ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ്
ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവ്വചനം
- ഫംഗ്ഷൻ y=F(x)ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു y=f(x)ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ X,എല്ലാവർക്കും വേണ്ടിയാണെങ്കിൽ എക്സ് ∈എക്സ്സമത്വം നിലനിർത്തുന്നു: F′(x) = f(x)
രണ്ട് തരത്തിൽ വായിക്കാം:
- എഫ് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എഫ്
- എഫ് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് എഫ്
ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ സ്വത്ത്
- എങ്കിൽ F(x)- ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് f(x)ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ, f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് അനന്തമായി ധാരാളം ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ട്, കൂടാതെ ഈ എല്ലാ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളും ഫോമിൽ എഴുതാം. F(x) + C, ഇവിടെ C എന്നത് ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കമാണ്.
ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം
- തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ എല്ലാ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും ഗ്രാഫുകൾ f(x)ഏതെങ്കിലും ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് O അക്ഷത്തിൽ സമാന്തര വിവർത്തനം വഴി ലഭിക്കും ചെയ്തത്.
ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ
- തുകയുടെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ്, ആൻറിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. എങ്കിൽ F(x)- ഇതിനായുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് f(x), കൂടാതെ G(x) ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ് g(x), അത് F(x) + G(x)- ഇതിനായുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് f(x) + g(x).
- സ്ഥിരമായ ഘടകം ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം. എങ്കിൽ F(x)- ഇതിനായുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് f(x), ഒപ്പം കെ- സ്ഥിരം, പിന്നെ k·F(x)- ഇതിനായുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് k f(x).
- എങ്കിൽ F(x)- ഇതിനായുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് f(x), ഒപ്പം കെ, ബി- സ്ഥിരമായ, ഒപ്പം k≠ 0, അത് 1/k F(kx + b)- ഇതിനായുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് f(kx + b).
ഓർക്കുക!
ഏതെങ്കിലും പ്രവർത്തനം F(x) = x 2 + C , ഇവിടെ C ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കമാണ്, അത്തരം ഒരു ഫംഗ്ഷൻ മാത്രമേ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ് f(x) = 2x.
- ഉദാഹരണത്തിന്:
F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2x,കാരണം F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2x,കാരണം F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);
ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫുകളും അതിൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം:
- ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ആണെങ്കിൽ f(x)>0 F(x)ഈ ഇടവേളയിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു.
- ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ആണെങ്കിൽ f(x)<0 ഇടവേളയിൽ, തുടർന്ന് അതിൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഗ്രാഫ് F(x)ഈ ഇടവേളയിൽ കുറയുന്നു.
- എങ്കിൽ f(x)=0, പിന്നെ അതിൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഗ്രാഫ് F(x)ഈ ഘട്ടത്തിൽ വർദ്ധിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് കുറയുന്നതിലേക്ക് മാറുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും).
ഒരു ആൻറിഡെറിവേറ്റീവിനെ സൂചിപ്പിക്കാൻ, ഒരു അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ അടയാളം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതായത്, സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധി സൂചിപ്പിക്കാത്ത ഒരു ഇൻ്റഗ്രൽ.
അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യ
നിർവ്വചനം:
- f(x) ഫംഗ്ഷൻ്റെ അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ F(x) + C എന്ന പദപ്രയോഗമാണ്, അതായത്, തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ എല്ലാ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും സെറ്റ്. അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x)- ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു;
- f(x)dx- ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു;
- x- സംയോജനത്തിൻ്റെ വേരിയബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു;
- F(x)- f(x) ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്ന്;
- കൂടെ- ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കം.
അനിശ്ചിതത്വ സംയോജനത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ
- indefinite integral ൻ്റെ derivative integrand-ന് തുല്യമാണ്: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- സംയോജനത്തിൻ്റെ സ്ഥിരമായ ഘടകം അവിഭാജ്യ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് എടുക്കാം: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
- ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക (വ്യത്യാസം) സംയോജനം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്(വ്യത്യാസങ്ങൾ) ഈ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
- എങ്കിൽ കെ, ബിസ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണ്, പിന്നെ k ≠ 0 \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.
ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലുകളുടെയും പട്ടിക
| ഫംഗ്ഷൻ f(x) | ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് F(x) + C | അനിശ്ചിതത്വ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | സി | \int 0 dx = C |
| f(x) = കെ | F(x) = kx + C | \int kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\not =-1 | F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C | \int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C |
| f(x) = \frac(1)(x) | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e(^x )dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac(a^x)(l na) + C | \int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C |
| f(x) = \sin x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x) =\sin x + C | \int \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x) | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x) | F(x) = \tg x + C | \int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt(x) | F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(x)) | F(x) =2\sqrt(x) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2)) | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2)) | F(x)=\arctg x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2)) | F(x)=\arcsin\frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2)) | F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C |
| f(x) =\frac(1)( 1+x^2) | F(x)=\arctg + C | \int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0) | F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C | \int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\sin x) | F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C | \int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\cos x) | F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C | \int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C |
ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല
അനുവദിക്കുക f(x)ഈ പ്രവർത്തനം എഫ്അതിൻ്റെ അനിയന്ത്രിതമായ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ്.
\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)
എവിടെ F(x)- ഇതിനായുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് f(x)
അതായത്, പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അവിഭാജ്യഘടകം f(x)ഒരു ഇടവേളയിൽ പോയിൻ്റുകളിലെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ് ബിഒപ്പം എ.
വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം
കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡ് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ്, അത് നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തതും ഒരു ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി വരുന്നതുമാണ് എഫ്, ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടും നേർരേഖകളും x = aഒപ്പം x = b.
ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തി:
S= \int_(a)^(b) f(x) dx
ഇൻ്റഗ്രലുകൾ പരിഹരിക്കുന്നത് എളുപ്പമുള്ള കാര്യമാണ്, എന്നാൽ തിരഞ്ഞെടുത്ത ചിലർക്ക് മാത്രം. ഈ ലേഖനം ഇൻ്റഗ്രലുകൾ മനസ്സിലാക്കാൻ പഠിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നവർക്ക് വേണ്ടിയുള്ളതാണ്, എന്നാൽ അവയെക്കുറിച്ച് ഒന്നും അല്ലെങ്കിൽ മിക്കവാറും ഒന്നും അറിയില്ല. സമഗ്രം... എന്തുകൊണ്ട് ഇത് ആവശ്യമാണ്? അത് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം? എന്താണ് പ്രത്യേകം കൂടാതെ അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യഎസ്? എത്തിച്ചേരാനാകാത്ത സ്ഥലങ്ങളിൽ നിന്ന് ഉപയോഗപ്രദമായ എന്തെങ്കിലും ലഭിക്കുന്നതിന് ഒരു അവിഭാജ്യ ഐക്കൺ ആകൃതിയിലുള്ള ഒരു ക്രോച്ചെറ്റ് ഹുക്ക് ഉപയോഗിക്കുക എന്നതാണ് ഒരു ഇൻ്റഗ്രലിനായി നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്ന ഒരേയൊരു ഉപയോഗമെങ്കിൽ, സ്വാഗതം! ഇൻ്റഗ്രലുകൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്നും എന്തുകൊണ്ട് ഇത് കൂടാതെ നിങ്ങൾക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ലെന്നും കണ്ടെത്തുക.
"ഇൻ്റഗ്രൽ" എന്ന ആശയം ഞങ്ങൾ പഠിക്കുന്നു
പുരാതന ഈജിപ്തിൽ സംയോജനം അറിയപ്പെട്ടിരുന്നു. തീർച്ചയായും, അതിൻ്റെ ആധുനിക രൂപത്തിൽ അല്ല, ഇപ്പോഴും. അതിനുശേഷം, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഈ വിഷയത്തിൽ നിരവധി പുസ്തകങ്ങൾ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്. പ്രത്യേകം വേറിട്ടുനിൽക്കുന്നു ന്യൂട്ടൺ ഒപ്പം ലെബ്നിസ് , എന്നാൽ കാര്യങ്ങളുടെ സാരാംശം മാറിയിട്ടില്ല. ആദ്യം മുതൽ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാം? ഒരു വഴിയുമില്ല! ഈ വിഷയം മനസിലാക്കാൻ, ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അടിസ്ഥാന അറിവ് നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്. ഈ അടിസ്ഥാന വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങളുടെ ബ്ലോഗിൽ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത്.
അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യ
നമുക്ക് കുറച്ച് ഫംഗ്ഷൻ നടത്താം f(x) .
അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യ പ്രവർത്തനം f(x) ഈ പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു F(x) , അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പ്രവർത്തനത്തിന് തുല്യമാണ് f(x) .
മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഇൻ്റഗ്രൽ റിവേഴ്സ് അല്ലെങ്കിൽ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിലുള്ള ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്. വഴിയിൽ, ഞങ്ങളുടെ ലേഖനത്തിൽ എങ്ങനെ എന്നതിനെക്കുറിച്ച് വായിക്കുക.
എല്ലാ തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കും ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലുണ്ട്. കൂടാതെ, സ്ഥിരമായ ഒരു ചിഹ്നം പലപ്പോഴും ആൻറിഡെറിവേറ്റീവിലേക്ക് ചേർക്കുന്നു, കാരണം സ്ഥിരമായ വ്യത്യാസമുള്ള ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഒത്തുചേരുന്നു. ഇൻ്റഗ്രൽ കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയെ ഏകീകരണം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ലളിതമായ ഉദാഹരണം:
എലിമെൻ്ററി ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ നിരന്തരം കണക്കാക്കാതിരിക്കാൻ, അവ ഒരു പട്ടികയിൽ സംഗ്രഹിക്കുകയും റെഡിമെയ്ഡ് മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:
നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ
ഒരു അവിഭാജ്യ ആശയം കൈകാര്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ അനന്തമായ അളവുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു. ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം, ഏകീകൃതമല്ലാത്ത ശരീരത്തിൻ്റെ പിണ്ഡം, അസമമായ ചലന സമയത്ത് സഞ്ചരിക്കുന്ന ദൂരം എന്നിവയും അതിലേറെയും കണക്കാക്കാൻ ഇൻ്റഗ്രൽ സഹായിക്കും. ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യ അനന്തമായ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്.
ഒരു ഉദാഹരണമായി, ചില പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു ഗ്രാഫ് സങ്കൽപ്പിക്കുക. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?
ഒരു ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു! കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളാലും ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫാലും പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിനെ നമുക്ക് അനന്തമായ സെഗ്‌മെൻ്റുകളായി വിഭജിക്കാം. ഈ രീതിയിൽ ചിത്രം നേർത്ത നിരകളായി വിഭജിക്കപ്പെടും. നിരകളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ആകെത്തുക ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണമായിരിക്കും. എന്നാൽ അത്തരമൊരു കണക്കുകൂട്ടൽ ഒരു ഏകദേശ ഫലം നൽകുമെന്ന് ഓർക്കുക. എന്നിരുന്നാലും, ചെറുതും ഇടുങ്ങിയതുമായ സെഗ്‌മെൻ്റുകൾ, കണക്കുകൂട്ടൽ കൂടുതൽ കൃത്യതയുള്ളതായിരിക്കും. നീളം പൂജ്യമായി മാറുന്ന തരത്തിൽ അവയെ കുറച്ചാൽ, സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ആകെത്തുക ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിലേക്ക് നയിക്കും. ഇത് ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യമാണ്, അത് ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:
എ, ബി പോയിൻ്റുകളെ സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ബാരി അലിബാസോവും "ഇൻ്റഗ്രൽ" ഗ്രൂപ്പും
വഴിമധ്യേ! ഞങ്ങളുടെ വായനക്കാർക്ക് ഇപ്പോൾ 10% കിഴിവുണ്ട്
ഡമ്മികൾക്കുള്ള ഇൻ്റഗ്രലുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ
അനിശ്ചിതത്വ സംയോജനത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ
ഒരു അനിശ്ചിതത്വ ഇൻ്റഗ്രൽ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം? ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഉപയോഗപ്രദമാകുന്ന അനിശ്ചിതത്വ സംയോജനത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ ഇവിടെ നോക്കും.
- അവിഭാജ്യത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഇൻ്റഗ്രാൻഡിന് തുല്യമാണ്:
- അവിഭാജ്യ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ നിന്ന് സ്ഥിരാങ്കം പുറത്തെടുക്കാം:
- സംയോജനത്തിൻ്റെ സംയോജനം അവിഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. വ്യത്യാസത്തിനും ഇത് ശരിയാണ്:
ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ ഗുണങ്ങൾ
- രേഖീയത:
- സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്താൽ അവിഭാജ്യ മാറ്റങ്ങളുടെ അടയാളം:
- ചെയ്തത് ഏതെങ്കിലുംപോയിൻ്റുകൾ എ, ബിഒപ്പം കൂടെ:
ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ എന്നത് ഒരു തുകയുടെ പരിധിയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടെത്തി. എന്നാൽ ഒരു ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യം എങ്ങനെ ലഭിക്കും? ഇതിനായി ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുലയുണ്ട്:
ഇൻ്റഗ്രലുകൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ
അനിശ്ചിതത്വ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ചുവടെ പരിഗണിക്കും. പരിഹാരത്തിൻ്റെ സങ്കീർണതകൾ സ്വയം മനസിലാക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ ക്ഷണിക്കുന്നു, എന്തെങ്കിലും വ്യക്തമല്ലെങ്കിൽ, അഭിപ്രായങ്ങളിൽ ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കുക.
