અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક અથવા સંખ્યા વડે અપૂર્ણાંકને યોગ્ય રીતે ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે જાણવાની જરૂર છે સરળ નિયમો. હવે અમે આ નિયમોનું વિગતવાર વિશ્લેષણ કરીશું.
સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો અપૂર્ણાંક વડે ગુણાકાર કરવો.
અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક વડે ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે અંશના ગુણાંક અને આ અપૂર્ણાંકોના છેદના ગુણાંકની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:
અમે પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશને બીજા અપૂર્ણાંકના અંશ સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ, અને અમે પ્રથમ અપૂર્ણાંકના છેદને બીજા અપૂર્ણાંકના છેદ સાથે પણ ગુણાકાર કરીએ છીએ.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ ગુણ્યા 3)(7 \ગુણો 3) = \frac(4)(7)\\\)
અપૂર્ણાંક \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) 3 થી ઘટ્યો હતો.
સંખ્યા વડે અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર.
પ્રથમ, ચાલો નિયમ યાદ રાખીએ, કોઈપણ સંખ્યાને અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
ચાલો ગુણાકાર કરતી વખતે આ નિયમનો ઉપયોગ કરીએ.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
અયોગ્ય અપૂર્ણાંક \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત.
બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જ્યારે કોઈ સંખ્યાને અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે સંખ્યાને અંશ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ અને છેદને યથાવત છોડીએ છીએ.ઉદાહરણ:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
મિશ્ર અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર.
મિશ્ર અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે પહેલા દરેક મિશ્રિત અપૂર્ણાંકને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવો જોઈએ અને પછી ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. આપણે અંશને અંશ સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ, અને છેદને છેદ સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ.
ઉદાહરણ:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
પારસ્પરિક અપૂર્ણાંકો અને સંખ્યાઓનો ગુણાકાર.
અપૂર્ણાંક \(\bf \frac(a)(b)\) એ અપૂર્ણાંક \(\bf \frac(b)(a)\) નો વ્યસ્ત છે, જે a≠0,b≠0 આપેલ છે.
અપૂર્ણાંક \(\bf \frac(a)(b)\) અને \(\bf \frac(b)(a)\) ને પારસ્પરિક અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે. પારસ્પરિક અપૂર્ણાંકનું ઉત્પાદન 1 બરાબર છે.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
ઉદાહરણ:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
સંબંધિત પ્રશ્નો:
અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક દ્વારા કેવી રીતે ગુણાકાર કરવો?
જવાબ: સામાન્ય અપૂર્ણાંકનું ઉત્પાદન એ અંશ સાથે અંશ, છેદ સાથે છેદનો ગુણાકાર છે. મિશ્ર અપૂર્ણાંકનું ઉત્પાદન મેળવવા માટે, તમારે તેમને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવાની અને નિયમો અનુસાર ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.
વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કેવી રીતે કરવો?
જવાબ: અપૂર્ણાંકમાં સમાન છે કે અલગ છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી, ગુણાકાર અંશ સાથેના અંશનું ઉત્પાદન શોધવાના નિયમ અનુસાર થાય છે, છેદ સાથે છેદ.
મિશ્ર અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કેવી રીતે કરવો?
જવાબ: સૌ પ્રથમ, તમારે મિશ્રિત અપૂર્ણાંકને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે અને પછી ગુણાકારના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને ઉત્પાદન શોધો.
સંખ્યાને અપૂર્ણાંક દ્વારા કેવી રીતે ગુણાકાર કરવી?
જવાબ: આપણે સંખ્યાને અંશ સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ, પરંતુ છેદને તે જ છોડીએ છીએ.
ઉદાહરણ #1:
ઉત્પાદનની ગણતરી કરો: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
ઉકેલ:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( લાલ) (5))(3 \times \color(લાલ) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
ઉદાહરણ #2:
સંખ્યા અને અપૂર્ણાંકના ઉત્પાદનની ગણતરી કરો: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
ઉકેલ:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11) (3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
ઉદાહરણ #3:
અપૂર્ણાંકનો પારસ્પરિક લખો \(\frac(1)(3)\)?
જવાબ: \(\frac(3)(1) = 3\)
ઉદાહરણ #4:
બે પારસ્પરિક અપૂર્ણાંકોના ગુણાંકની ગણતરી કરો: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
ઉકેલ:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
ઉદાહરણ #5:
પારસ્પરિક અપૂર્ણાંકો હોઈ શકે છે:
a) વારાફરતી યોગ્ય અપૂર્ણાંકો સાથે;
b) એક સાથે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક;
c) એક સાથે કુદરતી સંખ્યાઓ?
