En el término "ecuación cuadrática", la palabra clave es "cuadrática". Esto significa que la ecuación debe contener necesariamente una variable (esa misma x) al cuadrado, y no debe haber xes a la tercera (o mayor) potencia.
La solución de muchas ecuaciones se reduce a resolver exactamente ecuaciones cuadráticas.
Aprendamos a determinar que se trata de una ecuación cuadrática y no de otra ecuación.
Ejemplo 1.
Eliminemos el denominador y multipliquemos cada término de la ecuación por
Movamos todo hacia el lado izquierdo y ordenemos los términos en orden descendente de potencias de X.
¡Ahora podemos decir con confianza que esta ecuación es cuadrática!
Ejemplo 2.
Multiplica los lados izquierdo y derecho por:
¡Esta ecuación, aunque estaba originalmente en ella, no es cuadrática!
Ejemplo 3.
Multipliquemos todo por:
¿Aterrador? El cuarto y segundo grado... Sin embargo, si hacemos una sustitución, veremos que tenemos una ecuación cuadrática simple:
Ejemplo 4.
Parece estar ahí, pero echemos un vistazo más de cerca. Movamos todo hacia el lado izquierdo:
Mira, se ha reducido y ¡ahora es una ecuación lineal simple!
Ahora intenta determinar por ti mismo cuáles de las siguientes ecuaciones son cuadráticas y cuáles no:
Ejemplos:
Respuestas:
- cuadrado;
- cuadrado;
- no cuadrado;
- no cuadrado;
- no cuadrado;
- cuadrado;
- no cuadrado;
- cuadrado.
Los matemáticos convencionalmente dividen todas las ecuaciones cuadráticas en los siguientes tipos:
- Completar ecuaciones cuadráticas- ecuaciones en las que los coeficientes y, así como el término libre c, no son iguales a cero (como en el ejemplo). Además, entre las ecuaciones cuadráticas completas hay dado- estas son ecuaciones en las que el coeficiente (la ecuación del ejemplo uno no solo es completa, ¡sino también reducida!)
- Ecuaciones cuadráticas incompletas- ecuaciones en las que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:
Están incompletos porque les falta algún elemento. ¡¡¡Pero la ecuación siempre debe contener x al cuadrado!!! De lo contrario, ya no será una ecuación cuadrática, sino alguna otra ecuación.
¿Por qué se les ocurrió tal división? Parecería que hay una X al cuadrado, y está bien. Esta división está determinada por los métodos de solución. Veamos cada uno de ellos con más detalle.
Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas
Primero, centrémonos en resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: ¡son mucho más simples!
Hay tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:
- , en esta ecuación el coeficiente es igual.
- , en esta ecuación el término libre es igual a.
- , en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.
1. yo. Porque sabemos extraer Raíz cuadrada, entonces expresemos a partir de esta ecuación
La expresión puede ser negativa o positiva. Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo, entonces: si, entonces la ecuación no tiene soluciones.
Y si, entonces obtenemos dos raíces. No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal es que debes saber y recordar siempre que no puede ser menos.
Intentemos resolver algunos ejemplos.
Ejemplo 5:
Resuelve la ecuación
Ahora solo queda extraer la raíz de los lados izquierdo y derecho. Después de todo, ¿recuerdas cómo extraer las raíces?
Respuesta:
¡¡¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!!!
Ejemplo 6:
Resuelve la ecuación
Respuesta:
Ejemplo 7:
Resuelve la ecuación
¡Oh! El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación
¡sin raíces!
Para este tipo de ecuaciones que no tienen raíces, los matemáticos crearon un icono especial: (conjunto vacío). Y la respuesta se puede escribir así:
Respuesta:
Por tanto, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces. Aquí no hay restricciones, ya que no extrajimos la raíz.
Ejemplo 8:
Resuelve la ecuación
Saquemos el factor común de paréntesis:
De este modo,
Esta ecuación tiene dos raíces.
Respuesta:
El tipo más simple de ecuaciones cuadráticas incompletas (aunque todas son simples, ¿verdad?). Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:
Aquí prescindiremos de ejemplos.
Resolver ecuaciones cuadráticas completas
Te recordamos que una ecuación cuadrática completa es una ecuación de la forma ecuación donde
Resolver ecuaciones cuadráticas completas es un poco más difícil (sólo un poco) que éstas.
Recordar, ¡Cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando un discriminante! Incluso incompleto.
Los otros métodos te ayudarán a hacerlo más rápido, pero si tienes problemas con ecuaciones cuadráticas, primero domina la solución usando el discriminante.
1. Resolver ecuaciones cuadráticas usando un discriminante.
Resolver ecuaciones cuadráticas con este método es muy sencillo, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas.
Si, entonces la ecuación tiene raíz. Atención especial Da un paso. Discriminante () nos dice el número de raíces de la ecuación.
- Si, entonces la fórmula del paso se reducirá a. Por tanto, la ecuación sólo tendrá raíz.
- Si es así, no podremos extraer la raíz del discriminante en el paso. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.
Volvamos a nuestras ecuaciones y veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 9:
Resuelve la ecuación
Paso 1 saltamos.
Paso 2.
Hallamos el discriminante:
Esto significa que la ecuación tiene dos raíces.
Paso 3.
Respuesta:
Ejemplo 10:
Resuelve la ecuación
La ecuación se presenta en forma estándar, por lo que Paso 1 saltamos.
Paso 2.
Hallamos el discriminante:
Esto significa que la ecuación tiene una raíz.
Respuesta:
Ejemplo 11:
Resuelve la ecuación
La ecuación se presenta en forma estándar, por lo que Paso 1 saltamos.
Paso 2.
Hallamos el discriminante:
Esto significa que no podremos extraer la raíz del discriminante. No hay raíces de la ecuación.
Ahora sabemos cómo escribir correctamente esas respuestas.
Respuesta: sin raíces
2. Resolver ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta.
Si recuerdas, existe un tipo de ecuación que se llama reducida (cuando el coeficiente a es igual a):
Estas ecuaciones son muy fáciles de resolver utilizando el teorema de Vieta:
suma de raices dado la ecuación cuadrática es igual y el producto de las raíces es igual.
