பல மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் தீவிரம். ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனை. ஒரு உச்சநிலைக்கு போதுமான நிலை. நிபந்தனை உச்சநிலை. லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி முறை. மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிதல்.

விரிவுரை 5.

வரையறை 5.1.புள்ளி M 0 (x 0, y 0)அழைக்கப்பட்டது அதிகபட்ச புள்ளிசெயல்பாடுகள் z = f (x, y),என்றால் f (x o, y o) > f(x,y)அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் (x, y) எம் 0.

வரையறை 5.2.புள்ளி M 0 (x 0, y 0)அழைக்கப்பட்டது குறைந்தபட்ச புள்ளிசெயல்பாடுகள் z = f (x, y),என்றால் f (x o, y o) < f(x,y)அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் (x, y)ஒரு புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறத்திலிருந்து எம் 0.

குறிப்பு 1. அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன தீவிர புள்ளிகள்பல மாறிகளின் செயல்பாடுகள்.

குறிப்பு 2. எந்த எண்ணிக்கையிலான மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கான தீவிர புள்ளியும் இதே வழியில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

தேற்றம் 5.1 (தேவையான நிபந்தனைகள்உச்சநிலை). என்றால் M 0 (x 0, y 0)- செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளி z = f (x, y),இந்த கட்டத்தில் இந்த செயல்பாட்டின் முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அல்லது இல்லை.

ஆதாரம்.

மாறியின் மதிப்பை சரி செய்வோம் மணிக்கு, எண்ணுதல் y = y 0. பின்னர் செயல்பாடு f (x, y 0)ஒரு மாறியின் செயல்பாடாக இருக்கும் எக்ஸ், எதற்காக x = x 0தீவிர புள்ளி ஆகும். எனவே, ஃபெர்மட்டின் தேற்றத்தால், அல்லது இல்லை. க்கு அதே அறிக்கை இதேபோல் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

வரையறை 5.3.செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அல்லது இல்லாத பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் களத்தைச் சேர்ந்த புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன. நிலையான புள்ளிகள்இந்த செயல்பாடு.

கருத்து. எனவே, உச்சநிலையை நிலையான புள்ளிகளில் மட்டுமே அடைய முடியும், ஆனால் அவை ஒவ்வொன்றிலும் அது கவனிக்கப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை.

தேற்றம் 5.2(ஒரு தீவிரத்திற்கு போதுமான நிபந்தனைகள்). புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறங்களில் இருக்கட்டும் M 0 (x 0, y 0), இது செயல்பாட்டின் ஒரு நிலையான புள்ளி z = f (x, y),இந்த செயல்பாடு 3வது வரிசையை உள்ளடக்கிய தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது. பின் குறிப்போம்:

1) f(x,y)புள்ளியில் உள்ளது எம் 0அதிகபட்சம் என்றால் ஏசி-பி² > 0, ஏ < 0;

2) f(x,y)புள்ளியில் உள்ளது எம் 0குறைந்தபட்சம் என்றால் ஏசி-பி² > 0, ஏ > 0;

3) முக்கிய புள்ளியில் உச்சநிலை இல்லை என்றால் ஏசி-பி² < 0;

4) என்றால் ஏசி-பி² = 0, மேலும் ஆராய்ச்சி தேவை.

ஆதாரம்.

செயல்பாட்டிற்கான இரண்டாவது வரிசை டெய்லர் சூத்திரத்தை எழுதுவோம் f(x,y),ஒரு நிலையான புள்ளியில் முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்பதை நினைவில் கொள்க:

எங்கே பிரிவுக்கு இடையே உள்ள கோணம் என்றால் எம் 0 எம், எங்கே எம் (x 0 +Δ x, y 0 +Δ மணிக்கு), மற்றும் O அச்சு எக்ஸ்φ ஐக் குறிக்கவும், பின்னர் Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y =Δρsinφ. இந்த வழக்கில், டெய்லரின் சூத்திரம் படிவத்தை எடுக்கும்: . நாம் பின்னர் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாட்டை வகுத்து பெருக்கலாம் ஏ. நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இப்போது நான்கைக் கருத்தில் கொள்வோம் சாத்தியமான வழக்குகள்:

1) ஏசி-பி² > 0, ஏ < 0. Тогда , и போதுமான அளவு சிறிய Δρ. எனவே, சில சுற்றுப்புறங்களில் M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0, y 0), அது எம் 0- அதிகபட்ச புள்ளி.

2) விடுங்கள் ஏசி-பி² > 0, A > 0.பிறகு , மற்றும் எம் 0- குறைந்தபட்ச புள்ளி.

3) விடுங்கள் ஏசி-பி² < 0, ஏ> 0. கதிர் φ = 0 உடன் வாதங்களின் அதிகரிப்பைக் கவனியுங்கள். பின்னர் (5.1) இலிருந்து அது பின்வருமாறு , அதாவது, இந்த கதிர் வழியாக நகரும் போது, ​​செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது. நாம் ஒரு கதிர் வழியாக நகர்ந்தால் அது போன்ற tg φ 0 = -A/B,அந்த , எனவே, இந்த கதிர் வழியாக நகரும் போது, ​​செயல்பாடு குறைகிறது. எனவே, காலம் எம் 0ஒரு தீவிர புள்ளி அல்ல.

3`) எப்போது ஏசி-பி² < 0, ஏ < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

முந்தையதைப் போன்றது.

3``) என்றால் ஏசி-பி² < 0, ஏ= 0, பின்னர். இதில் . பின்னர் போதுமான அளவு சிறிய φக்கு வெளிப்பாடு 2 பி cosφ + சி sinφ 2க்கு அருகில் உள்ளது IN, அதாவது, இது ஒரு நிலையான அடையாளத்தைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது, ஆனால் sinφ புள்ளியின் அருகில் அடையாளத்தை மாற்றுகிறது எம் 0.இதன் பொருள், செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு ஒரு நிலையான புள்ளியின் அருகே அடையாளத்தை மாற்றுகிறது, எனவே இது ஒரு தீவிர புள்ளி அல்ல.

4) என்றால் ஏசி-பி² = 0, மற்றும் , , அதாவது, அதிகரிப்பின் அடையாளம் 2α 0 இன் அடையாளத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அதே நேரத்தில், ஒரு தீவிரத்தின் இருப்பு பற்றிய கேள்வியை தெளிவுபடுத்துவதற்கு மேலும் ஆராய்ச்சி அவசியம்.

உதாரணமாக. செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம் z = x² - 2 xy + 2ஒய்² + 2 எக்ஸ்.நிலையான புள்ளிகளைக் கண்டறிய, நாங்கள் கணினியைத் தீர்க்கிறோம் . எனவே, நிலையான புள்ளி (-2,-1) ஆகும். இதில் ஏ = 2, IN = -2, உடன்= 4. பிறகு ஏசி-பி² = 4 > 0, எனவே, ஒரு நிலையான புள்ளியில் ஒரு உச்சநிலை அடையப்படுகிறது, அதாவது குறைந்தபட்சம் (இருந்து ஏ > 0).

வரையறை 5.4.செயல்பாடு வாதங்கள் என்றால் f (x 1 , x 2 ,…, x n)இணைக்கப்பட்டுள்ளது கூடுதல் நிபந்தனைகள்என மீசமன்பாடுகள் ( மீ< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0,…, φ மீ ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

செயல்பாடுகள் φ i தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்கள் உள்ளன, பின்னர் சமன்பாடுகள் (5.2) எனப்படும். இணைப்பு சமன்பாடுகள்.

வரையறை 5.5.செயல்பாட்டின் உச்சம் f (x 1 , x 2 ,…, x n)நிபந்தனைகள் (5.2) பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், அது அழைக்கப்படுகிறது நிபந்தனை உச்சநிலை.

கருத்து. இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சகட்டத்தின் பின்வரும் வடிவியல் விளக்கத்தை நாம் வழங்கலாம்: செயல்பாட்டின் வாதங்களை விடுங்கள் f(x,y)சமன்பாடு φ மூலம் தொடர்புடையது (x,y)= 0, O விமானத்தில் சில வளைவுகளை வரையறுக்கிறது xy. இந்த வளைவின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலிருந்தும் O விமானத்திற்கு செங்குத்தாக மறுகட்டமைத்தல் xyஅது மேற்பரப்புடன் வெட்டும் வரை z = f (x,y),φ வளைவுக்கு மேல் மேற்பரப்பில் இருக்கும் இடஞ்சார்ந்த வளைவைப் பெறுகிறோம் (x,y)= 0. இதன் விளைவாக வரும் வளைவின் தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்பதே பணியாகும், இது நிச்சயமாக, பொது வழக்குசெயல்பாட்டின் நிபந்தனையற்ற உச்சநிலை புள்ளிகளுடன் ஒத்துப்போவதில்லை f(x,y).

