Mājas Pārklāta mēle Atrodiet punktu, kas ir simetrisks punktam a. Kā atrast punktu, kas ir simetrisks līnijai

Pārklāta mēle

Atrodiet punktu, kas ir simetrisks punktam a. Kā atrast punktu, kas ir simetrisks līnijai

Dosi mums noteiktu taisni, kas definēta ar lineāru vienādojumu, un punktu, kas definēts ar tā koordinātām (x0, y0) un neatrodas uz šīs taisnes. Ir jāatrod punkts, kas būtu simetrisks noteiktam punktam ap doto taisni, tas ir, sakristu ar to, ja plakne ir garīgi saliekta uz pusēm pa šo taisni.

Instrukcijas

1. Ir skaidrs, ka abiem punktiem - dotajam un vēlamajam - jāatrodas uz vienas taisnes, un šai taisnei jābūt perpendikulārai dotajai. Tādējādi uzdevuma pirmā daļa ir atklāt vienādojumu taisnei, kas būtu perpendikulāra kādai noteiktai taisnei un tajā pašā laikā iet caur noteiktu punktu.

2. Taisni var norādīt divos veidos. Līnijas kanoniskais vienādojums izskatās šādi: Ax + By + C = 0, kur A, B un C ir konstantes. Varat arī definēt taisnu līniju, izmantojot lineārā funkcija: y = kx + b, kur k ir leņķiskais eksponents, b ir nobīde Šīs divas metodes ir savstarpēji aizstājamas, un ir iespējams pāriet no vienas uz otru. Ja Ax + By + C = 0, tad y = – (Ax + C)/B. Citiem vārdiem sakot, lineārā funkcijā y = kx + b leņķiskais eksponents k = -A/B un nobīde b = -C/B. Veicot šo uzdevumu, ir ērtāk argumentēt, pamatojoties uz to kanoniskais vienādojums taisni.

3. Ja divas taisnes ir perpendikulāras viena otrai un pirmās līnijas vienādojums ir Ax + By + C = 0, tad 2. taisnes vienādojumam vajadzētu izskatīties šādi: Bx – Ay + D = 0, kur D ir konstante. Lai noteiktu noteiktu D vērtību, papildus jāzina, caur kuru punktu iet perpendikulāra līnija. IN šajā gadījumā tas ir punkts (x0, y0), līdz ar to D ir jāizpilda vienādība: Bx0 – Ay0 + D = 0, tas ir, D = Ay0 – Bx0.

4. Pēc perpendikulārās līnijas atklāšanas ir jāaprēķina tās krustošanās punkta koordinātas ar doto. Lai to izdarītu, mums ir jāatrisina sistēma lineārie vienādojumi:Ax + By + C = 0,Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Tā risinājums dos skaitļus (x1, y1), kas kalpo kā taisnes krustošanās punkta koordinātas.

5. Vēlamajam punktam jāatrodas uz atklātās taisnes, un tā attālumam līdz krustojuma punktam jābūt vienādam ar attālumu no krustojuma punkta līdz punktam (x0, y0). Punktam (x0, y0) simetriskā punkta koordinātas tādējādi var atrast, atrisinot vienādojumu sistēmu: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Bet jūs varat to izdarīt vieglāk. Ja punkti (x0, y0) un (x, y) atrodas vienādos attālumos no punkta (x1, y1) un visi trīs punkti atrodas uz vienas taisnes, tad: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0. Līdz ar to x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Aizvietojot šīs vērtības pirmās sistēmas otrajā vienādojumā un vienkāršojot izteiksmes, ir viegli pārliecināties, ka tā labā puse kļūst tāda pati kā kreisā. Turklāt nav jēgas turpmāk izskatīt pirmo vienādojumu, jo ir zināms, ka punkti (x0, y0) un (x1, y1) to apmierina, un punkts (x, y) acīmredzami atrodas uz vienas taisnes. .

Uzdevums ir atrast punkta koordinātas, kas ir simetrisks punktam attiecībā pret taisni . Es iesaku veikt darbības pašam, bet es izklāstīšu risinājuma algoritmu ar starprezultātiem:

1) Atrodiet taisni, kas ir perpendikulāra tai.

2) Atrodiet līniju krustošanās punktu: .

Abas darbības ir detalizēti apspriestas šajā nodarbībā.

3) Punkts ir segmenta viduspunkts. Mēs zinām vidus un viena gala koordinātas. Autors formulas segmenta viduspunkta koordinātām mēs atradām .

Būtu lietderīgi pārbaudīt, vai attālums ir arī 2,2 vienības.

Šeit var rasties grūtības aprēķinos, bet tornī lieliski palīdz mikrokalkulators, kas ļauj rēķināt parastās frakcijas. Esmu jums daudzkārt konsultējis un ieteikšu vēlreiz.

Kā atrast attālumu starp divām paralēlām līnijām?

9. piemērs

Atrodiet attālumu starp divām paralēlām līnijām

Šis ir vēl viens piemērs neatkarīgs lēmums. Es sniegšu jums nelielu mājienu: ir bezgala daudz veidu, kā to atrisināt. Apspriešana nodarbības beigās, bet labāk mēģināt uzminēt pašam, manuprāt, jūsu atjautība bija labi attīstīta.

Leņķis starp divām taisnēm

Katrs stūris ir aploka:

Ģeometrijā leņķis starp divām taisnēm tiek pieņemts par MAZĀKO leņķi, no kura automātiski izriet, ka tas nevar būt neass. Attēlā sarkanā loka norādītais leņķis netiek uzskatīts par leņķi starp krustojošām līnijām. Un viņa “zaļais” kaimiņš vai pretēji orientēts"aveņu" stūrītis.