Ejemplo 12:
Resuelve la ecuación
Esta ecuación se puede resolver usando el teorema de Vieta porque .
La suma de las raíces de la ecuación es igual, es decir. obtenemos la primera ecuación:
Y el producto es igual a:
Compongamos y resolvamos el sistema:
- Y. La cantidad es igual a;
- Y. La cantidad es igual a;
- Y. La cantidad es igual.
y son la solución al sistema:
Respuesta: ; .
Ejemplo 13:
Resuelve la ecuación
Respuesta:
Ejemplo 14:
Resuelve la ecuación
Se da la ecuación, lo que significa:
Respuesta:
ECUACIONES CUADRÁTICAS. NIVEL PROMEDIO
¿Qué es una ecuación cuadrática?
En otras palabras, una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma donde - la incógnita, - algunos números y.
El número se llama el más alto o primer coeficiente ecuación cuadrática, - segundo coeficiente, A - miembro gratuito.
¿Por qué? Porque si la ecuación se vuelve inmediatamente lineal, porque desaparecerá.
En este caso, y puede ser igual a cero. En esta silla la ecuación se llama incompleta. Si todos los términos están en su lugar, es decir, la ecuación está completa.
Soluciones a varios tipos de ecuaciones cuadráticas.
Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas:
Primero, veamos los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: son más simples.
Podemos distinguir los siguientes tipos de ecuaciones:
I., en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.
II. , en esta ecuación el coeficiente es igual.
III. , en esta ecuación el término libre es igual a.
Ahora veamos la solución para cada uno de estos subtipos.
Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:
Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo. Es por eso:
si, entonces la ecuación no tiene soluciones;
si tenemos dos raíces
No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal a recordar es que no puede ser menos.
Ejemplos:
Soluciones:
Respuesta:
¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!
El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación
sin raíces.
Para anotar brevemente que un problema no tiene solución utilizamos el icono de conjunto vacío.
Respuesta:
Entonces, esta ecuación tiene dos raíces: y.
Respuesta:
Saquemos el factor común de paréntesis:
El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Esto significa que la ecuación tiene solución cuando:
Entonces, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces: y.
Ejemplo:
Resuelve la ecuación.
Solución:
Factoricemos el lado izquierdo de la ecuación y encontremos las raíces:
Respuesta:
Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas:
1. Discriminante
Resolver ecuaciones cuadráticas de esta forma es fácil, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas. Recuerde, ¡cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando un discriminante! Incluso incompleto.
¿Notaste la raíz del discriminante en la fórmula de raíces? Pero el discriminante puede ser negativo. ¿Qué hacer? Necesitamos prestar especial atención al paso 2. El discriminante nos dice el número de raíces de la ecuación.
- Si, entonces la ecuación tiene raíces:
- Si, entonces la ecuación tiene las mismas raíces y, de hecho, una raíz:
Estas raíces se llaman raíces dobles.
- Si, entonces no se extrae la raíz del discriminante. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.
¿Por qué son posibles diferentes números de raíces? pasemos a sentido geométrico ecuación cuadrática. La gráfica de la función es una parábola:
En un caso especial, que es una ecuación cuadrática, . Esto significa que las raíces de una ecuación cuadrática son los puntos de intersección con el eje de abscisas (eje). Una parábola puede no cruzar el eje en absoluto, o puede cruzarlo en uno (cuando el vértice de la parábola se encuentra en el eje) o dos puntos.
Además, el coeficiente es responsable de la dirección de las ramas de la parábola. Si, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, y si, hacia abajo.
Ejemplos:
Soluciones:
Respuesta:
Respuesta: .
Respuesta:
Esto significa que no hay soluciones.
Respuesta: .
2. Teorema de Vieta
Es muy fácil utilizar el teorema de Vieta: basta con elegir un par de números cuyo producto sea igual al término libre de la ecuación, y la suma sea igual al segundo coeficiente tomado con el signo opuesto.
Es importante recordar que el teorema de Vieta sólo se puede aplicar en ecuaciones cuadráticas reducidas ().
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1:
Resuelve la ecuación.
Solución:
Esta ecuación se puede resolver usando el teorema de Vieta porque . Otros coeficientes: ; .
La suma de las raíces de la ecuación es:
Y el producto es igual a:
Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual y comprobemos si su suma es igual:
- Y. La cantidad es igual a;
- Y. La cantidad es igual a;
- Y. La cantidad es igual.
y son la solución al sistema:
Por tanto, y son las raíces de nuestra ecuación.
Respuesta: ; .
Ejemplo #2:
Solución:
Seleccionemos pares de números que dan el producto y luego verifiquemos si su suma es igual:
y: dan en total.
y: dan en total. Para obtenerlo, basta con cambiar los signos de las supuestas raíces: y, al fin y al cabo, el producto.
Respuesta:
Ejemplo #3:
Solución:
El término libre de la ecuación es negativo y por tanto el producto de las raíces es un numero negativo. Esto sólo es posible si una de las raíces es negativa y la otra es positiva. Por lo tanto la suma de las raíces es igual a diferencias de sus módulos.
Seleccionemos pares de números que dan en el producto, y cuya diferencia es igual a:
y: su diferencia es igual - no encaja;
y: - no apto;
y: - no apto;
y: - adecuado. Sólo queda recordar que una de las raíces es negativa. Como su suma debe ser igual, la raíz con el módulo menor debe ser negativa: . Verificamos:
Respuesta:
Ejemplo #4:
Resuelve la ecuación.
Solución:
Se da la ecuación, lo que significa:
El término libre es negativo y, por tanto, el producto de las raíces es negativo. Y esto sólo es posible cuando una raíz de la ecuación es negativa y la otra es positiva.
Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual y luego determinemos qué raíces deben tener un signo negativo:
Evidentemente, sólo las raíces y son aptas para la primera condición:
Respuesta:
Ejemplo #5:
Resuelve la ecuación.
Solución:
Se da la ecuación, lo que significa:
La suma de las raíces es negativa, lo que significa que al menos una de las raíces es negativa. Pero como su producto es positivo, significa que ambas raíces tienen un signo menos.
Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual a:
Obviamente, las raíces son los números y.
