किसी निश्चित बिंदु पर किसी फ़ंक्शन में परिवर्तन को फ़ंक्शन की वृद्धि से लेकर तर्क की वृद्धि तक की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो शून्य हो जाती है। इसे खोजने के लिए, डेरिवेटिव की तालिका का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = x3 का व्युत्पन्न y' = x2 के बराबर होगा।

इस व्युत्पन्न को शून्य (इंच) के बराबर करें इस मामले में x2=0).

दिए गए चर का मान ज्ञात कीजिए। ये वे मान होंगे जिन पर दिया गया व्युत्पन्न 0 के बराबर होगा। ऐसा करने के लिए, अभिव्यक्ति में x के स्थान पर मनमानी संख्याएँ रखें, जिस पर संपूर्ण अभिव्यक्ति शून्य हो जाएगी। उदाहरण के लिए:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

प्राप्त मानों को समन्वय रेखा पर आलेखित करें और प्रत्येक प्राप्त मान के लिए व्युत्पन्न के चिह्न की गणना करें। निर्देशांक रेखा पर बिंदु अंकित होते हैं, जिन्हें मूल बिंदु माना जाता है। अंतराल में मूल्य की गणना करने के लिए, मानदंड से मेल खाने वाले मनमाने मानों को प्रतिस्थापित करें। उदाहरण के लिए, अंतराल -1 से पहले पिछले फ़ंक्शन के लिए, आप मान -2 का चयन कर सकते हैं। -1 से 1 तक के मानों के लिए, आप 0 का चयन कर सकते हैं, और 1 से अधिक मानों के लिए, 2 का चयन कर सकते हैं। इन संख्याओं को व्युत्पन्न में रखें और व्युत्पन्न का चिह्न ज्ञात करें। इस मामले में, x = -2 के साथ व्युत्पन्न -0.24 के बराबर होगा, अर्थात। ऋणात्मक और इस अंतराल पर ऋण चिह्न होगा। यदि x=0 है, तो मान 2 के बराबर होगा, और इस अंतराल पर एक चिन्ह लगाया गया है। यदि x=1 है, तो व्युत्पन्न भी -0.24 के बराबर होगा और एक ऋण लगाया जाएगा।

यदि, समन्वय रेखा पर एक बिंदु से गुजरते समय, व्युत्पन्न अपना चिह्न माइनस से प्लस में बदलता है, तो यह न्यूनतम बिंदु है, और यदि प्लस से माइनस में है, तो यह अधिकतम बिंदु है।

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उपयोगी सलाह

व्युत्पन्न खोजने के लिए, ऑनलाइन सेवाएँ हैं जो गणना करती हैं आवश्यक मानऔर परिणाम प्रदर्शित करें. ऐसी साइटों पर आप 5वें क्रम तक के डेरिवेटिव पा सकते हैं।

स्रोत:

• डेरिवेटिव की गणना के लिए सेवाओं में से एक
• फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु

किसी फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदुओं के साथ-साथ न्यूनतम बिंदुओं को चरम बिंदु कहा जाता है। इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन अपना व्यवहार बदलता है। एक्स्ट्रेमा सीमित संख्यात्मक अंतराल पर निर्धारित होते हैं और हमेशा स्थानीय होते हैं।

निर्देश

स्थानीय एक्स्ट्रेमा को खोजने की प्रक्रिया को एक फ़ंक्शन कहा जाता है और फ़ंक्शन के पहले और दूसरे डेरिवेटिव का विश्लेषण करके किया जाता है। अध्ययन शुरू करने से पहले, सुनिश्चित करें कि तर्क मानों की निर्दिष्ट सीमा मान्य मानों से संबंधित है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन F=1/x के लिए तर्क x=0 मान्य नहीं है। या फ़ंक्शन Y=tg(x) के लिए तर्क का मान x=90° नहीं हो सकता।

सुनिश्चित करें कि फ़ंक्शन Y पूरे दिए गए अंतराल पर भिन्न है। Y का पहला अवकलज ज्ञात कीजिए।" जाहिर है, स्थानीय अधिकतम के बिंदु तक पहुंचने से पहले, फ़ंक्शन बढ़ता है, और अधिकतम से गुजरने पर, फ़ंक्शन घटता जाता है। इसके पहले व्युत्पन्न में भौतिक अर्थकिसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। जबकि कार्य बढ़ रहा है, इस प्रक्रिया की दर सकारात्मक है। स्थानीय अधिकतम से गुजरने पर, फ़ंक्शन कम होने लगता है, और फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर नकारात्मक हो जाती है। फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर का शून्य से संक्रमण स्थानीय अधिकतम के बिंदु पर होता है।

