Kā atrisināt izteiksmes ar daļskaitļiem. Parastas daļdaļas dalīšana ar daļskaitli

Skaitītājs un tas, kas dalīts ar, ir saucējs.

Lai ierakstītu daļskaitli, vispirms ierakstiet skaitītāju, pēc tam zem skaitļa novelciet horizontālu līniju un zem līnijas ierakstiet saucēju. Horizontālo līniju, kas atdala skaitītāju un saucēju, sauc par daļlīniju. Dažreiz tas tiek attēlots kā slīps "/" vai "∕". Šajā gadījumā skaitītājs tiek rakstīts pa kreisi no rindas, bet saucējs - pa labi. Tā, piemēram, daļa “divas trešdaļas” tiks uzrakstīta kā 2/3. Skaidrības labad skaitītājs parasti tiek rakstīts rindas augšpusē, bet saucējs - apakšā, tas ir, 2/3 vietā var atrast: ⅔.

Lai aprēķinātu daļu reizinājumu, vispirms reiziniet skaitītāju ar vienu frakcijas skaitītājs atšķiras. Ierakstiet rezultātu jaunā skaitītājā frakcijas. Pēc tam reiziniet saucējus. Ievadiet kopējo vērtību jaunajā frakcijas. Piemēram, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Lai dalītu vienu daļu ar citu, vispirms reiziniet pirmās daļas skaitītāju ar otrās saucēju. Dariet to pašu ar otro daļu (dalītāju). Vai arī pirms visu darbību veikšanas vispirms “apgrieziet” dalītāju, ja tas jums ir ērtāk: skaitītāja vietā jāparādās saucējam. Pēc tam reiziniet dividendes saucēju ar jauno dalītāja saucēju un reiziniet skaitītājus. Piemēram, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Avoti:

• Daļskaitļu pamatproblēmas

Daļskaitļus var izteikt dažādos veidos precīza vērtība daudzumus. Ar daļskaitļiem varat veikt tādas pašas matemātikas darbības kā ar veseliem skaitļiem: atņemšanu, saskaitīšanu, reizināšanu un dalīšanu. Lai iemācītos izlemt frakcijas, mums jāatceras dažas to iezīmes. Tie ir atkarīgi no veida frakcijas, veselas skaitļa daļas klātbūtne, kopsaucējs. Dažas aritmētiskās darbības pēc izpildes tie prasa rezultāta daļējās daļas samazināšanu.

Jums būs nepieciešams

• - kalkulators

Instrukcijas

Cieši apskatiet skaitļus. Ja starp daļskaitļiem ir decimālskaitļi un neregulāri, dažreiz ir ērtāk vispirms veikt darbības ar decimāldaļām un pēc tam pārvērst tās neregulārā formā. Vai vari iztulkot frakcijasšajā formā sākotnēji skaitītājā ierakstot vērtību aiz komata un saucējā ieliekot 10. Ja nepieciešams, samaziniet daļu, dalot skaitļus virs un zemāk ar vienu dalītāju. Daļskaitļi, kuros visa daļa ir izolēta, jāpārvērš nepareizā formā, reizinot to ar saucēju un rezultātam pievienojot skaitītāju. Šī vērtība kļūs par jauno skaitītāju frakcijas. Lai atlasītu veselu daļu no sākotnēji nepareizās frakcijas, jums ir jāsadala skaitītājs ar saucēju. Uzrakstiet visu rezultātu no frakcijas. Un pārējā dalījuma daļa kļūs par jauno skaitītāju, saucēju frakcijas tas nemainās. Par frakcijām ar visa daļa ir iespējams atsevišķi veikt darbības vispirms veselam skaitlim un pēc tam daļējām daļām. Piemēram, var aprēķināt summu 1 2/3 un 2 ¾:
- Daļskaitļu pārvēršana nepareizā formā:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Atsevišķi summējot veselus skaitļus un frakcionētas daļas noteikumi:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Pārrakstiet tos, izmantojot atdalītāju “:”, un turpiniet ar parasto dalīšanu.

Lai iegūtu gala rezultātu, samaziniet iegūto daļu, dalot skaitītāju un saucēju ar vienu veselu skaitli, kas ir lielākais iespējamais šajā gadījumā. Šajā gadījumā virs un zem līnijas ir jābūt veseliem skaitļiem.

Piezīme

Neveiciet aritmētiku ar daļskaitļiem, kuru saucēji ir atšķirīgi. Izvēlieties tādu skaitli, lai, reizinot ar to katras daļdaļas skaitītāju un saucēju, abu daļskaitļu saucēji būtu vienādi.

Noderīgs padoms

Rakstot daļskaitļus, dividende tiek rakstīta virs līnijas. Šis daudzums tiek apzīmēts kā daļas skaitītājs. Daļas dalītāju jeb saucēju raksta zem rindas. Piemēram, pusotru kilogramu rīsu kā daļu rakstīs šādi: 1,5 kg rīsu. Ja daļskaitļa saucējs ir 10, daļu sauc par decimāldaļu. Šajā gadījumā skaitītājs (dividende) tiek rakstīts pa labi no visas daļas, atdalot to ar komatu: 1,5 kg rīsu. Aprēķinu atvieglošanai šādu daļu vienmēr var uzrakstīt nepareizā formā: 1 2/10 kg kartupeļu. Lai vienkāršotu, varat samazināt skaitītāja un saucēja vērtības, dalot tās ar vienu veselu skaitli. Šajā piemērā varat dalīt ar 2. Rezultāts būs 1 1/5 kg kartupeļu. Pārliecinieties, vai skaitļi, ar kuriem veiksit aritmētiku, ir norādīti tādā pašā formā.

