x இன் அதிகாரங்களில் செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்தவும். பவர் வரிசையாக செயல்பாடுகளை விரிவுபடுத்துதல்

"f(x) செயல்பாட்டின் மெக்லாரின் தொடர் விரிவாக்கத்தைக் கண்டறியவும்"- இதுவே உயர் கணிதத்தில் பணி போன்றது, சில மாணவர்கள் செய்ய முடியும், மற்றவர்கள் உதாரணங்களைச் சமாளிக்க முடியாது. அதிகாரங்களில் ஒரு தொடரை விரிவுபடுத்துவதற்கு பல வழிகள் உள்ளன; செயல்பாடுகளை மெக்லாரின் தொடராக விரிவாக்குவதற்கான ஒரு நுட்பத்தை இங்கே தருவோம். தொடரில் ஒரு செயல்பாட்டை உருவாக்கும்போது, ​​டெரிவேடிவ்களைக் கணக்கிடுவதில் நீங்கள் நன்றாக இருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.7 x இன் சக்திகளில் ஒரு செயல்பாட்டை விரிவாக்குங்கள்

கணக்கீடுகள்: மேக்லாரின் சூத்திரத்தின்படி செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தை நாங்கள் செய்கிறோம். முதலில், செயல்பாட்டின் வகுப்பினை ஒரு தொடராக விரிவாக்குவோம்

இறுதியாக, விரிவாக்கத்தை எண்ணால் பெருக்கவும்.
முதல் சொல் பூஜ்ஜியம் f (0) = 1/3 இல் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்பு.
முதல் மற்றும் உயர் ஆர்டர்களின் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்கள் f (x) மற்றும் x=0 என்ற புள்ளியில் இந்த வழித்தோன்றல்களின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.




அடுத்து, வழித்தோன்றல்களின் மதிப்பில் 0 இல் ஏற்படும் மாற்றங்களின் அடிப்படையில், nவது வழித்தோன்றலுக்கான சூத்திரத்தை எழுதுகிறோம்.

எனவே, மேக்லாரின் தொடரின் விரிவாக்க வடிவில் வகுப்பினைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறோம்

நாம் எண் மூலம் பெருக்கி, x இன் சக்திகளில் ஒரு தொடரில் செயல்பாட்டின் விரும்பிய விரிவாக்கத்தைப் பெறுகிறோம்

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இங்கே சிக்கலான எதுவும் இல்லை.
அனைத்து முக்கிய புள்ளிகளும் வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிடும் திறனை அடிப்படையாகக் கொண்டவை மற்றும் பூஜ்ஜியத்தில் உயர் வரிசை வழித்தோன்றலின் மதிப்பை விரைவாகப் பொதுமைப்படுத்துகின்றன. ஒரு தொடரில் ஒரு செயல்பாட்டை எவ்வாறு விரைவாக ஏற்பாடு செய்வது என்பதை அறிய பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகள் உங்களுக்கு உதவும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.10 செயல்பாட்டின் மெக்லாரின் தொடர் விரிவாக்கத்தைக் கண்டறியவும்

கணக்கீடுகள்: நீங்கள் யூகித்தபடி, கோசைனை ஒரு தொடரில் எண்ணில் வைப்போம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் எண்ணற்ற அளவுகளுக்கு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம் அல்லது டெரிவேடிவ்கள் மூலம் கொசைனின் விரிவாக்கத்தைப் பெறலாம். இதன் விளைவாக, x இன் சக்திகளில் பின்வரும் தொடருக்கு வருகிறோம்

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எங்களிடம் குறைந்தபட்ச கணக்கீடுகள் மற்றும் தொடர் விரிவாக்கத்தின் சிறிய பிரதிநிதித்துவம் உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 4.16 x இன் சக்திகளில் ஒரு செயல்பாட்டை விரிவாக்குங்கள்:
7/(12-x-x^2)
கணக்கீடுகள்: இந்த வகையான எடுத்துக்காட்டுகளில், எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகை மூலம் பின்னத்தை விரிவாக்குவது அவசியம்.
இதை எப்படி செய்வது என்பதை நாங்கள் இப்போது உங்களுக்குக் காட்ட மாட்டோம், ஆனால் உதவியுடன் நிச்சயமற்ற குணகங்கள்பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு வருவோம்.
அடுத்து நாம் பிரிவினைகளை அதிவேக வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்

மெக்லாரின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி விதிமுறைகளை விரிவாக்க இது உள்ளது. "x" இன் அதே அதிகாரங்களில் உள்ள சொற்களைச் சுருக்கி, ஒரு தொடரில் ஒரு செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தின் பொதுவான காலத்திற்கான சூத்திரத்தை உருவாக்குகிறோம்.