பின்வரும் வரையறையை முதலில் அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கான நிபந்தனை உச்சகட்டத்திற்கு தேவையான நிபந்தனைகளை தீர்மானிப்போம்:

வரையறை 5.6.செயல்பாடு L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

எங்கே λi -சில நிலையானவை, அழைக்கப்படுகின்றன லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாடு, மற்றும் எண்கள் λi– காலவரையற்ற லக்ரேஞ்ச் பெருக்கிகள்.

தேற்றம் 5.3(நிபந்தனைக்குரிய உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனைகள்). ஒரு செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சம் z = f (x, y)இணைத்தல் சமன்பாட்டின் முன்னிலையில் φ ( x, y)= 0 ஐ லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிகளில் மட்டுமே அடைய முடியும் L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

ஆதாரம். இணைத்தல் சமன்பாடு ஒரு மறைமுகமான உறவைக் குறிப்பிடுகிறது மணிக்குஇருந்து எக்ஸ், எனவே நாங்கள் அதைக் கருதுவோம் மணிக்குஇருந்து ஒரு செயல்பாடு உள்ளது எக்ஸ்: y = y(x).பிறகு zஇருந்து ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு உள்ளது எக்ஸ், மற்றும் அதன் முக்கியமான புள்ளிகள் நிபந்தனையால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன: . (5.4) இணைப்புச் சமன்பாட்டில் இருந்து அது பின்வருமாறு . (5.5)

சமத்துவத்தை (5.5) சில எண்ணால் λ பெருக்கி (5.4) உடன் கூட்டுவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

, அல்லது .

கடைசி சமத்துவம் நிலையான புள்ளிகளில் திருப்திப்படுத்தப்பட வேண்டும், அதில் இருந்து பின்வருமாறு:

(5.6)

மூன்று அறியப்படாதவற்றிற்கான மூன்று சமன்பாடுகளின் அமைப்பு பெறப்படுகிறது: x, yமற்றும் λ, மற்றும் முதல் இரண்டு சமன்பாடுகள் லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிக்கான நிபந்தனைகளாகும். கணினியிலிருந்து (5.6) துணை அறியப்படாத λ ஐ விலக்குவதன் மூலம், அசல் செயல்பாடு ஒரு நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்கும் புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிகிறோம்.

குறிப்பு 1. தேற்றம் 5.2 உடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம் லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டின் இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களைப் படிப்பதன் மூலம் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இடத்தில் ஒரு நிபந்தனை உச்சநிலை இருப்பதை சரிபார்க்கலாம்.

குறிப்பு 2. செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையை அடையக்கூடிய புள்ளிகள் f (x 1 , x 2 ,…, x n)நிபந்தனைகள் (5.2) பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், அமைப்பின் தீர்வுகள் என வரையறுக்கலாம் (5.7)

உதாரணமாக. செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கண்டுபிடிப்போம் z = xyஎன்று கொடுக்கப்பட்டது x + y= 1. Lagrange செயல்பாட்டை உருவாக்குவோம் L(x, y) = xy + λ (x + y – 1) அமைப்பு (5.6) இது போல் தெரிகிறது:

எங்கே -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5 இதில் L(x,y)வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம் L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0.5 ≤ 0.5, எனவே காணப்படும் நிலையான புள்ளியில் L(x,y)அதிகபட்சம் உள்ளது, மற்றும் z = xy -நிபந்தனை அதிகபட்சம்.

நிபந்தனை உச்சநிலை.

பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீமா

குறைந்த சதுர முறை.

FNP இன் உள்ளூர் உச்சநிலை

செயல்பாடு கொடுக்கப்படட்டும் மற்றும்= f(பி), РÎDÌR nமற்றும் புள்ளி P 0 ( ஏ 1 , ஏ 2 , ..., ஒரு ப) –உள்தொகுப்பு புள்ளி டி.

வரையறை 9.4.

1) புள்ளி P 0 அழைக்கப்படுகிறது அதிகபட்ச புள்ளி செயல்பாடுகள் மற்றும்= f(P), இந்தப் புள்ளியின் அருகில் U(P 0) М D இருந்தால் எந்தப் புள்ளிக்கும் P( எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ..., x n)O U(P 0), Р¹Р 0 , நிபந்தனை திருப்திகரமாக உள்ளது f(பி)£ f(பி 0) பொருள் f(P 0) அதிகபட்ச புள்ளியில் செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடு அதிகபட்சம் மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது f(P0) = அதிகபட்சம் f(பி)

2) புள்ளி P 0 அழைக்கப்படுகிறது குறைந்தபட்ச புள்ளி செயல்பாடுகள் மற்றும்= f(P), இந்தப் புள்ளியின் அருகில் U(P 0)Ì D இருந்தால் எந்தப் புள்ளிக்கும் P( எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ..., x n)OU(P 0), Р¹Р 0 , நிபந்தனை திருப்திகரமாக உள்ளது f(பி)³ f(பி 0) பொருள் f(P 0) குறைந்தபட்ச புள்ளியில் செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது குறைந்தபட்ச செயல்பாடு மற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது f(P 0) = நிமிடம் f(பி)

ஒரு செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன தீவிர புள்ளிகள், தீவிர புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன செயல்பாட்டின் தீவிரம்.

வரையறையிலிருந்து பின்வருமாறு, ஏற்றத்தாழ்வுகள் f(பி)£ f(பி 0), f(பி)³ f(P 0) P 0 புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் மட்டுமே திருப்தி அடைய வேண்டும், மேலும் செயல்பாட்டின் வரையறையின் முழு டொமைனில் அல்ல, அதாவது செயல்பாடு ஒரே வகையின் பல தீவிரங்களைக் கொண்டிருக்கலாம் (பல குறைந்தபட்சம், பல அதிகபட்சம்) . எனவே, மேலே வரையறுக்கப்பட்ட தீவிரம் அழைக்கப்படுகிறது உள்ளூர்(உள்ளூர்) உச்சநிலை.

தேற்றம் 9.1 (FNP இன் உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனை)

செயல்பாடு என்றால் மற்றும்= f(எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ..., x n) P 0 புள்ளியில் ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்டுள்ளது, பின்னர் இந்த கட்டத்தில் அதன் முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அல்லது இல்லை.

ஆதாரம்.புள்ளி P 0 ( ஏ 1 , ஏ 2 , ..., ஒரு ப) செயல்பாடு மற்றும்= f(பி) ஒரு உச்சநிலை உள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக, அதிகபட்சம். வாதங்களை சரி செய்வோம் எக்ஸ் 2 , ..., x n, போடுதல் எக்ஸ் 2 =ஏ 2 ,..., x n = ஒரு ப. பிறகு மற்றும்= f(பி) = f 1 ((எக்ஸ் 1 , ஏ 2 , ..., ஒரு ப) என்பது ஒரு மாறியின் செயல்பாடு எக்ஸ் 1 . இந்த செயல்பாடு இருப்பதால் எக்ஸ் 1 = ஏ 1 உச்சநிலை (அதிகபட்சம்), பின்னர் f 1 ¢=0 அல்லது எப்போது இல்லை எக்ஸ் 1 =ஏ 1 (ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலை இருப்பதற்கான அவசியமான நிபந்தனை). ஆனால், அதாவது P 0 - உச்ச புள்ளியில் இல்லை அல்லது இல்லை. இதேபோல், மற்ற மாறிகளைப் பொறுத்து பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கருத்தில் கொள்ளலாம். CTD.

முதல் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அல்லது இல்லாத செயல்பாட்டின் களத்தில் உள்ள புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன முக்கியமான புள்ளிகள் இந்த செயல்பாடு.

தேற்றம் 9.1 இலிருந்து பின்வருமாறு, FNP இன் தீவிர புள்ளிகள் செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளிகளில் தேடப்பட வேண்டும். ஆனால், ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டைப் பொறுத்தவரை, ஒவ்வொரு முக்கியமான புள்ளியும் ஒரு தீவிர புள்ளி அல்ல.

தேற்றம் 9.2 (FNP இன் உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனை)

செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளியாக P 0 இருக்கட்டும் மற்றும்= f(பி) மற்றும் இந்த செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு ஆகும். பிறகு

மற்றும் என்றால் ஈ 2 u(P 0) > 0 at , பின்னர் P 0 என்பது ஒரு புள்ளி குறைந்தபட்சம்செயல்பாடுகள் மற்றும்= f(பி);

b) என்றால் ஈ 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка அதிகபட்சம்செயல்பாடுகள் மற்றும்= f(பி);

c) என்றால் ஈ 2 u(P 0) அடையாளத்தால் வரையறுக்கப்படவில்லை, பின்னர் P 0 ஒரு தீவிர புள்ளி அல்ல;

இந்த தேற்றத்தை ஆதாரம் இல்லாமல் பரிசீலிப்போம்.

எப்போது என்பதை தேற்றம் கருத்தில் கொள்ளாது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் ஈ 2 u(P 0) = 0 அல்லது இல்லை. அத்தகைய நிலைமைகளின் கீழ் P 0 புள்ளியில் ஒரு தீவிரத்தின் இருப்பு பற்றிய கேள்வி திறந்தே உள்ளது - நமக்குத் தேவை கூடுதல் ஆராய்ச்சி, எடுத்துக்காட்டாக, இந்த கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைப் படிப்பது.