) un saucēju pēc saucēja (iegūstam reizinājuma saucēju).

Daļskaitļu reizināšanas formula:

Piemēram:

Pirms sākat reizināt skaitītājus un saucējus, jums jāpārbauda, ​​vai daļu var samazināt. Ja jūs varat samazināt daļu, jums būs vieglāk veikt turpmākus aprēķinus.

Parastas daļdaļas dalīšana ar daļskaitli.

Daļskaitļu dalīšana, kas ietver naturālus skaitļus.

Tas nav tik biedējoši, kā šķiet. Tāpat kā saskaitīšanas gadījumā, mēs pārvēršam veselu skaitli par daļu, kuras saucējā ir viens. Piemēram:

Jaukto frakciju reizināšana.

Daļskaitļu (jaukto) reizināšanas noteikumi:

• pārvērst jauktās frakcijas nepareizās frakcijās;
• daļskaitļu skaitītāju un saucēju reizināšana;
• samazināt frakciju;
• Ja iegūstat nepareizo frakciju, mēs pārvēršam nepareizo frakciju jauktā frakcijā.

Piezīme! Lai pavairot jauktā frakcija uz citu jauktu frakciju, vispirms tās jāpārvērš nepareizo daļskaitļu formā un pēc tam jāreizina saskaņā ar parasto frakciju reizināšanas noteikumu.

Otrs veids, kā reizināt daļu ar naturālu skaitli.

Var būt ērtāk izmantot otro reizināšanas metodi kopējā frakcija uz numuru.

Piezīme! Lai reizinātu daļu ar dabiskais skaitlis Daļas saucējs ir jādala ar šo skaitli un skaitītājs jāatstāj nemainīgs.

No iepriekš sniegtā piemēra ir skaidrs, ka šī opcija ir ērtāk lietojama, ja daļdaļas saucējs tiek dalīts bez atlikuma ar naturālu skaitli.

Daudzstāvu frakcijas.

Vidusskolā bieži sastopas ar trīsstāvu (vai vairāk) daļskaitļiem. Piemērs:

Lai šādu daļskaitli iegūtu tās parastajā formā, izmantojiet dalīšanu 2 punktos:

Piezīme! Dalot daļskaitļus, ļoti svarīga ir dalīšanas secība. Esiet uzmanīgi, šeit ir viegli apjukt.

Piezīme, Piemēram:

Dalot vienu ar jebkuru daļskaitli, rezultāts būs tā pati daļa, tikai apgriezta:

Praktiski padomi daļskaitļu reizināšanai un dalīšanai:

1. Strādājot ar daļskaitļiem, vissvarīgākais ir precizitāte un uzmanība. Veiciet visus aprēķinus uzmanīgi un precīzi, koncentrēti un skaidri. Labāk ir uzrakstīt dažas papildu rindiņas savā melnrakstā, nekā apmaldīties prāta aprēķinos.

2. Uzdevumos ar dažādi veidi frakcijas - dodieties uz parasto frakciju formu.

3. Samazinām visas frakcijas, līdz vairs nav iespējams samazināt.

4. Daudzlīmeņu daļskaitļu izteiksmes pārveidojam parastajās, izmantojot dalīšanu pa 2 punktiem.

5. Sadaliet vienību ar daļskaitli savā galvā, vienkārši apgriežot daļu.

Nodarbības saturs

Daļskaitļu pievienošana ar līdzīgiem saucējiem

Ir divi frakciju pievienošanas veidi:

1. Daļskaitļu pievienošana ar līdzīgiem saucējiem
2. Daļskaitļu pievienošana ar dažādiem saucējiem

Vispirms iemācīsimies pievienot daļskaitļus ar līdzīgiem saucējiem. Šeit viss ir vienkārši. Lai pievienotu daļskaitļus ar vienādiem saucējiem, jāpievieno to skaitītāji un saucējs nav jāmaina. Piemēram, pievienosim daļskaitļus un . Pievienojiet skaitītājus un atstājiet saucēju nemainītu:

Šo piemēru var viegli saprast, ja atceramies picu, kas sadalīta četrās daļās. Ja pievienojat picu picai, jūs saņemsiet picu:

2. piemērs. Pievienojiet frakcijas un .

Atbilde izrādījās nepareiza daļa. Kad pienāk uzdevuma beigas, ir ierasts atbrīvoties no nepareizajām daļskaitļiem. Lai atbrīvotos no nepareizas frakcijas, jums ir jāizvēlas visa tās daļa. Mūsu gadījumā visa daļa ir viegli izolēta - divi dalīti ar diviem vienāds ar vienu:

Šo piemēru var viegli saprast, ja atceramies par picu, kas ir sadalīta divās daļās. Ja picai pievienojat vairāk picas, jūs saņemsiet vienu veselu picu:

3. piemērs. Pievienojiet frakcijas un .

