பிற அகராதிகளில் "நிபந்தனை எக்ஸ்ட்ரீம்" என்றால் என்ன என்பதைக் காண்க:

ரிலேட்டிவ் எக்ஸ்ட்ரம், n + மீ மாறிகளிலிருந்து ஒரு செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரம் (x1,..., xn + மீ) + மீ) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (பார்க்க எக்ஸ்ட்ரீம்)… …

தொகுப்பு திறந்த நிலையில் இருக்கட்டும் மற்றும் செயல்பாடுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இருக்கட்டும். இந்த சமன்பாடுகள் கட்டுப்பாடு சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன (சொற்கள் இயக்கவியலில் இருந்து கடன் வாங்கப்பட்டது). ஜி... விக்கிபீடியாவில் ஒரு செயல்பாடு வரையறுக்கப்படட்டும்

- (லத்தீன் தீவிரத்திலிருந்து) தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் மதிப்பு f (x), இது அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம். இன்னும் துல்லியமாக: x0 புள்ளியில் f (x) தொடர்ச்சியானது, இந்தப் புள்ளியின் அருகில் (x0 + δ, x0 δ) இருந்தால், x0 இல் அதிகபட்சம் (குறைந்தபட்சம்) இருக்கும்,... ... கிரேட் சோவியத் என்சைக்ளோபீடியா

இந்த வார்த்தைக்கு வேறு அர்த்தங்கள் உள்ளன, எக்ஸ்ட்ரீம் (அர்த்தங்கள்) பார்க்கவும். கணிதத்தில் எக்ஸ்ட்ரீம் (lat. Extreum Extreme) என்பது கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பில் உள்ள செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச மதிப்பாகும். உச்சநிலையை அடையும் புள்ளி... ... விக்கிபீடியா

சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது பயன்படுத்தப்படும் செயல்பாடு நிபந்தனை தீவிரபல மாறிகள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் செயல்பாடுகள். எல்.எஃப் உதவியுடன். பதிவு செய்யப்படுகின்றன தேவையான நிபந்தனைகள்நிபந்தனை உச்சநிலையில் உள்ள சிக்கல்களில் உகந்த தன்மை. இந்த விஷயத்தில், மாறிகளை மட்டும் வெளிப்படுத்த வேண்டிய அவசியமில்லை... கணித கலைக்களஞ்சியம்

ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட செயல்பாடுகளின் தேர்வைப் பொறுத்து மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் தீவிர (பெரிய மற்றும் சிறிய) மதிப்புகளைக் கண்டறிவதற்காக அர்ப்பணிக்கப்பட்ட ஒரு கணித ஒழுக்கம். மற்றும். என்பது அந்த அத்தியாயத்தின் இயற்கையான வளர்ச்சி..... கிரேட் சோவியத் என்சைக்ளோபீடியா

மாறிகள், அதன் உதவியுடன் லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாடு ஒரு நிபந்தனை உச்சநிலையில் உள்ள சிக்கல்களைப் படிக்கும் போது கட்டமைக்கப்படுகிறது. நேரியல் முறைகள் மற்றும் லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாடு ஆகியவை நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலை சம்பந்தப்பட்ட பிரச்சனைகளில் தேவையான உகந்த நிலைமைகளை ஒரே மாதிரியான வழியில் பெற அனுமதிக்கிறது. கணித கலைக்களஞ்சியம்

மாறுபாடுகளின் கால்குலஸ் என்பது செயல்பாட்டு பகுப்பாய்வின் ஒரு கிளை ஆகும், இது செயல்பாடுகளின் மாறுபாடுகளை ஆய்வு செய்கிறது. மாறுபாடுகளின் கால்குலஸில் மிகவும் பொதுவான பிரச்சனை, கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு அடையும் செயல்பாட்டைக் கண்டறிவதாகும்... ... விக்கிபீடியா

பல்வேறு வகையான கட்டுப்பாடுகளின் (கட்டம், வேறுபாடு, ஒருங்கிணைந்த, முதலியன) ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட செயல்பாடுகளின் தேர்வைச் சார்ந்திருக்கும் செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறிவதற்கான முறைகள் ஆய்வுக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்ட கணிதத்தின் ஒரு பிரிவு... ... கணித கலைக்களஞ்சியம்

மாறுபாடுகளின் கால்குலஸ் என்பது கணிதத்தின் ஒரு கிளை ஆகும், இது செயல்பாட்டு மாறுபாடுகளைப் படிக்கிறது. மாறுபாடுகளின் கால்குலஸில் மிகவும் பொதுவான பிரச்சனை, செயல்பாடு ஒரு தீவிர மதிப்பை அடையும் செயல்பாட்டைக் கண்டறிவதாகும். முறைகள்... ...விக்கிபீடியா

புத்தகங்கள்

• கட்டுப்பாட்டு கோட்பாடு பற்றிய விரிவுரைகள். தொகுதி 2. உகந்த கட்டுப்பாடு, V. பாஸ். உகந்த கட்டுப்பாட்டுக் கோட்பாட்டின் கிளாசிக்கல் சிக்கல்கள் கருதப்படுகின்றன. விளக்கக்காட்சியானது வரையறுக்கப்பட்ட பரிமாண இடைவெளிகளில் தேர்வுமுறையின் அடிப்படைக் கருத்துகளுடன் தொடங்குகிறது: நிபந்தனை மற்றும் நிபந்தனையற்ற உச்சநிலை,...

உதாரணமாக

வழங்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்மற்றும் மணிக்குஉறவின் மூலம் தொடர்புடையவை: . வடிவியல் ரீதியாக, சிக்கல் பின்வருவனவற்றைக் குறிக்கிறது: ஒரு நீள்வட்டத்தில்
விமானம்
.

இந்த சிக்கலை இந்த வழியில் தீர்க்க முடியும்: சமன்பாட்டிலிருந்து
நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்
எக்ஸ்:

என்று வழங்கினார்
, இடைவெளியில் ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறிவதில் சிக்கல் குறைக்கப்பட்டது
.

வடிவியல் ரீதியாக, சிக்கல் பின்வருவனவற்றைக் குறிக்கிறது: ஒரு நீள்வட்டத்தில் , சிலிண்டரை கடப்பதன் மூலம் பெறப்பட்டது
விமானம்
, விண்ணப்பத்தின் அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச மதிப்பை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் (படம்.9). இந்த சிக்கலை இந்த வழியில் தீர்க்க முடியும்: சமன்பாட்டிலிருந்து
நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்
. y இன் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை விமானத்தின் சமன்பாட்டில் மாற்றினால், ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம் எக்ஸ்:

இதனால், செயல்பாட்டின் உச்சத்தை கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல்
என்று வழங்கினார்
, ஒரு இடைவெளியில் ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறிவதில் சிக்கல் குறைக்கப்பட்டது.

அதனால், ஒரு நிபந்தனை உச்சநிலையை கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல்- இது புறநிலை செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல்
, மாறிகள் என்று வழங்கப்படும் எக்ஸ்மற்றும் மணிக்குதடைக்கு உட்பட்டது
, அழைக்கப்பட்டது இணைப்பு சமன்பாடு.

என்று சொல்லலாம் புள்ளி
, இணைத்தல் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துதல், உள்ளூர் நிபந்தனை அதிகபட்ச புள்ளி (குறைந்தபட்சம்), அக்கம்பக்கம் இருந்தால்
எந்த புள்ளிகளுக்கும்
, அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் இணைப்பு சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகின்றன, சமத்துவமின்மை திருப்தி அளிக்கிறது.

இணைத்தல் சமன்பாட்டிலிருந்து ஒரு வெளிப்பாட்டைக் காணலாம் மணிக்கு, இந்த வெளிப்பாட்டை அசல் செயல்பாட்டிற்கு மாற்றுவதன் மூலம், பிந்தையதை ஒரு மாறியின் சிக்கலான செயல்பாடாக மாற்றுவோம். எக்ஸ்.

நிபந்தனை உச்சநிலை சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான முறை லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி முறை. ஒரு துணை செயல்பாட்டை உருவாக்குவோம், எங்கே ─ சில எண். இந்த செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாடு, ஏ ─ லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி. எனவே, நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலையைக் கண்டறியும் பணியானது, லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டிற்கான உள்ளூர் தீவிரப் புள்ளிகளைக் கண்டறியும் பணியாகக் குறைக்கப்பட்டது. சாத்தியமான தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டறிய, நீங்கள் மூன்று அறியப்படாதவற்றுடன் 3 சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க வேண்டும் x, yமற்றும்.

