ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். தி அல்டிமேட் கைடு (2019)
ஒரு மலைப்பாங்கான பகுதி வழியாக செல்லும் ஒரு நேரான சாலையை கற்பனை செய்வோம். அதாவது, அது மேலும் கீழும் செல்கிறது, ஆனால் வலது அல்லது இடதுபுறம் திரும்பாது. அச்சு சாலையில் கிடைமட்டமாகவும் செங்குத்தாகவும் இயக்கப்பட்டால், சாலைக் கோடு சில தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு மிகவும் ஒத்ததாக இருக்கும்:
அச்சு என்பது பூஜ்ஜிய உயரத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட நிலை; வாழ்க்கையில் நாம் கடல் மட்டத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
அத்தகைய பாதையில் நாம் முன்னேறும்போது, நாமும் மேலே அல்லது கீழே செல்கிறோம். நாம் மேலும் கூறலாம்: வாதம் மாறும்போது (அப்சிஸ்ஸா அச்சில் இயக்கம்), செயல்பாட்டின் மதிப்பு மாறுகிறது (ஆர்டினேட் அச்சில் இயக்கம்). இப்போது நம் சாலையின் "செங்குத்தான தன்மையை" எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்று யோசிப்போம்? இது என்ன வகையான மதிப்பாக இருக்க முடியும்? இது மிகவும் எளிது: ஒரு குறிப்பிட்ட தூரம் முன்னோக்கி நகரும் போது உயரம் எவ்வளவு மாறும். உண்மையில், சாலையின் வெவ்வேறு பிரிவுகளில், ஒரு கிலோமீட்டர் முன்னோக்கி (x- அச்சில்) நகர்ந்தால், கடல் மட்டத்துடன் (y- அச்சில்) ஒப்பிடும்போது வெவ்வேறு எண்ணிக்கையிலான மீட்டர்கள் உயரும் அல்லது விழும்.
முன்னேற்றத்தைக் குறிப்போம் ("டெல்டா x"ஐப் படிக்கவும்).
கிரேக்க எழுத்து (டெல்டா) பொதுவாக கணிதத்தில் "மாற்றம்" என்று பொருள்படும் முன்னொட்டாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அதாவது - இது அளவு மாற்றம், - ஒரு மாற்றம்; பிறகு அது என்ன? அது சரி, அளவு மாற்றம்.
முக்கியமானது: ஒரு வெளிப்பாடு என்பது ஒரு முழு, ஒரு மாறி. "டெல்டா" ஐ "x" அல்லது வேறு எந்த எழுத்தில் இருந்து பிரிக்க வேண்டாம்! அதாவது, உதாரணமாக, .
எனவே, நாங்கள் கிடைமட்டமாக முன்னேறிவிட்டோம். செயல்பாட்டின் வரைபடத்துடன் சாலையின் கோட்டை ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால், உயர்வை எவ்வாறு குறிப்பிடுவது? நிச்சயமாக, . அதாவது, நாம் முன்னேறும்போது, மேலும் உயருகிறோம்.
மதிப்பைக் கணக்கிடுவது எளிது: ஆரம்பத்தில் நாம் உயரத்தில் இருந்தால், நகர்ந்த பிறகு, நாம் உயரத்தில் இருப்பதைக் கண்டோம். தொடக்கப் புள்ளியை விட இறுதிப் புள்ளி குறைவாக இருந்தால், அது எதிர்மறையாக இருக்கும் - இதன் பொருள் நாம் ஏறவில்லை, ஆனால் இறங்குகிறோம்.
"செங்குத்தான நிலைக்கு" திரும்புவோம்: இது ஒரு யூனிட் தூரத்தை முன்னோக்கி நகர்த்தும்போது உயரம் எவ்வளவு (செங்குத்தாக) அதிகரிக்கிறது என்பதைக் காட்டும் மதிப்பு:
சாலையின் சில பகுதியில், ஒரு கிலோமீட்டர் முன்னோக்கிச் செல்லும்போது, சாலை ஒரு கிலோமீட்டர் வரை உயர்கிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் இந்த இடத்தில் சாய்வு சமமாக இருக்கும். மேலும் சாலை, மீ முன்னோக்கி நகரும் போது, கிமீ குறையுமா? பின்னர் சாய்வு சமமாக இருக்கும்.
இப்போது ஒரு மலையின் உச்சியைப் பார்ப்போம். உச்சிமாநாட்டிற்கு அரை கிலோமீட்டர் முன்பு பிரிவின் தொடக்கத்தையும், அதற்குப் பிறகு அரை கிலோமீட்டர் முடிவையும் எடுத்துக் கொண்டால், உயரம் கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியாக இருப்பதைக் காணலாம்.
அதாவது, எங்கள் தர்க்கத்தின் படி, இங்கே சாய்வு கிட்டத்தட்ட பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்று மாறிவிடும், இது தெளிவாக உண்மை இல்லை. ஒரு கிலோமீட்டர் தூரத்தில் நிறைய மாறலாம். செங்குத்தான தன்மையின் போதுமான மற்றும் துல்லியமான மதிப்பீட்டிற்கு சிறிய பகுதிகளைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம். எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் ஒரு மீட்டரை நகர்த்தும்போது உயரத்தில் ஏற்படும் மாற்றத்தை அளந்தால், முடிவு மிகவும் துல்லியமாக இருக்கும். ஆனால் இந்த துல்லியம் கூட நமக்கு போதுமானதாக இருக்காது - எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, சாலையின் நடுவில் ஒரு கம்பம் இருந்தால், அதை நாம் கடந்து செல்லலாம். எந்த தூரத்தை நாம் தேர்வு செய்ய வேண்டும்? சென்டிமீட்டரா? மில்லிமீட்டரா? குறைவாக இருந்தால் நல்லது!
IN உண்மையான வாழ்க்கைஅருகிலுள்ள மில்லிமீட்டருக்கு தூரத்தை அளவிடுவது போதுமானதை விட அதிகம். ஆனால் கணிதவியலாளர்கள் எப்போதும் முழுமைக்காக பாடுபடுகிறார்கள். எனவே, கருத்து கண்டுபிடிக்கப்பட்டது எல்லையற்ற, அதாவது, நாம் பெயரிடக்கூடிய எந்த எண்ணையும் விட முழுமையான மதிப்பு குறைவாக உள்ளது. உதாரணமாக, நீங்கள் சொல்கிறீர்கள்: ஒரு டிரில்லியன்! எவ்வளவு குறைவு? நீங்கள் இந்த எண்ணை வகுத்தால் - அது இன்னும் குறைவாக இருக்கும். மற்றும் பல. ஒரு அளவு எண்ணற்றது என்று எழுத விரும்பினால், நாம் இப்படி எழுதுகிறோம்: ("x என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு முனைகிறது" என்று படிக்கிறோம்). புரிந்து கொள்வது மிகவும் அவசியம் இந்த எண் பூஜ்யம் இல்லை என்று!ஆனால் அதற்கு மிக அருகில். இதன் மூலம் நீங்கள் பிரிக்கலாம் என்று அர்த்தம்.
முடிவிலிக்கு எதிரான கருத்து எல்லையற்ற பெரியது (). நீங்கள் ஏற்றத்தாழ்வுகளில் பணிபுரியும் போது நீங்கள் ஏற்கனவே அதைக் கண்டிருக்கலாம்: இந்த எண் நீங்கள் நினைக்கும் எந்த எண்ணையும் விட அதிகமாக உள்ளது. நீங்கள் மிகப்பெரிய எண்ணைக் கொண்டு வந்தால், அதை இரண்டால் பெருக்கினால், இன்னும் பெரிய எண்ணைப் பெறுவீர்கள். மேலும் முடிவிலி நடப்பதை விட பெரியது. உண்மையில், எல்லையற்ற பெரியது மற்றும் எல்லையற்ற சிறியது ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறானது, அதாவது at, மற்றும் நேர்மாறாக: at.
இப்போது நம் பாதைக்கு வருவோம். இலட்சியமாக கணக்கிடப்பட்ட சாய்வு என்பது பாதையின் எல்லையற்ற பகுதிக்கு கணக்கிடப்பட்ட சாய்வாகும், அதாவது:
எல்லையற்ற இடப்பெயர்ச்சியுடன், உயரத்தின் மாற்றமும் எல்லையற்றதாக இருக்கும் என்பதை நான் கவனிக்கிறேன். ஆனால் இன்ஃபினிட்டிசிமல் என்பது பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமம் அல்ல என்பதை நினைவூட்டுகிறேன். நீங்கள் எண்ணற்ற எண்களை ஒருவருக்கொருவர் பிரித்தால், நீங்கள் முற்றிலும் சாதாரண எண்ணைப் பெறலாம், எடுத்துக்காட்டாக, . அதாவது, ஒரு சிறிய மதிப்பு மற்றொன்றை விட சரியாக மடங்கு பெரியதாக இருக்கும்.
இதெல்லாம் எதற்கு? சாலை, செங்குத்தான... நாங்கள் கார் பேரணியில் செல்லவில்லை, ஆனால் நாங்கள் கணிதம் கற்பிக்கிறோம். மேலும் கணிதத்தில் எல்லாமே ஒரே மாதிரியானவை, வித்தியாசமாக மட்டுமே அழைக்கப்படுகிறது.
வழித்தோன்றல் கருத்து
ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது வாதத்தின் எல்லையற்ற அதிகரிப்புக்கான வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கான செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதமாகும்.
அதிகரித்துகணிதத்தில் மாற்றம் என்பார்கள். வாதம் () அச்சில் நகரும்போது எந்த அளவிற்கு மாறுகிறது என்பது அழைக்கப்படுகிறது வாதம் அதிகரிப்புமற்றும் நியமிக்கப்பட்டது.அச்சு தூரத்தில் முன்னோக்கி நகரும் போது செயல்பாடு (உயரம்) எவ்வளவு மாறிவிட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடு அதிகரிப்புமற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது.
எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்பது எப்போது என்பதற்கான விகிதமாகும். செயல்பாட்டின் அதே எழுத்துடன், மேல் வலதுபுறத்தில் ஒரு ப்ரைமுடன் மட்டுமே வழித்தோன்றலைக் குறிக்கிறோம்: அல்லது எளிமையாக. எனவே, இந்த குறிப்புகளைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றல் சூத்திரத்தை எழுதுவோம்:
சாலையுடனான ஒப்புமையைப் போலவே, இங்கே செயல்பாடு அதிகரிக்கும் போது, வழித்தோன்றல் நேர்மறையாகவும், அது குறையும் போது எதிர்மறையாகவும் இருக்கும்.
வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியுமா? நிச்சயமாக. உதாரணமாக, நாம் ஒரு தட்டையான கிடைமட்ட சாலையில் வாகனம் ஓட்டினால், செங்குத்தானது பூஜ்ஜியமாகும். அது உண்மைதான், உயரம் மாறாது. இது வழித்தோன்றலுடன் உள்ளது: நிலையான செயல்பாட்டின் (நிலையான) வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:
அத்தகைய செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு எதற்கும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.
மலை உச்சி உதாரணத்தை நினைவில் கொள்வோம். முனைகளில் உள்ள உயரம் ஒரே மாதிரியாக மாறும் வகையில், பிரிவின் முனைகளை உச்சியின் எதிர் பக்கங்களில் ஏற்பாடு செய்ய முடியும் என்று அது மாறியது, அதாவது, பிரிவு அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது:
ஆனால் பெரிய பகுதிகள் துல்லியமற்ற அளவீட்டின் அடையாளம். நமது பிரிவை தனக்கு இணையாக உயர்த்துவோம், பிறகு அதன் நீளம் குறையும்.