Atkal mēs saskaitām skaitītājus un atstājam nemainītu saucēju:

Šo piemēru var viegli saprast, ja atceramies picu, kas sadalīta trīs daļās. Ja pievienojat picai vairāk picas, jūs saņemsiet picu:

4. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību

Šis piemērs ir atrisināts tieši tāpat kā iepriekšējie. Skaitītāji jāpievieno un saucējs jāatstāj nemainīgs:

Mēģināsim attēlot mūsu risinājumu, izmantojot zīmējumu. Ja pievienojat picas picai un pievienojat vairāk picu, jūs saņemsiet 1 veselu picu un vairāk picu.

Kā redzat, daļskaitļu pievienošanā ar vienādiem saucējiem nav nekā sarežģīta. Pietiek saprast šādus noteikumus:

1. Lai pievienotu daļskaitļus ar vienu un to pašu saucēju, jāpievieno to skaitītāji un saucējs jāatstāj nemainīgs;

Daļskaitļu pievienošana ar dažādiem saucējiem

Tagad uzzināsim, kā pievienot daļskaitļus ar dažādiem saucējiem. Saskaitot daļskaitļus, daļskaitļu saucējiem jābūt vienādiem. Bet tie ne vienmēr ir vienādi.

Piemēram, frakcijas var pievienot, jo tām ir tie paši saucēji.

Bet daļskaitļus nevar pievienot uzreiz, jo šīm daļām ir dažādi saucēji. Šādos gadījumos daļskaitļi jāsamazina līdz vienam un tam pašam (kopsaucējam).

Ir vairāki veidi, kā samazināt daļskaitļus līdz vienam un tam pašam saucējam. Šodien mēs apskatīsim tikai vienu no tiem, jo ​​citas metodes iesācējam var šķist sarežģītas.

Šīs metodes būtība ir tāda, ka vispirms tiek meklēts abu frakciju saucēju LCM. Pēc tam LCM tiek dalīts ar pirmās daļas saucēju, lai iegūtu pirmo papildu koeficientu. Viņi dara to pašu ar otro daļu - LCM tiek dalīts ar otrās daļas saucēju un tiek iegūts otrs papildu koeficients.

Pēc tam daļskaitļu skaitītājus un saucējus reizina ar to papildu koeficientiem. Šo darbību rezultātā daļskaitļi, kuriem bija dažādi saucēji, pārvēršas par daļām, kurām ir vienādi saucēji. Un mēs jau zinām, kā šādas frakcijas pievienot.

1. piemērs. Saskaitīsim daļskaitļus un

Pirmkārt, mēs atrodam abu daļskaitļu saucēju mazāko kopīgo daudzkārtni. Pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3, bet otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 2. Šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir 6

LCM (2 un 3) = 6

Tagad atgriezīsimies pie daļām un . Vispirms sadaliet LCM ar pirmās daļas saucēju un iegūstiet pirmo papildu koeficientu. LCM ir skaitlis 6, un pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3. Sadaliet 6 ar 3, iegūstam 2.

Iegūtais skaitlis 2 ir pirmais papildu reizinātājs. Mēs to pierakstām līdz pirmajai daļai. Lai to izdarītu, izveidojiet nelielu slīpu līniju virs frakcijas un pierakstiet virs tās atrasto papildu koeficientu:

Mēs darām to pašu ar otro frakciju. Mēs sadalām LCM ar otrās daļas saucēju un iegūstam otro papildu koeficientu. LCM ir skaitlis 6, un otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 2. Sadaliet 6 ar 2, iegūstam 3.

Iegūtais skaitlis 3 ir otrais papildu reizinātājs. Mēs to pierakstām līdz otrajai daļai. Atkal mēs izveidojam nelielu slīpu līniju virs otrās daļas un pierakstām virs tās atrasto papildu koeficientu:

Tagad mums viss ir gatavs pievienošanai. Atliek reizināt daļskaitļu skaitītājus un saucējus ar to papildu koeficientiem:

Paskatieties uzmanīgi, pie kā esam nonākuši. Mēs nonācām pie secinājuma, ka daļskaitļi, kuriem bija dažādi saucēji, pārvērtās par daļām, kurām bija vienādi saucēji. Un mēs jau zinām, kā šādas frakcijas pievienot. Pieņemsim šo piemēru līdz beigām:

Tas pabeidz piemēru. Izrādās pievienot .

Mēģināsim attēlot mūsu risinājumu, izmantojot zīmējumu. Ja pievienojat picu picai, jūs saņemsiet vienu veselu picu un vēl vienu sesto daļu no picas:

Daļskaitļu samazināšanu līdz vienam un tam pašam (kopsaucējam) var attēlot arī, izmantojot attēlu. Samazinot daļskaitļus un līdz kopsaucējam, mēs ieguvām daļskaitļus un . Šīs divas frakcijas tiks attēlotas ar vieniem un tiem pašiem picas gabaliņiem. Vienīgā atšķirība būs tāda, ka šoreiz tās tiks sadalītas vienādās daļās (samazinātas līdz vienam un tam pašam saucējam).

Pirmajā zīmējumā ir attēlota daļa (četri gabali no sešiem), bet otrais zīmējums ir daļa (trīs gabali no sešiem). Pievienojot šos gabalus, mēs iegūstam (septiņus gabalus no sešiem). Šī daļa ir nepareiza, tāpēc mēs izcēlām visu tās daļu. Rezultātā saņēmām (vienu veselu picu un vēl sesto picu).

