பின்னங்களுடன் வெளிப்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது. ஒரு பொதுவான பகுதியை ஒரு பகுதியால் வகுத்தல்

எண், மற்றும் வகுக்கப்பட்டவை வகுத்தல்.

ஒரு பகுதியை எழுத, முதலில் எண்ணை எழுதவும், பின்னர் எண்ணின் கீழ் ஒரு கிடைமட்ட கோட்டை வரையவும், கோட்டின் கீழே வகுப்பினை எழுதவும். எண் மற்றும் வகுப்பினைப் பிரிக்கும் கிடைமட்டக் கோடு பின்னக் கோடு எனப்படும். சில நேரங்களில் இது ஒரு சாய்ந்த "/" அல்லது "∕" ஆக சித்தரிக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், எண் வரியின் இடதுபுறத்திலும், வகுத்தல் வலதுபுறத்திலும் எழுதப்பட்டுள்ளது. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, "மூன்றில் இரண்டு பங்கு" என்ற பின்னம் 2/3 என எழுதப்படும். தெளிவுக்காக, எண் பொதுவாக வரியின் மேற்புறத்திலும், வகுத்தல் கீழேயும் எழுதப்படும், அதாவது 2/3 க்கு பதிலாக நீங்கள் காணலாம்: ⅔.

பின்னங்களின் பெருக்கத்தைக் கணக்கிட, முதலில் ஒன்றின் எண்ணைப் பெருக்கவும் பின்னங்கள்எண்ணுக்கு வேறுபட்டது. புதியவற்றின் எண்ணிக்கையில் முடிவை எழுதவும் பின்னங்கள். இதற்குப் பிறகு, பிரிவை பெருக்கவும். புதியதில் மொத்த மதிப்பை உள்ளிடவும் பின்னங்கள். உதாரணமாக, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

ஒரு பின்னத்தை மற்றொன்றால் வகுக்க, முதலில் முதல் எண்ணை இரண்டின் வகுப்பால் பெருக்கவும். இரண்டாவது பின்னத்துடன் (வகுப்பான்) அதையே செய்யுங்கள். அல்லது, அனைத்து செயல்களையும் செய்வதற்கு முன், முதலில் வகுப்பியை "புரட்டவும்", அது உங்களுக்கு மிகவும் வசதியாக இருந்தால்: எண்களின் இடத்தில் வகுத்தல் தோன்றும். பின்னர் ஈவுத்தொகையின் வகுப்பினைப் புதிய வகுப்பினால் பெருக்கி எண்களைப் பெருக்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

ஆதாரங்கள்:

• அடிப்படை பின்ன சிக்கல்கள்

பின்ன எண்களை வெவ்வேறு வழிகளில் வெளிப்படுத்தலாம் சரியான மதிப்புஅளவுகள். முழு எண்களைக் கொண்டு நீங்கள் செய்யக்கூடிய அதே கணித செயல்பாடுகளை பின்னங்களுடன் செய்யலாம்: கழித்தல், கூட்டல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல். தீர்மானிக்க கற்றுக்கொள்வது பின்னங்கள், அவற்றின் சில அம்சங்களை நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். அவை வகையைப் பொறுத்தது பின்னங்கள், ஒரு முழு எண் பகுதியின் இருப்பு, ஒரு பொதுவான பிரிவு. சில எண்கணித செயல்பாடுகள்செயல்பாட்டிற்குப் பிறகு, அவை முடிவின் பகுதியளவு பகுதியைக் குறைக்க வேண்டும்.