Ja līnijas ir perpendikulāras, par leņķi starp tām var uzskatīt jebkuru no 4 leņķiem.

Kā atšķiras leņķi? Orientēšanās. Pirmkārt, ļoti svarīgs ir virziens, kurā leņķis tiek “ritināts”. Otrkārt, negatīvi orientētu leņķi raksta ar mīnusa zīmi, piemēram, ja .

Kāpēc es tev to teicu? Šķiet, ka varam iztikt ar ierasto leņķa jēdzienu. Fakts ir tāds, ka formulas, pēc kurām mēs atradīsim leņķus, var viegli izraisīt negatīvu rezultātu, un tam nevajadzētu jūs pārsteigt. Leņķis ar mīnusa zīmi nav sliktāks, un tam ir ļoti specifisks ģeometriskā nozīme. Zīmējumā negatīvam leņķim noteikti norādiet tā orientāciju ar bultiņu (pulksteņrādītāja virzienā).

Kā atrast leņķi starp divām taisnēm? Ir divas darba formulas:

10. piemērs

Atrodiet leņķi starp līnijām

Risinājums Un Pirmā metode

Apsveriet divas taisnas līnijas, kas norādītas vienādojumos in vispārējs skats:

Ja taisni nav perpendikulāri, Tas orientēts Leņķi starp tiem var aprēķināt, izmantojot formulu:

Pievērsīsim īpašu uzmanību saucējam - tieši tā skalārais produkts taisnu līniju virzīšanas vektori:

Ja , tad formulas saucējs kļūst par nulli, un vektori būs ortogonāli un līnijas būs perpendikulāras. Tāpēc formulējumā tika izteikta atruna par taisnu līniju neperpendikularitāti.

Pamatojoties uz iepriekš minēto, ir ērti formalizēt risinājumu divos posmos:

1) Aprēķināsim līniju virziena vektoru skalāro reizinājumu:

2) Atrodiet leņķi starp taisnēm, izmantojot formulu:

Izmantojot apgriezto funkciju, ir viegli atrast pašu leņķi. Šajā gadījumā mēs izmantojam arktangenta dīvainību (sk. Grafiki un īpašības elementāras funkcijas ):

Atbilde:

Atbildē mēs norādām precīza vērtība, kā arī aptuvenā vērtība (vēlams gan grādos, gan radiānos), kas aprēķināta, izmantojot kalkulatoru.

Nu mīnuss, mīnuss, nekāda lielā bēda. Šeit ir ģeometriska ilustrācija:

Nav pārsteidzoši, ka leņķis izrādījās negatīvas orientācijas, jo uzdevuma formulējumā pirmais skaitlis ir taisna līnija un tieši ar to sākās leņķa “atskrūvēšana”.

Ja jūs patiešām vēlaties iegūt pozitīvu leņķi, jums ir jāmaina līnijas, tas ir, jāņem koeficienti no otrā vienādojuma , un ņemt koeficientus no pirmā vienādojuma. Īsāk sakot, jums jāsāk ar tiešo .

Es to neslēpšu, es pats atlasu taisnās līnijas tādā secībā, lai leņķis būtu pozitīvs. Tas ir skaistāks, bet nekas vairāk.

Lai pārbaudītu risinājumu, varat ņemt transportieri un izmērīt leņķi.

Otrā metode

Ja taisnes dotas ar vienādojumiem ar slīpumu un nav perpendikulāri, Tas orientēts Leņķi starp tiem var atrast, izmantojot formulu:

Līniju perpendikularitātes nosacījumu izsaka vienādība, no kuras, starp citu, izriet ļoti noderīga attiecība starp perpendikulāro līniju leņķiskajiem koeficientiem: , kas tiek izmantota dažos uzdevumos.

Risinājuma algoritms ir līdzīgs iepriekšējā rindkopā. Bet vispirms pārrakstīsim mūsu taisnās līnijas vajadzīgajā formā:

Tādējādi nogāzes ir:

1) Pārbaudīsim, vai līnijas ir perpendikulāras:
, kas nozīmē, ka līnijas nav perpendikulāras.

2) Izmantojiet formulu:

Atbilde:

Otrā metode ir piemērota lietošanai, ja taisnu līniju vienādojumi sākotnēji ir norādīti ar leņķa koeficientu. Jāņem vērā, ja vismaz viena taisne ir paralēla ordinātu asij, tad formula nav piemērojama vispār, jo šādām taisnēm slīpums nav definēts (skat. rakstu Taisnes vienādojums plaknē).

Ir trešais risinājums. Ideja ir aprēķināt leņķi starp līniju virziena vektoriem, izmantojot stundā apspriesto formulu Vektoru punktu reizinājums:

Šeit mēs vairs nerunājam par orientētu leņķi, bet “tikai par leņķi”, tas ir, rezultāts noteikti būs pozitīvs. Rezultāts ir tāds, ka jūs varat iegūt strupu leņķi (nevis vajadzīgo). Šajā gadījumā jums būs jāizdara atruna, ka leņķis starp taisnēm ir mazāks, un no “pi” radiāniem (180 grādi) jāatņem iegūtais loka kosinuss.

Tie, kas vēlas, var atrisināt problēmu trešajā veidā. Bet es joprojām iesaku pieturēties pie pirmās pieejas ar orientētu leņķi, jo tā ir plaši izplatīta.

11. piemērs

Atrodiet leņķi starp līnijām.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Mēģiniet to atrisināt divos veidos.

