பரவளையக் கோட்பாடு. பரவளையம் - ஒரு இருபடி செயல்பாட்டின் பண்புகள் மற்றும் வரைபடம்

பரவளையம் என்பது ஒரு எல்லையற்ற வளைவு ஆகும், இது கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிலிருந்து சமமான புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது, இது பரவளையத்தின் டைரக்ட்ரிக்ஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி, பரவளையத்தின் கவனம். பரவளையம் என்பது ஒரு கூம்புப் பகுதி, அதாவது, இது ஒரு விமானம் மற்றும் வட்டக் கூம்பு ஆகியவற்றின் குறுக்குவெட்டைக் குறிக்கிறது.

IN பொதுவான பார்வைஒரு பரவளையத்தின் கணித சமன்பாடு வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது: y=ax^2+bx+c, அங்கு a பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, b என்பது தோற்றத்துடன் தொடர்புடைய செயல்பாட்டு வரைபடத்தின் கிடைமட்ட இடப்பெயர்ச்சியை பிரதிபலிக்கிறது, மேலும் c என்பது செங்குத்து இடப்பெயர்ச்சி ஆகும். தோற்றத்துடன் தொடர்புடைய செயல்பாட்டு வரைபடம். மேலும், a>0 எனில், வரைபடத்தைத் திட்டமிடும்போது அவை மேல்நோக்கி இயக்கப்படும், மேலும் பரவளையத்தின் பண்புகள் என்றால்

பரவளையமானது பரவளையத்தின் மையத்தின் வழியாகச் செல்லும் மற்றும் பரவளையத்தின் டைரக்ட்ரிக்ஸுக்கு செங்குத்தாகச் செல்லும் சமச்சீர் அச்சைக் கொண்ட இரண்டாம்-வரிசை வளைவு ஆகும்.

ஒரு பரவளையமானது அதன் சமச்சீர் அச்சுக்கு இணையான ஒளிக்கதிர்களை மையப்படுத்தி, பரவளையத்தின் உச்சியில் உள்ள பரவளையத்திற்குள் செலுத்துகிறது மற்றும் பரவளையத்தின் உச்சியில் இயக்கப்பட்ட ஒளிக்கற்றையை இணையான ஒளிக் கதிர்களாக மாற்றுகிறது. அதே அச்சு.

எந்த தொடுகோடும் தொடர்புடைய ஒரு பரவளையத்தை நீங்கள் பிரதிபலிப்பீர்கள் என்றால், பரவளையத்தின் படம் அதன் டைரக்ட்ரிக்ஸில் தோன்றும். அனைத்து பரவளையங்களும் ஒன்றுக்கொன்று ஒத்தவை, அதாவது ஒரு பரவளையத்தின் ஒவ்வொரு இரண்டு புள்ளிகள் A மற்றும் B க்கும் A1 மற்றும் B1 புள்ளிகள் உள்ளன, அதற்கான அறிக்கை |A1,B1| = |A,B|*k, இங்கு k என்பது ஒற்றுமை குணகம், இது எண் மதிப்பில் எப்போதும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும்.

வாழ்க்கையில் ஒரு பரவளையத்தின் வெளிப்பாடு

வால்மீன்கள் அல்லது சிறுகோள்கள் போன்ற சில அண்ட உடல்கள், பெரிய விண்வெளிப் பொருட்களின் அருகே செல்கின்றன அதிவேகம்பரவளைய வடிவில் ஒரு பாதை உள்ளது. சிறிய அண்ட உடல்களின் இந்த பண்பு விண்கலத்தின் ஈர்ப்பு சூழ்ச்சிகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எதிர்கால விண்வெளி வீரர்களைப் பயிற்றுவிப்பதற்காக, ஒரு பரவளையப் பாதையில் சிறப்பு விமானங்கள் தரையில் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன, இதன் மூலம் பூமியின் ஈர்ப்புத் துறையில் எடையின்மை விளைவை அடைகிறது.

அன்றாட வாழ்வில், பரவளையங்கள் பல்வேறு விளக்கு சாதனங்களில் காணப்படுகின்றன. இது பரவளையத்தின் ஒளியியல் பண்பு காரணமாகும். ஒரு பரவளையத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான சமீபத்திய வழிகளில் ஒன்று, ஒளிக் கதிர்களை மையப்படுத்துதல் மற்றும் டிஃபோகஸ் செய்யும் பண்புகளின் அடிப்படையில், சோலார் பேனல்கள் ஆகும், அவை ரஷ்யாவின் தெற்குப் பகுதிகளில் ஆற்றல் வழங்கல் துறையில் அதிகளவில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன.

அழைக்கப்படும் படிவத்தின் செயல்பாடு இருபடி செயல்பாடு.

ஒரு இருபடி செயல்பாட்டின் வரைபடம் - பரவளைய.

வழக்குகளை கருத்தில் கொள்வோம்:

ஐ கேஸ், கிளாசிக்கல் பரபோலா

அது , ,

கட்டமைக்க, x மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் மாற்றுவதன் மூலம் அட்டவணையை நிரப்பவும்:

புள்ளிகளைக் குறிக்கவும் (0;0); (1;1); (-1;1), முதலியன ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில் (சிறிய படியில் நாம் x மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்கிறோம் இந்த வழக்கில்படி 1), மேலும் x மதிப்புகளை நாம் எவ்வளவு அதிகமாக எடுத்துக்கொள்கிறோமோ, அவ்வளவு வளைவு மென்மையாக இருக்கும்), நமக்கு ஒரு பரவளையம் கிடைக்கும்:

கேஸ் , , , என்று எடுத்துக் கொண்டால், அச்சில் (ஓ) சமச்சீரான ஒரு பரவளையத்தைப் பெறுகிறோம் என்பதைப் பார்ப்பது எளிது. இதேபோன்ற அட்டவணையை நிரப்புவதன் மூலம் இதைச் சரிபார்க்க எளிதானது:

II வழக்கு, "a" என்பது யூனிட்டிலிருந்து வேறுபட்டது

எடுத்தால் என்ன நடக்கும் , , ? பரவளையத்தின் நடத்தை எப்படி மாறும்? தலைப்பு=" QuickLaTeX.com ஆல் வழங்கப்பட்டுள்ளது" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

முதல் படத்தில் (மேலே காண்க) பாரபோலாவிற்கான அட்டவணையில் இருந்து புள்ளிகள் (1;1), (-1;1) புள்ளிகளாக (1;4), (1;-4) மாற்றப்பட்டது தெளிவாகத் தெரியும். அதாவது, அதே மதிப்புகளுடன், ஒவ்வொரு புள்ளியின் ஆர்டினேட் 4 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது. இது அசல் அட்டவணையின் அனைத்து முக்கிய புள்ளிகளுக்கும் நடக்கும். 2 மற்றும் 3 படங்களின் நிகழ்வுகளிலும் இதேபோல் நியாயப்படுத்துகிறோம்.

பரவளையத்தை விட பரவளையமானது "பரந்ததாக" மாறும்போது:

சுருக்கமாகக் கூறுவோம்:

1)குணகத்தின் அடையாளம் கிளைகளின் திசையை தீர்மானிக்கிறது. தலைப்பு=" QuickLaTeX.com ஆல் வழங்கப்பட்டுள்ளது" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) துல்லியமான மதிப்புகுணகம் (மாடுலஸ்) பரவளையத்தின் "விரிவாக்கம்" மற்றும் "அமுக்கம்" ஆகியவற்றிற்கு பொறுப்பாகும். பரவளையமானது பெரியது, குறுகலானது; சிறிய |a|, பரந்த பரவளையமானது.