உனக்கு தேவைப்படும்

• - கால்குலேட்டர்

வழிமுறைகள்

எண்களை உன்னிப்பாகப் பாருங்கள். பின்னங்களில் தசமங்கள் மற்றும் ஒழுங்கற்றவை இருந்தால், சில நேரங்களில் முதலில் தசமங்களுடன் செயல்பாடுகளைச் செய்வது மிகவும் வசதியானது, பின்னர் அவற்றை ஒழுங்கற்ற வடிவத்திற்கு மாற்றவும். உங்களால் மொழிபெயர்க்க முடியுமா பின்னங்கள்இந்த வடிவத்தில் ஆரம்பத்தில், எண்களில் தசம புள்ளிக்குப் பிறகு மதிப்பை எழுதி, வகுப்பில் 10 ஐ வைப்பது. தேவைப்பட்டால், மேலேயும் கீழேயும் உள்ள எண்களை ஒரு வகுப்பினால் வகுப்பதன் மூலம் பின்னத்தைக் குறைக்கவும். முழுப் பகுதியும் தனிமைப்படுத்தப்பட்ட பின்னங்கள் தவறான வடிவத்திற்கு மாற்றப்பட வேண்டும், அதை வகுப்பினால் பெருக்கி, முடிவில் எண்ணைக் கூட்ட வேண்டும். இந்த மதிப்பு புதிய எண்ணாக மாறும் பின்னங்கள். ஆரம்பத்தில் தவறான ஒன்றிலிருந்து முழுப் பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்க பின்னங்கள், நீங்கள் எண்ணை வகுப்பால் வகுக்க வேண்டும். இதிலிருந்து முழு முடிவையும் எழுதுங்கள் பின்னங்கள். மற்றும் பிரிவின் எஞ்சிய பகுதி புதிய எண், வகுப்பாக மாறும் பின்னங்கள்அது மாறாது. உடன் பின்னங்களுக்கு முழு பகுதிமுதலில் முழு எண்ணுக்கும் பின்னர் பின்ன பகுதிகளுக்கும் தனித்தனியாக செயல்களைச் செய்ய முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, 1 2/3 மற்றும் 2 ¾ ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடலாம்:
- பின்னங்களை தவறான வடிவத்திற்கு மாற்றுதல்:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- தனித்தனியாக முழு எண்கள் மற்றும் பகுதியளவு பாகங்கள்விதிமுறை:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

":" பிரிப்பானைப் பயன்படுத்தி அவற்றை மீண்டும் எழுதவும் மற்றும் வழக்கமான பிரிவைத் தொடரவும்.

இறுதி முடிவைப் பெற, விளைவான பகுதியைக் குறைக்கவும், எண் மற்றும் வகுப்பினை ஒரு முழு எண்ணால் வகுப்பதன் மூலம், இது மிகப்பெரியது. இந்த வழக்கில். இந்த வழக்கில், கோட்டிற்கு மேலேயும் கீழேயும் முழு எண்கள் இருக்க வேண்டும்.

குறிப்பு

பிரிவுகள் வேறுபட்ட பின்னங்களுடன் எண்கணிதத்தைச் செய்ய வேண்டாம். ஒரு எண்ணைத் தேர்ந்தெடுங்கள், அதன் மூலம் ஒவ்வொரு பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினைப் பெருக்கினால், இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரும் சமமாக இருக்கும்.

பயனுள்ள ஆலோசனை

பின்ன எண்களை எழுதும் போது, ​​ஈவுத்தொகை வரிக்கு மேல் எழுதப்படும். இந்த அளவு பின்னத்தின் எண்ணாகக் குறிக்கப்படுகிறது. பின்னத்தின் வகுத்தல் அல்லது வகுத்தல், கோட்டின் கீழே எழுதப்பட்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒன்றரை கிலோகிராம் அரிசி ஒரு பின்னமாக பின்வருமாறு எழுதப்படும்: 1 ½ கிலோ அரிசி. ஒரு பின்னத்தின் வகுத்தல் 10 எனில், பின்னம் தசமம் எனப்படும். இந்த வழக்கில், எண் (ஈவுத்தொகை) முழுப் பகுதியின் வலதுபுறத்தில் எழுதப்பட்டு, கமாவால் பிரிக்கப்படுகிறது: 1.5 கிலோ அரிசி. கணக்கீட்டின் எளிமைக்காக, அத்தகைய ஒரு பகுதியை எப்போதும் தவறான வடிவத்தில் எழுதலாம்: 1 2/10 கிலோ உருளைக்கிழங்கு. எளிமைப்படுத்த, ஒரு முழு எண்ணால் வகுப்பதன் மூலம் எண் மற்றும் வகுப்பின் மதிப்புகளைக் குறைக்கலாம். இந்த எடுத்துக்காட்டில், நீங்கள் 2 ஆல் வகுக்க முடியும். இதன் விளைவாக 1 1/5 கிலோ உருளைக்கிழங்கு இருக்கும். நீங்கள் எண்கணிதத்தைச் செய்யப் போகும் எண்கள் அதே வடிவத்தில் வழங்கப்படுவதை உறுதிசெய்யவும்.