தொடக்கத்தில் தொடருக்கான மாற்றத்தின் கடைசி பகுதியை செயல்படுத்துவது கடினம், ஏனெனில் ஜோடி மற்றும் இணைக்கப்படாத குறியீடுகளுக்கான (டிகிரிகள்) சூத்திரங்களை இணைப்பது கடினம், ஆனால் நடைமுறையில் நீங்கள் அதை சிறப்பாகப் பெறுவீர்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 4.18 செயல்பாட்டின் மெக்லாரின் தொடர் விரிவாக்கத்தைக் கண்டறியவும்

கணக்கீடுகள்: இந்தச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

மெக்லாரனின் சூத்திரங்களில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி செயல்பாட்டை ஒரு தொடராக விரிவுபடுத்துவோம்:

இரண்டும் முற்றிலும் ஒரே மாதிரியானவை என்ற உண்மையின் அடிப்படையில் தொடரின் காலத்தை சுருக்கமாகக் கூறுகிறோம். முழு தொடர் காலத்தையும் ஒருங்கிணைத்த பிறகு, செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தை x இன் சக்திகளில் ஒரு தொடராகப் பெறுகிறோம்

விரிவாக்கத்தின் கடைசி இரண்டு வரிகளுக்கு இடையில் ஒரு மாற்றம் உள்ளது, இது தொடக்கத்தில் உங்களுக்கு நிறைய நேரம் எடுக்கும். ஒரு தொடர் சூத்திரத்தைப் பொதுமைப்படுத்துவது அனைவருக்கும் எளிதானது அல்ல, எனவே ஒரு நல்ல, சிறிய சூத்திரத்தைப் பெற முடியவில்லை என்பதைப் பற்றி கவலைப்பட வேண்டாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.28 செயல்பாட்டின் மெக்லாரின் தொடர் விரிவாக்கத்தைக் கண்டறியவும்:

மடக்கையை பின்வருமாறு எழுதுவோம்

Maclaurin இன் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, மடக்கை செயல்பாட்டை x இன் சக்திகளில் ஒரு தொடரில் விரிவுபடுத்துகிறோம்

இறுதி வளைவு முதல் பார்வையில் சிக்கலானது, ஆனால் அறிகுறிகளை மாற்றும்போது நீங்கள் எப்போதும் இதே போன்ற ஒன்றைப் பெறுவீர்கள். ஒரு வரிசையில் செயல்பாடுகளை திட்டமிடுதல் என்ற தலைப்பில் உள்ளீட்டு பாடம் முடிந்தது. மற்ற சமமான சுவாரஸ்யமான சிதைவு திட்டங்கள் பின்வரும் பொருட்களில் விரிவாக விவாதிக்கப்படும்.

F(x) சார்பு ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் அனைத்து ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருந்தால், அதற்கு டெய்லர் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:
,
எங்கே ஆர் என்- தொடரின் எஞ்சிய கால அல்லது மீதி என அழைக்கப்படும், அதை Lagrange சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மதிப்பிடலாம்:
, x எண் x க்கும் a க்கும் இடையில் இருக்கும்.

f(x)=

புள்ளி x 0 = வரிசை உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 3 4 5 6 7

சிதைவைப் பயன்படுத்தவும் அடிப்படை செயல்பாடுகள் e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

செயல்பாடுகளை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்:

சில மதிப்பு இருந்தால் எக்ஸ் ஆர் என்→0 மணிக்கு n→∞, பின்னர் வரம்பில் டெய்லர் சூத்திரம் இந்த மதிப்புக்கு ஒன்றிணைகிறது டெய்லர் தொடர்:
,
எனவே, f(x) செயல்பாட்டை டெய்லர் தொடராக x பரிசீலனையில் இருந்தால் விரிவாக்கலாம்:
1) இது அனைத்து ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது;
2) கட்டமைக்கப்பட்ட தொடர் இந்த கட்டத்தில் ஒன்றிணைகிறது.

a = 0 எனப்படும் போது நமக்கு ஒரு தொடர் கிடைக்கும் மெக்லாரின் அருகில்:
,
மெக்லாரின் தொடரில் எளிமையான (தொடக்க) செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கம்:
அதிவேக செயல்பாடுகள்
, ஆர்=∞
முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்
, ஆர்=∞
, ஆர்=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
ஆக்ட்ஜிஎக்ஸ் செயல்பாடு x இன் சக்திகளில் விரிவடையாது, ஏனெனில் ctg0=∞
ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகள்


மடக்கை செயல்பாடுகள்
, -1
இருபக்க தொடர்
.

