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Un cuadrado perfecto de un trinomio cuadrático. Factorizar polinomios

En esta lección, recordaremos todos los métodos previamente estudiados para factorizar un polinomio y consideraremos ejemplos de su aplicación, además, estudiaremos Nuevo método- método para identificar un cuadrado completo y aprender a aplicarlo para resolver varios problemas.

Sujeto:Factorizar polinomios

Lección:Factorización de polinomios. Método para seleccionar un cuadrado completo. Combinación de métodos

Recordemos los métodos básicos de factorización de un polinomio que se estudiaron anteriormente:

El método de poner entre paréntesis un factor común, es decir, un factor que está presente en todos los términos del polinomio. Veamos un ejemplo:

Recuerda que un monomio es el producto de potencias y números. En nuestro ejemplo, ambos términos tienen algunos elementos comunes e idénticos.

Entonces, saquemos el factor común de paréntesis:

;

Le recordamos que multiplicando el factor extraído por un paréntesis, puede comprobar la exactitud del factor extraído.

Método de agrupación. No siempre es posible extraer un factor común en un polinomio. En este caso, debes dividir a sus miembros en grupos de tal manera que en cada grupo puedas sacar un factor común e intentar descomponerlo para que después de quitar los factores en los grupos, aparezca un factor común en el expresión completa y puede continuar la descomposición. Veamos un ejemplo:

Agrupemos el primer término con el cuarto, el segundo con el quinto y el tercero con el sexto:

Saquemos los factores comunes en los grupos:

La expresión ahora tiene un factor común. Saquémoslo:

Aplicación de fórmulas de multiplicación abreviadas. Veamos un ejemplo:

;

Escribamos la expresión en detalle:

Evidentemente, tenemos ante nosotros la fórmula de la diferencia al cuadrado, ya que es la suma de los cuadrados de dos expresiones y a ella se le resta su doble producto. Usemos la fórmula:

Hoy aprenderemos otro método: el método de seleccionar un cuadrado completo. Se basa en las fórmulas del cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia. Recordémosles:

Fórmula para el cuadrado de la suma (diferencia);

La peculiaridad de estas fórmulas es que contienen los cuadrados de dos expresiones y su doble producto. Veamos un ejemplo:

Anotamos la expresión:

Entonces, la primera expresión es y la segunda es.

Para crear una fórmula para el cuadrado de una suma o diferencia, no basta con duplicar el producto de las expresiones. Hay que sumar y restar:

Completemos el cuadrado de la suma:

Transformemos la expresión resultante:

Apliquemos la fórmula de la diferencia de cuadrados, recordemos que la diferencia de los cuadrados de dos expresiones es el producto y la suma de su diferencia:

Entonces, este método En primer lugar es necesario identificar las expresiones a y b que están al cuadrado, es decir, determinar qué expresiones están al cuadrado en este ejemplo. Después de esto, debes verificar la presencia de un producto doble y, si no está allí, entonces sumarlo y restarlo, esto no cambiará el significado del ejemplo, pero el polinomio se puede factorizar usando las fórmulas para el cuadrado de la suma o diferencia y diferencia de cuadrados, si es posible.

Pasemos a la resolución de ejemplos.

Ejemplo 1: factorizar:

Encontremos expresiones que estén al cuadrado:

Anotemos cuál debería ser su doble producto:

Sumemos y restemos el doble del producto:

Completemos el cuadrado de la suma y demos otros similares:

Escribámoslo usando la fórmula de diferencia de cuadrados:

Ejemplo 2: resuelve la ecuación:

;

En el lado izquierdo de la ecuación hay un trinomio. Necesitas factorizarlo en factores. Usamos la fórmula de diferencia al cuadrado:

Tenemos el cuadrado de la primera expresión y el producto doble, falta el cuadrado de la segunda expresión, sumemos y restemos:

Doblemos un cuadrado completo y demos términos similares:

Apliquemos la fórmula de diferencia de cuadrados:

Entonces tenemos la ecuación

Sabemos que un producto es igual a cero sólo si al menos uno de los factores es igual a cero. Creemos las siguientes ecuaciones basadas en esto:

Resolvamos la primera ecuación:

Resolvamos la segunda ecuación:

Respuesta: o

;

