الگوریتم حل روش گاوسی. روش گاوسی (حذف متوالی مجهولات)

را ماشین حساب آنلاینراه حلی برای سیستم پیدا می کند معادلات خطی(SLN) به روش گاوسی. راه حل مفصل داده شده است. برای محاسبه، تعداد متغیرها و تعداد معادلات را انتخاب کنید. سپس داده ها را وارد سلول ها کرده و بر روی دکمه "محاسبه" کلیک کنید.

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

نمایش شماره:

اعداد صحیح و/یا کسرهای رایج
اعداد کامل و/یا اعشار

تعداد مکان ها بعد از جداکننده اعشاری

×

هشدار

تمام سلول ها پاک شود؟

Clear را ببندید

دستورالعمل ورود داده هااعداد به صورت اعداد صحیح (مثلاً: 487، 5، -7623، و غیره)، اعشاری (مثلاً 67.، 102.54، و غیره) یا کسری وارد می شوند. کسر باید به شکل a/b وارد شود که a و b (b>0) اعداد صحیح یا اعداد اعشاری. مثال‌های 45/5، 6.6/76.4، -7/6.7، و غیره.

روش گاوس

روش گاوس روشی برای انتقال از سیستم معادلات خطی اصلی (با استفاده از تبدیل‌های معادل) به سیستمی است که حل آن آسان‌تر از سیستم اصلی است.

تبدیل معادل یک سیستم معادلات خطی عبارتند از:

• مبادله دو معادله در سیستم،
• ضرب هر معادله ای در سیستم در یک عدد واقعی غیر صفر،
• اضافه کردن به یک معادله معادله دیگر ضرب در یک عدد دلخواه.

یک سیستم معادلات خطی را در نظر بگیرید:

(1)

اجازه دهید سیستم (1) را به صورت ماتریسی بنویسیم:

تبر = ب

(2)

(3)

آ- به نام ماتریس ضرایب سیستم، ب- سمت راست محدودیت ها، ایکس- بردار متغیرهایی که باید پیدا شوند. بگذارید رتبه ( آ)=پ.

تبدیل های معادل رتبه ماتریس ضرایب و رتبه ماتریس توسعه یافته سیستم را تغییر نمی دهد. مجموعه راه حل های سیستم نیز تحت تبدیل های معادل تغییر نمی کند. ماهیت روش گاوس کاهش ماتریس ضرایب است آبه مورب یا پله ای.

بیایید یک ماتریس توسعه یافته از سیستم بسازیم:

در مرحله بعد، تمام عناصر ستون 2 را در زیر عنصر تنظیم مجدد می کنیم. اگر این عنصر صفر باشد، این ردیف با ردیفی که در زیر این سطر قرار دارد و یک عنصر غیر صفر در ستون دوم دارد، مبادله می شود. در مرحله بعد، تمام عناصر ستون 2 را در زیر عنصر اصلی تنظیم مجدد کنید آ 22. برای این کار، خطوط 3 را اضافه کنید، ... متربا رشته 2 ضرب در - آ 32 /آ 22 , ..., −آ m2/ آ 22 به ترتیب. در ادامه روش، ماتریسی به شکل مورب یا پله ای به دست می آوریم. اجازه دهید ماتریس توسعه یافته به شکل زیر باشد:

(7)

زیرا rangA=رنگ(الف|ب، سپس مجموعه راه حل های (7) برابر است با ( n-p)– تنوع. از این رو n-pمجهولات را می توان خودسرانه انتخاب کرد. مجهولات باقی مانده از سیستم (7) به صورت زیر محاسبه می شوند. از آخرین معادله ای که بیان می کنیم ایکس p را از طریق متغیرهای باقیمانده و در عبارات قبلی وارد کنید. بعد از معادله ماقبل آخری که بیان می کنیم ایکس p-1 را از طریق متغیرهای باقیمانده و در عبارات قبلی و غیره وارد کنید. بیایید با استفاده از مثال های خاص به روش گاوس نگاه کنیم.

نمونه هایی از حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

مثال 1. پیدا کنید تصمیم مشترکسیستم های معادلات خطی به روش گاوس:

اجازه دهید با نشان دادن آعناصر ij من-خط و jستون هفتم

آیازده . برای انجام این کار، خطوط 2،3 را با خط 1، به ترتیب در -2/3،-1/2 ضرب کنید:

نوع ضبط ماتریسی: تبر = ب، جایی که

اجازه دهید با نشان دادن آعناصر ij من-خط و jستون هفتم

بیایید عناصر ستون 1 ماتریس زیر عنصر را حذف کنیم آیازده . برای انجام این کار، خطوط 2،3 را با خط 1، به ترتیب در -1/5،-6/5 ضرب کنید:

ما هر ردیف از ماتریس را بر عنصر اصلی مربوطه تقسیم می کنیم (در صورت وجود عنصر اصلی):

جایی که ایکس 3 , ایکس

با جایگزینی عبارات بالا با عبارات پایین، راه حل را به دست می آوریم.

سپس راه حل برداری را می توان به صورت زیر نشان داد:

جایی که ایکس 3 , ایکس 4 اعداد واقعی دلخواه هستند.

یکی از روش های جهانی و موثر برای حل سیستم های جبری خطی می باشد روش گاوسی ، شامل حذف متوالی مجهولات است.

به یاد بیاورید که این دو سیستم نامیده می شوند معادل (معادل) اگر مجموعه راه حل های آنها بر هم منطبق باشد. به عبارت دیگر، سیستم ها در صورتی معادل هستند که هر راه حل یکی از آنها راه حل دیگری باشد و بالعکس. سیستم های معادل زمانی بدست می آیند که تحولات ابتدایی معادلات سیستم:

ضرب دو طرف معادله در عددی غیر از صفر؛

اضافه کردن بخش های متناظر یک معادله دیگر، ضرب در عددی غیر از صفر به معادله ای.

تنظیم مجدد دو معادله

اجازه دهید یک سیستم معادلات داده شود

فرآیند حل این سیستم با استفاده از روش گاوسی شامل دو مرحله است. در مرحله اول (حرکت مستقیم)، سیستم با استفاده از تبدیلات اولیه به کاهش می یابد گام به گام , یا مثلثی ذهن، و در مرحله دوم ( سکته مغزی معکوس) یک تعیین متوالی مجهولات از سیستم گام به دست آمده، با شروع از آخرین عدد متغیر وجود دارد.