பின்னர் நீங்கள் ஒரு தீவிரத்திற்கு பின்வரும் போதுமான நிபந்தனையைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

தேற்றம். புள்ளியானது லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டிற்கு சாத்தியமான உச்ச புள்ளியாக இருக்கட்டும். புள்ளியின் அருகாமையில் என்று வைத்துக்கொள்வோம்
செயல்பாடுகளின் இரண்டாவது வரிசையின் தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்கள் உள்ளன மற்றும் . குறிப்போம்

பின்னர் என்றால்
, அந்த
─ செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலை புள்ளி
இணைத்தல் சமன்பாட்டுடன்
இந்த வழக்கில், என்றால்
, அந்த
─ நிபந்தனை குறைந்தபட்ச புள்ளி, என்றால்
, அந்த
─ நிபந்தனை அதிகபட்ச புள்ளி.

§8. சாய்வு மற்றும் திசை வழித்தோன்றல்

செயல்படட்டும்
சில (திறந்த) பகுதியில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. எந்த புள்ளியையும் கருத்தில் கொள்ளுங்கள்
இந்தப் பகுதி மற்றும் ஏதேனும் ஒரு நேர் கோடு (அச்சு) , இந்த புள்ளியைக் கடந்து செல்கிறது (படம் 1). விடுங்கள்
- இந்த அச்சில் வேறு சில புள்ளிகள்,
- இடையே உள்ள பிரிவின் நீளம்
மற்றும்
, திசை என்றால் கூட்டல் குறியுடன் எடுக்கப்பட்டது
அச்சின் திசையுடன் ஒத்துப்போகிறது , மற்றும் அவற்றின் திசைகள் எதிர்மாறாக இருந்தால் கழித்தல் அடையாளத்துடன்.

விடுங்கள்
காலவரையின்றி அணுகுகிறது
. அளவு

அழைக்கப்பட்டது ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்
நோக்கி (அல்லது அச்சில் ) மற்றும் பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:

.

இந்த வழித்தோன்றல் புள்ளியில் செயல்பாட்டின் "மாற்ற விகிதத்தை" வகைப்படுத்துகிறது
நோக்கி . குறிப்பாக, சாதாரண பகுதி வழித்தோன்றல்கள் ,"திசையைப் பொறுத்து" வழித்தோன்றல்களாகவும் கருதலாம்.

இப்போது செயல்பாடு என்று வைத்துக் கொள்வோம்
பரிசீலனையில் உள்ள பிராந்தியத்தில் தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது. அச்சை விடுங்கள் ஆய அச்சுகளுடன் கோணங்களை உருவாக்குகிறது
மற்றும் . செய்யப்பட்ட அனுமானங்களின் கீழ், திசை வழித்தோன்றல் உள்ளது மற்றும் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

.

திசையன் என்றால்
அதன் ஆயத்தொகுப்புகளால் வழங்கப்படுகிறது
, பின்னர் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்
திசையன் திசையில்
சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:

.

ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட திசையன்
அழைக்கப்பட்டது சாய்வு திசையன்செயல்பாடுகள்
புள்ளியில்
. சாய்வு திசையன் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வேகமான அதிகரிப்பின் திசையைக் குறிக்கிறது.

உதாரணமாக

ஒரு செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டால், புள்ளி A(1, 1) மற்றும் திசையன்
. கண்டுபிடி: A புள்ளியில் 1)grad z; 2) திசையன் திசையில் புள்ளி A இல் வழித்தோன்றல் .

ஒரு கட்டத்தில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள்
:

;
.

இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் சாய்வு திசையன்:
. சாய்வு திசையன் திசையன் சிதைவைப் பயன்படுத்தி எழுதப்படலாம் மற்றும் :

. ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் திசையன் திசையில் :

அதனால்,
,
.◄

நிபந்தனை உச்சநிலை.

பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீமா

குறைந்த சதுர முறை.

FNP இன் உள்ளூர் உச்சநிலை

செயல்பாடு கொடுக்கப்படட்டும் மற்றும்= f(பி), РÎDÌR nமற்றும் புள்ளி P 0 ( ஏ 1 , ஏ 2 , ..., ஒரு ப) –உள்தொகுப்பு புள்ளி டி.

வரையறை 9.4.

1) புள்ளி P 0 அழைக்கப்படுகிறது அதிகபட்ச புள்ளி செயல்பாடுகள் மற்றும்= f(P), இந்தப் புள்ளியின் அருகில் U(P 0) М D இருந்தால், எந்தப் புள்ளிக்கும் P( எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ..., x n)O U(P 0), Р¹Р 0 , நிபந்தனை திருப்திகரமாக உள்ளது f(பி)£ f(பி 0) பொருள் f(P 0) அதிகபட்ச புள்ளியில் செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடு அதிகபட்சம் மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது f(P0) = அதிகபட்சம் f(பி)

2) புள்ளி P 0 அழைக்கப்படுகிறது குறைந்தபட்ச புள்ளி செயல்பாடுகள் மற்றும்= f(P), இந்தப் புள்ளியின் அருகில் U(P 0)Ì D இருந்தால் எந்தப் புள்ளிக்கும் P( எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ..., x n)OU(P 0), Р¹Р 0 , நிபந்தனை திருப்திகரமாக உள்ளது f(பி)³ f(பி 0) பொருள் f(P 0) குறைந்தபட்ச புள்ளியில் செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது குறைந்தபட்ச செயல்பாடு மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது f(பி 0) = நிமிடம் f(பி)

ஒரு செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன தீவிர புள்ளிகள், தீவிர புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன செயல்பாட்டின் தீவிரம்.

வரையறையிலிருந்து பின்வருமாறு, ஏற்றத்தாழ்வுகள் f(பி)£ f(பி 0), f(பி)³ f(P 0) P 0 புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் மட்டுமே திருப்தி அடைய வேண்டும், மேலும் செயல்பாட்டின் வரையறையின் முழு டொமைனில் அல்ல, அதாவது செயல்பாடு ஒரே வகையின் பல தீவிரங்களைக் கொண்டிருக்கலாம் (பல குறைந்தபட்சம், பல அதிகபட்சம்) . எனவே, மேலே வரையறுக்கப்பட்ட தீவிரம் அழைக்கப்படுகிறது உள்ளூர்(உள்ளூர்) உச்சநிலை.

தேற்றம் 9.1. (FNP இன் உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனை)

செயல்பாடு என்றால் மற்றும்= f(எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ..., x n) P 0 புள்ளியில் ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்டுள்ளது, பின்னர் இந்த கட்டத்தில் அதன் முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அல்லது இல்லை.

ஆதாரம்.புள்ளி P 0 ( ஏ 1 , ஏ 2 , ..., ஒரு ப) செயல்பாடு மற்றும்= f(பி) ஒரு உச்சநிலை உள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக, அதிகபட்சம். வாதங்களை சரி செய்வோம் எக்ஸ் 2 , ..., x n, போடுதல் எக்ஸ் 2 =ஏ 2 ,..., x n = ஒரு ப. பிறகு மற்றும்= f(பி) = f 1 ((எக்ஸ் 1 , ஏ 2 , ..., ஒரு ப) என்பது ஒரு மாறியின் செயல்பாடு எக்ஸ் 1 . இந்த செயல்பாடு இருப்பதால் எக்ஸ் 1 = ஏ 1 உச்சம் (அதிகபட்சம்), பின்னர் f 1 ¢=0 அல்லது எப்போது இல்லை எக்ஸ் 1 =ஏ 1 (ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலை இருப்பதற்கான அவசியமான நிபந்தனை). ஆனால், அதாவது P 0 - உச்ச புள்ளியில் இல்லை அல்லது இல்லை. இதேபோல், மற்ற மாறிகளைப் பொறுத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கருத்தில் கொள்ளலாம். CTD.

முதல் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அல்லது இல்லாத செயல்பாட்டின் களத்தில் உள்ள புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன முக்கியமான புள்ளிகள் இந்த செயல்பாடு.

தேற்றம் 9.1 இல் இருந்து பின்வருமாறு, FNP இன் உச்சநிலை புள்ளிகள் செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளிகளில் தேடப்பட வேண்டும். ஆனால், ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை, ஒவ்வொரு முக்கியமான புள்ளியும் ஒரு தீவிர புள்ளி அல்ல.

தேற்றம் 9.2. (FNP இன் உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனை)

செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளியாக P 0 இருக்கட்டும் மற்றும்= f(பி) மற்றும் இந்த செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு ஆகும். பிறகு

மற்றும் என்றால் ஈ 2 u(P 0) > 0 at , பின்னர் P 0 என்பது ஒரு புள்ளி குறைந்தபட்சம்செயல்பாடுகள் மற்றும்= f(பி);

b) என்றால் ஈ 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка அதிகபட்சம்செயல்பாடுகள் மற்றும்= f(பி);

c) என்றால் ஈ 2 u(P 0) அடையாளத்தால் வரையறுக்கப்படவில்லை, பின்னர் P 0 ஒரு தீவிர புள்ளி அல்ல;

இந்த தேற்றத்தை ஆதாரம் இல்லாமல் பரிசீலிப்போம்.