कहा जाता है कि यह कार्य आंतरिक बिंदु पर है
क्षेत्र डी स्थानीय अधिकतम(न्यूनतम), यदि बिंदु का ऐसा कोई पड़ोस है
, प्रत्येक बिंदु के लिए
जो असमानता रखता है

यदि कोई फ़ंक्शन किसी बिंदु पर है
स्थानीय अधिकतम या स्थानीय न्यूनतम, तो हम कहते हैं कि यह इस बिंदु पर है स्थानीय चरम (या बस एक अति).

प्रमेय (चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त). यदि अवकलनीय फलन बिंदु पर चरम सीमा तक पहुँच जाता है
, फिर फ़ंक्शन का प्रत्येक प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न इस बिंदु पर यह शून्य हो जाता है.

वे बिंदु जिन पर प्रथम-क्रम के सभी आंशिक व्युत्पन्न लुप्त हो जाते हैं, कहलाते हैं फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु
. इन बिंदुओं के निर्देशांक की प्रणाली को हल करके पाया जा सकता है

.

समीकरण

एक अवकलनीय फलन के मामले में एक चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त को संक्षेप में निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: ऐसे मामले होते हैं जब अलग-अलग बिंदुओं पर कुछ आंशिक डेरिवेटिव के अनंत मान होते हैं या मौजूद नहीं होते हैं (जबकि बाकी शून्य के बराबर होते हैं)। ऐसे बिंदुओं को कहा जाता हैफ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु.

इन बिंदुओं को भी स्थिर बिंदुओं की तरह ही चरम सीमा के लिए "संदिग्ध" माना जाना चाहिए। दो चर वाले फ़ंक्शन के मामले मेंचरम, अर्थात् चरम बिंदु पर आंशिक व्युत्पन्न (अंतर) की शून्य की समानता, की एक ज्यामितीय व्याख्या है: सतह पर स्पर्शरेखा तल
चरम बिंदु पर समतल के समानांतर होना चाहिए
.

20. चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त परिस्थितियाँ

किसी बिंदु पर एक चरम के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त की पूर्ति वहां एक चरम की उपस्थिति की गारंटी नहीं देती है। उदाहरण के तौर पर, हम हर जगह भिन्न-भिन्न प्रकार के फ़ंक्शन को ले सकते हैं
.
इसके आंशिक व्युत्पन्न और फ़ंक्शन दोनों ही बिंदु पर गायब हो जाते हैं
.
हालाँकि, इस बिंदु के किसी भी पड़ोस में दोनों सकारात्मक (बड़े) हैं

), और नकारात्मक (छोटा
) इस फ़ंक्शन के मान। इसलिए, इस बिंदु पर, परिभाषा के अनुसार, कोई चरम सीमा नहीं देखी गई है। इसलिए, पर्याप्त परिस्थितियों को जानना आवश्यक है जिसके तहत चरम होने का संदेह वाला बिंदु अध्ययन के तहत कार्य का चरम बिंदु है।
आइए दो चर वाले फ़ंक्शन के मामले पर विचार करें। चलिए मान लेते हैं कि function
परिभाषित, निरंतर और किसी बिंदु के पड़ोस सहित दूसरे क्रम तक निरंतर आंशिक व्युत्पन्न होता है

,
.

, जो फ़ंक्शन का स्थिर बिंदु है

प्रमेय (यानी शर्तों को पूरा करता हैआइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:
एक चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त परिस्थितियाँ
). कार्य करने दो
उपरोक्त शर्तों को पूरा करता है, अर्थात्: यह एक स्थिर बिंदु के कुछ पड़ोस में भिन्न होता है

और बिंदु पर ही दो बार अवकलनीय है
.
तो अगर
यदि

फिर फ़ंक्शनबिंदु पर
पहुँचता है

स्थानीय अधिकतमबिंदु पर
.

पर
और
स्थानीय न्यूनतमसामान्य तौर पर, समारोह के लिए(बिंदु पर अस्तित्व के लिए पर्याप्त स्थितिस्थानीय न्यूनतम(अधिकतम) है

सकारात्मक

प्रमेय . नकारात्मक
) दूसरे अंतर की निश्चितता।

दूसरे शब्दों में, निम्नलिखित कथन सत्य है।
यदि बिंदु पर न्यूनतमसमारोह के लिए किसी के लिए भी एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन है
).