فرض کنید ضریب این سیستم است
، در غیر این صورت در سیستم می توان ردیف اول را با هر ردیف دیگری تعویض کرد به طوری که ضریب با صفر متفاوت بود

بیایید سیستم را با حذف مجهولات متحول کنیم در تمام معادلات به جز معادلات اول برای انجام این کار، دو طرف معادله اول را در ضرب کنید و ترم به ترم را با معادله دوم سیستم اضافه کنید. سپس هر دو طرف معادله اول را در ضرب کنید و آن را به معادله سوم سیستم اضافه کنید. با ادامه این روند، سیستم معادل را بدست می آوریم

اینجا
- مقادیر جدید ضرایب و عبارات آزاد که پس از مرحله اول به دست می آیند.

به همین ترتیب، با توجه به عنصر اصلی
، ناشناخته را حذف کنید از تمام معادلات سیستم به جز اول و دوم. بیایید این روند را تا جایی که ممکن است ادامه دهیم و در نتیجه یک سیستم گام به گام به دست خواهیم آورد

,

جایی که ,
,…,- عناصر اصلی سیستم
.

اگر در فرآیند کاهش سیستم به شکل گام به گام، معادلات ظاهر شوند، یعنی برابری های شکل
، آنها دور انداخته می شوند زیرا با هر مجموعه ای از اعداد ارضا می شوند
. من چاقم
پدیدار خواهد شد معادله فرم، که هیچ راه حلی ندارد، پس این نشان دهنده ناسازگاری سیستم است.

در طول حرکت معکوس، اولین مجهول از آخرین معادله سیستم گام تبدیل شده بیان می شود از طریق تمام مجهولات دیگر
که نامیده می شوند رایگان . سپس عبارت متغیر از آخرین معادله سیستم به معادله ماقبل آخر جایگزین شده و متغیر از آن بیان می شود.
. متغیرها به صورت متوالی به روشی مشابه تعریف می شوند
. متغیرها
، که از طریق متغیرهای آزاد بیان می شود، نامیده می شوند پایه ای (وابسته). نتیجه یک راه حل کلی برای سیستم معادلات خطی است.

برای پیدا کردن راه حل خصوصی سیستم های مجهول مجهول
در راه حل کلی مقادیر دلخواه تخصیص داده شده و مقادیر متغیرها محاسبه می شود
.

از نظر فنی راحت‌تر است که نه خود معادلات سیستم، بلکه ماتریس توسعه‌یافته سیستم را تحت تبدیل‌های اولیه قرار دهیم.

.

روش گاوس یک روش جهانی است که به شما امکان می دهد نه تنها سیستم های مربعی، بلکه مستطیلی را نیز حل کنید که در آن تعداد مجهولات وجود دارد.
با تعداد معادلات برابر نیست
.

مزیت این روش همچنین این است که در فرآیند حل، ما به طور همزمان سیستم را از نظر سازگاری بررسی می کنیم، زیرا با دادن ماتریس توسعه یافته
به شکل گام به گام، تعیین رتبه های ماتریس آسان است و ماتریس توسعه یافته
و اعمال کنید قضیه کرونکر-کاپلی .

مثال 2.1سیستم را با استفاده از روش گاوس حل کنید

راه حل. تعداد معادلات
و تعداد مجهولات
.

بیایید با اختصاص ضرایبی به سمت راست ماتریس، یک ماتریس توسعه یافته از سیستم ایجاد کنیم. ستون اعضای رایگان .

بیایید ماتریس را ارائه کنیم به نمای مثلثی; برای انجام این کار، ما "0" را در زیر عناصر واقع در مورب اصلی با استفاده از تبدیل های ابتدایی بدست می آوریم.

برای به دست آوردن "0" در موقعیت دوم ستون اول، ردیف اول را در (-1) ضرب کرده و به ردیف دوم اضافه کنید.

این تبدیل را به صورت عدد (-1) در برابر خط اول می نویسیم و آن را با فلشی که از خط اول به خط دوم می رود نشان می دهیم.

برای به دست آوردن "0" در موقعیت سوم ستون اول، ردیف اول را در (-3) ضرب کنید و به ردیف سوم اضافه کنید. بیایید این عمل را با استفاده از یک فلش از خط اول به سوم نشان دهیم.

.

در ماتریس به دست آمده که در زنجیره ماتریس‌ها دوم نوشته می‌شود، در ستون دوم در موقعیت سوم "0" به دست می‌آید. برای این کار خط دوم را در (4-) ضرب کرده و به خط سوم اضافه می کنیم. در ماتریس به دست آمده، ردیف دوم را در (-1) ضرب کنید و ردیف سوم را بر (8-) تقسیم کنید. تمام عناصر این ماتریس که در زیر عناصر مورب قرار دارند، صفر هستند.

زیرا , سیستم مشارکتی و تعریف شده است.

سیستم معادلات مربوط به آخرین ماتریس شکل مثلثی دارد:

از آخرین (سومین) معادله
. معادله دوم را جایگزین کنید و دریافت کنید
.

جایگزین کنیم
و
در معادله اول می یابیم


.

ما همچنان به بررسی سیستم های معادلات خطی ادامه می دهیم. این درس سومین درس در این موضوع است. اگر تصور مبهمی دارید که به طور کلی سیستم معادلات خطی چیست، اگر احساس می کنید شبیه قوری هستید، توصیه می کنم با اصول اولیه در صفحه بعد شروع کنید، مطالعه درس مفید است.

روش گاوسی آسان است!چرا؟ یوهان کارل فردریش گاوس، ریاضیدان مشهور آلمانی، در طول زندگی خود، به عنوان بزرگترین ریاضیدان تمام دوران، نابغه و حتی لقب "پادشاه ریاضیات" شناخته شد. و همه چیز مبتکرانه، همانطور که می دانید، ساده است!به هر حال، نه تنها مکنده ها، بلکه نابغه ها هم پول می گیرند - پرتره گاوس روی اسکناس 10 مارک آلمان (قبل از معرفی یورو) بود و گاوس هنوز از روی تمبرهای پستی معمولی به طور مرموزی به آلمانی ها لبخند می زند.

روش گاوس از این جهت ساده است که دانش یک دانش آموز کلاس پنجم برای تسلط بر آن کافی است. باید بلد باشید جمع و ضرب کنید!تصادفی نیست که معلمان اغلب روش حذف متوالی مجهولات را در دروس انتخابی ریاضی مدرسه در نظر می گیرند. این یک پارادوکس است، اما دانش‌آموزان روش گاوسی را سخت‌ترین روش می‌دانند. هیچ چیز تعجب آور نیست - همه چیز در مورد روش شناسی است و من سعی خواهم کرد در مورد الگوریتم روش به شکل قابل دسترس صحبت کنم.