எப்போது என்பதை தேற்றம் கருத்தில் கொள்ளாது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் ஈ 2 u(P 0) = 0 அல்லது இல்லை. அத்தகைய நிலைமைகளின் கீழ் P 0 புள்ளியில் ஒரு தீவிரத்தின் இருப்பு பற்றிய கேள்வி திறந்தே உள்ளது - நமக்குத் தேவை கூடுதல் ஆராய்ச்சி, எடுத்துக்காட்டாக, இந்த கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைப் படிப்பது.

மேலும் விரிவான கணிதப் படிப்புகளில், குறிப்பாக செயல்பாட்டிற்கு இது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது z = f(எக்ஸ்,ஒய்) இரண்டு மாறிகளின், இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு படிவத்தின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்

முக்கியமான புள்ளி P 0 இல் ஒரு உச்சநிலை இருப்பதைப் பற்றிய ஆய்வு எளிமைப்படுத்தப்படலாம்.

குறிப்போம், , . ஒரு தீர்மானத்தை உருவாக்குவோம்

.

மாறிவிடும்:

ஈ 2 z> 0 புள்ளி P 0 இல், அதாவது. பி 0 - குறைந்தபட்ச புள்ளி, என்றால் ஏ(P 0) > 0 மற்றும் D(P 0) > 0;

ஈ 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если ஏ(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

D(P 0) என்றால்< 0, то ஈ 2 zபுள்ளி P 0 க்கு அருகில் அது அடையாளத்தை மாற்றுகிறது மற்றும் புள்ளி P 0 இல் உச்சநிலை இல்லை;

D(Р 0) = 0 எனில், முக்கியமான புள்ளி Р 0 க்கு அருகில் உள்ள செயல்பாடு பற்றிய கூடுதல் ஆய்வுகளும் தேவை.

இவ்வாறு, விழாவிற்கு z = f(எக்ஸ்,ஒய்) இரண்டு மாறிகள் எங்களிடம் பின்வரும் அல்காரிதம் உள்ளது (அதை "அல்காரிதம் டி" என்று அழைப்போம்) ஒரு தீவிரத்தை கண்டுபிடிப்பதற்கு:

1) வரையறையின் டொமைனைக் கண்டறியவும் D( f) செயல்பாடுகள்.

2) முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டறியவும், அதாவது. D(இலிருந்து புள்ளிகள்) f), இதற்கு மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் அல்லது இல்லை.

3) ஒவ்வொரு முக்கியமான புள்ளியிலும் P 0 சரிபார்க்கவும் போதுமான நிபந்தனைகள்உச்சநிலை. இதைச் செய்ய, கண்டுபிடிக்கவும் , எங்கே , , மற்றும் D(P 0) மற்றும் கணக்கிடவும் ஏ(P 0).பின்:

D(P 0) >0 எனில், P 0 புள்ளியில் ஒரு தீவிரம் உள்ளது, மற்றும் என்றால் ஏ(P 0) > 0 – இது குறைந்தபட்சம், மற்றும் என்றால் ஏ(பி 0)< 0 – максимум;

D(P 0) என்றால்< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

D(P 0) = 0 எனில், கூடுதல் ஆராய்ச்சி தேவை.

4) கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீவிர புள்ளிகளில், செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1.

செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும் z = எக்ஸ் 3 + 8ஒய் 3 – 3xy .

தீர்வு.இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம் முழு ஒருங்கிணைப்பு விமானமாகும். முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

, , Þ பி 0 (0,0), .

உச்சநிலைக்கான போதுமான நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டுள்ளதா என்பதைச் சரிபார்ப்போம். நாம் கண்டுபிடிப்போம்

6எக்ஸ், = -3, = 48மணிக்குமற்றும் = 288xy – 9.

பின்னர் D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – புள்ளி Р 1 இல் ஒரு தீவிரம் உள்ளது, மேலும் ஏ(P 1) = 3 >0, இந்த உச்சநிலை குறைந்தபட்சம். எனவே நிமிடம் z=z(பி 1) = .

எடுத்துக்காட்டு 2.

செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு: டி( f) =ஆர் 2 . முக்கியமான புள்ளிகள்: ; எப்போது இல்லை மணிக்கு= 0, அதாவது P 0 (0,0) என்பது இந்த செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளியாகும்.

2, = 0, = , = , ஆனால் D(P 0) வரையறுக்கப்படவில்லை, எனவே அதன் அடையாளத்தைப் படிப்பது சாத்தியமற்றது.

அதே காரணத்திற்காக, தேற்றம் 9.2 ஐ நேரடியாகப் பயன்படுத்துவது சாத்தியமில்லை - ஈ 2 zஇந்த கட்டத்தில் இல்லை.

செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கருத்தில் கொள்வோம் f(எக்ஸ், ஒய்) புள்ளி P 0 இல். டி என்றால் f =f(பி) – f(P 0)>0 "P, பின்னர் P 0 என்பது குறைந்தபட்ச புள்ளி, ஆனால் D என்றால் f < 0, то Р 0 – точка максимума.

எங்கள் விஷயத்தில் எங்களிடம் உள்ளது

டி f = f(எக்ஸ், ஒய்) – f(0, 0) = f(0+D எக்ஸ்,0+D ஒய்) – f(0, 0) = .

டி இல் எக்ஸ்= 0.1 மற்றும் டி ஒய்= -0.008 நமக்கு D கிடைக்கும் f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dஎக்ஸ்= 0.1 மற்றும் டி ஒய்= 0.001 டி f= 0.01 + 0.1 > 0, அதாவது. புள்ளி P 0 க்கு அருகில் எந்த நிபந்தனையும் D திருப்தி அடையவில்லை f <0 (т.е. f(எக்ஸ், ஒய்) < f(0, 0) எனவே P 0 என்பது அதிகபட்ச புள்ளி அல்ல), அல்லது நிபந்தனை D அல்ல f>0 (அதாவது f(எக்ஸ், ஒய்) > f(0, 0) பின்னர் P 0 என்பது குறைந்தபட்ச புள்ளி அல்ல). எனவே, ஒரு தீவிரத்தின் வரையறையின்படி, இந்த செயல்பாடுஉச்சநிலைகள் இல்லை.

நிபந்தனை உச்சநிலை.

செயல்பாட்டின் கருதப்படும் உச்சநிலை அழைக்கப்படுகிறது நிபந்தனையற்ற, செயல்பாடு வாதங்களுக்கு எந்த கட்டுப்பாடுகளும் (நிபந்தனைகள்) விதிக்கப்படவில்லை என்பதால்.

வரையறை 9.2.செயல்பாட்டின் உச்சம் மற்றும் = f(எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ... , x n), அதன் வாதங்கள் நிபந்தனையின் கீழ் காணப்படுகின்றன எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ... , x nசமன்பாடுகள் j 1 ( எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ... , x n) = 0,…, ஜே டி(எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ... , x n) = 0, அங்கு பி ( எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ... , x n) ஓ டி( f), அழைக்கப்படுகிறது நிபந்தனை உச்சநிலை .

சமன்பாடுகள் ஜே கே(எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ... , x n) = 0 , கே = 1, 2,..., மீ, அழைக்கப்படுகின்றன இணைப்பு சமன்பாடுகள்.

செயல்பாடுகளைப் பார்ப்போம் z = f(எக்ஸ்,ஒய்) இரண்டு மாறிகள். இணைப்பு சமன்பாடு ஒன்று என்றால், அதாவது. , பின்னர் நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலையைக் கண்டறிவது என்பது செயல்பாட்டின் வரையறையின் முழுக் களத்திலும் அல்ல, மாறாக D( D() இல் இருக்கும் சில வளைவில் தேடப்படுகிறது. f) (அதாவது, இது தேடப்படும் மேற்பரப்பின் மிக உயர்ந்த அல்லது குறைந்த புள்ளிகள் அல்ல z = f(எக்ஸ்,ஒய்), மற்றும் சிலிண்டருடன் இந்த மேற்பரப்பை வெட்டும் புள்ளிகளில் மிக உயர்ந்த அல்லது குறைந்த புள்ளிகள், படம் 5).

ஒரு செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சம் z = f(எக்ஸ்,ஒய்) இரண்டு மாறிகள் பின்வரும் வழியில் காணலாம் ( நீக்குதல் முறை) சமன்பாட்டிலிருந்து, மாறிகளில் ஒன்றை மற்றொன்றின் செயல்பாடாக வெளிப்படுத்தவும் (உதாரணமாக, எழுதவும்) மேலும், மாறியின் இந்த மதிப்பை செயல்பாட்டிற்குப் பதிலாக, பிந்தையதை ஒரு மாறியின் செயல்பாடாக எழுதவும் (கருத்தில் கருதப்படும் வழக்கில் ) ஒரு மாறியின் விளைவான செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும்.

பல மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் தீவிரம். ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனை. ஒரு உச்சநிலைக்கு போதுமான நிலை. நிபந்தனை உச்சநிலை. லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி முறை. மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிதல்.