Lūdzu, ņemiet vērā, ka mēs esam aprakstījuši šo piemēru pārāk detalizēti. IN izglītības iestādēm Nav pieņemts rakstīt tik detalizēti. Jums ir jāspēj ātri atrast abu saucēju un tiem pievienoto papildu faktoru LCM, kā arī ātri reizināt atrastos papildu faktorus ar skaitītājiem un saucējiem. Ja mēs būtu skolā, mums šis piemērs būtu jāraksta šādi:

Bet ir arī aizmugurējā puse medaļas. Ja matemātikas studiju pirmajos posmos neveicat detalizētas piezīmes, tad sāk parādīties tādi jautājumi. “No kurienes nāk šis skaitlis?”, “Kāpēc daļskaitļi pēkšņi pārvēršas par pilnīgi atšķirīgām daļskaitļiem? «.

Lai atvieglotu daļskaitļu pievienošanu ar dažādiem saucējiem, varat izmantot tālāk sniegtos soli pa solim sniegtos norādījumus.

1. Atrast daļskaitļu saucēju LCM;
2. Sadaliet LCM ar katras frakcijas saucēju un iegūstiet papildu koeficientu katrai daļai;
3. Daļskaitļu skaitītājus un saucējus reiziniet ar to papildu koeficientiem;
4. Pievienojiet daļskaitļus, kuriem ir vienādi saucēji;
5. Ja atbilde izrādās nepareiza daļa, atlasiet visu tās daļu;

2. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību .

Izmantosim iepriekš sniegtos norādījumus.

1. solis. Atrodiet daļskaitļu saucēju LCM

Atrodiet abu daļu saucēju LCM. Daļskaitļu saucēji ir skaitļi 2, 3 un 4

2. darbība. Sadaliet LCM ar katras frakcijas saucēju un iegūstiet papildu koeficientu katrai daļai

Sadaliet LCM ar pirmās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 2. Sadaliet 12 ar 2, iegūstam 6. Mēs ieguvām pirmo papildu koeficientu 6. Mēs to rakstām virs pirmās daļdaļas:

Tagad mēs sadalām LCM ar otrās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3. Sadaliet 12 ar 3, iegūstam 4. Iegūstam otro papildu koeficientu 4. Mēs to rakstām virs otrās daļdaļas:

Tagad mēs dalām LCM ar trešās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un trešās daļdaļas saucējs ir skaitlis 4. Sadaliet 12 ar 4, iegūstam 3. Iegūstam trešo papildu koeficientu 3. Mēs to rakstām virs trešās daļdaļas:

3. solis. Daļskaitļu skaitītājus un saucējus reiziniet ar to papildu koeficientiem

Mēs reizinām skaitītājus un saucējus ar to papildu faktoriem:

4. darbība. Pievienojiet daļas ar vienādiem saucējiem

Mēs nonācām pie secinājuma, ka frakcijas, kurām bija dažādi saucēji, pārvērtās par daļām, kurām bija vienādi (kopsaucēji). Atliek tikai šīs frakcijas pievienot. Pievienojiet to:

Papildinājums neietilpa vienā rindā, tāpēc atlikušo izteiksmi pārvietojām uz nākamo rindiņu. Matemātikā tas ir atļauts. Ja izteiksme neietilpst vienā rindā, tā tiek pārvietota uz nākamo rindu, un pirmās rindas beigās un jaunās rindas sākumā ir jāliek vienādības zīme (=). Otrajā rindā esošā vienādības zīme norāda, ka šis ir izteiksmes turpinājums, kas bija pirmajā rindā.

5. solis. Ja izrādās, ka atbilde ir nepareiza daļa, atlasiet visu tās daļu

Mūsu atbilde izrādījās nepareiza daļa. Mums ir jāizceļ vesela tā daļa. Mēs izceļam:

Saņēmām atbildi

Daļskaitļu atņemšana ar līdzīgiem saucējiem

Ir divi daļskaitļu atņemšanas veidi:

1. Daļskaitļu atņemšana ar līdzīgiem saucējiem
2. Daļskaitļu atņemšana ar dažādiem saucējiem

Vispirms uzzināsim, kā atņemt daļskaitļus ar līdzīgiem saucējiem. Šeit viss ir vienkārši. Lai no vienas daļdaļas atņemtu citu, no pirmās daļdaļas skaitītāja ir jāatņem otrās daļdaļas skaitītājs, bet saucējs jāatstāj tāds pats.

Piemēram, atradīsim izteiksmes vērtību. Lai atrisinātu šo piemēru, jums ir jāatņem otrās daļdaļas skaitītājs no pirmās daļskaitļa skaitītāja un jāatstāj saucējs nemainīgs. Darām to:

Šo piemēru var viegli saprast, ja atceramies picu, kas sadalīta četrās daļās. Ja jūs izgriežat picas no picas, jūs saņemsiet picas:

2. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību.

Atkal no pirmās daļdaļas skaitītāja atņemiet otrās daļas skaitītāju un atstājiet saucēju nemainīgu:

Šo piemēru var viegli saprast, ja atceramies picu, kas sadalīta trīs daļās. Ja jūs izgriežat picas no picas, jūs saņemsiet picas:

3. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību

Šis piemērs ir atrisināts tieši tāpat kā iepriekšējie. No pirmās daļdaļas skaitītāja jums jāatņem atlikušo daļu skaitītāji:

Kā redzat, daļskaitļu ar vienādiem saucējiem atņemšanā nav nekā sarežģīta. Pietiek saprast šādus noteikumus:

1. Lai no vienas daļdaļas atņemtu citu, no pirmās daļdaļas skaitītāja ir jāatņem otrās daļdaļas skaitītājs un saucējs jāatstāj nemainīgs;
2. Ja atbilde izrādās nepareiza daļa, jums ir jāizceļ visa tās daļa.

