Anggaran jangkaan dan varians matematik. Anggaran jangkaan matematik pembolehubah rawak

s x =(1.11)

Kami akan mempertimbangkan selanjutnya tugas penting untuk mengkaji pembolehubah rawak yang diperhatikan. Biarkan ada beberapa sampel (kami akan menandakannya S) pembolehubah rawak X. Ia dikehendaki membuat anggaran daripada sampel yang ada nilai yang tidak diketahui m x Dan .

Teori anggaran pelbagai parameter menduduki statistik matematik tempat yang penting. Oleh itu, mari kita pertimbangkan dahulu tugas biasa. Biarkan perlu untuk menganggarkan beberapa parameter a mengikut sampel S. Setiap penilaian tersebut a* adalah beberapa fungsi a*=a*(S) daripada nilai sampel. Nilai sampel adalah rawak, oleh itu anggaran itu sendiri a* ialah pembolehubah rawak. Ia adalah mungkin untuk membina banyak anggaran yang berbeza(iaitu fungsi) a*, tetapi pada masa yang sama adalah wajar untuk mempunyai "baik" atau "terbaik", dalam erti kata lain, penilaian. Tiga keperluan semula jadi berikut biasanya dikenakan ke atas penilaian.

1. Tidak berpindah. Jangkaan matematik penilaian a* mesti sama dengan nilai tepat parameter: M = a. Dalam erti kata lain, markah a* tidak sepatutnya mempunyai ralat sistematik.

2. Kekayaan. Dengan peningkatan yang tidak terhingga dalam saiz sampel, anggaran a* harus menumpu kepada nilai yang tepat, iaitu, apabila bilangan cerapan bertambah, ralat anggaran cenderung kepada sifar.

3. Kecekapan. Gred a* dikatakan cekap jika ia tidak berat sebelah dan mempunyai varians ralat yang paling kecil. Dalam kes ini, sebaran anggaran adalah minimum a* berbanding dengan nilai yang tepat dan anggaran dalam erti kata tertentu "paling tepat".

Malangnya, tidak selalu mungkin untuk membina penilaian yang memenuhi ketiga-tiga keperluan secara serentak.

Untuk menganggar jangkaan matematik, anggaran paling kerap digunakan.

= , (1.12)

iaitu min aritmetik sampel. Jika pembolehubah rawak X mempunyai terhingga m x Dan s x, maka anggaran (1.12) adalah tidak berat sebelah dan konsisten. Anggaran ini berkesan, contohnya, jika X mempunyai taburan normal (Rajah 1.4, Lampiran 1). Untuk pengedaran lain ia mungkin tidak berkesan. Sebagai contoh, dalam kes pengedaran seragam(Rajah 1.1, Lampiran 1) anggaran yang tidak berat sebelah dan konsisten

(1.13)

Pada masa yang sama, anggaran (1.13) untuk taburan normal tidak akan konsisten atau berkesan, malah akan bertambah teruk dengan peningkatan saiz sampel.

Oleh itu, bagi setiap jenis taburan pembolehubah rawak X anda harus menggunakan anggaran jangkaan matematik anda. Walau bagaimanapun, dalam keadaan kami, jenis pengedaran hanya boleh diketahui secara tentatif. Oleh itu, kami akan menggunakan anggaran (1.12), yang agak mudah dan paling banyak sifat penting tidak berat sebelah dan konsisten.

Untuk menganggar jangkaan matematik bagi sampel berkumpulan, formula berikut digunakan:

= , (1.14)

yang boleh diperolehi daripada yang sebelumnya, jika kita mempertimbangkan segala-galanya m i nilai sampel yang disertakan dalam i-selang ke- sama dengan wakil z i selang ini. Anggaran ini secara semula jadi lebih kasar, tetapi memerlukan pengiraan yang jauh lebih sedikit, terutamanya dengan saiz sampel yang besar.

Anggaran yang paling biasa digunakan untuk menganggar varians ialah:

= , (1.15)

Anggaran ini tidak berat sebelah dan sah untuk sebarang pembolehubah rawak X, mempunyai detik terhingga sehingga urutan keempat termasuk.

