இந்த பிரிவில் தொடர்புடைய பணிகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம் பல்வேறு அமைப்புகள்கொடுக்கப்பட்ட விகிதத்தில் ஒரு பகுதியைப் பிரிப்பதன் மூலம் ஒருங்கிணைக்கிறது.
புள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன: ஏ(4; 3), IN(7; 6), உடன்(2; 11). முக்கோணம் என்பதை நிரூபிப்போம் ஏபிசிசெவ்வக.
முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் ஏபிசி. இந்த நோக்கத்திற்காக, ஒரு விமானத்தில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கண்டறிய அனுமதிக்கும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
பக்கங்களின் நீளம் சமமாக இருக்கும்:
இந்த முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு பித்தகோரியன் தேற்றம் இருப்பதைக் கருத்தில் கொண்டு
பின்னர் ஒரு முக்கோணம் ஏபிசி- செவ்வக.
புள்ளிகள் வழங்கப்படுகின்றன ஏ(2; 1) மற்றும் IN(8; 4). புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும் எம்(எக்ஸ்; மணிக்கு), இது பிரிவை 2:1 என்ற விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.
புள்ளி என்று நினைவு எம்(எக்ஸ்; மணிக்கு) பிரிவை பிரிக்கிறது ஏபி, எங்கே ஏ(எக்ஸ் ஏ , ஒய் ஏ), பி(எக்ஸ் பி , ஒய் பி), λ: μ தொடர்பாக, அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்தால்:
,
.
ஒரு புள்ளியைக் கண்டுபிடிப்போம் எம்கொடுக்கப்பட்ட பிரிவுக்கு
,
.
எனவே புள்ளி எம்(6; 3) பிரிவைப் பிரிக்கிறது ஏபி 2:1 என்ற விகிதத்தில்.
புள்ளியின் செவ்வக ஆயங்களைக் கண்டறியவும் ஏ(
3π/4), துருவமானது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போனால், மற்றும் துருவ அச்சு அப்சிஸ்ஸா அச்சில் செலுத்தப்பட்டால்.
துருவத்திலிருந்து செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகளுக்கு மாறுவதற்கான சூத்திரங்களை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது
எக்ஸ் = ஆர் cosφ, ஒய் = ஆர் sinφ,
நாம் பெறுகிறோம்
,
.
ஒரு செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகள் ஏ(–2; 2).
பின்வரும் செவ்வக ஆயங்களைக் கொண்ட புள்ளிகளின் துருவ ஆயங்களை கண்டுபிடிப்போம்:
ஏ(
;
2),IN(–4;
4), உடன்(–7;
0).
செவ்வக ஆயங்களிலிருந்து துருவங்களுக்கு மாறுவதற்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
,
.
புள்ளிக்கான ஆயத்தொகுப்புகளைப் பெறுவோம் ஏ:
,
.
இதனால் ஏ(4; π/6) - துருவ ஆயத்தொலைவுகள் (படம் 15).
ஒரு புள்ளிக்கு IN(படம் 16) எங்களிடம் உள்ளது
,
.
எனவே, புள்ளியின் துருவ ஆயத்தொலைவுகள் IN(
, 3π/4).
புள்ளியைக் கவனியுங்கள் உடன்(–7; 0) (படம் 17). இந்த வழக்கில்
,
,
.
ஒரு புள்ளியின் துருவ ஆயங்களை நீங்கள் எழுதலாம் உடன்(7; π).
வெக்டரின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம் அ = 20நான் + 30ஜே – 60கே மற்றும் அதன் திசை கோசைன்கள்.
திசை கொசைன்கள் திசையன் கோணங்களின் கோசைன்கள் என்பதை நினைவில் கொள்க அ (அ 1 , அ 2 , அ 3) ஆய அச்சுகள் கொண்ட படிவங்கள்:
,
,
,
எங்கே 
.
இந்த வெக்டருக்கு இந்த சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்
,
.
வெக்டரை நாம் இயல்பாக்குகிறோம் அ = 3நான் + 4ஜே – 12கே .