Respuesta:
De acuerdo, es muy conveniente encontrar raíces oralmente, en lugar de contar este desagradable discriminante. Intente utilizar el teorema de Vieta con la mayor frecuencia posible.
Pero el teorema de Vieta es necesario para facilitar y acelerar la búsqueda de las raíces. Para que puedas beneficiarte de su uso, debes llevar las acciones al automatismo. Y para ello, resuelve cinco ejemplos más. Pero no hagas trampa: ¡no puedes utilizar un discriminante! Sólo el teorema de Vieta:
Soluciones a tareas para el trabajo independiente:
Tarea 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Según el teorema de Vieta:
Como es habitual, comenzamos la selección con la pieza:
No apto por la cantidad;
: la cantidad es justo lo que necesitas.
Respuesta: ; .
Tarea 2.
Y nuevamente nuestro teorema favorito de Vieta: la suma debe ser igual y el producto debe ser igual.
Pero como no debe ser, pero, cambiamos los signos de las raíces: y (en total).
Respuesta: ; .
Tarea 3.
Mmmm... ¿Dónde es eso?
Debes mover todos los términos en una sola parte:
La suma de las raíces es igual al producto.
¡Está bien, detente! La ecuación no está dada. Pero el teorema de Vieta sólo es aplicable en las ecuaciones dadas. Entonces primero necesitas dar una ecuación. Si no puedes liderar, abandona esta idea y resuélvela de otra manera (por ejemplo, a través de un discriminante). Permítanme recordarles que dar una ecuación cuadrática significa igualar el coeficiente principal:
Excelente. Entonces la suma de las raíces es igual a y el producto.
Aquí elegir es muy fácil: después de todo, es un número primo (perdón por la tautología).
Respuesta: ; .
Tarea 4.
El miembro gratuito es negativo. ¿Qué tiene de especial esto? Y es que las raíces tendrán signos diferentes. Y ahora, durante la selección, comprobamos no la suma de las raíces, sino la diferencia en sus módulos: esta diferencia es igual, pero es un producto.
Entonces, las raíces son iguales a y, pero una de ellas es menos. El teorema de Vieta nos dice que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con signo opuesto, es decir. Esto significa que la raíz más pequeña tendrá un signo menos: y desde entonces.
Respuesta: ; .
Tarea 5.
¿Qué deberías hacer primero? Así es, da la ecuación:
Nuevamente: seleccionamos los factores del número y su diferencia debe ser igual a:
Las raíces son iguales a y, pero una de ellas es menos. ¿Cual? Su suma debe ser igual, lo que significa que el menos tendrá una raíz mayor.
Respuesta: ; .
Déjame resumir:
- El teorema de Vieta se utiliza sólo en las ecuaciones cuadráticas dadas.
- Usando el teorema de Vieta, puedes encontrar las raíces por selección, de forma oral.
- Si no se da la ecuación o no se encuentra ninguna ecuación par adecuado multiplicadores del término libre, lo que significa que no hay raíces enteras y hay que resolverlo de otra forma (por ejemplo, mediante un discriminante).
3. Método para seleccionar un cuadrado completo
Si todos los términos que contienen la incógnita se representan en forma de términos de fórmulas de multiplicación abreviadas (el cuadrado de la suma o la diferencia), luego de reemplazar las variables, la ecuación se puede presentar en forma de una ecuación cuadrática incompleta del tipo.
Por ejemplo:
Ejemplo 1:
Resuelve la ecuación: .
Solución:
Respuesta:
Ejemplo 2:
Resuelve la ecuación: .
Solución:
Respuesta:
EN vista general la transformación se verá así:
Esto implica: .
¿No te recuerda a nada? ¡Esto es algo discriminatorio! Así es exactamente como obtuvimos la fórmula discriminante.
ECUACIONES CUADRÁTICAS. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES
Ecuación cuadrática- esta es una ecuación de la forma donde - la incógnita, - los coeficientes de la ecuación cuadrática, - el término libre.
Ecuación cuadrática completa- una ecuación en la que los coeficientes no son iguales a cero.
Ecuación cuadrática reducida- una ecuación en la que el coeficiente, es decir: .
Ecuación cuadrática incompleta- una ecuación en la que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:
- si el coeficiente, la ecuación se ve así: ,
- si hay un término libre, la ecuación tiene la forma: ,
- si y, la ecuación se ve así: .
1. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.
1.1. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:
1) Expresemos la incógnita: ,
2) Verifique el signo de la expresión:
- si, entonces la ecuación no tiene soluciones,
- si, entonces la ecuación tiene dos raíces.
1.2. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:
1) Saquemos el factor común de paréntesis: ,
2) El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Por tanto, la ecuación tiene dos raíces:
1.3. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:
Esta ecuación siempre tiene una sola raíz: .
2. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas completas de la forma donde
2.1. Solución usando discriminante
1) Llevemos la ecuación a la forma estándar: ,
2) Calculemos el discriminante usando la fórmula: , que indica el número de raíces de la ecuación:
3) Encuentra las raíces de la ecuación:
- si, entonces la ecuación tiene raíces, que se encuentran mediante la fórmula:
- si, entonces la ecuación tiene una raíz, que se encuentra mediante la fórmula:
- si, entonces la ecuación no tiene raíces.
2.2. Solución usando el teorema de Vieta
La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida (ecuación de la forma donde) es igual y el producto de las raíces es igual, es decir , A.
2.3. Solución por el método de selección de un cuadrado completo.
Si una ecuación cuadrática de la forma tiene raíces, entonces se puede escribir en la forma: .
Bueno, se acabó el tema. Si estás leyendo estas líneas es que eres muy guay.
Porque sólo el 5% de las personas son capaces de dominar algo por sí mismas. Y si lees hasta el final, ¡estás en este 5%!
Ahora lo más importante.
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Escuela secundaria rural Kopyevskaya
Diez formas de resolver ecuaciones cuadráticas
Jefa: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
profesor de matematicas
pueblo Kopevo, 2007
1. Historia del desarrollo de ecuaciones cuadráticas.
1.1 Ecuaciones cuadráticas en la antigua Babilonia
1.2 Cómo compuso y resolvió Diofanto ecuaciones cuadráticas
1.3 Ecuaciones cuadráticas en India
1.4 Ecuaciones cuadráticas de al-Khorezmi
1.5 Ecuaciones cuadráticas en Europa siglos XIII - XVII
1.6 Sobre el teorema de Vieta
2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.
