Պերելմանի լուծումը Պուանկարեի ենթադրությանը. Միլիոն դոլար բլիթ փոսի համար

Ո՞րն է Պուանկարեի թեորեմի էությունը:

1. E-ն ապացուցել է Կարմիր մազերով Սոֆյան, բայց նա նաև Կարմիր մազերով է....
2. Եզրակացությունն այն է, որ Տիեզերքը ոչ թե գնդաձեւ է, այլ բլիթ:
3. Պուանկարեի ենթադրության իմաստն իր սկզբնական ձևակերպման մեջ այն է, որ ցանկացած եռաչափ մարմնի համար, առանց անցքերի, գոյություն ունի փոխակերպում, որը թույլ կտա այն վերածել գնդիկի՝ առանց կտրելու և սոսնձելու: Եթե ​​սա ակնհայտ է թվում, ապա ինչ կլինի, եթե տարածությունը եռաչափ չէ, այլ պարունակում է տասը կամ տասնմեկ չափսեր (այսինքն՝ խոսքը Պուանկարեի ենթադրության ընդհանրացված ձևակերպման մասին է, որն ապացուցեց Պերելմանը)
4. 2 բառով չես ասի
5. 1900 թվականին Պուանկարեն առաջարկել է, որ եռաչափ բազմազանությունը, որը ունի գնդերի բոլոր հոմոլոգիական խմբերը, հոմեոմորֆ է ոլորտին։ 1904 թվականին նա գտավ նաև հակաօրինակ, որն այժմ կոչվում է Պուանկարեի ոլորտ և ձևակերպեց իր վարկածի վերջնական տարբերակը։ Պուանկարեի ենթադրությունն ապացուցելու փորձերը հանգեցրել են բազմաթիվ առաջընթացների բազմազանության տոպոլոգիայում։

   Պուանկարեի ընդհանրացված ենթադրության ապացույցներ n #10878-ի համար; 5-ը ստացվել է 1960-ականների և 1970-ականների սկզբին գրեթե միաժամանակ Սմայլի կողմից, ինքնուրույն և այլ մեթոդներով Ստալինգսի (անգլերեն) կողմից (n #10878; 7, նրա ապացույցը տարածվել է n = 5 և 6 դեպքերի վրա Զեմանի (անգլերեն) կողմից) . Շատ ավելի բարդ n = 4 դեպքի ապացույցը ստացվել է միայն 1982 թվականին Ֆրիդմանը: Պոնտրյագինի բնորոշ դասերի տոպոլոգիական անփոփոխության մասին Նովիկովի թեորեմից հետևում է, որ գոյություն ունեն հոմոտոպիական համարժեք, բայց ոչ հոմեոմորֆ բազմապատկերներ բարձր չափսերում։

   Պուանկարեի սկզբնական ենթադրության (և ավելի ընդհանուր՝ Տրստոնի ենթադրության) ապացույցը հայտնաբերվել է միայն 2002 թվականին Գրիգորի Պերելմանի կողմից։ Հետագայում Պերելմանի ապացույցը ստուգվեց և ընդլայնված ձևով ներկայացվեց գիտնականների առնվազն երեք խմբի կողմից: 1 Ապացույցը օգտագործում է Ricci հոսքը վիրահատության միջոցով և հիմնականում հետևում է Համիլթոնի ուրվագծած ծրագրին, ով նաև առաջինն էր, ով օգտագործեց Ricci հոսքը:

6. ով է սա
7. Պուանկարի թեորեմ.
   Պուանկարեի թեորեմ վեկտորային դաշտերի մասին
   Բենդիքսոնի Պուանկարեի թեորեմը
   Պուանկարեի թեորեմը շրջանագծի հոմեոմորֆիզմների դասակարգման վերաբերյալ
   Պուանկարեի ենթադրությունը հոմոտոպիայի ոլորտի վերաբերյալ
   Պուանկարեի վերադարձի թեորեմ

   Ո՞ր մեկի մասին եք հարցնում:

8. Դինամիկ համակարգերի տեսության մեջ Պուանկարեի թեորեմը շրջանի հոմեոմորֆիզմների դասակարգման մասին նկարագրում է շրջանագծի վրա շրջելի դինամիկայի հնարավոր տեսակները՝ կախված կրկնվող f քարտեզագրման p(f) թվից։ Կոպիտ ասած, ստացվում է, որ քարտեզագրման կրկնությունների դինամիկան որոշակիորեն նման է համապատասխան անկյան տակ պտտման դինամիկային։
   Այսինքն՝ տրվի շրջանակի հոմեոմորֆիզմ f. Ապա.
   1) Պտտման թիվը ռացիոնալ է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե f-ն ունի պարբերական կետեր: Այս դեպքում պտտման համարի հայտարարը ցանկացած պարբերական կետի պարբերաշրջանն է, իսկ ցանկացած պարբերական ուղեծրի կետերի շրջանագծի ցիկլային կարգը նույնն է, ինչ պտտման ուղեծրի կետերը p(f)-ի վրա։ Ավելին, ցանկացած հետագիծ հակված է որոշակի պարբերականության թե՛ առաջ, և թե՛ հետընթաց ժամանակում (a- և -w սահմանային հետագծերը կարող են տարբեր լինել):
   2) Եթե ռոտացիայի f թիվը իռացիոնալ է, ապա հնարավոր է երկու տարբերակ.
   i) կամ f-ն ունի խիտ ուղեծիր, որի դեպքում f-ի հոմեոմորֆիզմը զուգակցված է p(f-ով) պտույտի հետ: Այս դեպքում f-ի բոլոր ուղեծրերը խիտ են (քանի որ դա ճիշտ է իռացիոնալ պտույտի դեպքում);
   ii) կամ f-ն ունի Cantor ինվարիանտ C բազմություն, որը համակարգի միակ նվազագույն բազմությունն է: Այս դեպքում բոլոր հետագծերը հակված են դեպի C և՛ առաջ, և՛ հետընթաց ժամանակում: Բացի այդ, f քարտեզագրումը կիսակոնյուգատ է p(f) պտույտին. 1 աստիճանի h որոշ քարտեզագրման համար p o f =R p (f) o h

   Ընդ որում, C բազմությունը հենց h-ի աճի կետերի բազմությունն է, այլ կերպ ասած, տոպոլոգիական տեսանկյունից h-ը փլուզում է C-ի լրացման միջակայքերը։

9. հարցի էությունը կազմում է 1 միլիոն դոլար
10. Այն, որ նրան ոչ ոք չի հասկանում, բացի 1 հոգուց
11. Ֆրանսիայի արտաքին քաղաքականության մեջ...
12. Այստեղ Լկան ամենալավը պատասխանեց http://otvet.mail.ru/question/24963208/
13. Փայլուն մաթեմատիկոս և փարիզցի պրոֆեսոր Անրի Պուանկարեն աշխատել է այս գիտության տարբեր ոլորտներում: Անկախ և անկախ Էյնշտեյնի աշխատանքից 1905 թվականին նա առաջ քաշեց Հարաբերականության հատուկ տեսության հիմնական սկզբունքները։ Իսկ իր հայտնի վարկածը նա ձեւակերպել է դեռ 1904 թվականին, ուստի այն լուծելու համար պահանջվել է մոտ մեկ դար։

    Պուանկարեն տոպոլոգիայի հիմնադիրներից էր՝ գիտություն երկրաչափական պատկերների հատկությունների մասին, որոնք չեն փոխվում առանց ընդմիջումների տեղի ունեցող դեֆորմացիաների ժամանակ։ Օրինակ, օդապարիկը հեշտությամբ կարող է դեֆորմացվել տարբեր ձևերի, ինչպես դա անում են այգում գտնվող երեխաների համար: Բայց դուք պետք է կտրեք գնդակը, որպեսզի այն ոլորեք բլիթ (կամ, երկրաչափական լեզվով ասած, տորուս), այլ ճանապարհ չկա: Եվ հակառակը՝ վերցրեք ռետինե բլիթ և փորձեք այն վերածել գնդիկի։ Այնուամենայնիվ, դա դեռ չի աշխատի: Ըստ իրենց տոպոլոգիական հատկությունների՝ գնդի և տորուսի մակերեսները անհամատեղելի են կամ ոչ հոմեոմորֆ։ Բայց առանց անցքերի ցանկացած մակերես (փակ մակերեսներ), ընդհակառակը, հոմեոմորֆ են և ընդունակ են դեֆորմացվել և վերածվել գնդիկի։

    Եթե ​​19-րդ դարում ամեն ինչ որոշված ​​էր ոլորտի և տորուսի երկչափ մակերևույթների վերաբերյալ, ապա շատ ավելի երկար ժամանակ պահանջվեց ավելի բազմաչափ դեպքերի համար: Սա, ըստ էության, Պուանկարեի ենթադրության էությունն է, որը օրինաչափությունը տարածում է բազմաչափ դեպքերի վրա։ Մի փոքր պարզեցնելով՝ Պուանկարեի ենթադրությունն ասում է. Յուրաքանչյուր պարզապես միացված փակ n-չափական բազմազանություն հոմեոմորֆ է n-չափ ոլորտի նկատմամբ: Զավեշտալի է, որ եռաչափ մակերեսներով տարբերակը ամենադժվարն է ստացվել։ 1960 թվականին վարկածն ապացուցվել է 5 և ավելի չափերի համար, 1981 թվականին՝ n=4։ Գայթակղության քարը հենց եռաչափությունն էր:

    Զարգացնելով 1980-ականներին նրանց կողմից առաջարկված Ուիլյամ Տրստենի և Ռիչարդ Համիլթոնի գաղափարները՝ Գրիգորի Պերելմանը կիրառեց հարթ էվոլյուցիայի հատուկ հավասարում եռաչափ մակերեսների վրա։ Եվ նա կարողացավ ցույց տալ, որ սկզբնական եռաչափ մակերեսը (եթե դրա մեջ չկան ընդհատումներ) անպայման կվերածվի եռաչափ գնդիկի (սա քառաչափ գնդակի մակերես է, և այն գոյություն ունի 4-չափ. տարածություն): Մի շարք փորձագետների կարծիքով՝ սա նոր սերնդի գաղափար էր, որի լուծումը նոր հորիզոններ է բացում մաթեմատիկական գիտության համար։