விரிவுரை 5.

வரையறை 5.1.புள்ளி M 0 (x 0, y 0)அழைக்கப்பட்டது அதிகபட்ச புள்ளிசெயல்பாடுகள் z = f (x, y),என்றால் f (x o, y o) > f(x,y)அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் (x, y) எம் 0.

வரையறை 5.2.புள்ளி M 0 (x 0, y 0)அழைக்கப்பட்டது குறைந்தபட்ச புள்ளிசெயல்பாடுகள் z = f (x, y),என்றால் f (x o, y o) < f(x,y)அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் (x, y)ஒரு புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறத்திலிருந்து எம் 0.

குறிப்பு 1. அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன தீவிர புள்ளிகள்பல மாறிகளின் செயல்பாடுகள்.

குறிப்பு 2. எந்த எண்ணிக்கையிலான மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கான தீவிர புள்ளியும் இதே வழியில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

தேற்றம் 5.1(ஒரு தீவிரத்திற்கு தேவையான நிபந்தனைகள்). என்றால் M 0 (x 0, y 0)- செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளி z = f (x, y),இந்த கட்டத்தில் இந்த செயல்பாட்டின் முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அல்லது இல்லை.

ஆதாரம்.

மாறியின் மதிப்பை சரி செய்வோம் மணிக்கு, எண்ணுதல் y = y 0. பின்னர் செயல்பாடு f (x, y 0)ஒரு மாறியின் செயல்பாடாக இருக்கும் எக்ஸ், எதற்காக x = x 0தீவிர புள்ளி ஆகும். எனவே, ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்தால், அல்லது இல்லை. அதே அறிக்கை இதேபோல் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

வரையறை 5.3.செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அல்லது இல்லாத பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் களத்தைச் சேர்ந்த புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன. நிலையான புள்ளிகள்இந்த செயல்பாடு.

கருத்து. எனவே, உச்சநிலையை நிலையான புள்ளிகளில் மட்டுமே அடைய முடியும், ஆனால் அவை ஒவ்வொன்றிலும் அது கவனிக்கப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை.

தேற்றம் 5.2(ஒரு தீவிரத்திற்கு போதுமான நிபந்தனைகள்). புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறங்களில் இருக்கட்டும் M 0 (x 0, y 0), இது செயல்பாட்டின் ஒரு நிலையான புள்ளியாகும் z = f (x, y),இந்த செயல்பாடு 3வது வரிசையை உள்ளடக்கிய தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது. பின் குறிப்போம்:

1) f(x,y)புள்ளியில் உள்ளது எம் 0அதிகபட்சம் என்றால் ஏசி-பி² > 0, ஏ < 0;

2) f(x,y)புள்ளியில் உள்ளது எம் 0குறைந்தபட்சம் என்றால் ஏசி-பி² > 0, ஏ > 0;

3) முக்கியமான புள்ளியில் உச்சநிலை இல்லை என்றால் ஏசி-பி² < 0;

4) என்றால் ஏசி-பி² = 0, மேலும் ஆராய்ச்சி தேவை.

ஆதாரம்.

செயல்பாட்டிற்கான இரண்டாவது வரிசை டெய்லர் சூத்திரத்தை எழுதுவோம் f(x,y),ஒரு நிலையான புள்ளியில் முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பதை நினைவில் கொள்க:

எங்கே பிரிவுக்கு இடையே உள்ள கோணம் என்றால் எம் 0 எம், எங்கே எம் (x 0 +Δ x, y 0 +Δ மணிக்கு), மற்றும் O அச்சு எக்ஸ்φ ஐக் குறிக்கவும், பின்னர் Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y =Δρsinφ. இந்த வழக்கில், டெய்லரின் சூத்திரம் படிவத்தை எடுக்கும்: . நாம் பின்னர் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாட்டை வகுத்து பெருக்கலாம் ஏ. நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இப்போது நான்கைக் கருத்தில் கொள்வோம் சாத்தியமான வழக்குகள்:

1) ஏசி-பி² > 0, ஏ < 0. Тогда , и போதுமான அளவு சிறிய Δρ. எனவே, சில சுற்றுப்புறங்களில் M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0, y 0), அது எம் 0- அதிகபட்ச புள்ளி.

2) விடுங்கள் ஏசி-பி² > 0, A > 0.பிறகு , மற்றும் எம் 0- குறைந்தபட்ச புள்ளி.

3) அனுமதிக்கவும் ஏசி-பி² < 0, ஏ> 0. கதிர் φ = 0 உடன் வாதங்களின் அதிகரிப்பைக் கவனியுங்கள். பின்னர் (5.1) இலிருந்து அது பின்வருமாறு , அதாவது, இந்த கதிர் வழியாக நகரும் போது, ​​செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது. நாம் ஒரு கதிர் வழியாக நகர்ந்தால் அது போன்ற tg φ 0 = -A/B,அந்த , எனவே, இந்த கதிர் வழியாக நகரும் போது, ​​செயல்பாடு குறைகிறது. எனவே, காலம் எம் 0ஒரு தீவிர புள்ளி அல்ல.

3`) எப்போது ஏசி-பி² < 0, ஏ < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

முந்தையதைப் போன்றது.

3``) என்றால் ஏசி-பி² < 0, ஏ= 0, பின்னர். இதில் . பின்னர் போதுமான அளவு சிறிய φக்கு வெளிப்பாடு 2 பி cosφ + சி sinφ 2க்கு அருகில் உள்ளது IN, அதாவது, இது ஒரு நிலையான அடையாளத்தைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது, ஆனால் sinφ புள்ளியின் அருகில் அடையாளத்தை மாற்றுகிறது எம் 0.இதன் பொருள், செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு ஒரு நிலையான புள்ளியின் அருகே அடையாளத்தை மாற்றுகிறது, எனவே இது ஒரு தீவிர புள்ளி அல்ல.

4) என்றால் ஏசி-பி² = 0, மற்றும் , , அதாவது, அதிகரிப்பின் அடையாளம் 2α 0 இன் அடையாளத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அதே நேரத்தில், ஒரு தீவிரத்தின் இருப்பு பற்றிய கேள்வியை தெளிவுபடுத்த கூடுதல் ஆராய்ச்சி அவசியம்.

உதாரணமாக. செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம் z = x² - 2 xy + 2ஒய்² + 2 எக்ஸ்.நிலையான புள்ளிகளைக் கண்டறிய, நாங்கள் கணினியைத் தீர்க்கிறோம் . எனவே, நிலையான புள்ளி (-2,-1) ஆகும். இதில் ஏ = 2, IN = -2, உடன்= 4. பிறகு ஏசி-பி² = 4 > 0, எனவே, ஒரு நிலையான புள்ளியில் ஒரு உச்சநிலை அடையப்படுகிறது, அதாவது குறைந்தபட்சம் (இருந்து ஏ > 0).

வரையறை 5.4.செயல்பாடு வாதங்கள் என்றால் f (x 1 , x 2 ,…, x n)இணைக்கப்பட்டுள்ளது கூடுதல் நிபந்தனைகள்என மீசமன்பாடுகள் ( மீ< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0,…, φ மீ ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

செயல்பாடுகள் φ i தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்கள் உள்ளன, பின்னர் சமன்பாடுகள் (5.2) அழைக்கப்படுகின்றன இணைப்பு சமன்பாடுகள்.

வரையறை 5.5.செயல்பாட்டின் உச்சம் f (x 1 , x 2 ,…, x n)நிபந்தனைகள் (5.2) பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், அது அழைக்கப்படுகிறது நிபந்தனை உச்சநிலை.

கருத்து. இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சகட்டத்தின் பின்வரும் வடிவியல் விளக்கத்தை நாம் வழங்கலாம்: செயல்பாட்டின் வாதங்களை விடுங்கள் f(x,y)சமன்பாடு φ மூலம் தொடர்புடையது (x,y)= 0, O விமானத்தில் சில வளைவுகளை வரையறுக்கிறது xy. இந்த வளைவின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலிருந்தும் O விமானத்திற்கு செங்குத்தாக மறுகட்டமைத்தல் xyஅது மேற்பரப்புடன் வெட்டும் வரை z = f (x,y),φ வளைவுக்கு மேல் மேற்பரப்பில் இருக்கும் இடஞ்சார்ந்த வளைவைப் பெறுகிறோம் (x,y)= 0. இதன் விளைவாக வரும் வளைவின் தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்பதே பணியாகும், இது நிச்சயமாக, பொது வழக்குசெயல்பாட்டின் நிபந்தனையற்ற உச்சநிலை புள்ளிகளுடன் ஒத்துப்போவதில்லை f(x,y).