Conclusión
Literatura
1. Historia del desarrollo de ecuaciones cuadráticas.
1.1 Ecuaciones cuadráticas en la antigua Babilonia
La necesidad de resolver ecuaciones no solo de primer, sino también de segundo grado, incluso en la antigüedad, se debió a la necesidad de resolver problemas relacionados con la búsqueda de áreas de terrenos y con trabajos de excavación de carácter militar, así como como ocurre con el desarrollo de la astronomía y las propias matemáticas. Las ecuaciones cuadráticas se pudieron resolver alrededor del año 2000 a.C. mi. Babilonios.
Utilizando la notación algebraica moderna, podemos decir que en sus textos cuneiformes existen, además de incompletas, como, por ejemplo, ecuaciones cuadráticas completas:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
La regla para resolver estas ecuaciones, expuesta en los textos babilónicos, coincide esencialmente con la moderna, pero no se sabe cómo llegaron los babilonios a esta regla. Casi todos los textos cuneiformes encontrados hasta ahora sólo proporcionan problemas con soluciones presentadas en forma de recetas, sin indicación de cómo fueron encontrados.
A pesar de nivel alto desarrollo del álgebra en Babilonia, los textos cuneiformes carecen del concepto de número negativo y métodos generales resolver ecuaciones cuadráticas.
1.2 Cómo compuso y resolvió Diofanto ecuaciones cuadráticas.
La Aritmética de Diofanto no contiene una presentación sistemática del álgebra, pero sí una serie sistemática de problemas, acompañados de explicaciones y resueltos mediante la construcción de ecuaciones de varios grados.
Al componer ecuaciones, Diofanto selecciona hábilmente incógnitas para simplificar la solución.
Aquí, por ejemplo, está una de sus tareas.
Problema 11."Encuentra dos números, sabiendo que su suma es 20 y su producto es 96"
Diofanto razona de la siguiente manera: de las condiciones del problema se deduce que los números requeridos no son iguales, ya que si fueran iguales, entonces su producto no sería igual a 96, sino a 100. Así, uno de ellos será mayor que la mitad de su suma, es decir. 10+x, el otro es menor, es decir 10. La diferencia entre ellos 2x .
De ahí la ecuación:
(10 + x)(10 - x) = 96
100-x2 = 96
x2 - 4 = 0 (1)
De aquí x = 2. Uno de los números requeridos es igual a 12 , otro 8 . Solución x = -2 porque Diofanto no existe, ya que las matemáticas griegas sólo conocían números positivos.
Si resolvemos este problema eligiendo uno de los números requeridos como incógnita, llegaremos a una solución a la ecuación.
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Está claro que al elegir la media diferencia de los números requeridos como incógnita, Diofanto simplifica la solución; logra reducir el problema a resolver una ecuación cuadrática incompleta (1).
1.3 Ecuaciones cuadráticas en India
Los problemas sobre ecuaciones cuadráticas ya se encuentran en el tratado astronómico "Aryabhattiam", compilado en 499 por el matemático y astrónomo indio Aryabhatta. Otro científico indio, Brahmagupta (siglo VII), describió regla general soluciones de ecuaciones cuadráticas reducidas a una sola forma canónica:
ah 2 + b x = c, a > 0. (1)
En la ecuación (1), los coeficientes, excepto A, también puede ser negativo. El gobierno de Brahmagupta es esencialmente el mismo que el nuestro.
EN India antigua Los concursos públicos para resolver problemas difíciles eran comunes. Uno de los antiguos libros indios dice lo siguiente sobre tales competiciones: “Así como el sol eclipsa las estrellas con su brillo, así hombre aprendido eclipsará la gloria de otro asambleas populares, proponer y resolver problemas algebraicos.” Los problemas se presentaban a menudo en forma poética.
Éste es uno de los problemas del famoso matemático indio del siglo XII. Bhaskars.
Problema 13.
“Una bandada de monos juguetones, y doce a lo largo de las viñas...
Las autoridades, después de comer, se divirtieron. Empezaron a saltar, a colgarse...
Están en la plaza, parte ocho ¿Cuántos monos había?
Me estaba divirtiendo en el claro. Dime, ¿en este paquete?
La solución de Bhaskara indica que sabía que las raíces de ecuaciones cuadráticas tienen dos valores (Fig. 3).
La ecuación correspondiente al problema 13 es:
( X /8) 2 + 12 = X
Bhaskara escribe bajo el pretexto:
x2 - 64x = -768
y, para completar el lado izquierdo de esta ecuación al cuadrado, suma a ambos lados 32 2 , luego obteniendo:
x 2 - 64 x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x1 = 16, x2 = 48.
1.4 Ecuaciones cuadráticas en al - Khorezmi
En el tratado algebraico de al-Khorezmi se da una clasificación de ecuaciones lineales y cuadráticas. El autor cuenta 6 tipos de ecuaciones, expresándolas de la siguiente manera:
1) “Los cuadrados son iguales a las raíces”, es decir hacha 2 + c = b X.
2) “Los cuadrados son iguales a los números”, es decir hacha 2 = c.
3) “Las raíces son iguales al número”, es decir ah = s.
4) “Los cuadrados y los números son iguales a las raíces”, es decir hacha 2 + c = b X.
5) “Los cuadrados y las raíces son iguales a los números”, es decir ah 2 + bx = s.
6) “Las raíces y los números son iguales a los cuadrados”, es decir bx + c = hacha 2 .
Para al-Khorezmi, que evitó el uso de números negativos, los términos de cada una de estas ecuaciones son sumandos y no restables. En este caso, obviamente no se tienen en cuenta las ecuaciones que no tienen soluciones positivas. El autor expone métodos para resolver estas ecuaciones utilizando las técnicas de al-jabr y al-muqabala. Sus decisiones, por supuesto, no coinciden del todo con las nuestras. Sin mencionar que es puramente retórico, cabe señalar, por ejemplo, que al resolver una ecuación cuadrática incompleta del primer tipo
al-Khorezmi, como todos los matemáticos anteriores al siglo XVII, no tiene en cuenta la solución cero, probablemente porque en problemas prácticos específicos no importa. Al resolver ecuaciones cuadráticas completas al-Khorezmi en parcial ejemplos numéricos establece las reglas para la solución y luego las pruebas geométricas.
