எதிர்மறை அடுக்குடன் பாகுபாடு. பாகுபாடு காட்டுபவர் என்ன விவரிக்கிறார் என்பதைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம்? வெளிப்பாட்டை அதன் கூறு காரணிகளாக உடைப்போம்

மேலும் ஒரு எளிய வழியில். இதைச் செய்ய, அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே z ஐ வைக்கவும். நீங்கள் பெறுவீர்கள்: z(аz + b) = 0. காரணிகளை எழுதலாம்: z=0 மற்றும் az + b = 0, ஏனெனில் இரண்டும் பூஜ்ஜியத்தை விளைவிக்கும். az + b = 0 குறியீட்டில், இரண்டாவது அடையாளத்தை வேறு அடையாளத்துடன் வலதுபுறமாக நகர்த்துகிறோம். இங்கிருந்து நாம் z1 = 0 மற்றும் z2 = -b/a ஐப் பெறுகிறோம். இவை மூலத்தின் வேர்கள்.

இல்லை என்றால் முழுமையான சமன்பாடுவடிவம் az² + c = 0, in இந்த வழக்கில்இலவசச் சொல்லை மாற்றுவதன் மூலம் கண்டறியப்படுகின்றன வலது பக்கம்சமன்பாடுகள் அதன் அடையாளத்தையும் மாற்றவும். இதன் விளைவாக az² = -с இருக்கும். எக்ஸ்பிரஸ் z² = -c/a. மூலத்தை எடுத்து இரண்டு தீர்வுகளை எழுதுங்கள் - நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை வர்க்கமூலம்.

குறிப்பு

சமன்பாட்டில் பகுதியளவு குணகங்கள் இருந்தால், பின்னங்களை அகற்ற முழு சமன்பாட்டையும் பொருத்தமான காரணியால் பெருக்கவும்.

இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பது பற்றிய அறிவு பள்ளி மாணவர்களுக்கும் மாணவர்களுக்கும் அவசியம்; சில சமயங்களில் இது அன்றாட வாழ்வில் பெரியவர்களுக்கும் உதவும். பல குறிப்பிட்ட தீர்வு முறைகள் உள்ளன.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

a*x^2+b*x+c=0 வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாடு. குணகம் x என்பது விரும்பிய மாறி, a, b, c என்பது எண் குணகங்கள். “+” அடையாளம் “-” அடையாளமாக மாறக்கூடும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவது அல்லது பாகுபாட்டைக் கண்டறிவது அவசியம். A, b, c இன் சில மதிப்புகளுக்கு வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த முடியாது என்பதால், பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்பதே மிகவும் பொதுவான முறையாகும்.

பாகுபாடு (D) கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் D=b^2 - 4*a*c சூத்திரத்தை எழுத வேண்டும். D மதிப்பு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ, குறைவாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கலாம். D பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருந்தால், இரண்டு வேர்கள் இருக்கும்; D = 0 என்றால், ஒரே ஒரு ரூட் மட்டுமே உள்ளது; இன்னும் துல்லியமாக, இந்த வழக்கில் D க்கு இரண்டு சமமான வேர்கள் உள்ளன என்று நாம் கூறலாம். அறியப்பட்ட குணகங்கள் a, b, c ஆகியவற்றை சூத்திரத்தில் மாற்றி மதிப்பைக் கணக்கிடவும்.

நீங்கள் பாரபட்சத்தைக் கண்டறிந்த பிறகு, சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, இதில் sqrt என்பது கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக்கொள்வதைக் குறிக்கும் ஒரு செயல்பாடாகும். இந்த வெளிப்பாடுகளைக் கணக்கிட்ட பிறகு, உங்கள் சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்களைக் காண்பீர்கள், அதன் பிறகு சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது.

D பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருந்தால், அது இன்னும் வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. இந்த பிரிவு நடைமுறையில் பள்ளியில் படிக்கப்படவில்லை. மூலத்தின் கீழ் எதிர்மறை எண் தோன்றும் என்பதை பல்கலைக்கழக மாணவர்கள் அறிந்திருக்க வேண்டும். கற்பனைப் பகுதியை முன்னிலைப்படுத்துவதன் மூலம் அவர்கள் அதிலிருந்து விடுபடுகிறார்கள், அதாவது ரூட்டின் கீழ் -1 எப்போதும் கற்பனை உறுப்பு "i" க்கு சமமாக இருக்கும், இது அதே நேர்மறை எண்ணுடன் மூலத்தால் பெருக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, D=sqrt(-20) எனில், உருமாற்றத்திற்குப் பிறகு D=sqrt(20)*i கிடைக்கும். இந்த மாற்றத்திற்குப் பிறகு, சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது மேலே விவரிக்கப்பட்ட அதே வேர்களைக் கண்டறிவதற்கு குறைக்கப்படுகிறது.

வியட்டாவின் தேற்றம் x(1) மற்றும் x(2) மதிப்புகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதைக் கொண்டுள்ளது. இரண்டு ஒத்த சமன்பாடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. மற்றும் மிகவும் முக்கியமான புள்ளிகுணகம் b க்கு முன்னால் உள்ள அடையாளம், இந்த அடையாளம் சமன்பாட்டில் உள்ள ஒன்றிற்கு எதிர் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். முதல் பார்வையில், x (1) மற்றும் x (2) ஐக் கணக்கிடுவது மிகவும் எளிதானது என்று தோன்றுகிறது, ஆனால் தீர்க்கும் போது, ​​நீங்கள் எண்களைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும் என்ற உண்மையை நீங்கள் எதிர்கொள்வீர்கள்.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான கூறுகள்

கணித விதிகளின்படி, சிலவற்றை காரணியாக்க முடியும்: (a+x(1))*(b-x(2))=0, கணித சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டை இதே வழியில் மாற்ற முடிந்தால், தயங்க வேண்டாம் பதிலை எழுதுங்கள். x(1) மற்றும் x(2) ஆகியவை அடைப்புக்குறிக்குள் அருகில் உள்ள குணகங்களுக்கு சமமாக இருக்கும், ஆனால் உடன் எதிர் அடையாளம்.

மேலும், முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைப் பற்றி மறந்துவிடாதீர்கள். நீங்கள் சில விதிமுறைகளை தவறவிட்டிருக்கலாம்; அப்படியானால், அதன் அனைத்து குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். x^2 அல்லது x க்கு முன்னால் எதுவும் இல்லை என்றால், a மற்றும் b குணகங்கள் 1 க்கு சமம்.

இருபடி சமன்பாடு- தீர்வு எளிது! *இனி "KU" என்று குறிப்பிடப்படுகிறது.நண்பர்களே, கணிதத்தில் இதுபோன்ற சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதை விட எளிமையானது எதுவும் இருக்க முடியாது என்று தோன்றுகிறது. ஆனா என்னோட பல பேருக்கு அவரோட பிரச்சனைகள் இருக்குன்னு சொன்னாங்க. யாண்டெக்ஸ் ஒரு மாதத்திற்கு எத்தனை ஆன்-டிமாண்ட் இம்ப்ரெஷன்களை வழங்குகிறது என்பதைப் பார்க்க முடிவு செய்தேன். என்ன நடந்தது, பாருங்கள்:

இதற்கு என்ன அர்த்தம்? அதாவது மாதத்திற்கு சுமார் 70,000 பேர் தேடுகிறார்கள் இந்த தகவல், இந்தக் கோடைக்கும் இதற்கும் என்ன சம்பந்தம், மத்தியில் என்ன நடக்கும் பள்ளி ஆண்டு- இரண்டு மடங்கு கோரிக்கைகள் இருக்கும். இது ஆச்சரியமல்ல, ஏனென்றால் நீண்ட காலத்திற்கு முன்பு பள்ளியில் பட்டம் பெற்ற மற்றும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்குத் தயாராகும் தோழர்களும் சிறுமிகளும் இந்த தகவலைத் தேடுகிறார்கள், மேலும் பள்ளி மாணவர்களும் தங்கள் நினைவகத்தைப் புதுப்பிக்க முயற்சி செய்கிறார்கள்.

இந்த சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்று உங்களுக்குச் சொல்லும் தளங்கள் நிறைய உள்ளன என்ற உண்மை இருந்தபோதிலும், நான் பங்களிக்க மற்றும் உள்ளடக்கத்தை வெளியிட முடிவு செய்தேன். முதலாவதாக, இந்தக் கோரிக்கையின் அடிப்படையில் எனது தளத்திற்கு பார்வையாளர்கள் வர வேண்டும் என்று நான் விரும்புகிறேன்; இரண்டாவதாக, மற்ற கட்டுரைகளில், "KU" என்ற தலைப்பு வரும்போது, ​​இந்தக் கட்டுரைக்கான இணைப்பை நான் தருகிறேன்; மூன்றாவதாக, மற்ற தளங்களில் பொதுவாகக் கூறப்படுவதை விட அவருடைய தீர்வைப் பற்றி இன்னும் கொஞ்சம் அதிகமாகச் சொல்கிறேன். தொடங்குவோம்!கட்டுரையின் உள்ளடக்கம்:

இருபடி சமன்பாடு என்பது வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும்:

குணகங்கள் a,பிமற்றும் c என்பது a≠0 உடன் தன்னிச்சையான எண்கள்.

பள்ளி பாடத்திட்டத்தில், பொருள் பின்வரும் வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது - சமன்பாடுகள் மூன்று வகுப்புகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளன:

1. அவர்களுக்கு இரண்டு வேர்கள் உள்ளன.

2. *ஒரே ஒரு ரூட் வேண்டும்.

3. அவர்களுக்கு வேர்கள் இல்லை. அவர்களுக்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்பது இங்கே குறிப்பாக கவனிக்கத்தக்கது

வேர்கள் எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகின்றன? வெறும்!

நாங்கள் பாகுபாடு கணக்கிடுகிறோம். இந்த "பயங்கரமான" வார்த்தையின் கீழ் மிகவும் எளிமையான சூத்திரம் உள்ளது:

மூல சூத்திரங்கள் பின்வருமாறு:

*இந்த சூத்திரங்களை நீங்கள் மனப்பாடமாக அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

நீங்கள் உடனடியாக எழுதி தீர்க்கலாம்:

உதாரணமாக:

1. D > 0 எனில், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

2. D = 0 எனில், சமன்பாடு ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது.

3. டி என்றால்< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

சமன்பாட்டைப் பார்ப்போம்:

மூலம் இந்த சந்தர்ப்பத்தில், பாரபட்சம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் போது, ​​பள்ளிப் படிப்பு முடிவு ஒரு ரூட் என்று கூறுகிறது, இங்கே அது ஒன்பதுக்கு சமம். எல்லாம் சரி, அது அப்படித்தான், ஆனால்...

இந்த யோசனை ஓரளவு தவறானது. உண்மையில், இரண்டு வேர்கள் உள்ளன. ஆமாம், ஆமாம், ஆச்சரியப்பட வேண்டாம், நீங்கள் இரண்டு சமமான வேர்களைப் பெறுவீர்கள், மேலும் கணித ரீதியாக துல்லியமாக இருக்க வேண்டும், பின்னர் பதில் இரண்டு வேர்களை எழுத வேண்டும்:

x 1 = 3 x 2 = 3

ஆனால் இது அப்படி - ஒரு சிறிய விலகல். பள்ளிக்கூடத்தில் எழுதி வைத்துவிட்டு ஒரு ரூட் என்று சொல்லலாம்.

இப்போது அடுத்த உதாரணம்:

நமக்குத் தெரியும், இதன் வேர் எதிர்மறை எண்பிரித்தெடுக்கப்படவில்லை, எனவே இந்த வழக்கில் தீர்வு இல்லை.

அதுதான் முழு முடிவு செயல்முறை.

இருபடி செயல்பாடு.

தீர்வு வடிவியல் ரீதியாக எப்படி இருக்கும் என்பதை இது காட்டுகிறது. இதைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் முக்கியமானது (எதிர்காலத்தில், ஒரு கட்டுரையில் இருபடி சமத்துவமின்மைக்கான தீர்வை விரிவாக ஆராய்வோம்).

இது படிவத்தின் செயல்பாடு:

இதில் x மற்றும் y ஆகியவை மாறிகள்

a, b, c – கொடுக்கப்பட்ட எண்கள், ≠ 0 உடன்

வரைபடம் ஒரு பரவளையமாகும்:

அதாவது, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான “y” உடன் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம், x அச்சுடன் பரவளையத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த புள்ளிகளில் இரண்டு இருக்கலாம் (பாகுபாடு நேர்மறை), ஒன்று (பாகுபாடு பூஜ்யம்) மற்றும் எதுவும் இல்லை (பாகுபாடு எதிர்மறை). பற்றிய விவரங்கள் இருபடி செயல்பாடு நீங்கள் பார்க்க முடியும்இன்னா ஃபெல்ட்மேனின் கட்டுரை.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 1: தீர்க்கவும் 2x 2 +8 எக்ஸ்–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

பதில்: x 1 = 8 x 2 = –12

* சமன்பாட்டின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை உடனடியாக 2 ஆல் வகுக்க முடியும், அதாவது அதை எளிதாக்குங்கள். கணக்கீடுகள் எளிதாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 2: முடிவு x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

x 1 = 11 மற்றும் x 2 = 11 என்பதைக் கண்டறிந்தோம்

பதிலில் x = 11 என்று எழுத அனுமதி உண்டு.

பதில்: x = 11

எடுத்துக்காட்டு 3: முடிவு x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

பாகுபாடு எதிர்மறையானது, உண்மையான எண்களில் தீர்வு இல்லை.

பதில்: தீர்வு இல்லை

பாகுபாடு எதிர்மறையானது. ஒரு தீர்வு இருக்கிறது!

எதிர்மறையான பாகுபாடு கிடைக்கும்போது சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது பற்றி இங்கே பேசுவோம். உங்களுக்கு ஏதாவது தெரியுமா சிக்கலான எண்கள்? அவை ஏன், எங்கு எழுந்தன, கணிதத்தில் அவற்றின் குறிப்பிட்ட பங்கு மற்றும் தேவை என்ன என்பதைப் பற்றி நான் இங்கு விரிவாகப் பேசமாட்டேன்; இது ஒரு பெரிய தனிக் கட்டுரைக்கான தலைப்பு.

ஒரு கலப்பு எண்ணின் கருத்து.

ஒரு சிறிய கோட்பாடு.

ஒரு கலப்பு எண் z என்பது படிவத்தின் எண்ணாகும்

z = a + bi

இதில் a மற்றும் b உண்மையான எண்கள், i என்பது கற்பனை அலகு எனப்படும்.

a+bi – இது ஒற்றை எண், கூடுதலாக அல்ல.

கற்பனை அலகு கழித்தல் ஒன்றின் மூலத்திற்கு சமம்:

இப்போது சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:

நாம் இரண்டு இணை வேர்களைப் பெறுகிறோம்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு.

சிறப்பு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், இது "b" அல்லது "c" குணகம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் (அல்லது இரண்டும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்). எந்த பாகுபாடும் இல்லாமல் எளிதில் தீர்க்க முடியும்.

வழக்கு 1. குணகம் b = 0.

சமன்பாடு ஆகிறது:

மாற்றுவோம்:

உதாரணமாக:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

வழக்கு 2. குணகம் c = 0.

சமன்பாடு ஆகிறது:

மாற்றுவோம் மற்றும் காரணியாக்குவோம்:

*குறைந்தது ஒரு காரணி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் போது தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

உதாரணமாக:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 அல்லது x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

வழக்கு 3. குணகங்கள் b = 0 மற்றும் c = 0.

சமன்பாட்டின் தீர்வு எப்போதும் x = 0 ஆக இருக்கும் என்பது இங்கே தெளிவாகிறது.

குணகங்களின் பயனுள்ள பண்புகள் மற்றும் வடிவங்கள்.

பெரிய குணகங்களுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கும் பண்புகள் உள்ளன.

ஏஎக்ஸ் 2 + bx+ c=0 சமத்துவம் உள்ளது

அ + பி+ c = 0,அந்த

- சமன்பாட்டின் குணகங்களுக்கு என்றால் ஏஎக்ஸ் 2 + bx+ c=0 சமத்துவம் உள்ளது

அ+ கள் =பி, அந்த

இந்த பண்புகள் ஒரு குறிப்பிட்ட வகை சமன்பாட்டை தீர்க்க உதவுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 1: 5001 எக்ஸ் 2 –4995 எக்ஸ் – 6=0

முரண்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, அதாவது

எடுத்துக்காட்டு 2: 2501 எக்ஸ் 2 +2507 எக்ஸ்+6=0

சமத்துவம் நிலைத்திருக்கும் அ+ கள் =பி, பொருள்

குணகங்களின் ஒழுங்குமுறைகள்.

1. கோடாரி 2 + bx + c = 0 என்ற சமன்பாட்டில் “b” குணகம் (a 2 +1) க்கு சமமாக இருந்தால், மற்றும் “c” குணகம் எண் ரீதியாக “a” க்கு சமமாக இருந்தால், அதன் வேர்கள் சமமாக இருக்கும்

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

உதாரணமாக. 6x 2 + 37x + 6 = 0 சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. கோடாரி 2 – bx + c = 0 என்ற சமன்பாட்டில் “b” குணகம் (a 2 +1) க்கு சமமாக இருந்தால், மற்றும் “c” குணகம் எண் ரீதியாக “a” குணகத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அதன் வேர்கள் சமமாக இருக்கும்.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

உதாரணமாக. 15x 2 –226x +15 = 0 சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. சமன்பாட்டில் இருந்தால். ax 2 + bx – c = 0 குணகம் “b” சமம் (a 2 - 1), மற்றும் குணகம் "சி" குணகம் "a" க்கு எண்ணியல் சமம், அதன் வேர்கள் சமமாக இருக்கும்

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

உதாரணமாக. 17x 2 +288x – 17 = 0 சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. கோடாரி 2 – bx – c = 0 என்ற சமன்பாட்டில் “b” குணகம் (a 2 – 1) க்கு சமமாக இருந்தால், c குணகம் “a” குணகத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அதன் வேர்கள் சமமாக இருக்கும்.

கோடாரி 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

உதாரணமாக. 10x 2 – 99x –10 = 0 சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

வியட்டாவின் தேற்றம்.

வியட்டாவின் தேற்றம் புகழ்பெற்ற பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஃபிராங்கோயிஸ் வியட்டாவின் பெயரிடப்பட்டது. வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு தன்னிச்சையான KU இன் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பலனை அதன் குணகங்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தலாம்.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

மொத்தத்தில், எண் 14 5 மற்றும் 9 ஐ மட்டுமே தருகிறது. இவை வேர்கள். ஒரு குறிப்பிட்ட திறமையுடன், வழங்கப்பட்ட தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் பல இருபடி சமன்பாடுகளை வாய்வழியாக உடனடியாக தீர்க்கலாம்.

வியட்டாவின் தேற்றம், கூடுதலாக. வழக்கமான வழியில் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்த்த பிறகு (ஒரு பாகுபாடு மூலம்), இதன் விளைவாக வரும் வேர்களை சரிபார்க்கலாம். இதை எப்போதும் செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன்.

போக்குவரத்து முறை

இந்த முறையின் மூலம், குணகம் "a" இலவச வார்த்தையால் பெருக்கப்படுகிறது, அது "எறிந்தது" போல் உள்ளது, அதனால்தான் இது அழைக்கப்படுகிறது. "பரிமாற்றம்" முறை.வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் வேர்களை எளிதாகக் கண்டறிய முடியும் மற்றும் மிக முக்கியமாக, பாகுபாடு துல்லியமான சதுரமாக இருக்கும்போது இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

என்றால் ஏ± b+c≠ 0, பின்னர் பரிமாற்ற நுட்பம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக:

2எக்ஸ் 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => எக்ஸ் 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

சமன்பாட்டில் (2) வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, x 1 = 10 x 2 = 1 என்பதைத் தீர்மானிப்பது எளிது

சமன்பாட்டின் விளைவாக வரும் வேர்களை 2 ஆல் வகுக்க வேண்டும் (இரண்டும் x 2 இலிருந்து "எறியப்பட்டதால்"), நாம் பெறுகிறோம்

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

பகுத்தறிவு என்ன? என்ன நடக்கிறது என்று பாருங்கள்.

சமன்பாடுகளின் பாகுபாடுகள் (1) மற்றும் (2) சமம்:

நீங்கள் சமன்பாடுகளின் வேர்களைப் பார்த்தால், நீங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளை மட்டுமே பெறுவீர்கள், இதன் விளைவாக துல்லியமாக x 2 இன் குணகத்தைப் பொறுத்தது:

இரண்டாவது (மாற்றியமைக்கப்பட்ட) ஒன்று 2 மடங்கு பெரிய வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

எனவே, முடிவை 2 ஆல் வகுக்கிறோம்.

*மூன்றையும் ரீரோல் செய்தால், முடிவை 3ஆல் வகுப்போம்.

பதில்: x 1 = 5 x 2 = 0.5

சதுர. ur-ie மற்றும் ஒருங்கிணைந்த மாநில தேர்வு.

அதன் முக்கியத்துவத்தைப் பற்றி நான் உங்களுக்குச் சுருக்கமாகச் சொல்கிறேன் - நீங்கள் விரைவாகவும் சிந்திக்காமலும் முடிவெடுக்க முடியும், நீங்கள் வேர்கள் மற்றும் பாகுபாடுகளின் சூத்திரங்களை இதயத்தால் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுப் பணிகளில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள பல சிக்கல்கள் இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் (வடிவியல் ஆகியவை அடங்கும்).

கவனிக்க வேண்டிய ஒன்று!

1. சமன்பாட்டை எழுதும் வடிவம் "மறைமுகமாக" இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் நுழைவு சாத்தியமாகும்:

15+ 9x 2 - 45x = 0 அல்லது 15x+42+9x 2 - 45x=0 அல்லது 15 -5x+10x 2 = 0.

நீங்கள் அவரை அழைத்து வர வேண்டும் நிலையான பார்வை(முடிவெடுக்கும் போது குழப்பமடையாமல் இருக்க).

2. x என்பது அறியப்படாத அளவு என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள், மேலும் இது வேறு எந்த எழுத்தாலும் குறிக்கப்படலாம் - t, q, p, h மற்றும் பிற.

பலர் அவ்வாறு இல்லாததால் முதலில் இந்த தலைப்பு கடினமாகத் தோன்றலாம் எளிய சூத்திரங்கள். இருபடிச் சமன்பாடுகள் நீண்ட குறியீடுகளைக் கொண்டிருப்பது மட்டுமல்லாமல், வேர்கள் பாகுபாடு மூலமாகவும் காணப்படுகின்றன. மொத்தத்தில், மூன்று புதிய சூத்திரங்கள் பெறப்படுகின்றன. நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிதானது அல்ல. இதுபோன்ற சமன்பாடுகளை அடிக்கடி தீர்த்த பின்னரே இது சாத்தியமாகும். அப்போது எல்லா ஃபார்முலாக்களும் தாங்களாகவே நினைவில் இருக்கும்.

இருபடி சமன்பாட்டின் பொதுவான பார்வை

பெரிய பட்டம் முதலில் எழுதப்படும்போது, ​​பின்னர் இறங்குவரிசையில் அவற்றின் வெளிப்படையான பதிவை இங்கே நாங்கள் முன்மொழிகிறோம். விதிமுறைகள் சீரற்றதாக இருக்கும்போது பெரும்பாலும் சூழ்நிலைகள் உள்ளன. பின்னர் சமன்பாட்டை மாறியின் பட்டத்தின் இறங்கு வரிசையில் மீண்டும் எழுதுவது நல்லது.

சில குறிப்புகளை அறிமுகப்படுத்துவோம். அவை கீழே உள்ள அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன.

இந்தக் குறியீடுகளை நாம் ஏற்றுக்கொண்டால், அனைத்து இருபடிச் சமன்பாடுகளும் பின்வரும் குறிப்பிற்குக் குறைக்கப்படும்.

மேலும், குணகம் a ≠ 0. இந்த சூத்திரம் முதலிடத்தில் இருக்கட்டும்.

ஒரு சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டால், பதிலில் எத்தனை வேர்கள் இருக்கும் என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. ஏனெனில் மூன்று விருப்பங்களில் ஒன்று எப்போதும் சாத்தியமாகும்:

• தீர்வு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்;
• பதில் ஒரு எண்ணாக இருக்கும்;
• சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருக்காது.

முடிவு முடிவடையும் வரை, ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கில் எந்த விருப்பம் தோன்றும் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது கடினம்.

இருபடி சமன்பாடுகளின் பதிவுகளின் வகைகள்

பணிகளில் வெவ்வேறு உள்ளீடுகள் இருக்கலாம். அவர்கள் எப்போதும் போல் இருக்க மாட்டார்கள் பொது சூத்திரம்இருபடி சமன்பாடு. சில சமயங்களில் சில விதிமுறைகள் இல்லாமல் போகும். மேலே எழுதப்பட்டவை முழுமையான சமன்பாடு. அதில் உள்ள இரண்டாவது அல்லது மூன்றாவது பதத்தை நீக்கினால், வேறு ஏதாவது கிடைக்கும். இந்த பதிவுகள் இருபடி சமன்பாடுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன, முழுமையற்றவை.

மேலும், "b" மற்றும் "c" குணகங்களைக் கொண்ட சொற்கள் மட்டுமே மறைந்துவிடும். எந்த சூழ்நிலையிலும் "a" எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க முடியாது. ஏனெனில் இந்த வழக்கில் சூத்திரம் மாறும் நேரியல் சமன்பாடு. சமன்பாடுகளின் முழுமையற்ற வடிவத்திற்கான சூத்திரங்கள் பின்வருமாறு இருக்கும்:

எனவே, இரண்டு வகைகள் மட்டுமே உள்ளன; முழுமையானவை தவிர, முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளும் உள்ளன. முதல் சூத்திரம் எண் இரண்டாகவும், இரண்டாவது - மூன்றாகவும் இருக்கட்டும்.

அதன் மதிப்பில் வேர்களின் எண்ணிக்கையின் பாகுபாடு மற்றும் சார்பு

சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கணக்கிட இந்த எண்ணை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இருபடிச் சமன்பாட்டின் சூத்திரம் எதுவாக இருந்தாலும் அதை எப்போதும் கணக்கிடலாம். பாகுபாட்டைக் கணக்கிட, கீழே எழுதப்பட்ட சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும், அதில் எண் நான்கு இருக்கும்.

இந்த சூத்திரத்தில் குணக மதிப்புகளை மாற்றிய பின், நீங்கள் எண்களைப் பெறலாம் வெவ்வேறு அறிகுறிகள். பதில் ஆம் எனில், சமன்பாட்டிற்கான பதில் இரண்டு பல்வேறு வேர்கள். எண் எதிர்மறையாக இருந்தால், இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் இருக்காது. பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், ஒரே ஒரு பதில் மட்டுமே இருக்கும்.

ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

உண்மையில், இந்த பிரச்சினையின் பரிசீலனை ஏற்கனவே தொடங்கிவிட்டது. ஏனென்றால் முதலில் நீங்கள் ஒரு பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் உள்ளன என்பதைத் தீர்மானித்த பிறகு, அவற்றின் எண்ணிக்கை அறியப்பட்ட பிறகு, நீங்கள் மாறிகளுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இரண்டு வேர்கள் இருந்தால், நீங்கள் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

அதில் "±" குறி இருப்பதால், இரண்டு மதிப்புகள் இருக்கும். வர்க்க மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு பாகுபாடு ஆகும். எனவே, சூத்திரத்தை வேறு விதமாக மாற்றி எழுதலாம்.

ஃபார்முலா எண் ஐந்து. பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், இரண்டு வேர்களும் ஒரே மதிப்புகளை எடுக்கும் என்பது ஒரே பதிவிலிருந்து தெளிவாகிறது.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது இன்னும் செயல்படவில்லை என்றால், பாகுபாடு மற்றும் மாறி சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன்பு அனைத்து குணகங்களின் மதிப்புகளையும் எழுதுவது நல்லது. பின்னர் இந்த தருணம் சிரமங்களை ஏற்படுத்தாது. ஆனால் ஆரம்பத்திலேயே குழப்பம்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

இங்கே எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது. கூடுதல் சூத்திரங்கள் கூட தேவையில்லை. மேலும் பாகுபாடு காட்டுபவர்கள் மற்றும் தெரியாதவர்களுக்காக ஏற்கனவே எழுதப்பட்டவை தேவையில்லை.

முதலில், முழுமையற்ற சமன்பாடு எண் இரண்டைப் பார்ப்போம். இந்த சமத்துவத்தில், தெரியாத அளவை அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து அகற்றி, அடைப்புக்குறிக்குள் இருக்கும் நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது அவசியம். பதில் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும். முதல் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், ஏனென்றால் மாறியைக் கொண்ட ஒரு பெருக்கி உள்ளது. இரண்டாவது ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் பெறப்படும்.

முழுமையற்ற சமன்பாடு எண் மூன்று சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்திலிருந்து வலது பக்கம் எண்ணை நகர்த்துவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது. அறியப்படாததை எதிர்கொள்ளும் குணகத்தால் நீங்கள் வகுக்க வேண்டும். எஞ்சியிருப்பது வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுத்து, எதிரெதிர் அடையாளங்களுடன் இரண்டு முறை எழுத நினைவில் கொள்ளுங்கள்.

இருபடி சமன்பாடுகளாக மாறும் அனைத்து வகையான சமத்துவங்களையும் எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அறிய உதவும் சில படிகள் கீழே உள்ளன. கவனக்குறைவால் ஏற்படும் தவறுகளைத் தவிர்க்க அவை மாணவருக்கு உதவும். "குவாட்ராடிக் சமன்பாடுகள் (8 ஆம் வகுப்பு)" என்ற விரிவான தலைப்பைப் படிக்கும்போது இந்த குறைபாடுகள் மோசமான தரங்களை ஏற்படுத்தும். பின்னர், இந்த நடவடிக்கைகள் தொடர்ந்து செய்யப்பட வேண்டியதில்லை. ஏனெனில் ஒரு நிலையான திறமை தோன்றும்.

• முதலில் நீங்கள் சமன்பாட்டை நிலையான வடிவத்தில் எழுத வேண்டும். அதாவது, முதலில் மாறியின் மிகப்பெரிய பட்டம் கொண்ட சொல், பின்னர் - ஒரு பட்டம் இல்லாமல், கடைசியாக - ஒரு எண்.

• குணகம் "a" க்கு முன் ஒரு கழித்தல் தோன்றினால், அது இருபடி சமன்பாடுகளைப் படிக்கும் ஒரு தொடக்கக்காரரின் வேலையை சிக்கலாக்கும். அதிலிருந்து விடுபடுவது நல்லது. இந்த நோக்கத்திற்காக, அனைத்து சமத்துவமும் "-1" ஆல் பெருக்கப்பட வேண்டும். எல்லா விதிமுறைகளும் குறியை எதிர்மாறாக மாற்றும் என்பதே இதன் பொருள்.

• அதே வழியில் பின்னங்களை அகற்ற பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. சமன்பாட்டை பொருத்தமான காரணியால் பெருக்கவும், இதனால் பிரிவுகள் ரத்து செய்யப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

பின்வரும் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க இது தேவைப்படுகிறது:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

முதல் சமன்பாடு: x 2 - 7x = 0. இது முழுமையடையாதது, எனவே சூத்திர எண் இரண்டுக்கு விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி இது தீர்க்கப்படுகிறது.

அடைப்புக்குறியிலிருந்து வெளியே எடுத்த பிறகு, அது மாறிவிடும்: x (x - 7) = 0.

முதல் ரூட் மதிப்பை எடுக்கும்: x 1 = 0. இரண்டாவது நேரியல் சமன்பாட்டிலிருந்து கண்டுபிடிக்கப்படும்: x - 7 = 0. x 2 = 7 என்பதைக் காண்பது எளிது.

இரண்டாவது சமன்பாடு: 5x 2 + 30 = 0. மீண்டும் முழுமையற்றது. மூன்றாவது சூத்திரத்தில் விவரிக்கப்பட்டுள்ளபடி மட்டுமே இது தீர்க்கப்படுகிறது.

சமன்பாட்டின் வலது பக்கமாக 30 ஐ நகர்த்திய பிறகு: 5x 2 = 30. இப்போது நீங்கள் 5 ஆல் வகுக்க வேண்டும். அது மாறிவிடும்: x 2 = 6. பதில்கள் எண்களாக இருக்கும்: x 1 = √6, x 2 = - √6.

மூன்றாவது சமன்பாடு: 15 - 2x - x 2 = 0. இங்கும் மேலும், இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது நிலையான வடிவத்தில் அவற்றை மீண்டும் எழுதுவதன் மூலம் தொடங்கும்: - x 2 - 2x + 15 = 0. இப்போது இரண்டாவது பயன்படுத்த வேண்டிய நேரம் இது. பயனுள்ள ஆலோசனைஎல்லாவற்றையும் கழித்தல் ஒன்றால் பெருக்கவும். இது x 2 + 2x - 15 = 0. நான்காவது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் பாகுபாடு கணக்கிட வேண்டும்: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. இது ஒரு நேர்மறை எண். மேலே கூறப்பட்டவற்றிலிருந்து, சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு வேர்கள் உள்ளன என்று மாறிவிடும். ஐந்தாவது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றைக் கணக்கிட வேண்டும். அது x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. பின்னர் x 1 = 3, x 2 = - 5.

நான்காவது சமன்பாடு x 2 + 8 + 3x = 0 இவ்வாறு மாற்றப்படுகிறது: x 2 + 3x + 8 = 0. அதன் பாகுபாடு இந்த மதிப்புக்கு சமம்: -23. இந்த எண் எதிர்மறையாக இருப்பதால், இந்த பணிக்கான பதில் பின்வரும் நுழைவாக இருக்கும்: "வேர்கள் இல்லை."

ஐந்தாவது சமன்பாடு 12x + x 2 + 36 = 0 பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்பட வேண்டும்: x 2 + 12x + 36 = 0. பாகுபாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்திய பிறகு, எண் பூஜ்ஜியத்தைப் பெறுகிறது. இது ஒரு ரூட்டைக் கொண்டிருக்கும், அதாவது: x = -12/ (2 * 1) = -6.

ஆறாவது சமன்பாடு (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) க்கு மாற்றங்கள் தேவை, நீங்கள் இதே போன்ற சொற்களைக் கொண்டு வர வேண்டும், முதலில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்க வேண்டும். முதல் இடத்தில் பின்வரும் வெளிப்பாடு இருக்கும்: x 2 + 2x + 1. சமத்துவத்திற்குப் பிறகு, இந்த உள்ளீடு தோன்றும்: x 2 + 3x + 2. ஒத்த சொற்கள் கணக்கிடப்பட்ட பிறகு, சமன்பாடு படிவத்தை எடுக்கும்: x 2 - x = 0. இது முழுமையடையாது . இதைப் போன்ற ஒன்று ஏற்கனவே கொஞ்சம் அதிகமாக விவாதிக்கப்பட்டது. இதன் வேர்கள் 0 மற்றும் 1 எண்களாக இருக்கும்.

சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்வோம். செவ்வகத்தின் அடிப்பகுதி அதன் உயரத்தை விட 10 செமீ அதிகமாக உள்ளது, அதன் பரப்பளவு 24 செமீ² ஆகும். செவ்வகத்தின் உயரத்தைக் கண்டறியவும். விடுங்கள் எக்ஸ்சென்டிமீட்டர் என்பது செவ்வகத்தின் உயரம், அதன் அடிப்பகுதி சமம் ( எக்ஸ்+10) செ.மீ.. இந்த செவ்வகத்தின் பரப்பளவு எக்ஸ்(எக்ஸ்+ 10) செமீ². பிரச்சனையின் நிலைமைகளின்படி எக்ஸ்(எக்ஸ்+ 10) = 24. அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, எதிர் அடையாளத்துடன் எண் 24 ஐ நகர்த்துதல் இடது பக்கம்சமன்பாடுகள், நாம் பெறுகிறோம்: எக்ஸ்² + 10 எக்ஸ்-24 = 0. இந்த சிக்கலை தீர்க்கும் போது, ​​ஒரு சமன்பாடு பெறப்பட்டது, அது இருபடி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

இருபடி சமன்பாடு என்பது வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும்

கோடாரி ²+ bx+c= 0

எங்கே a, b, c- கொடுக்கப்பட்ட எண்கள், மற்றும் ஏ≠ 0, மற்றும் எக்ஸ்- தெரியவில்லை.

முரண்பாடுகள் a, b, cஇருபடி சமன்பாடு பொதுவாக அழைக்கப்படுகிறது: அ- முதல் அல்லது மிக உயர்ந்த குணகம், பி- இரண்டாவது குணகம், c- ஒரு இலவச உறுப்பினர். எடுத்துக்காட்டாக, எங்கள் சிக்கலில், முன்னணி குணகம் 1, இரண்டாவது குணகம் 10, மற்றும் இலவச சொல் -24. கணிதம் மற்றும் இயற்பியலில் பல சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் வருகிறது.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

முழு இருபடி சமன்பாடுகள். கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவதே முதல் படி கோடாரி²+ bx+ c = 0. நமது பிரச்சனைக்கு வருவோம், அதில் சமன்பாட்டை இவ்வாறு எழுதலாம் எக்ஸ்(எக்ஸ்+ 10) = 24 அதை நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம், அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கவும் எக்ஸ்² + 10 எக்ஸ்- 24 = 0, பொதுவான இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம்.

இந்த சூத்திரத்தில் மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு பாகுபாடு D = என்று அழைக்கப்படுகிறது பி² - 4 ஏசி

D>0 எனில், இருபடிச் சமன்பாடு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதைக் காணலாம்.

D=0 எனில், இருபடிச் சமன்பாடு ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது.

டி என்றால்<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

எங்கள் சூத்திரத்தில் மதிப்புகளை மாற்றுவோம் ஏ= 1, பி= 10, c= -24.

நமக்கு D>0 கிடைக்கிறது, எனவே இரண்டு வேர்களைப் பெறுகிறோம்.

D=0, இந்த நிபந்தனையின் கீழ் ஒரு ரூட் இருக்க வேண்டும் என்பதற்கான உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

25எக்ஸ்² - 30 எக்ஸ்+ 9 = 0

ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள், அங்கு டி<0, при этом условии решения не должно быть.

2எக்ஸ்² + 3 எக்ஸ்+ 4 = 0

மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள எண் (பாகுபாடு) எதிர்மறையானது; நாங்கள் பதிலை பின்வருமாறு எழுதுகிறோம்: சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

இருபடி சமன்பாடு கோடாரி² + bx+ c= 0 குணகங்களில் ஏதேனும் ஒன்று இருந்தால் அது முழுமையற்றது என அழைக்கப்படுகிறது பிஅல்லது cபூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு என்பது பின்வரும் வகைகளில் ஒன்றின் சமன்பாடாகும்:

கோடாரி² = 0,

கோடாரி² + c= 0, c≠ 0,

கோடாரி² + bx= 0, பி≠ 0.

சில எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்த்து சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 5 ஆல் வகுத்தால் சமன்பாடு கிடைக்கும் எக்ஸ்² = 0, பதில் ஒரு ரூட் கொண்டிருக்கும் எக்ஸ்= 0.

படிவத்தின் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்

3எக்ஸ்² - 27 = 0

இரண்டு பக்கங்களையும் 3 ஆல் வகுத்தால், சமன்பாடு கிடைக்கும் எக்ஸ்² - 9 = 0, அல்லது அதை எழுதலாம் எக்ஸ்² = 9, பதில் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும் எக்ஸ்= 3 மற்றும் எக்ஸ்= -3.

படிவத்தின் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்

2எக்ஸ்² + 7 = 0

இரு பக்கங்களையும் 2 ஆல் வகுத்தால், சமன்பாடு கிடைக்கும் எக்ஸ்² = -7/2. இந்த சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை எக்ஸ்எந்த உண்மையான எண்ணுக்கும் ² ≥ 0 எக்ஸ்.

படிவத்தின் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்

3எக்ஸ்² + 5 எக்ஸ்= 0

சமன்பாட்டின் இடது பக்க காரணி, நாம் பெறுகிறோம் எக்ஸ்(3எக்ஸ்+ 5) = 0, பதில் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும் எக்ஸ்= 0, எக்ஸ்=-5/3.

இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது மிக முக்கியமான விஷயம் என்னவென்றால், இருபடி சமன்பாட்டை ஒரு நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவது, பொதுவான இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தை மனப்பாடம் செய்வது மற்றும் அறிகுறிகளில் குழப்பமடைய வேண்டாம்.

"சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது" என்ற தலைப்பைத் தொடர்வது, இந்த கட்டுரையில் உள்ள பொருள் இருபடி சமன்பாடுகளுக்கு உங்களை அறிமுகப்படுத்தும்.

எல்லாவற்றையும் விரிவாகப் பார்ப்போம்: ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் சாராம்சம் மற்றும் குறியீடானது, அதனுடன் இருக்கும் சொற்களை வரையறுக்கவும், முழுமையற்ற மற்றும் முழுமையான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான திட்டத்தை பகுப்பாய்வு செய்யவும், வேர்கள் மற்றும் பாகுபாடுகளின் சூத்திரத்தைப் பற்றி அறிந்து கொள்ளுங்கள், வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையே இணைப்புகளை நிறுவுதல், மற்றும் நிச்சயமாக நாம் நடைமுறை உதாரணங்களுக்கு ஒரு காட்சி தீர்வு கொடுப்போம்.

Yandex.RTB R-A-339285-1

இருபடி சமன்பாடு, அதன் வகைகள்

வரையறை 1

இருபடி சமன்பாடுஎன எழுதப்பட்ட சமன்பாடு ஆகும் a x 2 + b x + c = 0, எங்கே எக்ஸ்– மாறி, a , b மற்றும் c- சில எண்கள், போது அபூஜ்யம் அல்ல.

பெரும்பாலும், இருபடி சமன்பாடுகள் இரண்டாம் பட்டத்தின் சமன்பாடுகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் சாராம்சத்தில் ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்பது இரண்டாவது பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாடு ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்ட வரையறையை விளக்குவதற்கு ஒரு உதாரணம் தருவோம்: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, முதலியன இவை இருபடி சமன்பாடுகள்.

வரையறை 2

எண்கள் a, b மற்றும் cஇருபடிச் சமன்பாட்டின் குணகங்களாகும் a x 2 + b x + c = 0, குணகம் போது அ x 2 இல் முதல், அல்லது மூத்த, அல்லது குணகம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, b - இரண்டாவது குணகம் அல்லது குணகம் எக்ஸ், ஏ cஇலவச உறுப்பினர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக, இருபடி சமன்பாட்டில் 6 x 2 - 2 x - 11 = 0முன்னணி குணகம் 6, இரண்டாவது குணகம் − 2 , மற்றும் இலவச சொல் சமம் − 11 . எங்களுக்கு கவனம் செலுத்த வேண்டும் போது குணகங்கள் பிமற்றும்/அல்லது c எதிர்மறையானது, பின்னர் படிவத்தின் குறுகிய வடிவம் பயன்படுத்தப்படுகிறது 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ஆனால் இல்லை 6 x 2 + (− 2) x + (- 11) = 0.

இந்த அம்சத்தையும் தெளிவுபடுத்துவோம்: குணகங்கள் என்றால் அமற்றும்/அல்லது பிசமமான 1 அல்லது − 1 , பின்னர் அவர்கள் இருபடி சமன்பாட்டை எழுதுவதில் வெளிப்படையான பங்கை எடுக்க மாட்டார்கள், இது சுட்டிக்காட்டப்பட்ட எண் குணகங்களை எழுதுவதன் தனித்தன்மையால் விளக்கப்படுகிறது. உதாரணமாக, இருபடி சமன்பாட்டில் y 2 - y + 7 = 0முன்னணி குணகம் 1, மற்றும் இரண்டாவது குணகம் − 1 .

குறைக்கப்பட்ட மற்றும் குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடுகள்

முதல் குணகத்தின் மதிப்பின் அடிப்படையில், இருபடி சமன்பாடுகள் குறைக்கப்பட்ட மற்றும் குறைக்கப்படாததாக பிரிக்கப்படுகின்றன.

வரையறை 3

குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுஇது ஒரு இருபடி சமன்பாடு ஆகும், இதில் முன்னணி குணகம் 1 ஆகும். முன்னணி குணகத்தின் பிற மதிப்புகளுக்கு, இருபடி சமன்பாடு குறைக்கப்படவில்லை.

எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருவோம்: இருபடிச் சமன்பாடுகள் x 2 - 4 · x + 3 = 0, x 2 - x - 4 5 = 0 குறைக்கப்படுகின்றன, ஒவ்வொன்றிலும் முன்னணி குணகம் 1 ஆகும்.

9 x 2 - x - 2 = 0- குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடு, முதல் குணகம் வேறுபட்டது 1 .

எந்த குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடு இரு பக்கங்களையும் முதல் குணகத்தால் (சமமான மாற்றம்) பிரிப்பதன் மூலம் குறைக்கப்பட்ட சமன்பாடாக மாற்றப்படும். மாற்றப்பட்ட சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்ட குறைக்கப்படாத சமன்பாட்டின் அதே வேர்களைக் கொண்டிருக்கும் அல்லது வேர்கள் இல்லாமல் இருக்கும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டைக் கருத்தில் கொள்வது, குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாட்டிலிருந்து குறைக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு மாறுவதை தெளிவாக நிரூபிக்க அனுமதிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 1

6 x 2 + 18 x − 7 = 0 சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது . அசல் சமன்பாட்டை குறைக்கப்பட்ட வடிவத்தில் மாற்றுவது அவசியம்.

தீர்வு

மேலே உள்ள வரைபடத்தின்படி, இரண்டு பகுதிகளையும் பிரிக்கிறோம் அசல் சமன்பாடுமிக உயர்ந்த குணகம் 6. பின்னர் நாம் பெறுகிறோம்: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, மற்றும் இது போன்றது: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0மேலும்: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0.இங்கிருந்து: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . இவ்வாறு, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு சமமான சமன்பாடு பெறப்படுகிறது.

பதில்: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

முழுமையான மற்றும் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

இருபடி சமன்பாட்டின் வரையறைக்கு வருவோம். என்று அதில் குறிப்பிட்டிருந்தோம் a ≠ 0. சமன்பாட்டிற்கு இதே போன்ற நிபந்தனை அவசியம் a x 2 + b x + c = 0துல்லியமாக சதுரமாக இருந்தது a = 0இது அடிப்படையில் நேரியல் சமன்பாடாக மாறுகிறது b x + c = 0.

வழக்கில் குணகங்கள் போது பிமற்றும் cபூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் (இது தனித்தனியாகவும் கூட்டாகவும் சாத்தியமாகும்), இருபடி சமன்பாடு முழுமையற்றது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை 4

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு- அத்தகைய இருபடி சமன்பாடு a x 2 + b x + c = 0,குணகங்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பிமற்றும் c(அல்லது இரண்டும்) பூஜ்ஜியமாகும்.

முழு இருபடி சமன்பாடு- அனைத்து எண் குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத இருபடி சமன்பாடு.

இருபடி சமன்பாடுகளின் வகைகள் ஏன் சரியாக இந்தப் பெயர்களை வழங்குகின்றன என்பதைப் பற்றி விவாதிப்போம்.

b = 0 ஆக இருக்கும் போது, ​​இருபடிச் சமன்பாடு வடிவத்தை எடுக்கும் a x 2 + 0 x + c = 0, இது போன்றது a x 2 + c = 0. மணிக்கு c = 0இருபடி சமன்பாடு என எழுதப்பட்டுள்ளது a x 2 + b x + 0 = 0, இது சமமானதாகும் a x 2 + b x = 0. மணிக்கு b = 0மற்றும் c = 0சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும் a x 2 = 0. நாம் பெற்ற சமன்பாடுகள் முழுமையான இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து வேறுபடுகின்றன, அவற்றின் இடது பக்கங்களில் x மாறி அல்லது ஒரு இலவச சொல் அல்லது இரண்டும் இல்லை. உண்மையில், இந்த உண்மை இந்த வகை சமன்பாட்டிற்கு பெயர் கொடுத்தது - முழுமையற்றது.

எடுத்துக்காட்டாக, x 2 + 3 x + 4 = 0 மற்றும் - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 ஆகியவை முழுமையான இருபடிச் சமன்பாடுகள்; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, - x 2 - 6 x = 0 - முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

மேலே கொடுக்கப்பட்ட வரையறை பின்வரும் வகை முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளை வேறுபடுத்துவதை சாத்தியமாக்குகிறது:

• a x 2 = 0, இந்த சமன்பாடு குணகங்களுக்கு ஒத்திருக்கிறது b = 0மற்றும் c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 at b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 at c = 0.

ஒவ்வொரு வகை முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வை வரிசையாகக் கருதுவோம்.

சமன்பாட்டின் தீர்வு a x 2 =0

மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, இந்த சமன்பாடு குணகங்களுக்கு ஒத்திருக்கிறது பிமற்றும் c, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். சமன்பாடு a x 2 = 0சமமான சமன்பாடாக மாற்றலாம் x 2 = 0, அசல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் எண்ணால் வகுப்பதன் மூலம் நாம் பெறுகிறோம் அ, பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை. சமன்பாட்டின் வேர் என்பது வெளிப்படையான உண்மை x 2 = 0இது பூஜ்யம் ஏனெனில் 0 2 = 0 . இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேறு வேர்கள் இல்லை, இது பட்டத்தின் பண்புகளால் விளக்கப்படலாம்: எந்த எண்ணுக்கும் ப,பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, சமத்துவமின்மை உண்மை ப 2 > 0, அது எப்போது என்று பின்தொடர்கிறது ப ≠ 0சமத்துவம் ப 2 = 0ஒருபோதும் அடைய முடியாது.

வரையறை 5

எனவே, முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு x 2 = 0 என்ற ஒற்றை வேர் உள்ளது. x = 0.

எடுத்துக்காட்டு 2

எடுத்துக்காட்டாக, முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம் − 3 x 2 = 0. இது சமன்பாட்டிற்கு சமம் x 2 = 0, அதன் ஒரே வேர் x = 0, பின்னர் அசல் சமன்பாடு ஒரு ஒற்றை ரூட் - பூஜ்யம்.

சுருக்கமாக, தீர்வு பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

சமன்பாட்டை தீர்க்கும் a x 2 + c = 0

அடுத்த வரிசையில் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வு உள்ளது, இங்கு b = 0, c ≠ 0, அதாவது வடிவத்தின் சமன்பாடுகள் a x 2 + c = 0. சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கத்திலிருந்து மற்றொன்றுக்கு ஒரு சொல்லை நகர்த்துவதன் மூலம் இந்த சமன்பாட்டை மாற்றுவோம், குறியை எதிர்க்கு மாற்றுவோம் மற்றும் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத எண்ணால் வகுப்போம்:

• பரிமாற்றம் cவலது புறம், இது சமன்பாட்டை அளிக்கிறது a x 2 = - c;
• சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் வகுக்கவும் அ, நாம் x = - c a உடன் முடிவடைகிறோம்.

எங்கள் மாற்றங்கள் சமமானவை; அதன்படி, இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாடு அசல் ஒன்றிற்கு சமமானதாகும், மேலும் இந்த உண்மை சமன்பாட்டின் வேர்கள் பற்றிய முடிவுகளை எடுப்பதை சாத்தியமாக்குகிறது. மதிப்புகள் என்ன என்பதிலிருந்து அமற்றும் cவெளிப்பாட்டின் மதிப்பு - c a சார்ந்தது: இது ஒரு கழித்தல் அடையாளத்தைக் கொண்டிருக்கலாம் (எடுத்துக்காட்டாக, என்றால் a = 1மற்றும் c = 2, பின்னர் - c a = - 2 1 = - 2) அல்லது ஒரு கூட்டல் குறி (உதாரணமாக, என்றால் a = - 2மற்றும் c = 6, பின்னர் - c a = - 6 - 2 = 3); ஏனெனில் அது பூஜ்ஜியம் அல்ல c ≠ 0. சூழ்நிலைகளில் இன்னும் விரிவாக வாழ்வோம் - c a< 0 и - c a > 0 .

வழக்கில் போது - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа பசமத்துவம் p 2 = - c a உண்மையாக இருக்க முடியாது.

எல்லாம் வித்தியாசமாக இருக்கும் போது - c a > 0: வர்க்க மூலத்தை நினைவில் வைத்துக் கொள்ளுங்கள், மேலும் x 2 = - c a சமன்பாட்டின் மூலமானது எண்ணாக இருக்கும் என்பது தெளிவாகிறது - c a, என்பதால் - c a 2 = - c a. எண் - - c a சமன்பாட்டின் மூலமும் x 2 = - c a: உண்மையில், - - c a 2 = - c a என்பதை புரிந்துகொள்வது கடினம் அல்ல.

சமன்பாட்டிற்கு வேறு வேர்கள் இருக்காது. முரண்பாட்டு முறையைப் பயன்படுத்தி நாம் இதை நிரூபிக்க முடியும். தொடங்குவதற்கு, மேலே காணப்படும் வேர்களுக்கான குறியீடுகளை வரையறுப்போம் x 1மற்றும் − x 1. சமன்பாடு x 2 = - c a க்கும் ஒரு வேர் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம் x 2, இது வேர்களிலிருந்து வேறுபட்டது x 1மற்றும் − x 1. சமன்பாட்டில் மாற்றுவதன் மூலம் நாம் அதை அறிவோம் எக்ஸ்அதன் வேர்கள், சமன்பாட்டை நியாயமான எண் சமத்துவமாக மாற்றுகிறோம்.

க்கு x 1மற்றும் − x 1நாங்கள் எழுதுகிறோம்: x 1 2 = - c a , மற்றும் x 2- x 2 2 = - c a . எண் சமத்துவங்களின் பண்புகளின் அடிப்படையில், ஒரு சரியான சமத்துவச் சொல்லை மற்றொரு காலத்திலிருந்து கழிக்கிறோம், இது நமக்குத் தரும்: x 1 2 - x 2 2 = 0. கடைசி சமத்துவத்தை மீண்டும் எழுத எண்களுடன் செயல்பாடுகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம் (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. இரண்டு எண்களின் பலன் பூஜ்ஜியமாகும் என்பது அறியப்படுகிறது, குறைந்தது ஒரு எண் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே. மேலே இருந்து அது பின்வருமாறு x 1 - x 2 = 0மற்றும்/அல்லது x 1 + x 2 = 0, அதே தான் x 2 = x 1மற்றும்/அல்லது x 2 = - x 1. ஒரு வெளிப்படையான முரண்பாடு எழுந்தது, ஏனென்றால் முதலில் சமன்பாட்டின் வேர் என்று ஒப்புக் கொள்ளப்பட்டது x 2வேறுபடுகிறது x 1மற்றும் − x 1. எனவே, சமன்பாட்டிற்கு x = - c a மற்றும் x = - - c a தவிர வேறு வேர்கள் இல்லை என்பதை நிரூபித்துள்ளோம்.

மேலே உள்ள அனைத்து வாதங்களையும் சுருக்கமாகக் கூறுவோம்.

வரையறை 6

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு a x 2 + c = 0சமன்பாடு x 2 = - c a, இது:

• - c a இல் வேர்கள் இருக்காது< 0 ;
• x = - c a மற்றும் x = - - c a for - c a > 0 ஆகிய இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்.

சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான உதாரணங்களைத் தருவோம் a x 2 + c = 0.

எடுத்துக்காட்டு 3

ஒரு இருபடி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது 9 x 2 + 7 = 0.தீர்வு காண வேண்டியது அவசியம்.

தீர்வு

கட்டற்ற சொல்லை சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் நகர்த்துவோம், பிறகு சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும் 9 x 2 = - 7.
இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பிரிப்போம் 9 , x 2 = - 7 9 க்கு வருகிறோம். வலது பக்கத்தில் ஒரு மைனஸ் அடையாளத்துடன் ஒரு எண்ணைக் காண்கிறோம், அதாவது: கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை. பின்னர் அசல் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு 9 x 2 + 7 = 0வேர்கள் இருக்காது.

பதில்:சமன்பாடு 9 x 2 + 7 = 0வேர்கள் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 4

சமன்பாடு தீர்க்கப்பட வேண்டும் − x 2 + 36 = 0.

தீர்வு

36ஐ வலது பக்கம் நகர்த்துவோம்: − x 2 = - 36.
இரண்டு பகுதிகளையும் பிரிப்போம் − 1 , நாம் பெறுகிறோம் x 2 = 36. வலது பக்கத்தில் ஒரு நேர்மறை எண் உள்ளது, அதில் இருந்து நாம் முடிவு செய்யலாம் x = 36 அல்லது x = - 36
மூலத்தைப் பிரித்தெடுத்து இறுதி முடிவை எழுதுவோம்: முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு − x 2 + 36 = 0இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது x=6அல்லது x = - 6.

பதில்: x=6அல்லது x = - 6.

சமன்பாட்டின் தீர்வு a x 2 +b x=0

மூன்றாவது வகை முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம், எப்போது c = 0. முழுமையடையாத இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு காண a x 2 + b x = 0, காரணியாக்குதல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம். சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையை காரணியாக்குவோம், அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுத்துக்கொள்வோம் எக்ஸ். இந்தப் படியானது அசல் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டை அதற்குச் சமமானதாக மாற்றுவதை சாத்தியமாக்கும். x (a x + b) = 0. இந்த சமன்பாடு, சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு சமம் x = 0மற்றும் a x + b = 0. சமன்பாடு a x + b = 0நேரியல் மற்றும் அதன் வேர்: x = - b a.

வரையறை 7

எனவே, முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு a x 2 + b x = 0இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும் x = 0மற்றும் x = - b a.

ஒரு உதாரணத்துடன் பொருளை வலுப்படுத்துவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 5

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு காண வேண்டியது அவசியம்.

தீர்வு

நாங்கள் அதை வெளியே எடுப்போம் எக்ஸ்அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். இந்த சமன்பாடு சமன்பாடுகளுக்கு சமம் x = 0மற்றும் 2 3 x - 2 2 7 = 0. இப்போது நீங்கள் விளைந்த நேரியல் சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும்: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

சமன்பாட்டிற்கான தீர்வை பின்வருமாறு சுருக்கமாக எழுதவும்:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 அல்லது 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 அல்லது x = 3 3 7

பதில்: x = 0, x = 3 3 7.

பாகுபாடு, இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்

இருபடி சமன்பாடுகளுக்கு தீர்வு காண, ஒரு ரூட் சூத்திரம் உள்ளது:

வரையறை 8

x = - b ± D 2 · a, எங்கே D = b 2 - 4 a c- ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

x = - b ± D 2 · a என்று எழுதுவது x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

இந்த சூத்திரம் எவ்வாறு பெறப்பட்டது மற்றும் அதை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல்

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் பணியை எதிர்கொள்வோம் a x 2 + b x + c = 0. சமமான பல மாற்றங்களைச் செய்வோம்:

• சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரு எண்ணால் வகுக்கவும் அ, பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டது, பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• முன்னிலைப்படுத்தலாம் சரியான சதுரம்விளைந்த சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில்:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  இதற்குப் பிறகு, சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• இப்போது கடைசி இரண்டு சொற்களை வலது பக்கத்திற்கு மாற்றுவது சாத்தியமாகும், அதற்கு எதிர்மாறாக அடையாளத்தை மாற்றலாம், அதன் பிறகு நாம் பெறுகிறோம்: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• இறுதியாக, கடைசி சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில் எழுதப்பட்ட வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறோம்:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

எனவே, அசல் சமன்பாட்டிற்கு சமமான x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம் a x 2 + b x + c = 0.

முந்தைய பத்திகளில் (முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது) அத்தகைய சமன்பாடுகளின் தீர்வை நாங்கள் ஆய்வு செய்தோம். ஏற்கனவே பெற்ற அனுபவம் x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 சமன்பாட்டின் வேர்கள் குறித்து ஒரு முடிவை எடுக்க உதவுகிறது

• b 2 - 4 a c 4 a 2 உடன்< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 சமன்பாடு x + b 2 · a 2 = 0, பின்னர் x + b 2 · a = 0.

இங்கிருந்து ஒரே ரூட் x = - b 2 · a தெளிவாக உள்ளது;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 க்கு, பின்வருபவை உண்மையாக இருக்கும்: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 அல்லது x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , இது x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 அல்லது x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , i.e. சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

சமன்பாடு x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (அதனால் அசல் சமன்பாடு) ஆகியவற்றின் வேர்களின் இருப்பு அல்லது இல்லாமை b வெளிப்பாட்டின் அடையாளத்தைப் பொறுத்தது என்று முடிவு செய்ய முடியும். 2 - 4 · a · c 4 · a 2 வலது பக்கத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது. மேலும் இந்த வெளிப்பாட்டின் அடையாளம் எண்களின் அடையாளத்தால் வழங்கப்படுகிறது, (வகுப்பு 4 அ 2எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும்), அதாவது வெளிப்பாட்டின் அடையாளம் b 2 - 4 a c. இந்த வெளிப்பாடு b 2 - 4 a cபெயர் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது - இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு மற்றும் D என்ற எழுத்து அதன் பதவியாக வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கே நீங்கள் பாகுபாட்டின் சாரத்தை எழுதலாம் - அதன் மதிப்பு மற்றும் அடையாளத்தின் அடிப்படையில், இருபடி சமன்பாடு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டிருக்குமா என்பதை அவர்கள் முடிவு செய்யலாம், அப்படியானால், வேர்களின் எண்ணிக்கை என்ன - ஒன்று அல்லது இரண்டு.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 சமன்பாட்டிற்கு வருவோம். பாரபட்சமான குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி அதை மீண்டும் எழுதுவோம்: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

எங்கள் முடிவுகளை மீண்டும் உருவாக்குவோம்:

வரையறை 9

• மணிக்கு டி< 0 சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை;
• மணிக்கு D=0சமன்பாடு ஒரு ஒற்றை ரூட் x = - b 2 · a ;
• மணிக்கு D > 0சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 அல்லது x = - b 2 · a - D 4 · a 2. தீவிரவாதிகளின் பண்புகளின் அடிப்படையில், இந்த வேர்களை வடிவத்தில் எழுதலாம்: x = - b 2 · a + D 2 · a or - b 2 · a - D 2 · a. மேலும், தொகுதிகளைத் திறந்து, பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வரும்போது, ​​நமக்குக் கிடைக்கும்: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

எனவே, இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் எங்கள் பகுத்தறிவின் விளைவாகும்:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, discriminant டிசூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது D = b 2 - 4 a c.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும்போது இரண்டு உண்மையான வேர்களையும் தீர்மானிக்க இந்த சூத்திரங்கள் சாத்தியமாக்குகின்றன. பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது, ​​​​இரண்டு சூத்திரங்களையும் பயன்படுத்துவது இருபடி சமன்பாட்டிற்கான ஒரே தீர்வாக ஒரே மூலத்தை வழங்கும். பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால், இருபடி சமன்பாட்டின் மூலத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த முயற்சித்தால், பிரித்தெடுக்க வேண்டிய அவசியத்தை நாம் எதிர்கொள்ள நேரிடும். சதுர வேர்எதிர்மறை எண்ணிலிருந்து, இது உண்மையான எண்களுக்கு அப்பால் நம்மை அழைத்துச் செல்லும். எதிர்மறையான பாகுபாடுடன், இருபடிச் சமன்பாடு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டிருக்காது, ஆனால் ஒரு ஜோடி சிக்கலான இணைந்த வேர்கள் சாத்தியமாகும், இது நாம் பெற்ற அதே ரூட் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

மூல சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்

ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உடனடியாக ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முடியும், ஆனால் இது பொதுவாக சிக்கலான வேர்களைக் கண்டறியும் போது செய்யப்படுகிறது.

பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், இது பொதுவாக சிக்கலானது அல்ல, ஆனால் இருபடி சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்களைத் தேடுவதாகும். ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன்பு, முதலில் பாகுபாட்டைக் கண்டறிந்து அது எதிர்மறையாக இல்லை என்பதை உறுதிசெய்வது உகந்ததாகும் (இல்லையெனில் சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்று முடிவு செய்வோம்), பின்னர் கணக்கிட தொடரவும். வேர்களின் மதிப்பு.

மேலே கூறப்பட்டுள்ள காரணம், இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையை உருவாக்குவதை சாத்தியமாக்குகிறது.

வரையறை 10

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க a x 2 + b x + c = 0, அவசியம்:

• சூத்திரத்தின் படி D = b 2 - 4 a cபாரபட்சமான மதிப்பைக் கண்டறியவும்;
• D இல்< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0 க்கு, x = - b 2 · a சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் ஒரே மூலத்தைக் கண்டறியவும்;
• D > 0க்கு, x = - b ± D 2 · a என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாட்டின் இரண்டு உண்மையான வேர்களைத் தீர்மானிக்கவும்.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது, ​​நீங்கள் x = - b ± D 2 · a என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம், இது x = - b 2 · a சூத்திரத்தின் அதே முடிவைக் கொடுக்கும்.

உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

பாகுபாடு காட்டுபவர்களின் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கு தீர்வுகளை வழங்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 6

சமன்பாட்டின் வேர்களை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் x 2 + 2 x - 6 = 0.

தீர்வு

இருபடிச் சமன்பாட்டின் எண் குணகங்களை எழுதுவோம்: a = 1, b = 2 மற்றும் c = - 6. அடுத்து நாம் அல்காரிதம் படி தொடர்கிறோம், அதாவது. பாகுபாட்டைக் கணக்கிடத் தொடங்குவோம், அதற்காக a, b குணகங்களை மாற்றுவோம் மற்றும் cபாகுபாடு சூத்திரத்தில்: D = b 2 - 4 · a · c = 2 2 - 4 · 1 · (- 6) = 4 + 24 = 28 .

எனவே நாம் D > 0 ஐப் பெறுகிறோம், அதாவது அசல் சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்.
அவற்றைக் கண்டுபிடிக்க, x = - b ± D 2 · a என்ற ரூட் ஃபார்முலாவைப் பயன்படுத்துகிறோம், மேலும் தொடர்புடைய மதிப்புகளுக்குப் பதிலாக, நாம் பெறுகிறோம்: x = - 2 ± 28 2 · 1. மூல அடையாளத்திலிருந்து காரணியை வெளியே எடுத்து, பின்னத்தை குறைப்பதன் மூலம் விளைந்த வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குவோம்:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 அல்லது x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 அல்லது x = - 1 - 7

பதில்: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

எடுத்துக்காட்டு 7

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டும் − 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

தீர்வு

பாகுபாட்டை வரையறுப்போம்: D = 28 2 - 4 · (− 4) · (- 49) = 784 - 784 = 0. இந்த பாகுபாட்டின் மதிப்புடன், அசல் சமன்பாடு x = - b 2 · a சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படும் ஒரே ஒரு மூலத்தைக் கொண்டிருக்கும்.

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

பதில்: x = 3.5.

எடுத்துக்காட்டு 8

சமன்பாடு தீர்க்கப்பட வேண்டும் 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

தீர்வு

இந்த சமன்பாட்டின் எண் குணகங்கள்: a = 5, b = 6 மற்றும் c = 2. பாகுபாட்டைக் கண்டறிய இந்த மதிப்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = − 4 . கணக்கிடப்பட்ட பாகுபாடு எதிர்மறையானது, எனவே அசல் இருபடி சமன்பாட்டில் உண்மையான வேர்கள் இல்லை.

சிக்கலான வேர்களைக் குறிப்பிடுவதே பணியாக இருக்கும் போது, ​​நாங்கள் ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம், சிக்கலான எண்களுடன் செயல்களைச் செய்கிறோம்:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 அல்லது x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i அல்லது x = - 3 5 - 1 5 · i.

பதில்:உண்மையான வேர்கள் இல்லை; சிக்கலான வேர்கள் பின்வருமாறு: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN பள்ளி பாடத்திட்டம்சிக்கலான வேர்களைத் தேட எந்த நிலையான தேவையும் இல்லை, எனவே, தீர்வின் போது பாகுபாடு எதிர்மறையானது என தீர்மானிக்கப்பட்டால், உண்மையான வேர்கள் இல்லை என்று பதில் உடனடியாக எழுதப்படும்.

இரண்டாவது குணகங்களுக்கான ரூட் சூத்திரம்

x = - b ± D 2 அல்லது படிவத்தின் குணகம் 2 · n, எடுத்துக்காட்டாக, 2 3 அல்லது 14 ln 5 = 2 7 ln 5). இந்த சூத்திரம் எவ்வாறு பெறப்பட்டது என்பதைக் காண்பிப்போம்.

a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு காணும் பணியை எதிர்கொள்வோம். அல்காரிதத்தின்படி நாங்கள் தொடர்கிறோம்: D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c) என்ற பாகுபாட்டை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம், பின்னர் ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

n 2 − a · c என்ற வெளிப்பாடு D 1 எனக் குறிக்கப்படட்டும் (சில நேரங்களில் அது D " எனக் குறிக்கப்படும்) பின்னர் இரண்டாவது குணகம் 2 · n உடன் பரிசீலனையில் உள்ள இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம் வடிவம் எடுக்கும்:

x = - n ± D 1 a, D 1 = n 2 - a · c.

D = 4 · D 1, அல்லது D 1 = D 4 என்று பார்ப்பது எளிது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், டி 1 என்பது பாகுபாட்டின் கால் பகுதி. வெளிப்படையாக, D 1 இன் அடையாளம் D இன் அடையாளத்தைப் போன்றது, அதாவது D 1 இன் அடையாளம் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களின் இருப்பு அல்லது இல்லாமையின் குறிகாட்டியாகவும் செயல்படும்.

வரையறை 11

எனவே, 2 n இன் இரண்டாவது குணகம் கொண்ட இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு காண, இது அவசியம்:

• D 1 = n 2 - a · c ;
• டி 1 இல்< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0 போது, ​​x = - n a சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் ஒரே மூலத்தைத் தீர்மானிக்கவும்;
• D 1 > 0க்கு, x = - n ± D 1 a சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இரண்டு உண்மையான வேர்களைத் தீர்மானிக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 9

5 x 2 - 6 x - 32 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டியது அவசியம்.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் இரண்டாவது குணகத்தை 2 · (− 3) ஆகக் குறிப்பிடலாம். கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டை 5 x 2 + 2 (− 3) x - 32 = 0 என மீண்டும் எழுதுகிறோம், இங்கு a = 5, n = - 3 மற்றும் c = - 32.

பாரபட்சத்தின் நான்காவது பகுதியைக் கணக்கிடுவோம்: D 1 = n 2 - a · c = (- 3) 2 - 5 · (- 32) = 9 + 160 = 169. இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு நேர்மறையாக உள்ளது, அதாவது சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. தொடர்புடைய ரூட் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றைத் தீர்மானிப்போம்:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 அல்லது x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 அல்லது x = - 2

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான வழக்கமான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடுகளை மேற்கொள்ள முடியும், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் தீர்வு மிகவும் சிக்கலானதாக இருக்கும்.

பதில்: x = 3 1 5 அல்லது x = - 2 .

இருபடி சமன்பாடுகளின் வடிவத்தை எளிதாக்குதல்

சில நேரங்களில் அசல் சமன்பாட்டின் வடிவத்தை மேம்படுத்துவது சாத்தியமாகும், இது வேர்களைக் கணக்கிடும் செயல்முறையை எளிதாக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாடு 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 ஐ விடத் தீர்க்க மிகவும் வசதியானது.

பெரும்பாலும், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வடிவத்தை எளிமைப்படுத்துவது அதன் இரு பக்கங்களையும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணால் பெருக்கி அல்லது வகுப்பதன் மூலம் மேற்கொள்ளப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 சமன்பாட்டின் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட பிரதிநிதித்துவத்தை மேலே காண்பித்தோம், இரு பக்கங்களையும் 100 ஆல் வகுப்பதன் மூலம் பெறப்பட்டது.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் குணகங்கள் காபிரைம் எண்களாக இல்லாதபோது இத்தகைய மாற்றம் சாத்தியமாகும். பின்னர் நாம் வழக்கமாக சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் அதன் குணகங்களின் முழுமையான மதிப்புகளின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பினால் வகுக்கிறோம்.

உதாரணமாக, நாம் 12 x 2 - 42 x + 48 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம். அதன் குணகங்களின் முழுமையான மதிப்புகளின் GCD ஐத் தீர்மானிப்போம்: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. அசல் இருபடி சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 6 ஆல் வகுத்து, 2 x 2 - 7 x + 8 = 0 சமமான இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறுவோம்.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதன் மூலம், நீங்கள் வழக்கமாக பகுதியளவு குணகங்களிலிருந்து விடுபடுவீர்கள். இந்த வழக்கில், அவை அதன் குணகங்களின் வகுப்பின் மிகக் குறைவான பொதுவான மடங்குகளால் பெருக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பகுதியும் 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 ஐ LCM (6, 3, 1) = 6 உடன் பெருக்கினால், அது மேலும் எழுதப்படும். எளிய வடிவத்தில் x 2 + 4 x - 18 = 0 .

இறுதியாக, சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு காலத்தின் அறிகுறிகளையும் மாற்றுவதன் மூலம் ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் முதல் குணகத்தின் கழித்தல் எப்பொழுதும் அகற்றப்படும் என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம், இது இருபுறமும் − 1 ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் (அல்லது வகுத்தல்) அடையப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாட்டிலிருந்து − 2 x 2 - 3 x + 7 = 0, நீங்கள் அதன் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட பதிப்பு 2 x 2 + 3 x - 7 = 0 க்கு செல்லலாம்.

வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையிலான உறவு

இருபடி சமன்பாடுகளின் வேர்களுக்கான சூத்திரம், ஏற்கனவே நமக்குத் தெரிந்த x = - b ± D 2 · a, சமன்பாட்டின் வேர்களை அதன் எண் குணகங்கள் மூலம் வெளிப்படுத்துகிறது. நம்பியிருக்கிறது இந்த சூத்திரம், வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையில் பிற சார்புகளைக் குறிப்பிட எங்களுக்கு வாய்ப்பு உள்ளது.

மிகவும் பிரபலமான மற்றும் பொருந்தக்கூடிய சூத்திரங்கள் வியட்டாவின் தேற்றம்:

x 1 + x 2 = - b a மற்றும் x 2 = c a.

குறிப்பாக, கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு, வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் இரண்டாவது குணகம் ஆகும், மேலும் வேர்களின் பலன் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமம். எடுத்துக்காட்டாக, 3 x 2 - 7 x + 22 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் வடிவத்தைப் பார்த்து, அதன் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை 7 3 என்றும், வேர்களின் பெருக்கல் 22 3 என்றும் உடனடியாகத் தீர்மானிக்க முடியும்.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையேயான பல இணைப்புகளையும் நீங்கள் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை குணகங்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம்:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்