Risinājums.
Varbūtība, ka netika uzzīmēta emblēma: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Varbūtība iegūt trīs ģerboņus: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
Gadījuma lieluma X sadalījuma likums:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Piemērs Nr.2. Varbūtība, ka viens šāvējs ar vienu šāvienu trāpīs mērķī pirmajam šāvējam ir 0,8, otrajam šāvējam – 0,85. Šāvēji izšāva vienu šāvienu mērķī. Uzskatot trāpījumu mērķī kā neatkarīgus notikumus atsevišķiem šāvējiem, atrodiet notikuma A varbūtību – tieši viens trāpījums mērķī.
Risinājums.
Apsveriet notikumu A — viens trāpījums mērķī. Iespējamie variantiŠī notikuma rašanās ir šāda:
- Pirmais šāvējs trāpīja, otrais šāvējs netrāpīja: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
- Pirmais šāvējs netrāpīja, otrais šāvējs trāpīja mērķī: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- Pirmā un otrā bultiņa trāpīja mērķī neatkarīgi viena no otras: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68
Nejaušs mainīgais ir mainīgais, kas var iegūt noteiktas vērtības atkarībā no dažādiem apstākļiem un, savukārt, nejauša vērtība sauca diskrēts , ja tā vērtību kopa ir ierobežota vai saskaitāma.
Papildus diskrētiem gadījuma mainīgajiem ir arī nepārtraukti gadījuma mainīgie.
Ļaujiet mums sīkāk apsvērt nejaušā mainīgā lieluma jēdzienu. Praksē bieži vien ir daudzumi, kas var iegūt noteiktas vērtības, taču nav iespējams ticami paredzēt, kādu vērtību katrs no tiem iegūs aplūkotajā pieredzē, parādībā vai novērojumā. Piemēram, to zēnu skaits, kuri nākamajā dienā piedzims Maskavā, var atšķirties. Tas var būt vienāds ar nulli (nepiedzims neviens zēns: piedzims visas meitenes vai jaundzimušo nebūs vispār), viens, divi un tā tālāk līdz noteiktam skaitlim. n. Šādas vērtības ietver: cukurbiešu sakņu masu uz vietas, artilērijas šāviņa lidojuma diapazonu, bojāto detaļu skaitu partijā un tā tālāk. Šādus daudzumus sauksim par nejaušiem. Tie raksturo visu iespējamos rezultātus pieredze vai novērojums no kvantitatīvās puses.
Diskrētu gadījuma lielumu piemēri ar ierobežotu vērtību skaitu var būt dienas laikā dzimušo bērnu skaits vieta, autobusu pasažieru skaits, Maskavas metro pārvadāto pasažieru skaits dienā utt.
Diskrēta gadījuma lieluma vērtību skaits var būt bezgalīga, bet saskaitāma kopa. Bet jebkurā gadījumā tos var numurēt noteiktā secībā vai, precīzāk, var izveidot atbilstību viens pret vienu starp nejaušā mainīgā vērtībām un naturālie skaitļi 1, 2, 3, ..., n.
Uzmanību: jauna, ļoti svarīga koncepcija varbūtību teorijā - sadales likums
. Ļaujiet X var pieņemt n vērtības: . Mēs pieņemsim, ka tie visi ir atšķirīgi (pretējā gadījumā ir jāapvieno vienādi) un sakārtoti augošā secībā. Priekš pilnas īpašības diskrētais gadījuma mainīgais jānorāda ne tikai visas tā vērtības, bet arī varbūtības
, ar kuru nejaušais lielums ņem katru no vērtībām, t.i. 
.
Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums tiek izsaukts jebkurš noteikums (funkcija, tabula). lpp(x), kas ļauj atrast visu veidu notikumu, kas saistīti ar nejaušu mainīgo, varbūtības (piemēram, varbūtību, ka tas ir kādas vērtības piemērs vai iekrīt kādā intervālā).