(के समानअधिकतम

, अगरउदाहरण 18.

किसी फ़ंक्शन के स्थानीय चरम बिंदु खोजें

समाधान

. आइए फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न खोजें और उन्हें शून्य के बराबर करें:
इस प्रणाली को हल करने पर, हमें दो संभावित चरम बिंदु मिलते हैं:
आइए इस फ़ंक्शन के लिए दूसरे क्रम के आंशिक व्युत्पन्न खोजें:
इसलिए, पहले स्थिर बिंदु पर, और

इसलिए, इस बिंदु पर अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है। फ़ंक्शन मान

इस बिंदु पर शून्य है:

इसलिए, इस बिंदु पर अतिरिक्त शोध की आवश्यकता है। फ़ंक्शन मान

अगला,
पर
ए
इसलिए, बिंदु के किसी भी पड़ोस में
समारोह
पर
मानों को बड़ा मान लेता है

, और छोटा



, और, इसलिए, बिंदु पर
परिभाषा के अनुसार, इसका कोई स्थानीय चरम नहीं है।
फ़ंक्शन में स्थानीय अधिकतम है।

>>एक्स्ट्रेमा

समारोह का चरम

चरम की परिभाषा

समारोह y = f(x) कहा जाता है की बढ़ती (घटते) एक निश्चित अंतराल में, यदि x 1 के लिए< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >एफ (एक्स 2)).

यदि अवकलनीय फलन y = f (x) किसी अंतराल पर बढ़ता (घटता) है, तो इस अंतराल f पर इसका अवकलज " (एक्स)> 0

(एफ"(एक्स)< 0).

डॉट एक्स हे बुलाया स्थानीय अधिकतम बिंदु (सामान्य तौर पर, समारोह के लिए) फ़ंक्शन f (x) यदि बिंदु का पड़ोस है एक्स ओ, उन सभी बिंदुओं के लिए जिनमें असमानता f (x) सत्य है≤ एफ (एक्स ओ ) (एफ (एक्स )≥ एफ (एक्स ओ )).

अधिकतम एवं न्यूनतम अंक कहलाते हैं चरम बिंदु, और इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान इसके हैं चरम.

चरम बिंदु

चरम सीमा के लिए आवश्यक शर्तें . अगर बात एक्स हे फ़ंक्शन f (x) का चरम बिंदु है, तो या तो f " (x o ) = 0, या f(x o ) मौजूद नहीं है. ऐसे बिंदुओं को कहा जाता है गंभीर,और फ़ंक्शन स्वयं महत्वपूर्ण बिंदु पर परिभाषित होता है। किसी फ़ंक्शन के चरम को उसके महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच खोजा जाना चाहिए।

पहला पर्याप्त स्थिति. होने देना एक्स हे - महत्वपूर्ण बिन्दू। यदि च" (x ) एक बिंदु से गुजरते समय एक्स हे प्लस चिह्न को माइनस में बदल देता है, फिर बिंदु पर एक्स ओफ़ंक्शन में अधिकतम है, अन्यथा इसमें न्यूनतम है। यदि, महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय, व्युत्पन्न संकेत नहीं बदलता है, तो बिंदु पर एक्स हे कोई अति नहीं है.

दूसरी पर्याप्त शर्त. मान लीजिए फलन f(x) है
एफ" (x ) बिंदु के आसपास एक्स हे और बिंदु पर ही दूसरा व्युत्पन्न एक्स ओ. यदि च"(एक्स ओ) = 0, >0 ( <0), то точка एक्स ओफ़ंक्शन f (x) का स्थानीय न्यूनतम (अधिकतम) बिंदु है। यदि =0, तो आपको या तो पहली पर्याप्त शर्त का उपयोग करना होगा या उच्चतर शर्तों को शामिल करना होगा।

एक खंड पर, फ़ंक्शन y = f (x) या तो महत्वपूर्ण बिंदुओं पर या खंड के अंत में अपने न्यूनतम या अधिकतम मूल्य तक पहुंच सकता है।

उदाहरण 3.22.

समाधान।क्योंकि एफ " (

किसी फ़ंक्शन का चरम खोजने की समस्याएँ

उदाहरण 3.23. ए

समाधान। एक्सऔर य य
0 ≤ एक्स≤
> 0, और कब एक्स >ए /4 एस " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение कार्य के.वी. इकाइयां).

