പരിഹാരം.
ചിഹ്നങ്ങളൊന്നും വരച്ചിട്ടില്ല എന്നതിൻ്റെ സംഭാവ്യത: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
പി(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
പി(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
മൂന്ന് കോട്ട് ഓഫ് ആംസ് ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത: P(3) = 0.5*0.5*0.5 = 0.125
റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ വിതരണ നിയമം:
| എക്സ് | 0 | 1 | 2 | 3 |
| പി | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
ഉദാഹരണം നമ്പർ 2. ഒരു ഷൂട്ടർ ആദ്യ ഷൂട്ടർ ഒരു ഷോട്ട് ഉപയോഗിച്ച് ലക്ഷ്യത്തിലെത്താനുള്ള സാധ്യത 0.8 ആണ്, രണ്ടാമത്തെ ഷൂട്ടർ - 0.85. ഷൂട്ടർമാർ ലക്ഷ്യത്തിലേക്ക് ഒരു വെടിയുതിർത്തു. വ്യക്തിഗത ഷൂട്ടർമാർക്കുള്ള സ്വതന്ത്ര ഇവൻ്റുകളായി ടാർഗെറ്റ് അടിക്കുന്നത് പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, ഇവൻ്റ് എ-യുടെ സംഭാവ്യത കണ്ടെത്തുക - ലക്ഷ്യത്തിൽ കൃത്യമായി ഒരു ഹിറ്റ്.
പരിഹാരം.
ഇവൻ്റ് എ പരിഗണിക്കുക - ലക്ഷ്യത്തിലെ ഒരു ഹിറ്റ്. സാധ്യമായ ഓപ്ഷനുകൾഈ സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭവം ഇപ്രകാരമാണ്:
- ആദ്യ ഷൂട്ടർ ഹിറ്റ്, രണ്ടാമത്തെ ഷൂട്ടർ നഷ്ടമായി: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- ആദ്യ ഷൂട്ടർ പിഴച്ചു, രണ്ടാമത്തെ ഷൂട്ടർ ലക്ഷ്യം കണ്ടു: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- ഒന്നും രണ്ടും അമ്പടയാളങ്ങൾ പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമായി ലക്ഷ്യത്തിലെത്തുന്നു: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, റാൻഡം വേരിയബിൾ കേസിനെ ആശ്രയിച്ച് ചില മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു വേരിയബിൾ അളവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു വലിയ അക്ഷരങ്ങളിൽ ലാറ്റിൻ അക്ഷരമാല(X, Y, Z), അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ അനുബന്ധ ചെറിയ അക്ഷരങ്ങളിൽ (x, y, z) സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ തുടർച്ചയായി (ഡിസ്ക്രീറ്റ്), തുടർച്ചയായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു.
ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ വിളിച്ചു ക്രമരഹിതമായ മൂല്യം, പൂജ്യമല്ലാത്ത ചില സാധ്യതകളുള്ള ഒരു പരിമിതമായ അല്ലെങ്കിൽ അനന്തമായ (എണ്ണിക്കാവുന്ന) മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം മാത്രം എടുക്കുന്നു.
ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമം ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളെ അവയുടെ അനുബന്ധ പ്രോബബിലിറ്റികളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്. വിതരണ നിയമം ഇനിപ്പറയുന്ന വഴികളിലൊന്നിൽ വ്യക്തമാക്കാം.
1 . വിതരണ നിയമം പട്ടികയിൽ നൽകാം:
ഇവിടെ λ>0, k = 0, 1, 2, … .
വി)ഉപയോഗിച്ച് വിതരണ പ്രവർത്തനം F(x) , ഇത് ഓരോ മൂല്യത്തിനും x എന്ന റാൻഡം വേരിയബിൾ X ന് x-നേക്കാൾ കുറഞ്ഞ മൂല്യം എടുക്കാനുള്ള സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കുന്നു, അതായത്. F(x) = P(X< x).
ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ F(x)
3 . വിതരണ നിയമം ഗ്രാഫിക്കായി വ്യക്തമാക്കാം - വിതരണ ബഹുഭുജം (ബഹുഭുജം) (പ്രശ്നം 3 കാണുക).
ചില പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് വിതരണ നിയമം അറിയേണ്ട ആവശ്യമില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഏറ്റവും കൂടുതൽ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്ന ഒന്നോ അതിലധികമോ സംഖ്യകൾ അറിഞ്ഞാൽ മതിയാകും പ്രധാന സവിശേഷതകൾവിതരണ നിയമം. ഇത് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ "ശരാശരി" എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥമോ അല്ലെങ്കിൽ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയോ ആയിരിക്കാം ശരാശരി വലിപ്പംഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യതിചലനം. ഇത്തരത്തിലുള്ള സംഖ്യകളെ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ :
- ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ
(ശരാശരി മൂല്യം) ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ M(X)=Σ x i p i.
ദ്വിപദ വിതരണത്തിന് M(X)=np, Poisson ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന് M(X)=λ - വിസരണം
ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ D(X)=M2അഥവാ D(X) = M(X 2)− 2. X-M(X) വ്യത്യാസത്തെ അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്ന് ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളിൻ്റെ വ്യതിയാനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ദ്വിപദ വിതരണത്തിന് D(X)=npq, Poisson വിതരണത്തിന് D(X)=λ - സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ (സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ) σ(X)=√D(X).
"ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമം" എന്ന വിഷയത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ
ടാസ്ക് 1.
1000 ലോട്ടറി ടിക്കറ്റുകൾ വിതരണം ചെയ്തു: അവരിൽ 5 പേർക്ക് 500 റൂബിൾ ലഭിക്കും, 10 പേർക്ക് 100 റൂബിൾ ലഭിക്കും, 20 പേർക്ക് 50 റൂബിൾ ലഭിക്കും, 50 പേർക്ക് 10 റൂബിൾ ലഭിക്കും. റാൻഡം വേരിയബിൾ X- ൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ നിയമം നിർണ്ണയിക്കുക - ഓരോ ടിക്കറ്റിനും വിജയങ്ങൾ.
പരിഹാരം. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്, റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന മൂല്യങ്ങൾ സാധ്യമാണ്: 0, 10, 50, 100, 500.
വിജയിക്കാത്ത ടിക്കറ്റുകളുടെ എണ്ണം 1000 – (5+10+20+50) = 915, പിന്നെ P(X=0) = 915/1000 = 0.915.
അതുപോലെ, മറ്റെല്ലാ സാധ്യതകളും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നിയമം ഒരു പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കാം:
X മൂല്യത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5
ടാസ്ക് 3.
ഉപകരണം സ്വതന്ത്രമായി പ്രവർത്തിക്കുന്ന മൂന്ന് ഘടകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഒരു പരീക്ഷണത്തിൽ ഓരോ മൂലകവും പരാജയപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത 0.1 ആണ്. ഒരു പരീക്ഷണത്തിൽ പരാജയപ്പെട്ട മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് ഒരു വിതരണ നിയമം വരയ്ക്കുക, ഒരു വിതരണ ബഹുഭുജം നിർമ്മിക്കുക. ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ F(x) കണ്ടെത്തി അത് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുക. ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ, വ്യതിയാനം, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം. 1. ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളിന് X=(ഒരു പരീക്ഷണത്തിൽ പരാജയപ്പെട്ട മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണം) ഇനിപ്പറയുന്നവയുണ്ട് സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ: x 1 =0 (ഉപകരണ ഘടകങ്ങളൊന്നും പരാജയപ്പെട്ടില്ല), x 2 =1 (ഒരു ഘടകം പരാജയപ്പെട്ടു), x 3 =2 (രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ പരാജയപ്പെട്ടു), x 4 =3 (മൂന്ന് ഘടകങ്ങൾ പരാജയപ്പെട്ടു).
മൂലകങ്ങളുടെ പരാജയങ്ങൾ പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമാണ്, ഓരോ മൂലകത്തിൻ്റെയും പരാജയത്തിൻ്റെ സാധ്യതകൾ തുല്യമാണ്, അതിനാൽ ഇത് ബാധകമാണ് ബെർണൂലി ഫോർമുല
. വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, മൂല്യങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0.1 * 0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0.1 2 * 0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;
പരിശോധിക്കുക: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.
അതിനാൽ, X ൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള ദ്വിപദ വിതരണ നിയമത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:
x i യുടെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ abscissa അച്ചുതണ്ടിലും അനുബന്ധ സാധ്യതകൾ p i ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിലും ഞങ്ങൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നു. നമുക്ക് M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) പോയിൻ്റുകൾ നിർമ്മിക്കാം. ഈ പോയിൻ്റുകളെ നേർരേഖ സെഗ്‌മെൻ്റുകളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള വിതരണ ബഹുഭുജം ലഭിക്കും.
3. ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ F(x) = Р(Х
x ≤ 0 ന് നമുക്ക് F(x) = Р(Х<0) = 0;0-ന്< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1-ന്< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2-ന്< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 ന് F(x) = 1 ഉണ്ടായിരിക്കും, കാരണം സംഭവം വിശ്വസനീയമാണ്.
 |
ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് F(x)
4.
ദ്വിപദ വിതരണത്തിന് X:
- ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- വേരിയൻസ് D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.
ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡംവേരിയബിളുകൾ എന്നത് ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകളാണ്, അവ പരസ്പരം അകലെയുള്ളതും മുൻകൂട്ടി ലിസ്റ്റുചെയ്യാൻ കഴിയുന്നതുമായ മൂല്യങ്ങൾ മാത്രം എടുക്കുന്നു.
വിതരണ നിയമം
റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമം ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളും അവയുടെ അനുബന്ധ സാധ്യതകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുന്ന ഒരു ബന്ധമാണ്.
ഒരു ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ ശ്രേണി അതിൻ്റെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെയും അനുബന്ധ സാധ്യതകളുടെയും പട്ടികയാണ്.
ഒരു ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ ഫംഗ്ഷനാണ്:
,
ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഓരോ മൂല്യത്തിനും x റാൻഡം വേരിയബിൾ X ഈ x-നേക്കാൾ കുറഞ്ഞ മൂല്യം എടുക്കാനുള്ള സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കുന്നു.