ઉકેલ:
એ) પ્રથમ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ. અપૂર્ણાંક \(\frac(2)(3)\) યોગ્ય છે, તેનો વ્યસ્ત અપૂર્ણાંક \(\frac(3)(2)\) બરાબર હશે - અયોગ્ય અપૂર્ણાંક. જવાબ: ના.
b) અપૂર્ણાંકની લગભગ તમામ ગણતરીઓમાં આ સ્થિતિ પૂરી થતી નથી, પરંતુ કેટલીક સંખ્યાઓ એવી છે જે એકસાથે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક હોવાની શરત પૂરી કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અયોગ્ય અપૂર્ણાંક \(\frac(3)(3)\ છે), તેનો વ્યસ્ત અપૂર્ણાંક \(\frac(3)(3)\) ની બરાબર છે. અમને બે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક મળે છે. જવાબ: જ્યારે અંશ અને છેદ સમાન હોય ત્યારે હંમેશા અમુક પરિસ્થિતિઓમાં નહીં.
c) કુદરતી સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જેનો ઉપયોગ આપણે ગણતી વખતે કરીએ છીએ, ઉદાહરણ તરીકે, 1, 2, 3, …. જો આપણે સંખ્યા \(3 = \frac(3)(1)\ લઈએ, તો તેનો વ્યસ્ત અપૂર્ણાંક \(\frac(1)(3)\) હશે. અપૂર્ણાંક \(\frac(1)(3)\) એ કુદરતી સંખ્યા નથી. જો આપણે બધી સંખ્યાઓમાંથી પસાર થઈએ, તો 1 સિવાય સંખ્યાનો પરસ્પર હંમેશા અપૂર્ણાંક હોય છે. જો આપણે સંખ્યા 1 લઈએ, તો તેનો પારસ્પરિક અપૂર્ણાંક \(\frac(1)(1) = \frac(1) હશે )(1) = 1\). નંબર 1 કુદરતી સંખ્યા. જવાબ: જો તે નંબર 1 હોય તો તે એક સાથે માત્ર એક જ કિસ્સામાં કુદરતી સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ #6:
મિશ્ર અપૂર્ણાંકનો ગુણાંક કરો: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
ઉકેલ:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\\)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
ઉદાહરણ #7:
શું એક જ સમયે બે પરસ્પર મિશ્રિત સંખ્યાઓ હોઈ શકે?
ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો મિશ્ર અપૂર્ણાંક \(1\frac(1)(2)\ લઈએ, તેનો વ્યસ્ત અપૂર્ણાંક શોધીએ, આ કરવા માટે આપણે તેને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2) \). તેનો વ્યસ્ત અપૂર્ણાંક \(\frac(2)(3)\) ની બરાબર હશે. અપૂર્ણાંક \(\frac(2)(3)\) એ યોગ્ય અપૂર્ણાંક છે. જવાબ: બે અપૂર્ણાંક જે પરસ્પર વ્યસ્ત છે તે એક જ સમયે મિશ્રિત સંખ્યાઓ હોઈ શકતી નથી.
સામાન્ય અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ સૌપ્રથમ 5મા ધોરણમાં શાળાના બાળકોને મળે છે અને તેમના સમગ્ર જીવન દરમિયાન તેમની સાથે રહે છે, કારણ કે રોજિંદા જીવનમાં ઘણી વખત કોઈ વસ્તુને સંપૂર્ણ રીતે નહીં, પરંતુ અલગ ટુકડાઓમાં ધ્યાનમાં લેવી અથવા તેનો ઉપયોગ કરવો જરૂરી છે. આ વિષયનો અભ્યાસ શરૂ કરો - શેર કરો. શેર સમાન ભાગો છે, જેમાં આ અથવા તે પદાર્થ વિભાજિત થયેલ છે. છેવટે, વ્યક્ત કરવું હંમેશા શક્ય નથી, ઉદાહરણ તરીકે, સંપૂર્ણ સંખ્યા તરીકે ઉત્પાદનની લંબાઈ અથવા કિંમત અમુક માપના ભાગો અથવા શેરને ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ; "વિભાજિત કરવા" - ભાગોમાં વિભાજિત કરવા માટે ક્રિયાપદમાંથી રચાયેલ અને અરબી મૂળ ધરાવતા, 8 મી સદીમાં રશિયન ભાષામાં "અપૂર્ણાંક" શબ્દનો ઉદ્ભવ થયો.
અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ લાંબા સમયથી ગણિતની સૌથી મુશ્કેલ શાખા માનવામાં આવે છે. 17મી સદીમાં, જ્યારે ગણિત પરની પ્રથમ પાઠયપુસ્તકો પ્રગટ થઈ, ત્યારે તેને "તૂટેલી સંખ્યાઓ" કહેવાતી, જે લોકો માટે સમજવી ખૂબ જ મુશ્કેલ હતી.