எடுத்துக்காட்டு எண். 1. செயல்பாட்டை ஒரு சக்தி தொடராக விரிவாக்கவும் f(x)= 2x.
தீர்வு. செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம் எக்ஸ்=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2x ln 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
டெய்லர் தொடர் சூத்திரத்தில் டெரிவேடிவ்களின் பெறப்பட்ட மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இந்தத் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் ஆரம் முடிவிலிக்கு சமம், எனவே இந்த விரிவாக்கம் செல்லுபடியாகும் -∞<x<+∞.

எடுத்துக்காட்டு எண். 2. டெய்லர் தொடரை அதிகாரங்களில் எழுதவும் ( எக்ஸ்+4) செயல்பாட்டிற்கு f(x)=இ x.
தீர்வு. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிதல் e xமற்றும் புள்ளியில் அவற்றின் மதிப்புகள் எக்ஸ்=-4.
f(x)= இ x, f(-4) = இ -4 ;
f"(x)= இ x, f"(-4) = இ -4 ;
f""(x)= இ x, f""(-4) = இ -4 ;
…
f(n)(x)= இ x, f(n)( -4) = இ -4 .
எனவே, செயல்பாட்டின் தேவையான டெய்லர் தொடர் வடிவம் உள்ளது:

இந்த விரிவாக்கம் -∞க்கும் செல்லுபடியாகும்<x<+∞.

எடுத்துக்காட்டு எண். 3. ஒரு செயல்பாட்டை விரிவாக்குங்கள் f(x)=எல்என் xஅதிகாரத்தில் ஒரு தொடரில் ( X- 1),
(அதாவது, புள்ளிக்கு அருகில் உள்ள டெய்லர் தொடரில் எக்ஸ்=1).
தீர்வு. இந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்.
f(x)=lnx , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
இந்த மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் மாற்றுவதன் மூலம், விரும்பிய டெய்லர் தொடரைப் பெறுகிறோம்:

d'Alembert இன் சோதனையைப் பயன்படுத்தி, தொடர் ½x-1½ இல் இணைவதை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம்<1 . Действительно,

½ என்றால் தொடர் ஒன்றிணைகிறது X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При எக்ஸ்=2 லீப்னிஸ் அளவுகோலின் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்யும் ஒரு மாற்றுத் தொடரைப் பெறுகிறோம். போது x=0 செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை. எனவே, டெய்லர் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பு பகுதி அரை-திறந்த இடைவெளி (0;2] ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 4. செயல்பாட்டை ஒரு சக்தித் தொடராக விரிவாக்குங்கள்.
தீர்வு. விரிவாக்கத்தில் (1) நாம் x ஐ -x 2 உடன் மாற்றுகிறோம், நாம் பெறுகிறோம்:
, -∞

எடுத்துக்காட்டு எண். 5. மெக்லாரின் தொடரில் செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்தவும்.
தீர்வு. எங்களிடம் உள்ளது
சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (4), நாம் எழுதலாம்:

சூத்திரத்தில் x க்கு பதிலாக –x ஐ மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

இங்கிருந்து நாம் கண்டுபிடிப்போம்: ln(1+x)-ln(1-x) = -
அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, தொடரின் விதிமுறைகளை மறுசீரமைத்து, ஒத்த சொற்களைக் கொண்டு வருகிறோம்
. இந்தத் தொடர் இடைவெளியில் (-1;1) ஒன்றிணைகிறது, ஏனெனில் இது இரண்டு தொடர்களிலிருந்து பெறப்படுகிறது, ஒவ்வொன்றும் இந்த இடைவெளியில் ஒன்றிணைகிறது.

கருத்து .
ஃபார்முலாக்கள் (1)-(5) தொடர்புடைய செயல்பாடுகளை டெய்லர் தொடராக விரிவுபடுத்தவும் பயன்படுத்தலாம், அதாவது. நேர்மறை முழு எண் சக்திகளில் செயல்பாடுகளை விரிவாக்குவதற்கு ( ஹா) இதைச் செய்ய, (1)-(5) செயல்பாடுகளில் ஒன்றைப் பெற, கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டில் இதுபோன்ற ஒத்த மாற்றங்களைச் செய்வது அவசியம். எக்ஸ்செலவுகள் k( ஹா) m , இங்கு k என்பது ஒரு நிலையான எண், m என்பது நேர்மறை முழு எண். மாறி மாறி மாற்றுவது பெரும்பாலும் வசதியானது டி=ஹாமற்றும் Maclaurin தொடரில் t பொறுத்து விளைவாக செயல்பாடு விரிவாக்க.