ابتدا، اجازه دهید دانش کمی در مورد سیستم های معادلات خطی نظام مند کنیم. یک سیستم معادلات خطی می تواند:

1) یک راه حل منحصر به فرد داشته باشید. ۲) بی نهایت راه حل داشته باشید. 3) راه حلی نداشته باشید (باشید غیر مشترک).

روش گاوس قدرتمندترین و جهانی ترین ابزار برای یافتن راه حل است هرسیستم های معادلات خطی همانطور که به یاد داریم، قانون کرامر و روش ماتریسدر مواردی که سیستم راه حل های بی نهایت زیادی دارد یا ناسازگار است نامناسب هستند. و روش حذف متوالی مجهولات به هر حالما را به پاسخ می رساند! در این درس مجدداً روش گاوس را برای مورد شماره 1 (تنها راه حل سیستم) در نظر می گیریم، مقاله ای به موقعیت های نقاط شماره 2-3 اختصاص داده شده است. توجه دارم که الگوریتم خود روش در هر سه مورد یکسان عمل می کند.

برگردیم به ساده ترین سیستماز کلاس چگونه یک سیستم معادلات خطی را حل کنیم؟و با استفاده از روش گاوسی آن را حل کنید.

اولین قدم نوشتن است ماتریس سیستم توسعه یافته: . من فکر می کنم همه می توانند ببینند که ضرایب با چه اصولی نوشته شده اند. خط عمودی داخل ماتریس هیچ معنای ریاضی ندارد - این به سادگی یک خط خطی برای سهولت طراحی است.

ارجاع : توصیه میکنم یادتون باشه مقررات جبر خطی. ماتریس سیستم ماتریسی است که فقط از ضرایب مجهول تشکیل شده است، در این مثال ماتریس سیستم: . ماتریس سیستم توسعه یافته - این همان ماتریس سیستم به اضافه یک ستون از اصطلاحات آزاد است، در این مورد: . برای اختصار، هر یک از ماتریس ها را می توان به سادگی ماتریس نامید.

پس از اینکه ماتریس سیستم توسعه یافته نوشته شد، لازم است اقداماتی با آن انجام شود که به آنها نیز گفته می شود. تحولات ابتدایی.

تحولات ابتدایی زیر وجود دارد:

1) رشته هایماتریس ها می توان تنظیم مجدددر برخی مکان ها. به عنوان مثال، در ماتریس مورد بررسی، می توانید بدون دردسر ردیف های اول و دوم را دوباره مرتب کنید:

2) اگر ماتریس متناسب باشد (یا ظاهر شده است) (مانند مورد خاص- یکسان) خطوط، سپس آن را دنبال می کند حذفهمه این سطرها از ماتریس هستند به جز یک. به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید . در این ماتریس، سه ردیف آخر متناسب هستند، بنابراین کافی است تنها یکی از آنها باقی بماند: .

3) اگر یک ردیف صفر در ماتریس در طول تبدیل ظاهر می شود، آنگاه نیز باید باشد حذف. من رسم نمی کنم، البته، خط صفر خطی است که در آن همه صفرها.

4) ردیف ماتریس می تواند باشد ضرب (تقسیم)به هر شماره غیر صفر. به عنوان مثال، ماتریس را در نظر بگیرید. در اینجا توصیه می شود خط اول را بر -3 تقسیم کنید و خط دوم را در 2 ضرب کنید: . این عمل بسیار مفید است زیرا تبدیل های بیشتر ماتریس را ساده می کند.

5) این دگرگونی بیشترین مشکلات را ایجاد می کند، اما در واقع هیچ چیز پیچیده ای نیز وجود ندارد. به یک ردیف از یک ماتریس می توانید یک رشته دیگر ضرب در یک عدد اضافه کنید، متفاوت از صفر است. ماتریس ما را در نظر بگیرید مثال عملی: . ابتدا تحول را با جزئیات کامل شرح می دهم. سطر اول را در -2 ضرب کنید: ، و به خط دوم سطر اول ضرب در -2 را اضافه می کنیم: . اکنون خط اول را می توان "بازگشت" به -2 تقسیم کرد: . همانطور که می بینید، خطی که اضافه شده است LI – تغییر نکرده است. همیشهخطی که به آن اضافه شده است تغییر می کند UT.

البته در عمل آن را با جزئیات نمی نویسند، اما به طور خلاصه می نویسند: بار دیگر: به خط دوم سطر اول ضرب در -2 را اضافه کرد. یک خط معمولاً به صورت شفاهی یا روی پیش نویس ضرب می شود، با فرآیند محاسبه ذهنی چیزی شبیه به این:

من ماتریس را بازنویسی می کنم و خط اول را بازنویسی می کنم: »

"ستون اول. در پایین باید صفر را دریافت کنم. بنابراین، یکی از بالا را در -2 ضرب می کنم: و اولین را به خط دوم اضافه می کنم: 2 + (–2) = 0. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

اکنون ستون دوم. در بالا، -1 را در -2 ضرب می کنم: . اولی را به خط دوم اضافه می کنم: 1 + 2 = 3. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

و ستون سوم. در بالا 5- را در -2 ضرب می کنم: . اولی را به خط دوم اضافه می کنم: -7 + 10 = 3. نتیجه را در خط دوم می نویسم: »

لطفاً این مثال را با دقت درک کنید و الگوریتم محاسبات متوالی را درک کنید، اگر این را فهمیدید، روش گاوسی عملاً در جیب شماست. اما، البته، ما همچنان روی این تحول کار خواهیم کرد.

تبدیل های ابتدایی حل سیستم معادلات را تغییر نمی دهند

! توجه: دستکاری در نظر گرفته شده است نمی تواند استفاده کند، اگر کاری به شما پیشنهاد می شود که در آن ماتریس ها "به خودی خود" داده می شوند. به عنوان مثال، با "کلاسیک" عملیات با ماتریستحت هیچ شرایطی نباید چیزی را در داخل ماتریس ها مرتب کنید! بیایید به سیستم خود برگردیم. عملاً تکه تکه می شود.

اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به کاهش دهیم نمای پلکانی:

(1) خط اول به خط دوم اضافه شد، ضرب در 2-. و دوباره: چرا خط اول را در -2 ضرب می کنیم؟ برای به دست آوردن صفر در پایین، یعنی خلاص شدن از شر یک متغیر در خط دوم.

(2) خط دوم را بر 3 تقسیم کنید.

هدف از تحولات ابتدایی – ماتریس را به صورت گام به گام کاهش دهید: . در طراحی کار، آنها فقط "پله ها" را با یک مداد ساده مشخص می کنند و همچنین اعدادی را که روی "پله ها" قرار دارند دور می زنند. اصطلاح "نمای پلکانی" به خودی خود کاملاً نظری نیست، از نظر علمی و ادبیات آموزشیاغلب نامیده می شود نمای ذوزنقه اییا نمای مثلثی.