આધુનિક દેખાવસરળ અપૂર્ણાંક અવશેષો, જેનાં ભાગો આડી રેખા દ્વારા અલગ પડે છે, તેને પ્રથમ ફિબોનાકી - પીસાના લિયોનાર્ડો દ્વારા પ્રોત્સાહન આપવામાં આવ્યું હતું. તેમની કૃતિઓ 1202ની છે. પરંતુ આ લેખનો હેતુ વાચકને સરળ અને સ્પષ્ટ રીતે સમજાવવાનો છે કે કેવી રીતે વિવિધ છેદ સાથે મિશ્રિત અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર થાય છે.
વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર
શરૂઆતમાં તે નક્કી કરવા યોગ્ય છે અપૂર્ણાંકના પ્રકારો:
- સાચું
- ખોટું
- મિશ્ર
આગળ તમારે યાદ રાખવાની જરૂર છે કે ગુણાકાર કેવી રીતે થાય છે અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓસાથે સમાન છેદ. આ પ્રક્રિયાનો નિયમ સ્વતંત્ર રીતે ઘડવો મુશ્કેલ નથી: સમાન છેદ સાથે સરળ અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરવાનું પરિણામ અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિ છે, જેનો અંશ એ અંશનું ઉત્પાદન છે, અને છેદ એ આ અપૂર્ણાંકોના છેદનું ઉત્પાદન છે. . એટલે કે, વાસ્તવમાં, નવો છેદ એ વર્તમાનમાંના એકનો વર્ગ છે.
જ્યારે ગુણાકાર વિવિધ છેદ સાથે સરળ અપૂર્ણાંકબે અથવા વધુ પરિબળો માટે નિયમ બદલાતો નથી:
a/b * c/ડી = a*c/ b*d.
માત્ર એટલો જ તફાવત છે કે અપૂર્ણાંક રેખા હેઠળ રચાયેલી સંખ્યા વિવિધ સંખ્યાઓનો ગુણાંક હશે અને સ્વાભાવિક રીતે, તેને એક સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિનો વર્ગ કહી શકાય નહીં.
ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંકના ગુણાકારને ધ્યાનમાં લેવું યોગ્ય છે:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
ઉદાહરણો અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ ઘટાડવા માટેની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરે છે. તમે અપૂર્ણાંક રેખાની ઉપર અથવા નીચે સંલગ્ન પરિબળોને માત્ર છેદની સંખ્યા સાથે ઘટાડી શકો છો;
સરળ અપૂર્ણાંકો સાથે, મિશ્ર અપૂર્ણાંકનો ખ્યાલ છે. મિશ્ર સંખ્યામાં પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક ભાગનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે, તે આ સંખ્યાઓનો સરવાળો છે:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
ગુણાકાર કેવી રીતે કાર્ય કરે છે?
વિચારણા માટે કેટલાક ઉદાહરણો આપવામાં આવ્યા છે.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
ઉદાહરણ દ્વારા સંખ્યાના ગુણાકારનો ઉપયોગ થાય છે સામાન્ય અપૂર્ણાંક ભાગ, આ ક્રિયા માટેનો નિયમ આ રીતે લખી શકાય છે:
એક* b/c = a*b /c
હકીકતમાં, આવા ઉત્પાદન સમાન અપૂર્ણાંક અવશેષોનો સરવાળો છે, અને શરતોની સંખ્યા આ કુદરતી સંખ્યા સૂચવે છે. ખાસ કેસ:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
સંખ્યાને અપૂર્ણાંક શેષ વડે ગુણાકાર કરવાનો બીજો ઉપાય છે. તમારે ફક્ત આ સંખ્યા દ્વારા છેદને વિભાજીત કરવાની જરૂર છે:
ડી* e/f = e/f: ડી.
જ્યારે છેદને કુદરતી સંખ્યા દ્વારા શેષ વિના અથવા તેઓ કહે છે તેમ, પૂર્ણ સંખ્યા વડે વિભાજિત કરવામાં આવે ત્યારે આ તકનીકનો ઉપયોગ કરવા માટે ઉપયોગી છે.
મિશ્ર સંખ્યાઓને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો અને અગાઉ વર્ણવેલ રીતે ઉત્પાદન મેળવો:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
આ ઉદાહરણમાં મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવાની રીતનો સમાવેશ થાય છે, તેને આ રીતે પણ રજૂ કરી શકાય છે. સામાન્ય સૂત્ર:
a bc = a*b+ c/c, જ્યાં નવા અપૂર્ણાંકના છેદને છેદ સાથે સમગ્ર ભાગનો ગુણાકાર કરીને અને તેને મૂળ અપૂર્ણાંક શેષના અંશ સાથે ઉમેરીને રચાય છે, અને છેદ એક જ રહે છે.