மேலும் விரிவான கணிதப் படிப்புகளில், குறிப்பாக செயல்பாட்டிற்கு இது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது z = f(எக்ஸ்,ஒய்) இரண்டு மாறிகளின், இரண்டாவது வரிசை வேறுபாடு படிவத்தின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்

முக்கியமான புள்ளி P 0 இல் ஒரு உச்சநிலை இருப்பதைப் பற்றிய ஆய்வு எளிமைப்படுத்தப்படலாம்.

குறிப்போம், , . ஒரு தீர்மானத்தை உருவாக்குவோம்

.

மாறிவிடும்:

ஈ 2 z P 0 புள்ளியில் > 0, அதாவது. பி 0 - குறைந்தபட்ச புள்ளி, என்றால் ஏ(P 0) > 0 மற்றும் D(P 0) > 0;

ஈ 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если ஏ(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

D(P 0) என்றால்< 0, то ஈ 2 zபுள்ளி P 0 க்கு அருகில் அது அடையாளத்தை மாற்றுகிறது மற்றும் புள்ளி P 0 இல் உச்சநிலை இல்லை;

D(Р 0) = 0 எனில், முக்கியமான புள்ளி Р 0 க்கு அருகில் உள்ள செயல்பாடு பற்றிய கூடுதல் ஆய்வுகளும் தேவை.

இவ்வாறு, விழாவிற்கு z = f(எக்ஸ்,ஒய்) இரண்டு மாறிகள் எங்களிடம் பின்வரும் அல்காரிதம் உள்ளது (அதை "அல்காரிதம் D" என்று அழைப்போம்) ஒரு தீவிரத்தை கண்டுபிடிப்பதற்கு:

1) வரையறையின் டொமைனைக் கண்டறியவும் D( f) செயல்பாடுகள்.

2) முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டறியவும், அதாவது. D(இலிருந்து புள்ளிகள்) f), இதற்கு மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் அல்லது இல்லை.

3) ஒவ்வொரு முக்கியமான புள்ளியில் P 0, உச்சநிலைக்கு போதுமான நிலைமைகளை சரிபார்க்கவும். இதைச் செய்ய, கண்டுபிடிக்கவும் , எங்கே , , மற்றும் D(P 0) மற்றும் கணக்கிடவும் ஏ(P 0).பின்:

D(P 0) >0 எனில், P 0 புள்ளியில் ஒரு தீவிரம் உள்ளது, மற்றும் என்றால் ஏ(P 0) > 0 – இது குறைந்தபட்சம், மற்றும் என்றால் ஏ(பி 0)< 0 – максимум;

D(P 0) என்றால்< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

D(P 0) = 0 எனில், கூடுதல் ஆராய்ச்சி தேவை.

4) கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீவிர புள்ளிகளில், செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1.

செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும் z = எக்ஸ் 3 + 8ஒய் 3 – 3xy .

தீர்வு.இந்த செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம் முழு ஒருங்கிணைப்பு விமானமாகும். முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

, , Þ பி 0 (0,0), .

உச்சநிலைக்கான போதுமான நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டுள்ளதா என்பதைச் சரிபார்ப்போம். நாம் கண்டுபிடிப்போம்

6எக்ஸ், = -3, = 48மணிக்குமற்றும் = 288xy – 9.

பின்னர் D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – புள்ளி Р 1 இல் ஒரு தீவிரம் உள்ளது, மேலும் ஏ(P 1) = 3 >0, இந்த உச்சநிலை குறைந்தபட்சம். எனவே நிமிடம் z=z(பி 1) = .

எடுத்துக்காட்டு 2.

செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு: டி( f) =ஆர் 2 . முக்கியமான புள்ளிகள்: ; எப்போது இல்லை மணிக்கு= 0, அதாவது P 0 (0,0) என்பது இந்த செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளியாகும்.

2, = 0, = , = , ஆனால் D(P 0) வரையறுக்கப்படவில்லை, எனவே அதன் அடையாளத்தைப் படிப்பது சாத்தியமற்றது.

அதே காரணத்திற்காக, தேற்றம் 9.2 ஐ நேரடியாகப் பயன்படுத்துவது சாத்தியமில்லை - ஈ 2 zஇந்த கட்டத்தில் இல்லை.

செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கருத்தில் கொள்வோம் f(எக்ஸ், ஒய்) புள்ளி P 0 இல். டி என்றால் f =f(பி) – f(P 0)>0 "P, பின்னர் P 0 என்பது குறைந்தபட்ச புள்ளி, ஆனால் D என்றால் f < 0, то Р 0 – точка максимума.

எங்கள் விஷயத்தில் எங்களிடம் உள்ளது

டி f = f(எக்ஸ், ஒய்) – f(0, 0) = f(0+D எக்ஸ்,0+D ஒய்) – f(0, 0) = .

டி இல் எக்ஸ்= 0.1 மற்றும் டி ஒய்= -0.008 நமக்கு D கிடைக்கும் f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dஎக்ஸ்= 0.1 மற்றும் டி ஒய்= 0.001 டி f= 0.01 + 0.1 > 0, அதாவது. புள்ளி P 0 க்கு அருகில் எந்த நிபந்தனையும் D திருப்தி அடையவில்லை f <0 (т.е. f(எக்ஸ், ஒய்) < f(0, 0) எனவே P 0 என்பது அதிகபட்ச புள்ளி அல்ல), அல்லது நிபந்தனை D அல்ல f>0 (அதாவது f(எக்ஸ், ஒய்) > f(0, 0) பின்னர் P 0 என்பது குறைந்தபட்ச புள்ளி அல்ல). இதன் பொருள், ஒரு தீவிரத்தின் வரையறையின்படி, இந்தச் செயல்பாட்டிற்கு உச்சநிலை இல்லை.

நிபந்தனை உச்சநிலை.

செயல்பாட்டின் கருதப்படும் உச்சநிலை அழைக்கப்படுகிறது நிபந்தனையற்ற, செயல்பாட்டு வாதங்களுக்கு எந்த கட்டுப்பாடுகளும் (நிபந்தனைகள்) விதிக்கப்படவில்லை என்பதால்.

வரையறை 9.2.செயல்பாட்டின் உச்சம் மற்றும் = f(எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ... , x n), அதன் வாதங்கள் நிபந்தனையின் கீழ் காணப்படுகின்றன எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ... , x nசமன்பாடுகள் j 1 ( எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ... , x n) = 0,…, ஜே டி(எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ... , x n) = 0, அங்கு பி ( எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ... , x n) ஓ டி( f), அழைக்கப்படுகிறது நிபந்தனை உச்சநிலை .

சமன்பாடுகள் ஜே கே(எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , ... , x n) = 0 , கே = 1, 2,..., மீ, அழைக்கப்படுகின்றன இணைப்பு சமன்பாடுகள்.

செயல்பாடுகளைப் பார்ப்போம் z = f(எக்ஸ்,ஒய்) இரண்டு மாறிகள். இணைப்பு சமன்பாடு ஒன்று என்றால், அதாவது. , பின்னர் நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலையைக் கண்டறிவது என்பது செயல்பாட்டின் வரையறையின் முழுக் களத்திலும் அல்ல, மாறாக D( D() இல் இருக்கும் சில வளைவில் தேடப்படுகிறது. f) (அதாவது, இது தேடப்படும் மேற்பரப்பின் மிக உயர்ந்த அல்லது குறைந்த புள்ளிகள் அல்ல z = f(எக்ஸ்,ஒய்), மற்றும் சிலிண்டருடன் இந்த மேற்பரப்பை வெட்டும் புள்ளிகளில் மிக உயர்ந்த அல்லது குறைந்த புள்ளிகள், படம் 5).

ஒரு செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சம் z = f(எக்ஸ்,ஒய்) இரண்டு மாறிகள் பின்வரும் வழியில் காணலாம் ( நீக்குதல் முறை) சமன்பாட்டிலிருந்து, மாறிகளில் ஒன்றை மற்றொன்றின் செயல்பாடாக வெளிப்படுத்தவும் (உதாரணமாக, எழுதவும்) மேலும், மாறியின் இந்த மதிப்பை செயல்பாட்டிற்குப் பதிலாக, பிந்தையதை ஒரு மாறியின் செயல்பாடாக எழுதவும் (கருத்தில் கருதப்படும் வழக்கில் ) ஒரு மாறியின் விளைவான செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும்.

வரையறை1: எந்தப் புள்ளிக்கும் ஒரு புள்ளியின் அக்கம் பக்கமாக இருந்தால், ஒரு செயல்பாடு ஒரு புள்ளியில் உள்ளூர் அதிகபட்சம் என்று கூறப்படுகிறது எம்ஒருங்கிணைப்புகளுடன் (x, y)சமத்துவமின்மை உள்ளது: . இந்த வழக்கில், அதாவது, செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு< 0.