Kaut kā tā pasaka pa ceļam izdzisa... Jo nav Kaščeja Nemirstīgā. Tur esmu es, un es neesmu īpaši tvaicēta. Ja godīgi, es domāju, ka raksts būs daudz garāks. Bet es joprojām paņemšu savu nesen iegādāto cepuri un brilles un iešu peldēties septembra ezera ūdenī. Lieliski mazina nogurumu un negatīvo enerģiju.

Pirms tam uz drīzu redzēšanos!

Un atcerieties, Baba Yaga nav atcelta =)

Risinājumi un atbildes:

3. piemērs:Risinājums : Atradīsim līnijas virziena vektoru :

Izmantojot punktu, sastādīsim vajadzīgās taisnes vienādojumu un virziena vektors . Tā kā viena no virziena vektora koordinātām ir nulle, Eq. pārrakstīsim formā:

Atbilde :

5. piemērs:Risinājums :
1) Taisnes vienādojums izveidosim divus punktus :

2) Taisnes vienādojums izveidosim divus punktus :

3) Atbilstošie koeficienti mainīgajiem nav proporcionāls: , kas nozīmē, ka līnijas krustojas.
4) Atrodi punktu :

Piezīme : šeit pirmais sistēmas vienādojums tiek reizināts ar 5, tad 2. tiek atņemts no 1. vienādojuma.
Atbilde :

Ak-o-o-o... nu, tas ir grūti, it kā viņš pie sevis nolasītu teikumu =) Tomēr vēlāk palīdzēs atslābums, jo īpaši tāpēc, ka šodien nopirku atbilstošos aksesuārus. Tāpēc pāriesim pie pirmās sadaļas, ceru, ka līdz raksta beigām saglabāšu jautru noskaņojumu.

Divu taisnu līniju relatīvais novietojums

Tas ir gadījums, kad publika dzied līdzi korī. Divas taisnas līnijas var:

1) sērkociņš;

2) būt paralēli: ;

3) vai krustojas vienā punktā: .

Palīdzība manekeniem : Lūdzu, atcerieties matemātisko krustojuma zīmi, tā parādīsies ļoti bieži. Apzīmējums nozīmē, ka līnija krustojas ar līniju punktā .

Kā noteikt divu līniju relatīvo stāvokli?

Sāksim ar pirmo gadījumu:

Divas līnijas sakrīt tad un tikai tad, ja to atbilstošie koeficienti ir proporcionāli, tas ir, ir tāds skaitlis “lambda”, ka vienādības ir izpildītas

Aplūkosim taisnes un no atbilstošajiem koeficientiem izveidosim trīs vienādojumus: . No katra vienādojuma izriet, ka tāpēc šīs līnijas sakrīt.

Patiešām, ja visi vienādojuma koeficienti reiziniet ar –1 (izmaiņas zīmes) un visus vienādojuma koeficientus apgriežot ar 2, jūs iegūstat to pašu vienādojumu: .

Otrais gadījums, kad līnijas ir paralēlas:

Divas taisnes ir paralēlas tad un tikai tad, ja to mainīgo koeficienti ir proporcionāli: , Bet.

Piemēram, apsveriet divas taisnas līnijas. Mēs pārbaudām atbilstošo koeficientu proporcionalitāti mainīgajiem:

Tomēr ir pilnīgi skaidrs, ka.

Un trešais gadījums, kad līnijas krustojas:

Divas taisnes krustojas tad un tikai tad, ja to mainīgo koeficienti NAV proporcionāli, tas ir, NAV tādas “lambda” vērtības, lai vienādības būtu izpildītas

Tātad taisnām līnijām mēs izveidosim sistēmu:

No pirmā vienādojuma izriet, ka , un no otrā vienādojuma: , kas nozīmē sistēma ir nekonsekventa(nav risinājumu). Tādējādi mainīgo lielumu koeficienti nav proporcionāli.

Secinājums: līnijas krustojas

Praktiskajās problēmās varat izmantot tikko apspriesto risinājuma shēmu. Starp citu, tas ļoti atgādina vektoru kolinearitātes pārbaudes algoritmu, kuru mēs apskatījām klasē Vektoru lineārās (ne)atkarības jēdziens. Vektoru bāze. Bet ir arī civilizētāks iepakojums:

1. piemērs

Izdomāt savstarpēja vienošanās tiešs:

Risinājums pamatojoties uz taisnu līniju virzīšanas vektoru izpēti:

a) No vienādojumiem atrodam līniju virziena vektorus: .

, kas nozīmē, ka vektori nav kolineāri un līnijas krustojas.

Katram gadījumam krustojumā uzlikšu akmeni ar zīmēm:

Pārējie lec pāri akmenim un seko tālāk, taisni uz Kaščeju Nemirstīgo =)

b) Atrodiet līniju virziena vektorus:

Līnijām ir vienāds virziena vektors, kas nozīmē, ka tās ir paralēlas vai sakrīt. Šeit nav jāskaita noteicējs.

Ir skaidrs, ka nezināmo koeficienti ir proporcionāli, un .

Noskaidrosim, vai vienlīdzība ir patiesa:

Tādējādi

c) Atrodiet līniju virziena vektorus:

Aprēķināsim determinantu, kas sastāv no šo vektoru koordinātām:
, tāpēc virziena vektori ir kolineāri. Līnijas ir paralēlas vai sakrīt.

Proporcionalitātes koeficientu “lambda” ir viegli redzēt tieši no kolineāro virzienu vektoru attiecības. Tomēr to var atrast arī, izmantojot pašu vienādojumu koeficientus: .

Tagad noskaidrosim, vai vienlīdzība ir patiesa. Abi bezmaksas nosacījumi ir nulle, tāpēc:

Iegūtā vērtība apmierina šo vienādojumu (jebkurš skaitlis kopumā to apmierina).