Dalam kes sampel berkumpulan, anggaran digunakan:

= (1.16)

Anggaran (1.14) dan (1.16), sebagai peraturan, adalah berat sebelah dan tidak boleh dipertahankan, kerana jangkaan matematiknya dan had yang mereka tumpu berbeza daripada m x dan disebabkan oleh penggantian semua nilai sampel yang disertakan dalam i-selang ke-, setiap wakil selang z i.

Perhatikan bahawa untuk besar n, pekali n/(n – 1) dalam ungkapan (1.15) dan (1.16) adalah hampir dengan perpaduan, jadi ia boleh ditinggalkan.

Anggaran selang.

biarlah nilai sebenar beberapa parameter adalah sama dengan a dan anggarannya ditemui a*(S) mengikut sampel S. Penilaian a* sepadan dengan titik pada paksi berangka (Rajah 1.5), jadi anggaran ini dipanggil titik. Semua anggaran yang dibincangkan dalam perenggan sebelumnya adalah anggaran mata. Hampir selalu, kerana kebetulan

a* ¹ a, dan kami hanya boleh berharap bahawa perkara itu a* berada di suatu tempat yang berdekatan a. Tapi dekat mana? Sebarang anggaran mata lain akan mempunyai kelemahan yang sama - kekurangan ukuran kebolehpercayaan keputusan.

Rajah 1.5. Anggaran parameter titik.

Lebih khusus dalam hal ini ialah anggaran selang. Skor selang mewakili selang I b = (a , b), di mana nilai tepat parameter anggaran ditemui dengan kebarangkalian yang diberikan b. Selang waktu Ib dipanggil selang keyakinan, dan kebarangkalian b dipanggil kebarangkalian keyakinan dan boleh dianggap sebagai kebolehpercayaan penilaian.

Selang keyakinan adalah berdasarkan sampel yang ada S, ia adalah rawak dalam erti kata bahawa sempadannya adalah rawak a(S) Dan b(S), yang akan kami kira daripada sampel (rawak). sebab tu b terdapat kemungkinan bahawa selang rawak Ib akan meliputi titik bukan rawak a. Dalam Rajah. 1.6. selang waktu Ib meliputi perkara itu a, A Ib*- Tidak. Oleh itu, tidak betul sepenuhnya untuk mengatakan itu a" jatuh" ke dalam selang.

Jika kebarangkalian keyakinan b besar (contohnya, b = 0.999), maka hampir selalu nilai yang tepat a berada dalam selang masa yang dibina.

Rajah.1.6. Selang keyakinan parameter a untuk sampel yang berbeza.

Mari kita pertimbangkan kaedah pembinaan selang keyakinan untuk jangkaan matematik pembolehubah rawak X, berdasarkan teorem had pusat.

Biarkan pembolehubah rawak X mempunyai jangkaan matematik yang tidak diketahui m x Dan varians yang diketahui. Kemudian, berdasarkan teorem had pusat, min aritmetik ialah:

= , (1.17)

keputusan n ujian bebas kuantiti X ialah pembolehubah rawak yang taburannya pada umumnya n, dekat dengan taburan normal dengan purata m x dan sisihan piawai. Oleh itu pembolehubah rawak

(1.18)

mempunyai taburan kebarangkalian yang boleh dipertimbangkan standard biasa dengan kepadatan pengedaran j(t), graf yang ditunjukkan dalam Rajah 1.7 (serta dalam Rajah 1.4, Lampiran 1).

Rajah.1.7. Taburan ketumpatan kebarangkalian pembolehubah rawak t.