இறுதியில், நாம் எல்லையில்லாமல் மேலே இருக்கும் போது, பிரிவின் நீளம் எல்லையற்றதாக மாறும். ஆனால் அதே நேரத்தில், அது அச்சுக்கு இணையாக இருந்தது, அதாவது, அதன் முனைகளில் உயரங்களின் வேறுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் (அது முனையவில்லை, ஆனால் சமமாக உள்ளது). எனவே வழித்தோன்றல்
இதை இப்படிப் புரிந்து கொள்ளலாம்: நாம் மிக உச்சியில் நிற்கும்போது, இடது அல்லது வலது பக்கம் ஒரு சிறிய மாற்றம் நமது உயரத்தை அலட்சியமாக மாற்றுகிறது.
முற்றிலும் இயற்கணித விளக்கமும் உள்ளது: உச்சியின் இடதுபுறத்தில் செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது, வலதுபுறம் குறைகிறது. நாம் முன்பு கண்டறிந்தபடி, ஒரு செயல்பாடு அதிகரிக்கும் போது, வழித்தோன்றல் நேர்மறையாகவும், அது குறையும் போது எதிர்மறையாகவும் இருக்கும். ஆனால் அது தாவல்கள் இல்லாமல் சீராக மாறுகிறது (சாலை எங்கும் அதன் சாய்வைக் கூர்மையாக மாற்றாது). எனவே, எதிர்மறை மற்றும் நேர்மறை மதிப்புகளுக்கு இடையில் இருக்க வேண்டும். செயல்பாடு அதிகரிக்காமலும் குறையாமலும் இருக்கும் - உச்சியில்.
தொட்டிக்கும் இது பொருந்தும் (இடதுபுறத்தில் செயல்பாடு குறைந்து வலதுபுறம் அதிகரிக்கும் பகுதி):
அதிகரிப்பு பற்றி இன்னும் கொஞ்சம்.
எனவே நாம் வாதத்தை பெரிதாக்குகிறோம். எந்த மதிப்பில் இருந்து மாறுகிறோம்? அது (வாதம்) இப்போது என்ன ஆனது? நாம் எந்த புள்ளியையும் தேர்வு செய்யலாம், இப்போது அதிலிருந்து நடனமாடுவோம்.
ஒரு ஆயத்துடன் ஒரு புள்ளியைக் கவனியுங்கள். அதில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பு சமம். பின்னர் அதே அதிகரிப்பு செய்கிறோம்: நாங்கள் ஒருங்கிணைப்பை அதிகரிக்கிறோம். இப்பொழுது என்ன? சம வாதம்? மிக எளிதாக: . இப்போது செயல்பாட்டின் மதிப்பு என்ன? வாதம் செல்லும் இடத்தில், செயல்பாடும் செல்கிறது: . செயல்பாடு அதிகரிப்பு பற்றி என்ன? புதிதாக எதுவும் இல்லை: இது இன்னும் செயல்பாடு மாறிய அளவு:
அதிகரிப்புகளைக் கண்டறிய பயிற்சி செய்யுங்கள்:
- வாதத்தின் அதிகரிப்பு சமமாக இருக்கும்போது ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கண்டறியவும்.
- ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டிற்கும் இதுவே செல்கிறது.
தீர்வுகள்:
ஒரே வாத அதிகரிப்புடன் வெவ்வேறு புள்ளிகளில், செயல்பாடு அதிகரிப்பு வேறுபட்டதாக இருக்கும். இதன் பொருள் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் உள்ள வழித்தோன்றல் வேறுபட்டது (இதை நாங்கள் ஆரம்பத்தில் விவாதித்தோம் - சாலையின் செங்குத்தானது வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வேறுபட்டது). எனவே, நாம் ஒரு வழித்தோன்றலை எழுதும்போது, எந்த புள்ளியில் குறிப்பிட வேண்டும்:
சக்தி செயல்பாடு.
ஒரு சக்தி செயல்பாடு என்பது ஒரு செயல்பாடு ஆகும், அங்கு வாதம் ஓரளவிற்கு (தர்க்கரீதியானது, சரியா?).
மேலும் - எந்த அளவிற்கு: .
அதிவேகமாக இருக்கும் போது எளிமையான வழக்கு:
ஒரு கட்டத்தில் அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம். வழித்தோன்றலின் வரையறையை நினைவு கூர்வோம்:
எனவே வாதம் மாறுகிறது. செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு என்ன?
அதிகரிப்பு இது. ஆனால் எந்த புள்ளியிலும் ஒரு செயல்பாடு அதன் வாதத்திற்கு சமம். அதனால்தான்:
வழித்தோன்றல் இதற்கு சமம்:
இதன் வழித்தோன்றல் இதற்கு சமம்:
b) இப்போது கவனியுங்கள் இருபடி செயல்பாடு (): .
இப்போது அதை நினைவில் கொள்வோம். இதன் பொருள் அதிகரிப்பின் மதிப்பு புறக்கணிக்கப்படலாம், ஏனெனில் இது எண்ணற்றது, எனவே மற்ற சொல்லின் பின்னணிக்கு எதிராக முக்கியமற்றது:
எனவே, நாங்கள் மற்றொரு விதியைக் கொண்டு வந்தோம்:
c) நாங்கள் தருக்க தொடரை தொடர்கிறோம்: .
இந்த வெளிப்பாட்டை வெவ்வேறு வழிகளில் எளிமைப்படுத்தலாம்: தொகையின் கனசதுரத்தின் சுருக்கமான பெருக்கத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முதல் அடைப்புக்குறியைத் திறக்கவும் அல்லது க்யூப்ஸ் சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி முழு வெளிப்பாட்டையும் காரணியாக்கவும். பரிந்துரைக்கப்பட்ட முறைகளில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி அதை நீங்களே செய்ய முயற்சிக்கவும்.
எனவே, நான் பின்வருவனவற்றைப் பெற்றேன்:
மீண்டும் அதை நினைவில் கொள்வோம். இதன் பொருள், பின்வரும் அனைத்து விதிமுறைகளையும் நாம் புறக்கணிக்கலாம்:
நாம் பெறுகிறோம்: .
ஈ) பெரிய அதிகாரங்களுக்கு இதே போன்ற விதிகளைப் பெறலாம்:
e) ஒரு முழு எண்ணாகக் கூட இல்லாமல், தன்னிச்சையான அடுக்குடன் கூடிய ஆற்றல் செயல்பாட்டிற்கு இந்த விதியை பொதுமைப்படுத்தலாம்:
| (2) |
விதியை வார்த்தைகளில் உருவாக்கலாம்: "பட்டம் ஒரு குணகமாக முன்னோக்கி கொண்டு வரப்படுகிறது, பின்னர் குறைக்கப்படுகிறது."
இந்த விதியை நாங்கள் பின்னர் நிரூபிப்போம் (கிட்டத்தட்ட முடிவில்). இப்போது சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம். செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்:
- (இரண்டு வழிகளில்: சூத்திரம் மற்றும் வழித்தோன்றலின் வரையறையைப் பயன்படுத்துதல் - செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கணக்கிடுவதன் மூலம்);
- . நம்புவோ இல்லையோ, இது ஒரு சக்தி செயல்பாடு. உங்களுக்கு இதுபோன்ற கேள்விகள் இருந்தால் “இது எப்படி? பட்டம் எங்கே?”, தலைப்பை நினைவில் கொள்க “”!
ஆம், ஆம், மூலமும் ஒரு பட்டம், பின்னம் மட்டுமே: .
இதன் பொருள், நமது வர்க்கமூலம் ஒரு அடுக்குடன் கூடிய சக்தி மட்டுமே:
.
சமீபத்தில் கற்றுக்கொண்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வழித்தோன்றலைத் தேடுகிறோம்:இந்த கட்டத்தில் அது மீண்டும் தெளிவில்லாமல் இருந்தால், "" தலைப்பை மீண்டும் செய்யவும்!!! (உடன் பட்டம் பற்றி எதிர்மறை காட்டி)
- . இப்போது அடுக்கு:
இப்போது வரையறை மூலம் (நீங்கள் இன்னும் மறந்துவிட்டீர்களா?):
;
.
இப்போது, வழக்கமாக, நாங்கள் கொண்டிருக்கும் சொல்லை புறக்கணிக்கிறோம்:
. - . முந்தைய வழக்குகளின் சேர்க்கை: .
முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்.
இங்கே நாம் உயர் கணிதத்தில் இருந்து ஒரு உண்மையைப் பயன்படுத்துவோம்:
வெளிப்பாட்டுடன்.
இன்ஸ்டிட்யூட்டின் முதல் ஆண்டில் நீங்கள் ஆதாரத்தைக் கற்றுக்கொள்வீர்கள் (மேலும் அங்கு செல்ல, நீங்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் தேர்ச்சி பெற வேண்டும்). இப்போது நான் அதை வரைபடமாகக் காட்டுகிறேன்:
செயல்பாடு இல்லாதபோது - வரைபடத்தின் புள்ளி வெட்டப்பட்டிருப்பதைக் காண்கிறோம். ஆனால் மதிப்புக்கு நெருக்கமாக, செயல்பாடு நெருக்கமாக உள்ளது. இதுவே "நோக்கம்" ஆகும்.
கூடுதலாக, கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி இந்த விதியை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம். ஆம், ஆம், வெட்கப்பட வேண்டாம், கால்குலேட்டரை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், நாங்கள் இன்னும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் இல்லை.
எனவே, முயற்சிப்போம்: ;
உங்கள் கால்குலேட்டரை ரேடியன்ஸ் பயன்முறைக்கு மாற்ற மறக்காதீர்கள்!
முதலியன குறைவாக இருப்பதைக் காண்கிறோம் நெருக்கமான மதிப்புஉறவு
அ) செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள். வழக்கம் போல், அதன் அதிகரிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:
சைன்களின் வித்தியாசத்தை ஒரு தயாரிப்பாக மாற்றுவோம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் ("" தலைப்பை நினைவில் கொள்க): .
இப்போது வழித்தோன்றல்:
மாற்றீடு செய்வோம்: . பிறகு எல்லையற்ற அற்பத்திற்கு அதுவும் எல்லையற்றது: . இதற்கான வெளிப்பாடு வடிவம் எடுக்கிறது:
இப்போது நாம் அதை வெளிப்பாடுடன் நினைவில் கொள்கிறோம். மேலும், தொகையில் (அதாவது, மணிக்கு) ஒரு எண்ணற்ற அளவு புறக்கணிக்கப்பட்டால் என்ன செய்வது.
எனவே, பின்வரும் விதியைப் பெறுகிறோம்: சைனின் வழித்தோன்றல் கொசைனுக்கு சமம்:
இவை அடிப்படை ("அட்டவணை") வழித்தோன்றல்கள். இங்கே அவை ஒரு பட்டியலில் உள்ளன:
பின்னர் அவற்றில் இன்னும் சிலவற்றைச் சேர்ப்போம், ஆனால் இவை மிக முக்கியமானவை, ஏனெனில் அவை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
பயிற்சி:
- ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்;
- செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.
தீர்வுகள்:
- முதலில், உள்ள வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம் பொதுவான பார்வை, பின்னர் அதன் மதிப்பை மாற்றவும்:
;
. - இங்கே நமக்கு ஒத்த ஒன்று உள்ளது சக்தி செயல்பாடு. அவளை அழைத்து வர முயற்சிப்போம்
இயல்பான பார்வை:
.