Problema 14.“El cuadrado y el número 21 son iguales a 10 raíces. Encuentra la raíz" (lo que implica la raíz de la ecuación x 2 + 21 = 10x).
La solución del autor es más o menos así: divide el número de raíces por la mitad, obtienes 5, multiplica 5 por sí mismo, resta 21 del producto, lo que queda es 4. Saca la raíz de 4, obtienes 2. Resta 2 de 5 , obtienes 3, esta será la raíz deseada. O suma 2 a 5, lo que da 7, esto también es una raíz.
El tratado de al-Khorezmi es el primer libro que nos ha llegado y que establece sistemáticamente la clasificación de ecuaciones cuadráticas y proporciona fórmulas para su solución.
1.5 Ecuaciones cuadráticas en Europa XIII - XVII cama y desayuno
Las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas siguiendo las líneas de al-Khwarizmi en Europa se establecieron por primera vez en el Libro del Ábaco, escrito en 1202 por el matemático italiano Leonardo Fibonacci. Esta voluminosa obra, que refleja la influencia de las matemáticas, tanto en los países islámicos como en Antigua Grecia, se distingue tanto por su integridad como por su claridad de presentación. El autor desarrolló de forma independiente algunos ejemplos algebraicos nuevos de resolución de problemas y fue el primero en Europa en abordar la introducción de números negativos. Su libro contribuyó a la difusión del conocimiento algebraico no sólo en Italia, sino también en Alemania, Francia y otros países europeos. Muchos problemas del Libro del Ábaco se utilizaron en casi todos los libros de texto europeos de los siglos XVI y XVII. y en parte XVIII.
La regla general para resolver ecuaciones cuadráticas reducida a una única forma canónica:
x2 + bx =c,
para todas las combinaciones posibles de signos de coeficientes b , Con No fue formulado en Europa hasta 1544 por M. Stiefel.
La derivación de la fórmula para resolver una ecuación cuadrática en forma general está disponible en Viète, pero Viète solo reconoció raíces positivas. Los matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli estuvieron entre los primeros en el siglo XVI. Además de las positivas, también se tienen en cuenta las raíces negativas. Sólo en el siglo XVII. Gracias al trabajo de Girard, Descartes, Newton y otros científicos, el método de resolución de ecuaciones cuadráticas adquiere una forma moderna.
1.6 Sobre el teorema de Vieta
El teorema que expresa la relación entre los coeficientes de una ecuación cuadrática y sus raíces, que lleva el nombre de Vieta, fue formulado por primera vez por él en 1591 de la siguiente manera: “Si B + D, multiplicado por A - A 2 , es igual BD, Eso A es igual EN e igual D ».
Para entender a Vieta debemos recordar que A, como cualquier letra vocal, significaba lo desconocido (nuestro X), vocales EN, D- coeficientes para lo desconocido. En el lenguaje del álgebra moderna, la formulación de Vieta anterior significa: si hay
(un + b )x-x2 = ab ,
x 2 - (un + b )x + a b = 0,
x 1 = a, x 2 = b .
Expresar la relación entre las raíces y los coeficientes de las ecuaciones. fórmulas generales escrito utilizando símbolos, Viet estableció la uniformidad en los métodos de resolución de ecuaciones. Sin embargo, el simbolismo del vietnamita aún está lejos de ser aspecto moderno. No reconocía los números negativos y por eso, al resolver ecuaciones, consideraba sólo los casos en los que todas las raíces eran positivas.
2. Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.
Las ecuaciones cuadráticas son la base sobre la que descansa el majestuoso edificio del álgebra. Se encuentran ecuaciones cuadráticas. aplicación amplia al resolver ecuaciones y desigualdades trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, irracionales y trascendentales. Todos sabemos cómo resolver ecuaciones cuadráticas desde la escuela (octavo grado) hasta la graduación.
Espero que después de estudiar este artículo aprendas a encontrar las raíces de una ecuación cuadrática completa.
Con el discriminante solo se resuelven ecuaciones cuadráticas completas, para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas se utilizan otros métodos, que encontrarás en el artículo “Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas”.
¿Qué ecuaciones cuadráticas se llaman completas? Este ecuaciones de la forma ax 2 + b x + c = 0, donde los coeficientes a, b y c no son iguales a cero. Entonces, para resolver una ecuación cuadrática completa, necesitamos calcular el discriminante D.
D = b 2 – 4ac.
Dependiendo del valor del discriminante anotaremos la respuesta.
Si el discriminante es un número negativo (D< 0),то корней нет.
Si el discriminante es cero, entonces x = (-b)/2a. Cuando el discriminante es un número positivo (D > 0),
entonces x 1 = (-b - √D)/2a, y x 2 = (-b + √D)/2a.
Por ejemplo. Resuelve la ecuación x2– 4x + 4= 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Respuesta: 2.
Resuelva la ecuación 2 x2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Respuesta: sin raíces.
Resuelva la ecuación 2 x2 + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Respuesta: – 3,5; 1.
Entonces, imaginemos la solución de ecuaciones cuadráticas completas usando el diagrama de la Figura 1.
Usando estas fórmulas puedes resolver cualquier ecuación cuadrática completa. Sólo debes tener cuidado de la ecuación se escribió como un polinomio vista estándar
A x2 + bx + c, de lo contrario puedes cometer un error. Por ejemplo, al escribir la ecuación x + 3 + 2x 2 = 0, puedes decidir erróneamente que
a = 1, b = 3 y c = 2. Entonces
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 y entonces la ecuación tiene dos raíces. Y esto no es cierto. (Ver solución al ejemplo 2 anterior).
Por lo tanto, si la ecuación no se escribe como un polinomio de la forma estándar, primero se debe escribir la ecuación cuadrática completa como un polinomio de la forma estándar (el monomio con mayor exponente debe ir primero, es decir A x2 , entonces con menos – bx y luego un miembro gratis Con.