در نتیجه تحولات ابتدایی به دست آوردیم معادلسیستم اصلی معادلات:

اکنون سیستم باید در جهت مخالف "باز شود" - از پایین به بالا، این فرآیند نامیده می شود معکوس روش گاوسی.

در معادله پایین از قبل یک نتیجه آماده داریم: .

بیایید اولین معادله سیستم را در نظر بگیریم و مقدار "y" از قبل شناخته شده را در آن جایگزین کنیم:

بیایید رایج ترین حالت را در نظر بگیریم، زمانی که روش گاوسی نیاز به حل یک سیستم سه معادله خطی با سه مجهول دارد.

مثال 1

حل سیستم معادلات با استفاده از روش گاوس:

بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم:

اکنون من بلافاصله نتیجه ای را که در حین حل به آن خواهیم رسید رسم می کنم: و تکرار می‌کنم، هدف ما این است که با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی، ماتریس را به یک شکل گام به گام برسانیم. از کجا شروع کنیم؟

ابتدا به شماره بالا سمت چپ نگاه کنید: تقریباً همیشه باید اینجا باشد واحد. به طور کلی، -1 (و گاهی اوقات اعداد دیگر) انجام می شود، اما به نوعی به طور سنتی اتفاق می افتد که یک عدد معمولا در آنجا قرار می گیرد. چگونه یک واحد را سازماندهی کنیم؟ ما به ستون اول نگاه می کنیم - ما یک واحد تمام شده داریم! تبدیل اول: خط اول و سوم را عوض کنید:

اکنون خط اول تا پایان راه حل بدون تغییر باقی می ماند. حالا خوبه

واحد در گوشه سمت چپ بالا سازماندهی شده است. حالا باید در این مکان ها صفر بگیرید:

با استفاده از یک تبدیل "سخت" صفرها را بدست می آوریم. ابتدا با خط دوم (2، -1، 3، 13) سروکار داریم. برای به دست آوردن صفر در موقعیت اول چه باید کرد؟ نیاز به به خط دوم سطر اول ضرب در -2 را اضافه کنید. به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -2 ضرب کنید: (-2، -4، 2، -18). و ما پیوسته (دوباره ذهنی یا بر اساس پیش‌نویس) اضافه می‌کنیم، به خط دوم ما خط اول را که قبلاً در -2 ضرب شده است اضافه می کنیم:

نتیجه را در خط دوم می نویسیم:

با خط سوم نیز به همین ترتیب برخورد می کنیم (3، 2، –5، –1). برای به دست آوردن یک صفر در موقعیت اول، شما نیاز دارید به خط سوم، سطر اول ضرب در -3 را اضافه کنید. به صورت ذهنی یا روی پیش نویس، خط اول را در -3 ضرب کنید: (–3، –6، 3، –27). و به خط سوم، سطر اول ضرب در -3 را اضافه می کنیم:

نتیجه را در خط سوم می نویسیم:

در عمل، این اقدامات معمولاً به صورت شفاهی انجام می شود و در یک مرحله نوشته می شود:

نیازی نیست همه چیز را یکجا و همزمان بشمارید. ترتیب محاسبات و "نوشتن" نتایج استوارو معمولاً اینگونه است: ابتدا خط اول را بازنویسی می کنیم و کم کم به خودمان پف می کنیم - به طور مداوم و با توجه:
و من قبلاً در مورد روند ذهنی خود محاسبات در بالا بحث کرده ام.

در این مثال، انجام این کار آسان است. در همان زمان، خط سوم را بر -2 تقسیم می کنیم، زیرا هر چه اعداد کوچکتر باشند، راه حل ساده تر است:

در مرحله نهایی تبدیل های ابتدایی، باید یک صفر دیگر را در اینجا بدست آورید:

برای این به خط سوم خط دوم را ضرب در -2 اضافه می کنیم:
سعی کنید خودتان این عمل را بفهمید - به صورت ذهنی خط دوم را در -2 ضرب کنید و جمع را انجام دهید.

آخرین عمل انجام شده مدل موی نتیجه است، خط سوم را بر 3 تقسیم کنید.

در نتیجه تبدیل های ابتدایی، یک سیستم معادل از معادلات خطی به دست آمد: سرد.

اکنون برعکس روش گاوسی وارد عمل می شود. معادلات از پایین به بالا "باز می شوند".

در معادله سوم از قبل یک نتیجه آماده داریم:

بیایید به معادله دوم نگاه کنیم: . معنای "زت" قبلاً شناخته شده است، بنابراین:

و در نهایت معادله اول: . "Igrek" و "zet" شناخته شده اند، این فقط یک چیز کوچک است:

پاسخ:

همانطور که بارها اشاره شد، برای هر سیستم معادلات، بررسی راه حل یافت شده ممکن و ضروری است، خوشبختانه این کار آسان و سریع است.

مثال 2

این یک مثال برای یک راه حل مستقل، یک نمونه از طرح نهایی و یک پاسخ در پایان درس است.

لازم به ذکر است که شما پیشرفت تصمیمممکن است با فرآیند تصمیم گیری من همخوانی نداشته باشد، و این یکی از ویژگی های روش گاوس است. اما پاسخ ها باید یکسان باشد!

مثال 3

حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

ما به "پله" بالا سمت چپ نگاه می کنیم. باید اونجا یکی داشته باشیم مشکل این است که در ستون اول هیچ واحدی وجود ندارد، بنابراین مرتب کردن مجدد ردیف ها چیزی را حل نمی کند. در چنین مواردی، واحد باید با استفاده از یک تبدیل اولیه سازماندهی شود. این کار را معمولاً می توان به روش های مختلفی انجام داد. من این کار را کردم: (1) به خط اول، خط دوم را در -1 ضرب می کنیم. یعنی به صورت ذهنی خط دوم را در -1 ضرب کردیم و خط اول و دوم را اضافه کردیم در حالی که خط دوم تغییر نکرد.

اکنون در بالا سمت چپ "منهای یک" وجود دارد که به خوبی برای ما مناسب است. هر کسی که بخواهد 1+ بگیرد می‌تواند یک حرکت اضافی انجام دهد: خط اول را در -1 ضرب کنید (علامت آن را تغییر دهید).

(2) سطر اول ضرب در 5 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 3 به سطر سوم اضافه شد.

(3) خط اول در -1 ضرب شد، در اصل، این برای زیبایی است. علامت خط سوم نیز تغییر کرد و به رتبه دوم منتقل شد تا در «پله» دوم واحد مورد نیاز را داشته باشیم.