આ પ્રક્રિયામાં પણ કામ કરે છે વિપરીત બાજુ. સંપૂર્ણ ભાગ અને અપૂર્ણાંક શેષને અલગ કરવા માટે, તમારે "ખૂણા" નો ઉપયોગ કરીને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના અંશને તેના છેદ દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.
અયોગ્ય અપૂર્ણાંકનો ગુણાકારસામાન્ય રીતે સ્વીકૃત રીતે ઉત્પાદિત. એક અપૂર્ણાંક રેખા હેઠળ લખતી વખતે, તમારે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓ ઘટાડવા અને પરિણામની ગણતરી કરવાનું સરળ બનાવવા માટે જરૂરી હોય તે રીતે અપૂર્ણાંક ઘટાડવાની જરૂર છે.
પ્રોગ્રામની વિવિધ ભિન્નતાઓમાં જટિલ ગાણિતિક સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે ઇન્ટરનેટ પર ઘણા સહાયકો છે. આવી સેવાઓની પૂરતી સંખ્યા અપૂર્ણાંકના ગુણાકારની ગણતરીમાં તેમની સહાય પ્રદાન કરે છે વિવિધ સંખ્યાઓછેદમાં - અપૂર્ણાંકની ગણતરી માટે કહેવાતા ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટર. તેઓ માત્ર ગુણાકાર કરવા માટે જ નહીં, પરંતુ સામાન્ય અપૂર્ણાંકો અને મિશ્ર સંખ્યાઓ સાથે અન્ય તમામ સરળ અંકગણિત કામગીરી કરવા માટે પણ સક્ષમ છે. તેની સાથે કામ કરવું સરળ છે; તમે સાઇટના પૃષ્ઠ પર યોગ્ય ફીલ્ડ્સ ભરો અને ચિહ્ન પસંદ કરો ગાણિતિક કામગીરીઅને "ગણતરી કરો" પર ક્લિક કરો. પ્રોગ્રામ આપમેળે ગણતરી કરે છે.
વિષય અંકગણિત કામગીરીઅપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ સાથે મધ્યમ અને ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓના સમગ્ર શિક્ષણ દરમિયાન સંબંધિત છે. ઉચ્ચ શાળામાં, તેઓ હવે સરળ પ્રજાતિઓને ધ્યાનમાં લેતા નથી, પરંતુ પૂર્ણાંક અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ, પરંતુ અગાઉ મેળવેલ રૂપાંતરણ અને ગણતરીઓ માટેના નિયમોનું જ્ઞાન તેના મૂળ સ્વરૂપમાં લાગુ કરવામાં આવે છે. સારી રીતે નિપુણતા પ્રાપ્ત મૂળભૂત જ્ઞાન સૌથી જટિલ સમસ્યાઓને સફળતાપૂર્વક ઉકેલવામાં સંપૂર્ણ વિશ્વાસ આપે છે.
નિષ્કર્ષમાં, લેવ નિકોલાઇવિચ ટોલ્સટોયના શબ્દોને ટાંકવાનો અર્થપૂર્ણ છે, જેમણે લખ્યું: “માણસ એક અપૂર્ણાંક છે. તેના અંશ - તેની યોગ્યતા - વધારવી તે વ્યક્તિની શક્તિમાં નથી, પરંતુ કોઈપણ તેના છેદને ઘટાડી શકે છે - તેના પોતાના વિશેના અભિપ્રાય, અને આ ઘટાડાની સાથે તેની પૂર્ણતાની નજીક આવે છે.
મધ્યમ અને ઉચ્ચ શાળાના અભ્યાસક્રમોમાં, વિદ્યાર્થીઓએ “અપૂર્ણાંક” વિષયને આવરી લીધો હતો. જો કે, આ ખ્યાલ શીખવાની પ્રક્રિયામાં જે આપવામાં આવે છે તેના કરતાં ઘણો વ્યાપક છે. આજે, અપૂર્ણાંકનો ખ્યાલ ઘણી વાર આવે છે, અને દરેક જણ કોઈપણ અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરી શકતા નથી, ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર.
અપૂર્ણાંક શું છે?
ઐતિહાસિક રીતે, અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ માપવાની જરૂરિયાતમાંથી ઊભી થઈ છે. પ્રેક્ટિસ બતાવે છે તેમ, સેગમેન્ટની લંબાઈ અને લંબચોરસ લંબચોરસની માત્રા નક્કી કરવા માટે ઘણી વાર ઉદાહરણો છે.