வரையறை2: எந்தப் புள்ளிக்கும் அக்கம்பக்கமாக இருந்தால், ஒரு புள்ளியில் ஒரு லோக்கல் மினிமம் இருப்பதாகச் சொல்லப்படுகிறது எம்ஒருங்கிணைப்புகளுடன் (x, y)சமத்துவமின்மை உள்ளது: . இந்த வழக்கில், அதாவது, செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு > 0.

வரையறை 3: உள்ளூர் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன தீவிர புள்ளிகள்.

நிபந்தனை உச்சநிலைகள்

பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறியும் போது, ​​அடிக்கடி அழைக்கப்படுபவை தொடர்பான சிக்கல்கள் எழுகின்றன நிபந்தனை உச்சநிலை.இந்த கருத்தை இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி விளக்கலாம்.

ஒரு செயல்பாடு மற்றும் ஒரு வரி கொடுக்கப்பட வேண்டும் எல்மேற்பரப்பில் 0xy. வரியில் வருவதே பணி எல்அத்தகைய புள்ளியைக் கண்டறியவும் பி(x, y),இதில் ஒரு செயல்பாட்டின் மதிப்பு கோட்டில் உள்ள புள்ளிகளில் உள்ள இந்த செயல்பாட்டின் மதிப்புகளுடன் ஒப்பிடும்போது மிகப்பெரியது அல்லது சிறியது எல், புள்ளிக்கு அருகில் அமைந்துள்ளது பி. அத்தகைய புள்ளிகள் பிஅழைக்கப்படுகின்றன நிபந்தனை உச்சநிலை புள்ளிகள்வரியில் செயல்பாடுகள் எல். வழக்கமான உச்சநிலை புள்ளிக்கு மாறாக, நிபந்தனைக்குட்பட்ட தீவிர புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பு அதன் சுற்றுப்புறத்தின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் அல்ல, ஆனால் கோட்டில் உள்ளவற்றில் மட்டுமே செயல்பாட்டின் மதிப்புகளுடன் ஒப்பிடப்படுகிறது. எல்.

வழக்கமான உச்சநிலையின் புள்ளி என்பது முற்றிலும் தெளிவாக உள்ளது (அவர்களும் கூறுகிறார்கள் நிபந்தனையற்ற உச்சநிலை) இந்த புள்ளியின் வழியாக செல்லும் எந்தவொரு கோட்டிற்கும் ஒரு நிபந்தனை உச்சநிலை புள்ளியாகும். நிச்சயமாக, நேர்மாறானது உண்மையல்ல: நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலை புள்ளி சாதாரண உச்சநிலை புள்ளியாக இருக்காது. நான் சொன்னதை ஒரு எளிய உதாரணத்துடன் விளக்குகிறேன். செயல்பாட்டின் வரைபடம் மேல் அரைக்கோளம் (இணைப்பு 3 (படம் 3)).

இந்தச் செயல்பாட்டின் தோற்றத்தில் அதிகபட்சம் உள்ளது; உச்சி அதை ஒத்துள்ளது எம்அரைக்கோளங்கள். வரி என்றால் எல்புள்ளிகள் வழியாக ஒரு கோடு உள்ளது ஏமற்றும் IN(அவள் சமன்பாடு x+y-1=0), இந்த வரியின் புள்ளிகளுக்கு அது வடிவியல் தெளிவாக உள்ளது மிக உயர்ந்த மதிப்புபுள்ளிகளுக்கு இடையில் நடுவில் அமைந்துள்ள ஒரு புள்ளியில் செயல்பாடு அடையப்படுகிறது ஏமற்றும் INஇது இந்த வரியில் செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலை (அதிகபட்சம்) புள்ளி; இது அரைக்கோளத்தில் உள்ள புள்ளி M 1 க்கு ஒத்திருக்கிறது, மேலும் இங்கே எந்த சாதாரண உச்சநிலையையும் பற்றி பேச முடியாது என்பது படத்தில் இருந்து தெளிவாகிறது.

ஒரு மூடிய பகுதியில் ஒரு செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கலின் இறுதிப் பகுதியில், இந்த மண்டலத்தின் எல்லையில் செயல்பாட்டின் தீவிர மதிப்புகளைக் கண்டறிய வேண்டும், அதாவது. சில வரியில், மற்றும் அதன் மூலம் நிபந்தனை தீவிர பிரச்சனையை தீர்க்கவும்.

x மற்றும் y ஆகிய மாறிகள் சமன்பாட்டால் (x, y) = 0 தொடர்புடையதாக இருந்தால், Z= f(x, y) செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலைப் புள்ளிகளுக்கான நடைமுறைத் தேடலுக்குச் செல்வோம். இணைப்பு சமன்பாடு. இணைக்கும் சமன்பாட்டிலிருந்து y ஐ x: y=(x) அடிப்படையில் வெளிப்படையாக வெளிப்படுத்தினால், Z= f(x, (x)) = Ф(x) என்ற ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டைப் பெறுவோம்.

இந்த செயல்பாடு ஒரு உச்சநிலையை அடையும் x மதிப்பைக் கண்டறிந்து, பின்னர் இணைப்பு சமன்பாட்டிலிருந்து தொடர்புடைய y மதிப்புகளைத் தீர்மானித்த பிறகு, நிபந்தனை உச்சத்தின் விரும்பிய புள்ளிகளைப் பெறுகிறோம்.

எனவே, மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், x+y-1=0 என்ற உறவுச் சமன்பாட்டிலிருந்து y=1-x உள்ளது. இங்கிருந்து

z அதன் அதிகபட்சத்தை x = 0.5 இல் அடைகிறதா என்பதைச் சரிபார்ப்பது எளிது; ஆனால் பின்னர் இணைப்பு சமன்பாட்டிலிருந்து y = 0.5, மற்றும் வடிவியல் பரிசீலனைகளிலிருந்து கண்டுபிடிக்கப்பட்ட புள்ளி P ஐப் பெறுகிறோம்.

இணைப்புச் சமன்பாட்டைக் குறிப்பிடும்போது கூட நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலையின் சிக்கல் மிக எளிதாக தீர்க்கப்படுகிறது அளவுரு சமன்பாடுகள் x=x(t), y=y(t). x மற்றும் y க்கான வெளிப்பாடுகளை மாற்றுதல் இந்த செயல்பாடு, நாம் மீண்டும் ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கலுக்கு வருகிறோம்.

இணைத்தல் சமன்பாடு அதிகமாக இருந்தால் சிக்கலான தோற்றம்மேலும் ஒரு மாறியை மற்றொன்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படையாக வெளிப்படுத்தவோ அல்லது அதை அளவுரு சமன்பாடுகளுடன் மாற்றவோ முடியாது, பின்னர் நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலையைக் கண்டறியும் பணி மிகவும் கடினமாகிறது. z= f(x, y) செயல்பாட்டின் வெளிப்பாட்டில் மாறி (x, y) = 0. z= f(x, y) செயல்பாட்டின் மொத்த வழித்தோன்றல் இதற்கு சமம்:

மறைமுகச் செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் விதியைப் பயன்படுத்தி y` என்ற வழித்தோன்றல் கண்டறியப்பட்டது. நிபந்தனை உச்சநிலையின் புள்ளிகளில், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மொத்த வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்; இது x மற்றும் y தொடர்பான ஒரு சமன்பாட்டை வழங்குகிறது. அவை இணைத்தல் சமன்பாட்டையும் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும் என்பதால், இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்.

முதல் சமன்பாட்டை விகிதாச்சார வடிவில் எழுதி புதிய துணை தெரியாத ஒன்றை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் இந்த அமைப்பை மிகவும் வசதியானதாக மாற்றுவோம்:

(முன் மைனஸ் அடையாளம் வசதிக்காக). இந்த சமத்துவங்களிலிருந்து பின்வரும் அமைப்புக்கு செல்வது எளிது:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

இது, இணைப்பு சமன்பாடு (x, y) = 0 உடன் சேர்ந்து, தெரியாத x, y மற்றும் மூன்று சமன்பாடுகளின் அமைப்பை உருவாக்குகிறது.

இந்த சமன்பாடுகள் (*) பின்வரும் விதியைப் பயன்படுத்தி நினைவில் கொள்வது எளிது: செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சத்தின் புள்ளிகளாக இருக்கக்கூடிய புள்ளிகளைக் கண்டறிய

Z= f(x, y) இணைப்புச் சமன்பாட்டுடன் (x, y) = 0, நீங்கள் ஒரு துணைச் செயல்பாட்டை உருவாக்க வேண்டும்

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

சில மாறிலி எங்கே, மற்றும் இந்த செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டறிய சமன்பாடுகளை உருவாக்கவும்.