    Հետաքրքիր է, որ ինչ-ինչ պատճառներով ինքը՝ Պերելմանը, չի նեղվել իր որոշումը վերջնական փայլի հասցնելու համար։ 2002 թվականի նոյեմբերին Ռիչիի հոսքի և դրա երկրաչափական կիրառությունների էնտրոպիայի բանաձևում լուծումն ամբողջությամբ նկարագրելով՝ 2003 թվականի մարտին նա լրացրեց ապացույցը և ներկայացրեց այն նախնական տպագրության մեջ Ricci հոսքը երեք բազմաբնույթ վիրահատություններով, ինչպես նաև զեկուցեց. դասախոսությունների շարքի մեթոդի մասին, որը նա տվել է 2003 թվականին մի շարք բուհերի հրավերով։ Գրախոսներից ոչ ոք չկարողացավ սխալներ գտնել իր առաջարկած տարբերակում, բայց Պերելմանը չհրապարակեց գրախոսվող գիտական ​​հրապարակման մեջ (ինչը, մասնավորապես, անհրաժեշտ պայման էր Clay Mathematical Institute Prize-ը ստանալու համար): Բայց 2006 թվականին նրա մեթոդի հիման վրա թողարկվեց ապացույցների մի ամբողջ շարք, որտեղ ամերիկացի և չինացի մաթեմատիկոսները մանրամասն և ամբողջությամբ ուսումնասիրեցին խնդիրը, լրացրին Պերելմանի բաց թողած կետերը և տվեցին Պուանկարեի ենթադրության վերջնական ապացույցը:

14. Պուանկարեի ընդհանրացված ենթադրությունն ասում է.
    Ցանկացած n-ի համար n չափման ցանկացած բազմազանություն հոմոտոպիա է համարժեք n չափման ոլորտին, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այն հոմեոմորֆ է դրան:
    Պուանկարեի սկզբնական ենթադրությունը n = 3-ի ընդհանրացված ենթադրության հատուկ դեպք է:
    Պարզաբանման համար գնացեք անտառ՝ սունկ հավաքելու, Գրիգորի Պերելմանը գնում է այնտեղ)
15. Պուանկարեի վերադարձի թեորեմը էրգոդիկ տեսության հիմնական թեորեմներից է։ Դրա էությունը կայանում է նրանում, որ չափումների պահպանմամբ տարածության քարտեզագրման դեպքում գրեթե յուրաքանչյուր կետ կվերադառնա իր սկզբնական հարևանությանը: Թեորեմի ամբողջական ձևակերպումը հետևյալն է. 1.
    Թող լինի վերջավոր չափով տարածության չափապահպան փոխակերպում, և թող լինի չափելի բազմություն: Հետո ցանկացած բնականի համար
    .
    Այս թեորեմն ունի անսպասելի հետևանք՝ պարզվում է, որ եթե միջնորմով երկու բաժանմունքի բաժանված անոթում, որոնցից մեկը գազով է լցված, մյուսը՝ դատարկ, միջնորմը հանվում է, ապա որոշ ժամանակ անց գազի բոլոր մոլեկուլները կ կրկին հավաքեք նավի սկզբնական մասում: Այս պարադոքսի լուծումն այն է, որ որոշ ժամանակ միլիարդավոր տարիների կարգի է:
16. նա Կորեայում մորթված շների նման թեորեմներ ունի...

    տիեզերքը գնդաձև է... http://ru.wikipedia.org/wiki/Poincaré, _ Անրի

    Երեկ գիտնականները հայտարարեցին, որ տիեզերքը սառած նյութ է... ու սա ապացուցելու համար մեծ գումար խնդրեցին... էլի մերիկոսները տպարանը կմիացնեն... ձվի գլխիկների զվարճության համար...

17. Փորձեք ապացուցել, թե որտեղ է վեր ու վար զրոյական ձգողականության մեջ:
18. Երեկ մի հրաշալի ֆիլմ կար ՄՇԱԿՈՒՅԹԻ թեմայով, որտեղ մանրամասն բացատրված էր այս խնդիրը։ Գուցե դեռ ունե՞ն։

    http://video.yandex.ru/#search?text=РРР SR R РРРРР ССРРРwhere=allfilmId=36766495-03-12
    Մուտք գործեք Yandex և գրեք Ֆիլմ Պերելմանի մասին և գնացեք ֆիլմ

Գրիգորի Պերելման. մերժնիկ

Վասիլի Մաքսիմով

2006 թվականի օգոստոսին հայտարարվեցին մոլորակի լավագույն մաթեմատիկոսների անունները, ովքեր ստացան հեղինակավոր Fields Medal - Նոբելյան մրցանակի մի տեսակ անալոգ, որից մաթեմատիկոսները, Ալֆրեդ Նոբելի քմահաճույքից, զրկվեցին: Ֆիլդսի մեդալը, բացի պատվո նշանից, հաղթողներին շնորհվում է տասնհինգ հազար կանադական դոլարի չեկ, որը շնորհվում է Մաթեմատիկոսների միջազգային կոնգրեսի կողմից չորս տարին մեկ անգամ: Այն հիմնադրվել է կանադացի գիտնական Ջոն Չարլզ Ֆիլդսի կողմից և առաջին անգամ շնորհվել է 1936 թվականին։ 1950 թվականից ի վեր Ֆիլդսի մեդալը պարբերաբար շնորհվում է անձամբ Իսպանիայի թագավորի կողմից մաթեմատիկական գիտության զարգացման գործում ունեցած ավանդի համար։ Մրցանակակիրներ կարող են լինել մինչև քառասուն տարեկան մեկից չորս գիտնական: Մրցանակն արդեն ստացել է 44 մաթեմատիկոս, այդ թվում՝ ութ ռուս։

Գրիգորի Պերելման. Անրի Պուանկարե.

2006 թվականին դափնեկիրներն էին ֆրանսիացի Վենդելին Վերները, ավստրալացի Թերենս Տաոն և երկու ռուսներ՝ ԱՄՆ-ում աշխատող Անդրեյ Օկունկովը և Սանկտ Պետերբուրգից գիտնական Գրիգորի Պերելմանը։ Այնուամենայնիվ, վերջին պահին հայտնի դարձավ, որ Պերելմանը հրաժարվել է այս հեղինակավոր մրցանակից, ինչպես հայտարարեցին կազմակերպիչները՝ «սկզբունքային նկատառումներից ելնելով»։

Ռուս մաթեմատիկոսի նման շռայլ արարքը նրան ճանաչող մարդկանց համար անակնկալ չի եղել։ Սա առաջին անգամը չէ, որ նա հրաժարվում է մաթեմատիկական մրցանակներից՝ բացատրելով իր որոշումը նրանով, որ չի սիրում հանդիսավոր միջոցառումներն ու իր անվան շուրջ ավելորդ աղմուկը։ Տասը տարի առաջ՝ 1996 թվականին, Պերելմանը հրաժարվեց Եվրոպական մաթեմատիկական կոնգրեսի մրցանակից՝ պատճառաբանելով, որ չի ավարտել աշխատանքը մրցանակի առաջադրված գիտական ​​խնդրի շուրջ, և սա վերջին դեպքը չէր։ Ռուս մաթեմատիկոսը կարծես իր կյանքի նպատակն էր դարձրել զարմացնել մարդկանց՝ դեմ գնալով հասարակական կարծիքին և գիտական ​​հանրությանը:

Գրիգորի Յակովլևիչ Պերելմանը ծնվել է 1966 թվականի հունիսի 13-ին Լենինգրադում։ Երիտասարդ տարիքից նա սիրահար էր ճշգրիտ գիտություններին, փայլուն ավարտեց հանրահայտ 239-րդ միջնակարգ դպրոցը մաթեմատիկայի խորացված ուսումնասիրությամբ, շահեց բազմաթիվ մաթեմատիկական օլիմպիադաներ. օրինակ՝ 1982 թվականին խորհրդային դպրոցականների թիմի կազմում մասնակցել է. Բուդապեշտում կայացած մաթեմատիկական միջազգային օլիմպիադայում։ Առանց քննությունների Պերելմանը ընդունվել է Լենինգրադի համալսարանի մեխանիկա-մաթեմատիկայի ֆակուլտետ, որտեղ սովորել է գերազանց գնահատականներով՝ շարունակելով հաղթել մաթեմատիկական մրցույթներում բոլոր մակարդակներում։ Համալսարանը գերազանցությամբ ավարտելուց հետո ընդունվել է Ստեկլովի անվան մաթեմատիկական ինստիտուտի Սանկտ Պետերբուրգի մասնաճյուղի ասպիրանտուրան։ Նրա գիտական ​​ղեկավարն էր հայտնի մաթեմատիկոս ակադեմիկոս Ալեքսանդրովը։ Պաշտպանելով թեկնածուական թեզը՝ Գրիգորի Պերելմանը մնացել է ինստիտուտում՝ երկրաչափության և տոպոլոգիայի լաբորատորիայում։ Հայտնի է նրա աշխատանքը Ալեքսանդրովյան տարածությունների տեսության վերաբերյալ, նա կարողացել է ապացույցներ գտնել մի շարք կարևոր ենթադրությունների համար։ Չնայած արևմտյան առաջատար համալսարանների բազմաթիվ առաջարկներին՝ Պերելմանը նախընտրում է աշխատել Ռուսաստանում։