III வழக்கு, "C" தோன்றும்

இப்போது விளையாட்டில் அறிமுகப்படுத்துவோம் (அதாவது, எப்பொழுது என்பதை கருத்தில் கொள்ளுங்கள்), படிவத்தின் பரவளைகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம் . குறியைப் பொறுத்து பரவளையமானது அச்சில் மேலே அல்லது கீழ் நோக்கி நகரும் என்று யூகிப்பது கடினம் அல்ல (நீங்கள் எப்போதும் அட்டவணையைப் பார்க்கலாம்):

IV வழக்கு, "b" தோன்றும்

பரவளையமானது அச்சில் இருந்து "உடைந்து" எப்போது முழு ஒருங்கிணைப்பு விமானத்திலும் "நடக்கும்"? சமமாக இருப்பது எப்போது நிறுத்தப்படும்?

இங்கே நமக்கு ஒரு பரவளையத்தை உருவாக்க வேண்டும் உச்சியை கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம்: , .

எனவே இந்த கட்டத்தில் (புள்ளியில் (0;0) புதிய அமைப்புஒருங்கிணைப்புகள்) நாம் ஏற்கனவே செய்யக்கூடிய ஒரு பரவளையத்தை உருவாக்குவோம். நாங்கள் வழக்கைக் கையாளுகிறோம் என்றால், உச்சியில் இருந்து ஒரு யூனிட் பிரிவை வலப்புறம், ஒன்று மேலே வைக்கிறோம் - இதன் விளைவாக வரும் புள்ளி நம்முடையது (அதேபோல், இடதுபுறம் ஒரு படி, ஒரு படி மேலே எங்கள் புள்ளி); நாம் கையாள்வது என்றால், எடுத்துக்காட்டாக, உச்சியில் இருந்து ஒரு யூனிட் பகுதியை வலதுபுறம், இரண்டு - மேல்நோக்கி, முதலியன வைக்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டாக, பரவளையத்தின் உச்சி:

இப்போது புரிந்து கொள்ள வேண்டிய முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், இந்த உச்சியில் நாம் பரவளைய வடிவத்தின் படி ஒரு பரவளையத்தை உருவாக்குவோம், ஏனென்றால் எங்கள் விஷயத்தில்.

ஒரு பரவளையத்தை உருவாக்கும்போது உச்சியின் ஆயங்களை கண்டுபிடித்த பிறகுபின்வரும் புள்ளிகளைக் கருத்தில் கொள்வது வசதியானது:

1) பரவளைய நிச்சயமாக புள்ளியை கடந்து செல்லும் . உண்மையில், சூத்திரத்தில் x=0 ஐ மாற்றினால், அதைப் பெறுகிறோம். அதாவது, பரவளையத்தை அச்சுடன் (ஓய்) வெட்டும் புள்ளியின் ஆர்டினேட் ஆகும். எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் (மேலே), பரவளையமானது ஆர்டினேட்டைப் புள்ளியில் வெட்டுகிறது .

2) சமச்சீர் அச்சு பரவளையங்கள் ஒரு நேர் கோடு, எனவே பரவளையத்தின் அனைத்து புள்ளிகளும் சமச்சீராக இருக்கும். எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், நாம் உடனடியாக புள்ளியை (0; -2) எடுத்து, பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சுடன் ஒப்பிடும்போது அதை சமச்சீராக உருவாக்குகிறோம், பரவளையம் கடந்து செல்லும் புள்ளியை (4; -2) பெறுகிறோம்.

3) க்கு சமன்படுத்தி, பரவளையத்தை அச்சுடன் (ஓ) வெட்டும் புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, சமன்பாட்டை நாங்கள் தீர்க்கிறோம். பாகுபாடு காட்டுபவர்களைப் பொறுத்து, ஒன்று (, ), இரண்டைப் பெறுவோம் ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . முந்தைய எடுத்துக்காட்டில், பாகுபாட்டின் வேர் ஒரு முழு எண் அல்ல; கட்டமைக்கும்போது, ​​​​வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் எங்களுக்கு அதிக அர்த்தமில்லை, ஆனால் அச்சுடன் (ஓ) வெட்டும் இரண்டு புள்ளிகள் இருக்கும் என்பதை நாங்கள் தெளிவாகக் காண்கிறோம். (தலைப்பில் இருந்து=" QuickLaTeX.com ஆல் வழங்கப்பட்டுள்ளது" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

எனவே அதை சரிசெய்வோம்

படிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டால், பரவளையத்தை உருவாக்குவதற்கான அல்காரிதம்

1) கிளைகளின் திசையை தீர்மானிக்கவும் (a>0 - மேல், a<0 – вниз)

2) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பரவளையத்தின் உச்சியின் ஆயத்தொகுப்புகளைக் காண்கிறோம்.

3) இலவசச் சொல்லைப் பயன்படுத்தி பரவளையத்தை அச்சுடன் (ஓய்) வெட்டும் புள்ளியைக் காண்கிறோம், பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சைப் பொறுத்து இந்த புள்ளிக்கு சமச்சீர் புள்ளியை உருவாக்குகிறோம் (குறிப்பது லாபமற்றது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். இந்த புள்ளி, எடுத்துக்காட்டாக, மதிப்பு பெரியதாக இருப்பதால்... இந்த புள்ளியை தவிர்க்கிறோம்...)

4) கண்டுபிடிக்கப்பட்ட புள்ளியில் - பரவளையத்தின் உச்சியில் (புதிய ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் புள்ளியில் (0;0)) நாம் ஒரு பரவளையத்தை உருவாக்குகிறோம். தலைப்பு=" QuickLaTeX.com ஆல் வழங்கப்பட்டுள்ளது" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் பரவளையத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை அச்சுடன் (ஓய்) (அவை இன்னும் "மேற்பரப்பில்" இல்லை என்றால்) கண்டுபிடிக்கிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 1

எடுத்துக்காட்டு 2

குறிப்பு 1.சில எண்கள் (உதாரணமாக, ) என்ற வடிவத்தில் முதலில் பரவளையம் நமக்கு கொடுக்கப்பட்டால், அதை உருவாக்குவது இன்னும் எளிதாக இருக்கும், ஏனென்றால் நமக்கு ஏற்கனவே உச்சியின் ஆயத்தொகுப்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஏன்?

ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை எடுத்து அதில் உள்ள முழு சதுரத்தையும் தனிமைப்படுத்துவோம்: பாருங்கள், நமக்கு அது கிடைத்தது, . நீங்களும் நானும் முன்பு ஒரு பரவளையத்தின் உச்சியை, அதாவது இப்போது, ​​என்று அழைத்தோம்.

உதாரணத்திற்கு, . விமானத்தில் பரவளையத்தின் உச்சியைக் குறிக்கிறோம், கிளைகள் கீழ்நோக்கி இயக்கப்படுகின்றன என்பதை நாங்கள் புரிந்துகொள்கிறோம், பரவளையம் விரிவடைகிறது (தொடர்புடையது). அதாவது, நாங்கள் புள்ளிகள் 1 ஐ மேற்கொள்கிறோம்; 3; 4; ஒரு பரவளையத்தை உருவாக்குவதற்கான வழிமுறையிலிருந்து 5 (மேலே பார்க்கவும்).

குறிப்பு 2.பரவளையமானது இதைப் போன்ற வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டால் (அதாவது, இரண்டு நேரியல் காரணிகளின் விளைபொருளாக வழங்கப்படுகிறது), பின்னர் நாம் உடனடியாக பரவளையத்தை அச்சுடன் (எருது) வெட்டும் புள்ளிகளைக் காண்கிறோம். இந்த வழக்கில் - (0;0) மற்றும் (4;0). மீதமுள்ளவர்களுக்கு, நாங்கள் வழிமுறையின் படி செயல்படுகிறோம், அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கிறோம்.

ஒரு பரவளையம் என்பது கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி F மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோடு d க்கு சமமான தொலைவில் உள்ள புள்ளிகளின் இருப்பிடமாகும். கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி. இந்த வடிவியல் வரையறை வெளிப்படுத்துகிறது ஒரு பரவளையத்தின் இயக்குனரக சொத்து.