Tādējādi līnijas sakrīt.

Atbilde:

Ļoti drīz jūs iemācīsities (vai pat jau esat iemācījušies) atrisināt mutiski apspriesto problēmu burtiski dažu sekunžu laikā. Šajā sakarā es neredzu jēgu kaut ko piedāvāt neatkarīgam risinājumam, labāk ir likt vēl vienu svarīgu ķieģeli ģeometriskajā pamatnē:

Kā izveidot taisni, kas ir paralēla dotajai?

Par šī vienkāršākā uzdevuma nezināšanu Lakstīgala Laupītājs bargi sodīs.

2. piemērs

Taisni nosaka vienādojums. Uzrakstiet vienādojumu paralēlai taisnei, kas iet caur punktu.

Risinājums: Nezināmo rindu apzīmēsim ar burtu . Ko par viņu saka stāvoklis? Taisnā līnija iet caur punktu. Un, ja līnijas ir paralēlas, tad ir acīmredzams, ka taisnes virziena vektors “tse” ir piemērots arī taisnes “de” konstruēšanai.

Mēs izņemam virziena vektoru no vienādojuma:

Atbilde:

Ģeometrijas piemērs izskatās vienkāršs:

Analītiskā pārbaude sastāv no nākamie soļi:

1) Pārbaudām, vai līnijām ir vienāds virziena vektors (ja taisnes vienādojums nav pareizi vienkāršots, tad vektori būs kolineāri).

2) Pārbaudiet, vai punkts apmierina iegūto vienādojumu.

Vairumā gadījumu analītisko testēšanu var viegli veikt mutiski. Apskatiet divus vienādojumus, un daudzi no jums ātri noteiks līniju paralēlismu bez jebkāda zīmējuma.

Neatkarīgu risinājumu piemēri šodien būs radoši. Jo vēl būs jāsacenšas ar Baba Jagu, un viņa, ziniet, ir visdažādāko mīklu cienītāja.

3. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu, kas ir paralēls taisnei if

Ir racionāls un ne tik racionāls veids, kā to atrisināt. Īsākais ceļš ir nodarbības beigās.

Mēs nedaudz strādājām ar paralēlām līnijām un pie tām atgriezīsimies vēlāk. Sakrītošu līniju gadījums maz interesē, tāpēc apskatīsim problēmu, kas jums ir pazīstama skolas mācību programma:

Kā atrast divu līniju krustošanās punktu?

Ja taisni krustojas punktā , tad tā koordinātas ir risinājums lineāro vienādojumu sistēmas

Kā atrast līniju krustošanās punktu? Atrisiniet sistēmu.

Lūk ģeometriskā nozīme divu lineāru vienādojumu sistēmai ar diviem nezināmiem- tās ir divas plaknes krustojošas (visbiežāk) līnijas.

4. piemērs

Atrodiet līniju krustošanās punktu

Risinājums: Ir divi risināšanas veidi – grafiskais un analītiskais.

Grafiskā metode ir vienkārši uzzīmēt dotās līnijas un noskaidrot krustošanās punktu tieši no zīmējuma:

Šeit ir mūsu punkts: . Lai pārbaudītu, katrā līnijas vienādojumā jāievieto tās koordinātas, tām ir jāiekļaujas gan tur, gan tur. Citiem vārdiem sakot, punkta koordinātas ir sistēmas risinājums. Būtībā mēs apskatījām grafisko risinājumu lineāro vienādojumu sistēmas ar diviem vienādojumiem, diviem nezināmiem.

Grafiskā metode, protams, nav slikta, taču ir manāmi trūkumi. Nē, runa nav par to, ka septītklasnieki šādi izlemj, bet gan par to, ka pareiza un PRECĪZA zīmējuma izveidošana prasīs laiku. Turklāt dažas taisnes nav tik vienkārši konstruējamas, un pats krustošanās punkts var atrasties kaut kur trīsdesmitajā valstībā ārpus piezīmju grāmatiņas lapas.

Tāpēc krustošanās punktu lietderīgāk ir meklēt ar analītisko metodi. Atrisināsim sistēmu:

Sistēmas risināšanai tika izmantota vienādojumu saskaitīšanas metode pa terminiem. Lai attīstītu atbilstošas prasmes, apmeklējiet mācību stundu Kā atrisināt vienādojumu sistēmu?

Atbilde:

Pārbaude ir triviāla – krustojuma punkta koordinātām jāapmierina katrs sistēmas vienādojums.

5. piemērs

Atrodiet līniju krustošanās punktu, ja tās krustojas.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Ir ērti sadalīt uzdevumu vairākos posmos. Stāvokļa analīze liecina, ka ir nepieciešams:
1) Pierakstiet taisnes vienādojumu.
2) Pierakstiet taisnes vienādojumu.
3) Noskaidro līniju relatīvo novietojumu.
4) Ja līnijas krustojas, tad atrodiet krustošanās punktu.

Darbības algoritma izstrāde ir raksturīga daudzām ģeometriskām problēmām, un es vairākkārt pievērsīšos tam.

Pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās:

Pirms nonācām stundas otrajā daļā, nebija nolietots pat apavu pāris:

Perpendikulāras līnijas. Attālums no punkta līdz līnijai.
Leņķis starp taisnām līnijām

Sāksim ar tipisku un ļoti svarīgs uzdevums. Pirmajā daļā mēs uzzinājām, kā izveidot taisnu līniju paralēli šai, un tagad būda uz vistas kājām pagriezīsies par 90 grādiem:

Kā izveidot līniju, kas ir perpendikulāra noteiktai?