Biarkan kebarangkalian keyakinan diberikan b Dan t b - nombor yang memenuhi persamaan

b = Ф 0 (t b) – Ф 0 (-t b) = 2 Ф 0 (t b),(1.19)

di mana - Fungsi Laplace. Kemudian kebarangkalian jatuh ke dalam selang (-t b , t b) akan sama dengan yang berlorek dalam Rajah 1.7. luas, dan, berdasarkan ungkapan (1.19), adalah sama dengan b. Oleh itu

b = P(-t b< < t b) = P( – t b< m x < + t b ) =

= P( – t b< m x < + t b).(1.20)

Oleh itu, sebagai selang keyakinan kita boleh mengambil selang

saya b = ( – t b ; +tb ) , (1.21)

kerana ungkapan (1.20) bermakna nilai tepat yang tidak diketahui m x adalah dalam Ib dengan kebarangkalian keyakinan yang diberikan b. Untuk bangunan Ib diperlukan seperti yang ditetapkan b cari t b daripada persamaan (1.19). Mari kita berikan beberapa nilai t b diperlukan pada masa hadapan :

t 0.9 = 1.645; t 0.95 = 1.96; t 0.99 = 2.58; t 0.999 = 3.3.

Apabila memperoleh ungkapan (1.21), diandaikan bahawa nilai sebenar sisihan piawai diketahui s x. Walau bagaimanapun, ia tidak selalu diketahui. Oleh itu, mari kita gunakan anggarannya (1.15) dan dapatkan:

saya b = ( – t b ; +tb). (1.22)

Sehubungan itu, anggaran dan diperoleh daripada sampel berkumpulan memberikan formula berikut untuk selang keyakinan:

saya b = ( – t b ; +tb). (1.23)

TUJUAN KULIAH: memperkenalkan konsep menganggar parameter taburan yang tidak diketahui dan memberi klasifikasi anggaran tersebut; mendapatkan anggaran titik dan selang jangkaan dan serakan matematik.

Dalam amalan, dalam kebanyakan kes, hukum taburan pembolehubah rawak tidak diketahui, dan mengikut keputusan pemerhatian
adalah perlu untuk menganggarkan ciri berangka (contohnya, jangkaan matematik, serakan atau momen lain) atau parameter yang tidak diketahui , yang menentukan undang-undang pengedaran (ketumpatan pengedaran)
pembolehubah rawak sedang dikaji. Oleh itu, untuk taburan eksponen atau taburan Poisson, cukup untuk menganggarkan satu parameter, tetapi untuk taburan normal, dua parameter mesti dianggarkan - jangkaan matematik dan varians.

Jenis-jenis penilaian

Nilai rawak
mempunyai ketumpatan kebarangkalian
, Di mana – parameter pengedaran tidak diketahui. Hasil daripada eksperimen, nilai pembolehubah rawak ini diperolehi:
. Untuk membuat penilaian pada asasnya bermakna bahawa nilai sampel pembolehubah rawak mesti dikaitkan dengan nilai parameter tertentu , iaitu mencipta beberapa fungsi hasil pemerhatian
, yang nilainya diambil sebagai anggaran parameter . Indeks menunjukkan bilangan eksperimen yang dilakukan.

Sebarang fungsi yang bergantung kepada hasil pemerhatian dipanggil perangkaan. Oleh kerana keputusan pemerhatian adalah pembolehubah rawak, statistik juga akan menjadi pembolehubah rawak. Oleh itu, penilaian
parameter tidak diketahui harus dianggap sebagai pembolehubah rawak, dan nilainya, dikira daripada data eksperimen dalam jumlah , – sebagai salah satu daripada nilai yang mungkin pembolehubah rawak ini.

Anggaran parameter taburan (ciri berangka pembolehubah rawak) dibahagikan kepada titik dan selang. Anggaran mata parameter ditentukan oleh satu nombor , dan ketepatannya dicirikan oleh varians anggaran. Anggaran selang dipanggil skor yang ditentukan oleh dua nombor, Dan – hujung selang meliputi parameter anggaran dengan kebarangkalian keyakinan yang diberikan.

Pengelasan anggaran mata

Untuk anggaran titik parameter yang tidak diketahui
terbaik dari segi ketepatan, ia mestilah konsisten, tidak berat sebelah dan cekap.

Kaya dipanggil penilaian
parameter , jika ia menumpu dalam kebarangkalian kepada parameter anggaran, i.e.

. (8.8)

Berdasarkan ketidaksamaan Chebyshev, dapat ditunjukkan bahawa keadaan yang mencukupi pemenuhan hubungan (8.8) ialah kesamaan

.

Ketekalan ialah ciri asimptotik anggaran pada
.