Procedemos de manera similar al ejemplo anterior: seleccionamos el cuadrado de la diferencia.

x llamado

1.2.3. Usar identidades de multiplicación abreviadas

Ejemplo. Factoriza x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Factorizar un polinomio usando sus raíces

Teorema. Sea el polinomio P x tener raíz x 1 . Entonces este polinomio se puede factorizar de la siguiente manera: P x x x 1 S x , donde S x es algún polinomio cuyo grado es uno menos

valores alternativamente en la expresión para P x. Obtenemos que cuando x 2 usted-

la expresión cambiará a 0, es decir, P 2 0, lo que significa que x 2 es la raíz de un multi-

miembro. Divide el polinomio P x por x 2 .

X 3 3x 2 10x 24

x 32 x 2

24 10x

x2 x12

12x 2412x 24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. Seleccionar un cuadrado completo

El método para seleccionar un cuadrado completo se basa en el uso de las fórmulas: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Aislar un cuadrado completo es una transformación de identidad en la que un trinomio dado se representa como a b 2 la suma o diferencia del cuadrado del binomio y alguna expresión numérica o alfabética.

Un trinomio cuadrado con respecto a una variable da una expresión de la forma

ax 2 bx c , donde a , b y c son números dados, y a 0 .

Transformemos el trinomio cuadrático ax 2 bx c de la siguiente manera.

x2:

coeficiente

Luego representamos la expresión b x como 2b x (el doble del producto

x ):a x

A la expresión entre paréntesis le sumamos y le restamos el número

cual es el cuadrado de un numero

Como resultado obtenemos:

Notando ahora que

Obtenemos

4a 2

Ejemplo. Selecciona un cuadrado completo.

2x12

2x 2 4x 5 2x 2 2x 5

2x2 2x1 15

2 x 12 7.

4 un 2,

1.4. Polinomios en varias variables.

Los polinomios de varias variables, al igual que los polinomios de una variable, se pueden sumar, multiplicar y elevar a una potencia natural.

Una transformación de identidad importante de un polinomio en varias variables es la factorización. Aquí se utilizan métodos de factorización como colocar el factor común entre paréntesis, agrupar, utilizar identidades de multiplicación abreviadas, aislar un cuadrado completo e introducir variables auxiliares.

1. Factoriza el polinomio P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y ​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. Factoriza P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Apliquemos el método de agrupación.

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4x3 y5xz.

3. Factoriza P x ,y x 4 4y 4 . Seleccionemos un cuadrado completo:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Propiedades de un grado con cualquier exponente racional

Un grado con cualquier exponente racional tiene las siguientes propiedades:

1. ar 1a r 2a r 1r 2,

a r 1 a r 2 a r 1 r 2,

3. ar 1r 2 ar 1r 2,

4. abr 1 ar 1 br 1,

a r 1

ar 1

hermano 1

donde a 0;b 0;r 1;r 2 son números racionales arbitrarios.

1. Multiplica 8

x3 12x7.

24 x 23.

8 x 3 12 x 7 x 8 x 12 x 8 12 x 24

2. Factorizar

un 2x3

1.6. Ejercicios para hacer por tu cuenta

1. Realizar acciones utilizando fórmulas de multiplicación abreviadas. 1) un 52 ;

2) 3 un 72 ;

3) una nota n2 .

4) 1×3;

3 y 3 ;

7) 8a 2 8a 2 ;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9 ;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Calcule usando identidades de multiplicación abreviadas:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Probar las identidades:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2 .

4. Factoriza los siguientes polinomios:

1) 3 x a2 a2;

2) ca 7 bc3 a21 b;

3) 63 m 4 n 327 m 3 n 445 m 5 n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 ax12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2 ;

9) 121 norte 2 3 norte 2t 2 ;

10) 4 t 2 20 tn 25 n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;

13) 6 x 3 36 x 2 72 x 48;

14) 15 hacha 3 45 hacha 2 45 hacha 15 a ;

15) 9 a 3 norte 1 4.5a 2 norte 1 ;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;

19) 1000t3 27t6 .

5. Calcula de la forma más sencilla:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Encuentra el cociente y el resto de un polinomio. P x por polinomioQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2 .