பின்வரும் வரையறையை முதலில் அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கான நிபந்தனை உச்சகட்டத்திற்கு தேவையான நிபந்தனைகளை தீர்மானிப்போம்:

வரையறை 5.6.செயல்பாடு L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

எங்கே λi -சில நிலையானவை, அழைக்கப்படுகின்றன லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாடு, மற்றும் எண்கள் λi– காலவரையற்ற லக்ரேஞ்ச் பெருக்கிகள்.

தேற்றம் 5.3(நிபந்தனைக்குரிய உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனைகள்). ஒரு செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சம் z = f (x, y)இணைத்தல் சமன்பாட்டின் முன்னிலையில் φ ( x, y)= 0 ஐ லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிகளில் மட்டுமே அடைய முடியும் L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

ஆதாரம். இணைத்தல் சமன்பாடு ஒரு மறைமுகமான உறவைக் குறிப்பிடுகிறது மணிக்குஇருந்து எக்ஸ், எனவே நாங்கள் அதைக் கருதுவோம் மணிக்குஇருந்து ஒரு செயல்பாடு உள்ளது எக்ஸ்: y = y(x).பிறகு zஇருந்து ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு உள்ளது எக்ஸ், மற்றும் அதன் முக்கியமான புள்ளிகள் நிபந்தனையால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன: . (5.4) இணைப்புச் சமன்பாட்டில் இருந்து அது பின்வருமாறு . (5.5)

சமத்துவத்தை (5.5) சில எண்ணால் λ பெருக்கி (5.4) உடன் கூட்டுவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

, அல்லது .

கடைசி சமத்துவம் நிலையான புள்ளிகளில் திருப்திப்படுத்தப்பட வேண்டும், அதில் இருந்து பின்வருமாறு:

(5.6)

மூன்று அறியப்படாதவற்றுக்கான மூன்று சமன்பாடுகளின் அமைப்பு பெறப்படுகிறது: x, yமற்றும் λ, மற்றும் முதல் இரண்டு சமன்பாடுகள் லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிக்கான நிபந்தனைகளாகும். கணினியிலிருந்து (5.6) துணை அறியப்படாத λ ஐ விலக்குவதன் மூலம், அசல் செயல்பாடு ஒரு நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்கும் புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிகிறோம்.

குறிப்பு 1. தேற்றம் 5.2 உடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம் லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டின் இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களைப் படிப்பதன் மூலம் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இடத்தில் ஒரு நிபந்தனை உச்சநிலை இருப்பதை சரிபார்க்கலாம்.

குறிப்பு 2. செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையை அடையக்கூடிய புள்ளிகள் f (x 1 , x 2 ,…, x n)நிபந்தனைகள் (5.2) பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், அமைப்பின் தீர்வுகள் என வரையறுக்கலாம் (5.7)

உதாரணமாக. செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கண்டுபிடிப்போம் z = xyஎன்று கொடுக்கப்பட்டது x + y= 1. Lagrange செயல்பாட்டை உருவாக்குவோம் L(x, y) = xy + λ (x + y – 1) அமைப்பு (5.6) இது போல் தெரிகிறது:

எங்கே -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5 இதில் L(x,y)வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம் L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0.5 ≤ 0.5, எனவே காணப்படும் நிலையான புள்ளியில் L(x,y)அதிகபட்சம் உள்ளது, மற்றும் z = xy -நிபந்தனை அதிகபட்சம்.