இந்த முறை ஒரு சக்தித் தொடரில் ஒரு செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தின் தனித்தன்மையின் தேற்றத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இந்த தேற்றத்தின் சாராம்சம் என்னவென்றால், ஒரே புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தில் அதன் விரிவாக்கம் எவ்வாறு நிகழ்த்தப்பட்டாலும், அதே செயல்பாட்டிற்கு ஒன்றிணைக்கும் இரண்டு வெவ்வேறு சக்தித் தொடர்களைப் பெற முடியாது.

எடுத்துக்காட்டு எண். 5a. மெக்லாரின் தொடரில் செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்தி, ஒன்றிணைந்த பகுதியைக் குறிக்கவும்.
தீர்வு. முதலில் 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
தொடக்கநிலைக்கு:

பின்னம் 3/(1-3x) என்பது 3x என்ற வகுப்பின் எல்லையில்லாமல் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையாகக் கருதப்படலாம், எனில் |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

ஒருமுகப் பகுதியுடன் |x|< 1/3.

எடுத்துக்காட்டு எண். 6. x = 3 புள்ளிக்கு அருகில் உள்ள டெய்லர் தொடராக செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்தவும்.
தீர்வு. டெய்லர் தொடரின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, முன்பு போலவே, இந்த சிக்கலை தீர்க்க முடியும், இதற்காக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களையும் அவற்றின் மதிப்புகளையும் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் எக்ஸ்=3. இருப்பினும், தற்போதுள்ள விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துவது எளிதாக இருக்கும் (5):
=
இதன் விளைவாக வரும் தொடர் அல்லது –3 இல் ஒன்றிணைகிறது

எடுத்துக்காட்டு எண். 7. டெய்லர் தொடரை ln(x+2) செயல்பாட்டின் அதிகாரங்களில் (x -1) எழுதவும்.
தீர்வு.


தொடர் , அல்லது -2 இல் ஒன்றிணைகிறது< x < 5.

எடுத்துக்காட்டு எண். 8. f(x)=sin(πx/4) செயல்பாட்டை டெய்லர் தொடராக x =2 புள்ளிக்கு அருகில் விரிவாக்கவும்.
தீர்வு. t=x-2 ஐ ​​மாற்றியமைப்போம்:

விரிவாக்கம் (3) ஐப் பயன்படுத்தி, x க்கு பதிலாக π / 4 t ஐ மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

இதன் விளைவாக வரும் தொடர் -∞ இல் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு ஒன்றிணைகிறது< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞இவ்வாறு,
, (-∞

பவர் தொடரைப் பயன்படுத்தி தோராயமான கணக்கீடுகள்

பவர் தொடர்கள் தோராயமான கணக்கீடுகளில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அவற்றின் உதவியுடன், நீங்கள் வேர்களின் மதிப்புகள், முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள், எண்களின் மடக்கைகள் மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடலாம். வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்கும் போது தொடர்களும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
சக்தித் தொடரில் ஒரு செயல்பாட்டின் விரிவாக்கத்தைக் கவனியுங்கள்:

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் ஒரு செயல்பாட்டின் தோராயமான மதிப்பைக் கணக்கிடுவதற்காக எக்ஸ், சுட்டிக்காட்டப்பட்ட தொடரின் ஒன்றிணைந்த பகுதிக்கு சொந்தமானது, முதல்வை அதன் விரிவாக்கத்தில் விடப்படுகின்றன nஉறுப்பினர்கள் ( n- ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்), மற்றும் மீதமுள்ள விதிமுறைகள் நிராகரிக்கப்படுகின்றன:

பெறப்பட்ட தோராயமான மதிப்பின் பிழையை மதிப்பிட, நிராகரிக்கப்பட்ட மீதமுள்ள rn (x) ஐ மதிப்பிடுவது அவசியம். இதைச் செய்ய, பின்வரும் நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தவும்:

• இதன் விளைவாக வரும் தொடர் மாறி மாறி இருந்தால், பின்வரும் சொத்து பயன்படுத்தப்படுகிறது: லீப்னிஸ் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்யும் ஒரு மாற்றுத் தொடருக்கு, முழுமையான மதிப்பில் தொடரின் எஞ்சியவை முதல் நிராகரிக்கப்பட்ட காலத்தை விட அதிகமாக இருக்காது.
• கொடுக்கப்பட்ட தொடர் நிலையான அடையாளமாக இருந்தால், நிராகரிக்கப்பட்ட சொற்களால் ஆன தொடர் எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்துடன் ஒப்பிடப்படுகிறது.
• பொதுவான வழக்கில், டெய்லர் தொடரின் எஞ்சியதை மதிப்பிட, நீங்கள் Lagrange சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்: a x ).