Daļskaitļu atņemšana ar dažādiem saucējiem

Piemēram, jūs varat atņemt daļskaitli no daļskaitļa, jo daļām ir vienādi saucēji. Bet jūs nevarat atņemt daļu no daļskaitļa, jo šīm daļām ir dažādi saucēji. Šādos gadījumos daļskaitļi jāsamazina līdz vienam un tam pašam (kopsaucējam).

Kopsaucējs tiek atrasts, izmantojot to pašu principu, ko izmantojām, pievienojot daļskaitļus ar dažādiem saucējiem. Vispirms atrodiet abu daļskaitļu saucēju LCM. Tad LCM tiek dalīts ar pirmās daļskaitļa saucēju un iegūts pirmais papildu koeficients, ko raksta virs pirmās daļas. Līdzīgi LCM tiek dalīts ar otrās daļas saucēju un tiek iegūts otrs papildu koeficients, kas tiek rakstīts virs otrās daļas.

Pēc tam frakcijas tiek reizinātas ar to papildu faktoriem. Šo darbību rezultātā daļskaitļi, kuriem bija dažādi saucēji, tiek pārvērsti daļās, kurām ir vienādi saucēji. Un mēs jau zinām, kā šādas daļas atņemt.

1. piemērs. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Šīm daļām ir dažādi saucēji, tāpēc jums tie jāsamazina līdz vienam un tam pašam (kopsaucējam).

Vispirms atrodam abu frakciju saucēju LCM. Pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3, bet otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 4. Šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir 12

LCM (3 un 4) = 12

Tagad atgriezīsimies pie daļām un

Atradīsim papildu koeficientu pirmajai daļai. Lai to izdarītu, sadaliet LCM ar pirmās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3. Daliet 12 ar 3, iegūstam 4. Virs pirmās daļdaļas ierakstiet četrinieku:

Mēs darām to pašu ar otro frakciju. Sadaliet LCM ar otrās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 4. Sadaliet 12 ar 4, iegūstam 3. Uzrakstiet trijnieku virs otrās daļas:

Tagad mēs esam gatavi atņemšanai. Atliek reizināt frakcijas ar to papildu faktoriem:

Mēs nonācām pie secinājuma, ka daļskaitļi, kuriem bija dažādi saucēji, pārvērtās par daļām, kurām bija vienādi saucēji. Un mēs jau zinām, kā šādas daļas atņemt. Pieņemsim šo piemēru līdz beigām:

Saņēmām atbildi

Mēģināsim attēlot mūsu risinājumu, izmantojot zīmējumu. Ja jūs izgriežat picu no picas, jūs saņemsiet picu

Šī ir detalizēta risinājuma versija. Ja mēs būtu skolā, mums šis piemērs būtu jārisina īsāk. Šāds risinājums izskatītos šādi:

Daļskaitļu samazināšanu līdz kopsaucējam var attēlot arī, izmantojot attēlu. Samazinot šīs daļas līdz kopsaucējam, mēs ieguvām daļskaitļus un . Šīs frakcijas tiks attēlotas ar vienādām picas šķēlītēm, taču šoreiz tās tiks sadalītas vienādās daļās (samazinātas līdz vienam un tam pašam saucējam):

Pirmajā attēlā ir redzama daļa (astoņi gabali no divpadsmit), bet otrajā attēlā ir daļa (trīs gabali no divpadsmit). Izgriežot trīs gabalus no astoņiem gabaliem, mēs iegūstam piecus gabalus no divpadsmit. Daļa apraksta šos piecus gabalus.

2. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību

Šīm daļām ir dažādi saucēji, tāpēc vispirms tie jāsamazina līdz vienam un tam pašam (kopsaucējam).

Atradīsim šo daļskaitļu saucēju LCM.

Daļskaitļu saucēji ir skaitļi 10, 3 un 5. Šo skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Tagad mēs atrodam papildu faktorus katrai frakcijai. Lai to izdarītu, sadaliet LCM ar katras frakcijas saucēju.

Atradīsim papildu koeficientu pirmajai daļai. LCM ir skaitlis 30, un pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 10. Sadaliet 30 ar 10, iegūstam pirmo papildu koeficientu 3. Mēs to rakstām virs pirmās daļdaļas:

Tagad mēs atrodam papildu koeficientu otrajai daļai. Sadaliet LCM ar otrās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 30, un otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3. Sadaliet 30 ar 3, iegūstam otro papildu koeficientu 10. Mēs to rakstām virs otrās daļdaļas:

Tagad mēs atrodam papildu koeficientu trešajai daļai. Sadaliet LCM ar trešās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 30, un trešās daļdaļas saucējs ir skaitlis 5. Sadaliet 30 ar 5, iegūstam trešo papildu koeficientu 6. Mēs to rakstām virs trešās daļdaļas:

Tagad viss ir gatavs atņemšanai. Atliek reizināt frakcijas ar to papildu faktoriem:

Mēs nonācām pie secinājuma, ka frakcijas, kurām bija dažādi saucēji, pārvērtās par daļām, kurām bija vienādi (kopsaucēji). Un mēs jau zinām, kā šādas daļas atņemt. Pabeigsim šo piemēru.