6. piemērs

Taisni nosaka vienādojums. Uzrakstiet vienādojumu perpendikulāri tai taisnei, kas iet caur punktu.

Risinājums: Pēc nosacījuma ir zināms, ka. Būtu jauki atrast līnijas virzošo vektoru. Tā kā līnijas ir perpendikulāras, triks ir vienkāršs:

No vienādojuma “noņemam” normālvektoru: , kas būs taisnes virzošais vektors.

Sastādām taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru:

Atbilde:

Izvērsīsim ģeometrisko skici:

Hmm... Oranžas debesis, oranža jūra, oranžs kamielis.

Risinājuma analītiskā pārbaude:

1) No vienādojumiem izņemam virziena vektorus un ar palīdzību vektoru skalārais reizinājums mēs nonākam pie secinājuma, ka taisnes patiešām ir perpendikulāras: .

Starp citu, jūs varat izmantot parastos vektorus, tas ir vēl vienkāršāk.

2) Pārbaudiet, vai punkts apmierina iegūto vienādojumu .

Pārbaudi atkal ir viegli veikt mutiski.

7. piemērs

Atrodiet perpendikulāru līniju krustošanās punktu, ja vienādojums ir zināms un periods.

Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Problēmā ir vairākas darbības, tāpēc ir ērti formulēt risinājumu punktu pa punktam.

Mūsu aizraujošais ceļojums turpinās:

Attālums no punkta līdz līnijai

Mums priekšā ir taisna upes josla un mūsu uzdevums ir līdz tai nokļūt pa īsāko ceļu. Šķēršļu nav, un optimālākais maršruts būs pārvietošanās pa perpendikulu. Tas ir, attālums no punkta līdz līnijai ir perpendikulāra segmenta garums.

Attālums ģeometrijā tradicionāli tiek apzīmēts ar grieķu burtu “rho”, piemēram: – attālums no punkta “em” līdz taisnei “de”.

Attālums no punkta līdz līnijai izteikts ar formulu

8. piemērs

Atrodiet attālumu no punkta līdz līnijai

Risinājums: viss, kas jums jādara, ir rūpīgi jāaizstāj skaitļi formulā un jāveic aprēķini:

Atbilde:

Izveidosim zīmējumu:

Atrastais attālums no punkta līdz līnijai ir tieši sarkanā segmenta garums. Ja uz rūtainā papīra uzzīmējat zīmējumu 1 mērogā. = 1 cm (2 šūnas), tad attālumu var izmērīt ar parastu lineālu.

Apskatīsim citu uzdevumu, pamatojoties uz to pašu zīmējumu:

Uzdevums ir atrast punkta koordinātas, kas ir simetrisks punktam attiecībā pret taisni . Es iesaku veikt darbības pašam, bet es izklāstīšu risinājuma algoritmu ar starprezultātiem:

1) Atrodiet taisni, kas ir perpendikulāra tai.

2) Atrodiet līniju krustošanās punktu: .

Abas darbības ir detalizēti apspriestas šajā nodarbībā.

3) Punkts ir segmenta viduspunkts. Mēs zinām vidus un viena gala koordinātas. Autors formulas segmenta viduspunkta koordinātām mēs atradām .

Būtu lietderīgi pārbaudīt, vai attālums ir arī 2,2 vienības.

Šeit var rasties grūtības aprēķinos, bet tornī lieliski palīdz mikrokalkulators, kas ļauj aprēķināt parastās daļskaitļus. Esmu jums daudzkārt konsultējis un ieteikšu vēlreiz.

Kā atrast attālumu starp divām paralēlām līnijām?

9. piemērs

Atrodiet attālumu starp divām paralēlām līnijām

Šis ir vēl viens piemērs, kas jums jāizlemj pašiem. Es sniegšu jums nelielu mājienu: ir bezgala daudz veidu, kā to atrisināt. Apspriešana nodarbības beigās, bet labāk mēģināt uzminēt pašam, manuprāt, jūsu atjautība bija labi attīstīta.

Leņķis starp divām taisnēm

Ja līnijas ir perpendikulāras, par leņķi starp tām var uzskatīt jebkuru no 4 leņķiem.

Kā atšķiras leņķi? Orientēšanās. Pirmkārt, ļoti svarīgs ir virziens, kurā leņķis tiek “ritināts”. Otrkārt, negatīvi orientētu leņķi raksta ar mīnusa zīmi, piemēram, ja .

Kāpēc es tev to teicu? Šķiet, ka varam iztikt ar ierasto leņķa jēdzienu. Fakts ir tāds, ka formulas, pēc kurām mēs atradīsim leņķus, var viegli izraisīt negatīvu rezultātu, un tam nevajadzētu jūs pārsteigt. Leņķis ar mīnusa zīmi nav sliktāks, un tam ir ļoti specifiska ģeometriskā nozīme. Zīmējumā negatīvam leņķim noteikti norādiet tā orientāciju ar bultiņu (pulksteņrādītāja virzienā).

Kā atrast leņķi starp divām taisnēm? Ir divas darba formulas:

10. piemērs

Atrodiet leņķi starp līnijām

Risinājums Un Pirmā metode

Apskatīsim divas taisnas līnijas, kuras definē vienādojumi vispārīgā formā:

Ja taisni nav perpendikulāri, Tas orientēts Leņķi starp tiem var aprēķināt, izmantojot formulu:

Pievērsīsim īpašu uzmanību saucējam - tieši tā skalārais produkts taisnu līniju virzīšanas vektori:

Ja , tad formulas saucējs kļūst par nulli, un vektori būs ortogonāli un līnijas būs perpendikulāras. Tāpēc formulējumā tika izteikta atruna par taisnu līniju neperpendikularitāti.