മെറ്റീരിയൽ ശക്തിപ്പെടുത്തുന്നതിന്, പ്രായോഗികമായി ഇൻ്റഗ്രലുകൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു വീഡിയോ കാണുക. ഇൻ്റഗ്രൽ ഉടനടി നൽകിയില്ലെങ്കിൽ നിരാശപ്പെടരുത്. ഇൻ്റഗ്രലുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് അവർക്കറിയാവുന്നതെല്ലാം ചോദിക്കുക, അവർ നിങ്ങളോട് പറയും. ഞങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ, ഒരു അടഞ്ഞ പ്രതലത്തിൽ ഏതെങ്കിലും ട്രിപ്പിൾ അല്ലെങ്കിൽ വളഞ്ഞ ഇൻ്റഗ്രൽ നിങ്ങളുടെ ശക്തിയിൽ ആയിരിക്കും.
ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷനുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് മൂന്ന് അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങളുണ്ട്. അവ ബന്ധപ്പെട്ട ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളുമായി വളരെ സാമ്യമുള്ളതാണ്.
നിയമം 1
ചില ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് F ഒരു ആൻറിഡെറിവേറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ചില ഫംഗ്ഷൻ g-ന് G ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, F + G എന്നത് f + g-ന് ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആയിരിക്കും.
ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, F' = f. ജി' = ജി. ഈ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നതിനാൽ, ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം അനുസരിച്ച് നമുക്ക്:
(F + G)' = F' + G' = f + g.
നിയമം 2
ചില ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് F ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, k എന്നത് ചില സ്ഥിരാങ്കമാണ്. അപ്പോൾ k*F എന്നത് k*f ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്. സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നിയമത്തിൽ നിന്ന് ഈ നിയമം പിന്തുടരുന്നു.
നമുക്ക്: (k*F)' = k*F' = k*f.
നിയമം 3
F(x) എന്നത് f(x) ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ചില ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളാണെങ്കിൽ, k, b എന്നിവ ചില സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണെങ്കിൽ, k പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, (1/k)*F*(k*x+b) ആയിരിക്കും f (k*x+b) ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ്.
സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നിയമത്തിൽ നിന്ന് ഈ നിയമം പിന്തുടരുന്നു:
((1/k)*F*(k*x+b))' = (1/k)*F'(k*x+b)*k = f(k*x+b).
ഈ നിയമങ്ങൾ എങ്ങനെ ബാധകമാണ് എന്നതിൻ്റെ കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:
ഉദാഹരണം 1. f(x) = x^3 +1/x^2 എന്ന ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പൊതുവായ രൂപം കണ്ടെത്തുക. x^3 എന്ന ഫംഗ്‌ഷനായി ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്ന് ഫംഗ്ഷൻ (x^4)/4 ആയിരിക്കും, കൂടാതെ 1/x^2 ഫംഗ്‌ഷനു വേണ്ടി ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്ന് ഫംഗ്ഷൻ -1/x ആയിരിക്കും. ആദ്യ നിയമം ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് ഇവയുണ്ട്:
F(x) = x^4/4 - 1/x +C.
ഉദാഹരണം 2. f(x) = 5*cos(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പൊതുവായ രൂപം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. cos(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനായി, ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്ന് sin(x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ആയിരിക്കും. ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ നിയമം ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിക്കും:
F(x) = 5*sin(x).
ഉദാഹരണം 3. y = sin(3*x-2) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്ന് കണ്ടെത്തുക. sin(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്ന് -cos(x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ആയിരിക്കും. ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ മൂന്നാമത്തെ നിയമം ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിനായി നമുക്ക് ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും:
F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)
ഉദാഹരണം 4. f(x) = 1/(7-3*x)^5 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക
1/x^5 ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ (-1/(4*x^4)) ആയിരിക്കും. ഇപ്പോൾ, മൂന്നാമത്തെ നിയമം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു.