ஒரு பரவளையத்தின் டைரக்டரியல் சொத்து

புள்ளி F என்பது பரவளையத்தின் ஃபோகஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது, வரி d என்பது பரவளையத்தின் டைரக்ட்ரிக்ஸ், செங்குத்தாக செங்குத்தாகக் குறைக்கப்பட்ட O என்பது பரவளையத்தின் உச்சி, p ஃபோகஸிலிருந்து டைரக்ட்ரிக்ஸுக்கான தூரம். என்பது பரவளையத்தின் அளவுருவாகும், மேலும் \frac(p)(2) என்பது பரவளையத்தின் உச்சியில் இருந்து அதன் குவிமையத்திற்கான தொலைவு குவிய நீளம் (படம் 3.45a) ஆகும். டைரக்ட்ரிக்ஸுக்கு செங்குத்தாக மற்றும் ஃபோகஸ் வழியாக செல்லும் நேர்கோடு பரவளையத்தின் அச்சு (பரபோலாவின் குவிய அச்சு) என்று அழைக்கப்படுகிறது. பரவளையத்தின் தன்னிச்சையான புள்ளி M ஐ அதன் மையத்துடன் இணைக்கும் பிரிவு FM புள்ளி M இன் குவிய ஆரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பரவளையத்தின் இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் பிரிவு பரவளையத்தின் நாண் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு பரவளையத்தின் தன்னிச்சையான புள்ளிக்கு, ஃபோகஸ் மற்றும் டைரக்ட்ரிக்ஸின் தூரத்திற்கான தூரத்தின் விகிதம் ஒன்றுக்கு சமம். , மற்றும் பரவளையங்களின் இயக்குனரக பண்புகளை ஒப்பிட்டு, நாம் முடிவு செய்கிறோம் பரவளைய விசித்திரம்வரையறையின்படி ஒன்றுக்கு சமம் (e=1).

ஒரு பரவளையத்தின் வடிவியல் வரையறை, அதன் இயக்குனரின் சொத்தை வெளிப்படுத்துவது, அதன் பகுப்பாய்வு வரையறைக்கு சமம் - வழங்கிய வரி நியமன சமன்பாடுபரவளையங்கள்:

உண்மையில், ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை அறிமுகப்படுத்துவோம் (படம் 3.45, b). பரவளையத்தின் உச்சி O ஐ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் தோற்றமாக எடுத்துக்கொள்கிறோம்; டைரக்ட்ரிக்ஸுக்கு செங்குத்தாக ஃபோகஸ் வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டை abscissa அச்சாக எடுத்துக்கொள்கிறோம் (அதன் மீது நேர்மறை திசை புள்ளி O முதல் புள்ளி F வரை); abscissa அச்சுக்கு செங்குத்தாக உள்ள நேர்கோட்டை எடுத்து, பரவளையத்தின் உச்சி வழியாக ஆர்டினேட் அச்சாக (செவ்வக ஆய அமைப்பு Oxy சரியாக இருக்கும் வகையில் ஆர்டினேட் அச்சின் திசை தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது).

ஒரு பரவளையத்திற்கான ஒரு சமன்பாட்டை அதன் வடிவியல் வரையறையைப் பயன்படுத்தி உருவாக்குவோம், இது ஒரு பரவளையத்தின் இயக்குநிலைப் பண்புகளை வெளிப்படுத்துகிறது. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், ஃபோகஸின் ஆயங்களை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம் F\!\இடது(\frac(p)(2);\,0\வலது)மற்றும் டைரக்ட்ரிக்ஸ் சமன்பாடு x=-\frac(p)(2) . பரவளையத்தைச் சேர்ந்த ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M(x,y)க்கு, எங்களிடம் உள்ளது:

FM=MM_d,

எங்கே M_d\!\இடது(\frac(p)(2);\,y\வலது) - orthographic projectionடைரக்ட்ரிக்ஸில் M(x,y) புள்ளிகள். இந்த சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்:

\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\வலது)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

சமன்பாட்டின் இருபுறமும் சதுரமாக்குகிறோம்: (\இடது(x-\frac(p)(2)\வலது)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. ஒத்த விதிமுறைகளைக் கொண்டு, நாங்கள் பெறுகிறோம் நியமன பரவளைய சமன்பாடு

y^2=2\cdot p\cdot x,அந்த. தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு முறையானது.

பகுத்தறிவதன் மூலம் பின்னோக்கு வரிசை, அனைத்து புள்ளிகளும் சமன்பாட்டை (3.51) திருப்திப்படுத்துகின்றன, மேலும் அவை மட்டுமே பரவளையம் எனப்படும் புள்ளிகளின் இருப்பிடத்தைச் சேர்ந்தவை என்பதைக் காட்டலாம். இவ்வாறு, ஒரு பரவளையத்தின் பகுப்பாய்வு வரையறை அதன் வடிவியல் வரையறைக்கு சமமானது, இது ஒரு பரவளையத்தின் இயக்குநிலைப் பண்புகளை வெளிப்படுத்துகிறது.

துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் பரவளைய சமன்பாடு

துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள பரவளையத்தின் சமன்பாடு Fr\varphi (படம் 3.45, c) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),இதில் p என்பது பரவளையத்தின் அளவுரு, மற்றும் e=1 என்பது அதன் விசித்திரம்.

உண்மையில், துருவ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் துருவமாக நாம் பரவளையத்தின் ஃபோகஸ் எஃப் ஐத் தேர்வு செய்கிறோம், மேலும் துருவ அச்சாக - எஃப் புள்ளியில் தொடங்கும் ஒரு கதிர், டைரக்ட்ரிக்ஸுக்கு செங்குத்தாக மற்றும் அதை வெட்டுவதில்லை (படம். 3.45, c) . பின்னர் ஒரு பரவளையத்தைச் சேர்ந்த ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M(r,\varphi) க்கு, ஒரு பரவளையத்தின் வடிவியல் வரையறையின் (திசைப் பண்பு) படி, நம்மிடம் MM_d=r உள்ளது. ஏனெனில் MM_d=p+r\cos\varphi, பரவளைய சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் பெறுகிறோம்:

p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),

கே.இ.டி. துருவ ஒருங்கிணைப்புகளில் நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடுகள், அதிபரவளைவு மற்றும் பரவளையம் ஆகியவை இணைகின்றன, ஆனால் வெவ்வேறு கோடுகளை விவரிக்கின்றன, ஏனெனில் அவை விசித்திரங்களில் வேறுபடுகின்றன (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 க்கு ).

பரவளைய சமன்பாட்டில் உள்ள அளவுருவின் வடிவியல் பொருள்

விளக்குவோம் வடிவியல் பொருள்அளவுருகேனானிகல் பரவளைய சமன்பாட்டில் p. x=\frac(p)(2) ஐ சமன்பாட்டில் (3.51) மாற்றினால், நாம் y^2=p^2 ஐப் பெறுகிறோம், அதாவது. y=\pm ப . எனவே, அளவுரு p என்பது பரவளையத்தின் அச்சுக்கு செங்குத்தாக அதன் குவியத்தின் வழியாக செல்லும் பரவளையத்தின் நாண் நீளத்தின் பாதி நீளம் ஆகும்.

பரவளையத்தின் குவிய அளவுரு, அதே போல் ஒரு நீள்வட்டம் மற்றும் ஒரு ஹைபர்போலா, குவிய அச்சுக்கு செங்குத்தாக அதன் குவியத்தின் வழியாக செல்லும் நாண் அரை நீளம் என்று அழைக்கப்படுகிறது (படம் 3.45, c ஐப் பார்க்கவும்). துருவ ஆயங்களில் உள்ள பரவளைய சமன்பாட்டிலிருந்து \varphi=\frac(\pi)(2)நாம் r=p ஐப் பெறுகிறோம், அதாவது. பரவளையத்தின் அளவுரு அதன் குவிய அளவுருவுடன் ஒத்துப்போகிறது.