ഒരു പ്രത്യേക റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രതീക്ഷ
,
ഒരു ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം എവിടെയാണ്; - X മൂല്യങ്ങൾ സ്വീകരിക്കുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സംഭാവ്യത.
ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ എണ്ണാവുന്ന സെറ്റ് എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ: 
.
n സ്വതന്ത്ര ട്രയലുകളിൽ ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ:
,
ഒരു ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഡിസ്‌പർഷനും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും
ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിസർജ്ജനം: 
അഥവാ 
.
n സ്വതന്ത്ര ട്രയലുകളിൽ ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ വ്യത്യാസം 
,
ഇവിടെ p എന്നത് സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യതയാണ്.
ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ: 
.
ഉദാഹരണം 1
ഒരു ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളിന് (DRV) X-നുള്ള പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ നിയമം വരയ്ക്കുക - ഒരു ജോടി ഡൈസിൻ്റെ n = 8 ത്രോകളിൽ കുറഞ്ഞത് ഒരു "ആറ്" എന്നതിൻ്റെ കെ സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണം. ഒരു വിതരണ ബഹുഭുജം നിർമ്മിക്കുക. വിതരണത്തിൻ്റെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ കണ്ടെത്തുക (ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ മോഡ്, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ M(X), ഡിസ്പർഷൻ D(X), സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ s(X)). പരിഹാരം:നമുക്ക് നൊട്ടേഷൻ പരിചയപ്പെടുത്താം: ഇവൻ്റ് എ - "ഒരു ജോടി ഡൈസ് എറിയുമ്പോൾ, ഒരിക്കലെങ്കിലും ഒരു സിക്സ് പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു." ഇവൻ്റ് A യുടെ P(A) = p എന്ന പ്രോബബിലിറ്റി കണ്ടെത്തുന്നതിന്, വിപരീത സംഭവത്തിൻ്റെ P(Ā) = q എന്ന പ്രോബബിലിറ്റി ആദ്യം കണ്ടെത്തുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ് - "ഒരു ജോടി ഡൈസ് എറിയുമ്പോൾ, ഒരു സിക്സ് ഒരിക്കലും പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടില്ല."
ഒരു ഡൈ എറിയുമ്പോൾ "ആറ്" പ്രത്യക്ഷപ്പെടാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത 5/6 ആയതിനാൽ, പ്രോബബിലിറ്റി ഗുണന സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്
P(Ā) = q = = .
യഥാക്രമം,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
പ്രശ്നത്തിലെ പരിശോധനകൾ ബെർണൂലി സ്കീം പിന്തുടരുന്നു, അതിനാൽ d.s.v. വലിപ്പം എക്സ്- നമ്പർ കെരണ്ട് ഡൈസ് എറിയുമ്പോൾ കുറഞ്ഞത് ഒരു സിക്സ് ഉണ്ടാകുന്നത് പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ ബൈനോമിയൽ നിയമം അനുസരിക്കുന്നു: 
എവിടെ = എന്നത് കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണമാണ് എൻഎഴുതിയത് കെ.
ഈ പ്രശ്നത്തിനായി നടത്തിയ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഒരു പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ സൗകര്യപ്രദമായി അവതരിപ്പിക്കാൻ കഴിയും:
പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡി.എസ്.വി. എക്സ് º കെ (എൻ = 8; പി = ; q = )
| കെ | ||||||||||
പി.എൻ(കെ) |
ഒരു ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ പോളിഗോൺ (ബഹുഭുജം). എക്സ്ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു:
അരി. പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പോളിഗോൺ d.s.v. എക്സ്=കെ.
ലംബ രേഖ വിതരണത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കാണിക്കുന്നു എം(എക്സ്).
d.s.v യുടെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ സംഖ്യാപരമായ സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. എക്സ്. വിതരണ മോഡ് 2 ആണ് (ഇവിടെ പി 8(2) = 0.2932 പരമാവധി). നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ ഇതിന് തുല്യമാണ്:
എം(എക്സ്) = = 2,4444,
എവിടെ xk = കെ- d.s.v എടുത്ത മൂല്യം എക്സ്. വ്യത്യാസം ഡി(എക്സ്) ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വിതരണം കണ്ടെത്തുന്നു:
ഡി(എക്സ്) = 
= 4,8097.
സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ (RMS):
s( എക്സ്) = = 2,1931.
ഉദാഹരണം2
ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്വിതരണ നിയമം നൽകിയത്
പരിഹാരം.എങ്കിൽ, പിന്നെ (മൂന്നാം സ്വത്ത്).
എങ്കിൽ, പിന്നെ. ശരിക്കും, എക്സ്പ്രോബബിലിറ്റി 0.3 ഉപയോഗിച്ച് മൂല്യം 1 എടുക്കാം.