Al resolver una ecuación cuadrática reducida y una ecuación cuadrática con un coeficiente par en el segundo término, puedes usar otras fórmulas. Conozcamos estas fórmulas. Si en una ecuación cuadrática completa el segundo término tiene un coeficiente par (b = 2k), entonces puedes resolver la ecuación usando las fórmulas que se muestran en el diagrama de la Figura 2.
Una ecuación cuadrática completa se llama reducida si el coeficiente en x2 es igual a uno y la ecuación toma la forma x 2 + px + q = 0. Dicha ecuación se puede dar como solución o se puede obtener dividiendo todos los coeficientes de la ecuación por el coeficiente A, de pie en x2 .
La figura 3 muestra un diagrama para resolver el cuadrado reducido. 
ecuaciones. Veamos un ejemplo de la aplicación de las fórmulas comentadas en este artículo.
Ejemplo. Resuelve la ecuación
3x2 + 6x – 6 = 0.
Resolvamos esta ecuación usando las fórmulas que se muestran en el diagrama de la Figura 1.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Respuesta: –1 – √3; –1 + √3
Puedes notar que el coeficiente de x en esta ecuación es un número par, es decir, b = 6 o b = 2k, de donde k = 3. Luego intentemos resolver la ecuación usando las fórmulas que se muestran en el diagrama de la figura D. 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Respuesta: –1 – √3; –1 + √3. Al notar que todos los coeficientes en esta ecuación cuadrática son divisibles por 3 y al realizar la división, obtenemos la ecuación cuadrática reducida x 2 + 2x – 2 = 0 Resuelve esta ecuación usando las fórmulas para la ecuación cuadrática reducida 
ecuaciones figura 3.
re 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Respuesta: –1 – √3; –1 + √3.
Como puedes ver, al resolver esta ecuación usando diferentes fórmulas, obtuvimos la misma respuesta. Por lo tanto, habiendo dominado a fondo las fórmulas que se muestran en el diagrama de la Figura 1, siempre podrás resolver cualquier ecuación cuadrática completa.
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EN sociedad moderna la capacidad de realizar operaciones con ecuaciones que contienen una variable al cuadrado puede resultar útil en muchas áreas de actividad y se utiliza ampliamente en la práctica en los desarrollos científicos y técnicos. Prueba de ello se puede encontrar en el diseño de embarcaciones marítimas y fluviales, aviones y misiles. Usando tales cálculos, las trayectorias de movimiento de los más diferentes cuerpos, incluidos los objetos espaciales. Los ejemplos con solución de ecuaciones cuadráticas se utilizan no solo en la previsión económica, en el diseño y construcción de edificios, sino también en las circunstancias cotidianas más comunes. Pueden ser necesarios en excursiones de senderismo, en eventos deportivos, en las tiendas a la hora de realizar compras y en otras situaciones muy habituales.
Dividamos la expresión en sus factores componentes.
El grado de una ecuación está determinado por el valor máximo del grado de la variable que contiene la expresión. Si es igual a 2, entonces dicha ecuación se llama cuadrática.
Si hablamos en el lenguaje de las fórmulas, entonces las expresiones indicadas, sin importar cómo se vean, siempre se pueden llevar a la forma cuando lado izquierdo La expresión consta de tres términos. Entre ellos: ax 2 (es decir, una variable al cuadrado con su coeficiente), bx (una incógnita sin cuadrado con su coeficiente) y c (un componente libre, es decir, un número ordinario). Todo esto en el lado derecho es igual a 0. En el caso de que a dicho polinomio le falte uno de sus términos constituyentes, con excepción de ax 2, se le llama ecuación cuadrática incompleta. Primero se deben considerar ejemplos con la solución de tales problemas, cuyos valores de las variables son fáciles de encontrar.
Si parece que la expresión tiene dos términos en el lado derecho, más precisamente ax 2 y bx, la forma más fácil de encontrar x es poniendo la variable entre paréntesis. Ahora nuestra ecuación se verá así: x(ax+b). A continuación, resulta obvio que x=0 o el problema se reduce a encontrar una variable a partir de la siguiente expresión: ax+b=0. Esto viene dictado por una de las propiedades de la multiplicación. La regla establece que el producto de dos factores da como resultado 0 sólo si uno de ellos es cero.
Ejemplo
x=0 o 8x - 3 = 0
Como resultado, obtenemos dos raíces de la ecuación: 0 y 0,375.
Ecuaciones de este tipo pueden describir el movimiento de cuerpos bajo la influencia de la gravedad, que comenzaron a moverse desde un determinado punto tomado como origen de coordenadas. Aquí notación matemática toma la siguiente forma: y = v 0 t + gt 2 /2. Sustituyendo los valores necesarios, igualando el lado derecho a 0 y encontrando posibles incógnitas, puedes averiguar el tiempo que pasa desde que el cuerpo sube hasta que cae, así como muchas otras cantidades. Pero hablaremos de esto más tarde.
Factorizar una expresión
La regla descrita anteriormente permite resolver estos problemas de forma más casos difíciles. Veamos ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas de este tipo.
X 2 - 33x + 200 = 0
Este trinomio cuadrático Esta completo. Primero, transformemos la expresión y factoricémosla. Hay dos: (x-8) y (x-25) = 0. Como resultado, tenemos dos raíces 8 y 25.
Los ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas en el noveno grado permiten que este método encuentre una variable en expresiones no solo de segundo, sino incluso de tercer y cuarto orden.
Por ejemplo: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Al factorizar el lado derecho en factores con una variable, hay tres, es decir, (x+1), (x-3) y (x+ 3).
Como resultado, resulta obvio que esta ecuación tiene tres raíces: -3; -1; 3.