7. Demuestre que el polinomio x 2 2x 2 no tiene raíces reales.

8. Encuentra las raíces del polinomio:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. Factores:

1) 6 un 2 un 5 5 un 3 ;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. Resuelve ecuaciones aislando un cuadrado completo:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. Encuentra el significado de las expresiones:

4 3 85

16 6

2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Calcular:

16 0,25

16 0,25

Como ya señalé, en el cálculo integral no existe una fórmula conveniente para integrar una fracción. Y por tanto, hay una triste tendencia: cuanto más sofisticada es la fracción, más difícil es encontrar su integral. En este sentido, hay que recurrir a varios trucos, de los que te hablaré a continuación. Los lectores preparados pueden aprovechar inmediatamente Tabla de contenido:

  • Método de subsumir el signo diferencial para fracciones simples

Método de conversión de numerador artificial.

Ejemplo 1

Por cierto, la integral considerada también se puede resolver cambiando la variable por el método, denotando , pero escribir la solución llevará mucho más tiempo.

Ejemplo 2

Encontrar integral indefinida. Realizar verificación.

Este es un ejemplo para decisión independiente. Cabe señalar que el método de reemplazo de variables ya no funcionará aquí.

¡Atención, importante! Los ejemplos No. 1, 2 son típicos y ocurren con frecuencia.. En particular, estas integrales surgen a menudo durante la solución de otras integrales, en particular, al integrar funciones irracionales (raíces).

La técnica considerada también funciona en el caso. si el grado más alto del numerador es mayor que el grado más alto del denominador.

Ejemplo 3

Encuentra la integral indefinida. Realizar verificación.

Comenzamos a seleccionar el numerador.

El algoritmo para seleccionar el numerador es algo como esto:

1) En el numerador necesito organizar , pero ahí . ¿Qué hacer? Lo pongo entre paréntesis y lo multiplico por: .

2) Ahora intento abrir estos corchetes, ¿qué pasa? . Hmm... eso es mejor, pero inicialmente no hay dos en el numerador. ¿Qué hacer? Necesitas multiplicar por:

3) Abro los corchetes nuevamente: . ¡Y aquí está el primer éxito! ¡Resultó perfecto! Pero el problema es que ha aparecido un término extra. ¿Qué hacer? Para evitar que la expresión cambie, debo agregar la misma a mi construcción:
. La vida se ha vuelto más fácil. ¿Es posible volver a organizar en el numerador?

4) Es posible. Intentemos: . Abra los corchetes del segundo término:
. Lo siento, pero en el paso anterior en realidad no tenía . ¿Qué hacer? Necesitas multiplicar el segundo término por:

5) Nuevamente, para comprobar, abro los corchetes en el segundo término:
. Ahora es normal: ¡derivado de la construcción final del punto 3! Pero nuevamente hay un pequeño “pero”, ha aparecido un término extra, por lo que debo agregar a mi expresión:

Si todo se hace correctamente, cuando abramos todos los corchetes deberíamos obtener el numerador original del integrando. Verificamos:
Capucha.

De este modo:

Listo. En el último trimestre, utilicé el método de subsumir una función bajo un diferencial.

Si encontramos la derivada de la respuesta y reducimos la expresión a un denominador común, obtendremos exactamente la función integrando original. El método considerado de descomposición en una suma no es más que la acción inversa de llevar una expresión a un denominador común.

El algoritmo para seleccionar el numerador en tales ejemplos se realiza mejor en forma de borrador. Con algunas habilidades funcionará mentalmente. Recuerdo un caso récord cuando estaba realizando una selección para el undécimo poder y la expansión del numerador ocupó casi dos líneas de Verd.

Ejemplo 4

Encuentra la integral indefinida. Realizar verificación.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta.

Método de subsumir el signo diferencial para fracciones simples

Pasemos a considerar el siguiente tipo de fracciones.
, , , (coeficientes y no son iguales a cero).

De hecho, en la lección ya se han mencionado un par de casos con arcoseno y arcotangente. Método de cambio de variable en integral indefinida.. Estos ejemplos se resuelven subsumiendo la función bajo el signo diferencial e integrando aún más utilizando una tabla. Aquí está otro ejemplos típicos con logaritmo largo y alto:

Ejemplo 5

Ejemplo 6

Aquí es recomendable coger una tabla de integrales y ver qué fórmulas y Cómo se produce la transformación. Nota, como y por qué Los cuadrados en estos ejemplos están resaltados. En particular, en el Ejemplo 6 primero necesitamos representar el denominador en la forma , luego colóquelo bajo el signo diferencial. Y todo esto debe hacerse para poder utilizar la fórmula tabular estándar. .