उदाहरण 3.24.पी≈

समाधान।पी पी
एस"
आर = 2, एच = 16/4 = 4.

उदाहरण 3.22.फलन f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 का चरम ज्ञात कीजिए।

समाधान।क्योंकि एफ " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3), तो फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु x 1 = 2 और x 2 = 3। एक्स्ट्रेमा केवल इन बिंदुओं पर हो सकता है। चूंकि बिंदु x 1 = 2 से गुजरने पर व्युत्पन्न चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का अधिकतम मान होता है। बिंदु x 2 = 3 से गुज़रने पर, व्युत्पन्न अपना चिह्न शून्य से प्लस में बदल देता है, इसलिए बिंदु x 2 = 3 पर फ़ंक्शन का न्यूनतम होता है। बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की गणना करने के बाद
x 1 = 2 और x 2 = 3, हम फलन का चरम पाते हैं: अधिकतम f (2) = 14 और न्यूनतम f (3) = 13।

उदाहरण 3.23.पत्थर की दीवार के पास एक आयताकार क्षेत्र बनाना आवश्यक है ताकि यह तीन तरफ से तार की जाली से घिरा हो और चौथी तरफ दीवार से सटा हो। इसके लिए वहाँ है एजाल के रैखिक मीटर. किस पहलू अनुपात पर साइट का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होगा?

समाधान।आइए हम प्लेटफ़ॉर्म के किनारों को इससे निरूपित करें एक्सऔर य. साइट का क्षेत्रफल S = xy है. होने देना य- यह दीवार से सटे किनारे की लंबाई है। फिर, शर्त के अनुसार, समानता 2x + y = a संतुष्ट होनी चाहिए। इसलिए y = a - 2x और S = x (a - 2x), जहां
0 ≤ एक्स≤ a /2 (क्षेत्र की लंबाई और चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)। S " = a - 4x, a - 4x = 0 x = a/4 पर, जहाँ से
y = a - 2 × a/4 =a/2. तब से x = a /4 एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु है, आइए देखें कि इस बिंदु से गुजरने पर व्युत्पन्न का चिह्न बदलता है या नहीं। एक्स ए /4 एस पर "> 0, और कब एक्स >ए /4 एस " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение कार्य एस(ए/4) = ए/4(ए - ए/2) = ए 2/8 (के.वी. इकाइयां). चूँकि S निरंतर चालू है और S(0) तथा S(a /2) सिरों पर इसका मान शून्य के बराबर है, तो पाया गया मान होगा उच्चतम मूल्यकार्य. इस प्रकार, समस्या की दी गई शर्तों के तहत साइट का सबसे अनुकूल पहलू अनुपात y = 2x है।

उदाहरण 3.24.V=16 की क्षमता वाले एक बंद बेलनाकार टैंक के निर्माण के लिए इसकी आवश्यकता होती हैपी≈ 50 मीटर 3 . टैंक का आयाम (त्रिज्या आर और ऊंचाई एच) क्या होना चाहिए ताकि इसके निर्माण के लिए कम से कम सामग्री का उपयोग किया जाए?

समाधान।बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 2 हैपी आर(आर+एच). हम बेलन का आयतन V = जानते हैंपी आर 2 एच Þ एन = वी/ पी आर 2 =16 पी / पी आर2 = 16/आर2. तो एस(आर) = 2पी (आर 2 +16/आर). हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:
एस"(आर) = 2 पी (2आर- 16/आर 2) = 4 पी (आर- 8/आर 2)। एस" (आर) = 0 पर आर 3 = 8, इसलिए,
आर = 2, एच = 16/4 = 4.

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. वे कहते हैं कि $f$ के पास है स्थानीय अधिकतमबिंदु $x_(0) \in E$ पर, यदि बिंदु $x_(0)$ का पड़ोस $U$ है, जैसे कि सभी $x \in U$ के लिए असमानता $f\left(x\right) ) \leqslant f \left(x_(0)\right)$ से संतुष्ट है।

स्थानीय अधिकतम कहा जाता है कठोर , यदि पड़ोस $U$ को चुना जा सकता है ताकि $x_(0)$ से भिन्न U$ में सभी $x के लिए $f\left(x\right) हो< f\left(x_{0}\right)$.

