Энэхүү нийтлэл: "Хоёр дахь гайхалтай хязгаар" нь дараахь хэлбэрийн тодорхойгүй байдлын хүрээнд тодруулгад зориулагдсан болно.
$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ болон $ ^\infty $.
Мөн ийм тодорхой бус байдлыг логарифмын экспоненциал ашиглан илрүүлж болно эрчим хүчний функц, гэхдээ энэ нь өөр нийтлэлд авч үзэх өөр шийдлийн арга юм.
Томъёо ба үр дагавар
Томъёохоёр дахь гайхалтай хязгаарыг дараах байдлаар бичнэ: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( энд ) e \ойролцоогоор 2.718 $$
Энэ нь томъёоноос гардаг үр дагавар, эдгээр нь хязгаартай жишээг шийдвэрлэхэд ашиглахад маш тохиромжтой: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( Энд ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$
Хоёрдахь гайхалтай хязгаарыг экспоненциал функцэд үргэлж хэрэглэж болохгүй, гэхдээ зөвхөн суурь нь нэгдмэл байх хандлагатай тохиолдолд л хэрэглэгдэх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд суурийн хязгаарыг оюун ухаанаар тооцоолж, дараа нь дүгнэлт гарга. Энэ бүгдийг жишээ шийдэлд авч үзэх болно.
Шийдлийн жишээ
Шууд томъёо, түүний үр дагаврыг ашиглан шийдлийн жишээг авч үзье. Бид томъёо шаардлагагүй тохиолдлуудад дүн шинжилгээ хийх болно. Зөвхөн бэлэн хариултыг бичихэд л хангалттай.
| Жишээ 1 |
| Хязгаарыг олох $ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) $ |
| Шийдэл |
|
Хязгаарыг хязгаарт орлуулж, тодорхойгүй байдлыг харцгаая: $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(\frac(x+4)(x+3) \bigg)^(x+3) = \bigg (\ frac (\ infty) (\ infty) \ bigg) ^ \ infty $ $ Суурийн хязгаарыг олъё: $$ \lim_(x\to\infty) \frac(x+4)(x+3)= \lim_(x\to\infty) \frac(x(1+\frac) (4)() x)))(x(1+\frac(3)(x))) = 1 $$ Бид нэгтэй тэнцэх суурийг авсан бөгөөд энэ нь бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг аль хэдийн хэрэглэж болно гэсэн үг юм. Үүнийг хийхийн тулд нэгийг хасаж, нэмэх замаар функцийн суурийг томъёонд тохируулъя. $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(x+4)(x+3) - 1 \bigg)^(x+3) = \lim_(x\to\infty) \ bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = $$ Хоёрдахь үр дүнг хараад хариултаа бичье. $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ Хэрэв та асуудлаа шийдэж чадахгүй бол бидэнд илгээнэ үү. Бид нарийвчилсан шийдлийг өгөх болно. Та тооцооллын явцыг харж, мэдээлэл авах боломжтой болно. Энэ нь таныг багшаасаа цаг тухайд нь дүнгээ авахад тусална! |
| Хариулт |
| $$ \lim_(x\to\infty) \bigg(1 + \frac(1)(x+3) \bigg)^(x+3) = e $$ |
| Жишээ 4 |
| Хязгаарыг шийднэ үү $ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) $ |
| Шийдэл |
|
Бид суурийн хязгаарыг олоод $ \lim_(x\to\infty) \frac(3x^2+4)(3x^2-2) = 1 $ болохыг харж байгаа бөгөөд энэ нь бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг хэрэглэж болно гэсэн үг юм. Стандарт төлөвлөгөөний дагуу бид градусын суурь дээр нэгийг нэмж, хасна. $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(3x^2+4)(3x^2-2)-1 \bigg) ^(3x) = \lim_(x\to \infty) ) \bigg (1+\frac(6)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = $$ Бид бутархайг 2-р тэмдэглэлийн томъёонд тохируулна. хязгаар: $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(3x) = $$ Одоо зэрэглэлээ тохируулъя. Хүчин чадал нь $ \frac(3x^2-2)(6) $ суурийн хуваагчтай тэнцүү бутархай байх ёстой. Үүнийг хийхийн тулд зэрэглэлийг үржүүлж, хувааж, үргэлжлүүлэн шийдээрэй. $$ = \lim_(x\to \infty) \bigg (1+\frac(1)(\frac(3x^2-2)(6)) \bigg) ^(\frac(3x^2-2) (6) \cdot \frac(6)(3x^2-2)\cdot 3x) = \lim_(x\to \infty) e^(\frac(18x)(3x^2-2)) = $$ $ e $ дээр байрлах хязгаар нь тэнцүү байна: $ \lim_(x\to \infty) \frac(18x)(3x^2-2) = 0 $. Тиймээс бидэнд байгаа шийдлийг үргэлжлүүлэх нь: |
| Хариулт |
| $$ \lim_(x\to \infty) \bigg (\frac(3x^2+4)(3x^2-2) \bigg) ^(3x) = 1 $$ |
Асуудал нь хоёр дахь гайхалтай хязгаартай төстэй боловч үүнгүйгээр шийдэж болох тохиолдлуудыг авч үзье.