சமன்பாடுகளின் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட அமைப்பு, ஒரு விதியாக, தேவையான நிபந்தனைகளை மட்டுமே வழங்குகிறது, அதாவது. இந்த அமைப்பை திருப்திப்படுத்தும் ஒவ்வொரு ஜோடி மதிப்புகள் x மற்றும் y ஆகியவை நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலை புள்ளியாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. நிபந்தனை உச்சநிலையின் புள்ளிகளுக்கு நான் போதுமான நிபந்தனைகளை வழங்க மாட்டேன்; பெரும்பாலும் சிக்கலின் குறிப்பிட்ட உள்ளடக்கம் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட புள்ளி என்ன என்பதைக் குறிக்கிறது. நிபந்தனை உச்சநிலையில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான விவரிக்கப்பட்ட நுட்பம் லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

z - /(x, y) செயல்பாடு சில டொமைன் D இல் வரையறுக்கப்பட்டு, Mo(xo, Vo) இந்த டொமைனின் உள் புள்ளியாக இருக்கட்டும். வரையறை. அனைத்து நிபந்தனைகளையும் பூர்த்தி செய்யும் சமத்துவமின்மை உண்மையாக இருக்கும் ஒரு எண் இருந்தால், Mo(xo, y) புள்ளியானது f(x, y) செயல்பாட்டின் உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது; அனைத்து Dx, Du, நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்தால் | பின்னர் புள்ளி Mo(xo,yo) மெல்லிய உள்ளூர் குறைந்தபட்சம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், புள்ளி M0(x0, y0) என்பது F(x, y) செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும் அக்கம் பக்கத்தில் உள்ள இதன் புள்ளிகள் M(x, y), செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு அதன் அடையாளத்தை பராமரிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டுகள். 1. செயல்பாட்டு புள்ளிக்கு - குறைந்தபட்ச புள்ளி (படம் 17). 2. செயல்பாட்டிற்கு, புள்ளி 0(0,0) என்பது அதிகபட்ச புள்ளி (படம் 18). 3. ஒரு செயல்பாட்டிற்கு, புள்ளி 0(0,0) என்பது உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளியாகும். 4 உண்மையில், புள்ளி 0(0, 0) க்கு அருகில் உள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக, j ஆரம் வட்டம் (படம் 19 ஐப் பார்க்கவும்), எந்த புள்ளியிலும், புள்ளி 0(0,0) இலிருந்து வேறுபட்டது. செயல்பாட்டின் மதிப்பு /(x,y) 1 க்கும் குறைவானது = கடுமையான சமத்துவமின்மை அல்லது கடுமையான சமத்துவமின்மை அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் M(x) y) திருப்தி அளிக்கும் போது கடுமையான அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச செயல்பாடுகளின் புள்ளிகளை மட்டுமே நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம். புள்ளி Mq. அதிகபட்ச புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பு அதிகபட்சம் என்றும், குறைந்தபட்ச புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பு இந்த செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் அதன் தீவிரம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. தேற்றம் 11 (ஒரு தீவிரத்திற்கு தேவையான நிபந்தனை). எக்ஸ்ட்ரீம் செயல்பாடு என்றால் பல செயல்பாடுகள் மாறிகள் கருத்துபல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சம். ஒரு தீவிர நிலைக்கான தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகள் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் மிகப்பெரிய மற்றும் மிகச்சிறிய மதிப்புகள் புள்ளியில் ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்டுள்ளன, பின்னர் இந்த கட்டத்தில் ஒவ்வொரு பகுதி வழித்தோன்றலும் மறைந்துவிடும் அல்லது இல்லை. புள்ளியில் M0(x0, yо) செயல்பாடு z = f(x) y) ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்கட்டும். y என்ற மாறிக்கு யோ மதிப்பைக் கொடுப்போம். பின்னர் z = /(x, y) சார்பு x ஒரு மாறியின் செயல்பாடாக இருக்கும், ஏனெனில் x = xo இல் அது ஒரு தீவிரத்தை (அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம், படம் 20), பின்னர் x = “o, | (*o,l>)" பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் அல்லது இல்லை. அதேபோல், பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் அல்லது இல்லை என்று நாங்கள் உறுதியாக நம்புகிறோம். = 0 மற்றும் χ = 0 அல்லது இல்லாத புள்ளிகள் முக்கியமானவை எனப்படும். செயல்பாட்டின் புள்ளிகள் z = Dx, y). 20 வழித்தோன்றல்கள் ஸ்ட்ரம் இன் இம்வாட்டில் மெல்லியதாக இருக்கும், இது 0(0,0) புள்ளியில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் M(x,y) புள்ளிகளில் நேர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கும். தன்னிச்சையாக புள்ளி 0(0,0) க்கு அருகில், மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புகள் அதனால் புள்ளிகளில் (0, y) தன்னிச்சையாக சிறிய புள்ளி 0 (0,0) ஒரு மினிமேக்ஸ் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. படம் 21) இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கான போதுமான நிபந்தனைகள் பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன (இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனைகள்) ஒரு நிலையான புள்ளியாக இருக்கட்டும் செயல்பாட்டின் f(x, y), மற்றும் புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறங்களில், மோ புள்ளி உட்பட, செயல்பாடு /(r, y ) இரண்டாவது வரிசையை உள்ளடக்கிய தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது. பிறகு". Mo(xo, V0) என்ற புள்ளியில் D(xo, yo) எனில் /(xo, y) சார்புக்கு உச்சநிலை இல்லை.< 0. Если же то в точке Мо(жо>f(x, y) செயல்பாட்டின் உச்சம் இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம். இந்த வழக்கில், கூடுதல் ஆராய்ச்சி தேவை. m தேற்றத்தின் 1) மற்றும் 2) அறிக்கைகளை நிரூபிப்பதில் நம்மை கட்டுப்படுத்துகிறோம். செயல்பாட்டிற்கான இரண்டாம்-வரிசை டெய்லர் சூத்திரத்தை எழுதுவோம் /(i, y): எங்கே. நிபந்தனையின் படி, அதிகரிப்பு D/ இன் அடையாளம் (1) இன் வலது பக்கத்தில் உள்ள முக்கோணத்தின் அடையாளத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதைக் காணலாம், அதாவது, இரண்டாவது வேறுபாடு d2f இன் அடையாளம். சுருக்கமாக அதைக் குறிக்கலாம். பின்னர் சமத்துவம் (எல்) பின்வருமாறு எழுதலாம்: எம்க்யூ(அதனால், வி0) என்ற புள்ளியில் இருக்கட்டும்... நிபந்தனையின்படி, f(s, y) செயல்பாட்டின் இரண்டாம்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் தொடர்ச்சியாக இருப்பதால், பின்னர் சமத்துவமின்மை (3) M0(s0,yo) புள்ளியின் சில பகுதிகளிலும் இருக்கும். நிபந்தனை திருப்தி அடைந்தால் (புள்ளி А/0, மற்றும் தொடர்ச்சியின் காரணமாக, வழித்தோன்றல் /,z(s,y) Af0 புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் அதன் அடையாளத்தைத் தக்க வைத்துக் கொள்ளும். А Ф 0, M0(x0) y0 என்ற புள்ளியின் சில பகுதியில் ЛС - В2 > 0 எனில், AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 என்ற முக்கோணத்தின் அடையாளம் புள்ளியில் உள்ள A இன் அடையாளத்துடன் ஒத்துப்போகிறது என்பது இதிலிருந்து தெளிவாகிறது. (எனவே, V0) (ஏசி - B2 > 0 A மற்றும் C க்கு வெவ்வேறு அடையாளங்கள் இருக்க முடியாது என்பதால், C இன் அடையாளத்துடன்). புள்ளியில் உள்ள AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 தொகையின் குறி (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) வேறுபாட்டின் அடையாளத்தைத் தீர்மானிப்பதால், பின்வரும் முடிவுக்கு வருகிறோம்: செயல்பாட்டிற்கு என்றால் /(s,y) நிலையான புள்ளி (s0, V0) நிலை, பின்னர் போதுமான அளவு சிறிய || சமத்துவமின்மை திருப்தி அடையும். எனவே, புள்ளியில் (சதுர, V0) செயல்பாடு /(s, y) அதிகபட்சம். நிலையான புள்ளியில் (s0, y0) நிபந்தனை திருப்தி அடைந்தால், போதுமான அளவு சிறிய அனைத்துக்கும் |Dr| மற்றும் |டு| சமத்துவமின்மை உண்மை, அதாவது புள்ளியில் (அதனால்,யோ) செயல்பாடு /(கள், y) குறைந்தபட்சம் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டுகள். 1. எக்ஸ்ட்ரம்மிற்கான செயல்பாட்டை ஆராய்தல் 4 ஒரு முனைக்கு தேவையான நிபந்தனைகளைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிகளைத் தேடுகிறோம். இதைச் செய்ய, u என்ற பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிந்து அவற்றை பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமன் செய்கிறோம். சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எங்கிருந்து பெறுகிறோம் - ஒரு நிலையான புள்ளி. இப்போது தேற்றம் 12 ஐப் பயன்படுத்துவோம். இதன் பொருள் Ml புள்ளியில் ஒரு உச்சநிலை உள்ளது. ஏனெனில் இது குறைந்தபட்சம். ஜி செயல்பாட்டை வடிவத்திற்கு மாற்றினால், அதைப் பார்ப்பது எளிது வலது பகுதிஇந்தச் செயல்பாட்டின் முழுமையான குறைந்தபட்சமாக இருக்கும்போது (") குறைவாக இருக்கும். 2. செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிகளை ஆய்வு செய்கிறோம், அதற்காக நாம் ஒரு சமன்பாடுகளை உருவாக்குகிறோம், எனவே புள்ளி நிலையானது. தேற்றம் 12ன் படி, M புள்ளியில் உச்சநிலை இல்லை. * 3. செயல்பாட்டின் உச்சநிலையை ஆராய்ந்து, செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளிகளைக் கண்டறியவும். சமன்பாடுகளின் அமைப்பிலிருந்து நாம் அதைப் பெறுகிறோம், எனவே புள்ளி நிலையானது. அடுத்ததாக, தேற்றம் 12 ஒரு தீவிரத்தின் இருப்பு அல்லது இல்லாமை பற்றிய கேள்விக்கு பதிலளிக்கவில்லை. இப்படிச் செய்வோம். புள்ளியில் இருந்து வேறுபட்ட அனைத்து புள்ளிகளையும் பற்றிய ஒரு செயல்பாட்டிற்கு, வரையறையின்படி, மற்றும் புள்ளி A/o(0,0) r சார்பு ஒரு முழுமையான குறைந்தபட்சத்தைக் கொண்டுள்ளது. இதேபோன்ற கணக்கீடுகளின் மூலம், செயல்பாடு புள்ளியில் அதிகபட்சமாக உள்ளது என்பதை நிறுவுகிறோம், ஆனால் செயல்பாடு புள்ளியில் ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்கவில்லை. n சார்பற்ற மாறிகளின் சார்பு ஒரு புள்ளியில் வேறுபடக்கூடியதாக இருக்கட்டும், தேற்றம் 13 (ஒரு முனைக்கு போதுமான நிபந்தனைகள் வரை) செயல்பாட்டின் நிலையான புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு, ஃபைன் Mt(xi...) இன் சில சுற்றுப்புறங்களில் இரண்டாவது வரிசையின் தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்கட்டும், இது இருபடி வடிவம் (ஃபைனில் f செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வேறுபாடு நேர்மறையாக இருந்தால் நிலையான நேர்த்தியான செயல்பாடாகும். definite (negative definite), f செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளி (முறையே, நுண்ணிய அதிகபட்சம்) சரியாக இருந்தால், இருபடி வடிவம் (4) மாற்றாக இருந்தால், LG0 இல் உச்சநிலை இல்லை இருபடி வடிவம் (4) நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை திட்டவட்டமானது, எடுத்துக்காட்டாக, நாம் இதுவரை தேடிக்கொண்டிருக்கும் இருபடி வடிவத்தின் சில்வெஸ்டர் அளவுகோலைப் பயன்படுத்தலாம் உள்ளூர் உச்சநிலைகள் செயல்பாட்டின் வாதங்கள் எந்த கூடுதல் நிபந்தனைகளாலும் பிணைக்கப்படாதபோது, ​​அதன் வரையறையின் முழு களத்திலும் ஒரு செயல்பாடு. இத்தகைய தீவிரம் நிபந்தனையற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், நிபந்தனையின் தீவிரம் என்று அழைக்கப்படுவதைக் கண்டுபிடிப்பதில் அடிக்கடி சிக்கல்கள் உள்ளன. z =/(x, y) சார்பு D டொமைனில் வரையறுக்கப்படட்டும். இந்த டொமைனில் L ஒரு வளைவு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் f(x> y) செயல்பாட்டின் தீவிரத்தை மட்டுமே நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். வளைவு L இன் புள்ளிகளுடன் ஒத்திருக்கும் அதன் மதிப்புகளின் மதிப்புகள் L. வளைவில் L , F(x, y) சார்பு, M (s, y) y) வளைவு L அனைத்து புள்ளிகளிலும் சமத்துவமின்மை திருப்தி அடைந்தால், M0(x0, V0) மற்றும் வேறுபட்ட புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்தது என்றால், நிபந்தனைக்குட்பட்ட அதிகபட்சம் (குறைந்தபட்சம்) இருக்கும். புள்ளியில் இருந்து M0 (எல் வளைவு ஒரு சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்டால், வளைவில் r - f(x,y) செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கண்டறிவதில் சிக்கல்! பின்வருமாறு உருவாக்கலாம்: x செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறியவும் = /(z, y) பகுதியில் D, இவ்வாறு, z = y செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கண்டறியும் போது, ​​காட்டெருமையின் வாதங்களை இனி சுயாதீன மாறிகளாகக் கருத முடியாது: அவை ஒன்றோடொன்று தொடர்புடையவை தொடர்பு y) = 0, இது இணைப்பு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. நிபந்தனையற்ற மற்றும் நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலைக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை தெளிவுபடுத்த, செயல்பாட்டின் நிபந்தனையற்ற அதிகபட்சம் (படம் 23) ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும் மற்றும் புள்ளியில் (0,0) அடையப்படும் ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். இது Pvvboloid இன் முனைக்கு ஒத்திருக்கிறது - y = j என்ற இணைப்புச் சமன்பாட்டைச் சேர்ப்போம். பின்னர் நிபந்தனைக்குட்பட்ட அதிகபட்சம் வெளிப்படையாக சமமாக இருக்கும், இது புள்ளியில் (o,|) அடையும், மேலும் இது பந்தின் உச்சிக்கு ஒத்திருக்கிறது, இது y = j உடன் பந்தின் வெட்டும் கோடு. நிபந்தனையற்ற mvximum விஷயத்தில், மேற்பரப்பில் * = 1 - l;2 ~ y1 அனைத்து vpplicvt க்கும் ஒரு mvximum பயன்பாடு உள்ளது; summvv நிபந்தனை - pvraboloidv இன் அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் இடையில் மட்டுமே, xOy விமானத்தின் y = j என்ற நேர்கோட்டின் புள்ளி * உடன் தொடர்புடையது. இருப்பு மற்றும் இணைப்பில் ஒரு செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சநிலையைக் கண்டறிவதற்கான முறைகளில் ஒன்று பின்வருமாறு. இணைப்புச் சமன்பாடு y) - O ஆனது y வாதத்தின் தனித்துவமான வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடாக வரையறுக்கிறது x: செயல்பாட்டில் y க்கு பதிலாக ஒரு செயல்பாட்டை மாற்றினால், இணைப்பு நிலை ஏற்கனவே கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட ஒரு வாதத்தின் செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம். செயல்பாட்டின் (நிபந்தனையற்ற) உச்சநிலையானது விரும்பிய நிபந்தனை உச்சம் ஆகும். உதாரணமாக. பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீம் நிபந்தனையின் கீழ் ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும் பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சத்தின் கருத்து. ஒரு தீவிர நிலைக்கான தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகள் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகள் A இணைப்பு சமன்பாட்டிலிருந்து (2") y = 1-x ஐக் காண்கிறோம். இந்த மதிப்பை y ஐ (V) மாற்றினால், ஒரு வாதம் x இன் செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: அதை உச்சநிலைக்கு ஆராய்வோம்: எங்கிருந்து x = 1 என்பது முக்கியமான புள்ளி; , இது r செயல்பாட்டின் நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்சத்தை வழங்குகிறது (படம் 24). லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி முறை எனப்படும் நிபந்தனைக்குட்பட்ட தீவிர சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான மற்றொரு வழியைக் குறிப்பிடுவோம். ஒரு இணைப்பின் முன்னிலையில் ஒரு செயல்பாட்டின் ஒரு நிபந்தனையான உச்சநிலை புள்ளி இருக்கட்டும், xx என்ற புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் இணைப்புச் சமன்பாடு ஒரு தனித்துவமான தொடர்ச்சியான வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். xq புள்ளியில் /(r, ip(x)) செயல்பாட்டின் x தொடர்பான வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும் அல்லது இதற்குச் சமமான f(x, y) இன் வேறுபாடு புள்ளி Mo" O பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்க வேண்டும் ) நம்மிடம் உள்ள இணைப்புச் சமன்பாட்டிலிருந்து (5) கடைசி சமத்துவத்தை இன்னும் தீர்மானிக்கப்படாத எண் காரணி A ஆல் பெருக்குவது மற்றும் காலத்தின் மூலம் சமத்துவத்துடன் காலத்தைச் சேர்ப்பது (4), நாம் பெறுவோம் (நாம் கருதுகிறோம் பின்னர், dx இன் தன்னிச்சையான தன்மையின் காரணமாக, நாம் சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம் (6) மற்றும் (7) ஒரு செயல்பாட்டின் ஒரு கட்டத்தில் நிபந்தனையற்ற உச்சநிலைப் புள்ளியை வெளிப்படுத்துகிறோம் செயல்பாடு /(x, y), லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டின் ஒரு நிலையான புள்ளியாக இருந்தால், ஒரு குறிப்பிட்ட எண் குணகம் இங்கிருந்து நாம் ஒரு விதியைப் பெறுகிறோம் இணைப்பின் முன்னிலையில் செயல்பாட்டு தீவிரம்: 1) லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டை உருவாக்குகிறோம், 2) இந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் U ஐ பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து, அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடுகளுடன் இணைப்பு சமன்பாட்டைச் சேர்ப்பதன் மூலம், மூன்று சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம். A இன் மதிப்புகள் மற்றும் ஆயத்தொலைவுகள் x, y சாத்தியமான தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டறியவும். (8) இலிருந்து பெறப்பட்ட x0, V0, A மதிப்புகளின் கருதப்படும் அமைப்புக்கான Lagrange செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வேறுபாட்டின் அடையாளத்தைப் படிப்பதன் அடிப்படையில் நிபந்தனை உச்சநிலையின் இருப்பு மற்றும் தன்மை பற்றிய கேள்வி தீர்க்கப்படுகிறது. , பின்னர் புள்ளியில் (x0, V0) செயல்பாடு /(x, y ) ஒரு நிபந்தனை அதிகபட்சம்; d2F > 0 என்றால் - நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்சம். குறிப்பாக, ஒரு நிலையான புள்ளியில் (xo, J/o) F(x, y) செயல்பாட்டிற்கான D நிர்ணயிப்பான் நேர்மறையாக இருந்தால், புள்ளியில் (®o, V0) f(செயல்பாட்டின் நிபந்தனை அதிகபட்சம்) இருக்கும். x, y), செயல்பாட்டின் நிபந்தனை குறைந்தபட்சம் /(x, y), எடுத்துக்காட்டு என்றால். முந்தைய எடுத்துக்காட்டின் நிபந்தனைகளுக்கு மீண்டும் வருவோம்: x + y = 1 என்ற நிபந்தனையின் கீழ் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும். Lagrange பெருக்கி முறையைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்ப்போம். லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாடு இந்த வழக்கில் நிலையான புள்ளிகளைக் கண்டறிய, கணினியின் முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளிலிருந்து x = y ஐப் பெறுகிறோம். கணினியின் மூன்றாவது சமன்பாட்டிலிருந்து (இணைப்பு சமன்பாடு) x - y = j என்பது சாத்தியமான தீவிர புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் என்பதைக் காண்கிறோம். இந்த வழக்கில் (இது A = -1 என்று குறிப்பிடப்படுகிறது. எனவே, Lagrange செயல்பாடு. செயல்பாட்டின் நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும் * = x2 + y2 நிபந்தனையின் கீழ் Lagrange செயல்பாட்டிற்கு நிபந்தனையற்ற உச்சநிலை இல்லை. P(x, y ) ஒரு இணைப்பு முன்னிலையில் செயல்பாடு /(x, y) ஒரு நிபந்தனை உச்சநிலை