Piemēra turpinājums neiederēsies vienā rindā, tāpēc mēs pārceļam turpinājumu uz nākamo rindiņu. Neaizmirstiet par vienādības zīmi (=) jaunajā rindā:

Atbilde izrādījās parasta daļa, un šķiet, ka viss mums atbilst, bet tas ir pārāk apgrūtinoši un neglīti. Mums vajadzētu to padarīt vienkāršāku. Ko var darīt? Jūs varat saīsināt šo daļu.

Lai samazinātu daļu, tās skaitītājs un saucējs jāsadala ar (GCD) no skaitļiem 20 un 30.

Tātad, mēs atrodam skaitļu 20 un 30 gcd:

Tagad mēs atgriežamies pie mūsu piemēra un dalām daļskaitļa skaitītāju un saucēju ar atrasto gcd, tas ir, ar 10

Saņēmām atbildi

Daļdaļas reizināšana ar skaitli

Lai reizinātu daļu ar skaitli, jums jāreizina dotās daļdaļas skaitītājs ar šo skaitli un saucējs jāatstāj tāds pats.

1. piemērs. Reiziniet daļu ar skaitli 1.

Daļas skaitītāju reiziniet ar skaitli 1

Ierakstu var saprast tā, ka tas aizņem pusi 1 reizi. Piemēram, ja jūs ņemat picu vienu reizi, jūs saņemsiet picu

No reizināšanas likumiem mēs zinām, ka, ja reizinātājs un koeficients tiek apmainīti, reizinājums nemainīsies. Ja izteiksme ir uzrakstīta kā , reizinājums joprojām būs vienāds ar . Atkal darbojas vesela skaitļa un daļskaitļa reizināšanas noteikums:

Šo apzīmējumu var saprast kā pusi no viena. Piemēram, ja ir 1 vesela pica un mēs ņemam pusi no tās, tad mums būs pica:

2. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību

Daļdaļas skaitītāju reiziniet ar 4

Atbilde bija nepareiza daļa. Izcelsim visu tā daļu:

Izteicienu var saprast kā ņemt divas ceturtdaļas 4 reizes. Piemēram, ja jūs ņemat 4 picas, jūs saņemsiet divas veselas picas

Un, ja mēs samainām reizinātāju un reizinātāju, mēs iegūstam izteiksmi . Tas arī būs vienāds ar 2. Šo izteiksmi var saprast kā divas picas no četrām veselām picām:

Daļskaitļu reizināšana

Lai reizinātu daļskaitļus, jāreizina to skaitītāji un saucēji. Ja atbilde izrādās nepareiza daļa, jums ir jāizceļ visa tās daļa.

1. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību.

Saņēmām atbildi. Šo frakciju ieteicams samazināt. Daļu var samazināt par 2. Tad gala lēmums būs šādā formā:

Izteicienu var saprast kā picas paņemšanu no puspicas. Pieņemsim, ka mums ir puse picas:

Kā paņemt divas trešdaļas no šīs pusītes? Vispirms šī puse jāsadala trīs vienādās daļās:

Un paņemiet divus no šiem trim gabaliem:

Pagatavosim picu. Atcerieties, kā izskatās pica, ja tā ir sadalīta trīs daļās:

Vienam šīs picas gabalam un diviem mūsu paņemtajiem gabaliem būs vienādi izmēri:

Citiem vārdiem sakot, mēs runājam par tāda paša izmēra picu. Tāpēc izteiksmes vērtība ir

2. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību

Reiziniet pirmās daļdaļas skaitītāju ar otrās daļas skaitītāju un pirmās daļas saucēju ar otrās daļdaļas saucēju:

Atbilde bija nepareiza daļa. Izcelsim visu tā daļu:

3. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību

Reiziniet pirmās daļdaļas skaitītāju ar otrās daļas skaitītāju un pirmās daļas saucēju ar otrās daļdaļas saucēju:

Atbilde izrādījās regulāra daļa, bet būtu labi, ja to saīsinātu. Lai samazinātu šo daļskaitli, šīs daļas skaitītājs un saucējs jādala ar skaitļu 105 un 450 lielāko kopīgo dalītāju (GCD).

Tātad, atradīsim skaitļu 105 un 450 gcd:

Tagad mēs dalām mūsu atbildes skaitītāju un saucēju ar gcd, ko esam tagad atraduši, tas ir, ar 15

Vesela skaitļa attēlošana kā daļskaitlis

Jebkuru veselu skaitli var attēlot kā daļskaitli. Piemēram, skaitli 5 var attēlot kā . Tas nemainīs pieci nozīmi, jo izteiciens nozīmē "skaitlis pieci dalīts ar vienu", un tas, kā mēs zinām, ir vienāds ar pieci:

Savstarpēji skaitļi

Tagad mēs iepazīsimies ar ļoti interesanta tēma matemātikā. To sauc par "apgrieztajiem skaitļiem".

Definīcija. Atgriezties uz numurua ir skaitlis, kuru reizinot ara dod vienu.