ஒரு திசையனை இயல்பாக்குவது என்பது அலகு நீளமுள்ள ஒரு திசையனைக் கண்டுபிடிப்பதாகும் ஏ
0, இந்த வெக்டரைப் போலவே இயக்கப்பட்டது. ஒரு தன்னிச்சையான திசையன் அ
(அ 1 ,
அ 2 ,
அ 3) அலகு நீளத்தின் தொடர்புடைய திசையன் பெருக்குவதன் மூலம் கண்டறிய முடியும் அ
ஒரு பகுதிக்கு 
.
.
எங்கள் விஷயத்தில், அலகு நீளத்தின் ஒரு திசையன்:
.
திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கண்டுபிடிப்போம்
அ = 4நான் + 5ஜே + 6கே மற்றும் பி = 3நான் – 4ஜே + கே .
திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கண்டறிய, நீங்கள் தொடர்புடைய ஆயங்களை பெருக்கி, அதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்புகளைச் சேர்க்க வேண்டும். எனவே, திசையன்களுக்கு அ = அ 1 நான் + அ 2 ஜே + அ 3 கே மற்றும் பி = பி 1 நான் + பி 2 ஜே + பி 3 கே அளவிடுதல் தயாரிப்பு வடிவம் உள்ளது:
(அ , பி ) = அ 1 பி 1 + அ 2 பி 2 + அ 3 பி 3 .
இந்த திசையன்களுக்கு நாம் பெறுகிறோம்
(அ , பி ) = 4∙3 + 5∙(–4) + 6∙1 = 12 – 20 + 6 = –2.
திசையன்கள் என்பதைக் காட்டுவோம் அ = 2நான் – 3ஜே + 5கே மற்றும் பி = நான் + 4ஜே + 2கே செங்குத்தாக.
இரண்டு திசையன்கள் அவற்றின் புள்ளி தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் செங்குத்தாக இருக்கும்.
ஸ்கேலர் தயாரிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:
(அ , பி ) = 2∙1 + (–3)∙4 + 5∙2 = 2 – 12 + 10 = 0.
இதனால், திசையன்கள் ஏ மற்றும் பி செங்குத்தாக.
அளவுருவின் மதிப்பு என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் மீதிசையன்கள் அ = 2நான் + 3ஜே + மீகே மற்றும் பி = 3நான் + மீஜே – 2கே செங்குத்தாக.
திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கண்டுபிடிப்போம் ஏ மற்றும் பி :
(அ , பி ) = 2∙3 + 3∙மீ – 2∙மீ = 6 + மீ.
அவற்றின் அளவிடல் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் திசையன்கள் செங்குத்தாக இருக்கும். உற்பத்தியை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம் ( ஏ , பி ):
6 + மீ = 0.
மணிக்கு மீ= – 6 திசையன்கள் ஏ மற்றும் பி செங்குத்தாக.
எடுத்துக்காட்டு 10.
ஸ்கேலர் தயாரிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம் (3 ஏ + 4பி , 2ஏ – 3பி ), என்றால் | அ | = 2, |பி | = 1 மற்றும் கோணம் φ இடையே ஏ மற்றும் பி π/3க்கு சமம்.
ஸ்கேலர் தயாரிப்பின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவோம்:
(α அ , β பி ) = αβ( அ , பி ),
(அ + பி , c ) = (அ , c ) + (பி , c ),
(அ , பி ) = (பி , அ )
(அ , அ ) = |அ | 2 ,
அத்துடன் அளவிடுதல் உற்பத்தியின் வரையறை ( அ , பி ) = |அ |∙|பி |∙cosφ. படிவத்தில் ஸ்கேலர் தயாரிப்பை மீண்டும் எழுதுவோம்
(3அ + 4பி , 2அ – 3பி ) = 6(அ , அ ) – 9(அ , பி ) + 8(பி , அ ) – 12(பி , பி ) =
6|அ | 2 – (அ , பி ) – 12|பி | 2 = 6∙2 2 - 2∙ 1∙ காஸ்(π/3) - 12∙1 2 = 11.
எடுத்துக்காட்டு 11.
திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தை தீர்மானிப்போம்
அ = நான் + 2ஜே + 3கே மற்றும் பி = 6நான் + 4ஜே – 2கே .
கோணத்தைக் கண்டறிய, இரண்டு திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியின் வரையறையைப் பயன்படுத்துகிறோம்
(அ , பி ) = |அ |∙|பி |∙cosφ,
இதில் φ என்பது திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் ஏ மற்றும் பி . இந்த சூத்திரத்திலிருந்து cosφ ஐ வெளிப்படுத்துவோம்
.