શરૂઆતમાં, વિદ્યાર્થીઓને શેરની વિભાવનાથી પરિચય આપવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે તરબૂચને 8 ભાગોમાં વહેંચો છો, તો દરેક વ્યક્તિને તરબૂચનો આઠમો ભાગ મળશે. આઠના આ એક ભાગને શેર કહેવામાં આવે છે.
કોઈપણ મૂલ્યના ½ જેટલા શેરને અડધો કહેવાય છે; ⅓ - ત્રીજા; ¼ - એક ક્વાર્ટર. ફોર્મ 5/8, 4/5, 2/4 ના રેકોર્ડ્સને સામાન્ય અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય અપૂર્ણાંકને અંશ અને છેદમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. તેમની વચ્ચે અપૂર્ણાંક બાર, અથવા અપૂર્ણાંક બાર છે. અપૂર્ણાંક રેખા કાં તો આડી અથવા ત્રાંસી રેખા તરીકે દોરી શકાય છે. IN આ કિસ્સામાંતે વિભાજન ચિહ્ન રજૂ કરે છે.
છેદ દર્શાવે છે કે જથ્થો અથવા પદાર્થ કેટલા સમાન ભાગોમાં વિભાજિત છે; અને અંશ એ છે કે કેટલા સરખા શેર લેવામાં આવ્યા છે. અંશ અપૂર્ણાંક રેખાની ઉપર લખાયેલ છે, છેદ તેની નીચે લખાયેલ છે.
સંકલન કિરણ પર સામાન્ય અપૂર્ણાંક બતાવવાનું સૌથી અનુકૂળ છે. જો એકમ સેગમેન્ટને 4 સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે, તો દરેક ભાગને લેબલ કરો લેટિન અક્ષર, તો પરિણામ ઉત્તમ હોઈ શકે છે દ્રશ્ય સહાય. તેથી, બિંદુ A સમગ્ર એકમ સેગમેન્ટના 1/4 જેટલો હિસ્સો દર્શાવે છે, અને બિંદુ B આપેલ સેગમેન્ટના 2/8 ચિહ્નિત કરે છે.
અપૂર્ણાંકના પ્રકાર
અપૂર્ણાંક સામાન્ય, દશાંશ અને મિશ્રિત સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે. વધુમાં, અપૂર્ણાંકને યોગ્ય અને અયોગ્યમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. આ વર્ગીકરણ સામાન્ય અપૂર્ણાંકો માટે વધુ યોગ્ય છે.
યોગ્ય અપૂર્ણાંક એવી સંખ્યા છે જેનો અંશ તેના છેદ કરતા ઓછો હોય છે. તદનુસાર, અયોગ્ય અપૂર્ણાંક એવી સંખ્યા છે જેનો અંશ તેના છેદ કરતા મોટો છે. બીજો પ્રકાર સામાન્ય રીતે મિશ્ર સંખ્યા તરીકે લખવામાં આવે છે. આ અભિવ્યક્તિમાં પૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંકનો સમાવેશ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 1½. 1 - આખો ભાગ, ½ - અપૂર્ણાંક. જો કે, જો તમારે અભિવ્યક્તિ (અપૂર્ણાંકોને વિભાજીત અથવા ગુણાકાર કરવા, તેમને ઘટાડીને અથવા રૂપાંતરિત કરવા) સાથે કેટલાક મેનિપ્યુલેશન્સ હાથ ધરવાની જરૂર હોય, તો મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે.
સાચી અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિ હંમેશા એક કરતા ઓછી હોય છે, અને અયોગ્ય અભિવ્યક્તિ હંમેશા 1 કરતા મોટી અથવા બરાબર હોય છે.
આ અભિવ્યક્તિ માટે, અમારો અર્થ એવો રેકોર્ડ છે કે જેમાં કોઈપણ સંખ્યા દર્શાવવામાં આવે છે, અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિના છેદને ઘણા શૂન્ય સાથે એકની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરી શકાય છે. જો અપૂર્ણાંક યોગ્ય છે, તો દશાંશ સંકેતમાં પૂર્ણાંક ભાગ શૂન્યની બરાબર હશે.
દશાંશ અપૂર્ણાંક લખવા માટે, તમારે પહેલા આખો ભાગ લખવો, અલ્પવિરામનો ઉપયોગ કરીને તેને અપૂર્ણાંકથી અલગ કરવો અને પછી અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિ લખવી. તે યાદ રાખવું આવશ્યક છે કે દશાંશ બિંદુ પછી, અંશમાં સમાન સંખ્યામાં ડિજિટલ અક્ષરો હોવા જોઈએ કારણ કે છેદમાં શૂન્ય છે.