"Хоёр дахь гайхалтай хязгаар: Шийдлийн жишээ" нийтлэлд томъёо, түүний үр дагаварт дүн шинжилгээ хийж, энэ сэдэвтэй холбоотой нийтлэг асуудлуудыг өгсөн болно.
Энэ онлайн математикийн тооцоолуур танд хэрэгтэй бол танд туслах болно функцийн хязгаарыг тооцоолох. Програм шийдлийн хязгаарлалтасуудлын хариултыг өгөөд зогсохгүй удирддаг тайлбар бүхий нарийвчилсан шийдэл, өөрөөр хэлбэл хязгаарыг тооцоолох үйл явцыг харуулна.
Энэ хөтөлбөр нь ахлах ангийн сурагчдад хэрэг болох юм дунд сургуулиуд-д бэлтгэж байна туршилтуудболон шалгалтууд, Улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгийг шалгахдаа эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах боломжтой. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу? гэрийн даалгаварМатематик эсвэл алгебр дээр үү? Энэ тохиолдолд та нарийвчилсан шийдэл бүхий манай програмуудыг ашиглаж болно.
Энэ мэтчилэн та өөрийн дүү, эгч нарынхаа сургалтыг өөрөө явуулах боломжтой, харин асуудлыг шийдвэрлэх чиглэлээр боловсролын түвшин дээшилдэг.
Функцийн илэрхийлэл оруулна ууХязгаарыг тооцоолох
Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй байгаа бөгөөд програм ажиллахгүй байж магадгүй юм.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд та JavaScript-г идэвхжүүлэх хэрэгтэй.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.
Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээгээрэй сек...
Хэрэв чи шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Битгий мартаарай ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.
Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:
Бага зэрэг онол.
X->x 0 дахь функцийн хязгаар
Зарим X олонлог дээр f(x) функцийг тодорхойлж, \(x_0 \X\-д) эсвэл \(x_0 \X биш\) цэгийг оруулъя.
X-ээс x 0-ээс ялгаатай цэгүүдийн дарааллыг авч үзье.
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
x* руу нийлэх. Энэ дарааллын цэгүүд дэх функцын утгууд нь тоон дарааллыг бүрдүүлдэг
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
мөн түүний хязгаар байгаа эсэх талаар асуулт тавьж болно.
Тодорхойлолт. Хэрэв x аргументийн утгуудын аль нэг дарааллын (1) хувьд x 0-ээс ялгаатай бол A тоог x = x 0 (эсвэл x -> x 0) цэг дэх f(x) функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг. x 0-д ойртох үед утгын функцийн харгалзах дараалал (2) А тоонд нийлнэ.
$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$
f(x) функц нь x 0 цэг дээр зөвхөн нэг хязгаартай байж болно. Энэ нь дэс дарааллаас үүдэлтэй
(f(x n)) нь зөвхөн нэг хязгаартай.
Функцийн хязгаарын өөр нэг тодорхойлолт байдаг.
ТодорхойлолтХэрэв ямар нэгэн \(\varepsilon > 0\) тоонд \(\delta > 0\) байгаа бол бүх \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), тэгш бус байдлыг хангах \(|x-x_0| Логик тэмдэг ашиглан энэ тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно.
\((\forall \varepsilon > 0) (\оршдог \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Тэгш бус байдал \(x \neq x_0) болохыг анхаарна уу. , \; |x-x_0| Эхний тодорхойлолт нь тооны дарааллын хязгаарын тухай ойлголт дээр суурилдаг тул үүнийг ихэвчлэн "дарааллын хэлээр" гэсэн тодорхойлолт гэж нэрлэдэг. \(\varepsilon - \delta \)”.
Функцийн хязгаарын эдгээр хоёр тодорхойлолт нь ижил төстэй бөгөөд та тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд аль нь илүү тохиромжтой вэ гэдгээс хамааран аль нэгийг нь ашиглаж болно.
"Дарааллын хэлээр" функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг Гейнегийн дагуу функцийн хязгаарын тодорхойлолт, "хэлээр \(\varepsilon -) функцийн хязгаарын тодорхойлолт гэж нэрлэдэг болохыг анхаарна уу. \delta \)” гэдгийг Кошигийн дагуу функцийн хязгаарын тодорхойлолт гэж бас нэрлэдэг.