(4) خط دوم در 2 ضرب به خط سوم اضافه شد.

(5) خط سوم بر 3 تقسیم شد.

یک علامت بد که نشان دهنده خطا در محاسبات است (به ندرت اشتباه تایپی) نتیجه "بد" است. یعنی اگر چیزی شبیه به زیر و بر این اساس داشته باشیم ، پس با درجه احتمال بالایی می توان گفت که در هنگام تبدیلات ابتدایی خطایی رخ داده است.

ما برعکس شارژ می کنیم، در طراحی نمونه ها اغلب خود سیستم را بازنویسی نمی کنند، اما معادلات "مستقیماً از ماتریس داده شده گرفته شده اند." به شما یادآوری می کنم که سکته مغزی معکوس از پایین به بالا کار می کند. بله، این یک هدیه است:

پاسخ: .

مثال 4

حل یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

این مثالی است که می توانید خودتان آن را حل کنید، تا حدودی پیچیده تر است. اگر کسی گیج شود اشکالی ندارد. حل کامل و طراحی نمونه در پایان درس. راه حل شما ممکن است با راه حل من متفاوت باشد.

در قسمت آخر به برخی از ویژگی های الگوریتم گاوسی خواهیم پرداخت. اولین ویژگی این است که گاهی اوقات برخی از متغیرها در معادلات سیستم گم می شوند، به عنوان مثال: چگونه به درستی ماتریس سیستم توسعه یافته را بنویسیم؟ من قبلاً در مورد این موضوع در کلاس صحبت کردم. قانون کرامر روش ماتریسی. در ماتریس توسعه یافته سیستم، صفر را به جای متغیرهای گمشده قرار می دهیم: به هر حال، این یک مثال نسبتاً آسان است، زیرا ستون اول قبلاً یک صفر دارد و تبدیل‌های اولیه کمتری برای انجام وجود دارد.

ویژگی دوم این است. در تمام مثال‌های در نظر گرفته شده، ما ۱- یا ۱+ را روی «گام‌ها» قرار دادیم. ممکن است اعداد دیگری در آنجا وجود داشته باشد؟ در برخی موارد می توانند. سیستم را در نظر بگیرید: .

در اینجا در سمت چپ "پله" ما دو داریم. اما ما متوجه این واقعیت می شویم که تمام اعداد در ستون اول بر 2 بخش پذیر هستند بدون باقی مانده - و دیگری دو و شش است. و دو سمت چپ بالا برای ما مناسب است! در مرحله اول، شما باید تبدیل های زیر را انجام دهید: خط اول ضرب در -1 را به خط دوم اضافه کنید. به خط سوم، سطر اول ضرب در -3 را اضافه کنید. به این ترتیب صفرهای مورد نیاز در ستون اول را بدست می آوریم.

یا چیزی شبیه این مثال شرطی: . در اینجا سه ​​در "پله" دوم نیز برای ما مناسب است، زیرا 12 (محلی که باید صفر را بدست آوریم) بدون باقی مانده بر 3 بخش پذیر است. لازم است تبدیل زیر را انجام دهید: خط دوم را به خط سوم ضرب در -4 اضافه کنید که در نتیجه صفر مورد نیاز ما به دست می آید.

روش گاوس جهانی است، اما یک ویژگی وجود دارد. با اطمینان یاد بگیرید که سیستم ها را با استفاده از روش های دیگر حل کنید (روش کرامر، روش ماتریسی) به معنای واقعی کلمه می توانید اولین بار - یک الگوریتم بسیار دقیق وجود دارد. اما برای اینکه به روش گاوسی اطمینان داشته باشید، باید "دندان های خود را وارد کنید" و حداقل 5-10 ده سیستم را حل کنید. بنابراین، در ابتدا ممکن است سردرگمی و اشتباه در محاسبات وجود داشته باشد و هیچ چیز غیرعادی و غم انگیزی در این مورد وجود ندارد.

هوای بارانی پاییزی بیرون از پنجره .... بنابراین، برای همه کسانی که می خواهند یک مثال پیچیده تر را به تنهایی حل کنند:

مثال 5

یک سیستم 4 معادله خطی با چهار مجهول را با استفاده از روش گاوس حل کنید.

چنین کاری در عمل چندان نادر نیست. من فکر می کنم حتی قوری که این صفحه را به طور کامل مطالعه کرده باشد، الگوریتم حل چنین سیستمی را به طور مستقیم درک خواهد کرد. اساساً همه چیز یکسان است - فقط اقدامات بیشتری وجود دارد.

مواردی که سیستم راه حلی ندارد (ناسازگار) یا راه حل های بی نهایت زیادی دارد در درس مورد بحث قرار می گیرد. سیستم ها و سیستم های ناسازگار با یک راه حل مشترک. در آنجا می توانید الگوریتم در نظر گرفته شده روش گاوسی را اصلاح کنید.

آرزو می کنم موفق شوی!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: راه حل : اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم.
تبدیل های اولیه انجام شده: (1) خط اول به خط دوم اضافه شد، ضرب در 2-. خط اول به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1. توجه! در اینجا ممکن است وسوسه شوید که خط اول را از خط سوم کم کنید. فقط آن را تا کنید! (2) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در -1). خط دوم و سوم عوض شده است. توجه داشته باشید ، که در "پله ها" ما نه تنها با یک، بلکه با -1 راضی هستیم که حتی راحت تر است. (3) خط دوم در 5 ضرب به خط سوم اضافه شد. (4) علامت خط دوم تغییر کرد (ضرب در -1). خط سوم بر 14 تقسیم شد.

معکوس:

پاسخ : .

مثال 4: راه حل : اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم:

تبدیل های انجام شده: (1) خط دوم به خط اول اضافه شد. بنابراین، واحد مورد نظر در "پله" بالا سمت چپ سازماندهی شده است. (2) سطر اول ضرب در 7 به سطر دوم اضافه شد سطر اول ضرب در 6 به سطر سوم اضافه شد.

با "گام" دوم همه چیز بدتر می شود ، "نامزدهای" آن اعداد 17 و 23 هستند و ما به یکی یا -1 نیاز داریم. دگرگونی های (3) و (4) با هدف به دست آوردن واحد مورد نظر خواهد بود (3) خط دوم به خط سوم اضافه شد که در -1 ضرب شد. (4) خط سوم به خط دوم اضافه شد، ضرب در -3. مورد مورد نیاز در مرحله دوم دریافت شده است. . (5) خط دوم در 6 ضرب به خط سوم اضافه شد. (6) خط دوم در -1 ضرب شد، خط سوم بر 83- تقسیم شد.