ઉદાહરણ. અપૂર્ણાંક 7 21/1000 ને દશાંશ સંકેતમાં વ્યક્ત કરો.
અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને મિશ્ર સંખ્યામાં અને ઊલટું રૂપાંતરિત કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ
સમસ્યાના જવાબમાં અયોગ્ય અપૂર્ણાંક લખવું ખોટું છે, તેથી તેને મિશ્ર સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે:
- હાલના છેદ દ્વારા અંશને વિભાજીત કરો;
- ચોક્કસ ઉદાહરણમાં, એક અપૂર્ણ ભાગ સંપૂર્ણ છે;
- અને બાકીનો ભાગ અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ છે, છેદ યથાવત રહે છે.
ઉદાહરણ. અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને મિશ્ર સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરો: 47/5.
ઉકેલ. 47: 5. આંશિક ભાગ 9 છે, શેષ = 2. તેથી, 47/5 = 9 2/5.
કેટલીકવાર તમારે મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવાની જરૂર છે. પછી તમારે નીચેના અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે:
- પૂર્ણાંક ભાગને અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિના છેદ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે;
- પરિણામી ઉત્પાદન અંશમાં ઉમેરવામાં આવે છે;
- પરિણામ અંશમાં લખાયેલું છે, છેદ યથાવત રહે છે.
ઉદાહરણ. સંખ્યાને મિશ્ર સ્વરૂપમાં અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરો: 9 8 / 10.
ઉકેલ. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 એ અંશ છે.
જવાબ આપો: 98 / 10.
અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર
સામાન્ય અપૂર્ણાંકો પર વિવિધ બીજગણિત ક્રિયાઓ કરી શકાય છે. બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે અંશને અંશ સાથે અને છેદને છેદ સાથે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. તદુપરાંત, વિવિધ છેદ સાથે અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર એ સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરતા અલગ નથી.
એવું બને છે કે પરિણામ શોધ્યા પછી તમારે અપૂર્ણાંક ઘટાડવાની જરૂર છે. IN ફરજિયાતતમારે પરિણામી અભિવ્યક્તિને શક્ય તેટલું સરળ બનાવવાની જરૂર છે. અલબત્ત, કોઈ એમ ન કહી શકે કે જવાબમાં અયોગ્ય અંશ એ ભૂલ છે, પરંતુ તેને સાચો જવાબ કહેવું પણ મુશ્કેલ છે.
ઉદાહરણ. બે સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો ગુણાંક શોધો: ½ અને 20/18.
ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, ઉત્પાદન શોધ્યા પછી, એક ઘટાડી શકાય તેવું અપૂર્ણાંક સંકેત પ્રાપ્ત થાય છે. આ કિસ્સામાં અંશ અને છેદ બંનેને 4 વડે વિભાજિત કરવામાં આવે છે, અને પરિણામ એ જવાબ 5/9 છે.
દશાંશ અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર
દશાંશ અપૂર્ણાંકનું ઉત્પાદન તેના સિદ્ધાંતમાં સામાન્ય અપૂર્ણાંકના ઉત્પાદન કરતાં તદ્દન અલગ છે. તેથી, અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર નીચે મુજબ છે:
- બે દશાંશ અપૂર્ણાંક એક બીજાની નીચે લખેલા હોવા જોઈએ જેથી જમણી બાજુના અંકો એક બીજાની નીચે હોય;
- તમારે અલ્પવિરામ હોવા છતાં, એટલે કે કુદરતી સંખ્યાઓ તરીકે, લેખિત સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે;
- દરેક સંખ્યામાં દશાંશ બિંદુ પછી અંકોની સંખ્યા ગણો;
- ગુણાકાર પછી મેળવેલા પરિણામમાં, તમારે દશાંશ બિંદુ પછીના બંને પરિબળોમાં સરવાળામાં સમાયેલ હોય તેટલા ડિજિટલ પ્રતીકોને જમણી બાજુથી ગણવાની જરૂર છે, અને એક અલગ ચિહ્ન મૂકવાની જરૂર છે;
- જો ઉત્પાદનમાં ઓછા નંબરો છે, તો તમારે આ સંખ્યાને આવરી લેવા માટે તેમની આગળ ઘણા શૂન્ય લખવાની જરૂર છે, અલ્પવિરામ મૂકો અને શૂન્યની બરાબર આખો ભાગ ઉમેરો.
ઉદાહરણ. બે દશાંશ અપૂર્ણાંકના ઉત્પાદનની ગણતરી કરો: 2.25 અને 3.6.
ઉકેલ.