परिभाषा
मान लीजिए $f$ खुले सेट $E \subset \mathbb(R)^(n)$ पर एक वास्तविक फ़ंक्शन है। वे कहते हैं कि $f$ के पास है स्थानीय न्यूनतमबिंदु $x_(0) \in E$ पर, यदि बिंदु $x_(0)$ का पड़ोस $U$ इस प्रकार है कि असमानता $f\left(x\right) \geqslant f सभी $ के लिए बनी रहती है x \in U$ \left(x_(0)\right)$.

एक स्थानीय न्यूनतम को सख्त कहा जाता है यदि पड़ोस $U$ को चुना जा सकता है ताकि $x_(0)$ से भिन्न U$ में सभी $x के लिए $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\दाएं)$.

स्थानीय चरम सीमा स्थानीय न्यूनतम और स्थानीय अधिकतम की अवधारणाओं को जोड़ती है।

प्रमेय (एक अवकलनीय फलन के चरम के लिए आवश्यक शर्त)
मान लीजिए $f$ खुले सेट $E \subset \mathbb(R)^(n)$ पर एक वास्तविक फ़ंक्शन है। यदि बिंदु $x_(0) \in E$ पर फ़ंक्शन $f$ का इस बिंदु पर स्थानीय चरम है, तो $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ शून्य अंतर के बराबर इस तथ्य के बराबर है कि सभी शून्य के बराबर हैं, यानी। $$\displaystyle\frac(\आंशिक f)(\आंशिक x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

एक-आयामी मामले में यह है -। आइए $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$ को निरूपित करें, जहां $h$ एक मनमाना वेक्टर है। फ़ंक्शन $\phi$ को $t$ के मानों के लिए परिभाषित किया गया है जो निरपेक्ष मान में पर्याप्त रूप से छोटे हैं। इसके अलावा, के संबंध में, यह भिन्न है, और $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
मान लीजिए $f$ का स्थानीय अधिकतम बिंदु x $0$ है। इसका मतलब यह है कि $t = 0$ पर फ़ंक्शन $\phi$ का स्थानीय अधिकतम है और, फ़र्मेट के प्रमेय के अनुसार, $(\phi)' \left(0\right)=0$।
तो, हमें वह $df \left(x_(0)\right) = 0$ मिला, यानी। बिंदु $x_(0)$ पर फ़ंक्शन $f$ किसी भी वेक्टर $h$ पर शून्य के बराबर है।

परिभाषा
वे बिंदु जिन पर अंतर शून्य है, अर्थात वे जिनमें सभी आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर होते हैं, स्थिर कहलाते हैं। महत्वपूर्ण बिंदुफ़ंक्शन $f$ वे बिंदु हैं जिन पर $f$ अवकलनीय नहीं है या शून्य के बराबर है। यदि बिंदु स्थिर है, तो इससे यह निष्कर्ष नहीं निकलता कि इस बिंदु पर फलन का चरम है।

उदाहरण 1.
मान लीजिए $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. फिर $\displaystyle\frac(\आंशिक f)(\आंशिक x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\आंशिक f)(\आंशिक y) = 3 \cdot y^(2 )$, इसलिए $\left(0,0\right)$ एक स्थिर बिंदु है, लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन का कोई चरम नहीं है। दरअसल, $f \left(0,0\right) = 0$, लेकिन यह देखना आसान है कि बिंदु $\left(0,0\right)$ के किसी भी पड़ोस में फ़ंक्शन सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान लेता है।

उदाहरण 2.
फ़ंक्शन $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ के मूल में एक स्थिर बिंदु है, लेकिन यह स्पष्ट है कि इस बिंदु पर कोई चरम सीमा नहीं है।

प्रमेय (चरम सीमा के लिए पर्याप्त शर्त)।
मान लीजिए कि फ़ंक्शन $f$ खुले सेट $E \subset \mathbb(R)^(n)$ पर लगातार दो बार भिन्न हो सकता है। मान लीजिए $x_(0) \in E$ एक स्थिर बिंदु है और $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\आंशिक^(2) f)(\आंशिक x_(i) \आंशिक x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ फिर

1. यदि $Q_(x_(0))$ - , तो बिंदु $x_(0)$ पर फ़ंक्शन $f$ का एक स्थानीय चरम होता है, अर्थात्, यदि फॉर्म सकारात्मक निश्चित है तो न्यूनतम, और यदि फॉर्म है तो अधिकतम नकारात्मक निश्चित;
2. यदि द्विघात रूप $Q_(x_(0))$ अपरिभाषित है, तो बिंदु $x_(0)$ पर फ़ंक्शन $f$ का कोई चरम नहीं है।