Raíz cuadrada
Otro caso de ecuación de segundo orden incompleta es una expresión representada en el lenguaje de las letras de tal manera que parte derecha se construye a partir de los componentes ax 2 y c. Aquí, para obtener el valor de la variable, el término libre se transfiere a lado derecho, y luego se toma la raíz cuadrada de ambos lados de la igualdad. Cabe señalar que en en este caso Generalmente hay dos raíces de la ecuación. Las únicas excepciones pueden ser las igualdades que no contienen ningún término con, donde la variable es igual a cero, así como variantes de expresiones cuando el lado derecho resulta negativo. En este último caso, no hay solución alguna, ya que las acciones anteriores no se pueden realizar con raíces. Deben considerarse ejemplos de soluciones a ecuaciones cuadráticas de este tipo.
En este caso, las raíces de la ecuación serán los números -4 y 4.
Cálculo de la superficie terrestre.
La necesidad de este tipo de cálculos apareció en la antigüedad, porque el desarrollo de las matemáticas en aquellos tiempos lejanos estuvo determinado en gran medida por la necesidad de determinar con la mayor precisión las áreas y perímetros de las parcelas de tierra.
También deberíamos considerar ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas basadas en problemas de este tipo.
Entonces, digamos que hay un terreno rectangular, cuya longitud es 16 metros mayor que su ancho. Debes encontrar el largo, ancho y perímetro del sitio si sabes que su área es de 612 m2.
Para comenzar, primero creemos la ecuación necesaria. Denotemos por x el ancho del área, luego su longitud será (x+16). De lo escrito se deduce que el área está determinada por la expresión x(x+16), que, según las condiciones de nuestro problema, es 612. Esto significa que x(x+16) = 612.
Resolver ecuaciones cuadráticas completas, y esta expresión es exactamente eso, no se puede hacer de la misma manera. ¿Por qué? Aunque el lado izquierdo todavía contiene dos factores, su producto no es igual a 0 en absoluto, por lo que aquí se utilizan métodos diferentes.
discriminante
Primero que nada, hagamos las transformaciones necesarias, luego apariencia de esta expresión se verá así: x 2 + 16x - 612 = 0. Esto significa que hemos recibido una expresión en una forma correspondiente al estándar especificado anteriormente, donde a=1, b=16, c=-612.
Este podría ser un ejemplo de resolución de ecuaciones cuadráticas usando un discriminante. Aquí cálculos necesarios se producen según el esquema: D = b 2 - 4ac. Esta cantidad auxiliar no sólo permite encontrar las cantidades requeridas en una ecuación de segundo orden, sino que también determina la cantidad opciones posibles. Si D>0, hay dos; para D=0 hay una raíz. En el caso D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Sobre las raíces y su fórmula.
En nuestro caso, el discriminante es igual a: 256 - 4(-612) = 2704. Esto sugiere que nuestro problema tiene respuesta. Si conoce k, la solución de ecuaciones cuadráticas debe continuar usando la siguiente fórmula. Te permite calcular las raíces.
Esto significa que en el caso presentado: x 1 =18, x 2 =-34. La segunda opción en este dilema no puede ser una solución, porque las dimensiones del terreno no se pueden medir en cantidades negativas, lo que significa que x (es decir, el ancho del terreno) es 18 m, a partir de aquí calculamos el largo: 18 +16=34, y el perímetro 2(34+ 18)=104(m2).
Ejemplos y tareas
Continuamos nuestro estudio de ecuaciones cuadráticas. A continuación se darán ejemplos y soluciones detalladas de varios de ellos.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Movamos todo al lado izquierdo de la igualdad, hacemos una transformación, es decir, obtenemos el tipo de ecuación que generalmente se llama estándar y la igualamos a cero.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Sumando similares, determinamos el discriminante: D = 49 - 48 = 1. Esto significa que nuestra ecuación tendrá dos raíces. Calculémoslos según la fórmula anterior, lo que significa que el primero de ellos será igual a 4/3 y el segundo a 1.
2) Ahora resolvamos acertijos de otro tipo.
Averigüemos si hay raíces aquí x 2 - 4x + 5 = 1. Para obtener una respuesta completa, reduzcamos el polinomio a la forma habitual correspondiente y calculemos el discriminante. En el ejemplo anterior, no es necesario resolver la ecuación cuadrática, porque ésta no es la esencia del problema en absoluto. En este caso, D = 16 - 20 = -4, lo que significa que realmente no hay raíces.
teorema de vieta
Es conveniente resolver ecuaciones cuadráticas utilizando las fórmulas anteriores y el discriminante, cuando la raíz cuadrada se toma del valor de este último. Pero esto no siempre sucede. Sin embargo, existen muchas formas de obtener los valores de las variables en este caso. Ejemplo: resolver ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta. Lleva el nombre de quien vivió en el siglo XVI en Francia e hizo una brillante carrera gracias a su talento matemático y sus conexiones en la corte. Su retrato se puede ver en el artículo.
El patrón que notó el famoso francés fue el siguiente. Demostró que las raíces de la ecuación suman numéricamente -p=b/a, y su producto corresponde a q=c/a.
Ahora veamos tareas específicas.
3x 2 + 21x - 54 = 0
Para simplificar, transformemos la expresión:
x 2 + 7 x - 18 = 0
Usemos el teorema de Vieta, esto nos dará lo siguiente: la suma de las raíces es -7 y su producto es -18. De aquí obtenemos que las raíces de la ecuación son los números -9 y 2. Después de verificar, nos aseguraremos de que estos valores de variables realmente encajen en la expresión.
Gráfico de parábola y ecuación.
Los conceptos de función cuadrática y ecuaciones cuadráticas están estrechamente relacionados. Ya se han dado ejemplos de esto anteriormente. Ahora veamos algunos acertijos matemáticos con un poco más de detalle. Cualquier ecuación del tipo descrito se puede representar visualmente. Esta relación, dibujada en forma de gráfica, se llama parábola. Sus distintos tipos se presentan en la siguiente figura.
Toda parábola tiene un vértice, es decir, un punto del que emergen sus ramas. Si a>0, aumentan hasta el infinito, y cuando a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Las representaciones visuales de funciones ayudan a resolver cualquier ecuación, incluidas las cuadráticas. Este método se llama gráfico. Y el valor de la variable x es la coordenada de abscisas en los puntos donde la línea gráfica se cruza con 0x. Las coordenadas del vértice se pueden encontrar usando la fórmula que acabamos de dar x 0 = -b/2a. Y sustituyendo el valor resultante en la ecuación original de la función, puedes encontrar y 0, es decir, la segunda coordenada del vértice de la parábola, que pertenece al eje de ordenadas.