எடுத்துக்காட்டு எண். 1. ln(3) ஐ அருகிலுள்ள 0.01 க்கு கணக்கிடவும்.
தீர்வு. x=1/2 என்ற விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துவோம் (முந்தைய தலைப்பில் உதாரணம் 5ஐப் பார்க்கவும்):

விரிவாக்கத்தின் முதல் மூன்று சொற்களுக்குப் பிறகு எஞ்சியதை நிராகரிக்க முடியுமா என்பதைச் சரிபார்ப்போம், எண்ணற்ற அளவில் குறையும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்தி மதிப்பீடு செய்வோம்:

எனவே இந்த மீதியை நாம் நிராகரித்து பெறலாம்

எடுத்துக்காட்டு எண். 2. அருகிலுள்ள 0.0001 க்கு கணக்கிடவும்.
தீர்வு. இருசொல் தொடரைப் பயன்படுத்துவோம். 5 3 என்பது 130க்கு மிக நெருக்கமான முழு எண்ணின் கனசதுரமாக இருப்பதால், 130 என்ற எண்ணை 130 = 5 3 +5 எனக் குறிப்பிடுவது நல்லது.



ஏற்கனவே லீப்னிஸ் அளவுகோலை பூர்த்தி செய்யும் மாற்று தொடரின் நான்காவது கால அளவு தேவையான துல்லியத்தை விட குறைவாக உள்ளது:
, எனவே அதையும் அதைத் தொடர்ந்து வரும் விதிமுறைகளையும் நிராகரிக்கலாம்.
நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நடைமுறையில் அவசியமான பல திட்டவட்டமான அல்லது முறையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிட முடியாது, ஏனெனில் அதன் பயன்பாடு ஒரு ஆண்டிடெரிவேடிவ் கண்டுபிடிப்புடன் தொடர்புடையது, இது பெரும்பாலும் அடிப்படை செயல்பாடுகளில் வெளிப்பாட்டைக் கொண்டிருக்கவில்லை. ஒரு ஆண்டிடெரிவேடிவ் கண்டுபிடிப்பது சாத்தியமாகும், ஆனால் அது தேவையில்லாமல் உழைப்பு-தீவிரமானது. இருப்பினும், ஒருங்கிணைந்த செயல்பாடு ஒரு சக்தித் தொடராக விரிவுபடுத்தப்பட்டால், மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் இந்தத் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் இடைவெளியைச் சேர்ந்ததாக இருந்தால், முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் ஒருங்கிணைப்பின் தோராயமான கணக்கீடு சாத்தியமாகும்.

எடுத்துக்காட்டு எண். 3. ஒருங்கிணைந்த ∫ 0 1 4 sin (x) x இலிருந்து 10 -5 க்குள் கணக்கிடவும்.
தீர்வு. தொடர்புடைய காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பை அடிப்படை செயல்பாடுகளில் வெளிப்படுத்த முடியாது, அதாவது. "நிரந்தரமற்ற ஒருங்கிணைப்பை" குறிக்கிறது. நியூட்டன்-லீப்னிஸ் சூத்திரத்தை இங்கே பயன்படுத்த முடியாது. ஒருங்கிணைப்பை தோராயமாக கணக்கிடுவோம்.
பாவத்திற்கான தொடரை காலத்தால் வகுத்தல் xஅன்று x, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இந்தத் தொடரின் சொல்லை காலத்தின் அடிப்படையில் ஒருங்கிணைத்தல் (இது சாத்தியமாகும், ஏனெனில் ஒருங்கிணைப்பின் வரம்புகள் இந்தத் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் இடைவெளியைச் சேர்ந்தவை), நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இதன் விளைவாக வரும் தொடர் லீப்னிஸின் நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்வதால், கொடுக்கப்பட்ட துல்லியத்துடன் விரும்பிய மதிப்பைப் பெற முதல் இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை எடுத்துக் கொண்டால் போதும்.
இவ்வாறு, நாம் காண்கிறோம்
.

எடுத்துக்காட்டு எண். 4. ஒருங்கிணைந்த ∫ 0 1 4 e x 2 ஐ 0.001 துல்லியத்துடன் கணக்கிடவும்.
தீர்வு.
. இதன் விளைவாக வரும் தொடரின் இரண்டாவது தவணைக்குப் பிறகு மீதியை நிராகரிக்க முடியுமா என்று பார்க்கலாம்.
0.0001<0.001. Следовательно, .