Tidak berat sebelah dipanggil penilaian
(anggaran tanpa ralat sistematik), jangkaan matematik yang sama dengan parameter anggaran, i.e.

. (8.9)

Jika kesamaan (8.9) tidak berpuas hati, maka anggaran itu dipanggil berat sebelah. Beza
dipanggil bias atau ralat sistematik dalam anggaran. Jika kesaksamaan (8.9) dipenuhi hanya untuk
, maka anggaran yang sepadan dipanggil tidak berat sebelah tanpa gejala.

Perlu diingat bahawa jika konsistensi adalah syarat yang hampir wajib untuk semua anggaran yang digunakan dalam amalan (anggaran tidak konsisten digunakan sangat jarang), maka sifat tidak berat sebelah hanya wajar. Banyak anggaran yang kerap digunakan tidak mempunyai sifat tidak berat sebelah.

Secara umum, ketepatan menganggar beberapa parameter , diperoleh berdasarkan data eksperimen
, dicirikan oleh ralat kuasa dua min

,

yang boleh dikurangkan kepada bentuk

,

di manakah perbezaannya,
– bias anggaran kuasa dua.

Jika anggaran tidak berat sebelah, maka

Pada terhingga anggaran mungkin berbeza mengikut ralat kuasa dua min . Sememangnya, lebih kecil ralat ini, lebih rapat nilai penilaian dikumpulkan di sekitar parameter anggaran. Oleh itu, adalah sentiasa wajar bahawa ralat anggaran adalah sekecil mungkin, iaitu, keadaan dipenuhi

. (8.10)

Penilaian , keadaan yang memuaskan (8.10), dipanggil anggaran dengan ralat kuasa dua minimum.

Berkesan dipanggil penilaian
, yang mana ralat kuasa dua min tidak lebih besar daripada ralat kuasa dua purata mana-mana anggaran lain, i.e.

di mana – sebarang anggaran parameter lain .

Adalah diketahui bahawa varians mana-mana anggaran tidak berat sebelah bagi satu parameter memenuhi ketaksamaan Cramer–Rao

,

di mana
– taburan ketumpatan kebarangkalian bersyarat bagi nilai yang diperoleh pembolehubah rawak pada nilai sebenar parameter .

Oleh itu, anggaran yang tidak berat sebelah
, yang mana ketaksamaan Cramer–Rao menjadi kesaksamaan, akan berkesan, iaitu, anggaran sedemikian mempunyai varians yang minimum.

Anggaran titik jangkaan dan varians

Jika pembolehubah rawak dipertimbangkan
, yang mempunyai jangkaan matematik dan varians , maka kedua-dua parameter ini dianggap tidak diketahui. Oleh itu, melalui pembolehubah rawak
dihasilkan eksperimen bebas yang memberikan hasil:
. Ia adalah perlu untuk mencari anggaran yang konsisten dan tidak berat sebelah bagi parameter yang tidak diketahui Dan .

Sebagai anggaran Dan Biasanya min statistik (sampel) dan varians statistik (sampel) dipilih masing-masing:

; (8.11)

. (8.12)

Anggaran jangkaan matematik (8.11) adalah konsisten mengikut undang-undang nombor besar (teorem Chebyshev):

.

Jangkaan pembolehubah rawak

.

Oleh itu, anggaran adalah tidak berat sebelah.

Serakan anggaran jangkaan matematik:

Jika pembolehubah rawak
diagihkan mengikut hukum biasa, kemudian anggaran juga berkesan.

Jangkaan anggaran varians

Dalam masa yang sama

.

Kerana
, A
, maka kita dapat

. (8.13)

Oleh itu,
– penilaian berat sebelah, walaupun ia konsisten dan berkesan.

Daripada formula (8.13) ia mengikuti bahawa untuk mendapatkan anggaran yang tidak berat sebelah
varians sampel (8.12) hendaklah diubah suai seperti berikut:

yang dianggap "lebih baik" berbanding anggaran (8.12), walaupun pada umumnya anggaran ini hampir sama antara satu sama lain.

