Երկ քառակուսի հավասարումների լուծում. Երկու փոփոխականներով հավասարումներ

Նպատակները:

1. Համակարգել և ընդհանրացնել գիտելիքներն ու հմտությունները թեմայի վերաբերյալ՝ Երրորդ և չորրորդ աստիճանի հավասարումների լուծումներ.
2. Խորացրեք ձեր գիտելիքները՝ կատարելով մի շարք առաջադրանքներ, որոնցից մի քանիսն անծանոթ են ո՛չ տեսակով, ո՛չ լուծման եղանակով:
3. Մաթեմատիկայի նկատմամբ հետաքրքրության ձևավորում մաթեմատիկայի նոր գլուխների ուսումնասիրության միջոցով, գրաֆիկական մշակույթի դաստիարակում հավասարումների գրաֆիկների կառուցման միջոցով:

Դասի տեսակը: համակցված.

Սարքավորումներ:գրաֆիկական պրոյեկտոր.

Տեսանելիություն:աղյուսակ «Վիետեի թեորեմ».

Դասերի ժամանակ

1. Բանավոր հաշվում

ա) Որքա՞ն է մնացորդը p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 բազմանդամի x-a երկանդամի բաժանումից:

բ) Քանի՞ արմատ կարող է ունենալ խորանարդ հավասարումը:

գ) Ինչպե՞ս ենք լուծում երրորդ և չորրորդ աստիճանների հավասարումները:

դ) Եթե b-ն զույգ թիվ է քառակուսի հավասարման մեջ, ապա որքա՞ն է D-ի արժեքը և x 1-ը

2. Անկախ աշխատանք (խմբերով)

Գրեք հավասարում, եթե արմատները հայտնի են (առաջադրանքների պատասխանները կոդավորված են) օգտագործվում է «Վիետայի թեորեմը»

1 խումբ

Արմատները `x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6

Կազմի՛ր հավասարում.

B=1 -2-3+6=2; b=-2

c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23

d=6-12+36-18=12; d= -12

e=1(-2)(-3)6=36

x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(այս հավասարումը այնուհետև լուծվում է գրատախտակի 2-րդ խմբի կողմից)

Լուծում . Մենք ամբողջ արմատներ ենք փնտրում 36 թվի բաժանարարների մեջ։

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 1 թիվը բավարարում է հավասարումը, հետևաբար =1 հավասարման արմատն է։ Հորների սխեմայով

p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36

p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2

p 2 (x) = x 2 -3x -18=0

x 3 = -3, x 4 =6

Պատասխան՝ 1;-2;-3;6 արմատների գումարը 2 (P)

2-րդ խումբ

Արմատները `x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; x 4 = 5

Կազմի՛ր հավասարում.

B=-1+2+2+5-8; b= -8

c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15

D=-4-10+20-10= -4; d=4

e=2(-1)2*5=-20;e=-20

8+15+4x-20=0 (3-րդ խումբը լուծում է այս հավասարումը գրատախտակի վրա)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20

p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 = 2; x 2 =5

Պատասխան՝ -1;2;2;5 արմատների գումարը 8(P)

3 խումբ

Արմատները `x 1 = -1; x 2 =1; x 3 = -2; x 4 =3

Կազմի՛ր հավասարում.

В=-1+1-2+3=1;В=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

e=-1*1*(-2)*3=6

x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(4-րդ խումբը լուծում է այս հավասարումը ավելի ուշ գրատախտակի վրա)

Լուծում. Մենք ամբողջ արմատներ ենք փնտրում 6 թվի բաժանարարների մեջ։

р = ±1;±2;±3;±6

p 4 (1)=1-1-7+1+6=0

p 3 (x) = x 3 - 7x -6

р 3 (-1) = -1+7-6=0

p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 =3

Պատասխան՝ -1;1;-2;3 Արմատների գումարը 1(O)

4 խումբ

Արմատները `x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3

Կազմի՛ր հավասարում.