குறிப்புகள் 3.11.

1. பரவளையத்தின் அளவுரு p அதன் வடிவத்தை வகைப்படுத்துகிறது. பெரிய p, பரவளையத்தின் பரந்த கிளைகள், பூஜ்ஜியத்திற்கு நெருக்கமான p, பரவளையத்தின் கிளைகள் குறுகியதாக இருக்கும் (படம் 3.46).

2. சமன்பாடு y^2=-2px (p>0க்கு) ஒரு பரவளையத்தை வரையறுக்கிறது, இது ஆர்டினேட் அச்சின் இடதுபுறத்தில் அமைந்துள்ளது (படம் 3.47,a). இந்த சமன்பாடு x-அச்சின் (3.37) திசையை மாற்றுவதன் மூலம் நியதிக்குக் குறைக்கப்படுகிறது. படத்தில். 3.47,a கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு Oxy மற்றும் நியமன Ox"y" ஆகியவற்றைக் காட்டுகிறது.

3. சமன்பாடு (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0உச்சி O"(x_0,y_0) உடன் ஒரு பரவளையத்தை வரையறுக்கிறது, இதன் அச்சு abscissa அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது (படம். 3.47,6). இந்த சமன்பாடு இணையான மொழிபெயர்ப்பைப் பயன்படுத்தி (3.36) நியமனத்திற்குக் குறைக்கப்படுகிறது.

சமன்பாடு (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, O"(x_0,y_0) உச்சியுடன் கூடிய பரவளையத்தை வரையறுக்கிறது, இதன் அச்சு ஆர்டினேட் அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது (படம். 3.47, c) இந்த சமன்பாடு இணையான மொழிபெயர்ப்பைப் பயன்படுத்தி (3.36) மற்றும் மறுபெயரிடுவதன் மூலம் நியதிக்குக் குறைக்கப்படுகிறது. ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள் (3.38).படம். 3.47,b,c இல் கொடுக்கப்பட்ட ஆய அமைப்புகளான Oxy மற்றும் Ox"y" என்ற நியமன ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகளை சித்தரிக்கிறது.

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0புள்ளியில் உச்சியுடன் கூடிய பரவளையமாகும் O"\!\இடது(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), ஆர்டினேட் அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும் அச்சு, பரவளையத்தின் கிளைகள் மேல்நோக்கி (a>0க்கு) அல்லது கீழ்நோக்கி (ஒருக்கு<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\வலது)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,

இது நியமன வடிவத்திற்கு குறைக்கப்பட்டது (y")^2=2px" , எங்கே ப=\இடது|\frac(1)(2a)\வலது|, மாற்று பயன்படுத்தி y"=x+\frac(b)(2a)மற்றும் x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\வலது).

முன்னணி குணகம் a இன் அடையாளத்துடன் ஒத்துப்போகும் வகையில் அடையாளம் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது. இந்த மாற்றீடு கலவைக்கு ஒத்திருக்கிறது: இணை பரிமாற்றம் (3.36) உடன் x_0=-\frac(b)(2a)மற்றும் y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), ஆய அச்சுகளை மறுபெயரிடுதல் (3.38), மற்றும் ஒரு வழக்கில்<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 மற்றும் ஏ<0 соответственно.

5. நியமன ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் x-அச்சு பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சு, y என்ற மாறியை -y உடன் மாற்றுவது சமன்பாட்டை மாற்றாது (3.51). வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பரவளையத்தைச் சேர்ந்த M(x,y) புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் புள்ளி M"(x,-y) புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் x-அச்சுடன் ஒப்பிடும்போது M புள்ளிக்கு சமச்சீரானவை, சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகின்றன. (3.S1) நியமன ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் அச்சுகள் அழைக்கப்படுகின்றன பரவளையத்தின் முக்கிய அச்சுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 3.22. கானானிகல் ஆய அமைப்பான Oxy இல் பரவளைய y^2=2x ஐ வரையவும். குவிய அளவுரு, குவிய ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் டைரக்ட்ரிக்ஸ் சமன்பாடு ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. abscissa அச்சுக்கு (படம் 3.49) தொடர்புடைய அதன் சமச்சீர்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, நாம் ஒரு பரவளையை உருவாக்குகிறோம். தேவைப்பட்டால், பரவளையத்தின் சில புள்ளிகளின் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, பரவளைய சமன்பாட்டில் x=2 ஐ மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம் y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. இதன் விளைவாக, ஆய (2;2),\,(2;-2) கொண்ட புள்ளிகள் பரவளையத்தைச் சேர்ந்தவை.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை நியதி ஒன்றுடன் (3.S1) ஒப்பிட்டு, நாம் குவிய அளவுருவை தீர்மானிக்கிறோம்: p=1. ஃபோகஸ் ஆயத்தொலைவுகள் x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, அதாவது F\!\இடது(\frac(1)(2),\,0\வலது). டைரக்ட்ரிக்ஸ் x=-\frac(p)(2) சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம், அதாவது. x=-\frac(1)(2) .

நீள்வட்டம், ஹைபர்போலா, பரபோலாவின் பொதுவான பண்புகள்

1. டைரக்டரியல் பண்பை நீள்வட்டம், அதிபரவளையம், பரவளையத்தின் ஒற்றை வரையறையாகப் பயன்படுத்தலாம் (படம் 3.50 ஐப் பார்க்கவும்): விமானத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் இருப்பிடம், ஒவ்வொன்றிற்கும் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிக்கு தூரத்தின் விகிதம் F (ஃபோகஸ்) கொடுக்கப்பட்ட ஒரு நேர் கோட்டிற்கான தூரம் d (டைரக்ட்ரிக்ஸ்) கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லாதது நிலையானது மற்றும் விசித்திரமானது e. , அழைக்கப்படுகிறது:

a) 0\leqslant என்றால் இ<1 ;

b) என்றால் e>1;

c) பரவளைய என்றால் e=1.

2. ஒரு நீள்வட்டம், அதிபரவளையம் மற்றும் பரவளையமானது ஒரு வட்டக் கூம்பின் பிரிவுகளில் விமானங்களாகப் பெறப்படுகின்றன, எனவே அவை அழைக்கப்படுகின்றன கூம்பு பிரிவுகள். இந்த பண்பு ஒரு நீள்வட்டம், ஹைபர்போல மற்றும் பரவளையத்தின் வடிவியல் வரையறையாகவும் செயல்படும்.

3. நீள்வட்டத்தின் பொதுவான பண்புகள், அதிபரவளையம் மற்றும் பரவளைய ஆகியவை அடங்கும் இரு பிரிவு சொத்துஅவற்றின் தொடுகோடுகள். கீழ் தொடுகோடுசில புள்ளியில் ஒரு கோட்டிற்கு K என்பது செகண்ட் KM இன் வரம்பு நிலையாக புரிந்து கொள்ளப்படும் போது M என்ற புள்ளி, பரிசீலனையில் இருக்கும் கோட்டில் எஞ்சியிருக்கும் போது, ​​K புள்ளியை நோக்கி செல்கிறது. ஒரு கோட்டிற்கு ஒரு தொடுகோடுக்கு செங்குத்தாக ஒரு நேர்கோடு மற்றும் தொடு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் சாதாரணஇந்த வரிக்கு.