இல்லாததை இன்னும் அர்த்தப்படுத்துவதில்லை எடுத்துக்காட்டு y 4 நிபந்தனையின் கீழ் ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும், நாங்கள் லாக்ரேஞ்ச் செயல்பாட்டை உருவாக்குகிறோம் மற்றும் ஒரு அமைப்பை எழுதுகிறோம். A மற்றும் சாத்தியமான உச்சநிலை புள்ளிகளின் ஆயங்களை தீர்மானித்தல்: முதல் இரண்டு சமன்பாடுகளிலிருந்து நாம் x + y = 0 ஐப் பெறுகிறோம், மேலும் x = y = A = 0 என்ற அமைப்பிற்கு வருகிறோம். எனவே, தொடர்புடைய Lagrange செயல்பாடு புள்ளியில் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. (0,0), F(x, y; 0) ஆனது நிபந்தனையற்ற உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்கவில்லை, ஆனால் y = x இல் இருந்து r = x2 என்ற செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உள்ளது புள்ளியில் (0,0) நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்சம் உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது "லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கிகளின் முறையானது எந்த எண்ணிக்கையிலான வாதங்களின் செயல்பாடுகளுக்கு மாற்றப்படுகிறது. முன்னிலையில் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைப் பார்ப்போம். இணைப்பு சமன்பாடுகள் A|, Az,..., A„, காலவரையற்ற நிலையான காரணிகளாக இருக்கும் Lagrange செயல்பாட்டை உருவாக்குவோம். F செயல்பாட்டின் அனைத்து முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து, அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடுகளுடன் இணைப்பு சமன்பாடுகளை (9) சேர்ப்பதன் மூலம், n + m சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம், அதில் இருந்து Ab A3|..., At மற்றும் x ஐ ஒருங்கிணைக்கிறது \) x2). நிபந்தனை உச்சநிலையின் சாத்தியமான புள்ளிகளின் xn. லாக்ரேஞ்ச் முறையைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்பட்ட புள்ளிகள் உண்மையில் நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலையின் புள்ளிகளா என்ற கேள்வி, உடல் அல்லது வடிவியல் தன்மையைக் கருத்தில் கொண்டு பெரும்பாலும் தீர்க்கப்படும். 15.3. தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் மிகப்பெரிய மற்றும் மிகச்சிறிய மதிப்புகள் z =/(x, y) செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும், சில மூடிய வரையறுக்கப்பட்ட டொமைனில் தொடர்ச்சியானது D. தேற்றம் 3 மூலம், இந்த டொமைனில் உள்ளது ஒரு புள்ளி (xo, V0) இதில் செயல்பாடு மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பை எடுக்கும். புள்ளி (xo, y0) D பகுதிக்குள் இருந்தால், செயல்பாடு / அதில் அதிகபட்சம் (குறைந்தபட்சம்) உள்ளது, எனவே இந்த விஷயத்தில் நமக்கு ஆர்வமுள்ள புள்ளி செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளிகளில் அடங்கியுள்ளது /(x, y). இருப்பினும், செயல்பாடு /(x, y) பிராந்தியத்தின் எல்லையில் அதன் மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பை அடையலாம். எனவே, வரையறுக்கப்பட்ட மூடிய பகுதி 2 இல் z =/(x, y) செயல்பாட்டால் எடுக்கப்பட்ட மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பைக் கண்டறிய, இந்தப் பகுதிக்குள் அடையப்பட்ட செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் (குறைந்தபட்சம்) அனைத்தையும் நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அத்துடன் இந்தப் பகுதியின் எல்லையில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய (சிறிய) மதிப்பு. இந்த எண்கள் அனைத்திலும் மிகப்பெரிய (சிறியது) z =/(x,y) செயல்பாட்டின் விரும்பிய பெரிய (சிறிய) மதிப்பாக இருக்கும். இது 27வது பகுதியில் உள்ளது. வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாட்டின் போது இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதைக் காண்பிப்போம். Prmmr. பகுதி 4 இன் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியவும். பகுதி D இன் உள்ளே செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளிகளைக் காண்கிறோம். இதைச் செய்ய, இங்கிருந்து நாம் x = y «0 ஐப் பெறுகிறோம் புள்ளி 0 (0,0) என்பது x செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளியாகும். D டொமைன் Г எல்லையில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளை இப்போது கண்டுபிடிப்போம். எல்லையின் ஒரு பகுதியில் y = 0 என்பது ஒரு முக்கியமான புள்ளியாகும், மேலும் = பின்னர் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு z = 1 + y2 குறைந்தபட்சம் ஒன்றுக்கு சமமாக உள்ளது. பிரிவின் முனைகளில் Г", புள்ளிகளில் (, எங்களிடம் உள்ளது. சமச்சீர் பரிசீலனைகளைப் பயன்படுத்தி, எல்லையின் மற்ற பகுதிகளுக்கும் அதே முடிவுகளைப் பெறுகிறோம். இறுதியாக நாம் பெறுகிறோம்: மிகச்சிறிய மதிப்புசெயல்பாடு z = x2+y2 பகுதியில் "B என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் மற்றும் இது பிராந்தியத்தின் உள் புள்ளி 0(0, 0) இல் அடையப்படுகிறது, மேலும் இந்த செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச மதிப்பு, இரண்டுக்கு சமமானது, நான்கு புள்ளிகளில் அடையப்படுகிறது எல்லையின் (படம். 25) படம். 25 பயிற்சிகள் செயல்பாடுகளின் வரையறையின் களத்தைக் கண்டறியவும்: செயல்பாடுகளின் நிலைக் கோடுகளை உருவாக்கவும்: 9 மூன்று சுயாதீன மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் நிலை மேற்பரப்புகளைக் கண்டறியவும்: செயல்பாடுகளின் வரம்புகளைக் கணக்கிடவும்: செயல்பாடுகளின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும். முழு வேறுபாடுகள் : சிக்கலான செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிக: 3 ஜே. பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீம் பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையின் கருத்து. ஒரு தீவிர நிலைக்கான தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகள் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகள் 34. இரண்டு மாறிகளின் சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல், கண்டறிதல் மற்றும் செயல்பாடுகள்: 35. ஒரு சிக்கலான வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு, கண்டுபிடி |J மற்றும் செயல்பாடுகள்: மறைமுகமாக கொடுக்கப்பட்ட jj செயல்பாடுகளை கண்டறிக: 40. x = 3 என்ற நேர்கோட்டுடன் குறுக்குவெட்டு புள்ளியில் தொடு வளைவின் கோண குணகத்தைக் கண்டறியவும். 41. தொடுகோடு இருக்கும் புள்ளிகளைக் கண்டறியவும் வளைவின் x ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது. . பின்வரும் சிக்கல்களில், கண்டுபிடி மற்றும் T: தொடுகோடு விமானம் மற்றும் மேற்பரப்பின் இயல்பான சமன்பாடுகளை எழுதவும்: 49. x2 + 2y2 + 3z2 = 21, x + 4y விமானத்திற்கு இணையாக மேற்பரப்பு x2 + 2y2 + 3z2 = 21 இன் தொடு விமானங்களின் சமன்பாடுகளை எழுதவும். + 6z = 0. டெய்லர் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி விரிவாக்கத்தின் முதல் மூன்று அல்லது நான்கு சொற்களைக் கண்டறியவும் : 50. y புள்ளியின் அருகாமையில் (0, 0). ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிரத்தின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, தீவிரத்திற்கான பின்வரும் செயல்பாடுகளை ஆராயவும் :). இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு போதுமான நிபந்தனைகளைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டின் உச்சநிலையை ஆராயவும்: 84. ஒரு மூடிய வட்டத்தில் z = x2 - y2 செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் 85. மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியவும் செயல்பாட்டின் * = x2y(4-x-y) ஒரு முக்கோணத்தில் x = 0, y = 0, x + y = b. 88. மிகச்சிறிய மேற்பரப்பைக் கொண்ட ஒரு செவ்வக திறந்த குளத்தின் பரிமாணங்களைத் தீர்மானிக்கவும், அதன் அளவு V. 87க்கு சமமாக இருந்தால். மொத்த மேற்பரப்பு 5 கொடுக்கப்பட்ட அதிகபட்ச அளவைக் கொண்ட செவ்வக இணைக் குழாய்களின் பரிமாணங்களைக் கண்டறியவும். பதில்கள் 1. மற்றும் | ஒரு சதுரம் அதன் பக்கங்களை உள்ளடக்கிய x கோடு பிரிவுகளால் உருவாகிறது. 3. செறிவு வளையங்களின் குடும்பம் 2= 0,1,2,... .4. நேர் கோடுகளில் உள்ள புள்ளிகளைத் தவிர முழு விமானமும். பரவளையத்தின் மேலே அமைந்துள்ள விமானத்தின் ஒரு பகுதி y = -x?. 8. வட்டத்தின் புள்ளிகள் x. நேர்கோடுகளைத் தவிர முழு விமானமும் x ரேடிகல் வெளிப்பாடு இரண்டு நிகழ்வுகளில் அல்லாத எதிர்மறையானது j * ^ அல்லது j x ^ ^ இது முறையே எல்லையற்ற சமத்துவமின்மைக்கு சமமானது, வரையறையின் களம் நிழலாடிய சதுரங்கள் (படம். 26); l இது ஒரு எல்லையற்ற தொடருக்கு சமமான செயல்பாடு புள்ளிகளில் வரையறுக்கப்படுகிறது. a) நேர்கோட்டிற்கு இணையான நேரான கோடுகள் x b) மையத்துடன் கூடிய மைய வட்டங்கள். 10. a) பரவளையங்கள் y) பரவளையங்கள் y a) parabolas b) அதிபரவளைவுகள் | .விமானங்கள் xc. 13.Prime - Oz அச்சைச் சுற்றி சுழற்சியின் ஒற்றை-குழி ஹைப்பர்போலாய்டுகள்; Oz அச்சில் சுழற்சியின் இரண்டு-தாள் ஹைப்பர்போலாய்டுகள் இருக்கும் போது, ​​மேற்பரப்பின் இரண்டு குடும்பங்களும் ஒரு கூம்பு மூலம் பிரிக்கப்படுகின்றன; வரம்பு இல்லை, b) 0. 18. y = kxt ஐ அமைப்போம், பின்னர் z lim z = -2, எனவே புள்ளியில் (0,0) கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு வரம்பு இல்லை. 19. a) புள்ளி (0,0); b) புள்ளி (0,0). 20. அ) பிரேக் லைன் - வட்டம் x2 + y2 = 1; b) முறிவுக் கோடு y = x என்ற நேர் கோடு. 21. அ) பிரேக் கோடுகள் - ஆக்ஸ் மற்றும் ஓய் ஆய அச்சுகள்; b) 0 (வெற்று தொகுப்பு). 22. அனைத்து புள்ளிகளும் (m, n), எங்கே மற்றும் n ஆகியவை முழு எண்கள்