B=-2-2-3+3=-4; b=4

c=4+6-6+6-6-9=-5; с=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36

x 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(այս հավասարումն այնուհետև լուծվում է գրատախտակի 5-րդ խմբի կողմից)

Լուծում. Մենք ամբողջական արմատներ ենք փնտրում -36 թվի բաժանարարների մեջ

р = ±1;±2;±3…

p (1) = 1 + 4-5-36-36 = -72

p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0

p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0

p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3

Պատասխան՝ -2; -2; -3; 3 Արմատների գումարը-4 (F)

5 խումբ

Արմատները `x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4

Գրի՛ր հավասարում

x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(այս հավասարումն այնուհետև լուծվում է գրատախտակի 6-րդ խմբի կողմից)

Լուծում . Մենք ամբողջ արմատներ ենք փնտրում 24 թվի բաժանարարների մեջ։

р = ±1;±2;±3

p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O

p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0

Պատասխան՝ -1;-2;-3;-4 գումար-10 (I)

6 խումբ

Արմատները `x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8

Գրի՛ր հավասարում

B=1+1-3+8=7;b=-7

c=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24= -43; d=43

x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (այս հավասարումն այնուհետև լուծվում է գրատախտակի վրա 1 խմբի կողմից)

Լուծում . Մենք ամբողջական արմատներ ենք փնտրում -24 թվի բաժանարարների մեջ։

p 4 (1)=1-7-13+43-24=0

p 3 (1)=1-6-19+24=0

p 2 (x) = x 2 -5x - 24 = 0

x 3 =-3, x 4 =8

Պատասխան՝ 1;1;-3;8 գումար 7 (լ)

3. Պարամետրով հավասարումների լուծում

1. Լուծե՛ք x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0 հավասարումը; եթե արմատներից մեկը հավասար է (-1)

Պատասխանը գրի՛ր աճման կարգով

R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0

Ըստ պայմանի x 1 = - 1; D=1+15=16

P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0

x 2 = -1-4 = -5;

x 3 = -1 + 4 = 3;

Պատասխան՝ - 1; 3

Աճման կարգով՝ -5;-1;3. (b N S)

2. Գտեք բազմամոլական x 3 - 3x 2 + կացինների բոլոր արմատները - 2A + 6, եթե դրա բաժանումից մինչեւ Binomials X-1 եւ X +2- ի մնացորդները հավասար են:

Լուծում. R = P 3 (1) = P 3 (-2)

P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a

P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a

x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18

x 2 (x-3) -6 (x-3) = 0

(x-3) (x 2 -6) = 0

3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0

a=0; x=0; x=1

a>0; x=1; x=a ± √a

2. Գրի՛ր հավասարում

1 խումբ. Արմատները `-4; -2; 1; 7;

2-րդ խումբ. Արմատները `-3; -2; 1; 2;

3 խումբ. Արմատները `-1; 2; 6; 10;

4 խումբ. Արմատները `-3; 2; 2; 5;

5 խումբ. Արմատները `-5; -2; 2; 4;

6 խումբ. Արմատները `-8; -2; 6; 7.

Այս հոդվածում մենք կսովորենք լուծել երկքառակուսի հավասարումներ:

Այսպիսով, ինչպիսի՞ հավասարումներ են կոչվում երկքառակուսի:
Բոլորը ձևի հավասարումներ ահ 4 + bx 2 + գ = 0 , Որտեղ a ≠ 0, որոնք քառակուսի են x 2-ի նկատմամբ, և կոչվում են երկքառակուսիհավասարումներ։ Ինչպես տեսնում եք, այս մուտքը շատ նման է քառակուսի հավասարման մուտքագրմանը, ուստի մենք կլուծենք երկքառակուսի հավասարումներ՝ օգտագործելով այն բանաձևերը, որոնք օգտագործել ենք քառակուսի հավասարումը լուծելու համար:

Միայն մեզ պետք կլինի նոր փոփոխական ներմուծել, այսինքն՝ նշանակում ենք x 2 մեկ այլ փոփոխական, օրինակ ժամը կամ տ (կամ լատինական այբուբենի ցանկացած այլ տառ):

Օրինակ, լուծենք հավասարումը x 4 + 4x 2 ‒ 5 = 0:

Նշենք x 2 միջոցով ժամը (x 2 = y ) և ստանում ենք y 2 + 4y – 5 = 0 հավասարումը։
Ինչպես տեսնում եք, դուք արդեն գիտեք, թե ինչպես լուծել նման հավասարումները:

Մենք լուծում ենք ստացված հավասարումը.