Kaedah untuk mendapatkan anggaran parameter taburan

Selalunya dalam amalan, berdasarkan analisis mekanisme fizikal yang menjana pembolehubah rawak
, kita boleh membuat kesimpulan tentang hukum taburan pembolehubah rawak ini. Walau bagaimanapun, parameter taburan ini tidak diketahui dan mesti dianggarkan daripada keputusan eksperimen, biasanya dibentangkan dalam bentuk sampel terhingga
. Untuk menyelesaikan masalah ini, dua kaedah paling kerap digunakan: kaedah momen dan kaedah kemungkinan maksimum.

Kaedah detik. Kaedah ini terdiri daripada menyamakan momen teori dengan momen empirikal yang sepadan dengan susunan yang sama.

Titik permulaan empirikal -tertib ke- ditentukan oleh formula:

,

dan momen awal teori yang sepadan -perintah ke- - formula:

untuk pembolehubah rawak diskret,

untuk pembolehubah rawak berterusan,

di mana – parameter pengedaran anggaran.

Untuk mendapatkan anggaran parameter taburan yang mengandungi dua parameter yang tidak diketahui Dan , sistem dua persamaan disusun

di mana Dan – momen pusat teori dan empirikal bagi urutan kedua.

Penyelesaian kepada sistem persamaan ialah anggaran Dan parameter pengedaran yang tidak diketahui Dan .

Menyamakan momen awal teori dan empirikal bagi susunan pertama, kita memperolehnya dengan menganggar jangkaan matematik pembolehubah rawak
, mempunyai pengedaran sewenang-wenangnya, akan menjadi min sampel, i.e.
. Kemudian, menyamakan momen pusat teori dan empirikal bagi urutan kedua, kita memperoleh bahawa anggaran varians pembolehubah rawak
, yang mempunyai pengedaran sewenang-wenangnya, ditentukan oleh formula

.

Dengan cara yang sama, seseorang boleh mencari anggaran momen teori bagi sebarang susunan.

Kaedah momen adalah mudah dan tidak memerlukan pengiraan yang rumit, tetapi anggaran yang diperolehi oleh kaedah ini selalunya tidak berkesan.

Kaedah kemungkinan maksimum. Kaedah kebarangkalian maksimum anggaran titik parameter taburan yang tidak diketahui turun kepada mencari maksimum fungsi satu atau lebih parameter anggaran.

biarlah
ialah pembolehubah rawak berterusan, yang sebagai hasilnya ujian mengambil nilai
. Untuk mendapatkan anggaran parameter yang tidak diketahui adalah perlu untuk mencari nilai sedemikian , di mana kebarangkalian untuk melaksanakan sampel yang terhasil adalah maksimum. Kerana
mewakili kuantiti yang saling bebas dengan ketumpatan kebarangkalian yang sama
, Itu fungsi kemungkinan panggil fungsi hujah :

Dengan anggaran kemungkinan maksimum parameter nilai ini dipanggil , di mana fungsi kemungkinan mencapai maksimum, iaitu, adalah penyelesaian kepada persamaan

,

yang jelas bergantung kepada keputusan ujian
.

Sejak fungsi
Dan
mencapai maksimum pada nilai yang sama
, kemudian untuk memudahkan pengiraan mereka sering menggunakan fungsi kemungkinan logaritma dan mencari punca persamaan yang sepadan

,

yang dipanggil persamaan kemungkinan.

Jika anda perlu menilai beberapa parameter
pengedaran
, maka fungsi kemungkinan akan bergantung pada parameter ini. Untuk mencari anggaran
parameter pengedaran adalah perlu untuk menyelesaikan sistem persamaan kemungkinan

.

Kaedah kemungkinan maksimum menyediakan anggaran yang konsisten dan cekap secara asimtotik. Walau bagaimanapun, anggaran yang diperoleh dengan kaedah kemungkinan maksimum adalah berat sebelah, dan, sebagai tambahan, untuk mencari anggaran, selalunya perlu untuk menyelesaikan sistem persamaan yang agak kompleks.