ഡെറിവേറ്റീവിന് നിരവധി ഉപയോഗങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടു: ഡെറിവേറ്റീവ് ചലനത്തിൻ്റെ വേഗതയാണ് (അല്ലെങ്കിൽ, പൊതുവെ, ഏത് പ്രക്രിയയുടെയും വേഗത); ഡെറിവേറ്റീവ് എന്നത് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവാണ്; ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഏകതാനതയ്ക്കും തീവ്രതയ്ക്കും വേണ്ടിയുള്ള പ്രവർത്തനം പരിശോധിക്കാം; ഒപ്റ്റിമൈസേഷൻ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഡെറിവേറ്റീവ് സഹായിക്കുന്നു.
എന്നാൽ യഥാർത്ഥ ജീവിതത്തിൽ നമ്മൾ വിപരീത പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്: ഉദാഹരണത്തിന്, അറിയപ്പെടുന്ന ചലന നിയമമനുസരിച്ച് വേഗത കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തോടൊപ്പം, അറിയപ്പെടുന്ന വേഗതയനുസരിച്ച് ചലന നിയമം പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്ന പ്രശ്നവും ഞങ്ങൾ നേരിടുന്നു. ഈ പ്രശ്നങ്ങളിലൊന്ന് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.
ഉദാഹരണം 1.ഒരു മെറ്റീരിയൽ പോയിൻ്റ് ഒരു നേർരേഖയിൽ നീങ്ങുന്നു, t എന്ന സമയത്ത് അതിൻ്റെ വേഗത u = tg എന്ന ഫോർമുലയാണ് നൽകുന്നത്. ചലന നിയമം കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം. s = s(t) എന്നത് ആവശ്യമുള്ള ചലന നിയമം ആകട്ടെ. s"(t) = u"(t) എന്ന് അറിയാം. ഇതിനർത്ഥം പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്നാണ് പ്രവർത്തനം s = s(t), അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് tg ന് തുല്യമാണ്. അത് ഊഹിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല
ഉദാഹരണം ശരിയായി പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു, പക്ഷേ അപൂർണ്ണമായി എന്ന് നമുക്ക് ഉടനടി ശ്രദ്ധിക്കാം. വാസ്തവത്തിൽ, പ്രശ്നത്തിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി: ഫോമിൻ്റെ ഏത് പ്രവർത്തനവും 
ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കം ചലനനിയമമായി വർത്തിക്കും
ചുമതല കൂടുതൽ വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, പ്രാരംഭ സാഹചര്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്: ചില സമയങ്ങളിൽ ഒരു ചലിക്കുന്ന പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് സൂചിപ്പിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, t=0. s(0) = s 0 എന്ന് പറയുകയാണെങ്കിൽ, സമത്വത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് s(0) = 0 + C ലഭിക്കും, അതായത് S 0 = C. ഇപ്പോൾ ചലന നിയമം അദ്വിതീയമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു:
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, പരസ്പര വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത പേരുകൾ നൽകുകയും പ്രത്യേക നൊട്ടേഷനുകൾ കണ്ടുപിടിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു: ഉദാഹരണത്തിന്, സ്ക്വയറിംഗ് (x 2), സൈനിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം എടുക്കൽ (sinх) കൂടാതെ ആർക്ക്സൈൻ(arcsin x), മുതലായവ. തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയെ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ എന്നും വിപരീത പ്രവർത്തനം എന്നും വിളിക്കുന്നു, അതായത്. തന്നിരിക്കുന്ന ഡെറിവേറ്റീവിൽ നിന്ന് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയ - സംയോജനം.
"ഡെറിവേറ്റീവ്" എന്ന പദം തന്നെ "ദൈനംദിന ജീവിതത്തിൽ" ന്യായീകരിക്കാവുന്നതാണ്: y - f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ "ജന്മം നൽകുന്നു" എന്ന പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ y"= f"(x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ y = f(x) ആയി പ്രവർത്തിക്കുന്നു ഒരു “മാതാപിതാവ്” , എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ, സ്വാഭാവികമായും, ഇതിനെ “മാതാപിതാവ്” അല്ലെങ്കിൽ “നിർമ്മാതാവ്” എന്ന് വിളിക്കില്ല; ചെറുത്, ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ്.
നിർവ്വചനം 1. X-ൽ നിന്നുള്ള എല്ലാ x-നും F"(x)=f(x) തുല്യത കൈവശം വച്ചാൽ, തന്നിരിക്കുന്ന ഇടവേള X-ൽ y = F(x) ഫംഗ്‌ഷനെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
പ്രായോഗികമായി, ഇടവേള X സാധാരണയായി വ്യക്തമാക്കിയിട്ടില്ല, എന്നാൽ അത് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു (ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ സ്വാഭാവിക ഡൊമെയ്ൻ ആയി).
ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:
1) y = x 2 ഫംഗ്ഷൻ y = 2x എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്, കാരണം എല്ലാ x നും തുല്യത (x 2)" = 2x ശരിയാണ്.
2) y - x 3 ഫംഗ്ഷൻ y-3x 2 ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്, കാരണം എല്ലാ x നും തുല്യത (x 3)" = 3x 2 ശരിയാണ്.
3) y = cosx എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് y-sinх എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്, കാരണം എല്ലാ x നും തുല്യത (sinx)" = cosx ശരിയാണ്.
4) എല്ലാ x > 0 നും തുല്യത സത്യമായതിനാൽ ഇടവേളയിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഫംഗ്ഷൻ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്
പൊതുവേ, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അറിയുന്നത്, ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക കംപൈൽ ചെയ്യുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല.
ഈ പട്ടിക എങ്ങനെ സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു: രണ്ടാമത്തെ നിരയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്, ആദ്യ നിരയുടെ അനുബന്ധ വരിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന് തുല്യമാണ് (ഇത് പരിശോധിക്കുക, മടിയനാകരുത്, അത് വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്). ഉദാഹരണത്തിന്, y = x 5 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ്, നിങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുന്നതുപോലെ, ഫംഗ്ഷൻ ആണ് (പട്ടികയുടെ നാലാമത്തെ വരി കാണുക).
കുറിപ്പുകൾ: 1. y = F(x) എന്നത് y = f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് അനന്തമായി ധാരാളം ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുണ്ടെന്നും അവയ്‌ക്കെല്ലാം y = രൂപമുണ്ടെന്നും ഉള്ള സിദ്ധാന്തം ഞങ്ങൾ ചുവടെ തെളിയിക്കും. F(x ) + C. അതിനാൽ, പട്ടികയുടെ രണ്ടാമത്തെ നിരയിൽ എല്ലായിടത്തും C എന്ന പദം ചേർക്കുന്നത് കൂടുതൽ ശരിയാകും, ഇവിടെ C എന്നത് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.
2. സംക്ഷിപ്തതയ്‌ക്കായി, ചിലപ്പോൾ "y = F(x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ y = f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവാണ്" എന്ന വാക്യത്തിനുപകരം F(x) f(x) ൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണെന്ന് അവർ പറയുന്നു. .”
2. ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ
ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, അതുപോലെ തന്നെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ഫോർമുലകൾ മാത്രമല്ല ഉപയോഗിക്കുന്നത് (അവ പേജ് 196 ലെ പട്ടികയിൽ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്), മാത്രമല്ല ചില നിയമങ്ങളും. ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള അനുബന്ധ നിയമങ്ങളുമായി അവ നേരിട്ട് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
ഒരു തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. ഈ നിയമം ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അനുബന്ധ നിയമം സൃഷ്ടിക്കുന്നു.
നിയമം 1.ഒരു തുകയുടെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആൻറിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.
ഈ ഫോർമുലേഷൻ്റെ ഒരു പരിധിവരെ "ലഘുത" യിലേക്ക് ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, ഒരാൾ സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്തണം: y = f(x), y = g(x) എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് യഥാക്രമം y-F(x), y-G(x) എന്നീ ഇടവേളകളിൽ ആൻറിഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, y ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക. = f(x)+g(x) ഇടവേള X-ൽ ഒരു ആൻറിഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട്, ഈ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് y = F(x)+G(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനാണ്. എന്നാൽ സാധാരണയായി, നിയമങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുമ്പോൾ (സിദ്ധാന്തങ്ങളല്ല), അവ മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ കീവേഡുകൾ- ഇത് പ്രായോഗികമായി നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാക്കുന്നു
ഉദാഹരണം 2. y = 2x + cos x ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം. 2x-നുള്ള ആൻറിഡെറിവേറ്റീവ് x" ആണ്; കോക്‌സിൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് sin x ആണ്. ഇതിനർത്ഥം y = 2x + cos x എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് y = x 2 + sin x (പൊതുവായി ഫോമിൻ്റെ ഏത് ഫംഗ്‌ഷനും) ആയിരിക്കും എന്നാണ്. Y = x 1 + sinx + C) .