Aizstāsim ar šo definīciju mainīgā vietā a numuru 5 un mēģiniet izlasīt definīciju:

Atgriezties uz numuru 5 ir skaitlis, kuru reizinot ar 5 dod vienu.

Vai ir iespējams atrast skaitli, kuru reizinot ar 5, tiek iegūts viens? Izrādās, ka tas ir iespējams. Iedomāsimies piecus kā daļskaitli:

Pēc tam reiziniet šo daļu ar sevi, vienkārši samainiet skaitītāju un saucēju. Citiem vārdiem sakot, reizināsim daļu ar sevi, tikai otrādi:

Kas tā rezultātā notiks? Ja turpināsim risināt šo piemēru, mēs iegūstam vienu:

Tas nozīmē, ka skaitļa 5 apgrieztā vērtība ir skaitlis , jo, reizinot 5 ar, jūs iegūstat vienu.

Skaitļa apgriezto vērtību var atrast arī jebkuram citam veselam skaitlim.

Varat arī atrast jebkuras citas daļskaitļa apgriezto vērtību. Lai to izdarītu, vienkārši apgrieziet to otrādi.

Daļas dalīšana ar skaitli

Pieņemsim, ka mums ir puse picas:

Sadalīsim to vienādi starp diviem. Cik daudz picas saņems katrs cilvēks?

Redzams, ka, sadalot pusi picas, tika iegūti divi vienādi gabali, no kuriem katrs veido picu. Tātad visi saņem picu.

Frakciju dalīšana tiek veikta, izmantojot apgrieztās vērtības. Savstarpēji skaitļi ļauj aizstāt dalīšanu ar reizināšanu.

Lai dalītu daļu ar skaitli, jums tā jāreizina ar dalītāja apgriezto vērtību.

Izmantojot šo noteikumu, mēs pierakstīsim savas picas puses sadalījumu divās daļās.

Tātad, jums ir jāsadala daļa ar skaitli 2. Šeit dividende ir daļa, un dalītājs ir skaitlis 2.

Lai dalītu daļu ar skaitli 2, šī daļa jāreizina ar dalītāja 2 apgriezto vērtību. Dalītāja 2 apgrieztā vērtība ir daļa. Tātad jums ir jāreizina ar

Tagad, kad esam iemācījušies pievienot un reizināt atsevišķas daļskaitļus, varam apskatīt vairāk sarežģīti dizaini. Piemēram, ja tā pati problēma ir saistīta ar daļskaitļu saskaitīšanu, atņemšanu un reizināšanu?

Pirmkārt, jums ir jāpārvērš visas frakcijas par nepareizajām. Pēc tam veicam vajadzīgās darbības secīgi – tādā pašā secībā kā parastajiem cipariem. Proti:

1. Vispirms tiek veikta kāpināšana - atbrīvojieties no visām izteiksmēm, kas satur eksponentus;
2. Tad - dalīšana un reizināšana;
3. Pēdējais solis ir saskaitīšana un atņemšana.

Protams, ja izteiksmē ir iekavas, operāciju secība mainās - vispirms jāsaskaita viss, kas atrodas iekavās. Un atcerieties par nepareizajām daļām: jums ir jāizceļ visa daļa tikai tad, kad visas pārējās darbības jau ir pabeigtas.

Pārvērsīsim visas pirmās izteiksmes daļskaitļus par nepareizajām un pēc tam veiksim šādas darbības:

Tagad atradīsim otrās izteiksmes vērtību. Nav daļskaitļu ar veselu daļu, bet ir iekavas, tāpēc vispirms veicam saskaitīšanu un tikai pēc tam dalīšanu. Ņemiet vērā, ka 14 = 7 · 2. Pēc tam:

Visbeidzot, apsveriet trešo piemēru. Šeit ir iekavas un grāds - labāk tos skaitīt atsevišķi. Ņemot vērā, ka 9 = 3 3, mums ir:

Pievērsiet uzmanību pēdējam piemēram. Lai palielinātu daļskaitli līdz pakāpei, jums atsevišķi jāpalielina skaitītājs līdz šim pakāpei un atsevišķi - saucējs.

Jūs varat izlemt savādāk. Ja atceramies grāda definīciju, problēma tiks samazināta līdz parastajai daļskaitļu reizināšanai:

Daudzstāvu frakcijas

Līdz šim mēs uzskatījām tikai “tīrās” daļas, kad skaitītājs un saucējs ir parastie skaitļi. Tas pilnībā atbilst skaitļa daļas definīcijai, kas sniegta pašā pirmajā nodarbībā.

Bet ko darīt, ja skaitītājā vai saucējā ievietotu sarežģītāku objektu? Piemēram, cita skaitļa daļa? Šādas konstrukcijas rodas diezgan bieži, īpaši strādājot ar gariem izteicieniem. Šeit ir daži piemēri:

Ir tikai viens noteikums darbam ar daudzlīmeņu frakcijām: jums nekavējoties jāatbrīvojas no tiem. “Papildu” grīdu noņemšana ir pavisam vienkārša, ja atceraties, ka slīpsvītra nozīmē standarta dalīšanas darbību. Tāpēc jebkuru daļu var pārrakstīt šādi:

Izmantojot šo faktu un ievērojot procedūru, mēs varam viegli samazināt jebkuru daudzstāvu daļu uz parasto. Apskatiet piemērus:

Uzdevums. Pārvērtiet daudzstāvu daļskaitļus par parastajām:

Katrā gadījumā mēs pārrakstām galveno daļskaitli, dalījuma līniju aizstājot ar dalījuma zīmi. Atcerieties arī, ka jebkuru veselu skaitli var attēlot kā daļu ar saucēju 1. Tas ir 12 = 12/1; 3 = 3/1. Mēs iegūstam:

Pēdējā piemērā daļskaitļi tika atcelti pirms pēdējās reizināšanas.