Anggaran parameter selang

Ketepatan anggaran titik dicirikan oleh penyebarannya. Walau bagaimanapun, tiada maklumat tentang sejauh mana anggaran yang diperolehi adalah dengan nilai sebenar parameter. Dalam beberapa tugas, anda bukan sahaja perlu mencari parameter nilai berangka yang sesuai, tetapi juga untuk menilai ketepatan dan kebolehpercayaannya. Anda perlu mengetahui ralat yang menggantikan parameter boleh menyebabkan anggaran titiknya dan dengan tahap keyakinan yang manakah kita harus menjangkakan bahawa kesilapan ini tidak akan melebihi had yang diketahui.

Tugas sedemikian amat relevan apabila terdapat sebilangan kecil percubaan. , apabila anggaran mata penggantian secara rawak dan anggaran pada boleh membawa kepada kesilapan yang ketara.

Lebih lengkap dan cara yang boleh dipercayai menganggar parameter taburan terdiri daripada menentukan bukan nilai mata tunggal, tetapi selang yang, dengan kebarangkalian tertentu, meliputi nilai sebenar parameter anggaran.

Biar mengikut keputusan eksperimen, anggaran tidak berat sebelah diperolehi
parameter . Ia adalah perlu untuk menilai kemungkinan ralat. Beberapa kebarangkalian yang cukup besar dipilih
(contohnya), supaya peristiwa dengan kebarangkalian ini boleh dianggap sebagai peristiwa tertentu secara praktikal, dan nilai sedemikian ditemui , untuk yang mana

. (8.15)

Dalam kes ini, julat nilai ralat yang mungkin berlaku semasa penggantian pada , akan
, dan yang besar nilai mutlak ralat akan muncul hanya dengan kebarangkalian yang rendah .

Ungkapan (8.15) bermaksud bahawa dengan kebarangkalian
nilai parameter tidak diketahui jatuh ke dalam selang

. (8.16)

Kebarangkalian
dipanggil kebarangkalian keyakinan, dan selang , meliputi dengan kebarangkalian nilai sebenar parameter dipanggil selang keyakinan. Ambil perhatian bahawa adalah tidak betul untuk mengatakan bahawa nilai parameter terletak dalam selang keyakinan dengan kebarangkalian . Rumusan yang digunakan (penutup) bermakna walaupun parameter yang dianggarkan tidak diketahui, ia mempunyai nilai malar dan oleh itu tidak mempunyai sebaran kerana ia bukan pembolehubah rawak.

SUBJEK: Anggaran mata jangkaan matematik. Anggaran mata bagi varians. Anggaran titik kebarangkalian sesuatu peristiwa. Anggaran titik parameter pengedaran seragam.

fasal 1.Anggaran mata jangkaan matematik.

Mari kita andaikan bahawa fungsi taburan pembolehubah rawak ξ bergantung pada parameter yang tidak diketahui θ : P (ξ θ;).

Jika x 1 , x 2 …., x n ialah sampel daripada populasi umum pembolehubah rawak ξ, kemudian dengan menganggar parameter θ ialah fungsi arbitrari bagi nilai sampel

Nilai anggaran berubah dari sampel ke sampel dan, oleh itu, adalah pembolehubah rawak. Dalam kebanyakan eksperimen, nilai pembolehubah rawak ini hampir dengan nilai parameter anggaran jika bagi sebarang nilai n jangkaan matematik nilai adalah sama dengan nilai sebenar parameter, maka anggaran yang memenuhi syarat dipanggil; tidak berat sebelah. Anggaran tidak berat sebelah bermakna anggaran tidak tertakluk kepada ralat sistematik.

Anggaran itu dipanggil anggaran parameter yang konsisten θ , jika bagi mana-mana ξ>0 ia adalah benar

Oleh itu, apabila saiz sampel bertambah, ketepatan keputusan meningkat.

biarlah x 1 , x 2 … x n – sampel daripada populasi umum sepadan dengan pembolehubah rawak ξ dengan jangkaan matematik yang tidak diketahui dan varians yang diketahui Dξ=σ 2 . Mari kita bina beberapa anggaran parameter yang tidak diketahui. Jika, maka , iaitu penganggar yang dimaksudkan ialah penganggar tidak berat sebelah. Tetapi, kerana nilai tidak bergantung sama sekali pada saiz sampel n, anggaran itu tidak sah.