) மற்றும் வகுப்பின் மூலம் வகுத்தல் (நாம் தயாரிப்பின் வகுப்பினைப் பெறுகிறோம்).

பின்னங்களை பெருக்குவதற்கான சூத்திரம்:

உதாரணத்திற்கு:

நீங்கள் எண்கள் மற்றும் வகுப்பிகளைப் பெருக்கத் தொடங்கும் முன், பின்னத்தை குறைக்க முடியுமா என்பதை நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும். நீங்கள் பகுதியைக் குறைக்க முடிந்தால், மேலும் கணக்கீடுகளைச் செய்வது உங்களுக்கு எளிதாக இருக்கும்.

ஒரு பொதுவான பகுதியை ஒரு பகுதியால் வகுத்தல்.

இயற்கை எண்களை உள்ளடக்கிய பின்னங்களைப் பிரித்தல்.

இது தோன்றுவது போல் பயமாக இல்லை. கூட்டல் விஷயத்தைப் போலவே, முழு எண்ணையும் வகுப்பில் ஒன்றின் பின்னமாக மாற்றுகிறோம். உதாரணத்திற்கு:

கலப்பு பின்னங்களை பெருக்குதல்.

பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான விதிகள் (கலப்பு):

• கலப்பு பின்னங்களை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றவும்;
• பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை பெருக்குதல்;
• பகுதியை குறைக்க;
• தவறான பின்னத்தைப் பெற்றால், முறையற்ற பின்னத்தை கலப்புப் பின்னமாக மாற்றுவோம்.

குறிப்பு!பெருக்க கலப்பு பின்னம்மற்றொரு கலப்பு பின்னத்திற்கு, நீங்கள் முதலில் அவற்றை முறையற்ற பின்னங்களின் வடிவத்திற்கு மாற்ற வேண்டும், பின்னர் சாதாரண பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான விதியின்படி அவற்றைப் பெருக்க வேண்டும்.

ஒரு பகுதியை இயற்கை எண்ணால் பெருக்க இரண்டாவது வழி.

இரண்டாவது பெருக்கல் முறையைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியாக இருக்கும் பொதுவான பின்னம்ஒரு எண்ணுக்கு.

குறிப்பு!ஒரு பகுதியைப் பெருக்க இயற்கை எண்பின்னத்தின் வகுப்பினை இந்த எண்ணால் வகுக்க வேண்டும், மேலும் எண்ணை மாறாமல் விடவும்.

மேலே கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் இருந்து, ஒரு பகுதியின் வகுத்தல் ஒரு இயற்கை எண்ணால் மீதம் இல்லாமல் வகுக்கப்படும் போது இந்த விருப்பம் பயன்படுத்த மிகவும் வசதியானது என்பது தெளிவாகிறது.

பல அடுக்கு பின்னங்கள்.