La intersección de las ramas de una parábola con el eje de abscisas.
Hay muchos ejemplos de resolución de ecuaciones cuadráticas, pero también hay patrones generales. Mirémoslos. Está claro que la intersección de la gráfica con el eje 0x para a>0 sólo es posible si 0 toma valores negativos. y por un<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. De lo contrario D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
A partir de la gráfica de la parábola también puedes determinar las raíces. Lo opuesto también es cierto. Es decir, si no es fácil obtener una representación visual de una función cuadrática, puedes igualar el lado derecho de la expresión a 0 y resolver la ecuación resultante. Y conociendo los puntos de intersección con el eje 0x, es más fácil construir una gráfica.
De la historia
Utilizando ecuaciones que contienen una variable al cuadrado, antiguamente no sólo hacían cálculos matemáticos y determinaban las áreas de figuras geométricas. Los antiguos necesitaban estos cálculos para grandes descubrimientos en los campos de la física y la astronomía, así como para hacer pronósticos astrológicos.
Como sugieren los científicos modernos, los habitantes de Babilonia estuvieron entre los primeros en resolver ecuaciones cuadráticas. Esto sucedió cuatro siglos antes de nuestra era. Por supuesto, sus cálculos eran radicalmente diferentes de los aceptados actualmente y resultaron mucho más primitivos. Por ejemplo, los matemáticos mesopotámicos no tenían idea de la existencia de números negativos. Tampoco estaban familiarizados con otras sutilezas que cualquier escolar moderno conoce.
Quizás incluso antes que los científicos de Babilonia, el sabio indio Baudhayama comenzó a resolver ecuaciones cuadráticas. Esto sucedió unos ocho siglos antes de la era de Cristo. Es cierto que las ecuaciones de segundo orden, cuyos métodos de resolución dio, eran las más simples. Además de él, antiguamente también los matemáticos chinos se interesaban por cuestiones similares. En Europa, las ecuaciones cuadráticas comenzaron a resolverse solo a principios del siglo XIII, pero luego fueron utilizadas en sus trabajos por grandes científicos como Newton, Descartes y muchos otros.
Considere la ecuación cuadrática:
(1)
.
Raíces de una ecuación cuadrática(1) están determinados por las fórmulas:
;
.
Estas fórmulas se pueden combinar así:
.
Cuando se conocen las raíces de una ecuación cuadrática, entonces un polinomio de segundo grado se puede representar como un producto de factores (factorizado):
.
A continuación suponemos que son números reales.
Consideremos discriminante de una ecuación cuadrática:
.
Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces reales diferentes:
;
.
Entonces la factorización del trinomio cuadrático tiene la forma:
.
Si el discriminante es igual a cero, entonces la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces reales múltiples (iguales):
.
Factorización:
.
Si el discriminante es negativo, entonces la ecuación cuadrática (1) tiene dos raíces conjugadas complejas:
;
.
Aquí está la unidad imaginaria, ;
y son las partes real e imaginaria de las raíces:
;
.
Entonces
.
Interpretación gráfica
Si trazas la función
,
que es una parábola, entonces los puntos de intersección de la gráfica con el eje serán las raíces de la ecuación
.
En , la gráfica interseca el eje x (eje) en dos puntos.
Cuando , la gráfica toca el eje x en un punto.
Cuando , la gráfica no cruza el eje x.
A continuación se muestran ejemplos de dichos gráficos.
Fórmulas útiles relacionadas con la ecuación cuadrática.
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Derivación de la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática.
Realizamos transformaciones y aplicamos las fórmulas (f.1) y (f.3):
,
Dónde
;
.
Entonces, obtuvimos la fórmula para un polinomio de segundo grado en la forma:
.
Esto muestra que la ecuación
realizado en
Y .
Es decir, y son las raíces de la ecuación cuadrática.
.
Ejemplos de determinación de las raíces de una ecuación cuadrática.
Ejemplo 1
(1.1)
.
Solución
.
Comparando con nuestra ecuación (1.1), encontramos los valores de los coeficientes:
.
Hallamos el discriminante:
.
Como el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales:
;
;
.
De aquí obtenemos la factorización del trinomio cuadrático:
.
Gráfica de la función y = 2 x 2 + 7 x + 3 corta al eje x en dos puntos.
Trazamos la función
.
La gráfica de esta función es una parábola. Cruza el eje de abscisas (eje) en dos puntos:
Y .
Estos puntos son las raíces de la ecuación original (1.1).
Respuesta
;
;
.
Ejemplo 2
Encuentra las raíces de una ecuación cuadrática:
(2.1)
.
Solución
Escribamos la ecuación cuadrática en forma general:
.
Comparando con la ecuación original (2.1), encontramos los valores de los coeficientes:
.
Hallamos el discriminante:
.
Como el discriminante es cero, la ecuación tiene dos raíces múltiples (iguales):
;
.
Entonces la factorización del trinomio tiene la forma:
.
Gráfica de la función y = x 2-4x+4 toca el eje x en un punto.
Trazamos la función
.
La gráfica de esta función es una parábola. Toca el eje x (eje) en un punto:
.
Este punto es la raíz de la ecuación original (2.1). Porque esta raíz se factoriza dos veces:
,
entonces dicha raíz suele denominarse múltiplo. Es decir, creen que existen dos raíces iguales:
.
Respuesta
;
.
Ejemplo 3
Encuentra las raíces de una ecuación cuadrática:
(3.1)
.
Solución
Escribamos la ecuación cuadrática en forma general:
(1)
.
Reescribamos la ecuación original (3.1):
.
Comparando con (1), encontramos los valores de los coeficientes:
.
Hallamos el discriminante:
.
El discriminante es negativo. Por tanto, no existen raíces reales.
Puedes encontrar raíces complejas:
;
;
Trazamos la función
.
La gráfica de esta función es una parábola. No cruza el eje x (eje). Por tanto, no existen raíces reales.
Respuesta
No hay raíces reales. Raíces complejas:
;
;
.