Por qué mirar, intente resolver usted mismo los ejemplos 7, 8, sobre todo porque son bastante breves:

Ejemplo 7

Ejemplo 8

Encuentra la integral indefinida:

Si también logras comprobar estos ejemplos, entonces un gran respeto: tus habilidades de diferenciación son excelentes.

Método de selección de cuadrado completo

Integrales de la forma (los coeficientes y no son iguales a cero) se resuelven método de extracción de cuadrado completo, que ya apareció en la lección Transformaciones geométricas de gráficos..

De hecho, dichas integrales se reducen a una de las cuatro integrales tabulares que acabamos de ver. Y esto se logra utilizando fórmulas de multiplicación abreviadas familiares:

Las fórmulas se aplican precisamente en esta dirección, es decir, la idea del método es organizar artificialmente las expresiones en el denominador y luego convertirlas en consecuencia a cualquiera.

Ejemplo 9

Encuentra la integral indefinida

Este ejemplo más simple, en el cual con el término – coeficiente unitario(y no algún número o menos).

Miremos el denominador, aquí todo se reduce claramente al azar. Empecemos a convertir el denominador:

Obviamente, necesitas sumar 4. Y, para que la expresión no cambie, restar los mismos cuatro:

Ahora puedes aplicar la fórmula:

Una vez completada la conversión SIEMPRE es recomendable realizar trazo inverso: , todo está bien, no hay errores.

El diseño final del ejemplo en cuestión debería verse así:

Listo. Resumiendo "obsequio" función compleja bajo el signo diferencial: , en principio, podría despreciarse

Ejemplo 10

Encuentra la integral indefinida:

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta, la respuesta está al final de la lección.

Ejemplo 11

Encuentra la integral indefinida:

¿Qué hacer cuando hay un menos al frente? En este caso, debemos quitar el menos de los corchetes y organizar los términos en el orden que necesitamos: . Constante("dos" en en este caso) ¡no toques!

Ahora agregamos uno entre paréntesis. Analizando la expresión, llegamos a la conclusión de que necesitamos agregar una fuera de los corchetes:

Aquí obtenemos la fórmula, aplicamos:

SIEMPRE Comprobamos el borrador:
, que era lo que había que comprobar.

El ejemplo limpio se parece a esto:

Haciendo la tarea más difícil

Ejemplo 12

Encuentra la integral indefinida:

Aquí el término ya no es un coeficiente unitario, sino un “cinco”.

(1) Si hay una constante en, inmediatamente la sacamos de paréntesis.

(2) En general, siempre es mejor mover esta constante fuera de la integral para que no estorbe.

(3) Evidentemente, todo se reducirá a la fórmula. Necesitamos entender el término, es decir, entender el "dos".

(4) Sí. Esto significa que sumamos a la expresión y restamos la misma fracción.

(5) Ahora seleccione un cuadrado completo. EN caso general También necesitamos calcular, pero aquí tenemos la fórmula para el logaritmo largo. , y no tiene sentido realizar la acción; el motivo quedará claro a continuación.

(6) En realidad, podemos aplicar la fórmula , sólo que en lugar de “X” tenemos , lo que no niega la validez de la integral de tabla. Estrictamente hablando, se omitió un paso: antes de la integración, la función debería haber sido subsumida bajo el signo diferencial: , pero, como he señalado repetidamente, esto a menudo se pasa por alto.

(7) En la respuesta debajo de la raíz, es recomendable expandir todos los corchetes hacia atrás:

¿Difícil? Esta no es la parte más difícil del cálculo integral. Sin embargo, los ejemplos que estamos considerando no son tan complejos sino que requieren buenas técnicas informáticas.

Ejemplo 13

Encuentra la integral indefinida:

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. La respuesta está al final de la lección.

Hay integrales con raíces en el denominador, que mediante sustitución se reducen a integrales del tipo considerado, puedes leer sobre ellas en el artículo Integrales complejas, pero está diseñado para estudiantes muy preparados.