എങ്കിൽ, പിന്നെ. തീർച്ചയായും, അത് അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെങ്കിൽ
, അപ്പോൾ സംഭവിക്കാവുന്ന ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യതയ്ക്ക് തുല്യമാണ് എക്സ്മൂല്യം 1 (ഈ ഇവൻ്റിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി 0.3) അല്ലെങ്കിൽ മൂല്യം 4 (ഈ സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യത 0.1) എടുക്കും. ഈ രണ്ട് സംഭവങ്ങളും പൊരുത്തമില്ലാത്തതിനാൽ, സങ്കലന സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത 0.3 + 0.1 = 0.4 എന്ന സംഭാവ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. എങ്കിൽ, പിന്നെ. തീർച്ചയായും, സംഭവം ഉറപ്പാണ്, അതിനാൽ അതിൻ്റെ സംഭാവ്യത ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, വിതരണ പ്രവർത്തനം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ വിശകലനം ചെയ്യാൻ കഴിയും: 
ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ്:
ഈ മൂല്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന സാധ്യതകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. വ്യവസ്ഥയനുസരിച്ച്, ഉപകരണങ്ങളുടെ പരാജയത്തിൻ്റെ സാധ്യതകൾ തുല്യമാണ്: വാറൻ്റി കാലയളവിൽ ഉപകരണങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള സാധ്യതകൾ തുല്യമാണ്: 
വിതരണ നിയമത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:
വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം "ബെലാറഷ്യൻ സ്റ്റേറ്റ്
കാർഷിക അക്കാദമി"
ഹയർ മാത്തമാറ്റിക്സ് വിഭാഗം
മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശങ്ങൾ
കറസ്‌പോണ്ടൻസ് എജ്യുക്കേഷൻ (NISPO) ഫാക്കൽറ്റി ഓഫ് അക്കൗണ്ടിംഗ് വിദ്യാർത്ഥികളുടെ "റാൻഡം വേരിയബിൾസ്" എന്ന വിഷയം പഠിക്കാൻ
ഗോർക്കി, 2013
റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ
വ്യതിരിക്തവും തുടർച്ചയായതുമായ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ
പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ പ്രധാന ആശയങ്ങളിലൊന്ന് ആശയമാണ് റാൻഡം വേരിയബിൾ . റാൻഡം വേരിയബിൾ പരിശോധനയുടെ ഫലമായി, അതിൻ്റെ സാധ്യമായ നിരവധി മൂല്യങ്ങളിൽ ഒന്ന് മാത്രം എടുക്കുന്ന ഒരു അളവാണ്, ഏതാണ് എന്ന് മുൻകൂട്ടി അറിയില്ല.
ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ ഉണ്ട് വ്യതിരിക്തവും തുടർച്ചയായതും . ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ (DRV) പരസ്പരം വേർതിരിച്ചെടുത്ത പരിമിതമായ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളാണ്, അതായത്. ഈ അളവിൻ്റെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ വീണ്ടും കണക്കാക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ. തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ (CNV) ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളാണ്, സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും നമ്പർ ലൈനിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേള പൂർണ്ണമായും പൂരിപ്പിക്കുന്നു.
റാൻഡം വേരിയബിളുകളെ ലാറ്റിൻ അക്ഷരമാല X, Y, Z മുതലായവയുടെ വലിയ അക്ഷരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ അനുബന്ധ ചെറിയ അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.
രേഖപ്പെടുത്തുക 
അർത്ഥമാക്കുന്നത് "ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സംഭാവ്യത എക്സ് 0.28 ന് തുല്യമായ 5 മൂല്യം എടുക്കും.
ഉദാഹരണം 1 . പകിടകൾ ഒരിക്കൽ എറിയുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്ന 1 മുതൽ 6 വരെയുള്ള അക്കങ്ങൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം. നമുക്ക് റാൻഡം വേരിയബിൾ സൂചിപ്പിക്കാം എക്സ്=(റോൾ ചെയ്ത പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം). പരിശോധനയുടെ ഫലമായി ഈ റാൻഡം വേരിയബിളിന് ആറ് മൂല്യങ്ങളിൽ ഒന്ന് മാത്രമേ എടുക്കാൻ കഴിയൂ: 1, 2, 3, 4, 5 അല്ലെങ്കിൽ 6. അതിനാൽ, റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ് DSV ഉണ്ട്.
ഉദാഹരണം 2 . ഒരു കല്ല് എറിയുമ്പോൾ, അത് ഒരു നിശ്ചിത ദൂരം സഞ്ചരിക്കുന്നു. നമുക്ക് റാൻഡം വേരിയബിൾ സൂചിപ്പിക്കാം എക്സ്=(കല്ല് പറക്കുന്ന ദൂരം). ഈ റാൻഡം വേരിയബിളിന് ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും ഒന്ന് മാത്രമേ എടുക്കാൻ കഴിയൂ. അതിനാൽ, റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ് NSV ഉണ്ട്.
ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമം
ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സവിശേഷത അതിന് എടുക്കാൻ കഴിയുന്ന മൂല്യങ്ങളും ഈ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന സാധ്യതകളുമാണ്. ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളും അവയുടെ അനുബന്ധ സാധ്യതകളും തമ്മിലുള്ള കത്തിടപാടുകളെ വിളിക്കുന്നു ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമം .
സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും അറിയാമെങ്കിൽ 
റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്സാധ്യതകളും 
ഈ മൂല്യങ്ങളുടെ രൂപം, പിന്നെ അത് DSV യുടെ വിതരണ നിയമം എന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു എക്സ്അറിയപ്പെടുന്നതും പട്ടിക രൂപത്തിൽ എഴുതാവുന്നതുമാണ്:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ പോയിൻ്റുകൾ ചിത്രീകരിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ DSV വിതരണ നിയമം ഗ്രാഫിക്കായി ചിത്രീകരിക്കാം. 
,
,
…,
കൂടാതെ അവയെ നേർരേഖ സെഗ്‌മെൻ്റുകളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുക. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന രൂപത്തെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പോളിഗോൺ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം 3 . വൃത്തിയാക്കാൻ ഉദ്ദേശിച്ചിട്ടുള്ള ധാന്യത്തിൽ 10% കളകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. 4 ധാന്യങ്ങൾ ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്തു. നമുക്ക് റാൻഡം വേരിയബിൾ സൂചിപ്പിക്കാം എക്സ്=(തിരഞ്ഞെടുത്ത നാലിൽ കളകളുടെ എണ്ണം). DSV വിതരണ നിയമം നിർമ്മിക്കുക എക്സ്വിതരണ ബഹുഭുജവും.
പരിഹാരം . ഉദാഹരണത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്. അപ്പോൾ:
നമുക്ക് DSV X ൻ്റെ വിതരണ നിയമം ഒരു പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതി ഒരു വിതരണ ബഹുഭുജം നിർമ്മിക്കാം:
|
|
ഒരു പ്രത്യേക റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രതീക്ഷ
ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സവിശേഷതകൾ അതിൻ്റെ സ്വഭാവസവിശേഷതകളാൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ സവിശേഷതകളിൽ ഒന്നാണ് പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യം റാൻഡം വേരിയബിൾ.
DSV വിതരണ നിയമം അറിയട്ടെ എക്സ്:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ
ഡി.എസ്.വി എക്സ്ഈ അളവിൻ്റെ ഓരോ മൂല്യത്തിൻ്റെയും ഉൽപന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ് അനുബന്ധ പ്രോബബിലിറ്റി പ്രകാരം: 
.
ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ അതിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളുടെയും ഗണിത ശരാശരിക്ക് ഏകദേശം തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങളിൽ, ഈ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യം പലപ്പോഴും ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയായി കണക്കാക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം 8 . 0.1, 0.45, 0.3, 0.15 എന്നീ സാധ്യതകളോടെ ഷൂട്ടർ 4, 8, 9, 10 പോയിൻ്റുകൾ നേടുന്നു. ഒരു ഷോട്ട് ഉപയോഗിച്ച് പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം . നമുക്ക് റാൻഡം വേരിയബിൾ സൂചിപ്പിക്കാം എക്സ്=(സ്കോർ ചെയ്ത പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം). പിന്നെ . അങ്ങനെ, ഒരു ഷോട്ടിലൂടെ നേടിയ ശരാശരി പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം 8.2 ആണ്, കൂടാതെ 10 ഷോട്ടുകൾ - 82 ആണ്.
പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ ഇവയാണ്:
.
.
, എവിടെ 
,
.
.
, എവിടെ എക്സ്ഒപ്പം വൈസ്വതന്ത്ര റാൻഡം വേരിയബിളുകളാണ്.
വ്യത്യാസം 
വിളിച്ചു വ്യതിയാനം
റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്ന്. ഈ വ്യത്യാസം ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളാണ്, അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ പൂജ്യമാണ്, അതായത്. 
.
ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വ്യതിയാനം
ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിനെ വിശേഷിപ്പിക്കാൻ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്ക് പുറമേ, ഞങ്ങളും ഉപയോഗിക്കുന്നു വിസരണം , ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ വ്യാപനം (സ്പ്രെഡ്) അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്ക് ചുറ്റും കണക്കാക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു. തുല്യമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളുള്ള രണ്ട് ഏകതാനമായ റാൻഡം വേരിയബിളുകളെ താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, "മികച്ച" മൂല്യം കുറഞ്ഞ വ്യാപനമുള്ള ഒന്നായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, അതായത്. കുറവ് വ്യാപനം.
വ്യത്യാസം റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എന്ന് വിളിക്കുന്നു: .
പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങളിൽ, വ്യത്യാസം കണക്കാക്കാൻ തുല്യമായ ഒരു ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു.
വിസർജ്ജനത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഗുണങ്ങൾ ഇവയാണ്:
.
ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ വിതരണത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ നിയമങ്ങൾ നമുക്ക് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യാം:
- ബൈനോമിയൽ വിതരണ നിയമം
- വിഷ വിതരണ നിയമം
- ജ്യാമിതീയ വിതരണ നിയമം
- ഹൈപ്പർജിയോമെട്രിക് വിതരണ നിയമം
ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന വിതരണങ്ങൾക്കായി, അവയുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ സാധ്യതകളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ, അതുപോലെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ (ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ, വ്യത്യാസം മുതലായവ) ചില "സൂത്രവാക്യങ്ങൾ" ഉപയോഗിച്ച് നടപ്പിലാക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഇത്തരത്തിലുള്ള വിതരണങ്ങളും അവയുടെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങളും അറിയേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്.
1. ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ നിയമം.
$P\left(X=k\right)= പ്രോബബിലിറ്റികളുള്ള $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ $X$ ബൈനോമിയൽ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ നിയമത്തിന് വിധേയമാണ്. C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. യഥാർത്ഥത്തിൽ, $n$ സ്വതന്ത്ര ട്രയലുകളിൽ $A$ ഇവൻ്റിൻ്റെ സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ് $X$ എന്ന ക്രമരഹിത വേരിയബിൾ. റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ നിയമം $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(array)$
അത്തരമൊരു റാൻഡം വേരിയബിളിന്, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ $M\left(X\right)=np$ ആണ്, വ്യതിയാനം $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ ആണ്.
ഉദാഹരണം . കുടുംബത്തിന് രണ്ട് കുട്ടികളുണ്ട്. $0.5$ ന് തുല്യമായ ഒരു ആൺകുട്ടിയും പെൺകുട്ടിയും ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യതകൾ ഊഹിച്ചാൽ, $\xi$ എന്ന ക്രമരഹിത വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമം കണ്ടെത്തുക - കുടുംബത്തിലെ ആൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണം.
ക്രമരഹിതമായ $\xi $ എന്നത് കുടുംബത്തിലെ ആൺകുട്ടികളുടെ എണ്ണമായിരിക്കട്ടെ. $\xi എടുക്കാൻ കഴിയുന്ന മൂല്യങ്ങൾ:\ 0,\ 1,\ 2$. $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഈ മൂല്യങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ കണ്ടെത്താനാകും )$, ഇവിടെ $n =2$ എന്നത് സ്വതന്ത്ര ട്രയലുകളുടെ എണ്ണമാണ്, $p=0.5$ എന്നത് $n$ ട്രയലുകളുടെ ഒരു പരമ്പരയിൽ സംഭവിക്കുന്ന ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യതയാണ്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$
അപ്പോൾ $\xi $ എന്ന ക്രമരഹിത വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമം $0,\ 1,\ 2$ മൂല്യങ്ങളും അവയുടെ സാധ്യതകളും തമ്മിലുള്ള കത്തിടപാടാണ്, അതായത്:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\end(array)$
വിതരണ നിയമത്തിലെ പ്രോബബിലിറ്റികളുടെ ആകെത്തുക $1$ ന് തുല്യമായിരിക്കണം, അതായത് $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.
പ്രതീക്ഷ $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, വേരിയൻസ് $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\ഏകദേശം $0.707.
2. വിഷം വിതരണ നിയമം.
ഒരു ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളിന് $X$-ന് നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യ മൂല്യങ്ങൾ $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ എന്നിവ മാത്രമേ എടുക്കാൻ കഴിയൂ എങ്കിൽ $P\left(X=k\right)=(((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
അഭിപ്രായം. ഈ വിതരണത്തിൻ്റെ പ്രത്യേകത എന്തെന്നാൽ, പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, ലഭിച്ച എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ പരസ്പരം അടുത്താണെങ്കിൽ, നമുക്ക് റാൻഡം വേരിയബിൾ പോയിസൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ നിയമത്തിന് വിധേയമാണെന്ന് വാദിക്കാനുള്ള കാരണം.
ഉദാഹരണം . പോയിസൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ നിയമത്തിന് വിധേയമായ റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇവയാകാം: നാളെ ഒരു പെട്രോൾ പമ്പ് നൽകുന്ന കാറുകളുടെ എണ്ണം; നിർമ്മിച്ച ഉൽപ്പന്നങ്ങളിലെ വികലമായ വസ്തുക്കളുടെ എണ്ണം.
ഉദാഹരണം . ഫാക്ടറി അടിത്തറയിലേക്ക് $500$ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ അയച്ചു. ട്രാൻസിറ്റിൽ ഉൽപ്പന്നത്തിന് കേടുപാടുകൾ സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത $0.002$ ആണ്. കേടായ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമായ $X$ എന്ന ക്രമരഹിത വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമം കണ്ടെത്തുക; എന്താണ് $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$.
ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ $X$ കേടായ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ എണ്ണമായിരിക്കട്ടെ. അത്തരമൊരു റാൻഡം വേരിയബിൾ $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ എന്ന പാരാമീറ്റർ ഉള്ള Poisson വിതരണ നിയമത്തിന് വിധേയമാണ്. മൂല്യങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k) എന്നതിന് തുല്യമാണ്}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\ഇടത്(X=0\വലത്)=((1^0)\മീതെ (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\ഇടത്(X=1\വലത്)=((1^1)\മീതെ (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\ഇടത്(X=2\വലത്)=((1^2)\മീതെ (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\ഇടത്(X=3\വലത്)=((1^3)\മീതെ (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\ഇടത്(X=4\വലത്)=((1^4)\മീതെ (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\ഇടത്(X=5\വലത്)=((1^5)\മീതെ (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\ഇടത്(X=6\വലത്)=((1^6)\മീതെ (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$!}
ക്രമരഹിത വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമം $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & കെ \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$
അത്തരമൊരു റാൻഡം വേരിയബിളിന്, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും വ്യതിയാനവും പരസ്പരം തുല്യവും $\lambda $ എന്ന പരാമീറ്ററിന് തുല്യവുമാണ്, അതായത് $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.