அருமை, இப்போது நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:
.
. - . ஈஈஈஈ..... என்ன இது????
சரி, நீங்கள் சொல்வது சரிதான், அத்தகைய வழித்தோன்றல்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பது எங்களுக்கு இன்னும் தெரியவில்லை. இங்கே நாம் பல வகையான செயல்பாடுகளின் கலவையைக் கொண்டுள்ளோம். அவர்களுடன் பணியாற்ற, நீங்கள் இன்னும் சில விதிகளைக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும்:
அடுக்கு மற்றும் இயற்கை மடக்கை.
கணிதத்தில் ஒரு செயல்பாடு உள்ளது, அதன் வழித்தோன்றல் எந்த மதிப்பிற்கும் அதே நேரத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும். இது "அடுக்கு" என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது ஒரு அதிவேக செயல்பாடு ஆகும்
இந்த செயல்பாட்டின் அடிப்படை ஒரு நிலையானது - இது எல்லையற்றது தசம, அதாவது, ஒரு விகிதாசார எண் (போன்றவை). இது "ஆய்லர் எண்" என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதனால்தான் இது ஒரு கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.
எனவே, விதி:
நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிதானது.
சரி, நாம் வெகுதூரம் செல்ல வேண்டாம், உடனடியாக தலைகீழ் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். அதிவேக செயல்பாட்டின் தலைகீழ் செயல்பாடு எது? மடக்கை:
எங்கள் விஷயத்தில், அடிப்படை எண்:
அத்தகைய மடக்கை (அதாவது, அடித்தளத்துடன் கூடிய மடக்கை) "இயற்கை" என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அதற்கு ஒரு சிறப்பு குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம்: அதற்கு பதிலாக எழுதுகிறோம்.
அது எதற்கு சமம்? நிச்சயமாக, .
இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றலும் மிகவும் எளிமையானது:
எடுத்துக்காட்டுகள்:
- செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.
- செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் என்ன?
பதில்கள்: கண்காட்சியாளர் மற்றும் இயற்கை மடக்கை- செயல்பாடுகள் வழித்தோன்றல்களின் அடிப்படையில் தனிப்பட்ட முறையில் எளிமையானவை. வேறு எந்த அடிப்படையையும் கொண்ட அதிவேக மற்றும் மடக்கைச் சார்புகள் வேறுபட்ட வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்கும், அதை நாம் வேறுபாட்டின் விதிகளுக்குப் பிறகு பகுப்பாய்வு செய்வோம்.
வேறுபாடு விதிகள்
என்ன விதிகள்? மீண்டும் ஒரு புதிய சொல்?!...
வேறுபாடுவழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்முறையாகும்.
அவ்வளவுதான். இந்த செயல்முறையை ஒரே வார்த்தையில் வேறு என்ன அழைக்கலாம்? வழித்தோன்றல் அல்ல... ஒரு செயல்பாட்டின் அதே அதிகரிப்பு என்று கணிதவியலாளர்கள் வேறுபாட்டை அழைக்கின்றனர். இந்த சொல் லத்தீன் வேறுபாடு - வேறுபாடு இருந்து வந்தது. இங்கே.
இந்த விதிகள் அனைத்தையும் பெறும்போது, நாம் இரண்டு செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவோம், எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும். அவற்றின் அதிகரிப்புக்கான சூத்திரங்களும் நமக்குத் தேவைப்படும்:
மொத்தம் 5 விதிகள் உள்ளன.
மாறிலியானது வழித்தோன்றல் குறியிலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது.
என்றால் - சில நிலையான எண் (நிலையான), பின்னர்.
வெளிப்படையாக, இந்த விதி வேறுபாட்டிற்கும் வேலை செய்கிறது: .
நிரூபிப்போம். அது இருக்கட்டும், அல்லது எளிமையாக இருக்கட்டும்.
எடுத்துக்காட்டுகள்.
செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்:
- ஒரு கட்டத்தில்;
- ஒரு கட்டத்தில்;
- ஒரு கட்டத்தில்;
- புள்ளியில்.
தீர்வுகள்:
- (வழித்தோன்றல் அனைத்து புள்ளிகளிலும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், ஏனெனில் இது ஒரு நேரியல் செயல்பாடு, நினைவிருக்கிறதா?);
தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல்
இங்கே எல்லாம் ஒத்திருக்கிறது: ஒரு புதிய செயல்பாட்டை அறிமுகப்படுத்தி அதன் அதிகரிப்பைக் கண்டறியவும்:
வழித்தோன்றல்:
எடுத்துக்காட்டுகள்:
- செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும் மற்றும்;
- ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.
தீர்வுகள்:
அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்
அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை அறிய இப்போது உங்கள் அறிவு போதுமானது, ஆனால் அடுக்குகள் மட்டுமல்ல (அது என்ன என்பதை நீங்கள் இன்னும் மறந்துவிட்டீர்களா?).
எனவே, சில எண் எங்கே.
செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை நாங்கள் ஏற்கனவே அறிவோம், எனவே எங்கள் செயல்பாட்டை ஒரு புதிய தளத்திற்கு குறைக்க முயற்சிப்போம்:
இதற்காக நாம் பயன்படுத்துவோம் எளிய விதி: . பிறகு:
சரி, அது வேலை செய்தது. இப்போது வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவும், இந்த செயல்பாடு சிக்கலானது என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள்.
நடந்ததா?
இங்கே, உங்களை நீங்களே சரிபார்க்கவும்:
சூத்திரம் ஒரு அதிவேகத்தின் வழித்தோன்றலுக்கு மிகவும் ஒத்ததாக மாறியது: அது அப்படியே உள்ளது, ஒரு காரணி மட்டுமே தோன்றியது, இது ஒரு எண், ஆனால் ஒரு மாறி அல்ல.
எடுத்துக்காட்டுகள்:
செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்:
பதில்கள்:
இது ஒரு கால்குலேட்டர் இல்லாமல் கணக்கிட முடியாத ஒரு எண், அதாவது, இதை இனி எழுத முடியாது. எளிய வடிவத்தில். எனவே, பதிலில் இந்த வடிவத்தில் விட்டுவிடுகிறோம்.
மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்
இது இங்கே ஒத்திருக்கிறது: இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றல் உங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்:
எனவே, வேறு தளத்துடன் தன்னிச்சையான மடக்கையைக் கண்டறிய, எடுத்துக்காட்டாக:
இந்த மடக்கையை நாம் அடித்தளமாகக் குறைக்க வேண்டும். மடக்கையின் அடித்தளத்தை எவ்வாறு மாற்றுவது? இந்த சூத்திரத்தை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருக்கிறீர்கள் என்று நம்புகிறேன்:
இப்போது நாம் அதற்கு பதிலாக எழுதுவோம்:
வகுத்தல் என்பது வெறுமனே ஒரு மாறிலி (ஒரு மாறிலி இல்லாத ஒரு நிலையான எண்). வழித்தோன்றல் மிகவும் எளிமையாக பெறப்படுகிறது:
அதிவேக மற்றும் மடக்கை செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வில் கிட்டத்தட்ட ஒருபோதும் காணப்படவில்லை, ஆனால் அவற்றை அறிவது மிதமிஞ்சியதாக இருக்காது.
சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.
"சிக்கலான செயல்பாடு" என்றால் என்ன? இல்லை, இது மடக்கை அல்ல, ஆர்க்டஜென்ட் அல்ல. இந்த செயல்பாடுகளை புரிந்துகொள்வது கடினமாக இருக்கலாம் (நீங்கள் மடக்கை கடினமாக இருந்தால், "மடக்கை" என்ற தலைப்பைப் படிக்கவும், நீங்கள் நன்றாக இருப்பீர்கள்), ஆனால் கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், "சிக்கலானது" என்ற வார்த்தையானது "கடினமானது" என்று அர்த்தமல்ல.
ஒரு சிறிய கன்வேயர் பெல்ட்டை கற்பனை செய்து பாருங்கள்: இரண்டு பேர் உட்கார்ந்து சில பொருட்களைக் கொண்டு சில செயல்களைச் செய்கிறார்கள். உதாரணமாக, முதல் ஒரு சாக்லேட் பட்டியை ஒரு ரேப்பரில் போர்த்தி, இரண்டாவது அதை ரிப்பனுடன் இணைக்கிறது. இதன் விளைவாக ஒரு கலப்பு பொருள்: ஒரு சாக்லேட் பட்டை மூடப்பட்டு, ரிப்பனுடன் கட்டப்பட்டுள்ளது. ஒரு சாக்லேட் பார் சாப்பிட, நீங்கள் தலைகீழ் படிகளை செய்ய வேண்டும் பின்னோக்கு வரிசை.
இதேபோன்ற கணிதக் குழாய் ஒன்றை உருவாக்குவோம்: முதலில் ஒரு எண்ணின் கோசைனைக் கண்டுபிடித்து, அதன் விளைவாக வரும் எண்ணை சதுரமாக்குவோம். எனவே, எங்களுக்கு ஒரு எண் (சாக்லேட்) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, அதன் கொசைனை (ரேப்பர்) நான் கண்டுபிடித்தேன், பின்னர் எனக்கு கிடைத்ததை நீங்கள் சதுரமாக்குங்கள் (அதை ரிப்பனுடன் கட்டவும்). என்ன நடந்தது? செயல்பாடு. இது ஒரு உதாரணம் சிக்கலான செயல்பாடு: எப்போது, அதன் மதிப்பைக் கண்டறிய, முதல் செயலை மாறியுடன் நேரடியாகச் செய்கிறோம், பின்னர் முதல் செயலின் விளைவாக இரண்டாவது செயலைச் செய்கிறோம்.
அதே படிகளை நாம் தலைகீழ் வரிசையில் எளிதாகச் செய்யலாம்: முதலில் நீங்கள் அதைச் சதுரம் செய்து, அதன் விளைவாக வரும் எண்ணின் கொசைனைத் தேடுகிறேன்: . முடிவு எப்போதும் வித்தியாசமாக இருக்கும் என்று யூகிக்க எளிதானது. முக்கிய அம்சம்சிக்கலான செயல்பாடுகள்: செயல்களின் வரிசை மாறும்போது, செயல்பாடு மாறுகிறது.
வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு என்பது ஒரு செயல்பாடு, அதன் வாதம் மற்றொரு செயல்பாடு: .
முதல் உதாரணத்திற்கு, .
இரண்டாவது உதாரணம்: (அதே விஷயம்). .
கடைசியாக நாம் செய்யும் செயல் அழைக்கப்படும் "வெளிப்புற" செயல்பாடு, மற்றும் முதலில் செய்யப்படும் செயல் - அதன்படி "உள்" செயல்பாடு(இவை முறைசாரா பெயர்கள், நான் அவற்றை எளிய மொழியில் பொருள் விளக்க மட்டுமே பயன்படுத்துகிறேன்).
எந்த செயல்பாடு வெளிப்புறமானது மற்றும் எந்த உள் செயல்பாடு என்பதை நீங்களே தீர்மானிக்க முயற்சிக்கவும்:
பதில்கள்:உள் மற்றும் வெளிப்புற செயல்பாடுகளைப் பிரிப்பது மாறிகளை மாற்றுவதைப் போன்றது: எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு செயல்பாட்டில்
- முதலில் நாம் என்ன செயலைச் செய்வோம்? முதலில், சைனைக் கணக்கிடுவோம், பின்னர் அதை கனசதுரமாக்குவோம். இதன் பொருள் இது ஒரு உள் செயல்பாடு, ஆனால் வெளிப்புறமானது.