Anggaran berkesan jangkaan matematik pembolehubah rawak taburan normal ialah anggaran

Mulai sekarang, untuk menganggarkan jangkaan matematik yang tidak diketahui bagi pembolehubah rawak, kami akan menggunakan purata sampel, i.e.

Terdapat kaedah standard (biasa) untuk mendapatkan anggaran parameter pengedaran yang tidak diketahui. Yang paling terkenal di antara mereka: kaedah momen, kaedah kemungkinan maksimum Dan kaedah kuasa dua terkecil.

p.2 Anggaran titik bagi varians.

Bagi varians σ 2 pembolehubah rawak ξ Penilaian berikut boleh dicadangkan:

di manakah min sampel.

Telah terbukti bahawa anggaran ini adalah sah, tetapi berpindah.

Sebagai anggaran tidak berat sebelah yang konsisten bagi varians, gunakan nilai tersebut

Ia adalah tepat anggaran yang tidak berat sebelah s 2 menerangkan dengan lebih lanjut penggunaan yang kerap sebagai anggaran magnitud Dξ.

Ambil perhatian bahawa Mathcad menawarkan sebagai anggaran varians nilai , bukan s 2: fungsi var(x) mengira nilai

di mana bermakna (x) -min sampel.

TUGASAN 6.5

Μξ dan varians Dξ pembolehubah rawak ξ berdasarkan nilai sampel yang diberikan dalam tugasan.

Prosedur untuk menyiapkan tugasan

Baca fail yang mengandungi nilai sampel dari cakera, atau masukkan sampel yang ditentukan dari papan kekunci.

Kira Anggaran Mata Μξ Dan Dξ.

Contoh menyiapkan tugasan

Cari anggaran tidak berat sebelah yang konsisten bagi jangkaan matematik Μξ dan varians Dξ pembolehubah rawak ξ mengikut nilai sampel yang diberikan oleh jadual berikut.

Untuk sampel yang ditakrifkan oleh jadual jenis ini (diberikan ialah nilai sampel dan nombor yang menunjukkan bilangan kali nilai ini berlaku dalam sampel), formula untuk anggaran tidak berat sebelah yang konsisten bagi jangkaan dan varians ialah:

, ,

di mana k - bilangan nilai dalam jadual; n i - bilangan nilai x i dalam sampel; n- saiz sampel.

Serpihan kertas kerja Mathcad dengan pengiraan anggaran mata diberikan di bawah.

Daripada pengiraan di atas adalah jelas bahawa anggaran berat sebelah memberikan anggaran yang terlalu rendah terhadap anggaran varians.

fasal 3. Anggaran mata kebarangkalian peristiwa

Katakan bahawa dalam beberapa percubaan peristiwa itu A(hasil ujian yang menggalakkan) berlaku dengan kebarangkalian hlm dan tidak berlaku dengan kebarangkalian q = 1 - R. Tugasnya adalah untuk mendapatkan anggaran parameter pengedaran yang tidak diketahui hlm berdasarkan keputusan siri n eksperimen rawak. Untuk bilangan ujian tertentu n bilangan hasil yang menggalakkan m dalam satu siri ujian - pembolehubah rawak yang mempunyai taburan Bernoulli. Mari kita nyatakan dengan huruf μ.

Jika acara tersebut A dalam satu siri n ujian bebas berlaku

m kali, kemudian anggaran nilai hlm dicadangkan untuk mengira menggunakan formula

Mari kita ketahui sifat-sifat anggaran yang dicadangkan. Sejak pembolehubah rawak μ mempunyai taburan Bernoulli, kemudian Μμ= n.p. DanM = M = hlm, iaitu terdapat anggaran yang tidak berat sebelah.

Untuk ujian Bernoulli, teorem Bernoulli adalah sah, mengikut mana , iaitu gred hlm kaya raya.

Telah terbukti bahawa anggaran ini berkesan kerana, perkara lain adalah sama, ia mempunyai varians yang minimum.