Pamatojoties uz iepriekš minēto, ir ērti formalizēt risinājumu divos posmos:

1) Aprēķināsim līniju virziena vektoru skalāro reizinājumu:
, kas nozīmē, ka līnijas nav perpendikulāras.

2) Atrodiet leņķi starp taisnēm, izmantojot formulu:

Izmantojot apgriezto funkciju, ir viegli atrast pašu leņķi. Šajā gadījumā mēs izmantojam arktangenta dīvainību (sk. Elementāro funkciju grafiki un īpašības):

Atbilde:

Jūsu atbildē mēs norādām precīzu vērtību, kā arī aptuveno vērtību (vēlams gan grādos, gan radiānos), kas aprēķināta, izmantojot kalkulatoru.

Problēmas formulēšana. Atrodiet punkta koordinātas, kas ir simetriska punktam attiecībā pret lidmašīnu.

Risinājuma plāns.

1. Atrodiet vienādojumu taisnei, kas ir perpendikulāra noteiktai plaknei un iet caur punktu . Tā kā taisne ir perpendikulāra noteiktai plaknei, tad par tās virziena vektoru var ņemt plaknes normālvektoru, t.i.

Tāpēc taisnās līnijas vienādojums būs

2. Atrodi punktu taisnas līnijas krustpunkts un plaknes (sk. 13. uzdevumu).

3. Punkts ir segmenta viduspunkts, kurā atrodas punkts ir punkts, kas ir simetrisks punktam , Tāpēc

14. problēma. Atrodiet punktu, kas ir simetrisks punktam attiecībā pret plakni.

Taisnas līnijas, kas iet caur punktu, kas ir perpendikulāra noteiktai plaknei, vienādojums būs:

Atradīsim taisnes un plaknes krustošanās punktu.

Kur – taisnes un plaknes krustpunkts ir nogriežņa vidusdaļa, tāpēc

Tie. .

Homogēnās plaknes koordinātas. Afīnās pārvērtības plaknē.

Ļaujiet M X Un plkst

M(X, plkstMae (X, plkst, 1) telpā (8. att.).

Mae (X, plkst

Mae (X, plkst hu.

(hx, hy, h), h  0,

komentēt

h(Piemēram, h

Patiesībā, ņemot vērā h

komentēt

1. piemērs.

b) leņķī (9. att.).

1. solis.

2. solis. Pagriezt par leņķi 

atbilstošās transformācijas matrica.

3. solis. Pārnešana uz vektoru A(a, b)

atbilstošās transformācijas matrica.

3. piemērs

 pa x asi un

1. solis.

atbilstošās transformācijas matrica.

2. solis.

3. solis.

beidzot saņemsim

komentēt

[R], [D], [M], [T],

Ļaujiet M- patvaļīgs plaknes punkts ar koordinātām X Un plkst, aprēķina attiecībā pret doto taisnvirziena koordinātu sistēmu. Šī punkta viendabīgās koordinātas ir jebkurš vienlaikus nulle neatšķirīgu skaitļu x 1, x 2, x 3 trīskāršs, kas saistīts ar dotajiem skaitļiem x un y ar šādām sakarībām:

Risinot datorgrafikas uzdevumus, viendabīgas koordinātas parasti ievada šādi: uz patvaļīgu punktu M(X, plkst) plaknei tiek piešķirts punkts Mae (X, plkst, 1) telpā (8. att.).

Ņemiet vērā, ka patvaļīgs punkts uz līnijas, kas savieno sākuma punktu, punktu 0(0, 0, 0) ar punktu Mae (X, plkst, 1), var dot ar formas skaitļu trīskāršu (hx, hy, h).

Vektors ar koordinātām hx, hy ir virziena vektors taisnei, kas savieno punktus 0 (0, 0, 0) un Mae (X, plkst, 1). Šī taisne šķērso z = 1 plakni punktā (x, y, 1), kas unikāli definē koordinātu plaknes punktu (x, y). hu.

Tādējādi starp patvaļīgu punktu ar koordinātām (x, y) un formas skaitļu trīskāršu kopu

(hx, hy, h), h  0,

tiek izveidota (viens pret vienu) atbilstība, kas ļauj uzskatīt skaitļus hx, hy, h par šī punkta jaunajām koordinātām.

komentēt

Projektīvajā ģeometrijā plaši izmantotās viendabīgās koordinātas ļauj efektīvi aprakstīt tā sauktos nepareizos elementus (būtībā tos, kuros projekcijas plakne atšķiras no pazīstamās Eiklīda plaknes). Sīkāka informācija par jaunajām iespējām, ko sniedz ieviestās homogēnās koordinātas, ir aplūkota šīs nodaļas ceturtajā sadaļā.

Projektīvajā ģeometrijā viendabīgām koordinātām tiek pieņemts šāds apzīmējums:

x:y:1 vai, vispārīgāk, x1:x2:x3

(atcerieties, ka šeit ir absolūti nepieciešams, lai skaitļi x 1, x 2, x 3 vienlaikus nepārvērstos par nulli).

Viendabīgu koordinātu izmantošana izrādās ērta pat vienkāršāko uzdevumu risināšanā.