आइए टेलर के सूत्र (12.7 पृष्ठ 292) के अनुसार विस्तार का उपयोग करें। यह मानते हुए कि बिंदु $x_(0)$ पर पहले क्रम का आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, हम $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ प्राप्त करते हैं दाएं) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\आंशिक x_(i) \आंशिक x_ (जे)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ जहां $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, और $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ के लिए $h \rightarrow 0$, फिर दाहिनी ओरपर्याप्त रूप से छोटी लंबाई के किसी भी वेक्टर $h$ के लिए सकारात्मक होगा।
तो, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे हैं कि बिंदु $x_(0)$ के एक निश्चित पड़ोस में असमानता $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ कायम रहती है यदि केवल $ x \neq x_ (0)$ (हम $x=x_(0)+h$\right डालते हैं)। इसका मतलब यह है कि बिंदु $x_(0)$ पर फ़ंक्शन का एक सख्त स्थानीय न्यूनतम होता है, और इस प्रकार हमारे प्रमेय का पहला भाग सिद्ध होता है।
अब मान लीजिए कि $Q_(x_(0))$ – अनिश्चित रूप. फिर सदिश $h_(1)$, $h_(2)$ ऐसे हैं कि $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. तब हमें $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) मिलता है \ Lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ बाएँ[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ पर्याप्त रूप से छोटे $t>0$ के लिए, दाएँ हाथ पक्ष सकारात्मक है. इसका मतलब यह है कि बिंदु $x_(0)$ के किसी भी पड़ोस में फ़ंक्शन $f$ मान $f \left(x\right)$ को $f \left(x_(0)\right)$ से अधिक लेता है।
इसी तरह, हम पाते हैं कि बिंदु $x_(0)$ के किसी भी पड़ोस में फ़ंक्शन $f$ $f \left(x_(0)\right)$ से कम मान लेता है। पिछले वाले के साथ इसका मतलब है कि बिंदु $x_(0)$ पर फ़ंक्शन $f$ में कोई चरम सीमा नहीं है।

आइए विचार करें विशेष मामलाबिंदु $\left(x_(0),y_(0)\right)$ के एक निश्चित पड़ोस में परिभाषित दो चर के फ़ंक्शन $f \left(x,y\right)$ के लिए इस प्रमेय का और निरंतर आंशिक होना इस पड़ोस में पहले और दूसरे ऑर्डर के डेरिवेटिव। मान लें कि $\left(x_(0),y_(0)\right)$ एक स्थिर बिंदु है और $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ को निरूपित करें (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) ), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ फिर पिछला प्रमेय निम्नलिखित रूप लेता है।

प्रमेय
मान लीजिए $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. तब:

1. यदि $\Delta>0$, तो फ़ंक्शन $f$ में बिंदु $\left(x_(0),y_(0)\right)$ पर एक स्थानीय चरम सीमा होती है, अर्थात, न्यूनतम यदि $a_(11)> 0$ , और अधिकतम यदि $a_(11)<0$;
2. यदि $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

समस्या समाधान के उदाहरण

कई चरों वाले किसी फ़ंक्शन का चरम ज्ञात करने के लिए एल्गोरिदम:

1. स्थिर बिंदु ढूँढना;
2. सभी स्थिर बिंदुओं पर दूसरे क्रम का अंतर ज्ञात करें
3. कई चर वाले फ़ंक्शन के चरम के लिए पर्याप्त स्थिति का उपयोग करते हुए, हम प्रत्येक स्थिर बिंदु पर दूसरे क्रम के अंतर पर विचार करते हैं

1. चरम $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x - 30 \cdot y$ के लिए फ़ंक्शन की जांच करें।
   समाधान