Subsumiendo el numerador bajo el signo diferencial

Esta es la parte final de la lección; sin embargo, ¡las integrales de este tipo son bastante comunes! Si estás cansado, ¿tal vez sea mejor leer mañana? ;)

Las integrales que consideraremos son similares a las integrales del párrafo anterior, tienen la forma: o (coeficientes y no son iguales a cero).

Es decir, en nuestro numerador tenemos función lineal. ¿Cómo resolver tales integrales?

Calculadora online.
Aislar el cuadrado de un binomio y factorizar un trinomio cuadrado.

Este programa de matemáticas distingue el binomio cuadrado del trinomio cuadrado, es decir. hace una transformación como:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) y factoriza un trinomio cuadrático: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

Aquellos. los problemas se reducen a encontrar los números \(p, q\) y \(n, m\)

El programa no sólo da la respuesta al problema, sino que también muestra el proceso de solución.

Este programa puede ser útil para estudiantes de secundaria. escuelas secundarias En preparación para pruebas y exámenes, al evaluar conocimientos antes del Examen Estatal Unificado, para que los padres controlen la solución de muchos problemas de matemáticas y álgebra. ¿O tal vez le resulte demasiado caro contratar un tutor o comprar libros de texto nuevos? ¿O simplemente quieres hacerlo lo más rápido posible? tarea¿En matemáticas o álgebra? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con soluciones detalladas.

De esta forma, podrás realizar tu propia formación y/o la formación de tus hermanos o hermanas menores, mientras aumenta el nivel de formación en el campo de la resolución de problemas.

Si no está familiarizado con las reglas para ingresar un trinomio cuadrático, le recomendamos que se familiarice con ellas.

Reglas para ingresar un polinomio cuadrático

Cualquier letra latina puede actuar como variable.
Por ejemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Los números se pueden ingresar como números enteros o fraccionarios.
Además, los números fraccionarios se pueden ingresar no solo como decimal, sino también como fracción ordinaria.

Reglas para ingresar fracciones decimales.
En decimales fracción Se puede separar del todo mediante un punto o una coma.
Por ejemplo, puedes ingresar decimales así: 2,5x - 3,5x^2

Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Sólo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.

El denominador no puede ser negativo.

Al ingresar una fracción numérica, el numerador se separa del denominador mediante un signo de división: /
Toda una parte separado de la fracción por un signo comercial: &
Entrada: 3 y 1/3 - 5 y 6/5x +1/7x^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Al ingresar una expresión puedes usar paréntesis. En este caso, al resolver, primero se simplifica la expresión introducida.
Por ejemplo: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Ejemplo de una solución detallada

Aislando el cuadrado de un binomio.$$ hacha^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Respuesta:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Factorización.$$ hacha^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\izquierda(x^2+x-2 \derecha) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right ) \derecha) = $$ $$ 2 \izquierda(x -1 \derecha) \izquierda(x +2 \derecha) $$ Respuesta:$$2x^2+2x-4 = 2 \izquierda(x -1 \derecha) \izquierda(x +2 \derecha) $$

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Un poco de teoría.

Aislar el cuadrado de un binomio de un trinomio cuadrado

Si el trinomio cuadrado ax 2 +bx+c se representa como a(x+p) 2 +q, donde p y q son números reales, entonces decimos que de trinomio cuadrado, se resalta el cuadrado del binomio.

Del trinomio 2x 2 +12x+14 extraemos el cuadrado del binomio.


\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)


Para hacer esto, imagina 6x como producto de 2*3*x, y luego suma y resta 3 2. Obtenemos:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Eso. Nosotros extraer el binomio cuadrado del trinomio cuadrado, y demostró que:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Factorizar un trinomio cuadrático

Si el trinomio cuadrado ax 2 +bx+c se representa en la forma a(x+n)(x+m), donde n y m son números reales, entonces se dice que la operación se ha realizado factorización de un trinomio cuadrático.

Demostremos con un ejemplo cómo se realiza esta transformación.

Factoricemos el trinomio cuadrático 2x 2 +4x-6.