Apsveriet, piemēram, jautājumus, kas saistīti ar mēroga izmaiņām. Ja displeja ierīce darbojas tikai ar veseliem skaitļiem (vai ja jums ir jāstrādā tikai ar veseliem skaitļiem), tad patvaļīgai vērtībai h(Piemēram, h= 1) punkts ar viendabīgām koordinātām

neiespējami iedomāties. Tomēr, saprātīgi izvēloties h, ir iespējams nodrošināt, ka šī punkta koordinātas ir veseli skaitļi. Konkrēti, h = 10 aplūkojamajam piemēram

Apskatīsim citu gadījumu. Lai transformācijas rezultāti nenovestu pie aritmētiskas pārpildes, punktam ar koordinātām (80000 40000 1000) var ņemt, piemēram, h=0,001. Rezultātā mēs iegūstam (80 40 1).

Dotie piemēri parāda viendabīgu koordinātu izmantošanas lietderību, veicot aprēķinus. Tomēr galvenais mērķis viendabīgu koordinātu ieviešanai datorgrafikā ir to neapšaubāmā ērtība pielietošanā ģeometriskajās transformācijās.

Izmantojot viendabīgu koordinātu trīskāršus un trešās kārtas matricas, var aprakstīt jebkuru plaknes afīnu transformāciju.

Patiesībā, ņemot vērā h= 1, salīdziniet divus ierakstus: atzīmēti ar simbolu * un šādu matricu:

Ir viegli redzēt, ka pēc pēdējās attiecības labajā pusē esošo izteiksmju reizināšanas iegūstam gan formulas (*), gan pareizo skaitlisko vienādību 1=1.

komentēt

Dažreiz literatūrā tiek izmantots cits apzīmējums - kolonnu apzīmējums:

Šis apzīmējums ir līdzvērtīgs iepriekš minētajam apzīmējumam pa rindiņām (un tiek iegūts no tā, transponējot).

Patvaļīgas afīnās transformācijas matricas elementiem nav skaidras ģeometriskas nozīmes. Tāpēc, lai īstenotu to vai citu kartēšanu, tas ir, lai atrastu atbilstošās matricas elementus pēc dotā ģeometriskā apraksta, ir nepieciešami īpaši paņēmieni. Parasti šīs matricas uzbūve atbilstoši aplūkojamās problēmas sarežģītībai un iepriekš aprakstītajiem īpašajiem gadījumiem ir sadalīta vairākos posmos.

Katrā posmā tiek meklēta matrica, kas atbilst vienam vai otram no iepriekš minētajiem gadījumiem A, B, C vai D, kuriem ir precīzi noteiktas ģeometriskās īpašības.

Pierakstīsim atbilstošās trešās kārtas matricas.

A. Rotācijas matrica

B. Dilatācijas matrica

B. Atstarošanas matrica

D. Pārsūtīšanas matrica (tulkojums)

Apskatīsim plaknes afīnu transformāciju piemērus.

1. piemērs.

Izveidojiet rotācijas matricu ap punktu A (a,b) leņķī (9. att.).

1. solis. Pārsūtīt uz vektoru – A (-a, -b), lai izlīdzinātu rotācijas centru ar koordinātu sākumpunktu;

atbilstošās transformācijas matrica.

2. solis. Pagriezt par leņķi 

atbilstošās transformācijas matrica.

3. solis. Pārnešana uz vektoru A(a, b) atgriezt griešanās centru iepriekšējā pozīcijā;

atbilstošās transformācijas matrica.

Sareizināsim matricas tādā pašā secībā, kādā tās ir uzrakstītas:

Rezultātā mēs atklājam, ka vēlamā transformācija (matricas apzīmējumā) izskatīsies šādi:

Iegūtās matricas elementus (īpaši pēdējā rindā) nav tik viegli atcerēties. Tajā pašā laikā katru no trim reizinātajām matricām var viegli izveidot no atbilstošās kartēšanas ģeometriskā apraksta.

3. piemērs

Izveidojiet stiepes matricu ar stiepes koeficientiem pa x asi un pa ordinātu asi un ar centru punktā A(a, b).

1. solis. Pārnes uz vektoru -A(-a, -b), lai izlīdzinātu stiepšanās centru ar koordinātu izcelsmi;

atbilstošās transformācijas matrica.

2. solis. Stiepšanās pa koordinātu asīm attiecīgi ar koeficientiem  un ; transformācijas matricai ir forma

3. solis. Pāriet uz vektoru A(a, b), lai atgrieztu spriedzes centru iepriekšējā pozīcijā; atbilstošās transformācijas matrica –

Matricu reizināšana tādā pašā secībā

beidzot saņemsim

komentēt

Spriegošana līdzīgā veidā, tas ir, ierosinātās transformācijas sadalīšana posmos, ko atbalsta matricas[R], [D], [M], [T], no tās ģeometriskā apraksta var izveidot jebkuras afīnās transformācijas matricu.

Shift tiek īstenots, saskaitot, un mērogošana un pagriešana tiek īstenota ar reizināšanu.

Mērogošanas transformācija (dilatācijai) attiecībā pret izcelsmi ir šāda forma:

vai matricas formā:

Kur Dx,Dy ir mērogošanas faktori gar asīm, un

- mērogošanas matrica.

Ja D > 1, notiek izplešanās, kad 0<=D<1- сжатие

Rotācijas transformācija attiecībā pret izcelsmi ir šāda forma:

vai matricas formā:

kur φ ir griešanās leņķis un

- rotācijas matrica.

komentēt: Rotācijas matricas kolonnas un rindas ir savstarpēji ortogonāli vienību vektori. Faktiski rindu vektoru garuma kvadrāti ir vienādi ar vienu:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 un (-sinφ) (-sinφ) + cosφ cosφ = 1,

un rindu vektoru skalārais reizinājums ir

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Tā kā vektoru skalārais reizinājums A · B = |A| ·| B| ·cosψ, kur | A| - vektora garums A, |B| - vektora garums B, un ψ ir mazākais pozitīvais leņķis starp tiem, tad no divu rindu vektoru, kuru garums ir 1, skalārā reizinājuma vienādības 0 izriet, ka leņķis starp tiem ir 90 °.