அதை கருத்தில் கொண்டு ( ஏ
,
பி
)
= 1∙6 + 2∙4 + 3∙(–2) = 8,
,, நாங்கள் பெறுகிறோம்:
.
எனவே, 
.
எடுத்துக்காட்டு 12.
அ = 5நான் – 2ஜே + 3கே மற்றும் பி = நான் + 2ஜே – 4கே .
திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு என்று அறியப்படுகிறது அ = அ 1 நான் + அ 2 ஜே + அ 3 கே மற்றும் பி = பி 1 நான் + பி 2 ஜே + பி 3 கே சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது
.
எனவே, இந்த திசையன்களுக்கு
2நான் + 23ஜே + 12கே .
ஒரு வெக்டார் தயாரிப்பின் மாடுலஸைக் கண்டறிய, ஒரு திசையன் தயாரிப்பின் வரையறை பயன்படுத்தப்படும் மற்றும் முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் இருந்ததைப் போல, காரணிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் அதை வெளிப்படுத்தாத ஒரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
எடுத்துக்காட்டு 13.
திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் மாடுலஸைக் கண்டுபிடிப்போம் ஏ + 2பி மற்றும் 2 ஏ – 3பி , என்றால் | அ | = 1, |பி | = 2 மற்றும் திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் ஏ மற்றும் பி 30°க்கு சமம்.
திசையன் உற்பத்தியின் வரையறையிலிருந்து தன்னிச்சையான திசையன்களுக்கு என்பது தெளிவாகிறது ஏ மற்றும் பி அதன் மாடுலஸ்
|[அ , பி ] | = |அ | ∙ |பி | ∙ பாவம் φ.
திசையன் உற்பத்தியின் பண்புகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது
[அ , பி ] = – [பி , அ ],
[அ , அ ] = 0,
[α அ + β பி , c ] = α[ அ , c ] + β[ பி , c ],
நாம் பெறுகிறோம்
[அ + 2பி , 2அ – 3பி ] = 2[அ , அ ] – 3[அ , பி ] + 4[பி , அ ] – 6[பி , பி ] = –7[அ , பி ].
இதன் பொருள் திசையன் உற்பத்தியின் மாடுலஸ் சமமாக இருக்கும்
|[அ + 2பி , 2அ – 3பி ]| = |–7[அ , பி ]| = 7 ∙ |அ | ∙ |பி | ∙ பாவம் 30° = 7∙1∙2∙0.5 = 7.
எடுத்துக்காட்டு 14.
திசையன்களில் கட்டப்பட்ட ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுவோம்
அ = 6நான் + 3ஜே – 2கே மற்றும் பி = 3நான் – 2ஜே + 6கே .
இரண்டு திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் மாடுலஸ் என்று அறியப்படுகிறது பகுதிக்கு சமம்இந்த திசையன்களில் இணையான வரைபடம் கட்டப்பட்டது. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி திசையன் தயாரிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:
,
எங்கே அ = அ 1 நான் + அ 2 ஜே + அ 3 கே மற்றும் பி = பி 1 நான் + பி 2 ஜே + பி 3 கே . பின்னர் அதன் மாடுலஸைக் கணக்கிடுகிறோம்.
இந்த திசையன்களுக்கு நாம் பெறுகிறோம்
14நான் – 42ஜே – 21கே .
எனவே, இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு
எஸ் = |[அ , பி ]| = (சதுர அலகுகள்).
எடுத்துக்காட்டு 15.
செங்குத்துகளுடன் ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுங்கள் ஏ(1;2;1), IN(3;3;4), உடன்(2;1;3).
வெளிப்படையாக, முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ஏபிசிதிசையன்களில் கட்டப்பட்ட ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமம் 
மற்றும் 
.
இதையொட்டி, திசையன்களில் கட்டப்பட்ட ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு 
மற்றும் 
, திசையன் உற்பத்தியின் மாடுலஸுக்கு சமம் [ 
]. இதனால்
|[
]|.
திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம் 
மற்றும் 
, வெக்டரின் முடிவின் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து தொடக்கத்தின் தொடர்புடைய ஆயங்களைக் கழித்தால், நாம் பெறுகிறோம்
= (3 –
1)நான்
+ (3 – 2)ஜே
+ (4 – 1)கே
= 2நான்
+ ஜே
+ 3கே
,
= (2 –
1)நான்
+ (1 – 2)ஜே
+ (3 – 1)கே
= நான்
– ஜே
+ 2கே
.
திசையன் தயாரிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:
[
,
]
=
5நான்
– ஜே
– 3கே
.
திசையன் தயாரிப்பின் தொகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம்:
|[
]|
=
.
எனவே, நாம் முக்கோணத்தின் பகுதியைப் பெறலாம்:
(சதுர அலகுகள்).
எடுத்துக்காட்டு 16.
திசையன்களில் கட்டப்பட்ட ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடுவோம் அ + 3பி மற்றும் 3 அ – பி , என்றால் | அ | = 2, |பி | = 1 மற்றும் இடையே உள்ள கோணம் ஏ மற்றும் பி 30°க்கு சமம்.
திசையன் தயாரிப்பின் மாடுலஸை அதன் வரையறை மற்றும் எடுத்துக்காட்டு 13 இல் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள பண்புகளைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிப்போம்.
[அ + 3பி , 3அ – பி ] = 3[அ , அ ] – [அ , பி ] + 9[பி , அ ] – 3[பி , பி ] = –10[அ , பி ].
இதன் பொருள் தேவையான பகுதி சமம்
எஸ் = |[அ + 3பி , 3அ – பி ]| = |–10[அ , பி ]| = 10 ∙ |அ | ∙ |பி | ∙ பாவம் 30° =
10∙2∙1∙0.5 = 10 (சதுர அலகுகள்).
பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகள் திசையன்களின் கலப்பு உற்பத்தியின் பயன்பாட்டை உள்ளடக்கும்.
எடுத்துக்காட்டு 17.
திசையன்களைக் காட்டு அ = நான் + 2ஜே – கே , பி = 3நான் + கே மற்றும் உடன் = 5நான் + 4ஜே – கே கோப்ளனார்.
வெக்டார்களின் கலப்பு தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் கோப்லனர் ஆகும். தன்னிச்சையான திசையன்களுக்கு
அ = அ 1 நான் + அ 2 ஜே + அ 3 கே , பி = பி 1 நான் + பி 2 ஜே + பி 3 கே , c = c 1 நான் + c 2 ஜே + c 3 கே
சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கலவையான தயாரிப்பைக் காண்கிறோம்:
.
இந்த திசையன்களுக்கு நாம் பெறுகிறோம்
.
எனவே, இந்த திசையன்கள் கோப்லனர் ஆகும்.
செங்குத்துகளைக் கொண்ட முக்கோண பிரமிட்டின் கன அளவைக் கண்டறியவும் ஏ(1;1;1), IN(3;2;1), உடன்(2;4;3), டி(5;2;4).
திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம் 
,
மற்றும் 
, பிரமிட்டின் விளிம்புகளுடன் ஒத்துப்போகிறது. வெக்டரின் முடிவின் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து தொடக்கத்தின் தொடர்புடைய ஆயங்களை கழித்தால், நாம் பெறுகிறோம்
= 2நான்
+ 3ஜே
,
= நான்
+ 3ஜே
+ 2கே
,
= 4நான்
+ ஜே
+ 3கே
.
ஒரு பிரமிட்டின் அளவு வெக்டார்களில் கட்டப்பட்ட ஒரு இணைக் குழாய் தொகுதியின் 1/6 க்கு சமம் என்பது அறியப்படுகிறது. 
,
மற்றும் 
. இதனால்,
.
இதையொட்டி, parallelepiped தொகுதி கலப்பு உற்பத்தியின் மாடுலஸுக்கு சமம்
வி இணையான
= |(
,
,
)|.
கலப்புப் பொருளைக் கண்டுபிடிப்போம்
(
,
,
)
=
.
எனவே, பிரமிட்டின் அளவு
(கன அலகுகள்).
பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளில் திசையன் இயற்கணிதத்தின் சாத்தியமான பயன்பாடுகளைக் காண்பிப்போம்.
எடுத்துக்காட்டு 19.
திசையன்கள் 2 கோலினியர்தா என்பதைச் சரிபார்க்கலாம் ஏ + பி மற்றும் ஏ – 3பி , எங்கே அ = 2நான் + ஜே – 3கே மற்றும் பி = நான் + 2ஜே + 4கே .
