El problema de elegir una solución en condiciones de incertidumbre se resuelve más fácilmente cuando, aunque no conocemos las condiciones para realizar la operación (estado de naturaleza), conocemos sus probabilidades:
En este caso, como indicador de la eficiencia que nos esforzamos por maximizar, es natural tomar el valor promedio, o valor esperado ganancias, teniendo en cuenta las probabilidades de todas las condiciones posibles.
Denotemos este valor promedio para la estrategia del jugador por
o, en resumen,
Obviamente, no hay nada más que un promedio ponderado de las ganancias de la línea tomadas con kes. Como estrategia óptima, es natural elegir aquella estrategia para la cual el valor alcanza un máximo.
Usando esta técnica, el problema de elegir una solución en condiciones de incertidumbre se convierte en un problema de elegir una solución en condiciones de certeza, solo decisión es óptimo no en cada caso individual, sino en promedio.
Ejemplo 1. Se planifica una operación en condiciones meteorológicas previamente desconocidas; opciones para estas condiciones: Según los informes meteorológicos de muchos años, las frecuencias (probabilidades) de estas opciones son iguales, respectivamente:
Las posibles opciones para organizar operaciones en diferentes condiciones climáticas aportan diferentes beneficios. Valores de “ingresos” para cada solución en diferentes condiciones se dan en la tabla. 13.1
Tabla 13.1
La última línea da las probabilidades de las condiciones. Las ganancias promedio se muestran en la última columna. Muestra que la estrategia óptima del jugador es su estrategia dando ganancias promedio(marcado con un asterisco).
Al elegir una estrategia óptima en condiciones desconocidas con probabilidades conocidas, no solo se puede utilizar el pago promedio
pero también riesgo medio
que, por supuesto, no debe convertirse en un máximo, sino en un mínimo.
Demostremos que la estrategia que maximiza el beneficio promedio coincide con la estrategia que minimiza el riesgo promedio. Calculemos ambos indicadores y sumémoslos:
(13.2)
Esta suma (el promedio ponderado de los máximos de la columna) para una matriz determinada es un valor constante; Llamémoslo C:
de donde el riesgo promedio es igual a
Evidentemente, este valor pasa a mínimo cuando a, - a máximo, por tanto, la estrategia elegida entre las condiciones de riesgo medio mínimo coincide con la estrategia elegida entre las condiciones de ganancia media máxima.
Tenga en cuenta que en el caso de que se conozcan las probabilidades de los estados de la naturaleza al resolver un juego con la naturaleza, siempre se puede arreglárselas solo con estrategias puras, sin utilizar estrategias mixtas. De hecho, si aplicamos algún tipo de estrategia mixta
es decir, una estrategia con probabilidad, una estrategia con probabilidad, etc., entonces nuestra ganancia promedio, promediada sobre ambas condiciones (estados de naturaleza) y nuestras estrategias, será:
Se trata de una media ponderada de las ganancias correspondientes a nuestras estrategias puras.
Pero está claro que cualquier promedio no puede exceder el máximo de los valores promediados:
Por lo tanto, utilizar una estrategia mixta con probabilidades no puede ser más rentable para un jugador que utilizar una estrategia pura.
Las probabilidades de las condiciones (estados de la naturaleza) pueden determinarse a partir de datos estadísticos asociados con la realización repetida de operaciones similares o simplemente con observaciones de los estados de la naturaleza. Por ejemplo, si ferrocarril Durante un período de tiempo determinado, debe realizarse un volumen de transporte no del todo conocido, luego los datos sobre la distribución de las condiciones pueden extraerse de la experiencia de años anteriores. Si, como en el ejemplo anterior, el éxito de la operación depende de las condiciones meteorológicas, los datos sobre ellas se pueden extraer de las estadísticas del informe meteorológico.
Sin embargo, suele haber casos en los que, al empezar a realizar una operación, no tenemos idea de las probabilidades de los estados de la naturaleza; Toda nuestra información se reduce a una lista de estados variantes, pero no podemos estimar sus probabilidades. Por ejemplo, es poco probable que podamos estimar razonablemente la probabilidad de que se proponga e implemente una invención técnica importante en los próximos k años.
Por supuesto, en tales casos, las probabilidades de las condiciones (estados de la naturaleza) pueden evaluarse subjetivamente: algunas de ellas nos parecen más plausibles, mientras que otras nos parecen menos plausibles. Para convertir nuestras ideas subjetivas sobre la mayor o menor "plausibilidad" de una u otra hipótesis en estimaciones numéricas, se pueden utilizar varias técnicas técnicas. Entonces, si no podemos preferir ninguna hipótesis, si todas son iguales para nosotros, entonces es natural asignar sus probabilidades iguales entre sí:
Este es el llamado “principio de razón insuficiente” de Laplace. Otro caso común es cuando tenemos una idea de qué condiciones son más probables y cuáles son menos probables, es decir, podemos ordenar las hipótesis existentes en orden descendente de su plausibilidad: la primera hipótesis más plausible (PO, luego la segunda) la hipótesis menos plausible (). Sin embargo, no sabemos cuánto más probable es uno de ellos que el otro. En este caso, puede, por ejemplo, asignar las probabilidades de las hipótesis para que sean proporcionales a los términos de una progresión aritmética decreciente:
o, dado que
A veces es posible, basándose en la experiencia y el sentido común, estimar más diferencias sutiles entre grados de verosimilitud de las hipótesis.