3. ജ്യാമിതീയ വിതരണ നിയമം.
ഒരു ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളായ $X$ ന് സ്വാഭാവിക മൂല്യങ്ങൾ $1,\ 2,\ \ഡോട്ട്,\ n$ എന്നിവ മാത്രമേ എടുക്കാൻ കഴിയൂ എങ്കിൽ $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\\) വലത്)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, അപ്പോൾ അവർ പറയുന്നത് അത്തരം ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ $X$ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ ജ്യാമിതീയ നിയമത്തിന് വിധേയമാണെന്ന്. വാസ്തവത്തിൽ, ജ്യാമിതീയ വിതരണം ആദ്യ വിജയം വരെ ബെർണൂലി ടെസ്റ്റ് ആണ്.
ഉദാഹരണം . ജ്യാമിതീയ വിതരണമുള്ള റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇവയാകാം: ടാർഗെറ്റിലെ ആദ്യ ഹിറ്റിന് മുമ്പുള്ള ഷോട്ടുകളുടെ എണ്ണം; ആദ്യ പരാജയം വരെ ഉപകരണ പരിശോധനകളുടെ എണ്ണം; ആദ്യത്തെ തല വരുന്നതുവരെ നാണയം ടോസുകളുടെ എണ്ണം മുതലായവ.
ജ്യാമിതീയ വിതരണത്തിന് വിധേയമായ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും വ്യതിയാനവും യഥാക്രമം $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right )/p^ $2.
ഉദാഹരണം . മുട്ടയിടുന്ന സ്ഥലത്തേക്കുള്ള മീൻ നീക്കത്തിൻ്റെ വഴിയിൽ $4$ ലോക്ക് ഉണ്ട്. ഓരോ ലോക്കിലൂടെയും മത്സ്യം കടന്നുപോകാനുള്ള സാധ്യത $p=3/5$ ആണ്. റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ ശ്രേണി നിർമ്മിക്കുക $X$ - ലോക്കിലെ ആദ്യ തടങ്കലിന് മുമ്പ് മത്സ്യം കടത്തിവിട്ട ലോക്കുകളുടെ എണ്ണം. $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$ കണ്ടെത്തുക.
റാൻഡം വേരിയബിൾ $X$ എന്നത് ലോക്കിലെ ആദ്യ അറസ്റ്റിന് മുമ്പ് മത്സ്യം കടത്തിവിട്ട ലോക്കുകളുടെ എണ്ണമായിരിക്കട്ടെ. അത്തരമൊരു റാൻഡം വേരിയബിൾ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ ജ്യാമിതീയ നിയമത്തിന് വിധേയമാണ്. ക്രമരഹിതമായ $X-ന് എടുക്കാവുന്ന മൂല്യങ്ങൾ:$ 1, 2, 3, 4. ഈ മൂല്യങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, എവിടെ: $ p=2/5$ - ലോക്കിലൂടെ മത്സ്യം പിടിക്കപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത, $q=1-p=3/5$ - ലോക്കിലൂടെ മത്സ്യം കടന്നുപോകാനുള്ള സാധ്യത, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\ഇടത്((3)\over (5))\right))^0=(2)\ ഓവർ (5))=0.4;$
$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24;
$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\ഇടത്((3)\over (5))\right))^2=(2)\ മുകളിൽ (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\ഇടത്(((3)\over (5))\right))^3+(\ഇടത്(( (3)\ഓവർ (5))\വലത്))^4=((27)\ഓവർ (125))=0.216.$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
പി\ഇടത്(X_i\വലത്) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(array)$
പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യം:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
ചിതറിക്കൽ:
$D\left(X\ right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left(\ left( 1-2,176\വലത്))^2+0.24\cdot (\ഇടത്(2-2,176\വലത്))^2+0.144\cdot (\ഇടത്(3-2,176\വലത്))^2+$
$+\0.216\cdot (\ഇടത്(4-2,176\വലത്))^2\ഏകദേശം 1.377.$
സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\ഏകദേശം 1,173.$
4. ഹൈപ്പർജിയോമെട്രിക് വിതരണ നിയമം.