சில டொமைன் D இல் z - /(x, y) செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு, Mo(xo, Vo) இந்த டொமைனின் உள் புள்ளியாக இருக்கட்டும். வரையறை. அனைத்து நிபந்தனைகளையும் பூர்த்தி செய்யும் சமத்துவமின்மை உண்மையாக இருக்கும் ஒரு எண் இருந்தால், Mo(xo, yo) புள்ளி புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. உள்ளூர் அதிகபட்சம் செயல்பாடுகள் /(x, y); அனைத்து Dx, Du, நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தால் | பின்னர் புள்ளி Mo(xo,yo) மெல்லிய உள்ளூர் குறைந்தபட்சம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், புள்ளி M0(x0, y0) என்பது F(x, y) செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும் அக்கம் பக்கத்தில் உள்ள இதன் புள்ளிகள் M(x, y), செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு அதன் அடையாளத்தை பராமரிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டுகள். 1. செயல்பாட்டு புள்ளிக்கு - குறைந்தபட்ச புள்ளி (படம் 17). 2. செயல்பாட்டிற்கு, புள்ளி 0(0,0) என்பது அதிகபட்ச புள்ளியாகும் (படம் 18). 3. ஒரு செயல்பாட்டிற்கு, புள்ளி 0(0,0) என்பது உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளியாகும். 4 உண்மையில், புள்ளி 0(0, 0) க்கு அருகில் உள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக, j ஆரம் வட்டம் (படம் 19 ஐப் பார்க்கவும்), எந்த புள்ளியிலும், புள்ளி 0(0,0) இலிருந்து வேறுபட்டது. செயல்பாட்டின் மதிப்பு /(x,y) 1 க்கும் குறைவானது = கடுமையான சமத்துவமின்மை அல்லது கடுமையான சமத்துவமின்மை அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் M(x) y) திருப்தி அளிக்கும் போது கடுமையான அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச செயல்பாடுகளின் புள்ளிகளை மட்டுமே நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம். புள்ளி Mq. அதிகபட்ச புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பு அதிகபட்சம் என்றும், குறைந்தபட்ச புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பு இந்த செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் அதன் தீவிரம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. தேற்றம் 11 (ஒரு தீவிரத்திற்கு தேவையான நிபந்தனை). ஒரு சார்பு என்பது பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சம் என்றால் பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சத்தின் கருத்து. ஒரு தீவிர நிலைக்கான தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகள் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் மிகப்பெரிய மற்றும் மிகச்சிறிய மதிப்புகள் புள்ளியில் ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்டுள்ளன, பின்னர் இந்த கட்டத்தில் ஒவ்வொரு பகுதி வழித்தோன்றலும் மறைந்துவிடும் அல்லது இல்லை. புள்ளியில் M0(x0, yо) செயல்பாடு z = f(x) y) ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்கட்டும். y என்ற மாறிக்கு யோ மதிப்பைக் கொடுப்போம். பின்னர் z = /(x, y) சார்பு x ஒரு மாறியின் செயல்பாடாக இருக்கும், ஏனெனில் x = xo இல் அது ஒரு தீவிரத்தை (அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம், படம் 20), பின்னர் x = “o, | (*o,l>)" பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் அல்லது இல்லை. அதேபோல், பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் அல்லது இல்லை என்று நாங்கள் உறுதியாக நம்புகிறோம். = 0 மற்றும் χ = 0 அல்லது இல்லாத புள்ளிகள் முக்கியமானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. z = Dx, y சார்பின் புள்ளிகள். 18 படம். 20 immt டெரிவேடிவ்களில் மறைந்துவிடும் ஆனால் இந்தச் சார்பு ஸ்ட்ரமின் இம்வாட்டில் மெல்லியதாக இருக்கும்.உண்மையில், செயல்பாடு 0(0,0) புள்ளியில் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் மற்றும் புள்ளிகள் M(x,) இல் நேர்மறை குணகங்களைப் பெறுகிறது. y), தன்னிச்சையாக புள்ளி 0(0,0) மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கு அருகில். அது, எனவே புள்ளிகள் (0, y) புள்ளிகளில் தன்னிச்சையாக சிறிய புள்ளி 0 (0,0) சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வகை ஒரு சிறிய அதிகபட்ச புள்ளி (படம். 21) என்று அழைக்கப்படுகிறது. இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கான போதுமான நிபந்தனைகள் பின்வரும் தேற்றத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. தேற்றம் 12 (இரண்டு மாறிகளில் ஒரு தீவிரத்திற்கான போதுமான நிபந்தனைகள்). Mo(xo»Yo) என்ற புள்ளியானது f(x, y) செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளியாக இருக்கட்டும், மேலும் புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறங்களில் /, புள்ளி Mo உட்பட, f(z, y) சார்பு தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது. உள்ளடக்கிய இரண்டாவது வரிசை வரை. பிறகு". Mo(xo, V0) என்ற புள்ளியில் D(xo, yo) எனில் /(xo, y) சார்புக்கு உச்சநிலை இல்லை.< 0. Если же то в точке Мо(жо>f(x, y) செயல்பாட்டின் உச்சம் இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம். இந்த வழக்கில், கூடுதல் ஆராய்ச்சி தேவை. m தேற்றத்தின் 1) மற்றும் 2) அறிக்கைகளை நிரூபிப்பதில் நம்மை கட்டுப்படுத்திக் கொள்வோம். செயல்பாட்டிற்கான இரண்டாம்-வரிசை டெய்லர் சூத்திரத்தை எழுதுவோம் /(i, y): எங்கே. நிபந்தனையின்படி, அதிகரிப்பு D/ இன் அடையாளம் (1) இன் வலது பக்கத்தில் உள்ள முக்கோணத்தின் அடையாளத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பது தெளிவாகிறது, அதாவது, இரண்டாவது வேறுபாடு d2f இன் அடையாளம். சுருக்கமாக அதைக் குறிக்கலாம். பின்னர் சமத்துவம் (எல்) பின்வருமாறு எழுதலாம்: எம்க்யூ(அதனால், வி0) என்ற புள்ளியில் இருக்கட்டும்... நிபந்தனையின்படி, f(s, y) செயல்பாட்டின் இரண்டாம்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், பின்னர் சமத்துவமின்மை (3) M0(s0,yo) புள்ளியின் சில பகுதிகளிலும் இருக்கும். நிபந்தனை திருப்தி அடைந்தால் (புள்ளி А/0, மற்றும் தொடர்ச்சியின் காரணமாக /,z(s,y) அதன் அடையாளத்தை Af0 புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறங்களில் தக்க வைத்துக் கொள்ளும். А Ф 0 உள்ள பகுதியில், எங்களிடம் உள்ளது M0(x0) y0 என்ற புள்ளியின் சில பகுதியில் ЛС - В2 > 0 எனில், AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 என்ற முக்கோணத்தின் அடையாளம் புள்ளியில் உள்ள A இன் அடையாளத்துடன் ஒத்துப்போகிறது என்பது இதிலிருந்து தெளிவாகிறது (அதனால் , V0) (ஏசி - B2 > 0 A மற்றும் C க்கு வெவ்வேறு அடையாளங்கள் இருக்க முடியாது என்பதால், C இன் அடையாளத்துடன்). புள்ளியில் உள்ள AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 தொகையின் குறி (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) வேறுபாட்டின் அடையாளத்தைத் தீர்மானிப்பதால், பின்வரும் முடிவுக்கு வருகிறோம்: செயல்பாட்டிற்கு என்றால் /(s,y) நிலையான புள்ளி (s0, V0) நிலை, பின்னர் போதுமான அளவு சிறிய || சமத்துவமின்மை திருப்தி அடையும். எனவே, புள்ளியில் (சதுர, V0) செயல்பாடு /(s, y) அதிகபட்சம். நிலையான புள்ளியில் (s0, y0) நிபந்தனை திருப்தி அடைந்தால், போதுமான அளவு சிறிய அனைத்துக்கும் |Dr| மற்றும் |டு| சமத்துவமின்மை உண்மை, அதாவது புள்ளியில் (அதனால்,யோ) செயல்பாடு /(கள், y) குறைந்தபட்சம் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டுகள். 1. எக்ஸ்ட்ரம்மிற்கான செயல்பாட்டை ஆராய்தல் 4 ஒரு முனைக்கு தேவையான நிபந்தனைகளைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிகளைத் தேடுகிறோம். இதைச் செய்ய, u என்ற பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிந்து அவற்றை பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமன் செய்கிறோம். சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எங்கிருந்து பெறுகிறோம் - ஒரு நிலையான புள்ளி. இப்போது தேற்றம் 12 ஐப் பயன்படுத்துவோம். இதன் பொருள் Ml புள்ளியில் ஒரு உச்சநிலை உள்ளது. ஏனெனில் இது குறைந்தபட்சம். r செயல்பாட்டை வடிவமாக மாற்றினால், அதைப் பார்ப்பது எளிது வலது பகுதி இந்தச் செயல்பாட்டின் முழுமையான குறைந்தபட்சமாக இருக்கும்போது (") குறைவாக இருக்கும். 2. ஒரு உச்சநிலைக்கான செயல்பாட்டை ஆராயுங்கள், செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிகளைக் காண்கிறோம், அதற்காக நாம் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குகிறோம், எனவே புள்ளி நிலையானது. தேற்றம் 12ன் படி, M புள்ளியில் உச்சநிலை இல்லை. * 3. செயல்பாட்டின் உச்சநிலையை ஆராயவும். செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிகளைக் கண்டறியவும். சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து நாம் அதைப் பெறுகிறோம், எனவே புள்ளி நிலையானது. அடுத்ததாக, தேற்றம் 12 ஒரு தீவிரத்தின் இருப்பு அல்லது இல்லாமை பற்றிய கேள்விக்கு பதிலளிக்கவில்லை. இப்படிச் செய்வோம். புள்ளியில் இருந்து வேறுபட்ட அனைத்து புள்ளிகளையும் பற்றிய ஒரு செயல்பாட்டிற்கு, வரையறையின்படி, மற்றும் புள்ளி A/o(0,0) r சார்பு ஒரு முழுமையான குறைந்தபட்சத்தைக் கொண்டுள்ளது. இதேபோன்ற கணக்கீடுகளின் மூலம், செயல்பாடு புள்ளியில் அதிகபட்சமாக உள்ளது என்பதை நிறுவுகிறோம், ஆனால் செயல்பாடு புள்ளியில் ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்கவில்லை. n சார்பற்ற மாறிகளின் ஒரு சார்பு ஒரு புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருக்கட்டும்.