معکوس:

پاسخ :

مثال 5: راه حل : اجازه دهید ماتریس سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی، آن را به شکل گام به گام در آوریم:

تبدیل های انجام شده: (1) خط اول و دوم عوض شده است. (2) خط اول به خط دوم اضافه شد، ضرب در 2-. خط اول به خط سوم اضافه شد، ضرب در -2. خط اول به خط چهارم اضافه شد، ضرب در 3-. (3) خط دوم به خط سوم اضافه شد، ضرب در 4. خط دوم به خط چهارم اضافه شد، ضرب در -1. (4) علامت خط دوم تغییر کرد. خط چهارم بر 3 تقسیم شد و به جای خط سوم قرار گرفت. (5) خط سوم ضرب در 5- به خط چهارم اضافه شد.

معکوس:

پاسخ :

اجازه دهید سیستم، ∆≠0 داده شود. (1)
روش گاوسروشی برای حذف متوالی مجهولات است.

ماهیت روش گاوس تبدیل (1) به سیستمی با ماتریس مثلثی است که از آن مقادیر همه مجهولات به صورت متوالی (به صورت معکوس) به دست می آید. بیایید یکی از طرح های محاسباتی را در نظر بگیریم. به این مدار مدار تقسیم تک می گویند. پس بیایید به این نمودار نگاه کنیم. اجازه دهید 11≠0 (عنصر اصلی) معادله اول را بر 11 تقسیم کند. ما گرفتیم
(2)
با استفاده از رابطه (2)، به راحتی می توان مجهولات x 1 را از معادلات باقیمانده سیستم حذف کرد (برای انجام این کار، کافی است معادله (2) را از هر معادله که قبلا در ضریب متناظر x 1 ضرب شده است، کم کنیم. ، یعنی در مرحله اول بدست می آوریم
.
به عبارت دیگر، در مرحله 1، هر عنصر از سطرهای بعدی، که از دومی شروع می شود، برابر است با تفاوت بین عنصر اصلی و حاصلضرب "طراحی" آن بر روی ستون اول و ردیف اول (تبدیل شده).
به دنبال این، با رها کردن معادله اول، تبدیل مشابهی را بر روی معادلات باقیمانده سیستم به دست آمده در مرحله اول انجام می دهیم: از بین آنها معادله با عنصر اصلی را انتخاب می کنیم و به کمک آن، x 2 را از باقیمانده حذف می کنیم. معادلات (مرحله 2).
بعد از n مرحله به جای (1) یک سیستم معادل بدست می آوریم
(3)
بنابراین در مرحله اول یک سیستم مثلثی به دست می آید (3). به این مرحله سکته مغزی رو به جلو می گویند.
در مرحله دوم (معکوس)، به ترتیب از (3) مقادیر x n، x n -1، ...، x 1 را می یابیم.
اجازه دهید جواب به دست آمده را با x 0 نشان دهیم. سپس تفاوت ε=b-A x 0 باقی مانده نامیده می شود.
اگر ε=0 باشد، جواب یافت شده x 0 صحیح است.

محاسبات با استفاده از روش گاوسی در دو مرحله انجام می شود:

1. مرحله اول روش فوروارد نامیده می شود. در مرحله اول، سیستم اصلی به شکل مثلثی تبدیل می شود.
2. مرحله دوم سکته مغزی معکوس نامیده می شود. در مرحله دوم، یک سیستم مثلثی معادل با سیستم اصلی حل می شود.

ضرایب a 11, a 22, ... را عناصر پیشرو می نامند.
در هر مرحله، عنصر پیشرو غیر صفر در نظر گرفته شد. اگر اینطور نیست، هر عنصر دیگری را می توان به عنوان عنصر اصلی استفاده کرد، گویی معادلات سیستم را مرتب می کند.

هدف از روش گاوس

روش گاوس برای حل سیستم های معادلات خطی طراحی شده است. به روش های راه حل مستقیم اشاره دارد.

انواع روش گاوسی

1. روش کلاسیک گاوسی؛
2. اصلاحات روش گاوس. یکی از اصلاحات روش گاوسی طرحی با انتخاب عنصر اصلی است. یکی از ویژگی های روش گاوس با انتخاب عنصر اصلی، بازآرایی معادلات به گونه ای است که در مرحله kth عنصر اصلی بزرگترین عنصر در ستون k ام است.
3. روش جردنو-گاوس؛

تفاوت بین روش جردنو-گاوس و روش کلاسیک روش گاوسشامل اعمال قانون مستطیل است، زمانی که جهت جستجوی یک راه حل در امتداد مورب اصلی (تبدیل به ماتریس هویت) رخ می دهد. در روش گاوس، جهت جستجوی یک راه حل در امتداد ستون ها (تبدیل به یک سیستم با ماتریس مثلثی) رخ می دهد.
بیایید تفاوت را نشان دهیم روش جردنو گاوساز روش گاوسی با مثال.

نمونه ای از راه حل با استفاده از روش گاوسی
بیایید سیستم را حل کنیم:

برای سهولت محاسبه، بیایید خطوط را با هم عوض کنیم:

بیایید خط دوم را در (2) ضرب کنیم. خط 3 را به خط 2 اضافه کنید

خط دوم را در (-1) ضرب کنید. خط 2 را به خط 1 اضافه کنید

از خط 1 x 3 را بیان می کنیم:
از خط 2 x 2 را بیان می کنیم:
از خط 3 x 1 را بیان می کنیم:

نمونه ای از یک راه حل با استفاده از روش جردنو-گاوس
اجازه دهید همان SLAE را با استفاده از روش Jordano-Gauss حل کنیم.

ما به ترتیب عنصر تفکیک کننده RE را انتخاب می کنیم که در مورب اصلی ماتریس قرار دارد.
عنصر وضوح برابر با (1) است.