Saquemos el coeficiente a de paréntesis, es decir 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Transformemos la expresión entre paréntesis.
Para hacer esto, imagine 2x como la diferencia 3x-1x y -3 como -1*3. Obtenemos:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Eso. Nosotros factorizó el trinomio cuadrático, y demostró que:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Tenga en cuenta que factorizar un trinomio cuadrático sólo es posible cuando, ecuación cuadrática, correspondiente a este trinomio tiene raíces.
Aquellos. en nuestro caso, es posible factorizar el trinomio 2x 2 +4x-6 si la ecuación cuadrática 2x 2 +4x-6 =0 tiene raíces. En el proceso de factorización establecimos que la ecuación 2x ​​2 + 4x-6 = 0 tiene dos raíces 1 y -3, porque con estos valores, la ecuación 2(x-1)(x+3)=0 se convierte en una verdadera igualdad.

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Definición

Las expresiones de la forma 2 x 2 + 3 x + 5 se llaman trinomios cuadráticos. En general, un trinomio cuadrado es una expresión de la forma a x 2 + b x + c, donde a, b, c a, b, c son números arbitrarios y a ≠ 0.

Considere el trinomio cuadrático x 2 - 4 x + 5. Escribámoslo de esta forma: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Sumemos 2 2 a esta expresión y restemos 2 2, obtenemos: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Tenga en cuenta que x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, entonces x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . La transformación que hicimos se llama “aislar un cuadrado perfecto de un trinomio cuadrático”.

Determina el cuadrado perfecto a partir del trinomio cuadrático 9 x 2 + 3 x + 1.

Tenga en cuenta que 9 x 2 = (3 x) 2, `3x=2*1/2*3x`. Entonces `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Suma y resta `(1/2)^2` a la expresión resultante, obtenemos

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Mostraremos cómo se utiliza el método de aislar un cuadrado perfecto de un trinomio cuadrático para factorizar un trinomio cuadrado.

Factoriza el trinomio cuadrático 4 x 2 - 12 x + 5.

Seleccionamos el cuadrado perfecto del trinomio cuadrático: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Ahora aplicamos la fórmula a 2 - b 2 = (a - b) (a + b), obtenemos: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x-1).

Factoriza el trinomio cuadrático - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Ahora notamos que 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

Sumamos el término 2 2 a la expresión 9 x 2 - 12 x, obtenemos:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3x-2 2 .

Aplicamos la fórmula de la diferencia de cuadrados, tenemos:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Factoriza el trinomio cuadrático 3 x 2 - 14 x - 5 .

No podemos representar la expresión 3 x 2 como el cuadrado de alguna expresión porque aún no hemos estudiado esto en la escuela. Revisarás esto más adelante y en la Tarea No. 4 estudiaremos raíces cuadradas. Veamos cómo se puede factorizar un trinomio cuadrático dado:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Te mostraremos cómo usar el método del cuadrado perfecto para encontrar el valor más grande o más pequeño de un trinomio cuadrático.
Considere el trinomio cuadrático x 2 - x + 3. Seleccione un cuadrado completo:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Tenga en cuenta que cuando `x=1/2` el valor del trinomio cuadrático es `11/4`, y cuando `x!=1/2` se suma un número positivo al valor de `11/4`, por lo que obtenga un número mayor que `11/ 4`. De este modo, valor más pequeño El trinomio cuadrático es `11/4` y se obtiene cuando `x=1/2`.

Encuentra el valor más grande del trinomio cuadrático: 16 2 + 8 x + 6.

Seleccionamos un cuadrado perfecto de un trinomio cuadrático: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

Cuando `x=1/4` el valor del trinomio cuadrático es 7, y cuando `x!=1/4` se resta un número positivo al número 7, es decir, obtenemos un número menor que 7. Entonces el número 7 es valor más alto trinomio cuadrático, y se obtiene cuando `x=1/4`.

Factoriza el numerador y el denominador de la fracción `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` y reduce la fracción.

Tenga en cuenta que el denominador de la fracción x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Factoricemos el numerador de la fracción usando el método de aislar un cuadrado completo de un trinomio cuadrado. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Esta fracción se redujo a la forma `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` después de la reducción por (x - 3) obtenemos `(x+5)/(x-3 )`.

Factoriza el polinomio x 4 - 13 x 2 + 36.

Apliquemos el método de aislar un cuadrado completo a este polinomio. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`



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