திசையன்கள் 2 இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம் ஏ + பி மற்றும் ஏ – 3பி :
2ஏ + பி = 2(2நான் + ஜே – 3கே ) + நான் + 2ஜே + 4கே = 5நான் + 4ஜே – 2கே ,
ஏ – 3பி = 2நான் + ஜே – 3கே – 3(நான் + 2ஜே + 4கே ) = –நான் – 5ஜே – 15கே .
கோலினியர் வெக்டார்களுக்கு விகிதாசார ஆயங்கள் உள்ளன என்பது அறியப்படுகிறது. என்று கருதி
,
2 திசையன்கள் இருப்பதைக் காண்கிறோம் ஏ + பி மற்றும் ஏ – 3பி கோலினியர் அல்லாத.
இந்த பிரச்சனையை வேறு வழியில் தீர்த்திருக்கலாம். திசையன்களின் கோலினரிட்டிக்கான அளவுகோல் திசையன் உற்பத்தியின் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமானதாகும்:
2[அ , அ ] – 6[அ , பி ] + [பி , அ ] – 3[பி , பி ] = –7[அ , பி ].
வெக்டர்களின் வெக்டார் ப்ராடக்டைக் கண்டுபிடிப்போம் ஏ மற்றும் பி :
10நான் – 11ஜே + 3கே ≠ 0.
எனவே,
= –7[அ , பி ] ≠ 0
மற்றும் திசையன்கள் 2 ஏ + பி மற்றும் ஏ – 3பி கோலினியர் அல்லாத.
எடுத்துக்காட்டு 20.
படையின் வேலையைக் கண்டுபிடிப்போம் எஃப் (3; 2; 1), அதன் பயன்பாட்டின் புள்ளி ஏ(2; 4;–6), நேர்கோட்டில் நகரும், புள்ளிக்கு நகர்கிறது IN(5; 2; 3).
சக்தியின் வேலை என்பது சக்தியின் அளவிடல் தயாரிப்பு என்று அறியப்படுகிறது எஃப்
இடப்பெயர்ச்சி திசையன் 
.
திசையன் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்போம் 
:
= 3நான்
– 2ஜே
+ 9கே
.
எனவே, படை வேலை எஃப் ஒரு புள்ளியை நகர்த்துவதன் மூலம் ஏசரியாக INஸ்கேலர் தயாரிப்புக்கு சமமாக இருக்கும்
(எஃப்
,
)
= 3∙3 + 2∙(–2) + 1∙9 = 9 – 4 + 9 = 14.
எடுத்துக்காட்டு 21.
படை மே எஃப் (2;3;-1) புள்ளிக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது ஏ(4;2;3). சக்தியின் கீழ் எஃப் புள்ளி ஏஒரு புள்ளிக்கு நகர்கிறது IN(3;1;2). சக்தியின் தருணத்தின் மாடுலஸைக் கண்டுபிடிப்போம் எஃப் புள்ளியுடன் தொடர்புடையது IN.
விசையின் தருணம் விசை மற்றும் இடப்பெயர்ச்சியின் திசையன் உற்பத்திக்கு சமம் என்பது அறியப்படுகிறது. இடப்பெயர்ச்சி வெக்டரைக் கண்டுபிடிப்போம் 
:
= (3 –
4)நான்
+
(1 – 2)ஜே
+ (2 – 3)கே
= – நான்
–
ஜே
– கே
.
ஒரு திசையன் தயாரிப்பாக விசையின் தருணத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்:
= – 4நான் + 3ஜே + கே .
எனவே, விசையின் தருணத்தின் மாடுலஸ் திசையன் உற்பத்தியின் மாடுலஸுக்கு சமம்:
|[எஃப்
,
]|
=
.
60) திசையன்களின் அமைப்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது a =(1, 2, 5), b =(4, 0, -1), c =(0, 0, 0). அதை ஆராயுங்கள் நேரியல் சார்பு.
a) திசையன்களின் அமைப்பு நேரியல் சார்ந்தது;
b) திசையன்களின் அமைப்பு நேரியல் சார்பற்றது;
c) சரியான பதில் இல்லை.