Estos métodos de evaluación subjetiva de la “probabilidad-plausibilidad” de diversas hipótesis sobre el estado de naturaleza a veces pueden ayudar a elegir una solución. Sin embargo, no debemos olvidar que “la solución óptima elegida sobre la base de probabilidades subjetivas resultará inevitablemente también subjetiva. El grado de subjetividad de la decisión puede reducirse si, en lugar de probabilidades asignadas arbitrariamente por una persona, introducimos el promedio de dichas probabilidades asignadas, independientemente unas de otras, por un grupo de individuos calificados (“expertos”). El método de entrevistar a expertos se utiliza generalmente ampliamente en ciencia moderna, cuando se trata de evaluar una situación incierta (por ejemplo, en futurología). La experiencia de utilizar estos métodos enseña que a menudo las valoraciones de los expertos (aceptadas independientemente unos de otros) resultan estar lejos de ser tan contradictorias como se podría suponer de antemano, y es muy posible derivar de ellas algunos requisitos previos para tomar una decisión. decisión razonable.
Arriba, destacamos la cuestión de elegir una solución basada en probabilidades de estados de la naturaleza calculadas objetivamente o asignadas subjetivamente. Este enfoque en la teoría de la decisión no es el único. Además, existen varios "criterios" o enfoques más para elegir la solución óptima en condiciones de incertidumbre. Veamos algunos de ellos.
1. Criterio de Maximin Wald
Según este criterio, se elige como óptima la estrategia del jugador A, para la cual el pago mínimo es máximo, es decir, una estrategia que garantiza, bajo cualquier condición, un pago no menor que el máximo:
(13.4)
Si te guías por este criterio, siempre debes centrarte en las peores condiciones y elegir la estrategia con la que las ganancias sean máximas en las peores condiciones. Utilizando este criterio en los juegos con la naturaleza, parecemos sustituir esta autoridad impersonal y desinteresada por un enemigo activo y malicioso. Obviamente, este enfoque sólo puede venir dictado por un pesimismo extremo al evaluar la situación: "¡Siempre hay que contar con lo peor!". - pero vale la pena considerarlo como posible enfoque.
2. Criterio de riesgo minimax de Savage
La esencia de este criterio es evitar por cualquier medio un gran riesgo a la hora de tomar una decisión.
El criterio de Savage, como el criterio de Wald, es un criterio de pesimismo extremo, pero aquí el pesimismo se entiende de otra manera: no es la ganancia mínima la que se declara peor, sino la pérdida máxima de ganancia en comparación con lo que podría lograrse en determinadas condiciones ( riesgo máximo ).
3. Criterio de pesimismo-optimismo de Hurwitz
Este criterio recomienda que, en condiciones de incertidumbre, a la hora de elegir una decisión, no hay que guiarse ni por un pesimismo extremo (¡cuente siempre con lo peor!) ni por un optimismo extremo y frívolo (¡todo saldrá de la mejor manera!) El Hurwitz criterio tiene la forma:
donde es un coeficiente elegido entre cero y uno.
Analicemos la estructura de la expresión (13.6). Cuando el criterio de Hurwitz se convierte en el criterio pesimista de Wald, y cuando se convierte en el criterio del “optimismo extremo”, que recomienda elegir la estrategia para la cual mejores condiciones las ganancias son máximas. El resultado es algo entre el pesimismo extremo y el optimismo extremo (el coeficiente expresa, por así decirlo, la “medida del pesimismo” del investigador). Este coeficiente se selecciona a partir de consideraciones subjetivas: ¿qué situación más peligrosa, cuanto más queremos "asegurarnos" en él, más cerca de la unidad elegimos y.
Si lo desea, puede construir un criterio similar al criterio de optimismo-pesimismo de Hurwitz, basado no en la ganancia, sino en el riesgo, como en el criterio de Savage, pero no nos detendremos en esto.
Aunque la elección del criterio, al igual que la elección del parámetro en el criterio de Hurwitz, es subjetiva, puede resultar útil considerar la situación desde el punto de vista de estos criterios. Si las recomendaciones que surgen de varios criterios coinciden, mucho mejor podrás elegir con seguridad la solución que recomiendan. Si, como suele suceder, las recomendaciones se contradicen, siempre tiene sentido pensarlo y aceptarlas. decisión definitiva dadas sus fortalezas y debilidades. Analizar la matriz de un juego con la naturaleza desde la perspectiva de diferentes criterios suele dar una mejor idea de la situación, de las ventajas y desventajas de cada solución, que la consideración directa de la matriz, especialmente cuando sus dimensiones son grandes.
Ejemplo 2. Se considera un juego 4X3 con la naturaleza con cuatro estrategias de jugador: y tres variantes de condiciones (estados de la naturaleza): La matriz de pagos se da en la tabla. 13.2.
Tabla 13.2
Encuentre la solución (estrategia) óptima utilizando los criterios de Wald y Savage y el criterio de Hurwitz en
Solución. 1. Criterio de Wald.