NE = SE - (A*B)/RE
RE - عنصر حل کننده (1)، A و B - عناصر ماتریسی که یک مستطیل را با عناصر STE و RE تشکیل می دهند.
بیایید محاسبه هر عنصر را در قالب یک جدول ارائه دهیم:

x 1	x 2	x 3	ب
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

عنصر تفکیک کننده برابر با (3) است.
به جای عنصر حل، 1 می گیریم و در خود ستون صفر می نویسیم.
تمام عناصر دیگر ماتریس، از جمله عناصر ستون B، توسط قانون مستطیل تعیین می شوند.
برای این کار، چهار عدد را انتخاب می کنیم که در رأس مستطیل قرار دارند و همیشه عنصر حل کننده RE را شامل می شوند.

x 1	x 2	x 3	ب
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

عنصر وضوح (4-) است.
به جای عنصر حل، 1 می گیریم و در خود ستون صفر می نویسیم.
تمام عناصر دیگر ماتریس، از جمله عناصر ستون B، توسط قانون مستطیل تعیین می شوند.
برای این کار، چهار عدد را انتخاب می کنیم که در رأس مستطیل قرار دارند و همیشه عنصر حل کننده RE را شامل می شوند.
بیایید محاسبه هر عنصر را در قالب یک جدول ارائه دهیم:

x 1	x 2	x 3	ب
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

پاسخ: x 1 = 1، x 2 = 1، x 3 = 1

اجرای روش گاوسی

روش گاوسی در بسیاری از زبان‌های برنامه‌نویسی به‌ویژه: پاسکال، سی پلاس پلاس، php، دلفی پیاده‌سازی می‌شود و همچنین پیاده‌سازی آنلاین روش گاوسی نیز وجود دارد.

با استفاده از روش گاوسی

کاربرد روش گاوس در نظریه بازی ها

در تئوری بازی ها، هنگام یافتن حداکثر استراتژی بهینه بازیکن، یک سیستم معادلات تدوین می شود که با روش گاوسی حل می شود.

کاربرد روش گاوس در حل معادلات دیفرانسیل

برای یافتن یک راه حل خاص برای یک معادله دیفرانسیل، ابتدا مشتقاتی با درجه مناسب برای جواب جزئی نوشته شده (y=f(A,B,C,D)) پیدا کنید که به جای آنها جایگزین می شوند. معادله اصلی. بعدی برای پیدا کردن متغیرهای A,B,C,Dیک سیستم معادلات با روش گاوسی تدوین و حل می شود.

کاربرد روش جردنو گاوس در برنامه ریزی خطی

که در برنامه ریزی خطیبه طور خاص، در روش سیمپلکس، از قانون مستطیل که از روش جردنو-گاوس استفاده می کند، برای تبدیل جدول سیمپلکس در هر تکرار استفاده می شود.

تعریف و توصیف روش گاوسی

روش تبدیل گاوسی (همچنین به عنوان روش حذف متوالی متغیرهای مجهول از یک معادله یا ماتریس شناخته می شود) برای حل سیستم های معادلات خطی است. روش کلاسیکراه حل های سیستم om معادلات جبری(SLAU). از این روش کلاسیک برای حل مسائلی مانند به دست آوردن نیز استفاده می شود ماتریس های معکوسو تعیین رتبه ماتریس.

تبدیل با استفاده از روش گاوسی شامل ایجاد تغییرات متوالی کوچک (بنیادی) در یک سیستم معادلات جبری خطی است که منجر به حذف متغیرها از آن از بالا به پایین با تشکیل یک سیستم مثلثی جدید از معادلات می شود که معادل معادلات اصلی است. یکی

تعریف 1

این قسمت از محلول نامیده می شود سکته مغزی به جلوراه حل های گاوسی، زیرا کل فرآیند از بالا به پایین انجام می شود.

پس از تقلیل سیستم اصلی معادلات به یک مثلثی، همه را پیدا می کنیم متغیرهای سیستماز پایین به بالا (یعنی اولین متغیرهای یافت شده دقیقاً آخرین خطوط سیستم یا ماتریس را اشغال می کنند). این قسمت از محلول به عنوان معکوس راه حل گاوسی نیز شناخته می شود. الگوریتم او به این صورت است: ابتدا متغیرهای نزدیک به انتهای سیستم معادلات یا ماتریس محاسبه می‌شوند، سپس مقادیر به‌دست‌آمده بالاتر جایگزین می‌شوند و بنابراین متغیر دیگری پیدا می‌شود و به همین ترتیب.

شرح الگوریتم روش گاوسی

دنباله ای از اقدامات برای حل کلی یک سیستم معادلات با استفاده از روش گاوسی شامل اعمال متناوب ضربه های رو به جلو و عقب به ماتریس بر اساس SLAE است. فرض کنید سیستم معادلات اولیه به شکل زیر باشد:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(موارد)$

برای حل SLAE ها با استفاده از روش گاوسی، لازم است که سیستم اصلی معادلات را به صورت ماتریس بنویسیم:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

ماتریس $A$ ماتریس اصلی نامیده می شود و نشان دهنده ضرایب متغیرهای نوشته شده به ترتیب است و $b$ ستون عبارت های آزاد آن نامیده می شود. ماتریس $A$ که از طریق یک نوار با ستونی از عبارت های آزاد نوشته می شود، ماتریس توسعه یافته نامیده می شود:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(آرایه)$

اکنون لازم است با استفاده از تبدیل های ابتدایی در سیستم معادلات (یا روی ماتریس ، زیرا این راحت تر است) آن را به شکل زیر در آورید:

$\begin(موارد) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(موارد)$ (1)

ماتریس به دست آمده از ضرایب سیستم تبدیل شده معادله (1) را ماتریس پله می نامند، ماتریس های مرحله معمولاً به این شکل هستند:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

این ماتریس ها با مجموعه ای از ویژگی های زیر مشخص می شوند:

1. تمام خطوط صفر آن پس از خطوط غیر صفر آمده است
2. اگر ردیفی از یک ماتریس با عدد $k$ غیر صفر باشد، آنگاه سطر قبلی همان ماتریس صفرهای کمتری نسبت به این ماتریس با عدد $k$ دارد.

پس از به دست آوردن ماتریس گام، لازم است متغیرهای حاصل را جایگزین معادلات باقیمانده (شروع از انتها) کرده و مقادیر باقیمانده متغیرها را بدست آوریم.

قوانین اساسی و تبدیل های مجاز هنگام استفاده از روش گاوس

هنگام ساده سازی یک ماتریس یا سیستم معادلات با استفاده از این روش، فقط باید از تبدیل های ابتدایی استفاده کنید.

چنین تبدیل‌هایی به عنوان عملیاتی در نظر گرفته می‌شوند که می‌توانند بدون تغییر معنای آن، روی یک ماتریس یا سیستم معادلات اعمال شوند:

• تنظیم مجدد چندین خط،
• اضافه یا کم کردن یک ردیف از یک ماتریس یک ردیف دیگر از آن،
• ضرب یا تقسیم یک رشته در یک ثابت که برابر با صفر نیست،
• خطی متشکل از تنها صفرها که در فرآیند محاسبه و ساده سازی سیستم به دست آمده است، باید حذف شود،
• شما همچنین باید خطوط متناسب غیر ضروری را حذف کنید و برای سیستم تنها موردی را با ضرایب انتخاب کنید که برای محاسبات بیشتر مناسب تر و راحت تر است.