உயர்நிலைப் பள்ளியில், மூன்று-அடுக்கு (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) பின்னங்கள் அடிக்கடி சந்திக்கப்படுகின்றன. உதாரணமாக:

அத்தகைய பகுதியை அதன் வழக்கமான வடிவத்திற்கு கொண்டு வர, 2 புள்ளிகள் மூலம் வகுக்கவும்:

குறிப்பு!பின்னங்களைப் பிரிக்கும்போது, ​​பிரிவின் வரிசை மிகவும் முக்கியமானது. கவனமாக இருங்கள், இங்கே குழப்பமடைவது எளிது.

குறிப்பு, உதாரணத்திற்கு:

ஒன்றை எந்தப் பின்னத்தால் வகுக்கும் போது, ​​விளைவு அதே பின்னமாக இருக்கும், தலைகீழாக மட்டுமே இருக்கும்:

பின்னங்களை பெருக்குவதற்கும் வகுப்பதற்கும் நடைமுறை குறிப்புகள்:

1. பகுதி வெளிப்பாடுகளுடன் பணிபுரியும் போது மிக முக்கியமான விஷயம் துல்லியம் மற்றும் கவனிப்பு. அனைத்து கணக்கீடுகளையும் கவனமாகவும் துல்லியமாகவும், செறிவுடனும் தெளிவாகவும் செய்யுங்கள். மனக் கணக்கீடுகளில் தொலைந்து போவதை விட உங்கள் வரைவில் சில கூடுதல் வரிகளை எழுதுவது நல்லது.

2. உடன் பணிகளில் பல்வேறு வகையானபின்னங்கள் - சாதாரண பின்னங்களின் வடிவத்திற்கு செல்க.

3. குறைக்க முடியாது வரை அனைத்து பின்னங்களையும் குறைக்கிறோம்.

4. 2 புள்ளிகள் மூலம் பிரிவைப் பயன்படுத்தி பல-நிலை பின்ன வெளிப்பாடுகளை சாதாரணமாக மாற்றுகிறோம்.

5. ஒரு யூனிட்டை உங்கள் தலையில் உள்ள ஒரு பகுதியால் பிரித்து, பின்னத்தை அப்படியே திருப்பவும்.

பாடத்தின் உள்ளடக்கம்

ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

பின்னங்களைச் சேர்ப்பதில் இரண்டு வகைகள் உள்ளன:

1. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்
2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

முதலாவதாக, ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். இங்கே எல்லாம் எளிது. ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்க்க, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்கள் மற்றும் . எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும்:

நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நாம் நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். பீட்சாவுடன் பீட்சாவை சேர்த்தால், பீட்சா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 2.பின்னங்களைச் சேர்க்கவும் மற்றும் .

பதில் தவறான பின்னமாக மாறியது. பணியின் முடிவு வரும்போது, ​​முறையற்ற பின்னங்களை அகற்றுவது வழக்கம். ஒரு முறையற்ற பகுதியை அகற்ற, நீங்கள் அதன் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். எங்கள் விஷயத்தில், முழு பகுதியும் எளிதில் தனிமைப்படுத்தப்படுகிறது - இரண்டை இரண்டால் வகுக்க ஒன்று சமம்:

இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவைப் பற்றி நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் அதிக பீட்சாவைச் சேர்த்தால், ஒரு முழு பீட்சா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 3. பின்னங்களைச் சேர்க்கவும் மற்றும் .

மீண்டும், நாங்கள் எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விடுகிறோம்:

மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் அதிக பீட்சாவைச் சேர்த்தால், உங்களுக்கு பீட்சா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 4.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

இந்த எடுத்துக்காட்டு முந்தையதைப் போலவே தீர்க்கப்படுகிறது. எண்கள் சேர்க்கப்பட வேண்டும் மற்றும் வகுப்பினை மாற்றாமல் விட வேண்டும்:

ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்வை சித்தரிக்க முயற்சிப்போம். நீங்கள் ஒரு பீட்சாவில் பீட்சாவைச் சேர்த்து மேலும் அதிக பீட்சாக்களைச் சேர்த்தால், 1 முழு பீட்சாவும் மேலும் பீட்சாவும் கிடைக்கும்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அதே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை. பின்வரும் விதிகளைப் புரிந்துகொள்வது போதுமானது:

1. ஒரே வகுப்பில் பின்னங்களைச் சேர்க்க, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விட வேண்டும்;

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பதை இப்போது கற்றுக்கொள்வோம். பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போது, ​​பின்னங்களின் பிரிவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும். ஆனால் அவை எப்போதும் ஒரே மாதிரி இருப்பதில்லை.

எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்கள் இருப்பதால் அவற்றைச் சேர்க்கலாம் அதே பிரிவுகள்.

ஆனால் இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருப்பதால், பின்னங்களை உடனடியாகச் சேர்க்க முடியாது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்.

பின்னங்களை ஒரே வகுப்பில் குறைக்க பல வழிகள் உள்ளன. இன்று நாம் அவற்றில் ஒன்றை மட்டுமே பார்ப்போம், ஏனென்றால் மற்ற முறைகள் ஒரு தொடக்கக்காரருக்கு சிக்கலானதாகத் தோன்றலாம்.

இந்த முறையின் சாராம்சம் என்னவென்றால், முதலில் இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM தேடப்படுகிறது. முதல் கூடுதல் காரணியைப் பெற, LCM ஆனது முதல் பின்னத்தின் வகுப்பால் வகுக்கப்படுகிறது. அவை இரண்டாவது பின்னத்துடன் அவ்வாறே செய்கின்றன - LCM இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் இரண்டாவது கூடுதல் காரணி பெறப்படுகிறது.

பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகள் அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கப்படுகின்றன. இந்த செயல்களின் விளைவாக, வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்.

எடுத்துக்காட்டு 1. பின்னங்களைச் சேர்ப்போம் மற்றும்

முதலாவதாக, இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் மிகக் குறைவான பொதுவான மடங்குகளைக் காண்கிறோம். முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3, மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும். இந்த எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் 6 ஆகும்.

LCM (2 மற்றும் 3) = 6

இப்போது பின்னங்கள் மற்றும் . முதலில், LCM ஐ முதல் பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுத்து முதல் கூடுதல் காரணியைப் பெறவும். LCM என்பது எண் 6, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3. 6 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 2 கிடைக்கும்.

இதன் விளைவாக வரும் எண் 2 முதல் கூடுதல் பெருக்கி ஆகும். நாங்கள் அதை முதல் பகுதிக்கு எழுதுகிறோம். இதைச் செய்ய, பின்னத்தின் மீது ஒரு சிறிய சாய்ந்த கோட்டை உருவாக்கி, அதற்கு மேலே காணப்படும் கூடுதல் காரணியை எழுதவும்:

இரண்டாவது பகுதியிலும் நாங்கள் அதையே செய்கிறோம். LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் பிரித்து இரண்டாவது கூடுதல் காரணியைப் பெறுகிறோம். LCM என்பது எண் 6, மற்றும் இரண்டாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும். 6 ஐ 2 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 3 கிடைக்கும்.

இதன் விளைவாக வரும் எண் 3 இரண்டாவது கூடுதல் பெருக்கி ஆகும். நாங்கள் அதை இரண்டாவது பகுதிக்கு எழுதுகிறோம். மீண்டும், இரண்டாவது பகுதியின் மீது ஒரு சிறிய சாய்ந்த கோட்டை உருவாக்கி, அதற்கு மேலே காணப்படும் கூடுதல் காரணியை எழுதுகிறோம்:

இப்போது நாம் கூடுதலாக அனைத்தையும் தயார் செய்துள்ளோம். பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்க வேண்டும்:

நாம் வந்ததை கவனமாக பாருங்கள். வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இந்த உதாரணத்தை இறுதிவரை எடுத்துக்கொள்வோம்:

இது உதாரணத்தை நிறைவு செய்கிறது. இது சேர்க்க மாறிவிடும்.

ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்வை சித்தரிக்க முயற்சிப்போம். பீட்சாவில் பீட்சாவைச் சேர்த்தால், ஒரு முழு பீட்சாவும், பீட்சாவில் ஆறில் ஒரு பங்கும் கிடைக்கும்.

பின்னங்களை ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைப்பதும் படத்தைப் பயன்படுத்தி சித்தரிக்கப்படலாம். பின்னங்களைக் குறைத்து ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு, பின்னங்கள் மற்றும் . இந்த இரண்டு பின்னங்களும் ஒரே பீட்சா துண்டுகளால் குறிக்கப்படும். ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், இந்த முறை அவை சம பங்குகளாக பிரிக்கப்படும் (ஒரே வகுப்பிற்கு குறைக்கப்படும்).

முதல் வரைபடம் ஒரு பகுதியைக் குறிக்கிறது (ஆறில் நான்கு துண்டுகள்), மற்றும் இரண்டாவது வரைபடம் ஒரு பகுதியைக் குறிக்கிறது (ஆறில் மூன்று துண்டுகள்). இந்த துண்டுகளைச் சேர்த்தால் நமக்குக் கிடைக்கும் (ஆறில் ஏழு துண்டுகள்). இந்த பின்னம் முறையற்றது, எனவே அதன் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்தினோம். இதன் விளைவாக, எங்களுக்கு கிடைத்தது (ஒரு முழு பீஸ்ஸா மற்றும் மற்றொரு ஆறாவது பீஸ்ஸா).

இந்த உதாரணத்தை நாங்கள் மிகவும் விரிவாக விவரித்துள்ளோம் என்பதை நினைவில் கொள்க. IN கல்வி நிறுவனங்கள்இவ்வளவு விரிவாக எழுதுவது வழக்கம் இல்லை. நீங்கள் இரண்டு பிரிவுகளின் LCM மற்றும் அவற்றுக்கான கூடுதல் காரணிகளை விரைவாகக் கண்டறிய முடியும், அத்துடன் கண்டறியப்பட்ட கூடுதல் காரணிகளை உங்கள் எண்கள் மற்றும் வகுப்பின் மூலம் விரைவாகப் பெருக்க வேண்டும். நாம் பள்ளியில் இருந்திருந்தால், இந்த உதாரணத்தை பின்வருமாறு எழுத வேண்டும்:

ஆனால் கூட உள்ளது பின் பக்கம்பதக்கங்கள். கணிதம் படிக்கும் முதல் கட்டங்களில் நீங்கள் விரிவான குறிப்புகளை எடுக்கவில்லை என்றால், அந்த வகையான கேள்விகள் தோன்ற ஆரம்பிக்கும். "அந்த எண் எங்கிருந்து வருகிறது?", "பின்னங்கள் ஏன் திடீரென்று முற்றிலும் மாறுபட்ட பின்னங்களாக மாறுகின்றன? «.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதை எளிதாக்க, நீங்கள் பின்வரும் படிப்படியான வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தலாம்:

1. பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும்;
2. ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினால் LCM ஐப் பிரித்து ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணியைப் பெறவும்;
3. பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கவும்;
4. ஒரே வகுப்பினைக் கொண்ட பின்னங்களைச் சேர்க்கவும்;
5. பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கவும்;

எடுத்துக்காட்டு 2.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் .

மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்துவோம்.

படி 1. பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும்

இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும். பின்னங்களின் பிரிவுகள் எண்கள் 2, 3 மற்றும் 4 ஆகும்

படி 2. LCM ஐ ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுத்து, ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணியைப் பெறவும்

LCM ஐ முதல் பின்னத்தின் வகுப்பால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும். 12 ஐ 2 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 6 கிடைக்கும். முதல் கூடுதல் காரணி 6 கிடைத்தது. முதல் பின்னத்திற்கு மேலே அதை எழுதுகிறோம்:

இப்போது நாம் LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கிறோம். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் இரண்டாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 3 ஆகும். 12 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 4 கிடைக்கும். இரண்டாவது கூடுதல் காரணி 4 ஐப் பெறுகிறோம். அதை இரண்டாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:

இப்போது நாம் LCM ஐ மூன்றாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கிறோம். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் மூன்றாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 4. 12 ஐ 4 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 3 கிடைக்கும். மூன்றாவது கூடுதல் காரணி 3. மூன்றாவது பின்னத்திற்கு மேலே அதை எழுதுகிறோம்:

படி 3. பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கவும்

எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்குகிறோம்:

படி 4. அதே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்க்கவும்

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். இந்த பின்னங்களைச் சேர்ப்பது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது. அதைச் சேர்க்கவும்:

கூட்டல் ஒரு வரியில் பொருந்தவில்லை, எனவே மீதமுள்ள வெளிப்பாட்டை அடுத்த வரிக்கு நகர்த்தினோம். இது கணிதத்தில் அனுமதிக்கப்படுகிறது. ஒரு வெளிப்பாடு ஒரு வரியில் பொருந்தாதபோது, ​​​​அது அடுத்த வரிக்கு நகர்த்தப்படுகிறது, மேலும் முதல் வரியின் முடிவிலும் புதிய வரியின் தொடக்கத்திலும் சமமான அடையாளத்தை (=) வைக்க வேண்டியது அவசியம். இரண்டாவது வரியில் உள்ள சம அடையாளம் இது முதல் வரியில் இருந்த வெளிப்பாட்டின் தொடர்ச்சி என்பதைக் குறிக்கிறது.

படி 5. பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கவும்

எங்கள் பதில் தவறான பின்னமாக மாறியது. அதன் முழுப் பகுதியையும் நாம் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும். நாங்கள் முன்னிலைப்படுத்துகிறோம்:

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது

ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்

பின்னங்களின் கழித்தல் இரண்டு வகைகள் உள்ளன:

1. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்
2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்

முதலாவதாக, ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். இங்கே எல்லாம் எளிது. ஒரு பின்னத்திலிருந்து மற்றொன்றைக் கழிக்க, முதல் பின்னத்தின் எண்ணிலிருந்து இரண்டாவது பகுதியின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும், ஆனால் வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிடவும்.

எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த எடுத்துக்காட்டைத் தீர்க்க, நீங்கள் முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையிலிருந்து இரண்டாவது பகுதியின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும், மேலும் வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும். இதை செய்வோம்:

நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நாம் நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் இருந்து பீட்சாவை வெட்டினால், உங்களுக்கு பீஸ்ஸா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 2.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

மீண்டும், முதல் பின்னத்தின் எண்கணிதத்திலிருந்து, இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணைக் கழித்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும்:

மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் இருந்து பீட்சாவை வெட்டினால், உங்களுக்கு பீஸ்ஸா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 3.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

இந்த எடுத்துக்காட்டு முந்தையதைப் போலவே தீர்க்கப்படுகிறது. முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையிலிருந்து மீதமுள்ள பின்னங்களின் எண்களைக் கழிக்க வேண்டும்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அதே பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழிப்பதில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை. பின்வரும் விதிகளைப் புரிந்துகொள்வது போதுமானது:

1. ஒரு பின்னத்திலிருந்து மற்றொன்றைக் கழிக்க, முதல் பின்னத்தின் எண்ணிலிருந்து இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும், மேலும் வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும்;
2. பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் நீங்கள் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்

எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு பகுதியைக் கழிக்கலாம், ஏனெனில் பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பினரைக் கொண்டுள்ளன. ஆனால் இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருப்பதால், ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு பகுதியைக் கழிக்க முடியாது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போது நாம் பயன்படுத்திய அதே கொள்கையைப் பயன்படுத்தி பொதுவான வகுப்பான் காணப்படுகிறது. முதலில், இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும். பின்னர் LCM முதல் பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் முதல் கூடுதல் காரணி பெறப்படுகிறது, இது முதல் பின்னத்திற்கு மேலே எழுதப்பட்டுள்ளது. இதேபோல், LCM இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் இரண்டாவது கூடுதல் காரணி பெறப்படுகிறது, இது இரண்டாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதப்பட்டுள்ளது.