ஒரு நீள்வட்டம், அதிபரவளையம் மற்றும் பரவளையத்தின் தொடுகோடுகளின் (மற்றும் இயல்பானது) இருமுனைப் பண்பு பின்வருமாறு உருவாக்கப்படுகிறது: ஒரு நீள்வட்டத்திற்கு (சாதாரண) தொடு புள்ளியின் குவிய ஆரங்களுடன் சம கோணங்களை உருவாக்குகிறது.(படம் 3.51, a, b); பரவளையத்திற்கான தொடுகோடு (சாதாரணமானது) தொடு புள்ளியின் குவிய ஆரம் மற்றும் செங்குத்தாக அதிலிருந்து டைரக்ட்ரிக்ஸுக்குச் சமமான கோணங்களை உருவாக்குகிறது.(படம் 3.51, c). வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், K புள்ளியில் உள்ள நீள்வட்டத்தின் தொடுகோடு என்பது F_1KF_2 முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணத்தின் இருசமமாகும் (மற்றும் சாதாரணமானது முக்கோணத்தின் F_1KF_2 உள் கோணத்தின் இருசமமாகும்); ஹைப்பர்போலாவின் தொடுகோடு என்பது F_1KF_2 முக்கோணத்தின் உள் கோணத்தின் இருசமமாகும் (மற்றும் சாதாரணமானது வெளிப்புறக் கோணத்தின் இருசமப் பிரிவு ஆகும்); பரவளையத்தின் தொடுகோடு என்பது FKK_d முக்கோணத்தின் உள் கோணத்தின் இருசமப் பிரிவாகும் (மற்றும் சாதாரணமானது வெளிப்புறக் கோணத்தின் இருசமப் பிரிவு ஆகும்). ஒரு பரவளையத்தின் தொடுகோடுகளின் இருமுனைப் பண்பு, நீள்வட்டம் மற்றும் ஹைப்பர்போலாவுக்கான அதே வழியில் உருவாக்கப்படலாம், நாம் எண்ணினால், பரவளையமானது முடிவிலியில் ஒரு புள்ளியில் இரண்டாவது கவனம் செலுத்துகிறது.

4. இருவகைப் பண்புகளிலிருந்து அது பின்வருமாறு நீள்வட்டத்தின் ஒளியியல் பண்புகள், அதிபரவளைவு மற்றும் பரவளைய, "கவனம்" என்ற வார்த்தையின் இயற்பியல் பொருளை விளக்குகிறது. குவிய அச்சைச் சுற்றி நீள்வட்டம், அதிபரவளையம் அல்லது பரவளையத்தை சுழற்றுவதன் மூலம் உருவாகும் மேற்பரப்புகளை கற்பனை செய்வோம். இந்த பரப்புகளில் ஒரு பிரதிபலிப்பு பூச்சு பயன்படுத்தப்பட்டால், நீள்வட்ட, ஹைபர்போலிக் மற்றும் பரவளைய கண்ணாடிகள் பெறப்படுகின்றன. ஒளியியல் விதியின்படி, ஒரு கண்ணாடியில் ஒளிக்கதிர்களின் நிகழ்வுகளின் கோணம் பிரதிபலிப்பு கோணத்திற்கு சமம், அதாவது. நிகழ்வு மற்றும் பிரதிபலித்த கதிர்கள் மேற்பரப்புக்கு இயல்பான சம கோணங்களை உருவாக்குகின்றன, மேலும் கதிர்கள் மற்றும் சுழற்சியின் அச்சு இரண்டும் ஒரே விமானத்தில் உள்ளன. இங்கிருந்து நாம் பின்வரும் பண்புகளைப் பெறுகிறோம்:

- ஒளி மூலமானது நீள்வட்ட கண்ணாடியின் மையங்களில் ஒன்றில் அமைந்திருந்தால், கண்ணாடியிலிருந்து பிரதிபலிக்கும் ஒளியின் கதிர்கள் மற்றொரு மையத்தில் சேகரிக்கப்படுகின்றன (படம் 3.52, a);

- ஒளி மூலமானது ஹைபர்போலிக் கண்ணாடியின் மையங்களில் ஒன்றில் அமைந்திருந்தால், கண்ணாடியிலிருந்து பிரதிபலிக்கும் ஒளியின் கதிர்கள், அவை மற்றொரு மையத்திலிருந்து வந்ததைப் போல வேறுபடுகின்றன (படம் 3.52, b);

- ஒளி மூலமானது பரவளைய கண்ணாடியின் மையத்தில் இருந்தால், கண்ணாடியிலிருந்து பிரதிபலிக்கும் ஒளிக்கதிர்கள் குவிய அச்சுக்கு இணையாக செல்கின்றன (படம் 3.52, c).

5. விட்டம் கொண்ட சொத்துநீள்வட்டம், அதிபரவளையம் மற்றும் பரவளையத்தை பின்வருமாறு உருவாக்கலாம்:

– நீள்வட்டத்தின் (ஹைபர்போலா) இணையான நாண்களின் நடுப்புள்ளிகள் நீள்வட்டத்தின் (ஹைபர்போலா) மையத்தின் வழியாக செல்லும் ஒரு நேர்கோட்டில் அமைந்துள்ளன.;

– ஒரு பரவளையத்தின் இணையான நாண்களின் நடுப்புள்ளிகள் பரவளையத்தின் சமச்சீரின் நேரான, கோலினியர் அச்சில் உள்ளன.

நீள்வட்டத்தின் அனைத்து இணை நாண்களின் நடுப்புள்ளிகளின் வடிவியல் இருப்பிடம் (ஹைபர்போலா, பரபோலா) என அழைக்கப்படுகிறது நீள்வட்டத்தின் விட்டம் (ஹைபர்போலா, பரவளையம்), இந்த நாண்களுடன் இணைக்கவும்.

இது குறுகலான அர்த்தத்தில் விட்டத்தின் வரையறை (எடுத்துக்காட்டு 2.8 ஐப் பார்க்கவும்). முன்னதாக, விட்டம் பற்றிய ஒரு வரையறை பரந்த பொருளில் கொடுக்கப்பட்டது, அங்கு நீள்வட்டம், ஹைபர்போலா, பரபோலா மற்றும் பிற இரண்டாம்-வரிசைக் கோடுகளின் விட்டம் அனைத்து இணை நாண்களின் நடுப்புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு நேர் கோடாகும். ஒரு குறுகிய அர்த்தத்தில், ஒரு நீள்வட்டத்தின் விட்டம் அதன் மையத்தின் வழியாக செல்லும் எந்த நாண் ஆகும் (படம். 3.53, a); ஹைப்பர்போலாவின் விட்டம் என்பது ஹைப்பர்போலாவின் மையத்தின் வழியாக செல்லும் நேர்கோடு (அறிகுறிகள் தவிர), அல்லது அத்தகைய நேர்கோட்டின் ஒரு பகுதி (படம் 3.53,6); ஒரு பரவளையத்தின் விட்டம் என்பது பரவளையத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியிலிருந்து மற்றும் கோலினியர் சமச்சீர் அச்சுக்கு வெளிப்படும் எந்தக் கதிர் ஆகும் (படம் 3.53, c).

இரண்டு விட்டம், அவை ஒவ்வொன்றும் மற்ற விட்டத்திற்கு இணையான அனைத்து வளையங்களையும் பிரிக்கின்றன, அவை இணைந்தவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. படம் 3.53 இல், தடிமனான கோடுகள் ஒரு நீள்வட்டம், ஹைபர்போலா மற்றும் பரவளையத்தின் இணைந்த விட்டம்களைக் காட்டுகின்றன.

K புள்ளியில் உள்ள நீள்வட்டத்திற்கான தொடுகோடு (ஹைபர்போலா, பரவளையம்) M_1M_2 இணையான செக்கன்ட்களின் வரம்பு நிலையாக வரையறுக்கப்படலாம், M_1 மற்றும் M_2 புள்ளிகள் கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட வரியில் மீதமுள்ளவை, K புள்ளியாக இருக்கும். இந்த வரையறையிலிருந்து, நாண்களுக்கு இணையான ஒரு தொடுகோடு இந்த நாண்களுடன் இணைந்த விட்டத்தின் முடிவில் செல்கிறது.

6. நீள்வட்டம், அதிபரவளையம் மற்றும் பரவளையங்கள் மேலே கொடுக்கப்பட்டவை தவிர, பல வடிவியல் பண்புகள் மற்றும் இயற்பியல் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, படம் 3.50 ஆனது ஈர்ப்பு விசையின் மையத்திற்கு அருகாமையில் அமைந்துள்ள விண்வெளிப் பொருட்களின் பாதைகளை விளக்குகிறது.

விமானத்தில் ஒரு கோடு மற்றும் இந்த வரியில் பொய் இல்லை ஒரு புள்ளி கருத்தில். மற்றும் நீள்வட்டம், மற்றும் மிகைப்புள்ளிபுள்ளிகளின் வடிவியல் இருப்பிடமாக ஒரு ஒருங்கிணைந்த வழியில் வரையறுக்கலாம்

தரவரிசை ε. 0 1 இல் - ஹைபர்போலா. அளவுரு ε ஆகும் நீள்வட்டம் மற்றும் ஹைபர்போலா இரண்டின் விசித்திரத்தன்மை. ε அளவுருவின் சாத்தியமான நேர்மறை மதிப்புகளில், ஒன்று, அதாவது ε = 1, பயன்படுத்தப்படாததாக மாறிவிடும். இந்த மதிப்பு கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்தும் கொடுக்கப்பட்ட வரியிலிருந்தும் சமமான புள்ளிகளின் வடிவியல் இருப்பிடத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது.

வரையறை 8.1.ஒரு நிலையான புள்ளியிலிருந்தும் நிலையான கோட்டிலிருந்தும் சமமான தொலைவில் உள்ள புள்ளிகளின் இருப்பிடம் அழைக்கப்படுகிறது பரவளைய

நிலையான புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது பரவளையத்தின் கவனம், மற்றும் நேர் கோடு - ஒரு பரவளையத்தின் டைரக்ட்ரிக்ஸ். அதே நேரத்தில், அது நம்பப்படுகிறது பரவளைய விசித்திரம்ஒன்றுக்கு சமம்.

வடிவியல் பரிசீலனைகளிலிருந்து, பரவளையமானது டைரக்ட்ரிக்ஸுக்கு செங்குத்தாக நேர்கோட்டுடன் சமச்சீராக உள்ளது மற்றும் பரவளையத்தின் மையத்தின் வழியாக செல்கிறது. இந்த நேர்கோடு பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சு அல்லது எளிமையாக அழைக்கப்படுகிறது பரவளையத்தின் அச்சு. ஒரு பரவளையம் அதன் சமச்சீர் அச்சை ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகிறது. இந்த புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது பரவளையத்தின் உச்சி. இது பரவளையத்தின் மையத்தை அதன் அச்சின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியுடன் டைரக்ட்ரிக்ஸுடன் இணைக்கும் பிரிவின் நடுவில் அமைந்துள்ளது (படம் 8.3).

பரவளைய சமன்பாடு.பரவளையத்தின் சமன்பாட்டைப் பெற, நாம் விமானத்தில் தேர்வு செய்கிறோம் தோற்றம்பரவளையத்தின் உச்சியில், என x-அச்சு- பரவளையத்தின் அச்சு, கவனம் நிலை மூலம் குறிப்பிடப்பட்ட நேர்மறை திசை (படம் 8.3 ஐப் பார்க்கவும்). இந்த ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு அழைக்கப்படுகிறது நியமனம்கேள்விக்குரிய பரவளையத்திற்கு, மற்றும் தொடர்புடைய மாறிகள் நியமனம்.

ஃபோகஸிலிருந்து டைரக்ட்ரிக்ஸுக்கான தூரத்தை p ஆல் குறிப்போம். அவன் அழைக்கப்பட்டான் பரவளையத்தின் குவிய அளவுரு.

பின்னர் கவனம் F(p/2; 0) ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் d என்ற டைரக்ட்ரிக்ஸ் x = - p/2 என்ற சமன்பாட்டால் விவரிக்கப்படுகிறது. புள்ளிகள் M(x; y), புள்ளி F மற்றும் கோடு d இலிருந்து சம தொலைவில் உள்ள இடம் சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்படுகிறது

சதுர சமன்பாடு (8.2) மற்றும் ஒத்தவற்றை முன்வைப்போம். நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

என்று அழைக்கப்படும் நியமன பரவளைய சமன்பாடு.

இந்த வழக்கில் ஸ்கொயர் என்பது சமன்பாட்டின் (8.2) சமமான மாற்றமாகும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், ஏனெனில் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் எதிர்மறையானவை அல்ல, அதே போல் தீவிரத்தின் கீழ் வெளிப்பாடு.

பரவளைய வகை.பரவளைய y 2 = x, நாம் அறியப்பட்டதாகக் கருதும் வடிவம், abscissa அச்சில் ஒரு குணகம் 1/(2р) உடன் சுருக்கப்பட்டால், பொதுவான வடிவத்தின் பரவளையம் பெறப்படுகிறது, இது சமன்பாடு (8.3) மூலம் விவரிக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 8.2.ஒரு பரவளையத்தின் ஃபோகஸ் மற்றும் டைரக்ட்ரிக்ஸின் சமன்பாட்டின் ஆயத்தொலைவுகளை அது நியமன ஆயங்கள் (25; 10) கொண்ட ஒரு புள்ளியைக் கடந்து சென்றால் அதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

நியமன ஆயங்களில், பரவளையத்தின் சமன்பாடு y 2 = 2px வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. புள்ளி (25; 10) பரவளையத்தில் இருப்பதால், பின்னர் 100 = 50p எனவே p = 2. எனவே, y 2 = 4x என்பது பரவளையத்தின் நியதிச் சமன்பாடு, x = - 1 என்பது அதன் டைரக்ட்ரிக்ஸின் சமன்பாடு மற்றும் கவனம் புள்ளியில் உள்ளது (1; 0 ).

பரவளையத்தின் ஒளியியல் பண்பு.பரவளையமானது பின்வருவனவற்றைக் கொண்டுள்ளது ஒளியியல் சொத்து. பரவளையத்தின் மையத்தில் ஒரு ஒளி மூலத்தை வைத்தால், பரவளையத்திலிருந்து பிரதிபலித்த பிறகு அனைத்து ஒளிக் கதிர்களும் பரவளையத்தின் அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும் (படம் 8.4). ஒளியியல் பண்பு என்பது பரவளையத்தின் எந்தப் புள்ளியிலும் எம் சாதாரண திசையன்தொடுவானானது குவிய ஆரம் MF மற்றும் abscissa அச்சுடன் சம கோணங்களை உருவாக்குகிறது.

வரையறை 1. பரவளைய விமானத்தின் அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியிலிருந்து சமமாக தொலைவில் உள்ளன, அழைக்கப்படுகிறது கவனம், மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியைக் கடந்து செல்லாமல் அழைக்கப்படும் தலைமையாசிரியை.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் கவனம் செலுத்தி ஒரு பரவளையத்திற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் எஃப்மற்றும் யாருடைய டைரக்ட்ரிக்ஸ் என்பது கோடு d,கடந்து செல்லவில்லை எஃப்.ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை பின்வருமாறு தேர்வு செய்யலாம்: அச்சு ஓகவனம் மூலம் செல்லலாம் எஃப்இயக்குனருக்கு செங்குத்தாக ஈஇருந்து திசையில் ஈசெய்ய F,மற்றும் தோற்றம் பற்றிஅதை ஃபோகஸ் மற்றும் டைரக்ட்ரிக்ஸ் இடையே நடுவில் வைப்போம் (படம் 1).

வரையறை 2.கவனம் தூரம் எஃப்தலைமையாசிரியைக்கு ஈஅழைக்கப்பட்டது பரவளைய அளவுரு மற்றும் மூலம் குறிக்கப்படுகிறது ப(ப> 0).