En cada fila de la matriz tomamos la ganancia más pequeña (Tabla 13.3).
De los valores, el máximo (marcado con un asterisco) es 0,25, por lo tanto, según el criterio de Wald, la estrategia es óptima
2. Criterio salvaje.
Construimos una matriz de riesgo y colocamos el riesgo máximo en cada fila en la columna adicional de la derecha (Tabla 13.4).
El valor mínimo es 0,60 (marcado con un asterisco); por lo tanto, según el criterio de Savage, cualquiera de las estrategias es óptima
Tabla 13.3
3. Criterio de Hurwitz
Anotamos en las tres columnas de la derecha de la matriz (Tabla 13 5) una evaluación “pesimista” de la ganancia; “optimista” a); y su promedio ponderado según la fórmula (13.6):
por lo que se logra
(el mínimo se toma sobre todo. Puede encontrar este minimax (o maximin en el criterio de Wald) utilizando los métodos habituales programación lineal. Puede haber casos en los que el uso de estrategias mixtas utilizando los criterios de Wald, Savage y Hurwitz proporcione una ventaja sobre una solución en la que se utilizan estrategias puras únicamente, pero consideraremos estos criterios sólo para estrategias puras.
Una razón para esto es que queremos evitar cálculos complejos donde el resultado podría verse anulado por falta de conocimiento sobre la situación (sin conocer las probabilidades de las condiciones). otro mas razón importante- es que el contenido principal de la teoría soluciones estadísticas(abordaremos esto en el siguiente párrafo) planea obtener y utilizar información adicional sobre el estado de naturaleza, que se puede obtener mediante experimentos. Las investigaciones muestran que en casos típicos, cuando se trata de obtener una cantidad significativa de información adicional, los criterios que no utilizan probabilidades estatales (Wald et al.) se vuelven casi equivalentes a un criterio basado en probabilidades estatales. Pero sabemos que utilizando tal criterio, el uso de estrategias mixtas no tiene sentido; por lo tanto, si podemos obtener cualquier cantidad de información adicional, el uso de estrategias mixtas pierde su significado (sin importar cuál de los criterios para elegir una solución utilicemos). Si no podemos obtener nueva información a través de experimentos, entonces diferentes criterios pueden dar recomendaciones contradictorias, como vimos en el ejemplo 3.
Este criterio se basa en el “principio de razón insuficiente” de Laplace, según el cual todos los estados de la “naturaleza” Si, i = 1,n se suponen igualmente probables. De acuerdo con este principio, a cada estado Si se le da una probabilidad q i determinada por la fórmula
En este caso, el problema inicial puede considerarse un problema de toma de decisiones en condiciones de riesgo, cuando se selecciona la acción Rj que da la mayor ganancia esperada. Para tomar una decisión, para cada acción R j se calcula el valor medio aritmético de la ganancia:
(26)
Entre Mj(R), se selecciona el valor máximo que corresponderá a la estrategia óptima Rj.
En otras palabras, la acción Rj correspondiente a
(27)
Si en el problema original la matriz posibles resultados está representado por la matriz de riesgo ||r ji ||, entonces el criterio de Laplace toma la siguiente forma:
(28)
Ejemplo 4. Una de las empresas de transporte debe determinar el nivel de sus capacidades de transporte de tal manera que satisfaga la demanda de servicios de transporte de los clientes durante el período planificado. Se desconoce la demanda de servicios de transporte, pero se espera (predice) que pueda tomar uno de cuatro valores: 10, 15, 20 o 25 mil toneladas. Para cada nivel de demanda existe el mejor nivel de capacidad de transporte del país. empresa de transporte (en términos de posibles costos). Las desviaciones de estos niveles generan costos adicionales, ya sea por exceso de capacidad de transporte sobre la demanda (debido al tiempo de inactividad del material rodante) o por una satisfacción incompleta de la demanda de servicios de transporte. A continuación se muestra una tabla que identifica los posibles costos proyectados para el desarrollo de capacidades de transporte:
Es necesario elegir la estrategia óptima.
Según las condiciones del problema, existen cuatro opciones de demanda de servicios de transporte, lo que equivale a la presencia de cuatro estados de “naturaleza”: S 1, S 2, S 3, S 4. También existen cuatro estrategias conocidas para desarrollar la capacidad de carga de una empresa de transporte: R 1, R 2, R 3, R 4. Los costos de desarrollar la capacidad de transporte para cada par Si y R j vienen dados por la siguiente matriz (tabla ):
El principio de Laplace supone que S 1, S 2, S 3, S 4 son igualmente probables. Por lo tanto, P(S = S i )= 1/n= 1/4 = 0.25, i = 1, 2, 3, 4 y los costos esperados en varias acciones R 1, R 2, R 3, R 4 son:
De este modo, la mejor estrategia El desarrollo de capacidades de transporte de acuerdo con el criterio de Laplace será R 2.
2. Criterio de Wald(criterio minimax o maximin). La aplicación de este criterio no requiere conocimiento de las probabilidades de los estados de Si. Este criterio se basa en el principio de mayor cautela, ya que se basa en elegir la mejor de las peores estrategias Rj.