Visvienkāršāk un ērtāk ir iestatīt diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likumu šādas tabulas veidā:
| Nozīme | ... | |||
| Varbūtība | ... |
Šo tabulu sauc tuvu diskrēta gadījuma lieluma sadalījumam. Izplatīšanas sērijas augšējā rindā augošā secībā ir uzskaitīti visi iespējamās vērtības diskrētais gadījuma lielums (x), bet apakšējā daļā - šo vērtību varbūtība ( lpp).
Pasākumi 
ir nesavienojami un vienīgie iespējamie: tie veido pilnīgu notikumu sistēmu. Tāpēc to varbūtību summa ir vienāda ar vienu:
.
1. piemērs. Skolēnu grupā tika organizēta loterija. Ir pieejamas divas preces 1000 RUB vērtībā. un viens maksā 3000 rubļu. Sastādiet sadales likumu par neto laimestu studentam, kurš iegādājās vienu biļeti par 100 rubļiem. Kopumā tika pārdotas 50 biļetes.
Risinājums. Nejaušais mainīgais, kas mūs interesē, ir X var ņemt trīs vērtības: - 100 rub. (ja students neuzvar, bet faktiski zaudē par biļeti samaksātos 100 rubļus), 900 rubļu. un 2900 rub. (faktiskais laimests tiek samazināts par 100 rubļiem - par biļetes izmaksām). Pirmais rezultāts ir dots 47 reizes no 50, otrais - 2, bet trešais - viens. Tāpēc to varbūtība ir: P(X=-100)=47/50=0,94 , P(X=900)=2/50=0,04 , P(X=2900)=1/50=0,02 .
Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums X izskatās kā
| Laimesta summa | -100 | 900 | 2900 |
| Varbūtība | 0,94 | 0,04 | 0,02 |
Diskrētā gadījuma lieluma sadalījuma funkcija: konstrukcija
Sadalījuma sēriju var izveidot tikai diskrētam gadījuma mainīgajam (nediskrētam gadījuma mainīgajam to nevar izveidot, ja nu vienīgi tāpēc, ka šāda gadījuma lieluma iespējamo vērtību kopa ir nesaskaitāma, tās nevar uzskaitīt augšpusē tabulas rinda).
Lielākā daļa vispārējā forma sadalījuma likums, kas piemērots visiem nejaušajiem mainīgajiem (gan diskrētajiem, gan nediskrētajiem), ir sadalījuma funkcija.
Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma funkcija vai neatņemama funkcija sauc par funkciju 
, kas nosaka varbūtību, ka nejaušā lieluma vērtība X mazāka par robežvērtību vai vienāda ar to X.
Jebkura diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma funkcija ir nepārtraukta soļu funkcija, kuras lēcieni notiek punktos, kas atbilst nejaušā lieluma iespējamām vērtībām, un ir vienādi ar šo vērtību varbūtībām.
2. piemērs. Diskrēts nejaušības lielums X- punktu skaits, kas iegūts, metot kauliņu. Aprēķināt tā sadalījuma funkciju.
Risinājums. Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma rinda X ir šāda forma:
| Nozīme | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Varbūtība | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Izplatīšanas funkcija F(x) ir 6 lēcieni, kuru lielums ir vienāds ar 1/6 (attēlā zemāk).
3. piemērs. Urnā ir 6 baltas un 4 melnas bumbiņas. No urnas tiek izvilktas 3 bumbiņas. Balto bumbiņu skaits starp izvilktajām bumbiņām ir diskrēts gadījuma lielums X. Sastādiet tam atbilstošu sadales likumu.
X var pieņemt vērtības 0, 1, 2, 3. Atbilstošās varbūtības visvieglāk var aprēķināt, izmantojot varbūtības reizināšanas noteikums. Mēs iegūstam šādu diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likumu:
| Nozīme | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Varbūtība | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
4. piemērs. Sastādiet sadalījuma likumu diskrētam gadījuma lielumam - sitienu skaits mērķī ar četriem šāvieniem, ja trāpījuma iespējamība ar vienu šāvienu ir 0,1.