D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6:

y 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,

y 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1:

Վերադառնանք մեր x փոփոխականին։

Մենք գտանք, որ x 2 = ‒ 5 և x 2 = 1:

Մենք նկատում ենք, որ առաջին հավասարումը լուծումներ չունի, բայց երկրորդը տալիս է երկու լուծում՝ x 1 = 1 և x 2 = ‒1: Զգույշ եղեք, որ չկորցնեք բացասական արմատը (առավել հաճախ նրանք ստանում են x = 1 պատասխանը, բայց դա ճիշտ չէ):

Պատասխան.- 1 և 1.

Թեման ավելի լավ հասկանալու համար դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Օրինակ 1.Լուծե՛ք հավասարումը 2x 4 ‒ 5 x 2 + 3 = 0:

Թող x 2 = y, ապա 2y 2 ‒ 5y + 3 = 0:

D = (‒ 5) 2 – 4 2 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1:

y 1 = (5 – 1)/(2 2) = 4 /4 =1, y 2 = (5 + 1)/(2 2) = 6 /4 =1,5:

Այնուհետև x 2 = 1 և x 2 = 1,5:

Մենք ստանում ենք x 1 = ‒1, x 2 = 1, x 3 = ‒ √1,5, x 4 = √1,5:

Պատասխան. ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

Օրինակ 2.Լուծե՛ք հավասարումը 2x 4 + 5 x 2 + 2 = 0:

2y 2 + 5y + 2 =0:

D = 5 2 – 4 2 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3:

y 1 = (‒ 5 – 3)/(2 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, y 2 = (‒5 + 3)/(2 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0,5:

Այնուհետև x 2 = - 2 և x 2 = - 0,5: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այս հավասարումներից ոչ մեկը լուծում չունի:

Պատասխան.լուծումներ չկան.

Անավարտ երկքառակուսի հավասարումներ- դա երբ է բ = 0 (կացին 4 + գ = 0) կամ գ = 0

(կացին 4 + bx 2 = 0) լուծվում են թերի քառակուսի հավասարումների նման։

Օրինակ 3.Լուծե՛ք հավասարումը x 4 ‒ 25x 2 = 0

Եկեք գործոնացնենք, փակագծերից դուրս դնենք x 2, ապա x 2 (x 2 ‒ 25) = 0:

Մենք ստանում ենք x 2 = 0 կամ x 2 ‒ 25 = 0, x 2 = 25:

Այնուհետև մենք ունենք 0 արմատներ; 5 և - 5.

Պատասխան. 0; 5; – 5.

Օրինակ 4.Լուծե՛ք հավասարումը 5x 4 ‒ 45 = 0.

x 2 = ‒ √9 (լուծումներ չունի)

x 2 = √9, x 1 = ‒ 3, x 2 = 3:

Ինչպես տեսնում եք, եթե դուք կարող եք լուծել քառակուսի հավասարումներ, ապա կարող եք լուծել նաև երկքառակուսի հավասարումներ:

Եթե ​​դեռ հարցեր ունեք, գրանցվեք իմ դասերին: Ուսուցիչ Վալենտինա Գալինևսկայա.

կայքէջը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում սկզբնաղբյուրին:

Երկու փոփոխականով հավասարումներ հասկացությունն առաջին անգամ ձևավորվում է 7-րդ դասարանի մաթեմատիկա դասընթացում։ Դիտարկվում են կոնկրետ խնդիրներ, որոնց լուծման գործընթացը հանգեցնում է այս տեսակի հավասարումների:

Սակայն դրանք ուսումնասիրվում են բավականին մակերեսորեն։ Ծրագիրը կենտրոնացած է երկու անհայտ ունեցող հավասարումների համակարգերի վրա:

Սա է պատճառը, որ գործնականում չեն դիտարկվում այն ​​խնդիրները, որոնց դեպքում որոշակի սահմանափակումներ են դրվում հավասարման գործակիցների վրա։ Անբավարար ուշադրություն է դարձվում այնպիսի առաջադրանքների լուծման մեթոդներին, ինչպիսիք են «Հավասարումը լուծել բնական կամ ամբողջ թվերով»: Հայտնի է, որ միասնական պետական ​​քննության նյութերն ու ընդունելության քննության տոմսերը հաճախ պարունակում են նման վարժություններ։