பாயின்ட் மோ, தேற்றம் 13 (ஒரு முனைக்கு போதுமான நிபந்தனைகள் வரை) எனில் செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு, ஃபைன் Mt(xi...) இன் சில சுற்றுப்புறங்களில் இரண்டாவது வரிசையின் தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்கட்டும், இது இருபடி வடிவம் (ஃபைனில் f செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வேறுபாடு நேர்மறையாக இருந்தால் நிலையான நேர்த்தியான செயல்பாடாகும். definite (negative definite), f செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளி (முறையே, நுண்ணிய அதிகபட்சம்) நன்றாக உள்ளது இருபடி வடிவம் (4) குறியில் மாறி மாறி இருந்தால், LG0 இல் நுணுக்கத்தில் உச்சநிலை இல்லை. இருபடி என்பதை நிறுவுவதற்கு படிவம் (4) நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை திட்டவட்டமாக இருக்கும், எடுத்துக்காட்டாக, இருபடி வடிவத்தின் நேர்மறை (எதிர்மறை ) உறுதிப்பாட்டிற்கான சில்வெஸ்டர் அளவுகோலைப் பயன்படுத்தலாம். அதன் வரையறையின் களம் முழுவதும், செயல்பாட்டின் வாதங்கள் எந்த கூடுதல் நிபந்தனைகளாலும் பிணைக்கப்படாதபோது, ​​அத்தகைய தீவிரமானது நிபந்தனையற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது, இருப்பினும், நிபந்தனை உச்சநிலை என்று அழைக்கப்படுவதைக் கண்டறிவதில் சிக்கல்கள் அடிக்கடி சந்திக்கப்படுகின்றன. செயல்பாடு z = /(x, y ) டொமைன் D இல் வரையறுக்கப்படும். இந்த டொமைனில் L ஒரு வளைவு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக் கொள்வோம், மேலும் f(x> y) செயல்பாட்டின் உச்சநிலையை புள்ளிகளுடன் தொடர்புடைய மதிப்புகளில் மட்டுமே கண்டுபிடிக்க வேண்டும். வளைவின் L. அதே தீவிரமானது L வளைவில் உள்ள z = f(x) y) செயல்பாட்டின் நிபந்தனை தீவிரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வரையறை L வளைவில் இருக்கும் ஒரு புள்ளியில், f(x, y) சார்பு உள்ளது என்று கூறுகிறார்கள். M (s, y) y) வளைவு L அனைத்து புள்ளிகளிலும் சமத்துவமின்மை திருப்தி அடைந்தால், M0(x0, V0) புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்தது மற்றும் M0 புள்ளியிலிருந்து வேறுபட்டது (வளைவு L என்றால் ஒரு சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கப்பட்டால், வளைவில் r - f(x,y) செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கண்டறிவதே பிரச்சனை! பின்வருமாறு உருவாக்கலாம்: D பகுதியில் x = /(z, y) செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறியவும், எனவே, z = y செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கண்டறியும் போது, ​​வைல்ட்பீஸ்ட் வாதங்கள் இனி இருக்க முடியாது சுயாதீன மாறிகளாகக் கருதப்படுகின்றன: அவை y ) = 0 என்ற உறவின் மூலம் ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையவை, இது இணைப்புச் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. நிபந்தனையற்ற மற்றும் நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலைக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை தெளிவுபடுத்த, செயல்பாட்டின் நிபந்தனையற்ற அதிகபட்சம் (படம் 23) ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும் மற்றும் புள்ளியில் (0,0) அடையப்படும் ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். இது Pvvboloid இன் முனை M - க்கு ஒத்திருக்கிறது. y = j என்ற இணைப்பு சமன்பாட்டைச் சேர்ப்போம். பின்னர் நிபந்தனைக்குட்பட்ட அதிகபட்சம் வெளிப்படையாக சமமாக இருக்கும்.இது புள்ளியில் (o,|) அடையப்படுகிறது, மேலும் இது பந்தின் உச்சி Afj உடன் ஒத்துள்ளது, இது பந்தை y = j என்ற விமானத்துடன் வெட்டும் கோடாகும். நிபந்தனையற்ற mvximum விஷயத்தில், மேற்பரப்பில் * = 1 - l;2 ~ y1 அனைத்து vpplicvt க்கும் ஒரு mvximum பயன்பாடு உள்ளது; summvv நிபந்தனை - vllikvt புள்ளிகளில் pvraboloidv மட்டுமே, xOy விமானம் அல்ல, நேர் கோட்டின் y = j இன் புள்ளி*க்கு தொடர்புடையது. இருப்பு மற்றும் இணைப்பில் ஒரு செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கண்டறிவதற்கான முறைகளில் ஒன்று பின்வருமாறு. இணைப்புச் சமன்பாடு y) - O ஆனது y வாதத்தின் தனித்துவமான வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடாக வரையறுக்கிறது x: செயல்பாட்டில் y க்கு பதிலாக ஒரு செயல்பாட்டை மாற்றினால், இணைப்பு நிலை ஏற்கனவே கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட ஒரு வாதத்தின் செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம். செயல்பாட்டின் (நிபந்தனையற்ற) உச்சநிலையானது விரும்பிய நிபந்தனை உச்சம் ஆகும். உதாரணமாக. பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீம் நிபந்தனையின் கீழ் ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும் பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சத்தின் கருத்து. ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகள் நிபந்தனை உச்சநிலை தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகள் A இணைப்பு சமன்பாட்டிலிருந்து (2") y = 1-x ஐக் காண்கிறோம். இந்த மதிப்பை y ஐ (V) மாற்றுவதன் மூலம், நாம் ஒரு செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம் ஒரு வாதம் x: உச்சநிலைக்கு அதை ஆராய்வோம்: எங்கிருந்து x = 1 என்பது முக்கியமான புள்ளி; , இது r இன் நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்சத்தை வழங்குகிறது (படம் 24) நிபந்தனையின் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான மற்றொரு வழியைக் குறிப்பிடுவோம். தீவிரம், லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி முறை என அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு இணைப்பின் முன்னிலையில் செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையின் ஒரு புள்ளி இருக்கட்டும். இணைப்பு சமன்பாடு xx புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் தனித்துவமான தொடர்ச்சியான வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். xq என்ற புள்ளியில் /(r, ip(x)) செயல்பாட்டின் x தொடர்பான வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும் அல்லது இதற்குச் சமமான, f(x, y) இன் வேறுபாடு புள்ளி Mo" O) இணைப்புச் சமன்பாட்டிலிருந்து நம்மிடம் (5) கடைசி சமத்துவத்தை இன்னும் தீர்மானிக்கப்படாத எண் காரணி A ஆல் பெருக்குவது மற்றும் காலத்தின் மூலம் சமத்துவத்துடன் காலத்தைச் சேர்ப்பது (4), நாம் பெறுவோம் (அதை நாங்கள் கருதுகிறோம்). பின்னர், dx இன் தன்னிச்சையின் காரணமாக, நாம் சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம் (6) மற்றும் (7) செயல்பாட்டின் கட்டத்தில் நிபந்தனையற்ற உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனைகளை வெளிப்படுத்துகிறோம், இது Lagrange செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலை புள்ளி /(x, y), என்றால், A என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட எண் குணகமாக இருக்கும் Lagrange செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளியாக இருக்க வேண்டும். இங்கிருந்து நிபந்தனைக்குட்பட்ட தீவிரத்தைக் கண்டறிவதற்கான விதியைப் பெறுகிறோம்: இணைப்பின் முன்னிலையில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழக்கமான உச்சநிலையின் புள்ளிகளைக் கண்டறிய, 1) லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டை உருவாக்குகிறோம், 2) இதன் வழித்தோன்றல்களை சமன் செய்வதன் மூலம். பூஜ்ஜியத்திற்குச் செயல்பட்டு, அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடுகளுடன் இணைப்புச் சமன்பாட்டைச் சேர்ப்பதன் மூலம், மூன்று சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம், அதில் இருந்து A இன் மதிப்புகள் மற்றும் சாத்தியமான உச்சநிலை புள்ளிகளின் x, y ஆயத்தொகுப்புகளைக் காணலாம். (8) இலிருந்து பெறப்பட்ட x0, V0, A மதிப்புகளின் கருதப்படும் அமைப்புக்கான Lagrange செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வேறுபாட்டின் அடையாளத்தைப் படிப்பதன் அடிப்படையில் நிபந்தனை உச்சநிலையின் இருப்பு மற்றும் தன்மை பற்றிய கேள்வி தீர்க்கப்படுகிறது. , பின்னர் புள்ளியில் (x0, V0) செயல்பாடு /(x, y ) ஒரு நிபந்தனை அதிகபட்சம்; d2F > 0 என்றால் - நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்சம். குறிப்பாக, ஒரு நிலையான புள்ளியில் (xo, J/o) F(x, y) செயல்பாட்டிற்கான D நிர்ணயிப்பான் நேர்மறையாக இருந்தால், புள்ளியில் (®o, V0) f(செயல்பாட்டின் நிபந்தனை அதிகபட்சம்) இருக்கும். x, y), செயல்பாட்டின் நிபந்தனை குறைந்தபட்சம் /(x, y), எடுத்துக்காட்டு என்றால். முந்தைய எடுத்துக்காட்டின் நிபந்தனைகளுக்கு மீண்டும் வருவோம்: x + y = 1 என்ற நிபந்தனையின் கீழ் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும். Lagrange பெருக்கி முறையைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்ப்போம். லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாடு இந்த வழக்கில்நிலையான புள்ளிகளைக் கண்டறிய, நாம் ஒரு அமைப்பை உருவாக்குகிறோம், கணினியின் முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளிலிருந்து, x = y ஐப் பெறுகிறோம். கணினியின் மூன்றாவது சமன்பாட்டிலிருந்து (இணைப்பு சமன்பாடு) x - y = j என்பது சாத்தியமான தீவிர புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் என்பதைக் காண்கிறோம். இந்த வழக்கில் (இது A = -1 என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. எனவே, Lagrange செயல்பாடு. செயல்பாட்டின் நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும் * = x2 + y2 நிபந்தனையின் கீழ் Lagrange செயல்பாட்டிற்கு நிபந்தனையற்ற உச்சநிலை இல்லை. P(x, y ) இன்னும் ஒரு இணைப்பு முன்னிலையில் செயல்பாடு /(x, y) ஒரு நிபந்தனை