Si en la matriz original (según las condiciones del problema) el resultado V ij representa las pérdidas del tomador de decisiones, entonces al elegir la estrategia óptima se utiliza el criterio minimax. Para determinar la estrategia óptima R j, es necesario encontrar el elemento más grande max(V ij ) en cada fila de la matriz de resultados, y luego seleccionar la acción R j (fila j), que corresponderá al elemento más pequeño de estos. elementos más grandes, es decir, la acción que determina el resultado, igual
(29)
Si en la matriz original, de acuerdo con las condiciones del problema, el resultado V ij representa la ganancia (utilidad) del tomador de decisiones, entonces al elegir la estrategia óptima se utiliza el criterio maximin.
Para determinar la estrategia óptima R j, en cada fila de la matriz de resultados se encuentra el elemento más pequeño min (Vij), y luego se selecciona la acción R j (fila j), que corresponderá a los elementos más grandes de estos elementos más pequeños. , es decir, la acción que determina el resultado igual a
(30)
Ejemplo 5. Considere el ejemplo 4. Dado que V ij en este ejemplo representa pérdidas (costos), aplicamos el criterio minimax. Los resultados de cálculo necesarios se muestran en la siguiente tabla:
Por tanto, la mejor estrategia para desarrollar la capacidad de carga de acuerdo con el criterio minimax "lo mejor de lo peor" será la tercera, es decir, R 3 .
El criterio Wald minimax conduce a veces a conclusiones ilógicas debido a su excesivo “pesimismo”. El “pesimismo” de este criterio corrige el criterio de Savage.
3. Criterio salvaje utiliza matriz de riesgos || r ij ||. Los elementos de esta matriz se pueden determinar mediante las fórmulas (23), (24), que reescribimos de la siguiente forma:
(31)
Esto significa que r ij es la diferencia entre el mejor valor de la columna i y los valores de V ji para la misma i. Independientemente de si V ji es ingreso (ganancia) o pérdida (costo), r ji en ambos casos determina la cantidad de pérdida de quien toma las decisiones. Por lo tanto, sólo se puede aplicar el criterio minimax a r ji. El criterio de Savage recomienda, en condiciones de incertidumbre, elegir la estrategia Rj en la que el valor del riesgo toma valor más pequeño en la situación más desfavorable (cuando el riesgo es mayor).
Ejemplo 6. Considere el ejemplo 4. La matriz dada determina las pérdidas (costos). Usando la fórmula (31), calculamos los elementos de la matriz de riesgo || r ij ||:
Presentamos los resultados del cálculo obtenidos utilizando el criterio de riesgo mínimo de Savage en la siguiente tabla:
La introducción del valor de riesgo r ji llevó a la selección de la primera estrategia R 1, que proporciona las menores pérdidas (costos) en la situación más desfavorable (cuando el riesgo es máximo).
La aplicación del criterio Savage permite evitar por cualquier medio un gran riesgo a la hora de elegir una estrategia, y por tanto evitar una mayor pérdida (pérdidas).
4. Criterio de Hurwitz se basa en los dos supuestos siguientes: la “naturaleza” puede estar en el estado más desfavorable con probabilidad (1 - α) y en el estado más ventajoso con probabilidad α, donde α es el coeficiente de confianza. Si el resultado V j i es beneficio, utilidad, ingreso, etc., entonces el criterio de Hurwitz se escribe de la siguiente manera:
Cuando V ji representa costos (pérdidas), entonces elija la acción que proporcione
Si α = 0, obtenemos el criterio pesimista de Wald.
Si α = 1, entonces llegamos a regla decisiva de la forma max max V ji, o a la llamada estrategia “optimista saludable”, es decir, el criterio es demasiado optimista.
El criterio de Hurwitz establece un equilibrio entre casos de pesimismo extremo y optimismo extremo ponderando ambos comportamientos con pesos apropiados (1 - α) y α, donde 0≤α≤1. El valor de α de 0 a 1 se puede determinar dependiendo de la tendencia del tomador de decisiones hacia el pesimismo u optimismo. En ausencia de una propensión pronunciada, α = 0,5 parece más razonable.
Ejemplo 7. Usamos el criterio de Hurwitz en el ejemplo 4. Pongamos α = 0,5. Los resultados de los cálculos necesarios se dan a continuación:
La solución óptima es elegir W.
Por lo tanto, en el ejemplo tenemos que elegir cuál soluciones posibles preferible:
según el criterio de Laplace - elección de la estrategia R 2,
según el criterio de Wald: elección de la estrategia R 3;
según el criterio de Savage: elección de estrategia R 1;
según el criterio de Hurwitz en α = 0,5 - la elección de la estrategia R 1, y si quien toma las decisiones es pesimista (α = 0), entonces la elección de la estrategia R 3.
Esto está determinado por la elección del criterio apropiado (Laplace, Wald, Savage o Hurwitz).
Elegir un criterio para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre es la etapa más difícil y crítica en la investigación de operaciones. Sin embargo, no hay consejos ni recomendaciones generales. La elección del criterio debe ser realizada por quien toma las decisiones (DM), teniendo en cuenta las particularidades del problema que se está resolviendo y de acuerdo con sus objetivos, además de confiar en la experiencia pasada y su propia intuición.