61) திசையன் அமைப்பை ஆராயுங்கள்
a =(1, -1, 2, 0), b =(1, 5, -2, ), c =(3, -3, 6, 0) நேரியல் உறவுக்கு.
a) திசையன்களின் அமைப்பு நேரியல் சுயாதீனமானது;
b) திசையன்களின் அமைப்பு நேரியல் சார்ந்தது;
c) சரியான பதில் இல்லை.
62) திசையன்களின் அமைப்பு a =(1, 2), b =(7, ), c =(0, ), ஈ =(, 1) நேரியல் சார்ந்ததா?
a) இல்லை, அது இல்லை;
b) ஆம், அது.
63) வெளிப்படுத்தப்பட்ட ஒரு திசையன் b =(2, -1, 3) திசையன் அமைப்பு மூலம் = (1, 0, 2), = (-1, 1, 1), = (0, 1, 3), = (1, 1, 5)
a) இல்லை, வெளிப்படுத்தப்படவில்லை;
b) ஆம், அது வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.
64) நேரியல் சார்புக்கான திசையன்களின் அமைப்பை ஆய்வு செய்யவும்
a = , b = , c = .
a) நேரியல் சார்பற்ற;
b) நேரியல் சார்ந்து;
c) சரியான பதில் இல்லை.
65) நேரியல் சார்புக்கான திசையன்களின் அமைப்பை ஆய்வு செய்யவும்
a = , b = , c =
a) நேரியல் சார்பற்ற;
b) நேரியல் சார்ந்து;
c) சரியான பதில் இல்லை.
66) திசையன்களின் அமைப்பு நேரியல் சார்ந்ததா?
= (2, 0, 6, 0), = (2, 1, 0, 1), = (3, 1, 0, 1), = (3, 0, 4, 0).
a) நேரியல் சார்ந்தது;
b) நேரியல் சார்பற்ற;
c) சரியான பதில் இல்லை.
67) நேரியல் சார்பற்ற அணி வரிசைகளின் எண்ணிக்கை m க்கு சமமாகவும், நேரியல் சார்பற்ற அணி நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை n க்கு சமமாகவும் இருக்கட்டும். சரியான அறிக்கையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.
ஈ) பதில் மேட்ரிக்ஸைப் பொறுத்தது.
68) நேரியல் இடத்தின் அடிப்படை திசையன்கள்
a) நேரியல் சார்ந்தது;
b) நேரியல் சார்பற்ற;
c) பதில் குறிப்பிட்ட அடிப்படையில் சார்ந்துள்ளது.
69) திசையன் என்றால் என்ன?
a) இது இயக்கத்தின் திசையைக் காட்டும் ஒரு கதிர்
b) இது A புள்ளியில் ஒரு தொடக்கமும் B புள்ளியில் ஒரு முடிவும் கொண்ட ஒரு இயக்கிய பிரிவு ஆகும், இது தனக்கு இணையாக நகர்த்தப்படலாம்
c) இது ஒன்றுக்கொன்று சமமான பல புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு உருவமாகும்.
ஈ) இது A புள்ளியில் ஒரு தொடக்கமும் B புள்ளியில் ஒரு முடிவும் கொண்ட ஒரு பிரிவு ஆகும், இது தனக்கு இணையாக நகர்த்த முடியாது
70) நேரியல் கலவை என்றால் 1 + 2 +….+ƛ ஆர்எண்கள் மத்தியில் இருக்கும் போது பூஜ்ஜிய திசையன் குறிக்கலாம் ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛ ஆர்குறைந்தது ஒரு பூஜ்ஜியம் அல்ல, பின்னர் திசையன்களின் அமைப்பு உள்ளது a 1, a 2,...., a pஅழைக்கப்பட்டது:
a) நேரியல் சார்பற்ற;
b) நேரியல் சார்ந்து;
c) அற்பமானது;
ஈ) அற்பமானது அல்ல.
71) நேரியல் கலவை என்றால் 1 + 2 +….+ƛ ஆர்அனைத்து எண்களும் இருக்கும் போது மட்டுமே பூஜ்ஜிய திசையன் குறிக்கிறது ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛ ஆர்பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், பின்னர் திசையன்களின் அமைப்பு a 1, a 2,...., a pஅழைக்கப்பட்டது:
a) நேரியல் சார்பற்ற;
b) நேரியல் சார்ந்து;
c) அற்பமானது;
ஈ) அற்பமானது அல்ல.