X->x 0 - ба x->x 0 + үед функцийн хязгаар
Дараах зүйлд бид функцийн нэг талт хязгаарын тухай ойлголтуудыг ашиглах бөгөөд эдгээр нь дараах байдлаар тодорхойлогддог.
ТодорхойлолтХэрэв x 0-д нийлэх аливаа дарааллын (1) х n элементүүд нь x 0-ээс их (бага) байвал харгалзах дараалал бол A тоог x 0 цэг дэх f(x) функцийн баруун (зүүн) хязгаар гэнэ. (2) А-д нийлдэг.
Бэлгэдлийн хувьд дараах байдлаар бичигдсэн байна.
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$
Бид "\(\varepsilon - \delta \)" хэл дээрх функцийн нэг талын хязгаарын ижил төстэй тодорхойлолтыг өгч болно:
ТодорхойлолтХэрэв ямар нэгэн \(\varepsilon > 0\) хувьд \(\delta > 0\) байвал бүх x-ийн хувьд A тоог f(x) функцийн х 0 цэгийн баруун (зүүн) хязгаар гэнэ. тэгш бус байдлыг хангах \(x_0 тэмдэгт оруулгууд:
Хоёр дахь гайхалтай хязгаарын томъёо нь lim x → ∞ 1 + 1 x x = e юм. Бичгийн өөр хэлбэр нь иймэрхүү харагдаж байна: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
Хоёрдахь гайхалтай хязгаарын тухай ярихдаа бид 1 ∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг шийдвэрлэх ёстой, өөрөөр хэлбэл. хязгааргүй хэмжээнд эв нэгдэл.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг тооцоолох чадвар нь ашигтай байх асуудлуудыг авч үзье.
Жишээ 1
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 хязгаарыг ол.
Шийдэл
Шаардлагатай томьёог орлуулж, тооцооллыг хийцгээе.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Бидний хариулт хязгааргүйн хүчинд нэг болсон. Шийдлийн аргыг тодорхойлохын тулд бид тодорхойгүй байдлын хүснэгтийг ашигладаг. Хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг сонгож, хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийцгээе.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Хэрэв x → ∞ бол t → - ∞ болно.
Орлуулсны дараа бидэнд юу байгааг харцгаая:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Хариулт: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Жишээ 2
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x хязгаарыг тооцоол.
Шийдэл
Хязгааргүйг орлуулаад дараахийг авъя.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
Хариуд нь бид өмнөх асуудалтай ижил зүйлийг дахин авсан тул бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг дахин ашиглаж болно. Дараа нь бид тэжээлийн функцын үндсэн дээр бүх хэсгийг сонгох хэрэгтэй.
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Үүний дараа хязгаарлалт дараах хэлбэрийг авна.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Хувьсагчдыг солих. t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 гэж үзье; хэрэв x → ∞ бол t → ∞ болно.
Үүний дараа бид анхны хязгаарт юу олж авснаа бичнэ.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Энэ хувиргалтыг гүйцэтгэхийн тулд бид хязгаар, эрх мэдлийн үндсэн шинж чанарыг ашигласан.
Хариулт: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .
Жишээ 3
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 хязгаарыг тооцоол.
Шийдэл
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Үүний дараа бид хоёр дахь агуу хязгаарыг хэрэгжүүлэх функцийг өөрчлөх хэрэгтэй. Бид дараахь зүйлийг авсан.
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Одоо бид бутархайн хуваагч болон хуваагч дахь ижил илтгэгчтэй (зургаантай тэнцүү) байгаа тул хязгааргүй дэх бутархайн хязгаар нь эдгээр коэффициентүүдийн дээд түвшний харьцаатай тэнцүү байх болно.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2-ийг орлуулснаар бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг олж авна. Юу гэсэн үг:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Хариулт: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
дүгнэлт
Тодорхой бус байдал 1 ∞, i.e. Хязгааргүй хүчинд нэгдэх нь хүчний хуулийн тодорхойгүй байдал тул экспоненциал чадлын функцүүдийн хязгаарыг олох дүрмийг ашиглан илрүүлж болно.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Энэ сэдвээр бид хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг ашиглан олж авч болох томьёог шинжлэх болно (хоёр дахь гайхалтай хязгаарт шууд зориулагдсан сэдэв байрладаг). Энэ хэсэгт хэрэг болох хоёр дахь гайхалтай хязгаарын хоёр томъёоллыг эргэн санацгаая: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e$ болон $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\баруун)^\frac(1)(x)=e$.
Би ихэвчлэн нотолгоогүйгээр томьёо өгдөг, гэхдээ энэ хуудсанд би үл хамаарах зүйл хийх болно гэж бодож байна. Гол нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарын үр дагаврын нотолгоо нь асуудлыг шууд шийдвэрлэхэд хэрэгтэй зарим арга техникийг агуулдаг. Ерөнхийдөө энэ эсвэл тэр томъёог хэрхэн баталж байгааг мэдэхийг зөвлөж байна. Энэ нь бидэнд үүнийг илүү сайн ойлгох боломжийг олгодог дотоод бүтэц, түүнчлэн хэрэглэх боломжийн хязгаар. Гэхдээ нотлох баримт нь бүх уншигчдад сонирхолгүй байж магадгүй тул би үүнийг үр дагавар бүрийн дараа байрлуулсан тэмдэглэлийн доор нуух болно.
Дүгнэлт №1
\эхлэх(тэгшитгэл) \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\төгсгөл(тэгшитгэл)1-р үр дүнгийн нотлох баримт: харуулах\нуух
$x\to 0$-д бидэнд $\ln(1+x)\to 0$ байгаа тул авч үзэж буй хязгаарт $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байна. Энэхүү тодорхой бус байдлыг илрүүлэхийн тулд $\frac(\ln(1+x))(x)$ илэрхийллийг дараах хэлбэрээр үзүүлье: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$ . Одоо $\frac(1)(x)$-г $(1+x)$ илэрхийллийн хүчинд тооцож, хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг хэрэгжүүлье:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \баруун|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\баруун)=\lim_(x\ to\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$
Дахин нэг удаа бид $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн эргэлзээтэй байна. Бид аль хэдийн батлагдсан томъёонд найдах болно. $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$ тул $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$ болно.
$$ \lim_(x\to\0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$
Дүгнэлт №2
\begin(тэгшитгэл) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(тэгшитгэл)2-р дүгнэлтийн нотлох баримт: харуулах\нуух
$x\to 0$-д бидэнд $e^x-1\to 0$ байгаа тул авч үзэж буй хязгаарт $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байна. Энэхүү тодорхой бус байдлыг илрүүлэхийн тулд $t=e^x-1$ гэж тэмдэглэсэн хувьсагчийг өөрчилье. $x\to 0$, дараа нь $t\to 0$. Дараа нь $t=e^x-1$ томьёогоор бид: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$ авна.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \баруун|=\зүүн | \эхлэх(зэрэгцүүлсэн) & t=e^x-1;\; t\to 0.\\ & x=\ln(1+t).\төгсгөл (зэрэгцүүлсэн) \баруун|= \lim_(t\to 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\to 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$
Дахин нэг удаа бид $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн эргэлзээтэй байна. Бид аль хэдийн батлагдсан томъёонд найдах болно. $a^x=e^(x\ln a)$ тул:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \баруун|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0) )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$
Дүгнэлт №3
\эхлэх(тэгшитгэл) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\альфа-1)(х)=\альфа \төгсгөл(тэгшитгэл)3-р үр дүнгийн нотлох баримт: харуулах\нуух
Дахин нэг удаа бид $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалтай тулгарч байна. $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$ тул бид дараахыг авна:
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \баруун|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to) \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \баруун)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x) ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$
Жишээ №1
$\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$ хязгаарыг тооцоол.
Бидэнд $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал бий. Энэхүү тодорхой бус байдлыг илрүүлэхийн тулд бид томъёог ашиглана. Бидний хязгаарт нийцүүлэхийн тулд энэ томъёо$e$-ийн хүч болон хуваагч дахь илэрхийлэл нь давхцах ёстой гэдгийг санах нь зүйтэй. Өөрөөр хэлбэл хуваарьт синусын орон зай байхгүй. Хуваарь нь $9x$ байх ёстой. Нэмж дурдахад, энэ жишээний шийдэл нь эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах болно.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \баруун|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$
Хариулт: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.
Жишээ №2
$\lim_(x\to\0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$ хязгаарыг тооцоол.
Бидэнд $\frac(0)(0)$ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал байна ($\ln\cos 0=\ln 1=0$ гэдгийг сануулъя). Энэхүү тодорхой бус байдлыг илрүүлэхийн тулд бид томъёог ашиглана. Эхлээд $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ гэдгийг анхаарч үзээрэй (тригонометрийн функцуудын хэвлэмэл материалыг үзнэ үү). Одоо $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, тэгэхээр хуваарьт бид $-2\sin^2 \ илэрхийллийг авах ёстой. frac(x )(2)$ (бидний жишээг томьёонд тааруулахын тулд). Цаашдын шийдэлд эхний гайхалтай хязгаарыг ашиглах болно.
$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \баруун|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\баруун))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x) )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\баруун)^2 \баруун)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$
Хариулт: $\lim_(x\to\0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.