En particular, si incluso un riesgo mínimo es inaceptable, entonces se debería aplicar el criterio de Wald. Si, por el contrario, un determinado riesgo es bastante aceptable y quien toma la decisión tiene la intención de invertir tanto dinero en una determinada empresa para luego no arrepentirse de haber invertido muy poco, entonces se elige el criterio de Savage.
3. Criterio de Laplace, Wald, Savage y Hurwitz
Existen varios criterios para elegir la estrategia óptima a la hora de tomar decisiones en condiciones de riesgo e incertidumbre.
Criterio de Laplace: se utiliza si se puede suponer que todas las variantes de las condiciones externas son igualmente probables. Para cada solución hay Puntuación media para todas las opciones Condiciones externas(ganancias promedio):
donde N es el número de estados del entorno externo.
donde Z – estrategia optima.
Criterio de Wald:(criterio de pesimismo extremo, criterio maximin): la solución se selecciona en función de las peores condiciones externas. Se desconocen las probabilidades de los estados de la naturaleza y no hay forma de obtener información estadística sobre ellos. Cada solución se evalúa utilizando la ganancia mínima que se puede obtener eligiendo esta solución:
La mejor solución es la que tiene la máxima puntuación.
La mejor solución es la que tiene la máxima puntuación.
Según el criterio de Wald, se elige una estrategia que proporcione una victoria garantizada en el peor de los casos.
Criterio salvaje Al igual que el criterio de Wald, es un criterio de pesimismo extremo, pero aquí sólo el pesimismo se manifiesta en el hecho de que se minimiza la pérdida máxima de ganancia. Se utiliza una matriz de riesgos para evaluar las decisiones. Se utiliza como evaluación el riesgo máximo (ganancia máxima perdida) correspondiente a esta decisión:
La mejor solución es la que tiene la puntuación mínima.
Éste es el enfoque más cauteloso a la hora de tomar decisiones y el más consciente de los riesgos.
Criterio de Hurwitz: la decisión se toma teniendo en cuenta el hecho de que son posibles condiciones externas tanto favorables como desfavorables. Al utilizar este criterio, es necesario indicar el "coeficiente de pesimismo", un número en el rango de 0 a 1, que representa una evaluación subjetiva (es decir, no calculada, pero indicada por una persona) de la posibilidad de condiciones externas desfavorables. . Si hay motivos para suponer que las condiciones externas serán desfavorables, entonces se asigna un coeficiente de pesimismo cercano a uno. Si es poco probable que se produzcan condiciones externas desfavorables, se utiliza un coeficiente de pesimismo cercano a cero. Las soluciones se estiman mediante la siguiente fórmula:
donde a es el coeficiente de pesimismo.
La mejor solución es la que tiene la puntuación máxima:
Además de los criterios de optimización que se pueden utilizar al tomar decisiones en condiciones de riesgo e incertidumbre, existe un método muy conocido y extendido de teoría de juegos que se utiliza en actividades de gestión en condiciones de incertidumbre.
4. Método de la teoría de juegos para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre
Al tomar decisiones en condiciones de incertidumbre, el método de la teoría de juegos se utiliza mucho. La teoría de juegos es una teoría matemática de situaciones de conflicto. El propósito de esta teoría es desarrollar recomendaciones para un curso de acción racional para los participantes en el conflicto. En este caso, se construye un modelo simplificado de una situación de conflicto, llamado juego. Un "juego" es un evento que consta de una serie de acciones o "turnos". El juego se diferencia de una situación de conflicto real en que se juega según reglas muy específicas. Las partes involucradas en el conflicto se llaman jugadores, el resultado del conflicto se llama victoria, etc.
Si en un juego chocan los intereses de dos partes, entonces el juego se llama emparejado; si hay más partes, se llama múltiple. Un juego múltiple con dos coaliciones permanentes convierte el juego en un juego de dobles. Los juegos de parejas son de gran importancia práctica. Considere un juego finito en el que el jugador A tiene m estrategias y el jugador B tiene n estrategias. Este juego se llama mx n. Las estrategias, en consecuencia, se denotarán por: A 1, A 2, ..., A m - para el jugador A; B 1, B 2, ..., B n - para el jugador B. Si el juego consta únicamente de movimientos personales, entonces la elección de las estrategias A i y B j por parte de los jugadores determina de forma única el resultado del juego: nuestras ganancias a ij Si se conoce a ij para todas las estrategias de combinación, entonces forman una matriz de pago de tamaño m x n, donde: m es el número de filas de la matriz y n es el número de columnas.