72) ஒரு திசையன் இடத்தின் அடிப்படையானது ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில் குறிப்பிடப்பட்ட மற்றும் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் திசையன்களின் அமைப்பாகும்:
a) அமைப்பு நேரியல் சார்பற்றது;
b) இடத்தின் எந்த வெக்டரும் கொடுக்கப்பட்ட அமைப்பின் நேரியல் கலவையாகும்;
c) இரண்டும் சரியானவை;
ஈ) இரண்டும் தவறானது.
73) எண்களால் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகள் தொடர்பாக மூடப்படும் பண்பு கொண்ட R n இடத்தின் துணைக்குழு அழைக்கப்படுகிறது:
a) Rn இடத்தின் நேரியல் முன்வெளி;
b) இடத்தின் திட்டம் R n ;
c) இடத்தின் நேரியல் துணைவெளி Rn;
ஈ) சரியான பதில் இல்லை.
74) திசையன்களின் வரையறுக்கப்பட்ட அமைப்பானது நேரியல் சார்ந்த துணை அமைப்பைக் கொண்டிருந்தால், அது:
a) நேரியல் சார்ந்தது;
b) நேரியல் சார்பற்ற;
75) கணினி நேரியல் என்றால் சார்பு திசையன்ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட திசையன்களைச் சேர்க்கவும், இதன் விளைவாக வரும் அமைப்பு:
a) நேரியல் சார்ந்தது;
b) நேரியல் சார்பற்ற;
c) நேரியல் சார்ந்து அல்லது நேரியல் சார்பற்றது அல்ல.
76) மூன்று திசையன்கள் கோப்லனர் என்று அழைக்கப்படுகின்றன:
அ) அவை இணையான கோடுகளில் உள்ளன;
b) அவை ஒரே நேர்கோட்டில் கிடக்கின்றன;
c) நேரியல் சார்பற்ற;
ஈ) அவை இணையான விமானங்களில் கிடக்கின்றன;
77) இரண்டு திசையன்கள் கோலினியர் என்று அழைக்கப்படுகின்றன:
அ) அவை ஒரே விமானத்தில் கிடக்கின்றன;
b) அவை இணையான விமானங்களில் கிடக்கின்றன;
c) நேரியல் சார்பற்ற;
ஈ) அவை இணையான கோடுகளில் உள்ளன;
78) இரண்டு திசையன்கள் நேரியல் சார்ந்து இருக்க, அவை இருக்க வேண்டியது அவசியம்:
a) இணை;
b) கோப்ளனார்;
c) நேரியல் சார்பற்ற;
ஈ) சரியான விருப்பம் இல்லை.
79) ஒரு திசையன் தயாரிப்பு a=(அ 1 ,அ 2 ,அ 3) ஒரு எண் திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது பி, சமம்
A) ( அ 1 , அ 2 , அ 3)
b) (+ அ 1 , +அ 2 , +அ 3)
வி) ( /அ 1 , /அ 2 , /அ 3)
80) இரண்டு திசையன்கள் ஒரே வரியில் இருந்தால், அத்தகைய திசையன்கள்
a) சமம்
ஆ) இணை இயக்கினார்
c) கோலினியர்
ஈ) நேர்மாறாக இயக்கப்பட்டது
81) வெக்டார்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு சமம்
a) அவற்றின் நீளத்தின் தயாரிப்பு;
b) அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன் மூலம் அவற்றின் நீளங்களின் தயாரிப்பு;
c) அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் சைன் மூலம் அவற்றின் நீளங்களின் தயாரிப்பு;
d) அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் தொடுகோடு மூலம் அவற்றின் நீளங்களின் தயாரிப்பு;
82) ஒரு திசையன் தயாரிப்பு ஏதன்னை அழைத்தார்
a) திசையன் நீளம் ஏ
b) வெக்டரின் ஸ்கேலர் சதுரம் ஏ
c) திசையன் திசை ஏ
ஈ) சரியான பதில் இல்லை
83) திசையன்களின் பெருக்கல் 0 க்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய திசையன்கள் அழைக்கப்படுகின்றன
அ) கோலினியர்
ஆ) இணை இயக்கினார்
c) ஆர்த்தோகனல்
ஈ) இணை
84) திசையன் நீளம்
a) அதன் ஸ்கேலார் சதுரம்