உச்சநிலை இல்லாத அர்த்தம் இல்லை எடுத்துக்காட்டு: y 4 நிபந்தனையின் கீழ் ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும் நாங்கள் Lagrange செயல்பாட்டை உருவாக்குகிறோம் மற்றும் ஒரு அமைப்பை எழுதுகிறோம் A மற்றும் சாத்தியமான உச்சநிலை புள்ளிகளின் ஆயங்களை தீர்மானித்தல்: முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளிலிருந்து நாம் x + y = 0 ஐப் பெறுகிறோம், மேலும் x = y = A = 0 என்ற கணினியை அடைகிறோம். எனவே, தொடர்புடைய Lagrange செயல்பாடு புள்ளியில் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. (0,0) செயல்பாடு F(x, y; 0) நிபந்தனையற்ற உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்கவில்லை, இருப்பினும், r = xy செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சம். y = x ஆக இருக்கும்போது, ​​". உண்மையில், இந்த வழக்கில் r = x2. புள்ளியில் (0,0) நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்சம் உள்ளது என்பது இங்கிருந்து தெளிவாகிறது. "லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கிகளின் முறையானது, எந்த எண்ணிக்கையிலான வாதங்களின் செயல்பாடுகளுக்கு மாற்றப்படுகிறது/ செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைப் பார்ப்போம். இணைப்பு சமன்பாடுகளின் முன்னிலையில், A|, Az,..., A„, காலவரையற்ற நிலையான காரணிகளாக இருக்கும் Lagrange செயல்பாட்டை உருவாக்கவும். F செயல்பாட்டின் அனைத்து முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து, அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடுகளுடன் இணைப்பு சமன்பாடுகளை (9) சேர்ப்பதன் மூலம், n + m சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம், அதில் இருந்து Ab A3|..., At மற்றும் x ஐ ஒருங்கிணைக்கிறது \) x2). நிபந்தனை உச்சநிலையின் சாத்தியமான புள்ளிகளின் xn. லாக்ரேஞ்ச் முறையைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்பட்ட புள்ளிகள் உண்மையில் நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலையின் புள்ளிகளா என்ற கேள்வி, உடல் அல்லது வடிவியல் தன்மையைக் கருத்தில் கொண்டு பெரும்பாலும் தீர்க்கப்படும். 15.3 தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் மிகப்பெரிய மற்றும் மிகச்சிறிய மதிப்புகள் z =/(x, y) செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும், சில மூடிய வரையறுக்கப்பட்ட டொமைனில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் D. தேற்றம் 3 மூலம், இந்த டொமைனில் ஒரு புள்ளி (xo, V0) இதில் செயல்பாடு மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பை எடுக்கும். புள்ளி (xo, y0) D டொமைனுக்குள் இருந்தால், செயல்பாடு / அதில் அதிகபட்சம் (குறைந்தபட்சம்) உள்ளது, எனவே இந்த விஷயத்தில் நமக்கு ஆர்வமுள்ள புள்ளி செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளிகளில் அடங்கியுள்ளது /(x, y). இருப்பினும், செயல்பாடு /(x, y) பிராந்தியத்தின் எல்லையில் அதன் மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பை அடையலாம். எனவே, வரம்பிற்குட்பட்ட z =/(x, y) செயல்பாட்டால் எடுக்கப்பட்ட மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பைக் கண்டறிய மூடிய பகுதி 2), இந்தப் பகுதிக்குள் அடையப்படும் செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச (குறைந்தபட்சம்) மதிப்பையும், இந்தப் பகுதியின் எல்லையில் உள்ள செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பையும் நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இந்த எண்கள் அனைத்திலும் மிகப்பெரிய (சிறியது) z =/(x,y) செயல்பாட்டின் விரும்பிய பெரிய (சிறிய) மதிப்பாக இருக்கும். இது 27வது பகுதியில் உள்ளது. வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டின் போது இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதைக் காண்பிப்போம். Prmmr. பகுதி 4 இன் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியவும். பகுதி D இன் உள்ளே செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளிகளைக் காண்கிறோம். இதைச் செய்ய, நாம் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குகிறோம். இங்கிருந்து நாம் x = y « 0 ஐப் பெறுகிறோம். புள்ளி 0 (0,0) என்பது x செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளியாகும். D பிராந்தியத்தின் Г எல்லையில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளை இப்போது கண்டுபிடிப்போம். எல்லையின் ஒரு பகுதியில் y = 0 என்பது ஒரு முக்கியமான புள்ளியாகும், மேலும் = பின்னர் இந்த கட்டத்தில் z செயல்பாடு உள்ளது. = 1 + y2 குறைந்தபட்சம் ஒன்றுக்கு சமமாக உள்ளது. பிரிவின் முனைகளில் Г", புள்ளிகளில் (, எங்களிடம் உள்ளது. சமச்சீர் பரிசீலனைகளைப் பயன்படுத்தி, எல்லையின் மற்ற பகுதிகளுக்கும் அதே முடிவுகளைப் பெறுகிறோம். இறுதியாகப் பெறுகிறோம்: மண்டலத்தில் z = x2+y2 செயல்பாட்டின் சிறிய மதிப்பு "B என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் மற்றும் இது உள் புள்ளி 0(0, 0) பகுதிகளில் அடையப்படுகிறது, மற்றும் மிக உயர்ந்த மதிப்புஇந்தச் செயல்பாட்டின், இரண்டுக்கு சமமானது, எல்லையின் நான்கு புள்ளிகளில் அடையப்படுகிறது (படம். 25) படம். 25 பயிற்சிகள் செயல்பாடுகளின் வரையறையின் களத்தைக் கண்டறியவும்: செயல்பாடுகளின் நிலைக் கோடுகளை உருவாக்கவும்: 9 செயல்பாடுகளின் நிலை மேற்பரப்புகளைக் கண்டறியவும் மூன்று சுயாதீன மாறிகள்: செயல்பாடுகளின் வரம்புகளைக் கணக்கிடுங்கள்: செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் அவற்றின் முழு வேறுபாடுகள் : சிக்கலான செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிக: 3 ஜே. பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீம் பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையின் கருத்து. ஒரு தீவிர நிலைக்கான தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகள் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகள் 34. இரண்டு மாறிகளின் சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல், கண்டறிதல் மற்றும் செயல்பாடுகள்: 35. ஒரு சிக்கலான வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு, கண்டுபிடி |J மற்றும் செயல்பாடுகள்: மறைமுகமாக கொடுக்கப்பட்ட jj செயல்பாடுகளை கண்டறிக: 40. x = 3 என்ற நேர்கோட்டுடன் குறுக்குவெட்டு புள்ளியில் தொடு வளைவின் கோண குணகத்தைக் கண்டறியவும். 41. தொடுகோடு இருக்கும் புள்ளிகளைக் கண்டறியவும் வளைவின் x ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது. . பின்வரும் சிக்கல்களில், கண்டுபிடி மற்றும் T: தொடுகோடு விமானம் மற்றும் மேற்பரப்பின் இயல்பான சமன்பாடுகளை எழுதவும்: 49. x2 + 2y2 + 3z2 = 21, x + 4y விமானத்திற்கு இணையாக மேற்பரப்பு x2 + 2y2 + 3z2 = 21 இன் தொடு விமானங்களின் சமன்பாடுகளை எழுதவும். + 6z = 0. டெய்லர் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி விரிவாக்கத்தின் முதல் மூன்று அல்லது நான்கு சொற்களைக் கண்டறியவும் : 50. y புள்ளியின் அருகாமையில் (0, 0). ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிரத்தின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, தீவிரத்திற்கான பின்வரும் செயல்பாடுகளை ஆராயவும் :). இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனைகளைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டின் உச்சநிலையை ஆராயவும்: 84. ஒரு மூடிய வட்டத்தில் z = x2 - y2 செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் 85. மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் செயல்பாட்டின் * = x2y(4-x-y) ஒரு முக்கோணத்தில் x = 0, y = 0, x + y = b. 88. மிகச்சிறிய மேற்பரப்பைக் கொண்ட ஒரு செவ்வக திறந்த குளத்தின் பரிமாணங்களைத் தீர்மானிக்கவும், அதன் அளவு V. 87க்கு சமமாக இருந்தால். மொத்த மேற்பரப்பு 5 கொடுக்கப்பட்ட அதிகபட்ச அளவைக் கொண்ட செவ்வக இணைக் குழாய்களின் பரிமாணங்களைக் கண்டறியவும். பதில்கள் 1. மற்றும் | ஒரு சதுரம் அதன் பக்கங்களை உள்ளடக்கிய x கோடு பிரிவுகளால் உருவாகிறது. 3. செறிவு வளையங்களின் குடும்பம் 2= 0,1,2,... .4. நேர் கோடுகளில் உள்ள புள்ளிகளைத் தவிர முழு விமானமும். பரவளையத்தின் மேலே அமைந்துள்ள விமானத்தின் ஒரு பகுதி y = -x?. 8. வட்டத்தின் புள்ளிகள் x. நேர் கோடுகளைத் தவிர முழுத் தளமும் x ரேடிகல் வெளிப்பாடு இரண்டு நிகழ்வுகளில் எதிர்மறையாக இல்லை j * ^ அல்லது j x ^ ^ இது முறையே எல்லையற்ற ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்குச் சமம். வரையறையின் களம் நிழல் சதுரங்கள் (படம் 26); l இது ஒரு எல்லையற்ற தொடருக்கு சமமான செயல்பாடு புள்ளிகளில் வரையறுக்கப்படுகிறது. a) நேர் கோட்டிற்கு இணையான நேரான கோடுகள் x b) மையத்துடன் கூடிய மைய வட்டங்கள். 10. a) பரவளையங்கள் y) பரவளையங்கள் y a) பரவளையங்கள் b) அதிபரவளைவுகள் | .விமானங்கள் xc. 13.Prime - Oz அச்சைச் சுற்றி சுழற்சியின் ஒற்றை-குழி ஹைப்பர்போலாய்டுகள்; Oz அச்சில் சுழற்சியின் இரண்டு-தாள் ஹைப்பர்போலாய்டுகள் இருக்கும் போது, ​​மேற்பரப்பின் இரண்டு குடும்பங்களும் ஒரு கூம்பு மூலம் பிரிக்கப்படுகின்றன; வரம்பு இல்லை, b) 0. 18. y = kxt ஐ அமைப்போம், பின்னர் z lim z = -2, எனவே புள்ளியில் (0,0) கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு வரம்பு இல்லை. 19. a) புள்ளி (0,0); b) புள்ளி (0,0). 20. அ) பிரேக் லைன் - வட்டம் x2 + y2 = 1; b) முறிவுக் கோடு y = x என்ற நேர் கோடு. 21. அ) பிரேக் கோடுகள் - ஆக்ஸ் மற்றும் ஓய் ஆய அச்சுகள்; b) 0 (வெற்று தொகுப்பு). 22. அனைத்து புள்ளிகளும் (m, n), எங்கே மற்றும் n ஆகியவை முழு எண்கள்