உயர் கணிதம் படிக்கும் மாணவர்கள் நமக்குத் தரப்பட்டுள்ள தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் இடைவெளியைச் சேர்ந்த ஒரு குறிப்பிட்ட சக்தித் தொடரின் கூட்டுத்தொகையானது தொடர்ச்சியான மற்றும் வரம்பற்ற பலமுறை வேறுபட்ட செயல்பாடாக மாறும் என்பதை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். கேள்வி எழுகிறது: கொடுக்கப்பட்ட தன்னிச்சையான செயல்பாடு f(x) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட சக்தித் தொடரின் கூட்டுத்தொகை என்று சொல்ல முடியுமா? அதாவது, f(x) சார்பு எந்த நிபந்தனைகளின் கீழ் ஒரு சக்தித் தொடரால் குறிப்பிடப்படலாம்? இந்த கேள்வியின் முக்கியத்துவம் என்னவென்றால், ஒரு பவர் தொடரின் முதல் சில சொற்களின் கூட்டுத்தொகையுடன் f(x) செயல்பாட்டை தோராயமாக மாற்றுவது சாத்தியமாகும், அதாவது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை. ஒரு எளிய வெளிப்பாடு - ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை - ஒரு செயல்பாட்டை மாற்றுவது சில சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது வசதியானது, அதாவது: ஒருங்கிணைப்புகளைத் தீர்க்கும் போது, ​​​​கணக்கிடும்போது போன்றவை.

ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாட்டிற்கு f(x), இதில் (α - R; x 0 + R) அக்கம் பக்கத்தில் (n+1)வது வரிசை வரையிலான வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிட முடியும் என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. ) சில புள்ளி x = α, சூத்திரம் உண்மைதான்:

இந்த சூத்திரம் பிரபல விஞ்ஞானி ப்ரூக் டெய்லரின் பெயரிடப்பட்டது. முந்தைய தொடரில் இருந்து பெறப்பட்ட தொடர் மெக்லாரின் தொடர் என அழைக்கப்படுகிறது:

Maclaurin தொடரில் விரிவாக்கம் செய்வதை சாத்தியமாக்கும் விதி:

1. முதல், இரண்டாவது, மூன்றாவது... ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களைத் தீர்மானிக்கவும்.
2. x=0 இல் உள்ள வழித்தோன்றல்கள் எதற்குச் சமம் என்பதைக் கணக்கிடவும்.
3. இந்தச் செயல்பாட்டிற்கான மெக்லாரின் தொடரை எழுதவும், பின்னர் அதன் ஒருங்கிணைப்பின் இடைவெளியைத் தீர்மானிக்கவும்.
4. மெக்லாரின் சூத்திரத்தின் எஞ்சியிருக்கும் இடைவெளியை (-R;R) தீர்மானிக்கவும்

R n (x) -> 0 இல் n -> முடிவிலி. ஒன்று இருந்தால், அதில் f(x) சார்பு மக்லாரின் தொடரின் கூட்டுத்தொகையுடன் ஒத்துப்போக வேண்டும்.

தனிப்பட்ட செயல்பாடுகளுக்கான மெக்லாரின் தொடரை இப்போது கருத்தில் கொள்வோம்.

1. எனவே, முதலாவது f(x) = e x ஆக இருக்கும். நிச்சயமாக, அதன் குணாதிசயங்களின்படி, அத்தகைய செயல்பாடு மிகவும் மாறுபட்ட ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் f (k) (x) = e x , இதில் k என்பது x = 0 ஆகும். நாம் f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2 ஐப் பெறுகிறோம்... மேலே உள்ளவற்றின் அடிப்படையில், e x தொடர் இப்படி இருக்கும்:

2. f(x) = sin x செயல்பாட்டிற்கான Maclaurin தொடர். அறியப்படாத அனைத்து செயல்பாட்டிலும் டெரிவேடிவ்கள் இருக்கும் என்பதை உடனடியாக தெளிவுபடுத்துவோம், கூடுதலாக, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), இதில் k என்பது எந்த இயற்கை எண்ணுக்கும் சமம், அதாவது எளிய கணக்கீடுகளைச் செய்த பிறகு, நாம் வரலாம் f(x) = sin x க்கான தொடர் இப்படி இருக்கும்:

3. இப்போது f(x) = cos x செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ள முயற்சிப்போம். அறியப்படாத அனைவருக்கும் இது தன்னிச்சையான வரிசையின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

எனவே, மெக்லாரின் தொடரில் விரிவாக்கக்கூடிய மிக முக்கியமான செயல்பாடுகளை நாங்கள் பட்டியலிட்டுள்ளோம், ஆனால் அவை சில செயல்பாடுகளுக்கு டெய்லர் தொடரால் கூடுதலாக வழங்கப்படுகின்றன. இப்போது நாம் அவற்றை பட்டியலிடுவோம். டெய்லர் மற்றும் மெக்லாரின் தொடர்கள் உயர் கணிதத்தில் தொடர்களைத் தீர்ப்பதற்கான நடைமுறை வேலைகளில் ஒரு முக்கிய பகுதியாகும் என்பதும் குறிப்பிடத்தக்கது. எனவே, டெய்லர் தொடர்.

1. முதலாவது f(x) = ln(1+x) செயல்பாட்டிற்கான தொடராக இருக்கும். முந்தைய எடுத்துக்காட்டுகளைப் போலவே, கொடுக்கப்பட்ட f(x) = ln(1+x) க்கு நாம் Maclaurin தொடரின் பொதுவான வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி தொடரைச் சேர்க்கலாம். இருப்பினும், இந்தச் செயல்பாட்டிற்காக மெக்லாரின் தொடரை மிகவும் எளிமையாகப் பெறலாம். ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவியல் தொடரை ஒருங்கிணைத்து, அத்தகைய மாதிரியின் f(x) = ln(1+x)க்கான தொடரைப் பெறுகிறோம்:

2. எங்கள் கட்டுரையில் இறுதியாக இருக்கும் இரண்டாவது, f(x) = arctan xக்கான தொடராக இருக்கும். [-1;1] இடைவெளியைச் சேர்ந்த x க்கு விரிவாக்கம் செல்லுபடியாகும்:

அவ்வளவுதான். இந்தக் கட்டுரை உயர் கணிதத்தில், குறிப்பாக பொருளாதாரம் மற்றும் தொழில்நுட்பப் பல்கலைக்கழகங்களில் அதிகம் பயன்படுத்தப்படும் டெய்லர் மற்றும் மெக்லாரின் தொடர்களை ஆய்வு செய்தது.

செயல்பாடு என்றால் f(x)புள்ளியைக் கொண்டிருக்கும் சில இடைவெளியில் உள்ளது ஏ, அனைத்து ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்கள், பின்னர் டெய்லர் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:

எங்கே ஆர் என்- தொடரின் எஞ்சிய கால அல்லது மீதி என அழைக்கப்படும், அதை Lagrange சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மதிப்பிடலாம்:

, x என்ற எண் இடையில் உள்ளது எக்ஸ்மற்றும் ஏ.

சில மதிப்பு இருந்தால் எக்ஸ் ஆர் என்®0 மணிக்கு n®¥, பின்னர் வரம்பில் டெய்லர் சூத்திரம் இந்த மதிப்பிற்கான ஒரு குவிந்த சூத்திரமாக மாறும் டெய்லர் தொடர்:

எனவே செயல்பாடு f(x)கேள்விக்குரிய இடத்தில் டெய்லர் தொடராக விரிவாக்கப்படலாம் எக்ஸ், என்றால்:

1) இது அனைத்து ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது;

2) கட்டமைக்கப்பட்ட தொடர் இந்த கட்டத்தில் ஒன்றிணைகிறது.

மணிக்கு ஏ=0 என்று ஒரு தொடர் கிடைக்கும் மெக்லாரின் அருகில்:

எடுத்துக்காட்டு 1 f(x)= 2x.

தீர்வு. செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம் எக்ஸ்=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

டெய்லர் தொடர் சூத்திரத்தில் டெரிவேடிவ்களின் பெறப்பட்ட மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இந்தத் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பின் ஆரம் முடிவிலிக்கு சமம், எனவே இந்த விரிவாக்கம் செல்லுபடியாகும் -¥<x<+¥.

எடுத்துக்காட்டு 2 எக்ஸ்+4) செயல்பாட்டிற்கு f(x)=இ x.

தீர்வு. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறிதல் e xமற்றும் புள்ளியில் அவற்றின் மதிப்புகள் எக்ஸ்=-4.

f(x)= இ x, f(-4) = இ -4 ;

f¢(x)= இ x, f¢(-4) = இ -4 ;

f¢¢(x)= இ x, f¢¢(-4) = இ -4 ;

f(n)(x)= இ x, f(n)( -4) = இ -4 .

எனவே, செயல்பாட்டின் தேவையான டெய்லர் தொடர் வடிவம் உள்ளது:

இந்த விரிவாக்கம் -¥க்கும் செல்லுபடியாகும்<x<+¥.

எடுத்துக்காட்டு 3 . ஒரு செயல்பாட்டை விரிவாக்குங்கள் f(x)=எல்என் xஅதிகாரத்தில் ஒரு தொடரில் ( X- 1),

(அதாவது, புள்ளிக்கு அருகில் உள்ள டெய்லர் தொடரில் எக்ஸ்=1).

தீர்வு. இந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களைக் கண்டறியவும்.