Ո՞ր հավասարումներն են սահմանվում որպես երկու փոփոխականներով հավասարումներ:

xy = 8, 7x + 3y = 13 կամ x 2 + y = 7 երկու փոփոխականներով հավասարումների օրինակներ են:

Դիտարկենք x – 4y = 16 հավասարումը: Եթե x = 4 և y = -3, ապա դա ճիշտ հավասարություն կլինի: Սա նշանակում է, որ արժեքների այս զույգը այս հավասարման լուծումն է:

Երկու փոփոխականներով ցանկացած հավասարման լուծումը զույգ թվերի բազմությունն է (x; y), որոնք բավարարում են այս հավասարումը (այն վերածում են իսկական հավասարության):

Հաճախ հավասարումը փոխակերպվում է այնպես, որ այն կարող է օգտագործվել անհայտներ գտնելու համակարգ ստանալու համար:

Օրինակներ

Լուծե՛ք xy – 4 = 4x – y հավասարումը:

Այս օրինակում կարող եք օգտագործել ֆակտորացման մեթոդը: Դա անելու համար անհրաժեշտ է խմբավորել տերմինները և փակագծերից հանել ընդհանուր գործոնը.

xy – 4 = 4x – y;

xy – 4 – 4x + y = 0;

(xy + y) – (4x + 4) = 0;

y (x + 1) - 4 (x + 1) = 0;

(x + 1) (y - 4) = 0:

Պատասխան. Բոլոր զույգերը (x; 4), որտեղ x-ը ցանկացած ռացիոնալ թիվ է և (-1; y), որտեղ y-ը ցանկացած ռացիոնալ թիվ է:

Լուծե՛ք հավասարումը` 4x 2 + y 2 + 2 = 2(2x - y):

Առաջին քայլը խմբավորումն է:

4x 2 + y 2 + 2 = 4x – 2y;

4x 2 + y 2 + 1 - 4x + 2y + 1 = 0;

(4x 2 – 4x +1) + (y 2 + 2y + 1) = 0:

Կիրառելով քառակուսի տարբերության բանաձևը, մենք ստանում ենք.

(2x - 1) 2 + (y + 1) 2 = 0:

Երկու ոչ բացասական արտահայտություններ գումարելիս զրո կստացվի միայն այն դեպքում, եթե 2x – 1 = 0 և y + 1 = 0: Հետևում է x = ½ և y = -1:

Պատասխան՝ (1/2; -1):

Լուծեք հավասարումը (x 2 – 6x + 10) (y 2 + 10y + 29) = 4:

Ռացիոնալ է կիրառել գնահատման մեթոդը՝ փակագծերում ընդգծելով ամբողջական քառակուսիները։

((x - 3) 2 + 1) ((y + 5) 2 + 4) = 4:

Այս դեպքում (x - 3) 2 + 1 ≥ 1, և (y + 5) 2 + 4 ≥ 4: Այնուհետև հավասարման ձախ կողմը միշտ առնվազն 4 է: Գործում հնարավոր է հավասարություն.

(x - 3) 2 + 1 = 1 և (y + 5) 2 + 4 = 4. Հետևաբար, x = 3, y = -5:

Պատասխան՝ (3; -5):

Լուծե՛ք հավասարումը ամբողջ թվերով՝ x 2 + 10y 2 = 15x + 3:

Այս հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

x 2 = -10y 2 + 15x + 3. Եթե հավասարության աջ կողմը բաժանվում է 5-ի, ապա 3-ը մնացորդն է: Այստեղից հետևում է, որ x 2-ը չի բաժանվում 5-ի: Հայտնի է, որ այն թվի քառակուսին, որը չի բաժանվում 5-ի, պետք է մնացորդ թողնի կամ 1-ի կամ 4-ի: Սա նշանակում է, որ հավասարումը չունի արմատներ:

Պատասխան. Լուծումներ չկան։

Մի հուսահատվեք երկու փոփոխականներով հավասարման ճիշտ լուծում գտնելու դժվարությունից: Համառությունն ու պրակտիկան անպայման պտուղներ կտան։

Մենք առաջարկում ենք Ձեզ հարմար անվճար առցանց հաշվիչ քառակուսի հավասարումների լուծման համար:Դուք կարող եք արագ ստանալ և հասկանալ, թե ինչպես են դրանք լուծվում՝ օգտագործելով հստակ օրինակներ:
Արտադրել լուծել քառակուսի հավասարումը առցանց, նախ հավասարումը բերեք իր ընդհանուր ձևին.
կացին 2 + bx + c = 0
Համապատասխանաբար լրացրեք ձևի դաշտերը.

Ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումը

Ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումը.	Արմատների տեսակները.
1. Կրճատական ​​հավասարումը իջեցրե՛ք նրա ընդհանուր ձևին. Ընդհանուր տեսք Аx 2 +Bx+C=0 Օրինակ՝ 3x - 2x 2 +1=-1 Կրճատել մինչև -2x 2 +3x+2=0 2. Գտեք տարբերակիչ Դ. D=B 2 -4*A*C . Մեր օրինակի համար՝ D= 9-(4*(-2)*2)=9+16=25: 3. Գտնելով հավասարման արմատները. x1=(-B+D 1/2)/2A. Մեր դեպքի համար x1=(-3+5)/(-4)=-0.5 x2=(-B-D 1/2)/2A. Մեր օրինակի համար x2=(-3-5)/(-4)=2 Եթե ​​B-ն զույգ թիվ է, ապա ավելի հարմար է հաշվարկել դիսկրիմինանտը և արմատները՝ օգտագործելով բանաձևերը. D=К 2 -ac x1=(-K+D 1/2)/A x2=(-K-D 1/2)/A, Որտեղ K=B/2	1. Իրական արմատներ. Ավելին. x1-ը հավասար չէ x2-ին Իրավիճակն առաջանում է, երբ D>0-ը և A-ն հավասար չեն 0-ի: 2. Իրական արմատները նույնն են. x1 հավասար է x2 Իրավիճակն առաջանում է, երբ D=0: Այնուամենայնիվ, ոչ A-ն, ոչ B-ն, ոչ էլ C-ն չպետք է հավասար լինեն 0-ի: 3. Երկու բարդ արմատներ. x1=d+ei, x2=d-ei, որտեղ i=-(1) 1/2 Իրավիճակն առաջանում է, երբ Դ 4. Հավասարումն ունի մեկ լուծում. A=0, B և C-ն հավասար չեն զրոյի: Հավասարումը դառնում է գծային։ 5. Հավասարումն ունի անթիվ լուծումներ։ A=0, B=0, C=0: 6. Հավասարումը լուծումներ չունի։ A=0, B=0, C-ն հավասար չէ 0-ի:

Ալգորիթմը համախմբելու համար այստեղ կան ևս մի քանիսը քառակուսի հավասարումների լուծումների պատկերավոր օրինակներ.

Օրինակ 1. Տարբեր իրական արմատներով սովորական քառակուսի հավասարման լուծում:
x 2 + 3x -10 = 0
Այս հավասարման մեջ
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
Քառակուսի արմատը կնշանակենք որպես 1/2 թիվ։
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5

Ստուգելու համար եկեք փոխարինենք.
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10

Օրինակ 2. Համապատասխան իրական արմատներով քառակուսի հավասարման լուծում:
x 2 – 8x + 16 = 0
A=1, B = -8, C=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4

Եկեք փոխարինենք
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16

Օրինակ 3. Բարդ արմատներով քառակուսի հավասարման լուծում:
13x 2 – 4x + 1 = 0
A=1, B = -4, C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4 * 13 * 1 = 16 - 52 = -36
Տարբերիչը բացասական է. արմատները բարդ են:

X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, որտեղ ես -1-ի քառակուսի արմատն է

Ահա իրականում քառակուսի հավասարումների լուծման բոլոր հնարավոր դեպքերը։
Հուսով ենք, որ մեր առցանց հաշվիչշատ օգտակար կլինի ձեզ համար:
Եթե ​​նյութը օգտակար էր, կարող եք