Darba specifika ar daudzlīmeņu frakcijām

Daudzlīmeņu frakcijās ir viens smalkums, kas vienmēr ir jāatceras, pretējā gadījumā jūs varat saņemt nepareizu atbildi, pat ja visi aprēķini bija pareizi. Paskaties:

1. Skaitītājs satur vienu skaitli 7, un saucējs satur daļskaitli 12/5;
2. Skaitītājā ir daļskaitlis 7/12, un saucējs satur atsevišķu skaitli 5.

Tātad vienam ierakstam mēs saņēmām divas pilnīgi atšķirīgas interpretācijas. Ja skaitīsit, arī atbildes būs dažādas:

Lai nodrošinātu, ka ieraksts vienmēr tiek nolasīts nepārprotami, izmantojiet vienkāršu noteikumu: galvenās daļas dalīšanas līnijai jābūt garākai par ligzdotās daļas līniju. Vēlams vairākas reizes.

Ja ievērojat šo noteikumu, iepriekš minētās daļas jāraksta šādi:

Jā, tas, iespējams, ir neizskatīgs un aizņem pārāk daudz vietas. Bet jūs saskaitīsit pareizi. Visbeidzot, daži piemēri, kur faktiski rodas daudzstāvu daļas:

Uzdevums. Atrodiet izteicienu nozīmi:

Tātad, strādāsim ar pirmo piemēru. Pārvērsīsim visas daļskaitļus par nepareizām un pēc tam veiksim saskaitīšanas un dalīšanas darbības:

Darīsim to pašu ar otro piemēru. Pārvērsim visas daļskaitļus par nepareizām un veiksim nepieciešamās darbības. Lai lasītājam nebūtu garlaicīgi, es izlaidīšu dažus acīmredzamus aprēķinus. Mums ir:

Sakarā ar to, ka pamatdaļskaitļu skaitītājs un saucējs satur summas, daudzstāvu daļskaitļu rakstīšanas noteikums tiek ievērots automātiski. Arī pēdējā piemērā mēs apzināti atstājām 46/1 daļskaitļa formā, lai veiktu dalīšanu.

Atzīmēšu arī to, ka abos piemēros daļskaitļu josla faktiski aizstāj iekavas: vispirms mēs atradām summu un tikai tad koeficientu.

Daži teiks, ka pāreja uz nepareizajām daļām otrajā piemērā bija nepārprotami lieka. Varbūt tā ir taisnība. Taču, šādi rīkojoties, mēs sevi apdrošināmies pret kļūdām, jo ​​nākamreiz piemērs var izrādīties daudz sarežģītāks. Izvēlieties pats, kas ir svarīgāks: ātrums vai uzticamība.

Frakcija- skaitļa attēlošanas forma matemātikā. Daļu josla apzīmē dalīšanas darbību. Skaitītājs daļu sauc par dividendi un saucējs- dalītājs. Piemēram, daļdaļā skaitītājs ir 5 un saucējs ir 7.

Pareizi Tiek izsaukta daļa, kurā skaitītāja modulis ir lielāks par saucēja moduli. Ja daļa ir pareiza, tad tās vērtības modulis vienmēr ir mazāks par 1. Visas pārējās daļas ir nepareizi.

Daļu sauc sajaukts, ja tas ir uzrakstīts kā vesels skaitlis un daļa. Tas ir tāds pats kā šī skaitļa un daļskaitļa summa:

Daļas galvenā īpašība

Ja daļskaitļa skaitītāju un saucēju reizina ar vienu un to pašu skaitli, tad daļdaļas vērtība nemainīsies, tas ir, piemēram,

Daļskaitļu samazināšana līdz kopsaucējam

Lai divas daļdaļas apvienotu līdz kopsaucējam, jums ir nepieciešams:

1. Reiziniet pirmās daļas skaitītāju ar otrās daļas saucēju
2. Reiziniet otrās daļas skaitītāju ar pirmās daļas saucēju
3. Aizstāt abu daļskaitļu saucējus ar to reizinājumu

Darbības ar daļskaitļiem

Papildinājums. Lai pievienotu divas frakcijas, jums ir nepieciešams

1. Pievienojiet abus daļskaitļu jaunos skaitītājus un atstājiet saucēju nemainīgu

Piemērs:

Atņemšana. Lai atņemtu vienu daļu no otras, jums ir nepieciešams

1. Samaziniet daļskaitļus līdz kopsaucējam
2. Atņemiet otrās skaitītāju no pirmās daļdaļas skaitītāja un atstājiet saucēju nemainīgu

Piemērs:

Reizināšana. Lai reizinātu vienu daļu ar citu, reiziniet to skaitītājus un saucējus:

Divīzija. Lai dalītu vienu daļu ar citu, pirmās daļas skaitītāju reiziniet ar otrās daļas saucēju un pirmās daļas saucēju ar otrās daļas skaitītāju: