சில நேர்கோடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது நேரியல் சமன்பாடு, மற்றும் அதன் ஆயங்களால் (x0, y0) குறிப்பிடப்பட்ட புள்ளி மற்றும் இந்த வரியில் இல்லை. கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிக்கு சமச்சீராக இருக்கும், அதாவது, இந்த நேர்கோட்டில் விமானம் மனதளவில் பாதியாக வளைந்திருந்தால் அதனுடன் ஒத்துப்போகும் ஒரு புள்ளியைக் கண்டறிய வேண்டும்.
வழிமுறைகள்
1. இரண்டு புள்ளிகள் - கொடுக்கப்பட்ட மற்றும் விரும்பியவை - ஒரே வரியில் இருக்க வேண்டும் என்பது தெளிவாகிறது, மேலும் இந்த வரி கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும். எனவே, சிக்கலின் முதல் பகுதியானது, கொடுக்கப்பட்ட சில வரிகளுக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் மற்றும் அதே நேரத்தில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் ஒரு கோட்டின் சமன்பாட்டைக் கண்டறிவதாகும்.
2. ஒரு நேர்கோட்டை இரண்டு வழிகளில் குறிப்பிடலாம். ஒரு கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்: Ax + By + C = 0, A, B மற்றும் C ஆகியவை மாறிலிகள். நீங்கள் ஒரு நேர்கோட்டைப் பயன்படுத்தி வரையறுக்கலாம் நேரியல் செயல்பாடு: y = kx + b, இதில் k என்பது கோண அடுக்கு, b என்பது இடப்பெயர்ச்சி, இந்த இரண்டு முறைகளும் ஒன்றுக்கொன்று மாறக்கூடியவை, மேலும் இது ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றுக்கு நகரும் சாத்தியம் உள்ளது. Ax + By + C = 0 எனில், y = – (Ax + C)/B. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு நேரியல் செயல்பாட்டில் y = kx + b, கோண அடுக்கு k = -A/B, மற்றும் இடப்பெயர்ச்சி b = -C/B. கையில் உள்ள பணிக்கு, அதை அடிப்படையாகக் கொண்டு நியாயப்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது நியமன சமன்பாடுநேராக.
3. இரண்டு கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருந்தால், முதல் வரியின் சமன்பாடு Ax + By + C = 0 எனில், 2வது வரியின் சமன்பாடு Bx – Ay + D = 0 போல இருக்க வேண்டும், இங்கு D என்பது மாறிலி. D இன் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பைக் கண்டறிய, செங்குத்து கோடு எந்தப் புள்ளியில் செல்கிறது என்பதை கூடுதலாக அறிந்து கொள்வது அவசியம். IN இந்த வழக்கில்இது புள்ளி (x0, y0) இதன் விளைவாக, D சமத்துவத்தை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்: Bx0 – Ay0 + D = 0, அதாவது D = Ay0 – Bx0.
4. செங்குத்து கோடு கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பிறகு, கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றோடு அதன் வெட்டும் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளை கணக்கிடுவது அவசியம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்க வேண்டும்: Ax + By + C = 0, Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0. அதன் தீர்வு எண்களை (x1, y1) வழங்கும். கோடுகள் வெட்டும் புள்ளி.
5. விரும்பிய புள்ளி கண்டறியப்பட்ட கோட்டில் இருக்க வேண்டும், மற்றும் வெட்டுப்புள்ளிக்கான அதன் தூரம் வெட்டும் புள்ளியிலிருந்து புள்ளிக்கு (x0, y0) தூரத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகள் சமச்சீர் புள்ளி(x0, y0), இவ்வாறு சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம் கண்டறியலாம்: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0)^2 = ?((x – x1)^2 + (y - y1)^2).
6. ஆனால் நீங்கள் அதை எளிதாக செய்யலாம். புள்ளிகள் (x0, y0) மற்றும் (x, y) புள்ளியிலிருந்து (x1, y1) சம தூரத்தில் இருந்தால், மேலும் மூன்று புள்ளிகளும் ஒரே நேர்கோட்டில் இருந்தால்: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0. இதன் விளைவாக, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. இந்த மதிப்புகளை முதல் அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றுவதன் மூலம் மற்றும் வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குவதன் மூலம், அதன் வலது பக்கம் இடது பக்கமாக மாறுவதை உறுதி செய்வது எளிது. கூடுதலாக, முதல் சமன்பாட்டை கருத்தில் கொள்வதில் எந்த அர்த்தமும் இல்லை, ஏனெனில் புள்ளிகள் (x0, y0) மற்றும் (x1, y1) அதை திருப்திப்படுத்துகின்றன, மேலும் புள்ளி (x, y) வெளிப்படையாக ஒரே கோட்டில் உள்ளது. .
நேர்கோட்டுடன் தொடர்புடைய புள்ளிக்கு சமச்சீராக இருக்கும் ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பதே பணி. 
. படிகளை நீங்களே செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன், ஆனால் இடைநிலை முடிவுகளுடன் தீர்வு வழிமுறையை கோடிட்டுக் காட்டுகிறேன்:
1) வரிக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் ஒரு கோட்டைக் கண்டறியவும்.
2) கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்: 
.
இரண்டு செயல்களும் இந்த பாடத்தில் விரிவாக விவாதிக்கப்பட்டுள்ளன.
3) புள்ளி என்பது பிரிவின் நடுப்புள்ளி. நடுத்தர மற்றும் முனைகளில் ஒன்றின் ஆயங்களை நாம் அறிவோம். மூலம் ஒரு பிரிவின் நடுப்புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகளுக்கான சூத்திரங்கள்நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்.
தூரமும் 2.2 யூனிட்கள் என்பதைச் சரிபார்ப்பது நல்லது.
இங்கே கணக்கீடுகளில் சிரமங்கள் ஏற்படலாம், ஆனால் ஒரு மைக்ரோகால்குலேட்டர் கோபுரத்தில் ஒரு பெரிய உதவி, நீங்கள் கணக்கிட அனுமதிக்கிறது பொதுவான பின்னங்கள். நான் உங்களுக்கு பல முறை அறிவுரை கூறியுள்ளேன், மீண்டும் பரிந்துரைக்கிறேன்.
இரண்டு இணை கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தை எப்படி கண்டுபிடிப்பது?
எடுத்துக்காட்டு 9
இரண்டு இணை கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்
என்பதற்கு இது மற்றொரு உதாரணம் சுதந்திரமான முடிவு. நான் உங்களுக்கு ஒரு சிறிய குறிப்பை தருகிறேன்: இதை தீர்க்க எண்ணற்ற வழிகள் உள்ளன. பாடத்தின் முடிவில் விளக்குவது, ஆனால் நீங்களே யூகிக்க முயற்சிப்பது நல்லது, உங்கள் புத்தி கூர்மை நன்கு வளர்ந்ததாக நான் நினைக்கிறேன்.
இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்
ஒவ்வொரு மூலையிலும் ஒரு ஜம்ப்: 
வடிவவியலில், இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் சிறிய கோணமாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது, அதில் இருந்து அது மழுங்கியதாக இருக்க முடியாது என்பதை தானாகவே பின்பற்றுகிறது. படத்தில், சிவப்பு வளைவால் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட கோணம் வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணமாக கருதப்படுவதில்லை. மற்றும் அவரது "பச்சை" அண்டை அல்லது எதிர் நோக்குடையது"ராஸ்பெர்ரி" மூலையில்.
கோடுகள் செங்குத்தாக இருந்தால், 4 கோணங்களில் ஏதேனும் ஒன்றை அவற்றுக்கிடையேயான கோணமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்.
கோணங்கள் எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன? நோக்குநிலை. முதலாவதாக, கோணம் எந்த திசையில் "ஸ்க்ரோல்" செய்யப்படுகிறது என்பது அடிப்படையில் முக்கியமானது. இரண்டாவதாக, எதிர்மறையான கோணம் ஒரு கழித்தல் அடையாளத்துடன் எழுதப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக என்றால் .
இதை ஏன் உன்னிடம் சொன்னேன்? ஒரு கோணத்தின் வழக்கமான கருத்துடன் நாம் பெறலாம் என்று தோன்றுகிறது. உண்மை என்னவென்றால், கோணங்களைக் கண்டறியும் சூத்திரங்கள் எதிர்மறையான முடிவை எளிதில் விளைவிக்கலாம், மேலும் இது உங்களை ஆச்சரியத்தில் ஆழ்த்தக்கூடாது. மைனஸ் அடையாளத்துடன் கூடிய கோணம் மோசமாக இல்லை, மேலும் அது மிகவும் குறிப்பிட்டது வடிவியல் பொருள். வரைபடத்தில், எதிர்மறை கோணத்திற்கு, அதன் நோக்குநிலையை அம்புக்குறியுடன் (வலஞ்சுழியாக) குறிப்பிடுவதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்.
இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை எப்படி கண்டுபிடிப்பது?இரண்டு வேலை சூத்திரங்கள் உள்ளன:
எடுத்துக்காட்டு 10
கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்
தீர்வுமற்றும் முறை ஒன்று
சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு நேர்கோடுகளைக் கவனியுங்கள் பொதுவான பார்வை:
நேராக இருந்தால் செங்குத்தாக இல்லை, அந்த சார்ந்தஅவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்: 
வகுப்பில் கவனம் செலுத்துவோம் - இது சரியாக உள்ளது அளவிடல் தயாரிப்புநேர் கோடுகளின் திசையன்களை இயக்குதல்:
என்றால், சூத்திரத்தின் வகுத்தல் பூஜ்ஜியமாக மாறும், மேலும் திசையன்கள் ஆர்த்தோகனலாகவும், கோடுகள் செங்குத்தாகவும் இருக்கும். அதனால்தான், நேர்கோடுகளின் செங்குத்தாக இல்லாதது குறித்து முன்பதிவு செய்யப்பட்டது.
மேற்கூறியவற்றின் அடிப்படையில், தீர்வை இரண்டு படிகளில் முறைப்படுத்துவது வசதியானது:
1) கோடுகளின் திசை திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கணக்கிடுவோம்:
2) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்:
தலைகீழ் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது. இந்த வழக்கில், நாம் ஆர்க்டாஞ்ஜெண்டின் விந்தையைப் பயன்படுத்துகிறோம் (பார்க்க. வரைபடங்கள் மற்றும் பண்புகள் அடிப்படை செயல்பாடுகள்
):
பதில்: 
பதிலில் நாம் குறிப்பிடுகிறோம் சரியான மதிப்பு, அத்துடன் தோராயமான மதிப்பு (முன்னுரிமை டிகிரி மற்றும் ரேடியன்கள் இரண்டிலும்), கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது.
சரி, மைனஸ், மைனஸ், பெரிய விஷயமில்லை. இங்கே ஒரு வடிவியல் விளக்கம்: 
கோணம் எதிர்மறை நோக்குநிலையாக மாறியதில் ஆச்சரியமில்லை, ஏனென்றால் சிக்கல் அறிக்கையில் முதல் எண் ஒரு நேர் கோடு மற்றும் கோணத்தின் "அவிழ்ப்பது" துல்லியமாக அதனுடன் தொடங்கியது.
நீங்கள் உண்மையில் நேர்மறை கோணத்தைப் பெற விரும்பினால், நீங்கள் கோடுகளை மாற்ற வேண்டும், அதாவது, இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து குணகங்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். 
, மற்றும் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து குணகங்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். சுருக்கமாக, நீங்கள் நேரடியாக தொடங்க வேண்டும் .
நான் அதை மறைக்க மாட்டேன், நேர்கோடுகளை நானே வரிசையில் தேர்ந்தெடுக்கிறேன், இதனால் கோணம் நேர்மறையாக மாறும். இது மிகவும் அழகாக இருக்கிறது, ஆனால் அதற்கு மேல் எதுவும் இல்லை.
உங்கள் தீர்வைச் சரிபார்க்க, நீங்கள் ஒரு புரோட்ராக்டரை எடுத்து கோணத்தை அளவிடலாம்.
முறை இரண்டு
நேர்கோடுகள் சாய்வு மற்றும் சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்டால் செங்குத்தாக இல்லை, அந்த சார்ந்தஅவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:
கோடுகளின் செங்குத்துத்தன்மையின் நிலை சமத்துவத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, இதிலிருந்து, செங்குத்து கோடுகளின் கோண குணகங்களுக்கு இடையே மிகவும் பயனுள்ள உறவைப் பின்பற்றுகிறது: , இது சில சிக்கல்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
தீர்வு அல்காரிதம் முந்தைய பத்தியைப் போன்றது. ஆனால் முதலில், நமது நேர்கோடுகளை தேவையான வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்: 
எனவே, சரிவுகள்: 
1) கோடுகள் செங்குத்தாக உள்ளதா என்று பார்க்கலாம்: 
, அதாவது கோடுகள் செங்குத்தாக இல்லை.
2) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்: 
பதில்:
நேர் கோடுகளின் சமன்பாடுகள் தொடக்கத்தில் கோணக் குணகத்துடன் குறிப்பிடப்படும் போது இரண்டாவது முறை பொருத்தமானது. குறைந்தபட்சம் ஒரு நேர் கோடு ஆர்டினேட் அச்சுக்கு இணையாக இருந்தால், சூத்திரம் பொருந்தாது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும், ஏனெனில் அத்தகைய நேர் கோடுகளுக்கு சாய்வு வரையறுக்கப்படவில்லை (கட்டுரையைப் பார்க்கவும் ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு).
மூன்றாவது தீர்வு உள்ளது. பாடத்தில் விவாதிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கோடுகளின் திசை திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கணக்கிடுவதே யோசனை திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு:
இங்கே நாம் இனி ஒரு சார்ந்த கோணத்தைப் பற்றி பேசவில்லை, ஆனால் "ஒரு கோணத்தைப் பற்றி", அதாவது, முடிவு நிச்சயமாக நேர்மறையாக இருக்கும். பிடிப்பு என்னவென்றால், நீங்கள் ஒரு மழுங்கிய கோணத்தில் முடிவடையும் (உங்களுக்குத் தேவையானது அல்ல). இந்த வழக்கில், நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் சிறிய கோணம் என்று முன்பதிவு செய்ய வேண்டும், மேலும் அதன் விளைவாக வரும் ஆர்க் கொசைனை "பை" ரேடியன்களில் (180 டிகிரி) கழிக்கவும்.
விருப்பமுள்ளவர்கள் மூன்றாவது வழியில் பிரச்சினையைத் தீர்க்கலாம். ஆனால் முதல் அணுகுமுறையை நோக்குநிலை கோணத்துடன் கடைப்பிடிக்க நான் இன்னும் பரிந்துரைக்கிறேன், ஏனெனில் அது பரவலாக உள்ளது.
எடுத்துக்காட்டு 11
கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.
நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. அதை இரண்டு வழிகளில் தீர்க்க முயற்சிக்கவும்.
வழியில் எப்படியோ விசித்திரக் கதை இறந்துவிட்டது ... ஏனென்றால், அழியாத காஷ்சே இல்லை. நான் இருக்கிறேன், நான் குறிப்பாக வேகவில்லை. உண்மையைச் சொல்வதானால், கட்டுரை நீண்டதாக இருக்கும் என்று நினைத்தேன். ஆனால் நான் இன்னும் சமீபத்தில் வாங்கிய தொப்பி மற்றும் கண்ணாடிகளை எடுத்துக்கொண்டு செப்டம்பர் ஏரி நீரில் நீந்தச் செல்வேன். சோர்வு மற்றும் எதிர்மறை ஆற்றலை முழுமையாக நீக்குகிறது.
முன்பு விரைவில் சந்திப்போம்!
நினைவில் வைத்து கொள்ளுங்கள், பாபா யாக ரத்து செய்யப்படவில்லை =)
தீர்வுகள் மற்றும் பதில்கள்:
எடுத்துக்காட்டு 3:தீர்வு
: கோட்டின் திசை வெக்டரைக் கண்டுபிடிப்போம்
:
புள்ளியைப் பயன்படுத்தி விரும்பிய வரியின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்
மற்றும் திசை திசையன் . திசை வெக்டரின் ஆயங்களில் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், Eq.
படிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்:
பதில்
:
எடுத்துக்காட்டு 5:தீர்வு
:
1) ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு
இரண்டு புள்ளிகளை உருவாக்குவோம் 
:
2) ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு
இரண்டு புள்ளிகளை உருவாக்குவோம் 
:
3) மாறிகளுக்கான தொடர்புடைய குணகங்கள்
விகிதாசாரமாக இல்லை:
, அதாவது கோடுகள் வெட்டுகின்றன.
4) ஒரு புள்ளியைக் கண்டறியவும்
:
குறிப்பு
: இங்கே கணினியின் முதல் சமன்பாடு 5 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது, பின்னர் 2வது 1வது சமன்பாட்டிலிருந்து காலத்தால் கழிக்கப்படுகிறது.
பதில்
:
சிக்கலை உருவாக்குதல்.