b) அதன் ஸ்கேலர் சதுரத்தின் வேர்
c) அதன் ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகை
ஈ) வெக்டரின் முடிவு மற்றும் தொடக்கத்தின் ஆயங்களுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு
85) திசையன்களின் தொகையைக் கண்டறிவதற்கான விதிகள் என்ன (பல பதில்கள்)
a) முக்கோண விதி
b) வட்டத்தின் விதி
c) இணை வரைபடம் விதி
ஈ) காஸ் விதி
இ) பலகோண விதி
f) செவ்வக விதி
86) புள்ளி என்றால் ஏபுள்ளியுடன் ஒத்துப்போகிறது IN, பின்னர் திசையன் அழைக்கப்படுகிறது
a) அலகு திசையன்
c) பூஜ்ஜிய திசையன்
ஈ) அற்பமான திசையன்
87) இரண்டு திசையன்கள் கோலினியராக இருக்க, அது அவசியம்
அ) அவற்றின் ஒருங்கிணைப்புகள் ஒரே மாதிரியாக இருந்தன
b) அவற்றின் ஒருங்கிணைப்புகள் விகிதாசாரமாக இருந்தன
c) அவற்றின் ஒருங்கிணைப்புகள் எதிர்மாறாக இருந்தன
ஈ) அவற்றின் ஆயத்தொலைவுகள் 0க்கு சமமாக இருந்தன
88) a=2m+4n மற்றும் b=m-n ஆகிய இரண்டு திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, இங்கு m மற்றும் n என்பது 120 0 கோணத்தை உருவாக்கும் அலகு திசையன்கள். திசையன்கள் a மற்றும் b இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.
89) இரண்டு அலகு திசையன்கள் m மற்றும் n ஆகியவை விமானத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் 60 டிகிரி என்று அறியப்படுகிறது. திசையன் a=m+2n நீளத்தைக் கண்டறியவும் (பதிலை 0.1க்கு சுற்றி)
90) a=-4k மற்றும் b=2i+j ஆகிய திசையன்களில் கட்டப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்
91) திசையன்களின் நீளம் |a|=2, |b|=3, |a-b|=1 கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. வரையறுக்கவும் |a+b|
92) மூன்று திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன: a=(2;-2), b=(2;-1), c=(2;4). திசையன் p=2a-b+c இன் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறியவும்.
93) திசையன் a=2i+3j-6k நீளத்தைக் கண்டறியவும்.
94) λ இன் எந்த மதிப்பில் a=λi-3j+2k மற்றும் b=i+2j-λk ஆகிய திசையன்கள் செங்குத்தாக உள்ளன?
95) கொடுக்கப்பட்ட திசையன்கள் a=6i-4j+k மற்றும் b=2i-4j+k. உருவான கோணத்தைக் கண்டறியவும் திசையன் a-b Oz அச்சுடன்.
96) கொடுக்கப்பட்ட திசையன்கள் = (4; –2; –6) மற்றும் = (–3; 4; –12). வெக்டரின் முன்கணிப்பைக் கண்டறியவும் அதிசையன் அச்சுக்கு பி.
97) கோணத்தைக் கண்டுபிடி ஏமுனைகளுடன் கூடிய முக்கோணம் ஏ (–1; 3; 2), IN(3; 5; –2) மற்றும்
உடன்(3; 3; –1). உங்கள் பதிலை 15cos என உள்ளிடவும் ஏ.
98) வெக்டரின் ஸ்கொயர் மாடுலஸைக் கண்டறியவும் 
60 o கோணத்தை உருவாக்கும் அலகு திசையன்கள் எங்கே மற்றும் உள்ளன.
99) புள்ளி தயாரிப்பைக் கண்டறியவும் 
மற்றும் 
100) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் A (3; –1; 2), B (1; 2; –1), C (–4; 4; 1), D (0; –2; 7). நாற்கர ABCD வகையைத் தீர்மானிக்கவும்.
a) இணை குழாய்;
b) செவ்வகம்;
c) ட்ரேப்சாய்டு;
101) திசையன் = (3; 4) திசையன்களாக சிதைகிறது = (3; –1) மற்றும் = (1; –2). சரியான சிதைவைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.