Risinājums. Diskrēts nejaušības lielums X var ņemt piecas dažādas vērtības: 1, 2, 3, 4, 5. Mēs atrodam atbilstošās varbūtības, izmantojot Bernulli formula
. Plkst
n = 4 ,
lpp = 1,1 ,
q = 1 - lpp = 0,9 ,
m = 0, 1, 2, 3, 4
mēs saņemam
Līdz ar to diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums X izskatās kā
Ja diskrēta gadījuma lieluma vērtību varbūtības var noteikt, izmantojot Bernulli formulu, tad nejaušajam mainīgajam ir binomiālais sadalījums .
Ja izmēģinājumu skaits ir pietiekami liels, tad varbūtība, ka šajos izmēģinājumos notiks interesējošais notikums ir m reizes, ievēro likumu Poisson sadalījums .
Diskrētā gadījuma lieluma sadalījuma funkcija: aprēķins
Aprēķināt diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma funkciju F(X), ir jāsaskaita visu to vērtību varbūtības, kas ir mazākas vai vienādas ar robežvērtību X.
5. piemērs. Tabulā parādīta gada laikā šķirto laulību skaita atkarība no laulības ilguma. Atrodiet varbūtību, ka nākamā šķirtā laulība ilga mazāk vai vienāda ar 5 gadiem.
| Laulības ilgums (gadi) | Numurs | Varbūtība | F(x) |
| 0 | 10 | 0,002 | 0,002 |
| 1 | 80 | 0,013 | 0,015 |
| 2 | 177 | 0,029 | 0,044 |
| 3 | 209 | 0,035 | 0,079 |
| 4 | 307 | 0,051 | 0,130 |
| 5 | 335 | 0,056 | 0,186 |
| 6 | 358 | 0,060 | 0,246 |
| 7 | 413 | 0,069 | 0,314 |
| 8 | 432 | 0,072 | 0,386 |
| 9 | 402 | 0,067 | 0,453 |
| 10 vai vairāk | 3287 | 0,547 | 1,000 |
| Kopā | 6010 | 1 |
Risinājums. Varbūtības aprēķina, attiecīgo šķirto laulību skaitu dalot ar kopējo skaitu 6010. Varbūtība, ka nākamā šķirtā laulība ilga 5 gadus, ir 0,056. Varbūtība, ka nākamās šķirtās laulības ilgums ir mazāks vai vienāds ar 5 gadiem, ir 0,186. Mēs to ieguvām, pievienojot vērtību F(x) laulībām, kuru ilgums ir 4 gadi ieskaitot, iespēja noslēgt laulības ar ilgumu 5 gadi.
Saikne starp diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likumu un matemātisko cerību un dispersiju
Bieži vien nav zināmas visas diskrēta gadījuma lieluma vērtības, taču ir zināmas dažas vērtības vai varbūtības no sērijas, kā arī nejauša lieluma matemātiskā cerība un (vai) dispersija, kam veltīta atsevišķa nodarbība.
Iesniegsim šeit dažas formulas no šīs nodarbības, kas var palīdzēt sastādīt diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likumu, un aplūkosim šādu problēmu risināšanas piemērus.
Diskrēta gadījuma lieluma matemātiskā cerība ir visu tā iespējamo vērtību un šo vērtību varbūtību produktu summa:
(1)
Diskrēta nejauša lieluma dispersijas formula pēc definīcijas ir:
Bieži vien aprēķiniem ērtāka ir šāda dispersijas formula:
, (2)
Kur 
.
6. piemērs. Diskrēts nejaušības lielums X var ņemt tikai divas vērtības. Tas aizņem mazāku vērtību ar varbūtību lpp= 0,6. Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likumu X, ja ir zināms, ka tā matemātiskā cerība un dispersija ir .