மற்றும் அசல் செயல்பாடு அவற்றின் கலவை: . - அக:; வெளி:.
தேர்வு: . - அக:; வெளி:.
தேர்வு: . - அக:; வெளி:.
தேர்வு: . - அக:; வெளி:.
தேர்வு: .
நாம் மாறிகளை மாற்றி ஒரு செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.
சரி, இப்போது நாம் சாக்லேட் பட்டையை பிரித்தெடுத்து அதன் வழித்தோன்றலைத் தேடுவோம். செயல்முறை எப்போதும் தலைகீழாக இருக்கும்: முதலில் நாம் வெளிப்புற செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைத் தேடுகிறோம், பின்னர் உள் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலால் முடிவைப் பெருக்குகிறோம். அசல் எடுத்துக்காட்டுடன், இது போல் தெரிகிறது:
மற்றொரு உதாரணம்:
எனவே, இறுதியாக அதிகாரப்பூர்வ விதியை உருவாக்குவோம்:
சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்:
இது எளிமையானதாகத் தெரிகிறது, இல்லையா?
எடுத்துக்காட்டுகளுடன் சரிபார்க்கலாம்:
தீர்வுகள்:
1) உள்: ;
வெளி: ;
2) உள்: ;
(இப்போது அதை வெட்ட முயற்சிக்காதீர்கள்! கொசைன் கீழ் இருந்து எதுவும் வெளிவரவில்லை, நினைவிருக்கிறதா?)
3) உள்: ;
வெளி: ;
இது மூன்று-நிலை சிக்கலான செயல்பாடு என்பது உடனடியாகத் தெளிவாகிறது: எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இது ஏற்கனவே ஒரு சிக்கலான செயல்பாடாகும், மேலும் அதிலிருந்து வேரைப் பிரித்தெடுக்கிறோம், அதாவது மூன்றாவது செயலைச் செய்கிறோம் (சாக்லேட்டை ஒரு இடத்தில் வைக்கிறோம். ரேப்பர் மற்றும் பிரீஃப்கேஸில் ஒரு ரிப்பனுடன்). ஆனால் பயப்படுவதற்கு எந்த காரணமும் இல்லை: இந்த செயல்பாட்டை வழக்கம் போல் அதே வரிசையில் "திறப்போம்": முடிவில் இருந்து.
அதாவது, முதலில் நாம் மூலத்தையும், பின்னர் கொசைனையும், பின்னர் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாட்டையும் வேறுபடுத்துகிறோம். பின்னர் நாம் அனைத்தையும் பெருக்குகிறோம்.
இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், செயல்களை எண்ணுவது வசதியானது. அதாவது, நமக்குத் தெரிந்ததைக் கற்பனை செய்வோம். இந்த வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிட எந்த வரிசையில் செயல்களைச் செய்வோம்? ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:
செயல் எவ்வளவு தாமதமாக செய்யப்படுகிறதோ, அவ்வளவு "வெளிப்புறமாக" தொடர்புடைய செயல்பாடு இருக்கும். செயல்களின் வரிசை முந்தையதைப் போலவே உள்ளது:
இங்கே கூடு பொதுவாக 4-நிலை. நடவடிக்கையின் போக்கை தீர்மானிப்போம்.
1. தீவிர வெளிப்பாடு. .
2. வேர். .
3. சைன். .
4. சதுரம். .
5. அனைத்தையும் ஒன்றாக இணைத்தல்:
வழித்தோன்றல். முக்கிய விஷயங்களைப் பற்றி சுருக்கமாக
ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்- வாதத்தின் எல்லையற்ற அதிகரிப்புக்கான வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கு செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதம்:
அடிப்படை வழித்தோன்றல்கள்:
வேறுபாடு விதிகள்:
மாறிலியானது வழித்தோன்றல் குறியிலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது:
தொகையின் வழித்தோன்றல்:
தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல்:
விகுதியின் வழித்தோன்றல்:
சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்:
சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்:
- நாம் "உள்" செயல்பாட்டை வரையறுத்து அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிகிறோம்.
- நாம் "வெளிப்புற" செயல்பாட்டை வரையறுத்து அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிகிறோம்.
- முதல் மற்றும் இரண்டாவது புள்ளிகளின் முடிவுகளை நாங்கள் பெருக்குகிறோம்.
கட்டுரையின் உள்ளடக்கம்
வழித்தோன்றல்- செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் ஒய் = f(எக்ஸ்), ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் கொடுக்கப்பட்டது ( அ, பி) புள்ளியில் எக்ஸ்இந்த இடைவெளியின் வரம்பு, செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பின் விகிதம் இருக்கும் வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது fஇந்த கட்டத்தில் வாதத்தின் அதிகரிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது வாதத்தின் தொடர்புடைய அதிகரிப்புக்கு.
வழித்தோன்றல் பொதுவாக பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது:
பிற பெயர்களும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:
உடனடி வேகம்.
புள்ளியை விடுங்கள் எம்நேர்கோட்டில் நகரும். தூரம் கள்நகரும் புள்ளி, சில ஆரம்ப நிலையில் இருந்து கணக்கிடப்படுகிறது எம் 0 , நேரம் சார்ந்தது டி, அதாவது கள்நேரத்தின் செயல்பாடு உள்ளது டி: கள்= f(டி). ஒரு கட்டத்தில் விடுங்கள் டிநகரும் புள்ளி எம்தொலைவில் இருந்தது கள்தொடக்க நிலையில் இருந்து எம் 0, மற்றும் சில அடுத்த கணத்தில் டி+D டிதன்னை ஒரு நிலையில் கண்டாள் எம் 1 - தூரத்தில் கள்+D கள்ஆரம்ப நிலையில் இருந்து ( படத்தை பார்க்கவும்.).
இவ்வாறு, ஒரு குறிப்பிட்ட காலப்பகுதியில் டி டிதூரம் கள்டி அளவு மாற்றப்பட்டது கள். இந்நிலையில் அவர்கள் கூறுகையில், கால இடைவெளியில் டி டிஅளவு கள் D இன்கிரிமென்ட் பெற்றார் கள்.
சராசரி வேகம் எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும் ஒரு புள்ளியின் இயக்கத்தின் வேகத்தை துல்லியமாக வகைப்படுத்த முடியாது எம்ஒரு கட்டத்தில் டி. எடுத்துக்காட்டாக, இடைவெளியின் தொடக்கத்தில் உள்ள உடல் டி என்றால் டிமிக விரைவாக நகர்ந்தது, இறுதியில் மிக மெதுவாக, பின்னர் சராசரி வேகம் புள்ளியின் இயக்கத்தின் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட அம்சங்களை பிரதிபலிக்க முடியாது மற்றும் இந்த நேரத்தில் அதன் இயக்கத்தின் உண்மையான வேகத்தை ஒரு யோசனை கொடுக்க முடியாது டி. சராசரி வேகத்தைப் பயன்படுத்தி உண்மையான வேகத்தை இன்னும் துல்லியமாக வெளிப்படுத்த, நீங்கள் ஒரு குறுகிய காலத்தை எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும் D டி. இந்த நேரத்தில் ஒரு புள்ளியின் இயக்கத்தின் வேகத்தை முழுமையாக வகைப்படுத்துகிறது டிசராசரி வேகம் D இல் இருக்கும் வரம்பு டி® 0. இந்த வரம்பு உள்ளே இயக்கத்தின் வேகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது இந்த நேரத்தில்:
இவ்வாறு, ஒரு குறிப்பிட்ட தருணத்தில் இயக்கத்தின் வேகம் பாதை அதிகரிப்பு விகிதத்தின் வரம்பு D என்று அழைக்கப்படுகிறது கள்கால அதிகரிப்புக்கு டி டி, நேர அதிகரிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் போது. ஏனெனில்
வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள். ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு.
தொடுகோடுகளின் கட்டுமானம் வேறுபட்ட கால்குலஸின் பிறப்புக்கு வழிவகுத்த சிக்கல்களில் ஒன்றாகும். லீப்னிஸ் எழுதிய டிஃபரன்ஷியல் கால்குலஸ் தொடர்பான முதல் வெளியிடப்பட்ட படைப்பு தலைப்பு புதிய முறைமாக்சிமா மற்றும் மினிமா, அத்துடன் தொடுகோள்கள், இதற்குப் பகுதியளவு அல்லது பகுத்தறிவற்ற அளவுகள் மற்றும் இதற்கு ஒரு சிறப்பு வகை கால்குலஸ் ஆகியவை தடையாக செயல்படுகின்றன..
வளைவு செயல்பாட்டின் வரைபடமாக இருக்கட்டும் ஒய் =f(எக்ஸ்ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ( செ.மீ. அரிசி.).
சில மதிப்பில் எக்ஸ்செயல்பாடு முக்கியமானது ஒய் =f(எக்ஸ்) இந்த மதிப்புகள் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்வளைவில் உள்ள புள்ளி ஒத்துள்ளது எம் 0(எக்ஸ், ஒய்) வாதம் என்றால் எக்ஸ்கொடுக்க அதிகரிப்பு டி எக்ஸ், பின்னர் வாதத்தின் புதிய மதிப்பு எக்ஸ்+D எக்ஸ்புதிய செயல்பாட்டு மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது y+டி ஒய் = f(எக்ஸ் + டி எக்ஸ்) வளைவின் தொடர்புடைய புள்ளி புள்ளியாக இருக்கும் எம் 1(எக்ஸ்+D எக்ஸ்,ஒய்+D ஒய்) நீங்கள் ஒரு செகண்ட் வரைந்தால் எம் 0எம் 1 மற்றும் j ஆல் குறிக்கப்படுகிறது அச்சின் நேர் திசையுடன் ஒரு குறுக்குவெட்டு மூலம் உருவாக்கப்பட்ட கோணம் எருது, என்பது உருவத்திலிருந்து உடனடியாகத் தெளிவாகிறது.
இப்போது என்றால் டி எக்ஸ்பூஜ்ஜியத்தை நோக்கி செல்கிறது, பின்னர் புள்ளி எம் 1 வளைவுடன் நகர்கிறது, புள்ளியை நெருங்குகிறது எம் 0, மற்றும் கோணம் ஜே டி உடன் மாற்றங்கள் எக்ஸ். மணிக்கு Dx® 0 கோணம் ஒரு குறிப்பிட்ட வரம்பு a மற்றும் புள்ளியின் வழியாக செல்லும் நேர் கோடு எம் 0 மற்றும் x-அச்சின் நேர் திசை கொண்ட கூறு, கோணம் a, விரும்பிய தொடுகோடு இருக்கும். அதன் சாய்வு:
எனவே, f´( எக்ஸ்) = tga
அந்த. வழித்தோன்றல் மதிப்பு f´( எக்ஸ்) கொடுக்கப்பட்ட வாத மதிப்புக்கு எக்ஸ்செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு தொடுகோணத்தால் உருவாக்கப்பட்ட கோணத்தின் தொடுகோடு சமம் f(எக்ஸ்) தொடர்புடைய புள்ளியில் எம் 0(எக்ஸ்,ஒய்) நேர்மறை அச்சு திசையுடன் எருது.
செயல்பாடுகளின் வேறுபாடு.
வரையறை. செயல்பாடு என்றால் ஒய் = f(எக்ஸ்) புள்ளியில் ஒரு வழித்தோன்றல் உள்ளது எக்ஸ் = எக்ஸ் 0, பின்னர் செயல்பாடு இந்த கட்டத்தில் வேறுபட்டது.
வழித்தோன்றல் கொண்ட செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி. தேற்றம்.
செயல்பாடு என்றால் ஒய் = f(எக்ஸ்) ஒரு கட்டத்தில் வேறுபடக்கூடியது எக்ஸ் = எக்ஸ் 0, பின்னர் அது இந்த கட்டத்தில் தொடர்கிறது.
எனவே, செயல்பாடு இடைநிறுத்தப் புள்ளிகளில் ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்க முடியாது. எதிர் முடிவு தவறானது, அதாவது. ஒரு கட்டத்தில் இருந்து எக்ஸ் = எக்ஸ் 0 செயல்பாடு ஒய் = f(எக்ஸ்) தொடர்ச்சியாக உள்ளது என்பது இந்த கட்டத்தில் வேறுபடுத்தக்கூடியது என்று அர்த்தமல்ல. உதாரணமாக, செயல்பாடு ஒய் = |எக்ஸ்| அனைவருக்கும் தொடர்ந்து எக்ஸ்(–Ґ x x = 0 க்கு வழித்தோன்றல் இல்லை. இந்த கட்டத்தில் வரைபடத்திற்கு தொடுகோடு இல்லை. வலது மற்றும் இடதுபுறம் உள்ளது, ஆனால் அவை ஒத்துப்போவதில்லை.
வேறுபட்ட செயல்பாடுகளில் சில கோட்பாடுகள். வழித்தோன்றலின் வேர்கள் பற்றிய தேற்றம் (ரோல் தேற்றம்).செயல்பாடு என்றால் f(எக்ஸ்) பிரிவில் தொடர்ச்சியாக உள்ளது [அ,பி], இந்த பிரிவின் அனைத்து உள் புள்ளிகளிலும் மற்றும் முனைகளிலும் வேறுபடுகிறது எக்ஸ் = அமற்றும் எக்ஸ் = பிபூஜ்ஜியத்திற்கு செல்கிறது ( f(அ) = f(பி) = 0), பின்னர் பிரிவின் உள்ளே [ அ,பி] குறைந்தது ஒரு புள்ளி உள்ளது எக்ஸ்= உடன், அ c b, இதில் வழித்தோன்றல் fў( எக்ஸ்) பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்கிறது, அதாவது. fў( c) = 0.
வரையறுக்கப்பட்ட அதிகரிப்பு தேற்றம் (லாக்ரேஞ்ச் தேற்றம்).செயல்பாடு என்றால் f(எக்ஸ்) இடைவெளியில் தொடர்ந்து உள்ளது [ அ, பி] மற்றும் இந்த பிரிவின் அனைத்து உட்புற புள்ளிகளிலும் வேறுபடக்கூடியது, பின்னர் பிரிவின் உள்ளே [ அ, பி] குறைந்தது ஒரு புள்ளி உள்ளது உடன், அ c b என்று
f(பி) – f(அ) = fў( c)(பி– அ).
இரண்டு செயல்பாடுகளின் அதிகரிப்புகளின் விகிதத்தில் தேற்றம் (Cauchy's theorem).என்றால் f(எக்ஸ்) மற்றும் g(எக்ஸ்) - பிரிவில் தொடர்ச்சியான இரண்டு செயல்பாடுகள் [அ, பி] மற்றும் இந்த பிரிவின் அனைத்து உட்புற புள்ளிகளிலும் வேறுபடலாம், மற்றும் gў( எக்ஸ்) இந்த பிரிவிற்குள் எங்கும் மறைந்துவிடாது, பின்னர் பிரிவின் உள்ளே [ அ, பி] அப்படி ஒரு புள்ளி இருக்கிறது எக்ஸ் = உடன், அ c b என்று
பல்வேறு ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்கள்.
செயல்படட்டும் ஒய் =f(எக்ஸ்) சில இடைவெளியில் வேறுபடலாம் [ அ, பி]. வழித்தோன்றல் மதிப்புகள் f ў( எக்ஸ்), பொதுவாக, சார்ந்தது எக்ஸ், அதாவது வழித்தோன்றல் f ў( எக்ஸ்) என்பதும் ஒரு செயல்பாடாகும் எக்ஸ். இந்த செயல்பாட்டை வேறுபடுத்தும் போது, செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுவதைப் பெறுகிறோம் f(எக்ஸ்), இது குறிக்கப்படுகிறது f ўў ( எக்ஸ்).
வழித்தோன்றல் n-செயல்பாட்டின் வரிசை f(எக்ஸ்) வழித்தோன்றலின் (முதல் வரிசை) வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது n- 1- வது மற்றும் சின்னத்தால் குறிக்கப்படுகிறது ஒய்(n) = (ஒய்(n– 1))ў.
பல்வேறு ஆர்டர்களின் வேறுபாடுகள்.
செயல்பாடு வேறுபாடு ஒய் = f(எக்ஸ்), எங்கே எக்ஸ்- சுயாதீன மாறி, ஆம் dy = f ў( எக்ஸ்)dx, இருந்து சில செயல்பாடு எக்ஸ், ஆனால் இருந்து எக்ஸ்முதல் காரணி மட்டுமே சார்ந்துள்ளது f ў( எக்ஸ்), இரண்டாவது காரணி ( dx) என்பது சுயாதீன மாறியின் அதிகரிப்பு ஆகும் எக்ஸ்மற்றும் இந்த மாறியின் மதிப்பைச் சார்ந்து இல்லை. ஏனெனில் dyஇருந்து ஒரு செயல்பாடு உள்ளது எக்ஸ், இந்த செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டை நாம் தீர்மானிக்க முடியும். ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் வேறுபாடு இந்த செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வேறுபாடு அல்லது இரண்டாவது-வரிசை வேறுபாடு என அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் குறிக்கப்படுகிறது ஈ 2ஒய்:
ஈ(dx) = ஈ 2ஒய் = f ўў( எக்ஸ்)(dx) 2 .
வித்தியாசமான n-முதல் வரிசை வேறுபாட்டின் முதல் வேறுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது n- 1- வது உத்தரவு:
டி என் ஒய் = ஈ(d n–1ஒய்) = f(n)(எக்ஸ்)dx(n).
பகுதி வழித்தோன்றல்.
ஒரு செயல்பாடு ஒன்றைச் சார்ந்தது அல்ல, ஆனால் பல வாதங்களைப் பொறுத்தது x i(நான் 1 முதல் மாறுபடும் n,நான்= 1, 2,… n),f(எக்ஸ் 1,எக்ஸ் 2,… x n), பின்னர் வேறுபட்ட கால்குலஸில் பகுதி வழித்தோன்றல் என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது, இது ஒரே ஒரு வாதம் மாறும்போது பல மாறிகளின் செயல்பாட்டின் மாற்ற விகிதத்தை வகைப்படுத்துகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, x i. 1வது வரிசையின் பகுதி வழித்தோன்றல் தொடர்பாக x iஒரு சாதாரண வழித்தோன்றலாக வரையறுக்கப்படுகிறது, மேலும் அனைத்து வாதங்களும் தவிர என்று கருதப்படுகிறது x i, நிலையான மதிப்புகளை வைத்திருங்கள். பகுதி வழித்தோன்றல்களுக்கு, குறியீடு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது
இந்த வழியில் வரையறுக்கப்பட்ட 1 வது வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் (அதே வாதங்களின் செயல்பாடுகளாக) பகுதி வழித்தோன்றல்களையும் கொண்டிருக்கலாம், இவை இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் போன்றவை. வெவ்வேறு வாதங்களிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட இத்தகைய வழித்தோன்றல்கள் கலப்பு என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரே வரிசையின் தொடர்ச்சியான கலப்பு வழித்தோன்றல்கள் வேறுபாட்டின் வரிசையைச் சார்ந்து இல்லை மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும்.
அன்னா சுகைனோவா
வரையறை.\(y = f(x)\) செயல்பாடு \(x_0\) புள்ளியைக் கொண்ட ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் வரையறுக்கப்படட்டும். இந்த இடைவெளியை விட்டு வெளியேறாத வகையில் \(\Delta x \) வாதத்தை அதிகரிப்போம். \(\Delta y \) (\(x_0 \) புள்ளியிலிருந்து \(x_0 + \Delta x \)) செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய அதிகரிப்பைக் கண்டுபிடித்து, \(\frac(\Delta) உறவை உருவாக்குவோம் y)(\டெல்டா x) \). இந்த விகிதத்திற்கு \(\Delta x \rightarrow 0\) வரம்பு இருந்தால், குறிப்பிட்ட வரம்பு அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்\(x_0 \) புள்ளியில் \(y=f(x) \) மற்றும் \(f"(x_0) \) என்பதைக் குறிக்கிறது.
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
வழித்தோன்றலைக் குறிக்க y என்ற குறியீடு பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. y" = f(x) என்பது ஒரு புதிய செயல்பாடு, ஆனால் இயற்கையாகவே y = f(x) செயல்பாட்டுடன் தொடர்புடையது, மேலே உள்ள வரம்பு இருக்கும் x அனைத்து புள்ளிகளிலும் வரையறுக்கப்படுகிறது. இந்த செயல்பாடு இப்படி அழைக்கப்படுகிறது: y = f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்.
வடிவியல் பொருள்வழித்தோன்றல்பின்வருமாறு. y-அச்சுக்கு இணையாக இல்லாத abscissa x=a உடன் புள்ளியில் y = f(x) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரைய முடிந்தால், f(a) தொடுகோட்டின் சாய்வை வெளிப்படுத்துகிறது. :
\(k = f"(a)\)
\(k = tg(a) \), பின்னர் சமத்துவம் \(f"(a) = tan(a) \) உண்மை.
இப்போது தோராயமான சமத்துவங்களின் பார்வையில் இருந்து வழித்தோன்றலின் வரையறையை விளக்குவோம். \(y = f(x)\) சார்பு ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்கட்டும் \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
இதன் பொருள் x புள்ளிக்கு அருகில் தோராயமான சமத்துவம் \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), அதாவது \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ டெல்டா x\). இதன் விளைவாக தோராயமான சமத்துவத்தின் அர்த்தமுள்ள பொருள் பின்வருமாறு: செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கு "கிட்டத்தட்ட விகிதாசாரமாக" இருக்கும், மேலும் விகிதாச்சாரத்தின் குணகம் என்பது வழித்தோன்றலின் மதிப்பாகும். கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிஎக்ஸ். எடுத்துக்காட்டாக, செயல்பாட்டிற்கு \(y = x^2\) தோராயமான சமத்துவம் \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) செல்லுபடியாகும். ஒரு வழித்தோன்றலின் வரையறையை நாம் கவனமாக பகுப்பாய்வு செய்தால், அதைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு அல்காரிதம் அதில் இருப்பதைக் காண்போம்.
அதை முறைப்படுத்துவோம்.
y = f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?
1. \(x\) மதிப்பை சரிசெய்யவும், \(f(x)\)
2. வாதத்திற்கு \(x\) ஒரு அதிகரிப்பு \(\Delta x\) கொடுக்கவும், ஒரு புதிய புள்ளிக்குச் செல்லவும் \(x+ \Delta x \), கண்டுபிடி \(f(x+ \Delta x) \)
3. செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பைக் கண்டறியவும்: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. உறவை உருவாக்கவும் \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. கணக்கிடவும் $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
இந்த வரம்பு x புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகும்.
ஒரு சார்பு y = f(x) ஒரு புள்ளி x இல் ஒரு வழித்தோன்றல் இருந்தால், அது ஒரு புள்ளி x இல் வேறுபடுத்தக்கூடியது என்று அழைக்கப்படுகிறது. y = f(x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்முறை அழைக்கப்படுகிறது வேறுபாடுசெயல்பாடுகள் y = f(x).
பின்வரும் கேள்வியைப் பற்றி விவாதிப்போம்: ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சி மற்றும் வேறுபாடு எவ்வாறு ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புடையது?
y = f(x) சார்பு x புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருக்கட்டும். பின்னர் M(x; f(x)) புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரையப்படலாம், மேலும், தொடுகோட்டின் கோண குணகம் f "(x) க்கு சமமாக இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க. அத்தகைய வரைபடம் "உடைக்க" முடியாது. புள்ளி M இல், அதாவது செயல்பாடு x புள்ளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்க வேண்டும்.
இவை "கையில்" வாதங்கள். இன்னும் கடுமையான நியாயத்தை வழங்குவோம். x புள்ளியில் y = f(x) சார்பு வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், தோராயமான சமத்துவம் \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) உள்ளது. இந்த சமத்துவத்தில் \(\Delta x \) பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், பின்னர் \(\Delta y \) பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், மேலும் இது ஒரு கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சிக்கான நிபந்தனையாகும்.
அதனால், ஒரு புள்ளி x இல் ஒரு செயல்பாடு வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தால், அது அந்த புள்ளியில் தொடர்ச்சியாக இருக்கும்.
தலைகீழ் அறிக்கை உண்மையல்ல. எடுத்துக்காட்டாக: செயல்பாடு y = |x| எல்லா இடங்களிலும் தொடர்ச்சியாக உள்ளது, குறிப்பாக x = 0 புள்ளியில், ஆனால் "சந்தி புள்ளியில்" (0; 0) செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான டேன்ஜென்ட் இல்லை. ஒரு கட்டத்தில் ஒரு சார்பின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரைய முடியாது என்றால், அந்த புள்ளியில் வழித்தோன்றல் இல்லை.
இன்னும் ஒரு உதாரணம். \(y=\sqrt(x)\) சார்பு x = 0 என்ற புள்ளி உட்பட முழு எண் கோட்டிலும் தொடர்ச்சியாக இருக்கும். மேலும் செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோடு x = 0 புள்ளி உட்பட எந்த புள்ளியிலும் இருக்கும். ஆனால் இந்த கட்டத்தில் தொடுகோடு y-அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது, அதாவது, அது abscissa அச்சுக்கு செங்குத்தாக உள்ளது, அதன் சமன்பாடு x = 0 வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. அத்தகைய நேர்கோட்டில் ஒரு கோண குணகம் இல்லை, அதாவது \(f "(0)\) இல்லை.
எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் புதிய பண்புடன் நாங்கள் பழகினோம் - வேறுபாடு. ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திலிருந்து அது வேறுபடுத்தக்கூடியது என்று எப்படி முடிவு செய்யலாம்?
பதில் உண்மையில் மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு கட்டத்தில் அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கு செங்குத்தாக இல்லாத செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு வரைய முடியும் என்றால், இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு வேறுபட்டதாக இருக்கும். ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கான தொடுகோடு இல்லை அல்லது அது அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கு செங்குத்தாக இருந்தால், இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு வேறுபடுத்தப்படாது.
வேறுபாடு விதிகள்
வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்பாடு அழைக்கப்படுகிறது வேறுபாடு. இந்த செயல்பாட்டைச் செய்யும்போது, நீங்கள் அடிக்கடி பங்குகள், தொகைகள், செயல்பாடுகளின் தயாரிப்புகள் மற்றும் "செயல்பாடுகளின் செயல்பாடுகள்", அதாவது சிக்கலான செயல்பாடுகளுடன் வேலை செய்ய வேண்டும். வழித்தோன்றலின் வரையறையின் அடிப்படையில், இந்த வேலையை எளிதாக்கும் வேறுபாடு விதிகளை நாம் பெறலாம். C என்பது ஒரு நிலையான எண் மற்றும் f=f(x), g=g(x) என்பது சில வேறுபட்ட செயல்பாடுகளாக இருந்தால், பின்வருபவை உண்மையாக இருக்கும் வேறுபாடு விதிகள்:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
சில செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை
$$ \இடது(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \இடது(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $(\பெரிய\bf ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்)
செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் y=f(x), இடைவெளியில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது (a, b). விடுங்கள் எக்ஸ்- இடைவெளியின் எந்த நிலையான புள்ளியும் (a, b), ஏ Δx- மதிப்பு போன்ற ஒரு தன்னிச்சையான எண் x+Δxஇடைவெளிக்கும் உரியது (a, b). இந்த எண் Δxவாதம் அதிகரிப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.
வரையறை. செயல்பாடு அதிகரிப்பு y=f(x)புள்ளியில் எக்ஸ், வாதம் அதிகரிப்புடன் தொடர்புடையது Δx, எண்ணுக்கு அழைப்போம்
Δy = f(x+Δx) - f(x).
என்று நம்புகிறோம் Δx ≠ 0. கொடுக்கப்பட்ட நிலையான புள்ளியில் கருதுங்கள் எக்ஸ்இந்த கட்டத்தில் சார்பு அதிகரிப்பின் விகிதம் தொடர்புடைய வாத அதிகரிப்புக்கு Δx
இந்த உறவை வித்தியாச உறவு என்று அழைப்போம். மதிப்பு இருந்து எக்ஸ்நாங்கள் நிலையானதாகக் கருதுகிறோம், வேறுபாடு விகிதம் வாதத்தின் செயல்பாடாகும் Δx. இந்த செயல்பாடு அனைத்து வாத மதிப்புகளுக்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது Δx, புள்ளியின் போதுமான சிறிய சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்தது Δx=0, புள்ளி தன்னைத் தவிர Δx=0. எனவே, ஒரு வரம்பு இருப்பதைப் பற்றிய கேள்வியைக் கருத்தில் கொள்ள எங்களுக்கு உரிமை உள்ளது குறிப்பிட்ட செயல்பாடுமணிக்கு Δx → 0.
வரையறை. ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் y=f(x)கொடுக்கப்பட்ட நிலையான புள்ளியில் எக்ஸ்வரம்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது Δx → 0வேறுபாடு விகிதம், அதாவது
இந்த வரம்பு உள்ளது.
பதவி. y′(x)அல்லது f′(x).
வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருள்: ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் f(x)இந்த கட்டத்தில் எக்ஸ்அச்சுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் தொடுகோடு சமம் எருதுமற்றும் தொடர்புடைய புள்ளியில் இந்த செயல்பாட்டின் வரைபடத்திற்கு ஒரு தொடுகோடு:
f′(x 0) = \tgα.
வழித்தோன்றலின் இயந்திர பொருள்: நேரத்தைப் பொறுத்து பாதையின் வழித்தோன்றல் வேகத்திற்கு சமம் நேர்கோட்டு இயக்கம்புள்ளிகள்:
ஒரு கோட்டிற்கு ஒரு தொடுகோடு சமன்பாடு y=f(x)புள்ளியில் M 0 (x 0 ,y 0)வடிவம் எடுக்கிறது
y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).
ஒரு கட்டத்தில் ஒரு வளைவுக்கு இயல்பானது அதே புள்ளியில் உள்ள தொடுகோட்டுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும். என்றால் f′(x 0)≠ 0, பின்னர் கோட்டிற்கு இயல்பான சமன்பாடு y=f(x)புள்ளியில் M 0 (x 0 ,y 0)இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:
ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாடு பற்றிய கருத்து
செயல்படட்டும் y=f(x)ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது (a, b), எக்ஸ்- இந்த இடைவெளியில் இருந்து சில நிலையான வாத மதிப்பு, Δx- வாதத்தின் எந்த அதிகரிப்பு, வாதத்தின் மதிப்பு x+Δx ∈ (a, b).
வரையறை. செயல்பாடு y=f(x)ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது என்று அழைக்கப்படுகிறது எக்ஸ், அதிகரிப்பு என்றால் Δyபுள்ளியில் இந்த செயல்பாடு எக்ஸ், வாதம் அதிகரிப்புடன் தொடர்புடையது Δx, வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம்
Δy = A Δx +αΔx,
எங்கே ஏ- சில எண்கள் சுயாதீனமாக Δx, ஏ α - வாத செயல்பாடு Δx, இது எல்லையற்றது Δx→ 0.
இரண்டு எண்ணற்ற செயல்பாடுகளின் தயாரிப்பு என்பதால் αΔxஇன்னும் எல்லையற்றது உயர் ஒழுங்கு, எப்படி Δx(3 எல்லையற்ற செயல்பாடுகளின் சொத்து), பின்னர் நாம் எழுதலாம்:
Δy = A Δx +o(Δx).
தேற்றம். செயல்பாட்டின் பொருட்டு y=f(x)ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியதாக இருந்தது எக்ஸ், இந்த கட்டத்தில் அது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருப்பது அவசியம் மற்றும் போதுமானது. இதில் A=f′(x), அது
Δy = f′(x) Δx +o(Δx).
வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்பாடு பொதுவாக வேறுபாடு எனப்படும்.
தேற்றம். செயல்பாடு என்றால் y=f(x) எக்ஸ், இந்த கட்டத்தில் அது தொடர்கிறது.
கருத்து. செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியிலிருந்து y=f(x)இந்த கட்டத்தில் எக்ஸ், பொதுவாக, செயல்பாட்டின் வேறுபாடு பின்பற்றப்படாது f(x)இந்த கட்டத்தில். உதாரணமாக, செயல்பாடு y=|x|- ஒரு கட்டத்தில் தொடர்ந்து x=0, ஆனால் வழித்தோன்றல் இல்லை.
வேறுபட்ட செயல்பாட்டின் கருத்து
வரையறை. செயல்பாடு வேறுபாடு y=f(x)இந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் தயாரிப்பு மற்றும் சுயாதீன மாறியின் அதிகரிப்பு அழைக்கப்படுகிறது எக்ஸ்:
dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.
செயல்பாட்டிற்கு y=xநாம் பெறுகிறோம் dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, அது dx=Δx- ஒரு சுயாதீன மாறியின் வேறுபாடு இந்த மாறியின் அதிகரிப்புக்கு சமம்.
எனவே, நாம் எழுதலாம்
dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx
வித்தியாசமான dyமற்றும் அதிகரிப்பு Δyசெயல்பாடுகள் y=f(x)இந்த கட்டத்தில் எக்ஸ், இரண்டும் ஒரே வாத அதிகரிப்புடன் தொடர்புடையவை Δx, பொதுவாக பேசுவது, ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இல்லை.
வேறுபாட்டின் வடிவியல் பொருள்: ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாடு, வாதம் அதிகரிக்கும் போது, இந்தச் சார்பின் வரைபடத்திற்கு டேன்ஜென்ட்டின் ஆர்டினேட்டின் அதிகரிப்புக்குச் சமம். Δx.
வேறுபாடு விதிகள்
தேற்றம். செயல்பாடுகள் ஒவ்வொன்றும் என்றால் u(x)மற்றும் v(x)ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் வேறுபடுத்தக்கூடியது எக்ஸ், பின்னர் இந்தச் சார்புகளின் கூட்டுத்தொகை, வேறுபாடு, தயாரிப்பு மற்றும் அளவு (கோட்டன்ட் வழங்கியது v(x)≠ 0) இந்த கட்டத்தில் வேறுபடுத்தக்கூடியவை, மேலும் சூத்திரங்கள் உள்ளன:
சிக்கலான செயல்பாட்டைக் கவனியுங்கள் y=f(φ(x))≡ F(x), எங்கே y=f(u), u=φ(x). இந்த வழக்கில் uஅழைக்கப்பட்டது இடைநிலை வாதம், எக்ஸ் - சார்பற்ற மாறி.
தேற்றம். என்றால் y=f(u)மற்றும் u=φ(x)அவற்றின் வாதங்களின் வேறுபட்ட செயல்பாடுகள், பின்னர் ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் y=f(φ(x))இடைநிலை வாதம் மற்றும் சுயாதீன மாறியைப் பொறுத்து இடைநிலை வாதத்தின் வழித்தோன்றல் ஆகியவற்றைப் பொறுத்து இந்த செயல்பாட்டின் தயாரிப்புக்கு சமமாக உள்ளது, அதாவது.
கருத்து. ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டிற்கு, இது மூன்று செயல்பாடுகளின் மேல்நிலை ஆகும் y=F(f(φ(x))), வேறுபாடு விதி வடிவம் கொண்டது
y′ x = y′ u u′ v v′ x,
செயல்பாடுகள் எங்கே v=φ(x), u=f(v)மற்றும் y=F(u)- அவர்களின் வாதங்களின் வேறுபட்ட செயல்பாடுகள்.
தேற்றம். செயல்படட்டும் y=f(x)புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறங்களில் அதிகரிக்கிறது (அல்லது குறைகிறது) மற்றும் தொடர்கிறது x 0. கூடுதலாக, இந்த செயல்பாடு சுட்டிக்காட்டப்பட்ட புள்ளியில் வேறுபடலாம் x 0இந்த கட்டத்தில் அதன் வழித்தோன்றல் f′(x 0) ≠ 0. பின்னர் தொடர்புடைய புள்ளியின் சில சுற்றுப்புறங்களில் y 0 =f(x 0)தலைகீழ் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது y=f(x)செயல்பாடு x=f -1 (y), மற்றும் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட தலைகீழ் செயல்பாடு தொடர்புடைய புள்ளியில் வேறுபடுகிறது y 0 =f(x 0)மற்றும் இந்த கட்டத்தில் அதன் வழித்தோன்றலுக்கு ஒய்சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்
வழித்தோன்றல்கள் அட்டவணை
முதல் வேறுபாட்டின் வடிவத்தின் மாறுபாடு
ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். என்றால் y=f(x), x=φ(t)- அவற்றின் வாதங்களின் செயல்பாடுகள் வேறுபட்டவை, பின்னர் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் y=f(φ(t))சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது
y′ t = y′ x x′ t.
A-priory dy=y′ t dt, பிறகு நாம் பெறுவோம்
dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,
dy = y′ x dx.
எனவே, நாங்கள் நிரூபித்துள்ளோம்
ஒரு செயல்பாட்டின் முதல் வேறுபாட்டின் வடிவத்தின் மாறாத தன்மை: வாதம் போது வழக்கில் போல் எக்ஸ்ஒரு சுயாதீன மாறி, மற்றும் வழக்கில் போது வாதம் எக்ஸ்அதுவே புதிய மாறியின் வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடாகும் dyசெயல்பாடுகள் y=f(x)வாதத்தின் வேறுபாட்டால் பெருக்கப்படும் இந்தச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலுக்குச் சமம் dx.
தோராயமான கணக்கீடுகளில் வேறுபாட்டின் பயன்பாடு
வேறுபாட்டைக் காட்டியுள்ளோம் dyசெயல்பாடுகள் y=f(x), பொதுவாக, அதிகரிப்புக்கு சமமாக இல்லை Δyஇந்த செயல்பாடு. இருப்பினும், முடிவிலி வரை துல்லியத்துடன் சிறிய செயல்பாடுவிட சிறிய அளவு உயர்ந்த வரிசை Δx, தோராயமான சமத்துவம் செல்லுபடியாகும்
Δy ≈ dy.
இந்த சமத்துவத்தின் சமத்துவத்தின் ஒப்பீட்டு பிழை என்று விகிதம் அழைக்கப்படுகிறது. ஏனெனில் Δy-dy=o(Δx), பின்னர் இந்த சமத்துவத்தின் ஒப்பீட்டு பிழை குறைவதால் விரும்பிய அளவு சிறியதாகிறது |Δх|.
என்று கருதி Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, நாம் பெறுகிறோம் f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δxஅல்லது
f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.
இந்த தோராயமான சமத்துவம் பிழையுடன் அனுமதிக்கிறது o(Δx)மாற்று செயல்பாடு f(x)புள்ளியின் ஒரு சிறிய சுற்றுப்புறத்தில் எக்ஸ்(அதாவது சிறிய மதிப்புகளுக்கு Δx) நேரியல் செயல்பாடுவாதம் Δx, வலது பக்கம் நின்று.
உயர் வரிசை வழித்தோன்றல்கள்
வரையறை. ஒரு செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் (அல்லது இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல்). y=f(x)அதன் முதல் வழித்தோன்றலின் வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
ஒரு செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றலுக்கான குறிப்பு y=f(x):
இரண்டாவது வழித்தோன்றலின் இயந்திர பொருள். செயல்பாடு என்றால் y=f(x)ஒரு நேர்கோட்டில் ஒரு பொருள் புள்ளியின் இயக்க விதியை விவரிக்கிறது, பின்னர் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் f″(x)நேரத்தின் தருணத்தில் நகரும் புள்ளியின் முடுக்கத்திற்கு சமம் எக்ஸ்.
மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது வழித்தோன்றல்கள் இதேபோல் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.
வரையறை. nவது வழித்தோன்றல் (அல்லது வழித்தோன்றல் n-வது வரிசை) செயல்பாடுகள் y=f(x)அதன் வழித்தோன்றல் என்று அழைக்கப்படுகிறது n-1வது வழித்தோன்றல்:
y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.
பதவிகள்: y″′, y IV, ஒய் விமுதலியன
வழித்தோன்றலைக் கண்டறியும் செயல்பாடு வேறுபாடு எனப்படும்.
வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கான அதிகரிப்பின் விகிதத்தின் வரம்பாக வழித்தோன்றலை வரையறுப்பதன் மூலம் எளிமையான (மற்றும் மிகவும் எளிமையானது அல்ல) செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிவதில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதன் விளைவாக, வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை மற்றும் துல்லியமாக வரையறுக்கப்பட்ட வேறுபாடு விதிகள் தோன்றின. . வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியும் துறையில் முதன்முதலில் பணியாற்றியவர்கள் ஐசக் நியூட்டன் (1643-1727) மற்றும் காட்ஃபிரைட் வில்ஹெல்ம் லீப்னிஸ் (1646-1716).
எனவே, எங்கள் காலத்தில், எந்தவொரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய, செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு மற்றும் வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கான விகிதத்தின் மேலே குறிப்பிடப்பட்ட வரம்பை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டியதில்லை, ஆனால் நீங்கள் அட்டவணையைப் பயன்படுத்த வேண்டும். வழித்தோன்றல்கள் மற்றும் வேறுபாட்டின் விதிகள். வழித்தோன்றலைக் கண்டறிவதற்கு பின்வரும் அல்காரிதம் பொருத்தமானது.
வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க, பிரதம அடையாளத்தின் கீழ் உங்களுக்கு ஒரு வெளிப்பாடு தேவை எளிய செயல்பாடுகளை கூறுகளாக உடைக்கவும்மற்றும் என்ன நடவடிக்கைகள் என்பதை தீர்மானிக்கவும் (தயாரிப்பு, தொகை, பங்கு)இந்த செயல்பாடுகள் தொடர்புடையவை. மேலும் வழித்தோன்றல்கள் அடிப்படை செயல்பாடுகள்வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையில் நாம் காண்கிறோம், மேலும் தயாரிப்பு, தொகை மற்றும் பங்கு ஆகியவற்றின் வழித்தோன்றல்களுக்கான சூத்திரங்கள் வேறுபாடு விதிகளில் உள்ளன. வழித்தோன்றல் அட்டவணை மற்றும் வேறுபாடு விதிகள் முதல் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளுக்குப் பிறகு கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.
எடுத்துக்காட்டு 1.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்
தீர்வு. வேறுபாட்டின் விதிகளிலிருந்து, செயல்பாடுகளின் ஒரு தொகையின் வழித்தோன்றல் என்பது செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் கூட்டுத்தொகை என்பதை நாம் காண்கிறோம், அதாவது.
வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையில் இருந்து "x" இன் வழித்தோன்றல் ஒன்றுக்கு சமம் என்றும், சைனின் வழித்தோன்றல் கொசைனுக்கு சமம் என்றும் கண்டுபிடிக்கிறோம். இந்த மதிப்புகளை டெரிவேடிவ்களின் கூட்டுத்தொகையாக மாற்றுவோம் மற்றும் சிக்கலின் நிலைக்குத் தேவையான வழித்தோன்றலைக் கண்டறிகிறோம்:
எடுத்துக்காட்டு 2.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்
தீர்வு. ஒரு தொகையின் வழித்தோன்றலாக நாம் வேறுபடுத்துகிறோம், இதில் இரண்டாவது சொல் நிலையான காரணியைக் கொண்டுள்ளது; இது வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்:
ஏதேனும் எங்கிருந்து வருகிறது என்பது குறித்த கேள்விகள் இன்னும் எழுந்தால், அவை வழக்கமாக வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை மற்றும் வேறுபாட்டின் எளிய விதிகளை நன்கு அறிந்த பிறகு அழிக்கப்படும். நாங்கள் இப்போது அவற்றை நோக்கி நகர்கிறோம்.
எளிய செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணை
| 1. மாறிலியின் (எண்) வழித்தோன்றல். செயல்பாடு வெளிப்பாட்டில் உள்ள எந்த எண்ணும் (1, 2, 5, 200...). எப்போதும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். இதை நினைவில் கொள்வது மிகவும் முக்கியம், ஏனெனில் இது அடிக்கடி தேவைப்படுகிறது | |
| 2. சார்பற்ற மாறியின் வழித்தோன்றல். பெரும்பாலும் "எக்ஸ்". எப்போதும் ஒன்றுக்கு சமம். இதையும் நீண்ட நேரம் நினைவில் வைத்துக் கொள்ள வேண்டும் | |
| 3. பட்டத்தின் வழித்தோன்றல். பிரச்சனைகளை தீர்க்கும் போது, நீங்கள் அல்லாத சதுர வேர்களை சக்திகளாக மாற்ற வேண்டும். | |
| 4. சக்தி -1க்கு மாறியின் வழித்தோன்றல் | |
| 5. வழித்தோன்றல் சதுர வேர் | |
| 6. சைனின் வழித்தோன்றல் | |
| 7. கொசைனின் வழித்தோன்றல் |  |
| 8. தொடுவின் வழித்தோன்றல் |  |
| 9. கோட்டான்ஜென்ட்டின் வழித்தோன்றல் |  |
| 10. ஆர்க்சைனின் வழித்தோன்றல் |  |
| 11. ஆர்க்கோசின் வழித்தோன்றல் |  |
| 12. ஆர்க்டேன்ஜென்ட்டின் வழித்தோன்றல் |  |
| 13. ஆர்க் கோடேன்ஜென்ட்டின் வழித்தோன்றல் |  |
| 14. இயற்கை மடக்கையின் வழித்தோன்றல் | |
| 15. மடக்கைச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் |  |
| 16. அதிவேகத்தின் வழித்தோன்றல் | |
| 17. அதிவேக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் |
வேறுபாடு விதிகள்
| 1. தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் வழித்தோன்றல் |  |
| 2. தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல் |  |
| 2a. ஒரு நிலையான காரணியால் பெருக்கப்படும் வெளிப்பாட்டின் வழித்தோன்றல் | |
| 3. விகுதியின் வழித்தோன்றல் |  |
| 4. சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் |  |
விதி 1.செயல்பாடுகள் என்றால்
சில புள்ளியில் வேறுபடலாம், பின்னர் செயல்பாடுகள் அதே புள்ளியில் வேறுபடுகின்றன
மற்றும்
அந்த. இயற்கணிதத் தொகை சார்புகளின் வழித்தோன்றல் இந்தச் சார்புகளின் வழித்தோன்றல்களின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம்.
விளைவு. இரண்டு வேறுபட்ட செயல்பாடுகள் ஒரு நிலையான காலத்தால் வேறுபட்டால், அவற்றின் வழித்தோன்றல்கள் சமமாக இருக்கும், அதாவது
விதி 2.செயல்பாடுகள் என்றால்
அவை ஒரு கட்டத்தில் வேறுபடுகின்றன, பின்னர் அவற்றின் தயாரிப்பு அதே புள்ளியில் வேறுபடுகிறது
மற்றும்
அந்த. இரண்டு சார்புகளின் பெருக்கத்தின் வழித்தோன்றல், இந்தச் செயல்பாடுகள் ஒவ்வொன்றின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கும் மற்றொன்றின் வழித்தோன்றலுக்கும் சமம்.
முடிவு 1. நிலையான காரணியை வழித்தோன்றலின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்:
முடிவு 2. பல வேறுபட்ட செயல்பாடுகளின் உற்பத்தியின் வழித்தோன்றல் ஒவ்வொரு காரணியின் வழித்தோன்றலின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் மற்றும் மற்றவை.
எடுத்துக்காட்டாக, மூன்று பெருக்கிகளுக்கு:
விதி 3.செயல்பாடுகள் என்றால்
ஒரு கட்டத்தில் வேறுபடலாம் மற்றும் , பின்னர் இந்த கட்டத்தில் அவற்றின் எண்ணிக்கையும் வேறுபடுகிறதுu/v, மற்றும்
அந்த. இரண்டு சார்புகளின் விகுதியின் வழித்தோன்றல் ஒரு பின்னத்திற்குச் சமம், இதன் எண்ணிக்கையானது வகுப்பின் தயாரிப்புகளுக்கும் எண் மற்றும் எண் மற்றும் வகுப்பின் வழித்தோன்றலுக்கும் இடையிலான வேறுபாடு ஆகும், மேலும் வகுப்பானது வகுப்பின் வர்க்கமாகும். முன்னாள் எண்.
மற்ற பக்கங்களில் விஷயங்களை எங்கே தேடுவது
ஒரு தயாரிப்பின் வழித்தோன்றல் மற்றும் உண்மையான சிக்கல்களில் ஒரு பகுதியைக் கண்டறியும் போது, ஒரே நேரத்தில் பல வேறுபாடு விதிகளைப் பயன்படுத்துவது அவசியம், எனவே கட்டுரையில் இந்த வழித்தோன்றல்கள் பற்றிய கூடுதல் எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன."பொருளின் வழித்தோன்றல் மற்றும் செயல்பாடுகளின் பங்கு".
கருத்து.நீங்கள் ஒரு மாறிலியை (அதாவது ஒரு எண்ணை) ஒரு தொகையில் ஒரு சொல்லாகவும், ஒரு நிலையான காரணியாகவும் குழப்ப வேண்டாம்! ஒரு சொல்லின் விஷயத்தில், அதன் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், மற்றும் நிலையான காரணியின் விஷயத்தில், அது வழித்தோன்றல்களின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படுகிறது. இது வழக்கமான தவறு, இது வழித்தோன்றல்களைப் படிக்கும் ஆரம்ப கட்டத்தில் நிகழ்கிறது, ஆனால் சராசரி மாணவர் பல ஒன்று மற்றும் இரண்டு பகுதி உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதால், அவர் இனி இந்த தவறைச் செய்ய மாட்டார்.
மேலும், ஒரு தயாரிப்பு அல்லது பங்கை வேறுபடுத்தும் போது, உங்களுக்கு ஒரு சொல் உள்ளது u"v, இதில் u- ஒரு எண், எடுத்துக்காட்டாக, 2 அல்லது 5, அதாவது, ஒரு மாறிலி, பின்னர் இந்த எண்ணின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், எனவே, முழு காலமும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் (இந்த வழக்கு உதாரணம் 10 இல் விவாதிக்கப்பட்டுள்ளது).
மற்றவை பொதுவான தவறு- ஒரு எளிய செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாக ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் இயந்திர தீர்வு. அதனால் தான் ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்ஒரு தனி கட்டுரை அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. ஆனால் முதலில் நாம் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிக்க கற்றுக்கொள்வோம் எளிய செயல்பாடுகள்.
வழியில், வெளிப்பாடுகளை மாற்றாமல் நீங்கள் செய்ய முடியாது. இதைச் செய்ய, நீங்கள் புதிய சாளரங்களில் கையேட்டைத் திறக்க வேண்டும். சக்திகள் மற்றும் வேர்கள் கொண்ட செயல்கள்மற்றும் பின்னங்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள் .
சக்திகள் மற்றும் வேர்கள் கொண்ட பின்னங்களின் வழித்தோன்றல்களுக்கான தீர்வுகளை நீங்கள் தேடுகிறீர்கள் என்றால், அதாவது செயல்பாடு இப்படி இருக்கும் போது 
, பின்னர் "அதிகாரங்கள் மற்றும் வேர்களைக் கொண்ட பின்னங்களின் தொகைகளின் வழித்தோன்றல்" என்ற பாடத்தைப் பின்பற்றவும்.
உங்களிடம் ஒரு பணி இருந்தால் 
, பின்னர் நீங்கள் "எளிய முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள்" பாடத்தை எடுப்பீர்கள்.
படிப்படியான எடுத்துக்காட்டுகள் - வழித்தோன்றலை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது
எடுத்துக்காட்டு 3.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்
தீர்வு. செயல்பாட்டு வெளிப்பாட்டின் பகுதிகளை நாங்கள் வரையறுக்கிறோம்: முழு வெளிப்பாடும் ஒரு தயாரிப்பைக் குறிக்கிறது, மேலும் அதன் காரணிகள் தொகைகள், இரண்டாவதாக ஒரு சொற்களில் நிலையான காரணி உள்ளது. நாங்கள் தயாரிப்பு வேறுபாடு விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்: இரண்டு செயல்பாடுகளின் உற்பத்தியின் வழித்தோன்றல், மற்றொன்றின் வழித்தோன்றலால் இந்த செயல்பாடுகள் ஒவ்வொன்றின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:
அடுத்து, கூட்டுத்தொகையின் வேறுபாட்டின் விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்: இயற்கணிதத் தொகை சார்புகளின் வழித்தோன்றல் இந்த சார்புகளின் வழித்தோன்றல்களின் இயற்கணிதத் தொகைக்கு சமம். எங்கள் விஷயத்தில், ஒவ்வொரு தொகையிலும் இரண்டாவது வார்த்தை கழித்தல் குறியைக் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு தொகையிலும் நாம் ஒரு சுயாதீன மாறி இரண்டையும் காண்கிறோம், அதன் வழித்தோன்றல் ஒன்றுக்கு சமம், மற்றும் ஒரு மாறிலி (எண்), இதன் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். எனவே, “எக்ஸ்” ஒன்றாகவும், கழித்தல் 5 பூஜ்ஜியமாகவும் மாறும். இரண்டாவது வெளிப்பாட்டில், "x" 2 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது, எனவே "x" இன் வழித்தோன்றலின் அதே அலகு மூலம் இரண்டையும் பெருக்குகிறோம். பின்வரும் வழித்தோன்றல் மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்:
கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வழித்தோன்றல்களை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக மாற்றுவோம் மற்றும் சிக்கலின் நிலைக்குத் தேவையான முழு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைப் பெறுகிறோம்:
எடுத்துக்காட்டு 4.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்
தீர்வு. விகுதியின் வழித்தோன்றலை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். பங்கீட்டை வேறுபடுத்துவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்: இரண்டு சார்புகளின் பகுதியின் வழித்தோன்றல் ஒரு பின்னத்திற்குச் சமம், இதன் எண்ணிக்கையானது வகுப்பின் தயாரிப்புகளுக்கும் எண் மற்றும் எண் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றலுக்கும் இடையிலான வேறுபாடு ஆகும். வகுத்தல், மற்றும் வகுத்தல் என்பது முன்னாள் எண்ணின் சதுரமாகும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:
உதாரணம் 2 இல் உள்ள காரணிகளின் வழித்தோன்றலை நாங்கள் ஏற்கனவே கண்டறிந்துள்ளோம். தற்போதைய எடுத்துக்காட்டில் உள்ள எண்களின் இரண்டாவது காரணியான தயாரிப்பு, ஒரு கழித்தல் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்டது என்பதையும் மறந்துவிடக் கூடாது:
நீங்கள் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிய வேண்டிய சிக்கல்களுக்கான தீர்வுகளைத் தேடுகிறீர்கள் என்றால், எடுத்துக்காட்டாக, வேர்கள் மற்றும் சக்திகளின் தொடர்ச்சியான குவியல் உள்ளது. 
, பின்னர் வகுப்பிற்கு வரவேற்கிறோம் "அதிகாரங்கள் மற்றும் வேர்கள் கொண்ட பின்னங்களின் தொகைகளின் வழித்தோன்றல்" .
சைன்கள், கொசைன்கள், டேன்ஜென்ட்கள் மற்றும் பிறவற்றின் வழித்தோன்றல்கள் பற்றி நீங்கள் மேலும் அறிய வேண்டும் என்றால் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள், அதாவது, செயல்பாடு போல் இருக்கும் போது , பிறகு உங்களுக்கு ஒரு பாடம் "எளிய முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்கள்" .
எடுத்துக்காட்டு 5.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்
தீர்வு. இந்தச் செயல்பாட்டில் நாம் ஒரு தயாரிப்பைக் காண்கிறோம், அதன் காரணிகளில் ஒன்று சுயாதீன மாறியின் வர்க்க மூலமாகும், இதன் வழித்தோன்றல் வழித்தோன்றல்களின் அட்டவணையில் நமக்குத் தெரிந்திருக்கிறது. உற்பத்தியின் வேறுபாட்டின் விதியின் படி மற்றும் அட்டவணை மதிப்புநாம் பெறும் வர்க்க மூலத்தின் வழித்தோன்றல்:
எடுத்துக்காட்டு 6.ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்
தீர்வு. இந்தச் செயல்பாட்டில் ஈவுத்தொகையானது சார்பற்ற மாறியின் வர்க்கமூலமாக இருக்கும் ஒரு கோட்பாட்டைக் காண்கிறோம். உதாரணம் 4 இல் நாம் திரும்பத் திரும்பப் பயன்படுத்திய விகுதிகளின் வேறுபாட்டின் விதி மற்றும் வர்க்க மூலத்தின் வழித்தோன்றலின் அட்டவணைப்படுத்தப்பட்ட மதிப்பைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம்:
எண்ணில் உள்ள பின்னத்தை அகற்ற, எண் மற்றும் வகுப்பினை ஆல் பெருக்கவும்.