મિશ્ર અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર
બે મિશ્રિત અપૂર્ણાંકોના ઉત્પાદનની ગણતરી કરવા માટે, તમારે અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરવા માટેના નિયમનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે:
- મિશ્ર સંખ્યાઓને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો;
- અંશનું ઉત્પાદન શોધો;
- છેદનું ઉત્પાદન શોધો;
- પરિણામ લખો;
- અભિવ્યક્તિને શક્ય તેટલી સરળ બનાવો.
ઉદાહરણ. 4½ અને 6 2/5 નું ઉત્પાદન શોધો.
સંખ્યાને અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર (સંખ્યા દ્વારા અપૂર્ણાંક)
બે અપૂર્ણાંક અને મિશ્ર સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન શોધવા ઉપરાંત, એવા કાર્યો છે કે જ્યાં તમારે અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.
તેથી, ઉત્પાદન શોધવા માટે દશાંશઅને કુદરતી સંખ્યા, તમારે જરૂર છે:
- અપૂર્ણાંક હેઠળ સંખ્યા લખો જેથી જમણી બાજુના અંકો એક બીજાની ઉપર હોય;
- અલ્પવિરામ હોવા છતાં ઉત્પાદન શોધો;
- પરિણામી પરિણામમાં, અલ્પવિરામનો ઉપયોગ કરીને અપૂર્ણાંક ભાગમાંથી પૂર્ણાંક ભાગને અલગ કરો, અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ બિંદુ પછી સ્થિત અંકોની સંખ્યાની જમણી બાજુથી ગણતરી કરો.
સામાન્ય અપૂર્ણાંકને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે અંશ અને પ્રાકૃતિક અવયવનું ઉત્પાદન શોધવાની જરૂર છે. જો જવાબ ઘટાડી શકાય તેવા અપૂર્ણાંક ઉત્પન્ન કરે છે, તો તેને રૂપાંતરિત કરવું જોઈએ.
ઉદાહરણ. 5/8 અને 12 ના ઉત્પાદનની ગણતરી કરો.
ઉકેલ. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
જવાબ આપો: 7 1 / 2.
જેમ તમે અગાઉના ઉદાહરણમાંથી જોઈ શકો છો, પરિણામી પરિણામ ઘટાડવું અને અનિયમિત અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિને મિશ્ર સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરવું જરૂરી હતું.
અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર મિશ્ર સ્વરૂપ અને કુદરતી પરિબળમાં સંખ્યાના ઉત્પાદનને શોધવાની પણ ચિંતા કરે છે. આ બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે મિશ્ર પરિબળના સંપૂર્ણ ભાગને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ, અંશને સમાન મૂલ્યથી ગુણાકાર કરવો જોઈએ અને છેદને યથાવત છોડવો જોઈએ. જો જરૂરી હોય, તો તમારે પરિણામી પરિણામને શક્ય તેટલું સરળ બનાવવાની જરૂર છે.
ઉદાહરણ. 9 5/6 અને 9 નું ઉત્પાદન શોધો.
ઉકેલ. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
જવાબ આપો: 88 1 / 2.
10, 100, 1000 અથવા 0.1 ના અવયવો દ્વારા ગુણાકાર; 0.01; 0.001
નીચેના નિયમ પાછલા ફકરામાંથી અનુસરે છે. દશાંશ અપૂર્ણાંકને 10, 100, 1000, 10000, વગેરે વડે ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે અવયવમાં એક પછી શૂન્ય હોય તેટલા અંકોથી દશાંશ બિંદુને જમણી તરફ ખસેડવાની જરૂર છે.
ઉદાહરણ 1. 0.065 અને 1000 નું ઉત્પાદન શોધો.
ઉકેલ. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.
જવાબ આપો: 65.
ઉદાહરણ 2. 3.9 અને 1000 નું ઉત્પાદન શોધો.
ઉકેલ. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.
જવાબ આપો: 3900.
જો તમારે કુદરતી સંખ્યા અને 0.1 ને ગુણાકાર કરવાની જરૂર હોય; 0.01; 0.001; 0.0001, વગેરે., તમારે પરિણામી ઉત્પાદનમાં અલ્પવિરામને ડાબી બાજુએ ઘણા અંક અક્ષરો દ્વારા ખસેડવો જોઈએ કારણ કે એક પહેલા શૂન્ય છે. જો જરૂરી હોય તો, પ્રાકૃતિક સંખ્યા પહેલા શૂન્યની પૂરતી સંખ્યા લખવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ 1. 56 અને 0.01 નું ઉત્પાદન શોધો.
ઉકેલ. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.
જવાબ આપો: 0,56.
ઉદાહરણ 2. 4 અને 0.001 નું ઉત્પાદન શોધો.
ઉકેલ. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.
જવાબ આપો: 0,004.