ஒரு புள்ளிக்கு சமச்சீர் புள்ளியின் ஆயங்களைக் கண்டறியவும் 
விமானத்துடன் தொடர்புடையது.
தீர்வு திட்டம்.
1. கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் மற்றும் புள்ளி வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும் 
. ஒரு நேர்கோடு கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருப்பதால், விமானத்தின் சாதாரண திசையன் அதன் திசை திசையனாக எடுத்துக்கொள்ளலாம், அதாவது.
.
எனவே நேர்கோட்டின் சமன்பாடு இருக்கும்
.
2. புள்ளியைக் கண்டறியவும் 
ஒரு நேர் கோட்டின் குறுக்குவெட்டு 
மற்றும் விமானங்கள் (சிக்கல் 13 ஐப் பார்க்கவும்).
3. புள்ளி 
புள்ளி இருக்கும் பிரிவின் நடுப்புள்ளி 
புள்ளிக்கு சமச்சீர் புள்ளி 
, அதனால் தான்
பிரச்சனை 14. விமானத்துடன் தொடர்புடைய புள்ளிக்கு சமச்சீர் புள்ளியைக் கண்டறியவும்.
கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு புள்ளி வழியாக செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு:
.
கோடு மற்றும் விமானம் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டுபிடிப்போம்.
எங்கே 
- ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு விமானம் வெட்டும் புள்ளி, எனவே பிரிவின் நடுவில் உள்ளது
அந்த. 
.
ஒரே மாதிரியான விமான ஒருங்கிணைப்புகள். விமானத்தில் அஃபின் மாற்றங்கள்.
விடுங்கள் எம் எக்ஸ்மற்றும் மணிக்கு
எம்(எக்ஸ், மணிக்குமே (எக்ஸ், மணிக்கு, 1) விண்வெளியில் (படம் 8).
மே (எக்ஸ், மணிக்கு
மே (எக்ஸ், மணிக்கு ஹூ.
(hx, hy, h), h 0,
கருத்து
ம(உதாரணத்திற்கு, ம
உண்மையில், கருத்தில் ம
கருத்து
எடுத்துக்காட்டு 1.
பி) ஒரு கோணத்தில் (படம் 9).
1வது படி.
2வது படி.கோணம் மூலம் சுழற்று
தொடர்புடைய மாற்றத்தின் அணி.
3வது படி.திசையன் A(a, b)
தொடர்புடைய மாற்றத்தின் அணி.
எடுத்துக்காட்டு 3
x அச்சில் மற்றும்
1வது படி.
தொடர்புடைய மாற்றத்தின் அணி.
2வது படி.
3வது படி.
நாங்கள் அதை இறுதியாக பெறுவோம்
கருத்து
[ஆர்],[டி],[எம்],[டி],
விடுங்கள் எம்- ஆயத்தொலைவுகளுடன் விமானத்தின் தன்னிச்சையான புள்ளி எக்ஸ்மற்றும் மணிக்கு, கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புடன் ஒப்பிடப்படுகிறது. இந்தப் புள்ளியின் ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொலைவுகள் ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியமற்ற எண்களின் x 1, x 2, x 3 ஆகிய மூன்று மடங்காகும், இது பின்வரும் உறவுகளால் கொடுக்கப்பட்ட எண்களான x மற்றும் y உடன் தொடர்புடையது:
கணினி கிராபிக்ஸ் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ஒரே மாதிரியான ஆயங்கள் பொதுவாக பின்வருமாறு உள்ளிடப்படுகின்றன: ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியில் எம்(எக்ஸ், மணிக்கு) விமானத்திற்கு ஒரு புள்ளி ஒதுக்கப்பட்டுள்ளது மே (எக்ஸ், மணிக்கு, 1) விண்வெளியில் (படம் 8).
புள்ளியுடன் தோற்றம், புள்ளி 0(0, 0, 0) ஐ இணைக்கும் வரியில் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் மே (எக்ஸ், மணிக்கு, 1), படிவத்தின் மூன்று மடங்கு எண்களால் கொடுக்கப்படலாம் (hx, hy, h).
hx, hy ஆகிய ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட திசையன் என்பது 0 (0, 0, 0) மற்றும் புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டின் திசை திசையன் ஆகும். மே (எக்ஸ், மணிக்கு, 1). இந்தக் கோடு z = 1 விமானத்தை புள்ளியில் (x, y, 1) வெட்டுகிறது, இது ஆயத் தளத்தின் புள்ளியை (x, y) தனித்துவமாக வரையறுக்கிறது. ஹூ.
இவ்வாறு, ஆய (x, y) கொண்ட தன்னிச்சையான புள்ளிக்கும் படிவத்தின் மூன்று மடங்கு எண்களின் தொகுப்பிற்கும் இடையில்
(hx, hy, h), h 0,
இந்த புள்ளியின் புதிய ஆயத்தொலைவுகளாக hx, hy, h எண்களைக் கருத்தில் கொள்ள அனுமதிக்கும் ஒரு (ஒன்றிலிருந்து ஒன்று) கடித தொடர்பு நிறுவப்பட்டுள்ளது.
கருத்து
ப்ராஜெக்டிவ் ஜியோமெட்ரியில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும், ஒரே மாதிரியான ஆயத்தொலைவுகள் முறையற்ற கூறுகள் என்று அழைக்கப்படுவதை திறம்பட விவரிக்க உதவுகிறது (அடிப்படையில் திட்ட விமானம் பழக்கமான யூக்ளிடியன் விமானத்திலிருந்து வேறுபடுகிறது). அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட ஒரே மாதிரியான ஒருங்கிணைப்புகளால் வழங்கப்பட்ட புதிய சாத்தியக்கூறுகள் பற்றிய கூடுதல் விவரங்கள் இந்த அத்தியாயத்தின் நான்காவது பிரிவில் விவாதிக்கப்படுகின்றன.
ஒரே மாதிரியான ஆயங்களுக்கான திட்ட வடிவவியலில், பின்வரும் குறியீடு ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது:
x:y:1, அல்லது, பொதுவாக, x1:x2:x3
(இங்கு x 1, x 2, x 3 எண்கள் ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியமாக மாறாமல் இருப்பது முற்றிலும் அவசியம் என்பதை நினைவில் கொள்க).
எளிமையான சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது கூட ஒரே மாதிரியான ஒருங்கிணைப்புகளின் பயன்பாடு வசதியாக மாறும்.
எடுத்துக்காட்டாக, அளவிலான மாற்றங்கள் தொடர்பான சிக்கல்களைக் கவனியுங்கள். காட்சி சாதனம் முழு எண்களுடன் மட்டுமே இயங்கினால் (அல்லது நீங்கள் முழு எண்களுடன் மட்டுமே வேலை செய்ய வேண்டும் என்றால்), பின்னர் ஒரு தன்னிச்சையான மதிப்புக்கு ம(உதாரணத்திற்கு, ம= 1) ஒரே மாதிரியான ஆயங்களைக் கொண்ட ஒரு புள்ளி
கற்பனை செய்ய இயலாது. இருப்பினும், h இன் நியாயமான தேர்வு மூலம், இந்த புள்ளியின் ஆய எண்கள் முழு எண்களாக இருப்பதை உறுதி செய்ய முடியும். குறிப்பாக, எங்களிடம் உள்ள கருத்தில் உள்ள உதாரணத்திற்கு h = 10
மற்றொரு வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம். உருமாற்ற முடிவுகளை எண்கணித மேலோட்டத்திற்கு வழிவகுப்பதைத் தடுக்க, ஆய (80000 40000 1000) ஒரு புள்ளிக்கு நீங்கள் எடுத்துக் கொள்ளலாம், எடுத்துக்காட்டாக, h=0.001. இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம் (80 40 1).
கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது ஒரே மாதிரியான ஆயங்களைப் பயன்படுத்துவதன் பயனைக் காட்டுகின்றன. இருப்பினும், கணினி வரைகலையில் ஒரே மாதிரியான ஆயங்களை அறிமுகப்படுத்துவதன் முக்கிய நோக்கம், வடிவியல் மாற்றங்களுக்கான பயன்பாட்டில் சந்தேகத்திற்கு இடமில்லாத வசதியாகும்.
ஒரே மாதிரியான ஆயங்கள் மற்றும் மூன்றாம் வரிசை மெட்ரிக்குகளின் மூன்று மடங்குகளைப் பயன்படுத்தி, ஒரு விமானத்தின் எந்த இணைப்பு மாற்றத்தையும் விவரிக்க முடியும்.
உண்மையில், கருத்தில் ம= 1, இரண்டு உள்ளீடுகளை ஒப்பிடுக: குறியீடு * மற்றும் பின்வருபவை அணியுடன் குறிக்கப்பட்டது:
கடைசி உறவின் வலது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாடுகளைப் பெருக்கினால், சூத்திரங்கள் (*) மற்றும் சரியான எண் சமத்துவம் 1=1 ஆகிய இரண்டையும் பெறுகிறோம்.
கருத்து
சில நேரங்களில் இலக்கியத்தில் மற்றொரு குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது - நெடுவரிசை குறியீடு:
இந்த குறியீடானது மேலே உள்ள வரிக்கு வரி குறிப்பிற்கு சமமானது (மற்றும் இடமாற்றம் செய்வதன் மூலம் அதிலிருந்து பெறப்படுகிறது).
தன்னிச்சையான அஃபைன் உருமாற்ற மேட்ரிக்ஸின் கூறுகள் வெளிப்படையான வடிவியல் பொருளைக் கொண்டிருக்கவில்லை. எனவே, இந்த அல்லது அந்த மேப்பிங்கைச் செயல்படுத்த, அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட வடிவியல் விளக்கத்தின்படி தொடர்புடைய மேட்ரிக்ஸின் கூறுகளைக் கண்டறிய, சிறப்பு நுட்பங்கள் தேவை. பொதுவாக, இந்த மேட்ரிக்ஸின் கட்டுமானம், பரிசீலனையில் உள்ள சிக்கலின் சிக்கலான தன்மை மற்றும் மேலே விவரிக்கப்பட்ட சிறப்பு நிகழ்வுகளுக்கு ஏற்ப, பல நிலைகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது.
ஒவ்வொரு கட்டத்திலும், நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட வடிவியல் பண்புகளைக் கொண்ட மேலே உள்ள A, B, C அல்லது D நிகழ்வுகளில் ஒன்று அல்லது அதற்கு ஒத்த ஒரு அணி தேடப்படுகிறது.
தொடர்புடைய மூன்றாம் வரிசை மெட்ரிக்குகளை எழுதுவோம்.
A. சுழற்சி அணி
பி. விரிவு அணி
பி. பிரதிபலிப்பு அணி
D. பரிமாற்ற அணி (மொழிபெயர்ப்பு)
விமானத்தின் அஃபைன் மாற்றங்களின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.
எடுத்துக்காட்டு 1.
புள்ளி A (a,) சுற்றி ஒரு சுழற்சி அணியை உருவாக்கவும்பி) ஒரு கோணத்தில் (படம் 9).
1வது படி.திசையனுக்கு இடமாற்றம் – A (-a, -b) ஆயங்களின் தோற்றத்துடன் சுழற்சியின் மையத்தை சீரமைக்க;
தொடர்புடைய மாற்றத்தின் அணி.
2வது படி.கோணம் மூலம் சுழற்று
தொடர்புடைய மாற்றத்தின் அணி.
3வது படி.திசையன் A(a, b)சுழற்சியின் மையத்தை அதன் முந்தைய நிலைக்குத் திருப்புதல்;
தொடர்புடைய மாற்றத்தின் அணி.
மெட்ரிக்குகளை அவை எழுதப்பட்ட அதே வரிசையில் பெருக்கலாம்:
இதன் விளைவாக, விரும்பிய மாற்றம் (மேட்ரிக்ஸ் குறியீட்டில்) இது போல் இருக்கும்:
இதன் விளைவாக வரும் மேட்ரிக்ஸின் கூறுகள் (குறிப்பாக கடைசி வரிசையில்) நினைவில் கொள்வது அவ்வளவு எளிதானது அல்ல. அதே நேரத்தில், மூன்று பெருக்கப்பட்ட மெட்ரிக்குகள் ஒவ்வொன்றையும், தொடர்புடைய மேப்பிங்கின் வடிவியல் விளக்கத்திலிருந்து எளிதாகக் கட்டமைக்க முடியும்.
எடுத்துக்காட்டு 3
நீட்டிப்பு குணகங்களுடன் நீட்டிக்கப்பட்ட அணியை உருவாக்கவும் x அச்சில் மற்றும் ஆர்டினேட் அச்சில் மற்றும் புள்ளி A(a, b) இல் மையத்துடன்.
1வது படி.திசையன் -A (-a, -b) க்கு மாற்றவும், நீட்சி மையத்தை ஒருங்கிணைப்புகளின் தோற்றத்துடன் சீரமைக்கவும்;
தொடர்புடைய மாற்றத்தின் அணி.
2வது படி.முறையே மற்றும் குணகங்களுடன் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் நீட்டுதல்; உருமாற்ற அணி வடிவம் கொண்டது
3வது படி.பதற்றத்தின் மையத்தை அதன் முந்தைய நிலைக்குத் திருப்ப திசையன் A(a, b) க்கு மாற்றவும்; தொடர்புடைய மாற்றத்தின் அணி -
மெட்ரிக்குகளை ஒரே வரிசையில் பெருக்குதல்
நாங்கள் அதை இறுதியாக பெறுவோம்
கருத்து
அதே வழியில் பகுத்தறிதல், அதாவது, முன்மொழியப்பட்ட மாற்றத்தை மெட்ரிக்குகளால் ஆதரிக்கப்படும் நிலைகளாக உடைத்தல்[ஆர்],[டி],[எம்],[டி], அதன் வடிவியல் விளக்கத்திலிருந்து எந்தவொரு இணைப்பு மாற்றத்தின் மேட்ரிக்ஸை ஒருவர் உருவாக்க முடியும்.
ஷிப்ட் கூட்டல் மூலம் செயல்படுத்தப்படுகிறது, மேலும் அளவிடுதல் மற்றும் சுழற்சி பெருக்கல் மூலம் செயல்படுத்தப்படுகிறது.
அளவிடுதல் மாற்றம் (விரிவாக்கம்) தோற்றத்துடன் தொடர்புடைய வடிவம் உள்ளது:
அல்லது அணி வடிவத்தில்: 
எங்கே டிஎக்ஸ்,டிஒய்அச்சுகள் சேர்த்து அளவிடுதல் காரணிகள், மற்றும்
- அளவிடுதல் அணி.
D > 1 ஆக இருக்கும் போது, விரிவாக்கம் நிகழ்கிறது, போது 0<=D<1- сжатие
சுழற்சி மாற்றம் தோற்றத்துடன் தொடர்புடைய வடிவம் உள்ளது:
அல்லது அணி வடிவத்தில்: 
இதில் φ என்பது சுழற்சியின் கோணம், மற்றும்
- சுழற்சி அணி.
கருத்து:சுழற்சி மேட்ரிக்ஸின் நெடுவரிசைகள் மற்றும் வரிசைகள் பரஸ்பர ஆர்த்தோகனல் அலகு திசையன்கள். உண்மையில், வரிசை திசையன்களின் நீளங்களின் சதுரங்கள் ஒன்றுக்கு சமம்:
cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 மற்றும் (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,
மற்றும் வரிசை வெக்டார்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு ஆகும்
cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.
திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு என்பதால் ஏ · பி = |ஏ| ·| பி| ·cosψ, எங்கே | ஏ| - திசையன் நீளம் ஏ, |பி| - திசையன் நீளம் பி, மற்றும் ψ என்பது அவற்றுக்கிடையே உள்ள மிகச்சிறிய நேர்மறை கோணமாகும், பின்னர் நீளம் 1 கொண்ட இரண்டு வரிசை திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியின் சமத்துவம் 0 இலிருந்து அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் 90 ° ஆகும்.
ஓ-ஓ-ஓ-ஓ-ஓ... சரி, அது கடினமானது, அவர் தனக்குத்தானே ஒரு வாக்கியத்தைப் படிப்பது போல் =) இருப்பினும், தளர்வு பின்னர் உதவும், குறிப்பாக இன்று நான் பொருத்தமான பாகங்கள் வாங்கியதிலிருந்து. எனவே, முதல் பகுதிக்குச் செல்வோம், கட்டுரையின் முடிவில் நான் மகிழ்ச்சியான மனநிலையைப் பேணுவேன் என்று நம்புகிறேன்.
இரண்டு நேர் கோடுகளின் ஒப்பீட்டு நிலை
பார்வையாளர்கள் கோரஸாகப் பாடும்போது இதுதான் நிலை. இரண்டு நேர் கோடுகள் முடியும்:
1) பொருத்தம்;
2) இணையாக இருங்கள்:
3) அல்லது ஒரு புள்ளியில் வெட்டுங்கள்: .
டம்மிகளுக்கான உதவி : கணித குறுக்குவெட்டு அடையாளத்தை நினைவில் கொள்ளவும், அது அடிக்கடி தோன்றும். குறியீடு என்பது புள்ளியில் உள்ள கோட்டுடன் கோடு வெட்டுகிறது.
இரண்டு வரிகளின் ஒப்பீட்டு நிலையை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது?
முதல் வழக்குடன் ஆரம்பிக்கலாம்:
இரண்டு கோடுகள் அவற்றின் தொடர்புடைய குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இருந்தால் மட்டுமே ஒத்துப்போகின்றன, அதாவது, "லாம்ப்டா" என்ற எண் உள்ளது, அதாவது சமத்துவங்கள் திருப்தி அடையும்
நேர்கோடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம் மற்றும் தொடர்புடைய குணகங்களிலிருந்து மூன்று சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம்: . ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலிருந்தும் இது பின்வருமாறு, எனவே, இந்த கோடுகள் ஒத்துப்போகின்றன.
உண்மையில், சமன்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களும் இருந்தால் 
-1 (அறிகுறிகளை மாற்று), மற்றும் சமன்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களும் பெருக்கவும் 
2 ஆல் வெட்டப்பட்டால், நீங்கள் அதே சமன்பாட்டைப் பெறுவீர்கள்: .
இரண்டாவது வழக்கு, கோடுகள் இணையாக இருக்கும்போது:
மாறிகளின் குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இருந்தால் மட்டுமே இரண்டு கோடுகள் இணையாக இருக்கும்: 
, ஆனாலும்.
உதாரணமாக, இரண்டு நேர் கோடுகளைக் கவனியுங்கள். மாறிகளுக்கான தொடர்புடைய குணகங்களின் விகிதாசாரத்தை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்: 
இருப்பினும், இது மிகவும் வெளிப்படையானது.
மூன்றாவது வழக்கு, கோடுகள் வெட்டும் போது:
மாறிகளின் குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இல்லாவிட்டால் மட்டுமே இரண்டு கோடுகள் வெட்டுகின்றன, அதாவது, சமத்துவங்கள் திருப்தி அடையும் வகையில் "லாம்ப்டா" மதிப்பு இல்லை 
எனவே, நேர் கோடுகளுக்கு நாம் ஒரு அமைப்பை உருவாக்குவோம்: 
முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து அது பின்வருமாறு, மற்றும் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இருந்து: , அதாவது அமைப்பு சீரற்றது(தீர்வுகள் இல்லை). எனவே, மாறிகளின் குணகங்கள் விகிதாசாரமாக இல்லை.
முடிவு: கோடுகள் வெட்டுகின்றன
நடைமுறை சிக்கல்களில், நீங்கள் இப்போது விவாதிக்கப்பட்ட தீர்வுத் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தலாம். மூலம், கோலினரிட்டிக்கான திசையன்களைச் சரிபார்க்கும் வழிமுறையை இது மிகவும் நினைவூட்டுகிறது, இதை நாங்கள் வகுப்பில் பார்த்தோம். திசையன்களின் நேரியல் (சார்ந்த) கருத்து. திசையன்களின் அடிப்படை. ஆனால் மிகவும் நாகரீகமான பேக்கேஜிங் உள்ளது:
எடுத்துக்காட்டு 1
வரிகளின் தொடர்புடைய நிலையைக் கண்டறியவும்: 
தீர்வுநேர் கோடுகளின் திசையன்களை இயக்கும் ஆய்வின் அடிப்படையில்:
அ) சமன்பாடுகளில் இருந்து கோடுகளின் திசை திசையன்களைக் காண்கிறோம்: 
.
, அதாவது திசையன்கள் கோலினியர் அல்ல மற்றும் கோடுகள் வெட்டுகின்றன.
ஒரு வேளை, குறுக்கு வழியில் அடையாளங்களுடன் ஒரு கல்லை வைப்பேன்:
மீதமுள்ளவர்கள் கல்லின் மேல் குதித்து மேலும் பின்தொடர்ந்து, நேராக காஷ்சே தி இம்மார்டல் =)
b) கோடுகளின் திசை திசையன்களைக் கண்டறியவும்: 
கோடுகள் ஒரே திசை வெக்டரைக் கொண்டுள்ளன, அதாவது அவை இணையாகவோ அல்லது தற்செயலாகவோ இருக்கும். இங்கே தீர்மானிப்பதை எண்ண வேண்டிய அவசியமில்லை.
அறியப்படாதவற்றின் குணகங்கள் விகிதாசாரமாக உள்ளன என்பது வெளிப்படையானது, மற்றும் .
சமத்துவம் உண்மையா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்: 
இதனால்,
c) கோடுகளின் திசை திசையன்களைக் கண்டறியவும்: 
இந்த திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளால் உருவாக்கப்பட்ட தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவோம்: 
எனவே, திசை திசையன்கள் கோலினியர் ஆகும். கோடுகள் இணையாகவோ அல்லது தற்செயலாகவோ இருக்கும்.
விகிதாச்சார குணகம் "லாம்ப்டா" கோலினியர் திசை திசையன்களின் விகிதத்திலிருந்து நேரடியாகப் பார்ப்பது எளிது. இருப்பினும், சமன்பாடுகளின் குணகங்கள் மூலமாகவும் இதைக் காணலாம்: 
.
இப்போது சமத்துவம் உண்மையா என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இரண்டு இலவச சொற்களும் பூஜ்ஜியமாகும், எனவே:
இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு இந்த சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது (பொதுவாக எந்த எண்ணும் அதை திருப்திப்படுத்துகிறது).
இவ்வாறு, கோடுகள் ஒத்துப்போகின்றன.
பதில்:
வாய்மொழியாக விவாதிக்கப்பட்ட சிக்கலை சில நொடிகளில் தீர்க்க விரைவில் நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள் (அல்லது ஏற்கனவே கற்றுக்கொண்டீர்கள்). இது சம்பந்தமாக, ஒரு சுயாதீனமான தீர்வுக்கு எதையும் வழங்குவதில் நான் எந்த அர்த்தத்தையும் காணவில்லை; வடிவியல் அடித்தளத்தில் மற்றொரு முக்கியமான செங்கலை இடுவது நல்லது:
கொடுக்கப்பட்ட வரிக்கு இணையாக ஒரு கோடு கட்டுவது எப்படி?
இந்த எளிய பணியின் அறியாமைக்காக, நைட்டிங்கேல் தி ராபர் கடுமையாக தண்டிக்கிறார்.
எடுத்துக்காட்டு 2
நேர்கோடு சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. புள்ளியின் வழியாக செல்லும் இணையான கோட்டிற்கு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.
தீர்வு: தெரியாத வரியை எழுத்தின் மூலம் குறிப்போம். நிலைமை அவளைப் பற்றி என்ன சொல்கிறது? நேர் கோடு புள்ளி வழியாக செல்கிறது. கோடுகள் இணையாக இருந்தால், "டி" என்ற நேர்கோட்டை உருவாக்குவதற்கு "tse" என்ற நேர்கோட்டின் திசை திசையன் பொருத்தமானது என்பது வெளிப்படையானது.
சமன்பாட்டிலிருந்து திசை வெக்டரை எடுக்கிறோம்:
பதில்:
எடுத்துக்காட்டு வடிவியல் எளிமையானது: 
பகுப்பாய்வு சோதனை பின்வரும் படிகளைக் கொண்டுள்ளது:
1) கோடுகளுக்கு ஒரே திசை திசையன் இருக்கிறதா என்று சரிபார்க்கிறோம் (கோட்டின் சமன்பாடு சரியாக எளிமைப்படுத்தப்படவில்லை என்றால், திசையன்கள் கோலினியர்களாக இருக்கும்).
2) புள்ளி விளைவாக சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறதா என்பதை சரிபார்க்கவும்.
பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், பகுப்பாய்வு பரிசோதனையை எளிதாக வாய்வழியாகச் செய்யலாம். இரண்டு சமன்பாடுகளையும் பாருங்கள், உங்களில் பலர் எந்த வரைபடமும் இல்லாமல் கோடுகளின் இணையான தன்மையை விரைவாக தீர்மானிப்பீர்கள்.
இன்று சுயாதீன தீர்வுகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள் ஆக்கப்பூர்வமாக இருக்கும். ஏனென்றால் நீங்கள் இன்னும் பாபா யாகாவுடன் போட்டியிட வேண்டியிருக்கும், மேலும் அவள் எல்லா வகையான புதிர்களையும் விரும்புகிறாள்.
எடுத்துக்காட்டு 3
கோட்டிற்கு இணையான ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கோட்டிற்கு சமன்பாட்டை எழுதவும்
அதை தீர்க்க ஒரு பகுத்தறிவு மற்றும் அவ்வளவு பகுத்தறிவு வழி உள்ளது. குறுகிய வழி பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.
நாங்கள் இணையான கோடுகளுடன் சிறிது வேலை செய்தோம், பின்னர் அவற்றிற்குத் திரும்புவோம். இணையான வரிகளின் வழக்கு மிகவும் ஆர்வமாக இல்லை, எனவே பள்ளி பாடத்திட்டத்திலிருந்து உங்களுக்கு நன்கு தெரிந்த ஒரு சிக்கலைக் கருத்தில் கொள்வோம்:
இரண்டு கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?
நேராக இருந்தால் 
புள்ளியில் வெட்டுங்கள், அதன் ஆயத்தொகுப்புகள் தீர்வு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் 
கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? அமைப்பைத் தீர்க்கவும்.
இதோ போ இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் வடிவியல் பொருள்- இவை ஒரு விமானத்தில் இரண்டு வெட்டும் (பெரும்பாலும்) கோடுகள்.
எடுத்துக்காட்டு 4
கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்
தீர்வு: தீர்க்க இரண்டு வழிகள் உள்ளன - வரைகலை மற்றும் பகுப்பாய்வு.
வரைகலை முறை என்பது கொடுக்கப்பட்ட கோடுகளை வெறுமனே வரைந்து, வரைபடத்திலிருந்து நேரடியாக வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறிவது: 
இங்கே எங்கள் புள்ளி: . சரிபார்க்க, நீங்கள் கோட்டின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் அதன் ஆயங்களை மாற்ற வேண்டும், அவை அங்கேயும் அங்கேயும் பொருந்த வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகள் கணினிக்கு ஒரு தீர்வாகும். அடிப்படையில், நாங்கள் ஒரு வரைகலை தீர்வைப் பார்த்தோம் நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்இரண்டு சமன்பாடுகளுடன், இரண்டு அறியப்படாதவை.
வரைகலை முறை, நிச்சயமாக, மோசமாக இல்லை, ஆனால் குறிப்பிடத்தக்க குறைபாடுகள் உள்ளன. இல்லை, ஏழாம் வகுப்பு மாணவர்கள் இப்படித் தீர்மானிக்கிறார்கள் என்பதல்ல, சரியான மற்றும் துல்லியமான வரைபடத்தை உருவாக்க நேரம் எடுக்கும் என்பதுதான் முக்கிய விஷயம். கூடுதலாக, சில நேர் கோடுகள் கட்டமைக்க மிகவும் எளிதானது அல்ல, மேலும் குறுக்குவெட்டு புள்ளி நோட்புக் தாளுக்கு வெளியே முப்பதாவது இராச்சியத்தில் எங்காவது அமைந்திருக்கலாம்.
எனவே, பகுப்பாய்வு முறையைப் பயன்படுத்தி வெட்டும் புள்ளியைத் தேடுவது மிகவும் பொருத்தமானது. அமைப்பைத் தீர்ப்போம்: 
அமைப்பைத் தீர்க்க, சமன்பாடுகளின் கால-படி-காலச் சேர்க்கும் முறை பயன்படுத்தப்பட்டது. பொருத்தமான திறன்களை வளர்த்துக் கொள்ள, பாடம் எடுக்கவும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பை எவ்வாறு தீர்ப்பது?
பதில்:
காசோலை அற்பமானது - குறுக்குவெட்டு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டு 5
கோடுகள் வெட்டினால், அவை வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்.
நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. பணியை பல கட்டங்களாகப் பிரிப்பது வசதியானது. நிபந்தனையின் பகுப்பாய்வு இது அவசியம் என்று கூறுகிறது:
1) நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.
2) நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.
3) கோடுகளின் ஒப்பீட்டு நிலையைக் கண்டறியவும்.
4) கோடுகள் வெட்டினால், வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்.
செயல் வழிமுறையின் வளர்ச்சி பல வடிவியல் சிக்கல்களுக்கு பொதுவானது, மேலும் நான் மீண்டும் மீண்டும் இதில் கவனம் செலுத்துவேன்.
பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்:
பாடத்தின் இரண்டாவது பகுதிக்கு வருவதற்கு முன்பு ஒரு ஜோடி காலணிகள் கூட தேய்ந்து போகவில்லை:
செங்குத்து கோடுகள். ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரம்.
நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்
ஒரு பொதுவான மற்றும் மிக முக்கியமான பணியுடன் ஆரம்பிக்கலாம். முதல் பகுதியில், இதற்கு இணையாக ஒரு நேர் கோட்டை எவ்வாறு உருவாக்குவது என்பதைக் கற்றுக்கொண்டோம், இப்போது கோழி கால்களில் உள்ள குடிசை 90 டிகிரியாக மாறும்:
கொடுக்கப்பட்ட வரிக்கு செங்குத்தாக ஒரு கோட்டை எவ்வாறு அமைப்பது?
எடுத்துக்காட்டு 6
நேர்கோடு சமன்பாட்டால் வழங்கப்படுகிறது. புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.
தீர்வு: நிபந்தனையின்படி அது அறியப்படுகிறது. வரியை இயக்கும் திசையனைக் கண்டறிவது நன்றாக இருக்கும். கோடுகள் செங்குத்தாக இருப்பதால், தந்திரம் எளிது:
சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் சாதாரண வெக்டரை "அகற்றுகிறோம்": , இது நேர் கோட்டின் இயக்கும் திசையனாக இருக்கும்.
ஒரு புள்ளி மற்றும் திசை வெக்டரைப் பயன்படுத்தி நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:
பதில்: 
வடிவியல் ஓவியத்தை விரிவுபடுத்துவோம்:
ம்ம்ம்... ஆரஞ்சு வானம், ஆரஞ்சு கடல், ஆரஞ்சு ஒட்டகம்.
தீர்வின் பகுப்பாய்வு சரிபார்ப்பு:
1) சமன்பாடுகளில் இருந்து திசை திசையன்களை வெளியே எடுக்கிறோம் 
மற்றும் உதவியுடன் திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்புகோடுகள் உண்மையில் செங்குத்தாக உள்ளன என்ற முடிவுக்கு வருகிறோம்: .
மூலம், நீங்கள் சாதாரண திசையன்களைப் பயன்படுத்தலாம், இது இன்னும் எளிதானது.
2) புள்ளி விளைவாக சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறதா என்பதை சரிபார்க்கவும் 
.
சோதனை, மீண்டும், வாய்வழி செய்ய எளிதானது.
எடுத்துக்காட்டு 7
சமன்பாடு தெரிந்தால், செங்குத்து கோடுகளின் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும் 
மற்றும் காலம்.
நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. சிக்கலில் பல செயல்கள் உள்ளன, எனவே புள்ளி மூலம் தீர்வுப் புள்ளியை உருவாக்குவது வசதியானது.
எங்கள் அற்புதமான பயணம் தொடர்கிறது:
புள்ளியிலிருந்து வரிக்கு தூரம்
எங்களுக்கு முன்னால் ஒரு நேரான நதி உள்ளது, குறுகிய பாதையில் அதை அடைவதே எங்கள் பணி. எந்த தடைகளும் இல்லை, மேலும் செங்குத்தாக நகர்வதே மிகவும் உகந்த பாதை. அதாவது, ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரம் செங்குத்து பிரிவின் நீளம்.
வடிவவியலில் உள்ள தூரம் பாரம்பரியமாக கிரேக்க எழுத்து "rho" மூலம் குறிக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக: - "em" புள்ளியில் இருந்து "de" என்ற நேர்கோட்டுக்கான தூரம்.
புள்ளியிலிருந்து வரிக்கு தூரம் 
சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது
எடுத்துக்காட்டு 8
ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டிற்கான தூரத்தைக் கண்டறியவும் 
தீர்வு: நீங்கள் செய்ய வேண்டியதெல்லாம், சூத்திரத்தில் எண்களை கவனமாக மாற்றி கணக்கீடுகளை மேற்கொள்ளுங்கள்:
பதில்: 
வரைபடத்தை உருவாக்குவோம்: 
புள்ளியில் இருந்து கோட்டிற்கு காணப்படும் தூரம் சரியாக சிவப்பு பிரிவின் நீளம் ஆகும். 1 யூனிட் அளவுகோலில் சரிபார்க்கப்பட்ட காகிதத்தில் ஒரு வரைபடத்தை வரைந்தால். = 1 செமீ (2 செல்கள்), பின்னர் தூரத்தை ஒரு சாதாரண ஆட்சியாளரைக் கொண்டு அளவிட முடியும்.
அதே வரைபடத்தின் அடிப்படையில் மற்றொரு பணியைக் கருத்தில் கொள்வோம்:
நேர்கோட்டுடன் தொடர்புடைய புள்ளிக்கு சமச்சீராக இருக்கும் ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பதே பணி. 
. படிகளை நீங்களே செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன், ஆனால் இடைநிலை முடிவுகளுடன் தீர்வு வழிமுறையை கோடிட்டுக் காட்டுகிறேன்:
1) வரிக்கு செங்குத்தாக இருக்கும் ஒரு கோட்டைக் கண்டறியவும்.
2) கோடுகள் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்: 
.
இரண்டு செயல்களும் இந்த பாடத்தில் விரிவாக விவாதிக்கப்பட்டுள்ளன.
3) புள்ளி என்பது பிரிவின் நடுப்புள்ளி. நடுத்தர மற்றும் முனைகளில் ஒன்றின் ஆயங்களை நாம் அறிவோம். மூலம் ஒரு பிரிவின் நடுப்புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகளுக்கான சூத்திரங்கள்நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்.
தூரமும் 2.2 யூனிட்கள் என்பதைச் சரிபார்ப்பது நல்லது.
இங்கே கணக்கீடுகளில் சிரமங்கள் ஏற்படலாம், ஆனால் மைக்ரோகால்குலேட்டர் கோபுரத்தில் ஒரு சிறந்த உதவியாகும், இது சாதாரண பின்னங்களைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது. நான் உங்களுக்கு பல முறை அறிவுரை கூறியுள்ளேன், மீண்டும் பரிந்துரைக்கிறேன்.
இரண்டு இணை கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தை எப்படி கண்டுபிடிப்பது?
எடுத்துக்காட்டு 9
இரண்டு இணை கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்
நீங்களே முடிவு செய்ய இது மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு. நான் உங்களுக்கு ஒரு சிறிய குறிப்பை தருகிறேன்: இதை தீர்க்க எண்ணற்ற வழிகள் உள்ளன. பாடத்தின் முடிவில் விளக்குவது, ஆனால் நீங்களே யூகிக்க முயற்சிப்பது நல்லது, உங்கள் புத்தி கூர்மை நன்கு வளர்ந்ததாக நான் நினைக்கிறேன்.
இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்
ஒவ்வொரு மூலையிலும் ஒரு ஜம்ப்: 
வடிவவியலில், இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம் சிறிய கோணமாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது, அதில் இருந்து அது மழுங்கியதாக இருக்க முடியாது என்பதை தானாகவே பின்பற்றுகிறது. படத்தில், சிவப்பு வளைவால் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட கோணம் வெட்டும் கோடுகளுக்கு இடையிலான கோணமாக கருதப்படுவதில்லை. மற்றும் அவரது "பச்சை" அண்டை அல்லது எதிர் நோக்குடையது"ராஸ்பெர்ரி" மூலையில்.
கோடுகள் செங்குத்தாக இருந்தால், 4 கோணங்களில் ஏதேனும் ஒன்றை அவற்றுக்கிடையேயான கோணமாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்.
கோணங்கள் எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன? நோக்குநிலை. முதலாவதாக, கோணம் எந்த திசையில் "ஸ்க்ரோல்" செய்யப்படுகிறது என்பது அடிப்படையில் முக்கியமானது. இரண்டாவதாக, எதிர்மறையான கோணம் ஒரு கழித்தல் அடையாளத்துடன் எழுதப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக என்றால் .
இதை ஏன் உன்னிடம் சொன்னேன்? ஒரு கோணத்தின் வழக்கமான கருத்துடன் நாம் பெறலாம் என்று தோன்றுகிறது. உண்மை என்னவென்றால், கோணங்களைக் கண்டறியும் சூத்திரங்கள் எதிர்மறையான முடிவை எளிதில் விளைவிக்கலாம், மேலும் இது உங்களை ஆச்சரியத்தில் ஆழ்த்தக்கூடாது. மைனஸ் அடையாளத்துடன் கூடிய கோணம் மோசமாக இல்லை, மேலும் ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவியல் பொருளைக் கொண்டுள்ளது. வரைபடத்தில், எதிர்மறை கோணத்திற்கு, அதன் நோக்குநிலையை அம்புக்குறியுடன் (வலஞ்சுழியாக) குறிப்பிடுவதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்.
இரண்டு நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தை எப்படி கண்டுபிடிப்பது?இரண்டு வேலை சூத்திரங்கள் உள்ளன:
எடுத்துக்காட்டு 10
கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்
தீர்வுமற்றும் முறை ஒன்று
பொதுவான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்ட இரண்டு நேர்கோடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்: 
நேராக இருந்தால் செங்குத்தாக இல்லை, அந்த சார்ந்தஅவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்: 
வகுப்பில் கவனம் செலுத்துவோம் - இது சரியாக உள்ளது அளவிடல் தயாரிப்புநேர் கோடுகளின் திசையன்களை இயக்குதல்:
என்றால், சூத்திரத்தின் வகுத்தல் பூஜ்ஜியமாக மாறும், மேலும் திசையன்கள் ஆர்த்தோகனலாகவும், கோடுகள் செங்குத்தாகவும் இருக்கும். அதனால்தான், நேர்கோடுகளின் செங்குத்தாக இல்லாதது குறித்து முன்பதிவு செய்யப்பட்டது.
மேற்கூறியவற்றின் அடிப்படையில், தீர்வை இரண்டு படிகளில் முறைப்படுத்துவது வசதியானது:
1) கோடுகளின் திசை திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கணக்கிடுவோம்:
, அதாவது கோடுகள் செங்குத்தாக இல்லை.
2) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்:
தலைகீழ் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி, கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது. இந்த வழக்கில், நாம் ஆர்க்டாஞ்ஜெண்டின் விந்தையைப் பயன்படுத்துகிறோம் (பார்க்க. அடிப்படை செயல்பாடுகளின் வரைபடங்கள் மற்றும் பண்புகள்):
பதில்: 
உங்கள் பதிலில், கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்பட்ட சரியான மதிப்பையும், தோராயமான மதிப்பையும் (முன்னுரிமை டிகிரி மற்றும் ரேடியன்கள் இரண்டிலும்) குறிப்பிடுகிறோம்.
சரி, மைனஸ், மைனஸ், பெரிய விஷயமில்லை. இங்கே ஒரு வடிவியல் விளக்கம்: 
கோணம் எதிர்மறை நோக்குநிலையாக மாறியதில் ஆச்சரியமில்லை, ஏனென்றால் சிக்கல் அறிக்கையில் முதல் எண் ஒரு நேர் கோடு மற்றும் கோணத்தின் "அவிழ்ப்பது" துல்லியமாக அதனுடன் தொடங்கியது.
நீங்கள் உண்மையில் நேர்மறை கோணத்தைப் பெற விரும்பினால், நீங்கள் கோடுகளை மாற்ற வேண்டும், அதாவது, இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து குணகங்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். 
, மற்றும் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து குணகங்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். சுருக்கமாக, நீங்கள் நேரடியாக தொடங்க வேண்டும் 
.
விண்வெளியில் ஒரு நேர் கோடு எப்போதும் இரண்டு இணை அல்லாத விமானங்களின் வெட்டுக் கோடாக வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு இரண்டாவது விமானத்தின் சமன்பாடு என்றால், கோட்டின் சமன்பாடு இவ்வாறு வழங்கப்படுகிறது
இங்கே 
கோலினியர் அல்லாத 
. இந்த சமன்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன பொது சமன்பாடுகள்
நேராக விண்வெளியில்.
கோட்டின் நியமன சமன்பாடுகள்
கொடுக்கப்பட்ட கோட்டில் அல்லது அதற்கு இணையாக இருக்கும் எந்த பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் இந்த கோட்டின் திசை திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
புள்ளி தெரிந்தால் 
நேர் கோடு மற்றும் அதன் திசை திசையன் 
, கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடுகள் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன:
.
(9)
ஒரு கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகள்
கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடுகளைக் கொடுக்கலாம்
.
இங்கிருந்து, கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்:
(10)
இந்த சமன்பாடுகள் ஒரு கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியைக் கண்டறிய பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு 
மற்றும் 
வடிவம் உள்ளது:
.
நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்
நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம்
மற்றும் 
அவற்றின் திசை திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்திற்கு சமம். எனவே, அதை சூத்திரம் (4) பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்:
இணையான கோடுகளுக்கான நிபந்தனை:
.
விமானங்கள் செங்குத்தாக இருக்க வேண்டிய நிபந்தனை:
ஒரு கோட்டிலிருந்து ஒரு புள்ளியின் தூரம்
பி 
புள்ளி கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று சொல்லலாம் 
மற்றும் நேராக
.
கோட்டின் நியமன சமன்பாடுகளிலிருந்து நாம் புள்ளியை அறிவோம் 
, ஒரு கோட்டிற்கு சொந்தமானது மற்றும் அதன் திசை திசையன் 
. பின்னர் புள்ளியின் தூரம் 
ஒரு நேர் கோட்டில் இருந்து திசையன்கள் மீது கட்டப்பட்ட ஒரு இணையான வரைபடத்தின் உயரத்திற்கு சமம் 
மற்றும் 
. எனவே,
.
கோடுகளின் குறுக்குவெட்டுக்கான நிபந்தனை
இரண்டு இணை அல்லாத கோடுகள்
,
குறுக்கீடு என்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே
.
ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் ஒப்பீட்டு நிலை.
நேர்கோடு கொடுக்கலாம் 
மற்றும் விமானம். மூலை 
அவற்றுக்கிடையே சூத்திரம் மூலம் காணலாம்
.
சிக்கல் 73.வரியின் நியதிச் சமன்பாடுகளை எழுதவும்
(11)
தீர்வு. கோட்டின் (9) நியதிச் சமன்பாடுகளை எழுதுவதற்கு, கோட்டின் எந்தப் புள்ளியையும், கோட்டின் திசைத் திசையனையும் அறிந்து கொள்வது அவசியம்.
வெக்டரைக் கண்டுபிடிப்போம் 
, இந்த வரிக்கு இணையாக. இந்த விமானங்களின் சாதாரண திசையன்களுக்கு செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும் என்பதால், அதாவது.
,
, அந்த
.
நேர்கோட்டின் பொதுவான சமன்பாடுகளிலிருந்து நாம் அதைக் கொண்டுள்ளோம் 
,
. பிறகு
.
புள்ளி இருந்து 
ஒரு வரியின் எந்தப் புள்ளியும், அதன் ஆயங்கள் கோட்டின் சமன்பாடுகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும், அவற்றில் ஒன்றைக் குறிப்பிடலாம், எடுத்துக்காட்டாக, 
, கணினியில் இருந்து மற்ற இரண்டு ஆயத்தொகுப்புகளைக் காண்கிறோம் (11):
இங்கிருந்து, 
.
எனவே, விரும்பிய வரியின் நியமன சமன்பாடுகள் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன:
அல்லது 
.
சிக்கல் 74.
மற்றும் 
.
தீர்வு.முதல் வரியின் நியமன சமன்பாடுகளிலிருந்து, புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் அறியப்படுகின்றன 
கோட்டிற்கு சொந்தமானது, மற்றும் திசை வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் 
. இரண்டாவது வரியின் நியமன சமன்பாடுகளிலிருந்து புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளும் அறியப்படுகின்றன 
மற்றும் திசை வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் 
.
இணை கோடுகளுக்கு இடையிலான தூரம் புள்ளியின் தூரத்திற்கு சமம் 
இரண்டாவது நேர் கோட்டில் இருந்து. இந்த தூரம் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது
.
வெக்டரின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்போம் 
.
திசையன் உற்பத்தியைக் கணக்கிடுவோம் 
:
.
சிக்கல் 75.ஒரு புள்ளியைக் கண்டறியவும் 
சமச்சீர் புள்ளி 
ஒப்பீட்டளவில் நேராக
.
தீர்வு. கொடுக்கப்பட்ட கோட்டிற்கு செங்குத்தாக மற்றும் ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை எழுதுவோம் 
. அதன் சாதாரண திசையன் போல 
நீங்கள் ஒரு நேர் கோட்டின் இயக்கும் திசையனை எடுக்கலாம். பிறகு 
. எனவே,
ஒரு புள்ளியைக் கண்டுபிடிப்போம் 
இந்த கோடு மற்றும் விமானத்தின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி P. இதைச் செய்ய, சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகளை எழுதுகிறோம் (10), நாம் பெறுகிறோம்
எனவே, 
.
விடுங்கள் 
புள்ளிக்கு சமச்சீரான புள்ளி 
இந்த வரியுடன் தொடர்புடையது. பின்னர் புள்ளி 
நடுப்புள்ளி 
. ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிய 
பிரிவின் நடுப்புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகளுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்:
,
,
.
அதனால், 
.
சிக்கல் 76.ஒரு கோடு வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள் 
மற்றும்
a) ஒரு புள்ளி மூலம் 
;
b) விமானத்திற்கு செங்குத்தாக.
தீர்வு.இந்த வரியின் பொதுவான சமன்பாடுகளை எழுதுவோம். இதைச் செய்ய, இரண்டு சமத்துவங்களைக் கவனியுங்கள்:
இதன் பொருள், விரும்பிய விமானம் ஜெனரேட்டர்களைக் கொண்ட விமானங்களின் மூட்டைக்கு சொந்தமானது மற்றும் அதன் சமன்பாட்டை வடிவத்தில் (8) எழுதலாம்:
a) கண்டுபிடிப்போம் 
மற்றும் 
விமானம் புள்ளி வழியாக செல்லும் நிலையில் இருந்து 
எனவே, அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் விமானத்தின் சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும். புள்ளியின் ஆயங்களை மாற்றுவோம் 
விமானங்களின் கூட்டத்தின் சமன்பாட்டில்:
மதிப்பு கிடைத்தது 
அதை சமன்பாட்டிற்கு மாற்றுவோம் (12). விரும்பிய விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:
b) கண்டுபிடிப்போம் 
மற்றும் 
விரும்பிய விமானம் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் நிலையில் இருந்து. கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் சாதாரண திசையன் 
, விரும்பிய விமானத்தின் சாதாரண திசையன் (விமானங்களின் கொத்து சமன்பாட்டைப் பார்க்கவும் (12).
இரண்டு திசையன்கள் அவற்றின் புள்ளி தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே செங்குத்தாக இருக்கும். எனவே,
கிடைத்த மதிப்பை மாற்றுவோம் 
ஒரு கொத்து விமானங்களின் சமன்பாட்டிற்குள் (12). விரும்பிய விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:
சுயாதீனமாக தீர்க்க வேண்டிய சிக்கல்கள்
சிக்கல் 77.கோடுகளின் சமன்பாட்டின் நியமன வடிவத்திற்கு கொண்டு வாருங்கள்:
1)
2)
சிக்கல் 78.ஒரு வரியின் அளவுரு சமன்பாடுகளை எழுதவும் 
, என்றால்:
1)
,
;
2)
,
.
சிக்கல் 79. புள்ளியின் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை எழுதுங்கள் 
ஒரு நேர் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக 
சிக்கல் 80.ஒரு புள்ளியைக் கடக்கும் கோட்டின் சமன்பாடுகளை எழுதுங்கள் 
விமானத்திற்கு செங்குத்தாக.
சிக்கல் 81.நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்:
1)
மற்றும் 
;
2)
மற்றும் 
சிக்கல் 82.இணையான கோடுகளை நிரூபிக்கவும்:
மற்றும் 
.
சிக்கல் 83.வரிகளின் செங்குத்தாக நிரூபிக்கவும்:
மற்றும் 
சிக்கல் 84.புள்ளி தூரத்தை கணக்கிடுங்கள் 
நேர் கோட்டில் இருந்து:
1)
;
2)
.
சிக்கல் 85.இணையான கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கணக்கிடுங்கள்:
மற்றும் 
.
சிக்கல் 86. கோட்டின் சமன்பாடுகளில் 
அளவுருவை வரையறுக்கவும் 
அதனால் இந்த கோடு கோட்டுடன் வெட்டுகிறது மற்றும் அவற்றின் வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்.
சிக்கல் 87. நேராக இருப்பதைக் காட்டுங்கள் 
விமானத்திற்கு இணையாக 
, மற்றும் நேர் கோடு 
இந்த விமானத்தில் உள்ளது.
சிக்கல் 88. ஒரு புள்ளியைக் கண்டறியவும் 
சமச்சீர் புள்ளி 
விமானத்துடன் தொடர்புடையது 
, என்றால்:
1)
,
;
2)
,
;.
சிக்கல் 89.ஒரு புள்ளியிலிருந்து செங்குத்தாக கைவிடப்பட்ட சமன்பாட்டை எழுதுங்கள் 
நேரடியாக 
.
சிக்கல் 90. ஒரு புள்ளியைக் கண்டறியவும் 
சமச்சீர் புள்ளி 
ஒப்பீட்டளவில் நேராக 
.