   आइए पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न खोजें: $$\displaystyle \frac(\आंशिक f)(\आंशिक x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ आइए सिस्टम बनाएं और हल करें: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\आंशिक f)(\आंशिक y)= 0\end(केस) \राइटएरो \begin(केस)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(cases) \राइटएरो \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ दूसरे समीकरण से हम $x=4 \cdot y^(2)$ व्यक्त करते हैं - इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \दाएँ )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ परिणामस्वरूप, 2 स्थिर बिंदु प्राप्त होते हैं:
   1) $y=0 \दायां तीर x = 0, M_(1) = \बाएं(0, 0\दाएं)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \राइटएरो y^(3)=\frac(1)(8) \राइटएरो y = \frac(1)(2) \राइटएरो x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   आइए जाँच करें कि क्या चरम सीमा के लिए पर्याप्त शर्त पूरी होती है:
   $$\displaystyle \frac(\आंशिक^(2) f)(\आंशिक x^(2))=6 \cdot x; \frac(\आंशिक^(2) f)(\आंशिक x \आंशिक y)=-6; \frac(\आंशिक^(2) f)(\आंशिक y^(2))=48 \cdot y$$
   1) बिंदु $M_(1)= \left(0,0\right)$ के लिए:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) बिंदु $M_(2)$ के लिए:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, जिसका अर्थ है कि बिंदु $M_(2)$ पर एक चरम सीमा है, और चूँकि $A_(2)> 0$, तो यह न्यूनतम है.
   उत्तर: बिंदु $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ फ़ंक्शन $f$ का न्यूनतम बिंदु है।
   

2. चरम $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ के लिए फ़ंक्शन की जांच करें।
   समाधान

   आइए स्थिर बिंदु खोजें: $$\displaystyle \frac(\आंशिक f)(\आंशिक x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\आंशिक f)(\आंशिक y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   आइए सिस्टम बनाएं और हल करें: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases ) \ राइटएरो \begin(केस)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(केस) \राइटएरो \begin(केस) y = 2\\y + x = 1\end(केस) \राइटएरो x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ एक स्थिर बिंदु है।
   आइए देखें कि चरम सीमा के लिए पर्याप्त शर्त पूरी हुई है या नहीं: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\आंशिक^(2) f)(\आंशिक y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   उत्तर: कोई चरम सीमा नहीं है.
   

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आपके द्वारा अभी पढ़े गए विषय के बारे में अपने ज्ञान का परीक्षण करने के लिए इस प्रश्नोत्तरी में भाग लें: एकाधिक चर के कार्यों की स्थानीय सीमा।

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1 .

अंकों की संख्या: 1

एक्स्ट्रेमा के लिए फ़ंक्शन $f$ की जांच करें: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

सही


गलत


1. 4 में से कार्य 2

   2 .

   अंकों की संख्या: 1

   क्या फ़ंक्शन $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ का कोई चरम है

परिभाषा:बिंदु x0 को किसी फ़ंक्शन का स्थानीय अधिकतम (या न्यूनतम) का बिंदु कहा जाता है यदि बिंदु x0 के किसी पड़ोस में फ़ंक्शन सबसे बड़ा (या सबसे छोटा) मान लेता है, यानी। बिंदु x0 के कुछ पड़ोस से सभी x के लिए शर्त f(x) f(x0) (या f(x) f(x0)) संतुष्ट है।

स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम के बिंदु एक सामान्य नाम से एकजुट होते हैं - किसी फ़ंक्शन के स्थानीय चरम के बिंदु।

ध्यान दें कि स्थानीय चरम बिंदुओं पर, फ़ंक्शन केवल एक निश्चित स्थानीय क्षेत्र में अपने अधिकतम या न्यूनतम मूल्य तक पहुंचता है। ऐसे मामले हो सकते हैं जब मूल्य के अनुसार уmaxуmin।

किसी फ़ंक्शन के स्थानीय चरम के अस्तित्व का एक आवश्यक संकेत

प्रमेय . यदि एक सतत फलन y = f(x) का बिंदु x0 पर एक स्थानीय चरम है, तो इस बिंदु पर पहला व्युत्पन्न या तो शून्य है या अस्तित्व में नहीं है, अर्थात। एक स्थानीय चरम पहली तरह के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर होता है।

स्थानीय चरम बिंदुओं पर, या तो स्पर्श रेखा 0x अक्ष के समानांतर होती है, या दो स्पर्श रेखाएं होती हैं (आंकड़ा देखें)। ध्यान दें कि स्थानीय चरम सीमा के लिए महत्वपूर्ण बिंदु एक आवश्यक लेकिन पर्याप्त स्थिति नहीं हैं। स्थानीय चरम केवल पहली तरह के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर होता है, लेकिन सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं पर स्थानीय चरम नहीं होता है।

उदाहरण के लिए: एक घन परवलय y = x3 का एक क्रांतिक बिंदु x0 = 0 है, जिस पर व्युत्पन्न होता है y/(0)=0, लेकिन क्रांतिक बिंदु x0=0 एक चरम बिंदु नहीं है, और उस पर एक विभक्ति बिंदु है (नीचे देखें)।