Նրա ամենաակնառու հաջողությունը 2002 թվականին Պուանկարեի հայտնի ենթադրության լուծումն էր, որը հրապարակվել է 1904 թվականին և այդ ժամանակից ի վեր մնացել է չապացուցված: Պերելմանը դրա վրա աշխատել է ութ տարի։ Պուանկարեի ենթադրությունը համարվում էր մաթեմատիկական ամենամեծ առեղծվածներից մեկը, և դրա լուծումը համարվում էր մաթեմատիկական գիտության ամենակարևոր ձեռքբերումը. այն անմիջապես կխթանի տիեզերքի ֆիզիկական և մաթեմատիկական հիմքերի խնդիրների հետազոտությունը: Մոլորակի ամենահայտնի մտքերը կանխագուշակեցին դրա լուծումը միայն մի քանի տասնամյակի ընթացքում, իսկ Մասաչուսեթսի Քեմբրիջի Քլայի մաթեմատիկայի ինստիտուտը Պուանկարեի խնդիրը ներառեց հազարամյակի ամենահետաքրքիր չլուծված մաթեմատիկական խնդիրների շարքում, որոնցից յուրաքանչյուրի լուծման համար։ խոստացվել է մեկ միլիոն դոլար մրցանակ (Հազարամյակի մրցանակի խնդիրներ):

Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Անրի Պուանկարեի (1854–1912) ենթադրությունը (երբեմն կոչվում է խնդիր) ձևակերպված է հետևյալ կերպ. ցանկացած փակ ուղղակի կապակցված եռաչափ տարածություն հոմեոմորֆ է եռաչափ ոլորտին։ Պարզաբանելու համար օգտագործեք հստակ օրինակ. եթե խնձորը փաթաթում եք ռետինե ժապավենով, ապա, սկզբունքորեն, ժապավենը սեղմելով, կարող եք խնձորը սեղմել մի կետի: Եթե ​​դուք փաթաթում եք բլիթը նույն ժապավենով, ապա չեք կարող այն սեղմել մինչև մի կետ, առանց պատռելու բլիթը կամ ռետինը: Այս համատեքստում խնձորը կոչվում է «պարզապես կապված» գործիչ, բայց բլիթը պարզապես միացված չէ: Գրեթե հարյուր տարի առաջ Պուանկարեն հաստատեց, որ երկչափ գունդը պարզապես միացված է, և առաջարկեց, որ եռաչափ գունդը նույնպես պարզապես միացված է: Աշխարհի լավագույն մաթեմատիկոսները չկարողացան ապացուցել այս վարկածը։

Clay Institute-ի մրցանակին արժանանալու համար Պերելմանը պետք է միայն հրապարակեր իր լուծումը գիտական ​​ամսագրերից մեկում, և եթե երկու տարվա ընթացքում ոչ ոք չկարողացավ սխալ գտնել նրա հաշվարկներում, ապա լուծումը ճիշտ կհամարվեր։ Սակայն Պերելմանը հենց սկզբից շեղվեց կանոններից՝ իր որոշումը հրապարակելով Լոս Ալամոսի գիտական ​​լաբորատորիայի նախատպային կայքում։ Երևի նա վախենում էր, որ իր հաշվարկների մեջ սխալ է մտել. նման պատմություն արդեն եղել էր մաթեմատիկայի մեջ։ 1994-ին անգլիացի մաթեմատիկոս Էնդրյու Ուայլսն առաջարկեց լուծում Ֆերմատի հայտնի թեորեմի համար, և մի քանի ամիս անց պարզվեց, որ սխալ է մտել նրա հաշվարկների մեջ (չնայած այն հետագայում ուղղվել է, և սենսացիան դեռ տեղի է ունեցել): Դեռևս չկա Պուանկարեի ենթադրության ապացույցի պաշտոնական հրապարակում, բայց կա մոլորակի լավագույն մաթեմատիկոսների հեղինակավոր կարծիքը, որը հաստատում է Պերելմանի հաշվարկների ճիշտությունը:

Ֆիլդսի մեդալը շնորհվել է Գրիգորի Պերելմանին հենց Պուանկարեի խնդիրը լուծելու համար։ Բայց ռուս գիտնականը հրաժարվել է մրցանակից, որին, անկասկած, արժանի է։ «Գրիգորին ասաց ինձ, որ իրեն մեկուսացված է զգում միջազգային մաթեմատիկական հանրությունից՝ այս համայնքից դուրս, և, հետևաբար, չի ցանկանում ստանալ մրցանակը», - ասաց անգլիացի Ջոն Բոլը՝ Մաթեմատիկոսների համաշխարհային միության (WUM) նախագահ։ Մադրիդ.

Խոսակցություններ կան, որ Գրիգորի Պերելմանը պատրաստվում է ընդհանրապես հեռանալ գիտությունից. վեց ամիս առաջ նա հեռացել է հայրենի Ստեկլովի անվան մաթեմատիկական ինստիտուտից, և ասում են, որ նա այլևս չի սովորի մաթեմատիկա։ Երևի ռուս գիտնականը կարծում է, որ ապացուցելով հայտնի վարկածը՝ նա արել է այն ամենը, ինչ կարող էր գիտության համար։ Բայց ո՞վ կձեռնարկի քննարկել այդպիսի վառ գիտնականի և արտասովոր մարդու մտքի գնացքը: Պերելմանը հրաժարվում է որևէ մեկնաբանությունից և The Daily Telegraph թերթին ասել է. Այնուամենայնիվ, առաջատար գիտական ​​հրապարակումները միակարծիք էին իրենց գնահատականներում, երբ հայտնում էին, որ «Գրիգորի Պերելմանը, լուծելով Պուանկարեի թեորեմը, կանգնած էր անցյալի և ներկայի մեծագույն հանճարների հետ»:

Ամսական գրական և լրագրողական հանդես և հրատարակչություն։

Գիտնականները կարծում են, որ 38-ամյա ռուս մաթեմատիկոս Գրիգորի Պերելմանը առաջարկել է Պուանկարեի խնդրի ճիշտ լուծումը։ Այս մասին Սթենֆորդի համալսարանի մաթեմատիկայի պրոֆեսոր Քիթ Դևլինն ասել է Էքսեթեր (Մեծ Բրիտանիա) գիտության փառատոնի ժամանակ։

Պուանկարեի խնդիրը (նաև կոչվում է խնդիր կամ վարկած) մաթեմատիկական յոթ կարևորագույն խնդիրներից մեկն է, որոնցից յուրաքանչյուրի լուծման համար նա շնորհել է մեկ միլիոն դոլար մրցանակ։ Ահա թե ինչն է մեծ ուշադրություն գրավել մաթեմատիկական ֆիզիկայի լաբորատորիայի աշխատակից Գրիգորի Պերելմանի ստացած արդյունքների վրա։

Աշխարհի գիտնականները Պերելմանի նվաճումների մասին իմացան երկու նախնական տպագրություններից (լիարժեք գիտական ​​հրապարակմանը նախորդող հոդվածներ), որոնք հեղինակը տեղադրեց 2002 թվականի նոյեմբերին և 2003 թվականի մարտին Լոս Ալամոսի գիտական ​​լաբորատորիայի նախնական աշխատանքների արխիվի կայքում:

Clay ինստիտուտի գիտական ​​խորհրդատվական խորհրդի կողմից ընդունված կանոնների համաձայն՝ նոր վարկածը պետք է հրապարակվի «միջազգային հեղինակություն» մասնագիտացված ամսագրում։ Բացի այդ, ինստիտուտի կանոնների համաձայն, մրցանակը վճարելու որոշումը, ի վերջո, կայացնում է «մաթեմատիկական հանրությունը». ապացույցը չպետք է հերքվի հրապարակումից հետո երկու տարվա ընթացքում։ Յուրաքանչյուր ապացույց ստուգվում է աշխարհի տարբեր երկրների մաթեմատիկոսների կողմից։

Պուանկարեի խնդիր

Ծնվել է 1966 թվականի հունիսի 13-ին Լենինգրադում, աշխատողների ընտանիքում։ Ավարտել է թիվ 239 հանրահայտ միջնակարգ դպրոցը՝ մաթեմատիկայի խորացված ուսումնասիրությամբ։ 1982 թվականին խորհրդային դպրոցականների թիմի կազմում մասնակցել է Բուդապեշտում անցկացված մաթեմատիկական միջազգային օլիմպիադային։ Առանց քննությունների ընդունվել է Լենինգրադի պետական ​​համալսարանի մաթեմատիկա և մեխանիկա: Նա հաղթել է պրոֆեսորադասախոսական կազմի, քաղաքային և համամիութենական ուսանողական մաթեմատիկական օլիմպիադաներում։ Ստացել է Լենինի անվան կրթաթոշակ։ Համալսարանն ավարտելուց հետո Պերելմանը ընդունվել է Ստեկլովի անվան մաթեմատիկական ինստիտուտի Սանկտ Պետերբուրգի մասնաճյուղի ասպիրանտուրան։ ֆիզիկամաթեմատիկական գիտությունների թեկնածու։ Աշխատում է մաթեմատիկական ֆիզիկայի լաբորատորիայում։

Պուանկարեի խնդիրը վերաբերում է, այսպես կոչված, բազմազանության տոպոլոգիայի տարածքին՝ հատուկ ձևով դասավորված տարածություններ, որոնք ունեն տարբեր չափսեր: Երկչափ բազմազանությունը կարելի է պատկերացնել, օրինակ՝ օգտագործելով եռաչափ մարմինների մակերևույթի օրինակը՝ գունդ (գնդիկի մակերես) կամ տորուս (բլիթների մակերես):