Taisni telpā vienmēr var definēt kā divu neparalēlu plakņu krustošanās līniju. Ja vienas plaknes vienādojums ir otrās plaknes vienādojums, tad taisnes vienādojums tiek dots kā

Šeit nekolineārs
. Šos vienādojumus sauc vispārīgie vienādojumi taisni kosmosā.

Taisnes kanoniskie vienādojumi

Jebkuru vektoru, kas nav nulle, kas atrodas uz noteiktas taisnes vai paralēli tai, sauc par šīs taisnes virziena vektoru.

Ja punkts ir zināms
taisne un tās virziena vektors
, tad līnijas kanoniskajiem vienādojumiem ir šāda forma:

. (9)

Līnijas parametriskie vienādojumi

Dodiet taisnes kanoniskos vienādojumus

No šejienes mēs iegūstam līnijas parametriskos vienādojumus:

(10)

Šie vienādojumi ir noderīgi, lai atrastu taisnes un plaknes krustošanās punktu.

Taisnes vienādojums, kas iet caur diviem punktiem
Un
ir šāda forma:

Leņķis starp taisnām līnijām

Leņķis starp taisnām līnijām

vienāds ar leņķi starp to virziena vektoriem. Tāpēc to var aprēķināt, izmantojot formulu (4):

Nosacījums paralēlām līnijām:

Nosacījumi, lai plaknes būtu perpendikulāras:

Punkta attālums no taisnes

P pieņemsim, ka punkts ir dots
un taisni

No taisnes kanoniskajiem vienādojumiem mēs zinām punktu
, kas pieder pie taisnes, un tās virziena vektors
. Tad punkta attālums
no taisnes ir vienāds ar uz vektoriem veidota paralelograma augstumu Un
. Tāpēc

Nosacījums līniju krustojumam

Divas neparalēlas līnijas

krustojas tad un tikai tad

Taisnes līnijas un plaknes relatīvais novietojums.

Ļaujiet dot taisnu līniju
un lidmašīna. Stūris starp tiem var atrast pēc formulas

73. uzdevums. Uzrakstiet taisnes kanoniskos vienādojumus

(11)

Risinājums. Lai pierakstītu taisnes (9) kanoniskos vienādojumus, ir jāzina jebkurš tai piederošais punkts un taisnes virziena vektors.

Atradīsim vektoru , paralēli šai līnijai. Tā kā tam jābūt perpendikulāram šo plakņu normālvektoriem, t.i.

,
, Tas

No taisnās līnijas vispārīgajiem vienādojumiem mums ir tas
,
. Tad

Kopš punkta
jebkuru taisnes punktu, tad tā koordinātām ir jāatbilst taisnes vienādojumiem un vienu no tiem var norādīt, piemēram,
, mēs atrodam pārējās divas koordinātas no sistēmas (11):

No šejienes,
.

Tādējādi vajadzīgās līnijas kanoniskajiem vienādojumiem ir šāda forma:

vai
.

74. problēma.

Un
.

Risinājums. No pirmās rindas kanoniskajiem vienādojumiem ir zināmas punkta koordinātas
līnijai piederošās, un virziena vektora koordinātas
. No otrās līnijas kanoniskajiem vienādojumiem ir zināmas arī punkta koordinātas
un virziena vektora koordinātas
.

Attālums starp paralēlām līnijām ir vienāds ar punkta attālumu
no otrās taisnes. Šo attālumu aprēķina pēc formulas

Atradīsim vektora koordinātas
.

Aprēķināsim vektora reizinājumu
:

75. uzdevums. Atrodi punktu simetrisks punkts
salīdzinoši taisni

Risinājums. Pierakstīsim vienādojumu plaknei, kas ir perpendikulāra noteiktai taisnei un iet caur punktu . Kā tā parastais vektors jūs varat ņemt taisnas līnijas virzošo vektoru. Tad
. Tāpēc

Atradīsim punktu
šīs taisnes un plaknes P krustošanās punkts. Lai to izdarītu, rakstām taisnes parametriskos vienādojumus, izmantojot vienādojumus (10), iegūstam

Tāpēc
.

Ļaujiet
punkts simetrisks punktam
attiecībā pret šo līniju. Tad norādiet
viduspunkts
. Lai atrastu punkta koordinātas Mēs izmantojam formulas segmenta viduspunkta koordinātām:

,
,
.

Tātad,
.

76. uzdevums. Uzrakstiet vienādojumu plaknei, kas iet caur līniju
Un

a) caur punktu
;

b) perpendikulāri plaknei.

Risinājums. Pierakstīsim šīs līnijas vispārīgos vienādojumus. Lai to izdarītu, apsveriet divas vienādības:

Tas nozīmē, ka vēlamā plakne pieder plakņu kopai ar ģeneratoriem un tās vienādojumu var uzrakstīt formā (8):

a) Atradīsim
Un no nosacījuma, ka plakne iet caur punktu
, tāpēc tā koordinātām jāatbilst plaknes vienādojumam. Aizstāsim punkta koordinātas
plakņu kopas vienādojumā:

Atrasta vērtība
Aizstāsim to vienādojumā (12). iegūstam vajadzīgās plaknes vienādojumu:

b) Atradīsim
Un no nosacījuma, ka vēlamā plakne ir perpendikulāra plaknei. Dotās plaknes normālvektors
, vēlamās plaknes normāls vektors (skat. plakņu kopas vienādojumu (12).