किसी फ़ंक्शन के स्थानीय चरम के अस्तित्व का पर्याप्त संकेत

प्रमेय . यदि, जब तर्क बाएं से दाएं पहली तरह के महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरता है, तो पहला व्युत्पन्न y / (x)

चिह्न को "+" से "-" में बदलता है, तो इस महत्वपूर्ण बिंदु पर निरंतर फ़ंक्शन y(x) का स्थानीय अधिकतम होता है;

चिह्न को "-" से "+" में बदलता है, तो निरंतर फ़ंक्शन y(x) का इस महत्वपूर्ण बिंदु पर स्थानीय न्यूनतम होता है

संकेत नहीं बदलता है, तो इस महत्वपूर्ण बिंदु पर कोई स्थानीय चरम नहीं है, यहां एक विभक्ति बिंदु है।

स्थानीय अधिकतम के लिए, बढ़ते फ़ंक्शन का क्षेत्र (y/0) घटते फ़ंक्शन के क्षेत्र (y/0) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। स्थानीय न्यूनतम के लिए, घटते फ़ंक्शन का क्षेत्र (y/0) बढ़ते फ़ंक्शन के क्षेत्र (y/0) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

उदाहरण: एकरसता, चरम के लिए फ़ंक्शन y = x3 + 9x2 + 15x - 9 की जांच करें और फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं।

आइए अवकलज (y/) को परिभाषित करके और इसे शून्य के बराबर करके पहली तरह के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

आइए विवेचक का उपयोग करके द्विघात त्रिपद को हल करें:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.

2) हम संख्या अक्ष को क्रांतिक बिंदुओं वाले 3 क्षेत्रों में विभाजित करते हैं और उनमें व्युत्पन्न (y/) के चिह्न निर्धारित करते हैं। इन संकेतों का उपयोग करके हम कार्यों की एकरसता (बढ़ती और घटती) के क्षेत्रों का पता लगाएंगे, और संकेतों को बदलकर हम स्थानीय चरम (अधिकतम और न्यूनतम) के बिंदु निर्धारित करेंगे।

हम शोध परिणामों को एक तालिका के रूप में प्रस्तुत करते हैं, जिससे निम्नलिखित निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

• 1. अंतराल y /(-10) 0 पर फ़ंक्शन नीरस रूप से बढ़ता है (व्युत्पन्न y का चिह्न इस अंतराल में लिए गए नियंत्रण बिंदु x = -10 का उपयोग करके अनुमानित किया गया था);
• 2. अंतराल (-5 ; -1) y /(-2) 0 पर फ़ंक्शन नीरस रूप से घटता है (व्युत्पन्न y का चिह्न इस अंतराल में लिए गए नियंत्रण बिंदु x = -2 का उपयोग करके अनुमान लगाया गया था);
• 3. अंतराल y /(0) 0 पर, फ़ंक्शन एकरस रूप से बढ़ता है (व्युत्पन्न y का चिह्न इस अंतराल में लिए गए नियंत्रण बिंदु x = 0 का उपयोग करके अनुमान लगाया गया था);
• 4. क्रांतिक बिंदु x1k = -5 से गुजरने पर, व्युत्पन्न का चिह्न "+" से "-" में बदल जाता है, इसलिए यह बिंदु एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. क्रांतिक बिंदु x2k = -1 से गुजरने पर, व्युत्पन्न का चिह्न "-" से "+" में बदल जाता है, इसलिए यह बिंदु एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5 ; -1) -1

3) हम नियंत्रण बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की अतिरिक्त गणना का उपयोग करके अध्ययन के परिणामों के आधार पर एक ग्राफ़ बनाएंगे:

एक आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी का निर्माण करें;

हम निर्देशांक द्वारा अधिकतम (-5; 16) और न्यूनतम (-1;-16) के बिंदु दिखाते हैं;

ग्राफ़ को स्पष्ट करने के लिए, हम नियंत्रण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं, उन्हें अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं के बाईं और दाईं ओर और औसत अंतराल के अंदर चुनते हैं, उदाहरण के लिए: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6 )-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) और (0;-9) - परिकलित नियंत्रण बिंदु जिन्हें हम एक ग्राफ़ बनाने के लिए प्लॉट करते हैं;

हम ग्राफ को अधिकतम बिंदु पर ऊपर की ओर उत्तल और न्यूनतम बिंदु पर नीचे की ओर उत्तल और परिकलित नियंत्रण बिंदुओं से गुजरते हुए वक्र के रूप में दिखाते हैं।