സ്ഥിരമായ ഘടകം ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് നമുക്കറിയാം. ഈ നിയമം ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അനുബന്ധ നിയമം സൃഷ്ടിക്കുന്നു.
നിയമം 2.ആൻറിഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് സ്ഥിരമായ ഘടകം പുറത്തെടുക്കാൻ കഴിയും.
ഉദാഹരണം 3.
പരിഹാരം. a) sin x ൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് -soz x ആണ്; ഇതിനർത്ഥം y = 5 sin x എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ y = -5 cos x എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ആയിരിക്കും.
b) cos x-ൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് sin x ആണ്; ഇതിനർത്ഥം ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ ആണെന്നാണ്
c) x 3-നുള്ള ആൻറിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ് x ൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ്, y = 1 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ് y = x. ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഒന്നും രണ്ടും നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, y = 12x 3 + 8x-1 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.
അഭിപ്രായം.അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമല്ല (ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തെ വേർതിരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാണ്) കൂടാതെ ഒരു ഘടകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഘടകത്തിന് തുല്യമല്ല. അതിനാൽ, ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് നിയമങ്ങളൊന്നുമില്ല. ശ്രദ്ധാലുവായിരിക്കുക!
ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു നിയമം നമുക്ക് നേടാം. y = f(kx+m) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് കണക്കാക്കുന്നതെന്ന് നമുക്കറിയാം
ഈ നിയമം ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അനുബന്ധ നിയമം സൃഷ്ടിക്കുന്നു.
നിയമം 3. y = F(x) എന്നത് y = f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, y=f(kx+m) ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ് ഫംഗ്ഷൻ.
തീർച്ചയായും,
y = f(kx+m) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.
മൂന്നാമത്തെ നിയമത്തിൻ്റെ അർത്ഥം ഇപ്രകാരമാണ്. y = f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് y = F(x) ഫംഗ്ഷൻ ആണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ y = f(kx+m) ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ, ഇതുപോലെ തുടരുക: എടുക്കുക അതേ ഫംഗ്ഷൻ F, എന്നാൽ ആർഗ്യുമെൻ്റ് x-ന് പകരം, kx+m എന്ന പദപ്രയോഗം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക; കൂടാതെ, ഫംഗ്ഷൻ ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പ് "തിരുത്തൽ ഘടകം" എഴുതാൻ മറക്കരുത്
ഉദാഹരണം 4.നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായി ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക:
പരിഹാരം, a) sin x ൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് -soz x ആണ്; ഇതിനർത്ഥം y = sin2x എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനായിരിക്കും
b) cos x-ൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് sin x ആണ്; ഇതിനർത്ഥം ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ ആണെന്നാണ്
c) x 7-നുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് y = (4-5x) 7 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനായിരിക്കും എന്നാണ്.
3. അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ
തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുള്ള y = f(x) ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിന് ഒന്നിലധികം പരിഹാരങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഈ പ്രശ്നം കൂടുതൽ വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്യാം.
തെളിവ്. 1. y = F(x) എന്നത് y = f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻറിഡെറിവേറ്റീവ് ആയിരിക്കട്ടെ X എന്ന ഇടവേളയിൽ. ഇതിനർത്ഥം X മുതൽ എല്ലാ x നും തുല്യത x"(x) = f(x) നിലനിർത്തുന്നു എന്നാണ്. നമുക്ക് y = F(x)+C എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).
അതിനാൽ, (F(x)+C) = f(x). ഇതിനർത്ഥം y = F(x) + C എന്നത് y = f(x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്.
അങ്ങനെ, y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനിൽ y=F(x) ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഫംഗ്‌ഷന് (f = f(x) അനന്തമായി ധാരാളം ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, y = ഫോമിൻ്റെ ഏത് ഫംഗ്‌ഷനും F(x) +C ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്.
2. സൂചിപ്പിച്ച തരം ഫംഗ്ഷനുകൾ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ മുഴുവൻ സെറ്റ് എക്‌സ്‌ഹോസ്റ്റ് ചെയ്യുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ തെളിയിക്കാം.
y=F 1 (x), y=F(x) എന്നിവ X ഇടവേളയിൽ Y = f(x) ഫംഗ്‌ഷനുള്ള രണ്ട് ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളായിരിക്കട്ടെ. ഇതിനർത്ഥം X ഇടവേളയിൽ നിന്നുള്ള എല്ലാ x-നും ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധങ്ങൾ പിടിക്കുന്നു: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).
y = F 1 (x) -.F(x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുകയും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യാം: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
ഒരു ഇടവേള X-ലെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, X ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്ഷൻ സ്ഥിരമായിരിക്കും (§ 35-ൽ നിന്ന് സിദ്ധാന്തം 3 കാണുക). ഇതിനർത്ഥം F 1 (x) - F (x) = C, അതായത്. Fx) = F(x)+C.
സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടതാണ്.
ഉദാഹരണം 5.സമയത്തിനനുസരിച്ചുള്ള വേഗത വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ നിയമം നൽകിയിരിക്കുന്നു: v = -5sin2t. t=0 എന്ന സമയത്ത് പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് സംഖ്യ 1.5-ന് തുല്യമായിരുന്നു (അതായത് s(t) = 1.5) എന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ, ചലന നിയമം കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം.സമയത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനമെന്ന നിലയിൽ വേഗത കോർഡിനേറ്റിൻ്റെ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ആയതിനാൽ, നമ്മൾ ആദ്യം വേഗതയുടെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്. v = -5sin2t എന്ന ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ്. അത്തരം ആൻറിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്നാണ് ഫംഗ്ഷൻ, കൂടാതെ എല്ലാ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും ഗണത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:
സ്ഥിരമായ C യുടെ നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതനുസരിച്ച് s(0) = 1.5. t=0, S = 1.5 എന്ന മൂല്യങ്ങൾ ഫോർമുലയിലേക്ക് (1) പകരം വയ്ക്കുന്നത്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
C യുടെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യത്തെ ഫോർമുലയിലേക്ക് (1) മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള ചലന നിയമം ലഭിക്കും:
നിർവ്വചനം 2.ഒരു ഫംഗ്ഷൻ y = f(x) ഒരു ഇടവേള X-ൽ ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് y = F(x) ഉണ്ടെങ്കിൽ, എല്ലാ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും സെറ്റ്, അതായത്. y = F(x) + C എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ കൂട്ടത്തെ y = f(x) ഫംഗ്ഷൻ്റെ അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്:
(വായിക്കുക: "അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ എഫിൽ നിന്ന് x de x").
എന്താണെന്ന് അടുത്ത ഖണ്ഡികയിൽ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന അർത്ഥംസൂചിപ്പിച്ച പദവി.
ഈ വിഭാഗത്തിൽ ലഭ്യമായ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, പ്രധാന അനിശ്ചിതത്വ ഇൻ്റഗ്രലുകളുടെ ഒരു പട്ടിക ഞങ്ങൾ കംപൈൽ ചെയ്യും:
ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള മുകളിലുള്ള മൂന്ന് നിയമങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് സംയോജനത്തിൻ്റെ അനുബന്ധ നിയമങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്താം.
നിയമം 1.ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക ഈ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഇൻ്റഗ്രലുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:
നിയമം 2.അവിഭാജ്യ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് സ്ഥിരമായ ഘടകം പുറത്തെടുക്കാൻ കഴിയും:
നിയമം 3.എങ്കിൽ
ഉദാഹരണം 6.അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലുകൾ കണ്ടെത്തുക:
പരിഹാരം, a) സംയോജനത്തിൻ്റെ ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
ഇനി നമുക്ക് 3-ഉം 4-ഉം സംയോജന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാം:
ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
b) സംയോജനത്തിൻ്റെയും ഫോർമുല 8 ൻ്റെയും മൂന്നാമത്തെ നിയമം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
c) തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു ഇൻ്റഗ്രൽ നേരിട്ട് കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾക്ക് അനുബന്ധ ഫോർമുലയോ അനുബന്ധ നിയമമോ ഇല്ല. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, അവിഭാജ്യ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ സമാന പരിവർത്തനങ്ങൾ ചിലപ്പോൾ സഹായിക്കുന്നു.
നമുക്ക് പ്രയോജനപ്പെടുത്താം ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യംഡിഗ്രി കുറയ്ക്കൽ:
തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ തുടർച്ചയായി കണ്ടെത്തുന്നു:
എ.ജി. മൊർഡ്‌കോവിച്ച് ആൾജിബ്ര പത്താം ക്ലാസ്
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ കലണ്ടർ-തീമാറ്റിക് ആസൂത്രണം, വീഡിയോഗണിതം ഓൺലൈനിൽ, സ്കൂളിലെ ഗണിതം