Հեշտ է պատկերացնել, թե ինչ կլինի օդապարիկի հետ, եթե այն դեֆորմացվի (ճկվել, ոլորվել, քաշվել, սեղմվել, սեղմվել, փչվել կամ փքվել): Հասկանալի է, որ վերը նշված բոլոր դեֆորմացիաների դեպքում գնդակը կփոխի իր ձևը լայն տիրույթում: Այնուամենայնիվ, մենք երբեք չենք կարողանա գնդակը վերածել բլիթ (կամ հակառակը)՝ չխախտելով դրա մակերեսի շարունակականությունը, այսինքն՝ առանց այն պոկելու։ Այս դեպքում տոպոլոգներն ասում են, որ գունդը (գնդակը) տորուսին (բլիթ) ոչ հոմեոմորֆ է։ Սա նշանակում է, որ այս մակերեսները չեն կարող քարտեզագրվել միմյանց հետ: Պարզ ասած, գունդը և տորսը տարբերվում են իրենց տոպոլոգիական հատկություններով։ Իսկ օդապարիկի մակերեսը, իր բոլոր հնարավոր դեֆորմացիաների ներքո, հոմեոմորֆ է գնդերի նկատմամբ, ինչպես փրկարարի մակերեսը՝ տորուսին։ Այլ կերպ ասած, ցանկացած փակ երկչափ մակերես, որը չունի անցքեր, ունի նույն տոպոլոգիական հատկությունները, ինչ երկչափ գունդը:

ՏՈՊՈԼՈԳԻԱ, մաթեմատիկայի ճյուղ, որը զբաղվում է պատկերների (կամ տարածությունների) հատկությունների ուսումնասիրությամբ, որոնք պահպանվում են շարունակական դեֆորմացիաների դեպքում, ինչպիսիք են ձգվելը, սեղմելը կամ ճկվելը։ Շարունակական դեֆորմացիան այն գործչի դեֆորմացիան է, որում չկան կոտրվածքներ (այսինքն՝ պատկերի ամբողջականության խախտում) կամ սոսնձում (այսինքն՝ դրա կետերի նույնականացում):
Մեկ երկրաչափական պատկերի ՏՈՊՈԼՈԳԻԱԿԱՆ ՓՈՓՈԽՈՒՄԸ մեկ այլ պատկերի P կամայական կետի քարտեզագրումն է մեկ այլ պատկերի P' կետին, որը բավարարում է հետևյալ պայմաններին. երկրորդ նկարի P' կետը և հակառակը; 2) Քարտեզագրումը պետք է լինի փոխադարձ շարունակական. Օրինակ, կան երկու P և N կետեր, որոնք պատկանում են նույն պատկերին: Եթե, երբ P կետը շարժվում է դեպի N կետ, նրանց միջև հեռավորությունը ձգտում է զրոյի, ապա մեկ այլ պատկերի P' և N' կետերի միջև հեռավորությունը նույնպես պետք է ձգվի զրոյի և հակառակը:
ՀՈՄԵՈՄՈՐՖԻԶՄ. Երկրաչափական պատկերները, որոնք տոպոլոգիական փոխակերպումների ժամանակ փոխակերպվում են միմյանց, կոչվում են հոմեոմորֆ։ Շրջանակը և քառակուսու սահմանը հոմեոմորֆ են, քանի որ դրանք կարող են փոխակերպվել միմյանց տոպոլոգիական փոխակերպման միջոցով (այսինքն՝ ճկվելով և ձգվելով՝ առանց ճեղքվելու կամ սոսնձվելու, օրինակ՝ քառակուսու սահմանը ձգելով նրա շուրջը շրջագծված շրջանի վրա) . Տարածքը, որտեղ ցանկացած փակ պարզ (այսինքն՝ շրջանագծի նկատմամբ հոմեոմորֆ) կորը կարող է կծկվել մի կետի վրա, մինչդեռ մշտապես մնալով այս շրջանում, կոչվում է պարզապես միացված, իսկ շրջանի համապատասխան հատկությունը պարզապես միացված է: Եթե ​​այս շրջանի ինչ-որ փակ պարզ կորը չի կարող կծկվել մի կետի վրա՝ անընդհատ մնալով այս տարածաշրջանում, ապա շրջանը կոչվում է բազմապատկված միացված, իսկ տարածաշրջանի համապատասխան հատկությունը՝ բազմապատկված միացված։

Պուանկարեի խնդիրը նույնն է ասում եռաչափ բազմազանության համար (երկչափ բազմազանության համար, ինչպիսին է գունդը, այս կետն ապացուցվել է դեռևս 19-րդ դարում)։ Ինչպես նշել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոսը, երկչափ ոլորտի կարևորագույն հատկություններից մեկն այն է, որ դրա վրա ընկած ցանկացած փակ օղակ (օրինակ՝ լասո) կարող է քաշվել մինչև մեկ կետ՝ առանց մակերեսից դուրս գալու։ Տորուսի համար դա միշտ չէ, որ ճիշտ է. նրա անցքից անցնող օղակը կքաշվի մինչև մի կետ, երբ տորուսը կոտրվում է, կամ երբ հանգույցն ինքնին կոտրվում է: 1904 թվականին Պուանկարեն առաջարկեց, որ եթե օղակը կարող է կծկվել փակ եռաչափ մակերեսի մի կետի վրա, ապա այդպիսի մակերեսը հոմեոմորֆ է եռաչափ գնդերի նկատմամբ։ Այս վարկածն ապացուցելը չափազանց բարդ խնդիր էր։

Անմիջապես պարզաբանենք՝ մեր նշած Պուանկարեի խնդրի ձևակերպումն ամենևին էլ խոսում է ոչ թե եռաչափ գնդակի մասին, որը մենք կարող ենք առանց մեծ դժվարության պատկերացնել, այլ եռաչափ ոլորտի, այսինքն՝ քառակի մակերեսի մասին։ - ծավալային գնդակ, որը շատ ավելի դժվար է պատկերացնել: Բայց 1950-ականների վերջերին հանկարծ պարզ դարձավ, որ բարձրաչափ բազմաբնույթների հետ աշխատելը շատ ավելի հեշտ է, քան եռաչափ և քառաչափ: Ակնհայտ է, որ պարզության բացակայությունը հեռու է այն հիմնական դժվարությունից, որին բախվում են մաթեմատիկոսները իրենց հետազոտության մեջ:

5 և ավելի չափերի համար Պուանկարեի խնդրին նման խնդիր լուծվեց 1960 թվականին Սթիվեն Սմայլի, Ջոն Սթալինգսի և Էնդրյու Ուոլեսի կողմից։ Այս գիտնականների կիրառած մոտեցումները, սակայն, պարզվեց, որ անկիրառելի են քառաչափ բազմազանության համար։ Նրանց համար Պուանկարեի խնդիրն ապացուցվել է միայն 1981 թվականին Մայքլ Ֆրիդմանի կողմից։ Եռաչափ գործը ամենադժվարն էր. Գրիգորի Պերելմանը առաջարկում է իր լուծումը.

Նշենք, որ Պերելմանը մրցակից ունի. 2002 թվականի ապրիլին Սաութհեմփթոնի բրիտանական համալսարանի մաթեմատիկայի պրոֆեսոր Մարտին Դանվուդին առաջարկեց Պուանկարեի խնդիրը լուծելու իր մեթոդը և այժմ սպասում է Քլայի ինստիտուտի դատավճռին։

Մասնագետները կարծում են, որ Պուանկարեի խնդրի լուծումը թույլ կտա լուրջ քայլ կատարել բարդ եռաչափ օբյեկտներում ֆիզիկական գործընթացների մաթեմատիկական նկարագրության մեջ և նոր խթան կհաղորդի համակարգչային տոպոլոգիայի զարգացմանը։ Գրիգորի Պերելմանի առաջարկած մեթոդը կհանգեցնի երկրաչափության և տոպոլոգիայի նոր ուղղության բացմանը։ Սանկտ Պետերբուրգի մաթեմատիկոսը կարող է որակավորվել Ֆիլդսի մրցանակին (նոբելյան մրցանակի անալոգը, որը չի շնորհվում մաթեմատիկայի բնագավառում):

Մինչդեռ ոմանք տարօրինակ են համարում Գրիգորի Պերելմանի պահվածքը։ Ահա թե ինչ է գրում բրիտանական The Guardian-ը. «Ամենայն հավանականությամբ, Պերելմանի մոտեցումը Պուանկարեի խնդրի լուծման հարցում ճիշտ է: Բայց ամեն ինչ այդքան պարզ չէ: Պերելմանը ապացույցներ չի ներկայացնում, որ աշխատությունը հրատարակվել է որպես լիարժեք գիտական ​​հրատարակություն (նախատպ. այդպիսին չեն համարվում):Իսկ դա անհրաժեշտ է, եթե մարդ ցանկանում է մրցանակ ստանալ Clay Institute-ից, բացի այդ, նա ընդհանրապես հետաքրքրություն չի ցուցաբերում փողի նկատմամբ»:

Ըստ երեւույթին, Գրիգորի Պերելմանի, ինչպես իսկական գիտնականի համար փողը գլխավորը չէ։ Այսպես կոչված «հազարամյակի խնդիրներից» որևէ մեկը լուծելու համար իսկական մաթեմատիկոսն իր հոգին կվաճառի սատանային:

Հազարամյակի ցուցակ

1900 թվականի օգոստոսի 8-ին Փարիզում կայացած Մաթեմատիկայի միջազգային կոնգրեսում մաթեմատիկոս Դեյվիդ Հիլբերտը ուրվագծեց խնդիրների ցանկը, որոնք, իր կարծիքով, պետք է լուծվեն քսաներորդ դարում: Ցուցակում կար 23 կետ։ Դրանցից քսանմեկը մինչ այժմ լուծվել է։ Հիլբերտի ցուցակի վերջին խնդիրը, որը պետք է լուծվեր, Ֆերմայի հայտնի թեորեմն էր, որը գիտնականները չէին կարողանում լուծել 358 տարի։ 1994 թվականին բրիտանացի Էնդրյու Ուայլսն առաջարկեց իր լուծումը։ Պարզվեց, որ դա ճիշտ է.