El principio de precaución, que dicta que los jugadores elijan estrategias apropiadas (maximin y minimax), es un principio básico en la teoría de juegos y se denomina principio minimax. En la matriz de pagos de dicho juego hay un elemento que es al mismo tiempo el mínimo en su fila y el máximo en su columna. Este elemento se llama silla de montar delgada. En este caso, el valor v=ą=þ se denomina precio neto del juego. En este caso, la solución del juego (el conjunto de estrategias óptimas de los jugadores) tiene la siguiente propiedad: si uno de los jugadores se adhiere a su estrategia óptima, entonces para el otro no puede ser rentable desviarse de su estrategia óptima. Si el precio superior del juego no coincide con el precio inferior, entonces en este caso vale la pena hablar de jugar estrategias mixtas. Una S A mixta es el uso de estrategias puras A 1 , A 2 ,…, A n con probabilidad p 1 , p 2 ,…, p n , y una estrategia mixta S B es el uso de estrategias puras B 1 , B 2 ,…, B n con probabilidad p 1 ,p 2 ,…,p m . Sea el juego una dimensión de 2 por 2 y viene dada por la matriz de pagos:
Para el jugador A, la estrategia óptima tendrá las siguientes probabilidades:
;
; precio del juego 
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Breve teoría
Cualquier actividad económica humana puede considerarse como un juego con la naturaleza. En un sentido amplio, entendemos la naturaleza como un conjunto de factores inciertos que influyen en la efectividad de las decisiones que se toman.
Cualquier objeto se controla adoptando una secuencia. las decisiones de gestión. Para tomar una decisión se requiere información (un conjunto de información sobre el estado del objeto de control y sus condiciones de funcionamiento). En los casos en que no haya suficiente información completa, surge la incertidumbre en la toma de decisiones. Las razones de esto pueden ser diferentes: la información necesaria para fundamentar plenamente la decisión no puede, en principio, obtenerse (incertidumbre insuperable); la información no se puede obtener de manera oportuna en el momento en que se toma la decisión; Los costos asociados con la obtención de información son demasiado altos. A medida que mejoren los medios para recopilar, transmitir y procesar información, disminuirá la incertidumbre de las decisiones de gestión. Esto es por lo que debemos esforzarnos. La existencia de incertidumbre irreductible está asociada a la naturaleza aleatoria de muchos fenómenos. Por ejemplo, en el comercio, la naturaleza aleatoria de los cambios en la demanda hace imposible predecirla con precisión y, en consecuencia, formar un pedido perfectamente preciso para la oferta de bienes. Tomar una decisión en este caso implica riesgo. La aceptación de un lote de mercancías basada en un muestreo también está asociada al riesgo de tomar una decisión en condiciones de incertidumbre. La incertidumbre se puede eliminar mediante una inspección completa de todo el lote, pero esto puede resultar demasiado costoso. En la agricultura, por ejemplo, para obtener una cosecha, una persona realiza una serie de acciones (arar la tierra, aplicar fertilizantes, combatir las malas hierbas, etc.). El resultado final (cosecha) depende de las acciones no solo de los humanos, sino también de la naturaleza (lluvia, sequía, tarde, etc.). De los ejemplos anteriores se desprende claramente que es imposible eliminar por completo la incertidumbre en la gestión del sistema económico, aunque, repetimos, debemos esforzarnos por conseguirlo. En cada caso concreto se debe tener en cuenta el grado de riesgo a la hora de tomar decisiones de gestión y, si es posible, tener en cuenta en la medida de lo posible la información disponible para reducir las consecuencias adversas que puedan surgir por decisiones erróneas.
Las dos partes que participan en el juego se denominarán jugador I y jugador II. Cada jugador tiene un conjunto finito de acciones (estrategias puras) que puede utilizar durante el juego. El juego tiene un carácter repetitivo y cíclico. En cada ciclo, los jugadores eligen una de sus estrategias, que determina de forma única el pago. Los intereses de los jugadores son opuestos. El jugador I intenta jugar para que los pagos sean lo más grandes posible. Para el jugador II, es deseable que los pagos sean lo más pequeños posible (teniendo en cuenta el signo). Además, en cada ciclo, la ganancia de uno de los jugadores coincide exactamente con la pérdida del otro. Este tipo de juegos se denominan juegos de suma cero.
Resolver un juego significa determinar el comportamiento óptimo de los jugadores. Resolver juegos es el tema de la teoría de juegos. El comportamiento óptimo del jugador es invariante con respecto a cambios en todos los elementos de la matriz de pagos en una cierta cantidad.
EN caso general Determinar el comportamiento óptimo de los jugadores implica resolver un par dual de problemas de programación lineal. En algunos casos, se pueden utilizar métodos más sencillos. A menudo, la matriz de pagos se puede simplificar eliminando de ella las filas y columnas correspondientes a las estrategias dominadas de los jugadores. Se dice que una estrategia es dominante si todos los pagos no son mejores que los pagos correspondientes de alguna otra estrategia y al menos una de ellas; los pagos es peor que el pago correspondiente de esta otra estrategia, llamada dominante.
Un juego de estrategia típico involucra oponentes “razonables y antagónicos” (lados opuestos). En tales juegos, cada bando realiza exactamente aquellas acciones que le resultan más beneficiosas y menos beneficiosas para el enemigo. Sin embargo, muy a menudo la incertidumbre que acompaña a una determinada operación no está asociada con la oposición consciente del enemigo, sino que depende de alguna realidad objetiva (naturaleza) desconocida para el jugador I. A este tipo de situaciones se les suele llamar juegos con la naturaleza. El jugador II, la naturaleza, en la teoría de los juegos estadísticos no es un jugador razonable, ya que se lo considera una especie de autoridad desinteresada que no elige las estrategias óptimas para sí misma. Los posibles estados de la naturaleza (sus estrategias) se realizan de forma aleatoria. En la investigación de operaciones, la parte operadora (el jugador I) a menudo se denomina estadístico, y las operaciones mismas a menudo se denominan juegos de naturaleza estadística o juegos estadísticos.
