande, más estrecha es la parábola; cuanto más pequeña |a|, más ancha es la parábola.
CASO III, APARECE “C”
Ahora introduzcamos en el juego (es decir, consideremos el caso en el que), consideraremos parábolas de la forma . No es difícil adivinar (siempre puedes consultar la tabla) que la parábola se desplazará hacia arriba o hacia abajo a lo largo del eje según el signo:
CASO IV, APARECE “b”
¿Cuándo se “separará” la parábola del eje y finalmente “caminará” a lo largo de todo el plano de coordenadas? ¿Cuándo dejará de ser igual?
Aquí para construir una parábola necesitamos. fórmula para calcular el vértice: , .
Entonces en este punto (como en el punto (0;0) nuevo sistema coordenadas) construiremos una parábola, lo cual ya podemos hacer. Si estamos tratando con el caso, entonces desde el vértice colocamos un segmento unitario hacia la derecha, uno hacia arriba, el punto resultante es nuestro (de manera similar, un paso hacia la izquierda, un paso hacia arriba es nuestro punto); si estamos tratando, por ejemplo, desde el vértice colocamos un segmento unitario hacia la derecha, dos hacia arriba, etc.
Por ejemplo, el vértice de una parábola:
Ahora lo principal que hay que entender es que en este vértice construiremos una parábola según el patrón de parábola, porque en nuestro caso.
Al construir una parábola después de encontrar las coordenadas del vértice muyEs conveniente considerar los siguientes puntos:
1) parábola definitivamente pasará por el punto . De hecho, sustituyendo x=0 en la fórmula, obtenemos que . Es decir, la ordenada del punto de intersección de la parábola con el eje (oy) es . En nuestro ejemplo (arriba), la parábola corta la ordenada en el punto , ya que .
2) eje de simetria parábolas es una línea recta, por lo que todos los puntos de la parábola serán simétricos con respecto a ella. En nuestro ejemplo, tomamos inmediatamente el punto (0; -2) y lo construimos simétrico con respecto al eje de simetría de la parábola, obtenemos el punto (4; -2) por donde pasará la parábola.
3) Igualando a , encontramos los puntos de intersección de la parábola con el eje (oh). Para ello, resolvemos la ecuación. Dependiendo del discriminante, obtendremos uno (,), dos ( title="Renderizado por QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . En el ejemplo anterior nuestra raíz del discriminante no es un número entero; al construir no tiene mucho sentido para nosotros encontrar las raíces, pero vemos claramente que tendremos dos puntos de intersección con el eje (oh) (desde title="Representado por QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Así que resolvámoslo
Algoritmo para construir una parábola si se da en la forma
1) determinar la dirección de las ramas (a>0 – arriba, a<0 – вниз)
2) encontramos las coordenadas del vértice de la parábola usando la fórmula, .
3) encontramos el punto de intersección de la parábola con el eje (oy) usando el término libre, construimos un punto simétrico a este punto con respecto al eje de simetría de la parábola (cabe señalar que sucede que no es rentable marcar este punto, por ejemplo, porque el valor es grande... nos saltamos este punto...)
4) En el punto encontrado, el vértice de la parábola (como en el punto (0;0) del nuevo sistema de coordenadas), construimos una parábola. Si título="Representado por QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Encontramos los puntos de intersección de la parábola con el eje (oy) (si aún no han “emergido”) resolviendo la ecuación
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Nota 1. Si la parábola se nos da inicialmente en la forma , donde están algunos números (por ejemplo, ), entonces será aún más fácil construirla, porque ya nos han dado las coordenadas del vértice . ¿Por qué?
Echemos trinomio cuadrático y selecciona un cuadrado completo en él: Mira, tenemos eso, . Tú y yo antes llamábamos al vértice de una parábola, es decir, ahora, .
Por ejemplo, . Marcamos el vértice de la parábola en el plano, entendemos que las ramas se dirigen hacia abajo, la parábola está expandida (con respecto a ). Es decir, realizamos los puntos 1; 3; 4; 5 del algoritmo para construir una parábola (ver arriba).
Nota 2. Si la parábola se da en una forma similar a esta (es decir, presentada como un producto de dos factores lineales), inmediatamente vemos los puntos de intersección de la parábola con el eje (ox). En este caso – (0;0) y (4;0). Por lo demás, actuamos según el algoritmo, abriendo los corchetes.