Գիլբերտի օրինակով անցյալ դարի վերջում շատ մաթեմատիկոսներ փորձեցին ձևակերպել 21-րդ դարի համար նմանատիպ ռազմավարական առաջադրանքներ։ Այս ցուցակներից մեկը լայնորեն հայտնի դարձավ բոստոնցի միլիարդատեր Լենդոն Թ.Քլեյի շնորհիվ։ 1998 թվականին նրա միջոցներով Քեմբրիջում (Մասաչուսեթս, ԱՄՆ) հիմնադրվել և սահմանվել են մրցանակներ՝ ժամանակակից մաթեմատիկայի մի շարք կարևորագույն խնդիրների լուծման համար։ 2000 թվականի մայիսի 24-ին ինստիտուտի փորձագետներն ընտրեցին յոթ խնդիր՝ ըստ մրցանակի համար հատկացված միլիոնավոր դոլարների։ Ցանկը կոչվում է «Հազարամյակի մրցանակի խնդիրներ».

1. Կուկի խնդիրը (ձևակերպվել է 1971 թ.)

Ենթադրենք, դուք, լինելով մեծ ընկերությունում, ցանկանում եք համոզվել, որ ձեր ընկերն էլ է այնտեղ։ Եթե ​​ձեզ ասեն, որ նա նստած է անկյունում, ապա վայրկյանը կբավականացնի, որպեսզի մի հայացք գցեք ու համոզվեք տեղեկատվության իսկության մեջ։ Առանց այս տեղեկատվության, դուք ստիպված կլինեք շրջել ամբողջ սենյակով, նայելով հյուրերին: Սա հուշում է, որ խնդրի լուծումը հաճախ ավելի երկար է տևում, քան լուծման ճիշտությունը ստուգելը։

Սթիվեն Քուքը ձևակերպեց խնդիրը. կարո՞ղ է խնդրի լուծման ճիշտության ստուգումը ավելի երկար տևել, քան ինքնին լուծումը ստանալը, անկախ ստուգման ալգորիթմից: Այս խնդիրը նույնպես տրամաբանության և համակարգչային գիտության ոլորտում չլուծված խնդիրներից է։ Դրա լուծումը կարող է հեղափոխել գաղտնագրության հիմունքները, որոնք օգտագործվում են տվյալների փոխանցման և պահպանման մեջ:

2. Ռիմանի վարկածը (ձևակերպվել է 1859 թ.)

Որոշ ամբողջ թվեր չեն կարող արտահայտվել որպես երկու փոքր ամբողջ թվերի արտադրյալ, օրինակ՝ 2, 3, 5, 7 և այլն։ Նման թվերը կոչվում են պարզ թվեր և կարևոր դեր են խաղում մաքուր մաթեմատիկայի և դրա կիրառության մեջ։ Պարզ թվերի բաշխումը բոլոր բնական թվերի շարքերի միջև չի հետևում որևէ օրինաչափության։ Այնուամենայնիվ, գերմանացի մաթեմատիկոս Ռիմանը ենթադրություն արեց պարզ թվերի հաջորդականության հատկությունների վերաբերյալ։ Եթե ​​Ռիմանի վարկածն ապացուցվի, դա կհանգեցնի գաղտնագրման մասին մեր գիտելիքների հեղափոխական փոփոխության և ինտերնետի անվտանգության աննախադեպ առաջընթացի:

3. Բիրչի և Սվիներթոն-Դայերի վարկածը (ձևակերպվել է 1960 թ.)

Կապված է ամբողջ թվային գործակիցներով մի քանի փոփոխականներում որոշ հանրահաշվական հավասարումների լուծումների բազմության նկարագրության հետ: Նման հավասարման օրինակ է x 2 + y 2 = z 2 արտահայտությունը: Էվկլիդեսը տվել է այս հավասարման լուծումների ամբողջական նկարագրությունը, սակայն ավելի բարդ հավասարումների դեպքում լուծումներ գտնելը չափազանց դժվար է դառնում։

4. Հոջի վարկածը (ձևակերպվել է 1941 թ.)

20-րդ դարում մաթեմատիկոսները հայտնաբերեցին բարդ առարկաների ձևն ուսումնասիրելու հզոր մեթոդ։ Հիմնական գաղափարն այն է, որ առարկայի փոխարեն օգտագործել պարզ «աղյուսներ», որոնք սոսնձված են իրար և ձևավորում են դրա նմանությունը: Հոջի վարկածը կապված է որոշ ենթադրությունների հետ՝ կապված նման «շինանյութերի» և օբյեկտների հատկությունների հետ:

5. Նավիե - Սթոքսի հավասարումներ (ձևակերպված 1822 թ.)

Եթե ​​նավով նավարկեք լճի վրա, ալիքներ կբարձրանան, իսկ եթե թռչեք ինքնաթիռով, օդում բուռն հոսանքներ կառաջանան։ Ենթադրվում է, որ այս և այլ երևույթները նկարագրվում են Նավիեր-Սթոքսի հավասարումներ անունով հայտնի հավասարումներով։ Այս հավասարումների լուծումներն անհայտ են, և նույնիսկ հայտնի չէ, թե ինչպես կարելի է դրանք լուծել։ Պետք է ցույց տալ, որ լուծումը գոյություն ունի և բավականաչափ հարթ ֆունկցիա է։ Այս խնդրի լուծումը զգալիորեն կփոխի հիդրոդինամիկական հաշվարկների իրականացման մեթոդները։

6. Պուանկարեի խնդիրը (ձևակերպվել է 1904 թ.)

Եթե ​​դուք ռետինե ժապավեն եք քաշում խնձորի վրա, կարող եք, դանդաղ շարժելով ժապավենը, առանց այն մակերեսից բարձրացնելու, սեղմել այն մինչև մի կետ: Մյուս կողմից, եթե նույն ռետինե ժապավենը հարմար կերպով ձգվում է բլիթը, ապա ոչ մի կերպ հնարավոր չէ սեղմել ժապավենը առանց ժապավենը պատռելու կամ բլիթը կոտրելու: Ասում են՝ խնձորի մակերեսը ուղղակի միացված է, իսկ բլիթը՝ ոչ։ Պարզվեց, որ այնքան դժվար է ապացուցել, որ միայն ոլորտն է ուղղակի միացված, որ մաթեմատիկոսները դեռ փնտրում են ճիշտ պատասխանը։

7. Յանգ-Միլսի հավասարումներ (ձևակերպված 1954 թ.)

Քվանտային ֆիզիկայի հավասարումները նկարագրում են տարրական մասնիկների աշխարհը։ Ֆիզիկոսներ Յանգը և Միլսը, բացահայտելով երկրաչափության և մասնիկների ֆիզիկայի կապը, գրեցին իրենց հավասարումները։ Այսպիսով, նրանք գտան էլեկտրամագնիսական, թույլ և ուժեղ փոխազդեցությունների տեսությունները միավորելու միջոց։ Յանգ-Միլսի հավասարումները ենթադրում էին մասնիկների առկայություն, որոնք իրականում նկատվում էին լաբորատորիաներում ամբողջ աշխարհում, ուստի Յանգ-Միլսի տեսությունն ընդունվում է ֆիզիկոսների մեծ մասի կողմից, չնայած այն հանգամանքին, որ այս տեսության շրջանակներում դեռևս հնարավոր չէ կանխատեսել տարրական մասնիկների զանգվածներ.

Միխայիլ Վիտեբսկի

«Խնդիրը, որը լուծվեց Պերելման,ֆրանսիացի մեծ մաթեմատիկոսի կողմից 1904 թվականին առաջ քաշված վարկածն ապացուցելու պահանջն է Անրի Պուանկարե(1854-1912) եւ կրելով իր անունը։ Դժվար է ավելի լավ ասել Պուանկարեի դերի մասին մաթեմատիկայի մեջ, քան արված է հանրագիտարանում. նոր մաթեմատիկայի, որտեղ քանակական հարաբերությունների հետ մեկտեղ հաստատվում են փաստեր, որոնք ունեն որակական բնույթ» (TSB, 3rd ed., vol. 2): Պուանկարեի ենթադրությունը հենց որակական բնույթ է կրում, ինչպես մաթեմատիկայի ողջ ոլորտը (մասնավորապես՝ տոպոլոգիան), որին վերաբերում է, և որի ստեղծման գործում Պուանկարեն որոշիչ դեր է ունեցել։

Ժամանակակից լեզվով Պուանկարեի ենթադրությունը հնչում է այսպես. յուրաքանչյուր պարզապես միացված կոմպակտ եռաչափ բազմազանություն, առանց սահմանի, հոմեոմորֆ է եռաչափ ոլորտին:

Հաջորդ պարբերություններում մենք կփորձենք գոնե մասամբ և շատ կոպիտ բացատրել այս սարսափելի բանավոր բանաձեւի իմաստը։ Սկզբից մենք նշում ենք, որ սովորական գունդը, որը սովորական գնդակի մակերեսն է, երկչափ է (իսկ գնդակն ինքնին եռաչափ է)։ Երկչափ գունդը բաղկացած է եռաչափ տարածության բոլոր կետերից, որոնք հավասար հեռավորության վրա են գտնվում որոշ ընտրված կետից, որը կոչվում է կենտրոն, որը չի պատկանում ոլորտին։ Եռաչափ գունդը բաղկացած է քառաչափ տարածության բոլոր կետերից, որոնք հավասար են նրա կենտրոնից (որը չի պատկանում ոլորտին): Ի տարբերություն երկչափ գնդերի՝ եռաչափ գնդերի անհասանելիմեր անմիջական դիտարկումը, և մեզ համար նույնքան դժվար է պատկերացնել դրանք, որքան Վասիլի Իվանովիչի համար պատկերացնել քառակուսի եռանկյունը հայտնի կատակից։ Հնարավոր է, սակայն, որ մենք բոլորս գտնվում ենք եռաչափ ոլորտում, այսինքն՝ մեր Տիեզերքը եռաչափ գունդ է։

Սա է արդյունքի իմաստը Պերելմանֆիզիկայի և աստղագիտության համար։ «Պարզապես միացված կոմպակտ եռաչափ բազմազանություն առանց եզրի» տերմինը պարունակում է ցուցումներ մեր Տիեզերքի ենթադրյալ հատկությունների մասին: «Հոմեոմորֆ» տերմինը նշանակում է նմանության որոշակի բարձր աստիճան, որոշակի իմաստով՝ անտարբերելիություն։ Հետևաբար, ձևակերպումն ամբողջությամբ նշանակում է, որ եթե մեր Տիեզերքն ունի ուղղակի միացված կոմպակտ եռաչափ բազմազանության բոլոր հատկությունները առանց եզրի, ապա այն նույն «հայտնի իմաստով» եռաչափ գունդ է:

Պարզապես կապվածության հասկացությունը բավականին պարզ հասկացություն է: Պատկերացնենք ռետինե ժապավենը (այսինքն՝ սոսնձված ծայրերով ռետինե թել) այնքան առաձգական, որ եթե չբռնես, այն կծկվի մինչև մի կետ։ Մենք նաև կպահանջենք մեր առաձգական ժապավենից, որ երբ այն ձգվում է մինչև մի կետ, այն չտարածվի այն մակերեսից այն կողմ, որի վրա մենք այն տեղադրել ենք: Եթե ​​նման առաձգական ժապավենը ձգենք հարթության վրա և բաց թողնենք, այն անմիջապես կծկվի մինչև մի կետ: Նույնը տեղի կունենա, եթե առաձգական ժապավեն դնենք գլոբուսի մակերեսին, այսինքն՝ գնդիկի վրա։ Փրկարար սարքի մակերևույթի համար իրավիճակը բոլորովին այլ կլինի. բարի ընթերցողը հեշտությամբ կգտնի առաձգականի այնպիսի դասավորություններ այս մակերևույթի վրա, որոնցում անհնար է առաձգականը քաշել մի կետ՝ առանց խնդրո առարկա մակերեսից այն կողմ անցնելու: Երկրաչափական պատկերը կոչվում է պարզապես միացված, եթե որևէ փակ եզրագիծ, որը գտնվում է այս գործչի սահմաններում, կարող է կծկվել մինչև մի կետ՝ չանցնելով նշված սահմաններից: Մենք հենց նոր տեսանք, որ հարթությունն ու գունդը պարզապես միացված են, բայց փրկարարի մակերեսը պարզապես միացված չէ։ Անցքով կտրված ինքնաթիռը նույնպես պարզապես միացված չէ։ Պարզապես կապվածության հայեցակարգը վերաբերում է նաև եռաչափ պատկերներին: Այսպիսով, խորանարդը և գնդակը պարզապես միացված են. ցանկացած փակ եզրագիծ, որը գտնվում է դրանց հաստությամբ, կարող է կծկվել մինչև մի կետ, և կծկման գործընթացում ուրվագիծը միշտ կմնա այս հաստությամբ: Բայց թխուկը պարզապես միացված չէ. դրա մեջ կարելի է գտնել մի եզրագիծ, որը չի կարող կծկվել մի կետի վրա, որպեսզի կծկման ընթացքում եզրագիծը միշտ լինի թխվածքաբլիթի խմորի մեջ։ Փետզելը նույնպես միաձույլ չէ։ Կարելի է ապացուցել, որ եռաչափ ոլորտը ուղղակի միացված է։

Հուսով ենք, որ ընթերցողը չի մոռացել հատվածի և միջակայքի տարբերությունը, որը դասավանդվում է դպրոցում: Հատվածն ունի երկու ծայր, այն բաղկացած է այս ծայրերից և նրանց միջև գտնվող բոլոր կետերից: Ինտերվալը բաղկացած է միայն նրա ծայրերի միջև գտնվող բոլոր կետերից, իսկ ծայրերն իրենք ներառված չեն միջակայքում. կարող ենք ասել, որ ինտերվալը այն հատվածն է, որի ծայրերը հանվում են դրանից, իսկ հատվածը մի ընդմիջում է, որի ծայրերը ավելացված են: այն. Ինտերվալը և հատվածը միաչափ բազմազանության ամենապարզ օրինակներն են, որտեղ ինտերվալը բազմապատիկ է առանց եզրի, իսկ հատվածը՝ ծայրով բազմապատիկ; եզրը հատվածի դեպքում բաղկացած է երկու ծայրից: Կոմպլեկտորների հիմնական հատկությունը, որի հիմքում ընկած է դրանց սահմանումը, այն է, որ բազմազանության մեջ բոլոր կետերի հարևանությունները, բացառությամբ եզրի կետերի (որոնք կարող են չլինել), դասավորված են ճիշտ նույն ձևով:

Այս դեպքում, A կետի հարևանությունը A կետի մոտ գտնվող բոլոր կետերի հավաքածուն է: Մանրադիտակային արարածը, որն ապրում է բազմաբնույթ առանց եզրի մեջ և ունակ է տեսնել միայն իրեն ամենամոտ գտնվող այս բազմազանության կետերը, ի վիճակի չէ որոշեք, թե որ կետում է այն գտնվում, լինելը. իր շուրջը միշտ նույն բանն է տեսնում: Առանց ծայրամասային միաչափ բազմազանության ավելի շատ օրինակներ՝ ամբողջ ուղիղ գիծ, ​​շրջան: Միաչափ գործչի օրինակը, որը բազմապատիկ չէ, T տառի ձևով գիծ է. կա հատուկ կետ, որի հարևանությունը նման չէ այլ կետերի հարևանությանը. սա այն կետն է, որտեղ երեքը. հատվածները հանդիպում են. Միաչափ բազմազանության մեկ այլ օրինակ է ութ գիծը. Չորս գիծ այստեղ միանում են հատուկ կետում: Ինքնաթիռը, գունդը և փրկարար ապարատի մակերեսը առանց եզրի երկչափ բազմազանության օրինակներ են։ Ինքնաթիռը, որի վրա անցք է կտրված, կլինի նաև բազմաբնույթ, բայց ծայրով կամ առանց եզրի, դա կախված է նրանից, թե որտեղ ենք տեղադրում անցքի ուրվագիծը: Եթե ​​այն ուղղենք փոսին, ապա կստացվի առանց եզրի կոլեկտոր; եթե ուրվագիծը թողնենք հարթության վրա, կստանանք ծայրով բազմապատիկ, ինչին կծառայի այս ուրվագիծը։ Իհարկե, մենք այստեղ նկատի ունեինք իդեալական մաթեմատիկական կտրում, իսկ իրական ֆիզիկական կտրում մկրատով, այն հարցը, թե որտեղ է եզրագիծը, իմաստ չունի:

Մի քանի խոսք եռաչափ բազմազանության մասին. Գունդը, իր մակերեսը ծառայող գնդիկի հետ միասին, ծայրով բազմապատիկ է. նշված ոլորտը հենց այս եզրն է։ Եթե ​​այս գնդակը հեռացնենք շրջապատող տարածությունից, ապա կստացվի առանց եզրի բազմազանություն։ Եթե ​​մենք կլպենք գնդակի մակերեսը, կստանանք այն, ինչ մաթեմատիկական ժարգոնով կոչվում է «ավազով գնդիկ», իսկ ավելի գիտական ​​լեզվով՝ բաց գնդակ: Եթե ​​շրջապատող տարածությունից հանենք բաց գունդը, ապա կստանանք ծայրով բազմապատիկ, և եզրը կլինի հենց այն գունդը, որը մենք պոկեցինք գնդակից։ Բագելն իր կեղևի հետ միասին եռաչափ եզերք է, և եթե կեղևը պոկեք (որին վերաբերվում ենք որպես անսահման բարակ, այսինքն՝ որպես մակերես), ապա ստանում ենք առանց եզրի բազմապատիկ։ «ավազով մշակված թխվածքաբլիթի» ձևը: Ամբողջ տարածությունը որպես ամբողջություն, եթե մենք դա հասկանանք այնպես, ինչպես հասկացվում է ավագ դպրոցում, եռաչափ բազմազանություն է առանց եզրի:

Կոմպակտության մաթեմատիկական հայեցակարգը մասամբ արտացոլում է այն իմաստը, որը «կոմպակտ» բառն ունի առօրյա ռուսերենում՝ «մոտ», «սեղմված»: Երկրաչափական պատկերը կոչվում է կոմպակտ, եթե նրա անսահման թվով կետերի ցանկացած դասավորության դեպքում դրանք կուտակվում են միևնույն պատկերի կետերից մեկում կամ շատ կետերում: Հատվածը կոմպակտ է. հատվածում նրա կետերի ցանկացած անսահման բազմության համար կա առնվազն մեկ, այսպես կոչված, սահմանային կետ, որի ցանկացած հարևանություն պարունակում է դիտարկվող բազմության անսահման շատ տարրեր: Ինտերվալը կոմպակտ չէ. դուք կարող եք նշել դրա կետերի մի շարք, որոնք կուտակվում են դեպի վերջ, և միայն դեպի այն, բայց վերջը չի պատկանում միջակայքին:

Տեղի սղության պատճառով կսահմանափակվենք այս մեկնաբանությամբ։ Պարզապես ասենք, որ մեր դիտարկած օրինակներից կոմպակտներն են հատվածը, շրջանը, գունդը, թխվածքաբլիթի և փետելի մակերևույթները, գնդիկը (իր գնդիկի հետ միասին), թխվածքաբլիթն ու կոտլետը (հետ միասին. նրա կեղևները): Ի հակադրություն, ինտերվալը, ինքնաթիռը, ավազացված գնդակը, բագելը և պրեզելը կոմպակտ չեն: Եռաչափ կոմպակտ երկրաչափական ֆիգուրներից՝ առանց եզրի, ամենապարզը եռաչափ գունդն է, բայց այդպիսի ֆիգուրները չեն տեղավորվում մեր սովորական «դպրոցական» տարածության մեջ։ Թերևս ամենախորը այն հասկացություններից, որոնք կապված են վարկածի հետ Poincare, հոմեոմորֆի հասկացությունն է։ Հոմոմորֆիան երկրաչափական նույնականության ամենաբարձր մակարդակն է . Այժմ մենք կփորձենք մոտավոր բացատրություն տալ այս հասկացությանը՝ աստիճանաբար մոտենալով դրան։