Dalam Mathcad, untuk mensimulasikan sampel nilai pembolehubah rawak dengan taburan Bernoulli, fungsi rbinom(fc,η,ρ) dimaksudkan, yang menjana vektor daripada Kepada nombor rawak, κα­ ι setiap satunya adalah sama dengan bilangan kejayaan dalam satu siri η percubaan bebas dengan kebarangkalian kejayaan ρ dalam setiap satu.

TUGASAN 6.6

Simulasikan beberapa sampel nilai pembolehubah rawak yang mempunyai taburan Bernoulli dengan nilai parameter yang diberikan R. Kira untuk setiap sampel anggaran parameter hlm dan bandingkan dengan nilai yang ditetapkan. Bentangkan hasil pengiraan secara grafik.

Prosedur untuk menyiapkan tugasan

1. Menggunakan fungsi rbinom(1, n, hlm), menerangkan dan menjana jujukan nilai pembolehubah rawak yang mempunyai taburan Bernoulli dengan diberi hlm Dan n Untuk n = 10, 20, ..., Ν, sebagai fungsi saiz sampel P.

2. Kira bagi setiap nilai n anggaran kebarangkalian mata R.

Contoh menyiapkan tugasan

Contoh mendapatkan anggaran titik untuk sampel isipadu n= 10, 20,..., 200 nilai pembolehubah rawak μ mempunyai taburan Bernoulli dengan parameter hlm= 0.3, diberikan di bawah.

Catatan. Oleh kerana nilai fungsi tersebut ialah vektor, bilangan kejayaan dalam satu siri n percubaan bebas dengan kebarangkalian berjaya hlm dalam setiap percubaan terkandung dalam komponen pertama vektor rbinom(1, n, hlm), iaitu bilangan kejayaan ialah rbinom(1, n, hlm). Dalam coretan di atas k- saya komponen vektor Ρ mengandungi bilangan kejayaan dalam siri 10 k ujian bebas untuk k = 1,2,..., 200.

perkara 4. Anggaran mata parameter taburan seragam

Mari kita lihat satu lagi contoh pengajaran. Biarkan sampel daripada populasi umum sepadan dengan pembolehubah rawak ξ yang mempunyai taburan seragam pada segmen dengan parameter yang tidak diketahui θ . Tugas kami adalah untuk menganggarkan parameter yang tidak diketahui ini.

Mari kita pertimbangkan salah satu daripada cara yang mungkin membina anggaran yang diperlukan. Jika ξ ialah pembolehubah rawak yang mempunyai taburan seragam pada segmen , maka Μ ξ = . Sejak anggaran magnitud Mξ diketahui Μξ =, kemudian untuk anggaran parameter θ anda boleh mengambil anggaran

Ketidakberatan anggaran adalah jelas:

Setelah mengira serakan dan had D sebagai n →∞, kami mengesahkan kesahihan anggaran:

Untuk mendapatkan anggaran parameter yang berbeza θ Mari lihat statistik lain. Biar = maks). Mari cari taburan pembolehubah rawak:

Kemudian jangkaan matematik dan varians pembolehubah rawak

dengan pengedaran adalah sama masing-masing:

;

mereka. Penilaian adalah sah, tetapi berat sebelah. Walau bagaimanapun, jika bukannya = maks) kita anggap = maks), maka kedua-duanya , dan, oleh itu, anggaran adalah konsisten dan tidak berat sebelah.

Pada masa yang sama, sejak

lebih berkesan daripada penilaian

Sebagai contoh, dengan n = 97, sebaran anggaran θ^ ialah 33 rala kurang daripada sebaran anggaran

Contoh terakhir sekali lagi menunjukkan bahawa memilih anggaran statistik bagi parameter pengedaran yang tidak diketahui adalah tugas yang penting dan bukan remeh.

Dalam Mathcad, untuk mensimulasikan sampel nilai pembolehubah rawak yang mempunyai taburan seragam pada selang [a, b], fungsi runif(fc,o,b) dimaksudkan, yang menjana vektor daripada Kepada nombor rawak, setiap satunya ialah nilai pembolehubah rawak yang diedarkan secara seragam pada selang [a, 6].