படம் இருந்து. 1 என்பது தெளிவாகிறது ப = FK,எனவே கவனம் ஆய உள்ளது F (p/2; 0), மற்றும் டைரக்ட்ரிக்ஸ் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது எக்ஸ்= – ஆர்/2,அல்லது

விடுங்கள் எம்(x;y)பரவளையத்தின் தன்னிச்சையான புள்ளியாகும். புள்ளிகளை இணைப்போம் எம்உடன் எஃப்மற்றும் நாம் செலவிடுவோம் எம்என் டி.படத்தில் இருந்து நேரடியாக. 1 என்பது தெளிவாகிறது

மற்றும் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்திற்கான சூத்திரத்தின் படி

பரவளையத்தின் வரையறையின்படி, MF = MN, (1)

எனவே, (2)

சமன்பாடு (2) என்பது தேவையான பரவளைய சமன்பாடு ஆகும். சமன்பாட்டை (2) எளிமைப்படுத்த, அதை பின்வருமாறு மாற்றுகிறோம்:

அந்த.,

ஒருங்கிணைப்புகள் எக்ஸ்மற்றும் மணிக்குபுள்ளிகள் எம் parabolas திருப்தி நிபந்தனை (1), எனவே சமன்பாடு (3).

வரையறை 3.சமன்பாடு (3) அழைக்கப்படுகிறது ஒரு பரவளையத்தின் நியதிச் சமன்பாடு.

2. பரவளையத்தின் வடிவத்தை அதன் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஆய்வு செய்தல்.பரவளையத்தின் நியதிச் சமன்பாட்டை (3) பயன்படுத்தி அதன் வடிவத்தைத் தீர்மானிப்போம்.

1) புள்ளி ஆயத்தொலைவுகள் ஓ (0; 0)சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்து (3), எனவே, இந்த சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட பரவளையமானது தோற்றம் வழியாக செல்கிறது.

2) சமன்பாட்டில் இருந்து (3) மாறி மணிக்குமட்டுமே சேர்க்கப்பட்டுள்ளது பட்டமும் கூட, பின்னர் பரவளையம் y 2 = 2px abscissa அச்சைப் பற்றிய சமச்சீர்.

3) முதல் ப > 0, பின்னர் (3) இலிருந்து x ≥ 0 ஐப் பின்தொடர்கிறது. இதன் விளைவாக, பரவளைய y 2 = 2pxஅச்சின் வலதுபுறத்தில் அமைந்துள்ளது OU.

4) abscissa அதிகரிக்கும் போது எக்ஸ்இருந்து 0 +∞ ஒழுங்கமைக்க மணிக்குஇருந்து மாறுபடுகிறது 0 முன் ± ∞, அதாவது. பரவளையத்தின் புள்ளிகள் அச்சில் இருந்து வரம்பில்லாமல் நகர்கின்றன ஓ, மற்றும் அச்சில் இருந்து OU.

பரவளைய y 2 = 2pxபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. 2.

வரையறை 4.அச்சு ஓஅழைக்கப்பட்டது பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சு. புள்ளி ஓ (0; 0)சமச்சீர் அச்சுடன் ஒரு பரவளையத்தின் குறுக்குவெட்டு அழைக்கப்படுகிறது பரவளையத்தின் உச்சி. கோட்டு பகுதி எப்.எம்அழைக்கப்பட்டது குவிய ஆரம் புள்ளிகள் எம்.

கருத்து. படிவத்தின் பரவளைய சமன்பாட்டை உருவாக்க y 2 = 2pxநாங்கள் சிறப்பாக ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைத் தேர்ந்தெடுத்தோம் (புள்ளி 1 ஐப் பார்க்கவும்). ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு வேறு வழியில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால், பரவளையத்தின் சமன்பாடு வேறுபட்ட வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும்.

ஏ

எனவே, உதாரணமாக, நீங்கள் அச்சை இயக்கினால் ஓமையத்திலிருந்து இயக்குனருக்கு (படம் 3, ஏ

y 2 = –2px. (4)

F(–р/2; 0), மற்றும் தலைமையாசிரியை ஈசமன்பாடு மூலம் கொடுக்கப்பட்டது x = p/2.

அச்சு என்றால் OUகவனம் மூலம் செல்லலாம் எஃப் ஈஇருந்து திசையில் ஈசெய்ய எஃப், மற்றும் தோற்றம் பற்றிஃபோகஸ் மற்றும் டைரக்ட்ரிக்ஸ் இடையே நடுவில் வைக்கவும் (படம் 3, பி), பின்னர் ஒரு பரவளையத்தின் சமன்பாடு வடிவத்திற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு

x 2 = 2ru . (5)

அத்தகைய பரவளையத்தின் கவனம் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது எஃப் (0; ப/2), மற்றும் தலைமையாசிரியை ஈசமன்பாடு மூலம் கொடுக்கப்பட்டது y=–p/2.

அச்சு என்றால் OUகவனம் மூலம் செல்லலாம் எஃப்இயக்குனருக்கு செங்குத்தாக ஈஇருந்து திசையில் எஃப்செய்ய ஈ(படம் 3, வி), பின்னர் பரவளையத்தின் சமன்பாடு வடிவம் பெறுகிறது

x 2 = –2ru (6)

அதன் கவனம் ஒருங்கிணைப்புகள் இருக்கும் F (0; –р/2), மற்றும் டைரக்ட்ரிக்ஸ் சமன்பாடு ஈவிருப்பம் y = p/2.

சமன்பாடுகள் (4), (5), (6) எளிமையான வடிவத்தைக் கொண்டதாகக் கூறப்படுகிறது.

3. ஒரு பரவளையத்தின் இணை பரிமாற்றம்.புள்ளியில் அதன் உச்சியுடன் ஒரு பரவளையத்தை கொடுக்கலாம் ஓ" (அ; ஆ), சமச்சீர் அச்சு அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது OU, மற்றும் கிளைகள் மேல்நோக்கி இயக்கப்படுகின்றன (படம் 4). நீங்கள் ஒரு பரவளையத்திற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்க வேண்டும்.

(9)

வரையறை 5.சமன்பாடு (9) அழைக்கப்படுகிறது இடம்பெயர்ந்த உச்சியுடன் கூடிய பரவளையத்தின் சமன்பாடு.

இந்த சமன்பாட்டை பின்வருமாறு மாற்றுவோம்:

போடுவது

கொண்டிருக்கும் (10)

எவருக்கும் அதைக் காட்டுவது கடினம் அல்ல ஏ, பி, சிஅட்டவணை இருபடி முக்கோணம்(10) என்பது வரையறையின் பொருளில் ஒரு பரவளையம் 1. படிவத்தின் (10) ஒரு பரவளைய சமன்பாடு ஆய்வு செய்யப்பட்டது பள்ளி படிப்புஇயற்கணிதம்.

சுயாதீன தீர்வுக்கான பயிற்சிகள்

எண் 1. ஒரு வட்டத்தின் சமன்பாட்டை எழுதவும்:

அ. தோற்றத்தில் மையம் மற்றும் ஆரம் 7;

பி. புள்ளியில் மையம் (-1;4) மற்றும் ஆரம் 2.

ஒரு செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் வட்டத் தரவை உருவாக்கவும்.

எண் 2. ஒரு நீள்வட்டத்தின் நியதிச் சமன்பாட்டை செங்குத்துகளுடன் உருவாக்கவும்

மற்றும் தந்திரங்கள்

எண் 3. நியதிச் சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட நீள்வட்டத்தை உருவாக்கவும்:

1) 2)

எண். 4. ஒரு நீள்வட்டத்தின் நியதிச் சமன்பாட்டை செங்குத்துகளுடன் உருவாக்கவும்

மற்றும் தந்திரங்கள்

எண் 5. செங்குத்துகளுடன் கூடிய ஹைப்பர்போலாவின் நியதிச் சமன்பாட்டை உருவாக்கவும்

மற்றும் தந்திரங்கள்

எண் 6. ஒரு ஹைப்பர்போலாவின் நியதிச் சமன்பாட்டை உருவாக்கவும்:

1. foci இடையே மற்றும் செங்குத்து இடையே உள்ள தூரம்

2. உண்மையான அரை அச்சு, மற்றும் விசித்திரம்;

3. அச்சில் கவனம் செலுத்துகிறது, உண்மையான அச்சு 12, மற்றும் கற்பனை அச்சு 8.