$N$ ഒബ്‌ജക്‌റ്റുകൾ ആണെങ്കിൽ, അവയിൽ $m$ ഒബ്‌ജക്‌റ്റുകൾക്ക് ഒരു പ്രത്യേക പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ട്. $n$ ഒബ്‌ജക്‌റ്റുകൾ തിരികെ നൽകാതെ ക്രമരഹിതമായി വീണ്ടെടുക്കുന്നു, അവയിൽ തന്നിരിക്കുന്ന പ്രോപ്പർട്ടി ഉള്ള $k$ വസ്തുക്കളും ഉണ്ടായിരുന്നു. ഹൈപ്പർജിയോമെട്രിക് ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ സാമ്പിളിലെ കൃത്യമായി $k$ വസ്തുക്കൾക്ക് ഒരു നിശ്ചിത പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ടായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന പ്രോപ്പർട്ടി ഉള്ള സാമ്പിളിലെ ഒബ്‌ജക്റ്റുകളുടെ എണ്ണമായ $X$ എന്ന ക്രമരഹിത വേരിയബിൾ ആകട്ടെ. അപ്പോൾ ക്രമരഹിതമായ $X$ മൂല്യങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ:
$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
അഭിപ്രായം. Excel $f_x$ ഫംഗ്ഷൻ വിസാർഡിൻ്റെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഫംഗ്ഷൻ HYPERGEOMET ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം ടെസ്റ്റുകൾ വിജയിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.
$f_x\to$ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക്$\ to $ ഹൈപ്പർജിയോമെറ്റ്$\ to $ ശരി. നിങ്ങൾ പൂരിപ്പിക്കേണ്ട ഒരു ഡയലോഗ് ബോക്സ് ദൃശ്യമാകും. കോളത്തിൽ സാമ്പിളിലെ_വിജയങ്ങളുടെ_എണ്ണം$k$ മൂല്യം സൂചിപ്പിക്കുക. സാമ്പിൾ_സൈസ്$n$ തുല്യമാണ്. കോളത്തിൽ ഒരുമിച്ച്_വിജയങ്ങളുടെ_എണ്ണംമൂല്യം $m$ സൂചിപ്പിക്കുക. ജനസംഖ്യ_വലിപ്പം$N$ തുല്യമാണ്.
ജ്യാമിതീയ വിതരണ നിയമത്തിന് വിധേയമായി $X$ എന്ന ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും വ്യതിയാനവും യഥാക്രമം $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ന് തുല്യമാണ്. ((nm\left(1 -(m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.
ഉദാഹരണം . ബാങ്കിൻ്റെ ക്രെഡിറ്റ് ഡിപ്പാർട്ട്‌മെൻ്റ് ഉയർന്ന സാമ്പത്തിക വിദ്യാഭ്യാസമുള്ള 5 സ്പെഷ്യലിസ്റ്റുകളും ഉന്നത നിയമ വിദ്യാഭ്യാസമുള്ള 3 സ്പെഷ്യലിസ്റ്റുകളും ജോലി ചെയ്യുന്നു. ബാങ്കിൻ്റെ മാനേജ്‌മെൻ്റ് 3 സ്പെഷ്യലിസ്റ്റുകളെ അവരുടെ യോഗ്യതകൾ മെച്ചപ്പെടുത്താൻ അയയ്ക്കാൻ തീരുമാനിച്ചു, അവരെ ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്തു.
a) ഉയർന്ന സാമ്പത്തിക വിദ്യാഭ്യാസമുള്ള സ്പെഷ്യലിസ്റ്റുകളുടെ എണ്ണം അവരുടെ കഴിവുകൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനായി അയയ്ക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു വിതരണ പരമ്പര ഉണ്ടാക്കുക;
b) ഈ വിതരണത്തിൻ്റെ സംഖ്യാപരമായ സവിശേഷതകൾ കണ്ടെത്തുക.
തിരഞ്ഞെടുത്ത മൂന്ന് പേരിൽ ഉയർന്ന സാമ്പത്തിക വിദ്യാഭ്യാസമുള്ള സ്പെഷ്യലിസ്റ്റുകളുടെ എണ്ണം ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിൾ $X$ ആയിരിക്കട്ടെ. $X-ന് എടുക്കാവുന്ന മൂല്യങ്ങൾ: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. ഈ റാൻഡം വേരിയബിൾ $X$ ഇനിപ്പറയുന്ന പാരാമീറ്ററുകളുള്ള ഒരു ഹൈപ്പർജിയോമെട്രിക് ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു: $N=8$ - ജനസംഖ്യാ വലുപ്പം, $m=5$ - ജനസംഖ്യയിലെ വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണം, $n=3$ - സാമ്പിൾ വലുപ്പം, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - സാമ്പിളിലെ വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണം. അപ്പോൾ സാധ്യതകൾ $P\left(X=k\right)$ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_( N)^(n) ) $ ന് മുകളിൽ. നമുക്ക് ഉണ്ട്:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\ഏകദേശം 0.018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\ഏകദേശം 0.268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\ഏകദേശം 0.536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\ഏകദേശം 0.179.$
തുടർന്ന് $X$ എന്ന ക്രമരഹിത വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ ശ്രേണി:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(array)$
പൊതു ഹൈപ്പർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് $X$ എന്ന ക്രമരഹിത വേരിയബിളിൻ്റെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് കണക്കാക്കാം ജ്യാമിതീയ വിതരണം.
$M\left(X\ right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$
$D\left(X\ right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-(n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-(5)\over (8))\right)\cdot \left(1-(3)\over (8 ))\വലത്))\ഓവർ (8-1))=((225)\മേൽ (448))\ഏകദേശം 0.502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\ഏകദേശം 0.7085.$