Risinājums. Varbūtība, ka nejaušais mainīgais iegūs lielāku vērtību x2 , ir vienāds ar 1–0,6 = 4. Izmantojot matemātiskās cerības formulu (1), mēs izveidojam vienādojumu, kurā nezināmie ir mūsu diskrētā nejaušā mainīgā vērtības:
Izmantojot dispersijas formulu (2), mēs izveidojam citu vienādojumu, kurā nezināmie ir arī diskrēta gadījuma lieluma vērtības:
Divu iegūto vienādojumu sistēma
atrisināt ar aizstāšanas metodi. No pirmā vienādojuma mēs iegūstam
Aizvietojot šo izteiksmi otrajā vienādojumā, pēc vienkāršām transformācijām mēs iegūstam kvadrātvienādojums
,
kurai ir divas saknes: 7/5 un −1. Pirmā sakne neatbilst problēmas nosacījumiem, kopš x2 < x 1 . Tādējādi vērtības, kuras var iegūt diskrēts gadījuma mainīgais X saskaņā ar mūsu piemēra nosacījumiem ir vienādi x1 = −1 Un x2 = 2 .
Šajā lapā esam apkopojuši izglītojošu risinājumu piemērus problēmas ar diskrētiem gadījuma mainīgajiem. Šī ir diezgan plaša sadaļa: tiek pētīti dažādi sadalījuma likumi (binomiālais, ģeometriskais, hiperģeometriskais, Puasona un citi), īpašības un skaitliskie raksturlielumi, katrai sadalījuma sērijai var izveidot grafiskus attēlojumus: varbūtību daudzstūri (daudzstūri), sadalījuma funkciju.
Zemāk jūs atradīsiet piemērus lēmumiem par diskrētiem gadījuma mainīgajiem, kuros jums jāpielieto zināšanas no iepriekšējām varbūtības teorijas sadaļām, lai izveidotu sadalījuma likumu un pēc tam aprēķinātu matemātisko cerību, dispersiju, standartnovirzi, konstruētu sadalījuma funkciju, atbildētu. jautājumi par DSV utt. P.
Populāru varbūtības sadalījuma likumu piemēri:
DSV raksturlielumu kalkulatori
- DSV matemātiskās cerības, dispersijas un standartnovirzes aprēķins.
Atrisinātas problēmas saistībā ar DSV
Izplatījumi tuvu ģeometriskiem
1. uzdevums. Transportlīdzekļa ceļā ir 4 luksofori, no kuriem katrs aizliedz transportlīdzekļa tālāku kustību ar varbūtību 0,5. Atrodiet luksoforu skaita sadalījuma sēriju, kas pabrauca garām automašīnai pirms pirmās pieturas. Kādas ir šī nejaušā lieluma matemātiskās cerības un dispersija?
2. uzdevums. Mednieks izšauj medījumu līdz pirmajam sitienam, bet izdodas izšaut ne vairāk kā četrus šāvienus. Sastādiet netrāpījumu skaita sadales likumu, ja varbūtība trāpīt mērķī ar vienu šāvienu ir 0,7. Atrodiet šī nejaušā lieluma dispersiju.
3. uzdevums.Šāvējs, kuram ir 3 patronas, šauj mērķī līdz pirmajam sitienam. Sitiena varbūtības pirmajam, otrajam un trešajam metienam ir attiecīgi 0,6, 0,5, 0,4. S.V. $\xi$ - atlikušo kasetņu skaits. Sastādiet gadījuma lieluma sadalījuma sēriju, atrodiet matemātisko cerību, dispersiju, vidējo standarta novirze r.v., izveidojiet r.v. sadalījuma funkciju, atrodiet $P(|\xi-m| \le \sigma$.
4. uzdevums. Kastē ir 7 standarta un 3 bojātas detaļas. Viņi izņem detaļas secīgi, līdz parādās standarta, neatgriežot tās atpakaļ. $\xi$ ir izgūto bojāto daļu skaits.
Sastādiet sadalījuma likumu diskrētam gadījuma lielumam $\xi$, aprēķiniet tā matemātisko cerību, dispersiju, standartnovirzi, uzzīmējiet sadalījuma daudzstūri un sadalījuma funkcijas grafiku.
Uzdevumi ar neatkarīgiem pasākumiem
5. uzdevums. Uz atkārtotu eksāmenu varbūtību teorijā ieradās 3 skolēni. Varbūtība, ka eksāmenu nokārtos pirmais, ir 0,8, otrais – 0,7, bet trešais – 0,9. Atrodiet eksāmenu nokārtojušo skolēnu skaita nejaušā lieluma $\xi$ sadalījuma sēriju, uzzīmējiet sadalījuma funkciju, atrodiet $M(\xi), D(\xi)$.
6. uzdevums. Varbūtība trāpīt mērķī ar vienu šāvienu ir 0,8 un ar katru šāvienu samazinās par 0,1. Sastādiet sadales likumu par sitienu skaitu mērķī, ja tiek raidīti trīs šāvieni. Atrodiet paredzamo vērtību, dispersiju un S.K.O. šis nejaušais mainīgais. Uzzīmējiet sadalījuma funkcijas grafiku.
7. uzdevums. Mērķī tiek raidīti 4 šāvieni. Sitiena iespējamība palielinās šādi: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Atrodiet nejaušā lieluma $X$ sadalījuma likumu - trāpījumu skaitu. Atrodiet varbūtību, ka $X \ge 1$.
8. uzdevums. Tiek mētātas divas simetriskas monētas un tiek saskaitīts ģerboņu skaits abās monētu augšējās pusēs. Mēs uzskatām diskrētu gadījuma lielumu $X$ - ģerboņu skaitu uz abām monētām. Pierakstiet nejaušā lieluma $X$ sadalījuma likumu, atrodiet tā matemātisko cerību.
Citas problēmas un DSV izplatīšanas likumi
9. uzdevums. Divas basketbolistes izdara trīs metienus grozā. Pirmajam basketbolistam iespēja trāpīt ir 0,6, otrajam – 0,7. Lai $X$ ir starpība starp pirmā un otrā basketbolista veiksmīgo metienu skaitu. Atrodiet nejaušā lieluma $X$ sadalījuma sēriju, režīmu un sadalījuma funkciju. Izveidojiet sadalījuma daudzstūri un sadalījuma funkcijas grafiku. Aprēķiniet paredzamo vērtību, dispersiju un standartnovirzi. Atrodiet notikuma $(-2 \lt X \le 1) $ varbūtību.
10. problēma. To nerezidentu kuģu skaits, kas katru dienu ierodas iekraušanai noteiktā ostā, ir nejaušs lielums $X$, kas norādīts šādi:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) pārliecinieties, ka ir norādīta izplatīšanas sērija,
B) atrodiet nejaušā lieluma $X$ sadalījuma funkciju,
C) ja noteiktā dienā ierodas vairāk nekā trīs kuģi, osta uzņemas atbildību par izmaksām, kas radušās sakarā ar nepieciešamību algot papildu šoferus un iekrāvējus. Kāda ir iespējamība, ka ostai radīsies papildu izmaksas?
D) atrodiet nejaušā lieluma $X$ matemātisko cerību, dispersiju un standartnovirzi.
11. problēma. Metiens 4 kauliņi. Atrodiet matemātisko cerību punktu skaitam, kas parādīsies no visām pusēm.
12. problēma. Abi pēc kārtas met monētu, līdz pirmo reizi parādās ģerbonis. Spēlētājs, kurš ieguvis ģerboni, saņem 1 rubli no otra spēlētāja. Atrodiet katra spēlētāja matemātisko uzvaru.
Kā zināms, nejaušais mainīgais tiek saukts par mainīgu lielumu, kas atkarībā no gadījuma var iegūt noteiktas vērtības. Nejaušie mainīgie apzīmē ar lielajiem burtiem Latīņu alfabēts(X, Y, Z), un to vērtības ir norādītas ar attiecīgajiem mazajiem burtiem (x, y, z). Nejaušie mainīgie tiek sadalīti nepārtrauktos (diskrētos) un nepārtrauktos.
Diskrēts nejaušības lielums ir nejaušs mainīgais, kas ņem tikai ierobežotu vai bezgalīgu (skaitāmu) vērtību kopu ar noteiktām varbūtībām, kas nav nulles.
Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums ir funkcija, kas savieno nejauša lieluma vērtības ar tām atbilstošajām varbūtībām. Izplatīšanas likumu var precizēt vienā no šiem veidiem.
1 . Sadales likumu var norādīt tabulā:
kur λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V) izmantojot sadalījuma funkcija F(x) , kas katrai vērtībai x nosaka varbūtību, ka gadījuma lielums X pieņems vērtību, kas mazāka par x, t.i. F(x) = P(X< x).
Funkcijas F(x) īpašības
3 . Izplatīšanas likumu var norādīt grafiski – sadalījuma daudzstūris (daudzstūris) (skat. 3. uzdevumu).
Ņemiet vērā, ka dažu problēmu risināšanai nav nepieciešams zināt sadales likumu. Dažos gadījumos pietiek zināt vienu vai vairākus skaitļus, kas atspoguļo visvairāk svarīgas funkcijas sadales likums. Tas var būt skaitlis, kam ir nejauša lieluma "vidējais" nozīme, vai skaitlis, kas norāda vidējais izmērs nejauša lieluma novirze no tā vidējās vērtības. Šāda veida skaitļus sauc par nejauša lieluma skaitliskiem raksturlielumiem.
Diskrēta gadījuma lieluma skaitliskās pamatraksturības :
- Matemātiskās cerības
diskrēta gadījuma lieluma (vidējā vērtība). M(X)=Σ x i p i.
Binomiālajam sadalījumam M(X)=np, Puasona sadalījumam M(X)=λ - Izkliede
diskrētais gadījuma mainīgais D(X)=M2 vai D(X) = M(X 2) − 2. Atšķirību X–M(X) sauc par nejauša lieluma novirzi no tā matemātiskās cerības.
Binomiālajam sadalījumam D(X)=npq, Puasona sadalījumam D(X)=λ - Standarta novirze (standarta novirze) σ(X)=√D(X).
Problēmu risināšanas piemēri par tēmu “Diskrētā gadījuma lieluma sadalījuma likums”
1. uzdevums.
Tika izdotas 1000 loterijas biļetes: 5 no tām laimēs 500 rubļus, 10 laimēs 100 rubļus, 20 laimēs 50 rubļus, 50 laimēs 10 rubļus. Noteikt nejaušā lieluma X varbūtības sadalījuma likumu - laimests uz vienu biļeti.
Risinājums. Atbilstoši problēmas nosacījumiem ir iespējamas šādas nejaušā lieluma X vērtības: 0, 10, 50, 100 un 500.
Biļešu skaits bez laimesta ir 1000 – (5+10+20+50) = 915, tad P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Līdzīgi mēs atrodam visas pārējās varbūtības: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Iesniegsim iegūto likumu tabulas veidā:
Atradīsim vērtības X matemātisko cerību: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
3. uzdevums.
Ierīce sastāv no trim neatkarīgi strādājošiem elementiem. Katra elementa atteices varbūtība vienā eksperimentā ir 0,1. Sastādiet sadalījuma likumu neveiksmīgo elementu skaitam vienā eksperimentā, izveidojiet sadalījuma daudzstūri. Atrodiet sadalījuma funkciju F(x) un uzzīmējiet to. Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma matemātisko cerību, dispersiju un standartnovirzi.
Risinājums. 1. Diskrētajam nejaušajam mainīgajam X = (neizdevušos elementu skaits vienā eksperimentā) ir šādas iespējamās vērtības: x 1 = 0 (neviens no ierīces elementiem neizdevās), x 2 = 1 (viens elements neizdevās), x 3 = 2 ( divi elementi neizdevās ) un x 4 =3 (trīs elementi neizdevās).
Elementu atteices ir neatkarīgas viena no otras, katra elementa atteices varbūtības ir vienādas, tāpēc ir piemērojams Bernulli formula
. Ņemot vērā, ka atbilstoši nosacījumam n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, nosaka vērtību varbūtības:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Pārbaudiet: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Tādējādi vēlamajam X binominālā sadalījuma likumam ir šāda forma:
Mēs uzzīmējam iespējamās x i vērtības pa abscisu asi un atbilstošās varbūtības p i pa ordinātu asi. Konstruēsim punktus M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Savienojot šos punktus ar taisnu līniju segmentiem, mēs iegūstam vēlamo sadalījuma daudzstūri.
3. Atradīsim sadalījuma funkciju F(x) = Р(Х
Ja x ≤ 0, mums ir F(x) = Р(Х<0) = 0;par 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
par 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
par 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
ja x > 3 būs F(x) = 1, jo pasākums ir uzticams.
 |
Funkcijas F(x) grafiks
4.
Binomiālajam sadalījumam X:
- matemātiskā cerība M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standartnovirze σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Šajā lapā esam apkopojuši īsu teoriju un piemērus izglītības problēmu risināšanai, kurās diskrēts gadījuma lielums jau ir norādīts tā sadalījuma sērijā (tabulas forma) un ir nepieciešams to izpētīt: atrast skaitliskos raksturlielumus, konstruēt grafikus utt. Zināmo izplatīšanas veidu piemērus var atrast šādās saitēs:
Īsa teorija par DSV
Diskrētu gadījuma lielumu nosaka tā sadalījuma sērija: vērtību $x_i$ saraksts, ko tas var iegūt, un atbilstošās varbūtības $p_i=P(X=x_i)$. Gadījuma lieluma vērtību skaits var būt ierobežots vai saskaitāms. Noteiktības labad mēs apsvērsim gadījumu $i=\overline(1,n)$. Tad diskrētā nejaušā mainīgā tabulas attēlojums ir šāds:
$$ \begin(masīvs)(|c|c|) \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \hline \end(masīvs) $ $
Šajā gadījumā ir izpildīts normalizācijas nosacījums: visu varbūtību summai jābūt vienādai ar vienu
$$\summa_(i=1)^(n) p_i=1$$
Grafiski var attēlot sadalījuma sēriju sadales daudzstūris(vai sadales daudzstūris). Lai to izdarītu, plaknē tiek uzzīmēti punkti ar koordinātām $(x_i,p_i)$ un secīgi savienoti ar lauztu līniju. Jūs atradīsit detalizētus piemērus.
DSV skaitliskās īpašības
Paredzamā vērtība:
$$M(X) = \sum_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$
Izkliede:
$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ $
Standarta novirze:
$$\sigma (X) = \sqrt(D(X))$$
Variācijas koeficients:
$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$.
Režīms: vērtība $Mo=x_k$ ar vislielāko varbūtību $p_k=\max_i(p_i)$.
Varat izmantot tiešsaistes kalkulatorus, lai aprēķinātu DSV paredzamo vērtību, dispersiju un standarta novirzi.
DSV izplatīšanas funkcija
No izplatīšanas sērijas var apkopot sadales funkcija diskrētais gadījuma lielums $F(x)=P(X\lt x)$. Šī funkcija norāda varbūtību, ka nejaušajam mainīgajam $X$ būs vērtība, kas ir mazāka par noteiktu skaitli $x$. Tālāk sniegtajos piemēros atradīsit būvniecības piemērus ar detalizētiem aprēķiniem un grafikiem.
Atrisināto problēmu piemēri
1. uzdevums. Diskrētu gadījuma lielumu nosaka sadalījuma sērija:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Izveidojiet sadalījuma daudzstūri un sadales funkciju $F(x)$. Aprēķināt: $M[X], D[X], \sigma[X]$, kā arī variācijas koeficientu, šķībumu, kurtozi, režīmu un mediānu.
2. uzdevums. Ir dots diskrēta gadījuma lieluma X sadalījuma likums. Nepieciešams:
a) nosaka nejaušā lieluma X matemātisko cerību M(x), dispersiju D(x) un standartnovirzi (x); b) izveido šī sadalījuma grafiku.
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02
3. uzdevums. Nejaušam lielumam X ar noteiktu sadalījuma sēriju
-1 0 1 8
0,2 0,1 $ р_1 $ р_2 $
A) atrodiet $p_1$ un $p_2$, lai $M(X)=0,5$
B) pēc tam aprēķiniet nejaušā lieluma $X$ matemātisko cerību un dispersiju un uzzīmējiet tā sadalījuma funkciju
4. uzdevums. Diskrētā SV $X$ var būt tikai divas vērtības: $x_1$ un $x_2$ un $x_1 \lt x_2$. Ir zināma iespējamās vērtības varbūtība $P$, matemātiskā cerība $M(x)$ un dispersija $D(x)$. Atrast: 1) šī gadījuma lieluma sadalījuma likumu; 2) SV sadales funkcija $X$; 3) Izveidojiet $F(x)$ grafiku.
$P=0,3; M(x)=6,6; D(x)=13,44.$
5. uzdevums. Nejaušajam lielumam X ir trīs vērtības: 2, 4 un 6. Atrodiet šo vērtību varbūtības, ja $M(X)=4.2$, $D(X)=1.96$.
6. uzdevums. Ir dota diskrēto RV sadalījuma sērija. $X$. Atrodiet r.v pozīcijas un izkliedes skaitliskos raksturlielumus. $X$. Atrast m.o. un dispersijas r.v. $Y=X/2-2$, nepierakstot r.v. izplatīšanas sērijas. $Y$, pārbaudiet rezultātu, izmantojot ģenerēšanas funkciju.
Izveidojiet r.v. sadalījuma funkciju. $X$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ p¦ 0,3¦ 0,1¦ 0,3¦ 0,2¦ 0,1
7. uzdevums. Diskrētā gadījuma lieluma $X$ sadalījumu uzrāda šāda tabula (sadales rinda):
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Nosakiet sadalījuma tabulā trūkstošo vērtību. Aprēķiniet sadalījuma galvenos skaitliskos raksturlielumus: $M_x, D_x, \sigma_x$. Atrodiet un izveidojiet sadalījuma funkciju $F(x)$. Nosakiet varbūtību, ka nejaušajam mainīgajam $X$ būs šādas vērtības:
A) vairāk nekā 6,
B) mazāk nekā 12,
C) ne vairāk kā 9.
8. uzdevums. Problēma prasa atrast: a) matemātisko cerību; b) dispersija; c) diskrēta gadījuma lieluma X standartnovirze atbilstoši noteiktam tā sadalījuma likumam, kas dota tabulā (tabulas pirmajā rindā norādītas iespējamās vērtības, otrajā rindā norādītas iespējamo vērtību iespējamības).
9. uzdevums. Dots diskrēta gadījuma lieluma $X$ sadalījuma likums (pirmajā rindā redzamas $x_i$ iespējamās vērtības, otrajā rindā $p_i$ iespējamo vērtību varbūtības).
Atrast:
A) matemātiskā gaida $M(X)$, dispersija $D(X)$ un standartnovirze $\sigma(X)$;
B) sastādīt gadījuma lieluma $F(x)$ sadalījuma funkciju un izveidot tās grafiku;
C) aprēķina varbūtību, ka gadījuma lielums $X$ iekritīs intervālā $x_2 \lt X \lt x_4$, izmantojot kompilēto sadalījuma funkciju $F(x)$;
D) sastādīt sadales likumu vērtībai $Y=100-2X$;
D) aprēķina sastādītā gadījuma lieluma $Y$ matemātisko cerību un dispersiju divos veidos, t.i. izmantojot izdevību
matemātiskās gaidīšanas un dispersijas īpašība, kā arī tieši saskaņā ar nejaušā lieluma $Y$ sadalījuma likumu.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4
10. problēma. Tabulai tiek dots diskrēts gadījuma mainīgais. Aprēķiniet tā sākotnējos un centrālos momentus līdz 4. secībai ieskaitot. Atrodiet notikumu $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi varbūtības. $.
X 0 0,3 0,6 0,9 1.2
P 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1