Consideremos una formulación de juego del problema de la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre. Que la parte operadora necesite realizar una operación en un entorno insuficientemente conocido respecto de cuyas condiciones se pueden hacer suposiciones. Consideraremos estos supuestos como estrategias de la naturaleza. El operador tiene a su disposición posibles estrategias - . Se supone que los pagos del jugador I para cada par de estrategias y - son conocidos y se especifican mediante la matriz de pagos.
La tarea es determinar una estrategia (pura o mixta) que, de aplicarse, proporcionaría a la parte operadora la mayor ganancia.
Ya se ha dicho anteriormente que la actividad económica humana puede considerarse como un juego con la naturaleza. La característica principal de la naturaleza como jugador es que no le interesa ganar.
El análisis de la matriz de beneficios de un juego con la naturaleza comienza identificando y descartando estrategias duplicadas y obviamente no rentables de la persona que juega con la naturaleza. En cuanto a las estrategias de la naturaleza, ninguna de ellas puede descartarse, ya que cada uno de los estados de la naturaleza puede ocurrir aleatoriamente, independientemente de las acciones del jugador I. Dado que la naturaleza no se opone al jugador I, puede parecer que jugar con la naturaleza es más sencillo que un juego estratégico. Actualmente, esto no es verdad. Los intereses opuestos de los jugadores en un juego estratégico, en cierto sentido, parecen eliminar la incertidumbre, lo que no se puede decir de un juego estadístico. Es más fácil para el lado operativo en un juego con la naturaleza en el sentido de que probablemente ganará más que en un juego contra un oponente consciente. Sin embargo, le resulta más difícil tomar una decisión informada, ya que al jugar con la naturaleza la incertidumbre de la situación le afecta mucho más.
Después de simplificar la matriz de pagos de un juego con la naturaleza, es aconsejable no sólo estimar las ganancias para una determinada situación de juego, sino también determinar la diferencia entre las ganancias máximas posibles para este estado naturaleza y la ganancia que se obtendrá al aplicar la estrategia en las mismas condiciones. Esta diferencia en la teoría de juegos se llama riesgo.
La naturaleza cambia de estado espontáneamente, sin importarle en absoluto el resultado del juego. En el juego antagónico, asumimos que los jugadores utilizan estrategias mixtas óptimas (en el sentido definido anteriormente). Se puede suponer que la naturaleza probablemente esté utilizando una estrategia que no es óptima. ¿Entonces cuál? Si hubiera una respuesta a esta pregunta, entonces la toma de decisiones por parte del tomador de decisiones (DM) se reduciría a un problema determinista.
Si se conocen las probabilidades de los estados de la naturaleza, entonces se utiliza el criterio de Bayes, según el cual se considera óptima la estrategia pura, en la que se maximiza el beneficio medio:
El criterio de Bayes supone que aunque no conocemos las condiciones para realizar operaciones (estados de naturaleza), conocemos sus probabilidades.
Con la ayuda de esta técnica, el problema de elegir una solución en condiciones de incertidumbre se convierte en el problema de elegir una solución en condiciones de certeza, sólo que la decisión tomada es óptima no en cada caso individual, sino en promedio;
Si todos los estados de la naturaleza le parecen igualmente plausibles al jugador, entonces a veces se cree y, teniendo en cuenta el “principio de razón insuficiente” de Laplace, que se considera óptima una estrategia pura, siempre que:
Si se desconoce la estrategia mixta de la naturaleza, entonces, dependiendo de la hipótesis sobre el comportamiento de la naturaleza, se pueden proponer varios enfoques para justificar la elección de la decisión por parte de quien toma la decisión. Caracterizaremos nuestra evaluación de la naturaleza del comportamiento de la naturaleza por el número , que puede asociarse con el grado de "contrarrestación" activa de la naturaleza como jugador. El valor corresponde a la actitud más pesimista del tomador de decisiones en el sentido de ". “ayuda” de la naturaleza para lograr los mejores resultados económicos. El valor corresponde al mayor optimismo de quien toma las decisiones. Como es sabido, en la actividad económica estos extremos son peligrosos. Lo más probable es que sea aconsejable partir de algún valor intermedio. En este caso se utiliza el criterio de Hurwitz, según el cual la mejor solución para quien toma las decisiones es una estrategia pura que cumple la condición:
El criterio de Hurwitz (el criterio de “optimismo-pesimismo”) permite guiarse a la hora de elegir una decisión arriesgada en condiciones de incertidumbre por algún resultado de eficiencia promedio ubicado en el campo entre los valores según el “maximax” y “ criterios maximin” (el campo entre estos valores está conectado a través de una función lineal convexa).
En el caso de un pesimismo extremo por parte de quien toma las decisiones, este criterio se denomina criterio de Wald. Según este criterio, la estrategia maximin se considera la mejor. Éste es un criterio de pesimismo extremo. Con base en este criterio, quien toma las decisiones elige la estrategia que garantiza la máxima ganancia en las peores condiciones:
Esta elección corresponde al comportamiento más tímido del tomador de decisiones, cuando asume el comportamiento más desfavorable de la naturaleza y teme grandes pérdidas. Se puede suponer que no recibirá grandes ganancias. Según el criterio de Savage, se debe elegir una estrategia pura que cumpla la condición:
¿Dónde está el riesgo?