તેથી, વિવિધ અપૂર્ણાંકોના ઉત્પાદનને શોધવામાં મુશ્કેલીઓ ઊભી થવી જોઈએ નહીં, કદાચ પરિણામની ગણતરી સિવાય; આ કિસ્સામાં, તમે ફક્ત કેલ્ક્યુલેટર વિના કરી શકતા નથી.
) અને છેદ દ્વારા છેદ (આપણે ઉત્પાદનનો છેદ મેળવીએ છીએ).
અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરવા માટેનું સૂત્ર:
ઉદાહરણ તરીકે:
તમે અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, તમારે શક્યતા તપાસવાની જરૂર છે અપૂર્ણાંક સંક્ષેપ. જો તમે અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકો, તો તમારા માટે આગળની ગણતરીઓ કરવી સરળ બનશે.
સામાન્ય અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંક વડે વિભાજીત કરવું.
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને સમાવતા અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવું.
તે લાગે છે તેટલું ડરામણી નથી. જેમ સાથે કેસ છે વધુમાં, પૂર્ણાંકને છેદમાં એક સાથે અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો. ઉદાહરણ તરીકે:
મિશ્ર અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર.
અપૂર્ણાંકના ગુણાકાર માટેના નિયમો (મિશ્ર):
- મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો;
- અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો ગુણાકાર;
- અપૂર્ણાંક ઘટાડો;
- જો તમને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક મળે, તો અમે અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ.
ધ્યાન આપો!મિશ્ર અપૂર્ણાંકને બીજા મિશ્રિત અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે પહેલા તેમને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવાની જરૂર છે, અને પછી સામાન્ય અપૂર્ણાંકના ગુણાકાર માટેના નિયમ અનુસાર ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.
અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની બીજી રીત.
ગુણાકારની બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ હોઈ શકે છે સામાન્ય અપૂર્ણાંકસંખ્યા દીઠ.
ધ્યાન આપો!પ્રાકૃતિક સંખ્યા વડે અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે અપૂર્ણાંકના છેદને આ સંખ્યા વડે ભાગવું પડશે અને અંશને યથાવત છોડવો પડશે.
ઉપર આપેલા ઉદાહરણ પરથી, તે સ્પષ્ટ છે કે જ્યારે અપૂર્ણાંકના છેદને કુદરતી સંખ્યા દ્વારા શેષ વિના વિભાજિત કરવામાં આવે ત્યારે આ વિકલ્પ વાપરવા માટે વધુ અનુકૂળ છે.
બહુમાળી અપૂર્ણાંક.
ઉચ્ચ શાળામાં, ત્રણ માળના (અથવા વધુ) અપૂર્ણાંકનો વારંવાર સામનો કરવો પડે છે. ઉદાહરણ:
આવા અપૂર્ણાંકને તેના સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવવા માટે, 2 બિંદુઓ દ્વારા વિભાજનનો ઉપયોગ કરો:
ધ્યાન આપો!અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરતી વખતે, વિભાજનનો ક્રમ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. સાવચેત રહો, અહીં મૂંઝવણમાં આવવું સરળ છે.
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો ઉદાહરણ તરીકે:
કોઈપણ અપૂર્ણાંક દ્વારા એકને વિભાજીત કરતી વખતે, પરિણામ સમાન અપૂર્ણાંક હશે, ફક્ત ઊંધુ:
અપૂર્ણાંકના ગુણાકાર અને ભાગાકાર માટે વ્યવહારુ ટીપ્સ:
1. અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ સાથે કામ કરતી વખતે સૌથી મહત્વની બાબત એ છે ચોકસાઈ અને સચેતતા. બધી ગણતરીઓ કાળજીપૂર્વક અને સચોટ રીતે, એકાગ્રતાથી અને સ્પષ્ટ રીતે કરો. માનસિક ગણતરીઓમાં ખોવાઈ જવા કરતાં તમારા ડ્રાફ્ટમાં થોડી વધારાની લાઈનો લખવી વધુ સારું છે.
2. સાથેના કાર્યોમાં વિવિધ પ્રકારોઅપૂર્ણાંક - સામાન્ય અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપ પર જાઓ.
3. અમે બધા અપૂર્ણાંકોને ઘટાડીએ છીએ જ્યાં સુધી તે ઘટાડવાનું હવે શક્ય ન બને.
4. અમે 2 બિંદુઓ દ્વારા વિભાજનનો ઉપયોગ કરીને બહુ-સ્તરીય અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓને સામાન્યમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ.
5. તમારા માથામાં અપૂર્ણાંક દ્વારા એકમને વિભાજીત કરો, ફક્ત અપૂર્ણાંકને ફેરવો.