எண் 7. நியதிச் சமன்பாட்டின் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு ஹைபர்போலாவை உருவாக்கவும்:

1) 2) .

எண் 8. ஒரு பரவளையத்தின் நியதிச் சமன்பாட்டை எழுதவும்:

1) பரவளையமானது அச்சு மற்றும் அதன் அளவுருவுடன் சமச்சீராக வலது அரை-தளத்தில் அமைந்துள்ளது;

2) பரவளையமானது அச்சுடன் தொடர்புடைய சமச்சீராக இடது அரை-தளத்தில் அமைந்துள்ளது மற்றும் அதன் அளவுரு .

இந்த பரவளையங்கள், அவற்றின் குவியங்கள் மற்றும் டைரக்ட்ரிக்ஸ்களை உருவாக்கவும்.

எண் 9. வரியின் வகையை அதன் சமன்பாடு இருந்தால் தீர்மானிக்கவும்:

சுய-தேர்வு கேள்விகள்

1. விண்வெளியில் திசையன்கள்.

1.1. திசையன் என்றால் என்ன?

1.2. வெக்டரின் முழுமையான அளவு என்ன?

1.3. விண்வெளியில் என்ன வகையான திசையன்கள் உங்களுக்குத் தெரியும்?

1.4. அவர்களுடன் நீங்கள் என்ன செயல்களைச் செய்யலாம்?

1.5. திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள் என்றால் என்ன? அவர்களை எப்படி கண்டுபிடிப்பது?

2. அவற்றின் ஆயத்தொகுப்புகளால் குறிப்பிடப்பட்ட திசையன்கள் மீதான செயல்கள்.

2.1. ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களுடன் என்ன செயல்களைச் செய்ய முடியும் (விதிகள், சமத்துவங்கள், எடுத்துக்காட்டுகள்); எப்படி கண்டுபிடிப்பது துல்லியமான மதிப்புஅத்தகைய ஒரு திசையன்.

2.2. பண்புகள்:

2.2.1 கோலினியர்;

2.2.2 செங்குத்தாக;

2.2.3 கோப்ளனார்;

2.2.4 சம திசையன்கள்.
(சூத்திரங்கள், சமத்துவங்கள்).

3. ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு. பயன்பாட்டு சிக்கல்கள்.

3.1. ஒரு நேர் கோட்டின் எந்த வகையான சமன்பாடுகள் உங்களுக்குத் தெரியும் (பதிவில் இருந்து எழுதவும் விளக்கவும் முடியும்);

3.2. இணையான தன்மையை எவ்வாறு ஆராய்வது - செங்குத்தாக இரண்டு நேர் கோடுகள் கோண குணகத்துடன் சமன்பாடுகளால் குறிப்பிடப்படுகின்றன அல்லது பொது சமன்பாடுகள்?

3.3. இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரத்தை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

3.4. பொது வரி சமன்பாடுகள் அல்லது சாய்வு சமன்பாடுகள் மூலம் கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை எப்படி கண்டுபிடிப்பது?

3.5. ஒரு பிரிவின் நடுப்புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளையும் இந்தப் பிரிவின் நீளத்தையும் எவ்வாறு கண்டறிவது?

4. ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு. பயன்பாட்டு சிக்கல்கள்.

4.1. உங்களுக்கு என்ன வகையான விமானச் சமன்பாடுகள் தெரியும் (பதிவில் இருந்து எழுதவும், விளக்கவும் முடியும்)?

4.2. விண்வெளியில் நேர் கோடுகளின் இணை மற்றும் செங்குத்தாக எவ்வாறு ஆய்வு செய்வது?

4.3. ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரத்தையும், விமானங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தையும் எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

4.4. எப்படி ஆராய்வது பரஸ்பர ஏற்பாடுவிண்வெளியில் நேர் கோடு மற்றும் விமானம்?

4.5. விண்வெளியில் ஒரு கோட்டின் சமன்பாட்டின் வகைகள்: பொது, நியதி, அளவுரு, கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது.

4.6. நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தையும் விண்வெளியில் புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தையும் எப்படி கண்டுபிடிப்பது?

5. இரண்டாவது வரிசையின் கோடுகள்.

5.1. நீள்வட்டம்: வரையறை, குவியங்கள், செங்குத்துகள், பெரிய மற்றும் சிறிய அச்சுகள், குவிய ஆரங்கள், விசித்திரத்தன்மை, டைரக்ட்ரிக்ஸ் சமன்பாடுகள், நீள்வட்டத்தின் எளிய (அல்லது நியதி) சமன்பாடுகள்; வரைதல்.

5.2. ஹைபர்போலா: வரையறை, குவியங்கள், செங்குத்துகள், உண்மையான மற்றும் கற்பனை அச்சுகள், குவிய ஆரங்கள், விசித்திரத்தன்மை, டைரக்ட்ரிக்ஸ் சமன்பாடுகள், எளிமையான (அல்லது நியதி) ஹைபர்போலா சமன்பாடுகள்; வரைதல்.

5.3. பரவளைய: வரையறை, கவனம், டைரக்ட்ரிக்ஸ், உச்சி, அளவுரு, சமச்சீர் அச்சு, ஒரு பரவளையத்தின் எளிமையான (அல்லது நியதி) சமன்பாடுகள்; வரைதல்.

குறிப்பு 4.1, 4.2, 4.3: ஒவ்வொரு 2வது வரிசை வரிக்கும், கட்டுமானத்தை விவரிக்க முடியும்.

சுய-சோதனை பணிகள்

1. கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள்: , N என்பது பட்டியலில் உள்ள மாணவர் எண்.

3) புள்ளி M முதல் விமானம் P வரையிலான தூரத்தைக் கண்டறியவும்.

4. அதன் நியதிச் சமன்பாட்டால் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது-வரிசைக் கோட்டை உருவாக்கவும்:

.

இலக்கியம்

1. பொருளாதார வல்லுனர்களுக்கான உயர் கணிதம் - பல்கலைக்கழகங்களுக்கான பாடநூல், பதிப்பு. N.Sh. க்ரீமர் மற்றும் பலர்., மாஸ்கோ, UNITY, 2003.

2. பார்கோவ்ஸ்கி வி.வி., பார்கோவ்ஸ்கா என்.வி. - பொருளாதார வல்லுனர்களுக்கான விஸ்சா கணிதம் - கியேவ், TsUL, 2002.

3. சுவோரோவ் ஐ.எஃப். - உயர் கணித பாடம். - எம்., மேல்நிலைப் பள்ளி, 1967.

4. தாராசோவ் என்.பி. - தொழில்நுட்ப பள்ளிகளுக்கான உயர் கணித பாடநெறி. - எம்.; அறிவியல், 1969.

5. ஜைட்சேவ் ஐ.எல். - தொழில்நுட்ப பள்ளிகளுக்கான உயர் கணிதத்தின் கூறுகள். - எம்.; அறிவியல், 1965.

6. Valutse N.N., Diligul G.D. - தொழில்நுட்ப பள்ளிகளுக்கான கணிதம். - எம்.; அறிவியல், 1990.

7. ஷிபச்சேவ் வி.எஸ். - உயர் கணிதம். பல்கலைக்கழகங்களுக்கான பாடநூல் - எம்.: உயர்நிலைப் பள்ளி, 2003.