El criterio de Savage (el criterio de pérdida "minimax") supone que de todas las opciones posibles de la "matriz de decisión" se selecciona la alternativa que minimiza el tamaño de las pérdidas máximas para cada una de las posibles soluciones. Al utilizar este criterio, la “matriz de decisión” se transforma en una “matriz de riesgo”, en la que, en lugar de valores de eficiencia, se ingresa el tamaño de las pérdidas para varios escenarios.
La desventaja de los criterios de Wald, Savage y Hurwitz es evaluación subjetiva comportamiento de la naturaleza. Aunque estos criterios proporcionan un marco lógico para la toma de decisiones, sigue siendo razonable preguntarse: “¿Por qué no elegir inmediatamente una decisión subjetiva, en lugar de abordar criterios diferentes?” Sin duda, determinar la solución mediante varios criterios ayuda al tomador de decisiones a evaluar la decisión que se está tomando desde diversas posiciones y evitar errores graves en las actividades comerciales.
Ejemplo de solución de problema
La tarea
Después de varios años de funcionamiento, el equipo puede terminar en uno de tres estados:
- se requiere mantenimiento preventivo;
- Se requiere reemplazo de piezas y conjuntos individuales;
- requiere reparaciones importantes.
Dependiendo de la situación, la dirección de la empresa puede tomar las siguientes decisiones:
Se requiere encontrar la solución óptima a este problema según el criterio de minimización de costos, tomando en cuenta los siguientes supuestos:
| a | 4 | 6 | 9 | b | 5 | 3 | 7 | C | 20 | 15 | 6 | q | 0.4 | 0.45 | 0.15 |
La solución del problema
Si tiene dificultades para resolver problemas, el sitio brinda asistencia en línea a los estudiantes sobre métodos de solución óptima con pruebas o exámenes.
Juego de parejas, estadístico. En el juego participan 2 jugadores: la dirección de la empresa y la naturaleza.
Bajo la naturaleza en en este caso comprender la totalidad factores externos, que determinan el estado del equipo.
Estrategia administrativa:
Repare el equipo usted mismo
Llame a un equipo de especialistas
Reemplace el equipo por uno nuevo
La estrategia de la naturaleza: 3 posibles estados de equipamiento.
Se requiere mantenimiento preventivo;
Se deben reemplazar las piezas y conjuntos individuales;
Requiere una renovación importante.
Cálculo de matriz de pagos y matriz de riesgos.
Como los elementos de la matriz son costos, los consideraremos ganadores pero con signo menos. Matriz de pago:
| -4 | -6 | -9 | -9 | -5 | -3 | -7 | -7 | -20 | -15 | -6 | -20 | 0.4 | 0.45 | 0.15 |
Creamos una matriz de riesgos:
| -4-(-20)=16 | -6-(-15)=9 | -9-(-9)=0 | 16 | -5-(-20)=15 | -3-(-15)=12 | -7-(-9)=2 | 15 | -20-(-20)=0 | -15-(-15)=0 | -6-(-9)=3 | 3 |
Criterio de Bayes
Determinamos las ganancias promedio:
Según el criterio de Bayes, la estrategia óptima es llamar a un equipo de especialistas
Criterio de Laplace
Determinemos las ganancias promedio:
Según el criterio de Laplace, la estrategia óptima es llamar a un equipo de especialistas
criterio de wald
Según el criterio de Wald, la estrategia óptima es convocar a un equipo de especialistas.
Criterio salvaje
Según el criterio de Savage, la estrategia óptima es reemplazar los equipos por nuevos.
criterio de Hurwitz
Según el criterio de Hurwitz, la estrategia óptima es llamar a un equipo de especialistas
Respuesta
Según todos los criterios, con excepción del criterio de Savage, la estrategia óptima es "Llamar a un equipo de especialistas". Según el criterio de Savage, que minimiza los riesgos, la estrategia óptima es “Reemplazar el equipo por uno nuevo”.
Contiene información teórica sobre juego de matriz sin un punto de silla y una forma de reducir dicho problema a un problema de programación lineal para encontrar su solución en estrategias mixtas. Se da un ejemplo de cómo resolver el problema.
QS multicanal con cola ilimitada
Se proporciona la información teórica necesaria y un ejemplo de solución al problema sobre el tema "Sistema multicanal". haciendo cola con cola ilimitada", los indicadores se consideran en detalle sistema multicanal servicio de cola (QS) con espera de servicio: número promedio de canales ocupados al atender una solicitud, longitud de la cola, probabilidad de formación de cola, probabilidad Estado libre sistemas, tiempo medio de espera en cola.
Ruta crítica, tiempo crítico y otros parámetros del cronograma de la red de trabajo
Usando el ejemplo de resolver un problema, las cuestiones de construir gráficos de red funciona, encontrando el camino crítico y el tiempo crítico. También se muestra el cálculo de parámetros y reservas de eventos y trabajo - temprano y fechas tardías, reservas generales (completas) y privadas.