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் தீவிரத்திற்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகள்.புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு சமத்துவமின்மையை திருப்திப்படுத்தினால், ஒரு புள்ளி ஒரு செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச (அதிகபட்ச) புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது (முறையே, அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனை. ஒரு தீவிர புள்ளியில் ஒரு செயல்பாடு முதல் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருந்தால், இந்த கட்டத்தில் அவை மறைந்துவிடும். அத்தகைய செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டறிய, ஒருவர் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க வேண்டும், அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவற்றில் அதிகபட்ச புள்ளிகள், குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் மற்றும் தீவிர புள்ளிகள் அல்லாத புள்ளிகள் இருக்கலாம்.

முக்கியமான புள்ளிகளின் தொகுப்பிலிருந்து தீவிர புள்ளிகளை அடையாளம் காண போதுமான தீவிர நிலைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் அவை கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன.

முக்கியமான கட்டத்தில் செயல்பாடு தொடர்ச்சியான இரண்டாம் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்கட்டும். இந்த கட்டத்தில் இருந்தால்

நிபந்தனை பின்னர் அது ஒரு குறைந்தபட்ச புள்ளி மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளி ஒரு முக்கியமான கட்டத்தில் இருந்தால் அது ஒரு தீவிர புள்ளி அல்ல. இந்த விஷயத்தில், முக்கியமான புள்ளியின் தன்மையைப் பற்றி மிகவும் நுட்பமான ஆய்வு தேவைப்படுகிறது, இந்த விஷயத்தில் இது ஒரு தீவிர புள்ளியாக இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமல் இருக்கலாம்.

மூன்று மாறிகளின் செயல்பாடுகளின் தீவிரம்.மூன்று மாறிகளின் செயல்பாட்டின் விஷயத்தில், எக்ஸ்ட்ரம் புள்ளிகளின் வரையறைகள் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டிற்கான தொடர்புடைய வரையறைகளை வினைச்சொல்லாக மீண்டும் கூறுகின்றன. ஒரு எக்ஸ்ட்ரீமிற்கான செயல்பாட்டைப் படிப்பதற்கான செயல்முறையை வழங்குவதற்கு நாங்கள் நம்மை கட்டுப்படுத்துகிறோம். சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கும்போது, ​​​​செயல்பாட்டின் முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டறிய வேண்டும், பின்னர் ஒவ்வொரு முக்கிய புள்ளிகளிலும் மதிப்புகளைக் கணக்கிட வேண்டும்.

மூன்று அளவுகளும் நேர்மறையாக இருந்தால், கேள்விக்குரிய முக்கியமான புள்ளி குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும்; இந்த முக்கியமான புள்ளி அதிகபட்ச புள்ளியாக இருந்தால்.

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சம்.ஒரு புள்ளி ஒரு செயல்பாட்டின் நிபந்தனைக்குட்பட்ட குறைந்தபட்ச (அதிகபட்ச) புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நிபந்தனைக்குட்பட்ட தீவிர புள்ளிகளைக் கண்டறிய, Lagrange செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தவும்

அங்கு எண் லாக்ரேஞ்ச் பெருக்கி என்று அழைக்கப்படுகிறது. மூன்று சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

Lagrange செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளிகளைக் கண்டறியவும் (அத்துடன் துணைக் காரணி A இன் மதிப்பு). இந்த முக்கியமான புள்ளிகளில் ஒரு நிபந்தனை உச்சநிலை இருக்கலாம். மேலே உள்ள அமைப்பு ஒரு தீவிரத்திற்கு தேவையான நிபந்தனைகளை மட்டுமே வழங்குகிறது, ஆனால் போதுமானவை அல்ல: நிபந்தனைக்குட்பட்ட உச்சநிலையின் புள்ளிகள் இல்லாத புள்ளிகளின் ஆயத்தொகுப்புகளால் இது திருப்திப்படுத்தப்படலாம். இருப்பினும், சிக்கலின் சாராம்சத்தின் அடிப்படையில், முக்கியமான புள்ளியின் தன்மையை தீர்மானிக்க பெரும்பாலும் சாத்தியமாகும்.

பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் நிபந்தனை உச்சம்.மாறிகள் சமன்பாடுகளால் தொடர்புடைய நிபந்தனையின் கீழ் அவற்றின் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்