Արդեն դպրոցական երկրաչափության մեջ մենք հանդիպում ենք նույնականության երկու տեսակի՝ թվերի համընկնումն ու նմանությունը։ Հիշեցնենք, որ թվերը կոչվում են համահունչ, եթե դրանք համընկնում են միմյանց հետ, երբ վերադրվում են: Դպրոցում համընկնող գործիչները կարծես թե չեն տարբերվում, ուստի համահունչությունը կոչվում է հավասարություն: Համապատասխան թվերն իրենց բոլոր մանրամասներով ունեն նույն չափերը: Նմանությունը, առանց նույն չափի պահանջելու, նշանակում է այս չափերի նույն համամասնությունները. հետևաբար, նմանությունն արտացոլում է թվերի ավելի էական նմանություն, քան համընկնում:Երկրաչափությունը ընդհանուր առմամբ աբստրակցիայի ավելի բարձր մակարդակ է, քան ֆիզիկան, իսկ ֆիզիկան ավելի բարձր է, քան նյութագիտությունը:

Օրինակ վերցրեք գնդիկավորը, բիլիարդի գնդակը, կրոկետի գնդակը և գնդակը: Ֆիզիկան չի խորանում այնպիսի մանրամասների մեջ, ինչպիսին է այն նյութը, որից դրանք պատրաստված են, այլ հետաքրքրված են միայն այնպիսի հատկություններով, ինչպիսիք են ծավալը, քաշը, էլեկտրական հաղորդունակությունը և այլն: Մաթեմատիկայի համար դրանք բոլորը գնդակներ են, որոնք տարբերվում են միայն չափերով: Եթե ​​գնդիկները տարբեր չափսեր ունեն, ապա դրանք տարբեր են մետրային երկրաչափության համար, բայց բոլորը նույնն են նմանության երկրաչափության համար: Երկրաչափության տեսանկյունից բոլոր գնդերը և բոլոր խորանարդները նման են, բայց գնդակն ու խորանարդը նույնը չեն։

Հիմա եկեք նայենք տորուսին: Վերևն այն երկրաչափական պատկերն է, որի ձևը նման է ղեկի և փրկարարի: Հանրագիտարանը սահմանում է տորուսը որպես պատկեր, որը ստացվում է շրջանագծից դուրս գտնվող առանցքի շուրջ շրջանը պտտելով։ Մենք կոչ ենք անում բարի ընթերցողին գիտակցել, որ գնդակն ու խորանարդը «ավելի նման են» միմյանց, քան նրանցից յուրաքանչյուրը տորուսով: Հետևյալ մտքի փորձը թույլ է տալիս մեզ լրացնել այս ինտուիտիվ գիտակցությունը ճշգրիտ իմաստով: Եկեք պատկերացնենք, որ գունդը պատրաստված է այնքան ճկուն նյութից, որ այն կարող է թեքվել, ձգվել, սեղմվել և, ընդհանրապես, որևէ կերպ դեֆորմացվել, այն պարզապես չի կարող պատռվել կամ սոսնձվել: Ակնհայտ է, որ այնուհետև գնդակը կարող է վերածվել խորանարդի, բայց անհնար է վերածվել տորուսի: Ուշակովի բացատրական բառարանում պրետզելը սահմանվում է որպես խմորեղեն (բառացիորեն՝ կարագով ոլորված բուլկիի նման)՝ B տառի տեսքով: Այս հրաշալի բառարանի նկատմամբ ամենայն հարգանքով, «8 թվի ձևով» բառերն ինձ ավելի շատ են թվում: ճշգրիտ; Սակայն հոմեոմորֆի հասկացության մեջ արտահայտված տեսակետից 8 թվի ձևով թխելը, B տառի ձևով թխելը և ֆիտայի ձևով թխելը նույն ձևն ունեն։ Նույնիսկ եթե ենթադրենք, որ հացթուխները կարողացել են խմոր ստանալ, որն օժտված է վերը նշված ճկուն հատկություններով, բուլկի անհնար է առանց արցունքների և սոսնձման: - չվերածվե՛ք ոչ թխվածքաբլիթի, ոչ էլ թխվածքաբլիթի, ճիշտ այնպես, ինչպես վերջին երկու խմորեղենը իրար մեջ: Բայց դուք կարող եք գնդաձև բուլկի վերածել խորանարդի կամ բուրգի: Բարի ընթերցողն, անկասկած, կկարողանա գտնել թխելու հնարավոր ձև, որի մեջ հնարավոր չէ դարձնել ոչ բուլկի, ոչ պրեզել, ոչ էլ թխվածքաբլիթ:

Առանց այս հայեցակարգը անվանելու՝ մենք արդեն ծանոթացել ենք հոմեոմորֆիային։ Երկու թվեր կոչվում են հոմեոմորֆ, եթե մեկը կարող է փոխակերպվել մյուսի շարունակական (այսինքն, առանց կոտրվելու կամ սոսնձման) դեֆորմացիայի միջոցով. նման դեֆորմացիաներն իրենք կոչվում են հոմեոմորֆիզմներ:Մենք հենց նոր պարզեցինք, որ գնդակը հոմեոմորֆ է խորանարդի և բուրգի նկատմամբ, բայց ոչ հոմեոմորֆ ոչ տորուսի, ոչ էլ պրեզելի նկատմամբ, և վերջին երկու մարմինները հոմեոմորֆ չեն միմյանց նկատմամբ: Ընթերցողին խնդրում ենք հասկանալ, որ մենք տվել ենք հոմեոմորֆի հասկացության միայն մոտավոր նկարագրությունը՝ տրված մեխանիկական փոխակերպման առումով։

Անդրադառնանք հոմեոմորֆիա հասկացության փիլիսոփայական ասպեկտին։ Եկեք պատկերացնենք մի մտածող էակ, որն ապրում է ինչ-որ երկրաչափական պատկերի ներսում և Ոչհնարավորություն ունենալով նայել այս գործչին դրսից՝ «դրսից»։ Նրա համար այն գործիչը, որում նա ապրում է, կազմում է Տիեզերքը: Պատկերացնենք նաև, որ երբ պարսպող կերպարը ենթարկվում է շարունակական դեֆորմացիայի, նրա հետ մեկտեղ դեֆորմացվում է նաև էակը։ Եթե ​​խնդրո առարկա պատկերը գնդակ է, ապա արարածը ոչ մի կերպ չի կարող տարբերակել՝ այն գնդակի մեջ է, խորանարդի, թե բուրգի մեջ։ Այնուամենայնիվ, հնարավոր է, որ նա համոզվի, որ իր Տիեզերքը տորուսի կամ պրեզելի նման չէ: Ընդհանուր առմամբ, արարածը կարող է հաստատել իրեն շրջապատող տարածության ձևը միայն մինչև հոմեոմորֆիան, այսինքն՝ նա ի վիճակի չէ տարբերակել մի ձևը մյուսից, քանի դեռ այդ ձևերը հոմեոմորֆ են։

Մաթեմատիկայի համար՝ հիպոթեզի իմաստը Poincare, որն այժմ վարկածից վերածվել է Պուանկարե-Պերելմանի թեորեմի, հսկայական է (իզուր չէ, որ խնդրի լուծման համար առաջարկվել է մեկ միլիոն դոլար), ինչպես որ Պերելմանի կողմից այն ապացուցելու մեթոդի նշանակությունը հսկայական է, բայց այստեղ այս նշանակությունը բացատրելը մեր ուժերից վեր է: Ինչ վերաբերում է հարցի տիեզերաբանական կողմին, ապա, թերեւս, այս ասպեկտի նշանակությունը որոշ չափով չափազանցված էր լրագրողների կողմից։

Այնուամենայնիվ, որոշ հեղինակավոր փորձագետներ ասում են, որ Պերելմանի գիտական ​​հայտնագործությունը կարող է օգնել սև խոռոչների ձևավորման գործընթացների ուսումնասիրությանը: Սև անցքերը, ի դեպ, ուղղակիորեն հերքում են աշխարհի իմացության մասին թեզիսը՝ այդ ամենաառաջադեմ, միակ ճշմարիտ և ամենակարող ուսմունքի կենտրոնական դրույթներից մեկը, որը 70 տարի բռնի թմբկահարվեց մեր խեղճ գլխի մեջ։ Ի վերջո, ինչպես սովորեցնում է ֆիզիկան, այս անցքերից ոչ մի ազդանշան սկզբունքորեն մեզ չի կարող հասնել, ուստի անհնար է պարզել, թե ինչ է կատարվում այնտեղ։ Մենք ընդհանուր առմամբ շատ քիչ բան գիտենք այն մասին, թե ինչպես է գործում մեր Տիեզերքը որպես ամբողջություն, և կասկածելի է, որ մենք երբևէ կիմանանք: Իսկ դրա կառուցվածքի մասին հարցի բուն իմաստը լիովին պարզ չէ։ Հնարավոր է, որ այս հարցը մեկն է այն հարցերից, որոնք, ըստ ուսմունքի Բուդդա, Ոչկա պատասխան. Ֆիզիկան առաջարկում է միայն սարքերի մոդելներ, որոնք քիչ թե շատ համաձայն են հայտնի փաստերի հետ: Այս դեպքում ֆիզիկան, որպես կանոն, օգտագործում է մաթեմատիկայի կողմից իրեն տրամադրված արդեն մշակված պատրաստուկներ։