تمام تحولات ابتدایی برگشت پذیر هستند.

تجزیه و تحلیل سه مورد اصلی که هنگام حل معادلات خطی با استفاده از روش تبدیل ساده گاوس به وجود می آیند.

هنگام استفاده از روش گاوسی برای حل سیستم ها سه مورد وجود دارد:

1. وقتی یک سیستم ناسازگار است، یعنی هیچ راه حلی ندارد
2. سیستم معادلات دارای یک راه حل و یک راه حل منحصر به فرد است و تعداد سطرها و ستون های غیر صفر در ماتریس با یکدیگر برابر است.
3. سیستم مقدار یا مجموعه خاصی دارد راه حل های امکان پذیرو تعداد سطرهای آن از تعداد ستون ها کمتر است.

نتیجه یک راه حل با یک سیستم ناسازگار

برای این گزینه، هنگام حل معادله ماتریسیروش گاوس با به دست آوردن مقداری خط با عدم امکان تحقق برابری مشخص می شود. بنابراین، اگر حداقل یک برابری نادرست رخ دهد، سیستم های منتج و اصلی، بدون توجه به معادلات دیگری که دارند، راه حلی ندارند. مثالی از یک ماتریس ناسازگار:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

در خط آخر یک برابری غیرممکن به وجود آمد: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

سیستمی از معادلات که تنها یک راه حل دارد

این سیستم ها پس از کاهش به یک ماتریس پله ای و حذف سطرهای با صفر، تعداد سطرها و ستون های یکسانی در ماتریس اصلی دارند. اینجا ساده ترین مثالچنین سیستمی:

$\begin(موارد) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end (موارد)$

بیایید آن را به شکل ماتریس بنویسیم:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

برای به صفر رساندن سلول اول ردیف دوم، ردیف بالا را در 2-$ ضرب می کنیم و آن را از ردیف پایین ماتریس کم می کنیم و ردیف بالایی را به شکل اصلی خود می گذاریم، در نتیجه موارد زیر را داریم. :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

این مثال را می توان به صورت یک سیستم نوشت:

$\begin(موارد) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end (موارد)$

معادله پایین مقدار زیر را برای $x$ به دست می دهد: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. این مقدار را در معادله بالایی جایگزین کنید: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$، ما x_1$ = 1 \frac(2)(3)$ را دریافت می کنیم.

سیستمی با راه حل های ممکن

این سیستم با تعداد کمتری از ردیف های مهم نسبت به تعداد ستون های موجود در آن مشخص می شود (ردیف های ماتریس اصلی در نظر گرفته می شوند).

متغیرها در چنین سیستمی به دو نوع اساسی و رایگان تقسیم می شوند. هنگام تبدیل چنین سیستمی، متغیرهای اصلی موجود در آن باید تا علامت "=" در ناحیه سمت چپ باقی بمانند و متغیرهای باقی مانده باید به سمت راستبرابری

چنین سیستمی فقط یک راه حل کلی خاص دارد.

بیایید آن را مرتب کنیم سیستم زیرمعادلات:

$\begin(موارد) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end (موارد)$

بیایید آن را به شکل ماتریس بنویسیم:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end (array)$

وظیفه ما یافتن یک راه حل کلی برای سیستم است. برای این ماتریس، متغیرهای پایه $y_1$ و $y_3$ خواهند بود (برای $y_1$ - چون اول می‌آید، و در مورد $y_3$ - بعد از صفرها قرار دارد).

به عنوان متغیرهای پایه، دقیقاً آنهایی را انتخاب می کنیم که اولین ردیف هستند و برابر با صفر نیستند.

متغیرهای باقیمانده را آزاد می نامند.

با استفاده از اصطلاح معکوس، سیستم را از پایین به بالا آنالیز می کنیم تا این کار را انجام دهیم، ابتدا $y_3$ را از خط پایین سیستم بیان می کنیم.

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

اکنون $y_3$ بیان شده را در معادله بالایی سیستم $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ جایگزین می کنیم: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

$y_1$ را بر حسب متغیرهای رایگان $y_2$ و $y_4$ بیان می‌کنیم:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

محلول آماده است.

مثال 1

حل کردن لجن با استفاده از روش گاوسی. مثال ها. مثالی از حل یک سیستم معادلات خطی داده شده با ماتریس 3 در 3 با استفاده از روش گاوسی

$\begin(موارد) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(موارد)$

بیایید سیستم خود را به شکل یک ماتریس توسعه یافته بنویسیم:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

اکنون، برای راحتی و عملی بودن، باید ماتریس را طوری تبدیل کنید که $1$ در گوشه بالای بیرونی ترین ستون باشد.

برای انجام این کار، به خط 1 باید خط را از وسط، ضرب در $-1$ اضافه کنید، و خط وسط را همانطور که هست بنویسید، معلوم می شود:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end (آرایه) $

خطوط بالا و آخر را در $-1 دلار ضرب کنید و همچنین خطوط آخر و وسط را عوض کنید:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

و خط آخر را بر 3 دلار تقسیم کنید:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

ما سیستم معادلات زیر را معادل معادله اصلی بدست می آوریم:

$\begin(موارد) x_1 + x_2 - x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \پایان (موارد)$

از معادله بالا $x_1$ را بیان می کنیم:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

مثال 2

مثالی از حل یک سیستم تعریف شده با استفاده از ماتریس 4 در 4 با استفاده از روش گاوسی

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 و 37 \\ \end (آرایه)$.

در ابتدا، خطوط بالایی را به دنبال آن عوض می کنیم تا 1 دلار در گوشه سمت چپ بالا به دست آوریم:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 و 37 \\ \end (آرایه)$.

حالا خط بالایی را در -2$ ضرب کنید و به 2 و 3 اضافه کنید. به خط 4، ما خط 1 را، ضرب در $-3$ اضافه می کنیم:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 و 3 و -1 و 4 \\ \end(آرایه)$

حالا به خط شماره 3، خط 2 را ضرب در 4$ اضافه می کنیم و به خط 4، خط 2 را ضرب در $1$ اضافه می کنیم.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(آرایه)$

خط 2 را در $-1$ ضرب می کنیم و خط 4 را بر $3$ تقسیم می کنیم و خط 3 را جایگزین می کنیم.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 و 10 \\ \end (آرایه)$

حالا ماقبل آخر را ضربدر 5$ به خط آخر اضافه می کنیم.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 و 0 \\ \پایان (آرایه)$

ما سیستم معادلات حاصل را حل می کنیم:

$\begin(موارد) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\ پایان (موارد)$