இந்த மதிப்புகளை சூத்திரத்தில் மாற்றுவதன் மூலம், விரும்பிய டெய்லர் தொடரைப் பெறுகிறோம்:

d'Alembert இன் சோதனையைப் பயன்படுத்தி, தொடர் எப்போது ஒன்றிணைகிறது என்பதை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம்

½ X- 1½<1. Действительно,

½ என்றால் தொடர் ஒன்றிணைகிறது X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При எக்ஸ்=2 லீப்னிஸ் அளவுகோலின் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்யும் மாற்றுத் தொடரைப் பெறுகிறோம். மணிக்கு எக்ஸ்=0 செயல்பாடு வரையறுக்கப்படவில்லை. எனவே, டெய்லர் தொடரின் ஒருங்கிணைப்பு பகுதி அரை-திறந்த இடைவெளி (0;2] ஆகும்.

இந்த வழியில் பெறப்பட்ட விரிவாக்கங்களை மெக்லாரின் தொடரில் (அதாவது புள்ளியின் அருகாமையில் வழங்குவோம். எக்ஸ்=0) சில அடிப்படை செயல்பாடுகளுக்கு:

(2) ,

(3) ,

(கடைசி சிதைவு என்று அழைக்கப்படுகிறது இருபக்க தொடர்)

எடுத்துக்காட்டு 4 . செயல்பாட்டை ஒரு சக்தித் தொடராக விரிவாக்குங்கள்

தீர்வு. விரிவாக்கத்தில் (1) நாங்கள் மாற்றுகிறோம் எக்ஸ்அன்று – எக்ஸ் 2, நாம் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 5 . மெக்லாரின் தொடரில் செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்தவும்

தீர்வு. எங்களிடம் உள்ளது

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (4), நாம் எழுதலாம்:

பதிலாக பதிலாக எக்ஸ்சூத்திரத்தில் -எக்ஸ், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இங்கிருந்து நாம் கண்டுபிடிப்போம்:

அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, தொடரின் விதிமுறைகளை மறுசீரமைத்து, ஒத்த சொற்களைக் கொண்டு வருகிறோம்

இந்த தொடர் இடைவெளியில் ஒன்றிணைகிறது

(-1;1), இது இரண்டு தொடர்களிலிருந்து பெறப்பட்டதால், ஒவ்வொன்றும் இந்த இடைவெளியில் ஒன்றிணைகின்றன.

கருத்து .

ஃபார்முலாக்கள் (1)-(5) தொடர்புடைய செயல்பாடுகளை டெய்லர் தொடராக விரிவுபடுத்தவும் பயன்படுத்தலாம், அதாவது. நேர்மறை முழு எண் சக்திகளில் செயல்பாடுகளை விரிவாக்குவதற்கு ( ஹா) இதைச் செய்ய, (1)-(5) செயல்பாடுகளில் ஒன்றைப் பெற, கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டில் இதுபோன்ற ஒத்த மாற்றங்களைச் செய்வது அவசியம். எக்ஸ்செலவுகள் k( ஹா) m , இங்கு k என்பது ஒரு நிலையான எண், m என்பது நேர்மறை முழு எண். மாறி மாறி மாற்றுவது பெரும்பாலும் வசதியானது டி=ஹாமற்றும் Maclaurin தொடரில் t பொறுத்து விளைவாக செயல்பாடு விரிவாக்க.

இந்த முறை ஒரு செயல்பாட்டின் சக்தி தொடர் விரிவாக்கத்தின் தனித்துவம் குறித்த தேற்றத்தை விளக்குகிறது. இந்த தேற்றத்தின் சாராம்சம் என்னவென்றால், ஒரே புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தில் அதன் விரிவாக்கம் எவ்வாறு நிகழ்த்தப்பட்டாலும், அதே செயல்பாட்டிற்கு ஒன்றிணைக்கும் இரண்டு வெவ்வேறு சக்தித் தொடர்களைப் பெற முடியாது.

எடுத்துக்காட்டு 6 . ஒரு புள்ளியின் சுற்றுப்புறத்தில் டெய்லர் தொடரில் செயல்பாட்டை விரிவுபடுத்தவும் எக்ஸ்=3.

தீர்வு. டெய்லர் தொடரின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி, முன்பு போலவே, இந்த சிக்கலை தீர்க்க முடியும், இதற்காக செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்களையும் அவற்றின் மதிப்புகளையும் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் எக்ஸ்=3. இருப்பினும், தற்போதுள்ள விரிவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துவது எளிதாக இருக்கும் (5):

இதன் விளைவாக வரும் தொடர் ஒருமுகப்படுத்துகிறது அல்லது -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

எடுத்துக்காட்டு 7 . டெய்லர் தொடரை அதிகாரங்களில் எழுதவும் ( எக்ஸ்-1) செயல்பாடுகள் .

தீர்வு.

தொடர் ஒன்று கூடுகிறது , அல்லது -2< x£5.