Մաթեմատիկան, իհարկե, չի հավակնում հաստատել Տիեզերքի որևէ երկրաչափական հատկություն: Բայց դա մեզ թույլ է տալիս ըմբռնել այն հատկությունները, որոնք հայտնաբերվել են այլ գիտությունների կողմից։ Ավելին. Այն թույլ է տալիս մեզ ավելի հասկանալի դարձնել որոշ հատկություններ, որոնք դժվար է պատկերացնել, այն բացատրում է, թե ինչպես կարող է դա լինել: Նման հնարավոր (ընդգծում ենք. պարզապես հնարավոր է) հատկությունները ներառում են Տիեզերքի վերջավորությունը և նրա ոչ կողմնորոշումը:

Երկար ժամանակ Տիեզերքի երկրաչափական կառուցվածքի միակ պատկերացնելի մոդելը եռաչափ Էվկլիդյան տարածությունն էր, այսինքն՝ այն տարածությունը, որը հայտնի է բոլորին ավագ դպրոցից: Այս տարածությունը անսահման է. թվում էր, թե այլ գաղափարներ հնարավոր չէին. Խենթություն էր թվում Տիեզերքի վերջավորության մասին մտածելը։ Այնուամենայնիվ, այժմ Տիեզերքի վերջավորության գաղափարը ոչ պակաս օրինական է, քան նրա անսահմանության գաղափարը: Մասնավորապես, եռաչափ գունդը վերջավոր է։ Ֆիզիկոսների հետ շփվելուց ինձ մոտ այնպիսի տպավորություն է ստեղծվել, որ ոմանք պատասխանել են «ամենայն հավանականությամբ. Տիեզերքն անսահման է, իսկ մյուսներն ասում էին, որ «ամենայն հավանականությամբ, Տիեզերքը վերջավոր է»:

Ուսպենսկի Վ.Ա. , Մաթեմատիկայի ներողություն կամ մաթեմատիկայի մասին որպես հոգևոր մշակույթի մաս, ամսագիր «Նոր աշխարհ», 2007, N 12, էջ. 141-145 թթ.

Գրեթե յուրաքանչյուր մարդ, նույնիսկ նրանք, ովքեր կապ չունեն մաթեմատիկայի հետ, լսել են «Պուանկարեի ենթադրություն» բառերը, բայց ոչ բոլորը կարող են բացատրել, թե որն է դրա էությունը: Շատերի համար բարձրագույն մաթեմատիկան շատ բարդ և անհասանելի բան է թվում: Հետևաբար, եկեք փորձենք պարզել, թե ինչ է նշանակում Պուանկարեի վարկածը պարզ բառերով:

Բովանդակություն:

Ո՞րն է Պուանկարեի ենթադրությունը:

Հիպոթեզի սկզբնական ձևակերպումը հնչում է այսպես. Յուրաքանչյուր կոմպակտ, պարզապես միացված եռաչափ բազմազանություն, առանց սահմանի, հոմեոմորֆ է եռաչափ գնդին».

Գնդակը երկրաչափական եռաչափ մարմին է, նրա մակերեսը կոչվում է գնդիկ, այն երկչափ է և բաղկացած է եռաչափ տարածության կետերից, որոնք հավասար հեռավորության վրա են գտնվում այս ոլորտին չպատկանող մի կետից՝ գնդակի կենտրոնից։ . Բացի երկչափ գնդերից, կան նաև եռաչափ գնդիկներ՝ բաղկացած քառաչափ տարածության բազմաթիվ կետերից, որոնք նույնպես հավասար հեռավորության վրա են գտնվում ոլորտին չպատկանող մի կետից՝ նրա կենտրոնից։ Եթե ​​մենք կարող ենք մեր աչքերով տեսնել երկչափ գնդերը, ապա եռաչափերը չեն ենթարկվում մեր տեսողական ընկալմանը։

Քանի որ մենք Տիեզերքը տեսնելու հնարավորություն չունենք, կարող ենք ենթադրել, որ դա այն եռաչափ ոլորտն է, որում ապրում է ողջ մարդկությունը։ Սա է Պուանկարեի ենթադրության էությունը։ Մասնավորապես, որ Տիեզերքն ունի հետևյալ հատկությունները՝ եռաչափություն, անսահմանություն, ուղղակի կապվածություն, կոմպակտություն։ «Հոմեոմորֆիա» հասկացությունը հիպոթեզում նշանակում է նմանության, նմանության բարձրագույն աստիճան, Տիեզերքի դեպքում՝ անտարբերելիություն։

Ո՞վ է Poincare-ը:

Ժյուլ Անրի Պուանկարե- մեծագույն մաթեմատիկոս, ով ծնվել է 1854 թվականին Ֆրանսիայում։ Նրա հետաքրքրությունները միայն մաթեմատիկական գիտությամբ չէին սահմանափակվում, նա ուսումնասիրում էր ֆիզիկա, մեխանիկա, աստղագիտություն, փիլիսոփայություն։ Նա աշխարհի ավելի քան 30 գիտական ​​ակադեմիաների, այդ թվում՝ Սանկտ Պետերբուրգի գիտությունների ակադեմիայի անդամ էր։ Բոլոր ժամանակների և ժողովուրդների պատմաբանները Դեյվիդ Հիլբերտին և Անրի Պուանկարեին դասում են աշխարհի մեծագույն մաթեմատիկոսների շարքին։ 1904 թվականին գիտնականը հրապարակեց մի հայտնի փաստաթուղթ, որը պարունակում էր մի ենթադրություն, որն այսօր հայտնի է որպես «Պուանկարեի ենթադրություն»։ Դա եռաչափ տարածություն էր, որը մաթեմատիկոսների համար շատ դժվար էր ուսումնասիրել, այլ դեպքերի համար ապացույցներ գտնելը դժվար չէր։ Մոտ մեկ դարի ընթացքում այս թեորեմի ճշմարտացիությունն ապացուցվեց։

21-րդ դարի սկզբին Քեմբրիջում սահմանվեց մեկ միլիոն ԱՄՆ դոլար մրցանակ՝ այս գիտական ​​խնդրի լուծման համար, որն ընդգրկվեց հազարամյակի խնդիրների ցանկում։ Միայն Սանկտ Պետերբուրգից ռուս մաթեմատիկոս Գրիգորի Պերելմանը կարողացավ դա անել եռաչափ ոլորտի համար։ 2006 թվականին այս նվաճման համար նա արժանացել է Ֆիլդս մեդալի, սակայն հրաժարվել է ստանալ այն։

Պուանկարեի գիտական ​​գործունեության արժանիքներինԿարելի է վերագրել հետևյալ ձեռքբերումները.

• տոպոլոգիայի հիմքը (տարբեր երևույթների և գործընթացների տեսական հիմքերի մշակում);
• դիֆերենցիալ հավասարումների որակական տեսության ստեղծում;
• ամորֆ ֆունկցիաների տեսության մշակում, որը դարձավ հարաբերականության հատուկ տեսության հիմքը.
• առաջ քաշելով վերադարձի թեորեմը;
• երկնային մեխանիկայի նորագույն, ամենաարդյունավետ մեթոդների մշակում:

Վարկածի ապացույց

Պարզապես միացված եռաչափ տարածությանը վերագրվում են երկրաչափական հատկություններ և բաժանվում են մետրային տարրերի, որոնք իրենց միջև հեռավորություններ ունեն անկյուններ ձևավորելու համար: Պարզեցնելու համար որպես նմուշ վերցնում ենք միաչափ բազմազանություն, որում Էվկլիդյան հարթության վրա յուրաքանչյուր կետում հարթ փակ կորի վրա գծված են 1-ի շոշափող վեկտորներ: Վեկտորը կորը անցնելիս պտտվում է որոշակի անկյունային արագությամբ: հավասար է կորությանը: Որքան շատ է գիծը թեքվում, այնքան մեծ է կորությունը: Կորությունը դրական թեքություն ունի, եթե արագության վեկտորը պտտվում է դեպի այն հարթությունը, որը բաժանում է գիծը, և բացասական թեքություն, եթե այն պտտվում է դեպի դուրս: Թեքման վայրերում կորությունը հավասար է 0-ի: Այժմ կորի յուրաքանչյուր կետին վերագրվում է անկյունային արագության վեկտորին ուղղահայաց վեկտոր և կորության արժեքին հավասար երկարությամբ: Այն շրջվում է դեպի ներս, երբ կորությունը դրական է, և դեպի դուրս, երբ այն բացասական է: Համապատասխան վեկտորը որոշում է ուղղությունը և արագությունը, որով շարժվում է հարթության յուրաքանչյուր կետ: Եթե ​​որևէ տեղ փակ կոր գծեք, ապա նման էվոլյուցիայի դեպքում այն ​​կվերածվի շրջանագծի։ Սա ճիշտ է եռաչափ տարածության համար, որն ապացուցման կարիք ուներ:

Օրինակ:Երբ դեֆորմացվում է առանց կոտրվելու, փուչիկը կարելի է պատրաստել տարբեր ձևերի: Բայց դուք չեք կարող թխուկ պատրաստել, դա անելու համար պարզապես անհրաժեշտ է կտրել այն: Եվ հակառակը, թխուկ ունենալով, դուք չեք կարող ամուր գնդակ պատրաստել: Թեև դեֆորմացման ժամանակ առանց ընդհատումների ցանկացած այլ մակերեսից կարելի է ստանալ գնդաձև։ Սա ցույց է տալիս, որ այս մակերեսը հոմեոմորֆ է գնդակի նկատմամբ: Ցանկացած գնդակ կարելի է թելով կապել մեկ հանգույցով, բայց դա անհնար է անել բլիթով։

Գնդակը ամենապարզ եռաչափ հարթությունն է, որը կարող է դեֆորմացվել և ծալվել կետի և հակառակը:

Կարևոր.Պուանկարեի ենթադրությունն ասում է, որ փակ n-չափ բազմապատիկը համարժեք է n-չափ գնդին, եթե այն հոմեոմորֆ է դրան։ Այն դարձավ ելակետ բազմաչափ հարթությունների տեսության զարգացման գործում։