பின்னங்கள் அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கப்படுகின்றன. இந்த செயல்பாட்டின் விளைவாக, வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாற்றப்படுகின்றன. அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளன, எனவே நீங்கள் அவற்றை ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்க வேண்டும்.

முதலில் இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டுபிடிப்போம். முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3, மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 4 ஆகும். இந்த எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் 12 ஆகும்.

LCM (3 மற்றும் 4) = 12

இப்போது பின்னங்கள் மற்றும் திரும்புவோம்

முதல் பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, LCM ஐ முதல் பகுதியின் வகுப்பால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3 ஆகும். 12 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 4 கிடைக்கும். முதல் பின்னத்திற்கு மேலே நான்கை எழுதவும்:

இரண்டாவது பகுதியிலும் நாங்கள் அதையே செய்கிறோம். LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 4. 12 ஐ 4 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 3 கிடைக்கும். இரண்டாவது பின்னத்தின் மீது மூன்றை எழுதவும்:

இப்போது நாம் கழிப்பதற்கு தயாராக உள்ளோம். பின்னங்களை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்க இது உள்ளது:

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இந்த உதாரணத்தை இறுதிவரை எடுத்துக்கொள்வோம்:

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது

ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்வை சித்தரிக்க முயற்சிப்போம். நீங்கள் பீட்சாவிலிருந்து பீட்சாவை வெட்டினால், உங்களுக்கு பீட்சா கிடைக்கும்

இது தீர்வின் விரிவான பதிப்பாகும். நாங்கள் பள்ளியில் இருந்திருந்தால், இந்த உதாரணத்தை சுருக்கமாக தீர்க்க வேண்டும். அத்தகைய தீர்வு இப்படி இருக்கும்:

பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்பது ஒரு படத்தைப் பயன்படுத்தி சித்தரிக்கப்படலாம். இந்த பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைத்து, பின்னங்கள் மற்றும் . இந்த பின்னங்கள் ஒரே பீஸ்ஸா துண்டுகளால் குறிக்கப்படும், ஆனால் இந்த முறை அவை சம பங்குகளாகப் பிரிக்கப்படும் (ஒரே வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்படும்):

முதல் படம் ஒரு பகுதியைக் காட்டுகிறது (பன்னிரண்டில் எட்டு துண்டுகள்), இரண்டாவது படம் ஒரு பகுதியைக் காட்டுகிறது (பன்னிரண்டில் மூன்று துண்டுகள்). எட்டு துண்டுகளிலிருந்து மூன்று துண்டுகளை வெட்டுவதன் மூலம், பன்னிரண்டில் ஐந்து துண்டுகள் கிடைக்கும். பின்னம் இந்த ஐந்து பகுதிகளை விவரிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளன, எனவே முதலில் அவற்றை ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்க வேண்டும்.

இந்த பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

பின்னங்களின் வகுத்தல்கள் எண்கள் 10, 3 மற்றும் 5 ஆகும். இந்த எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் 30 ஆகும்.

LCM(10, 3, 5) = 30

இப்போது ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணிகளைக் காண்கிறோம். இதைச் செய்ய, LCM ஐ ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கவும்.

முதல் பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் கண்டுபிடிப்போம். LCM என்பது எண் 30, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 10 ஆகும். 30 ஐ 10 ஆல் வகுத்தால், முதல் கூடுதல் காரணி 3 ஐப் பெறுகிறோம். அதை முதல் பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:

இப்போது இரண்டாவது பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் காண்கிறோம். LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 30, மற்றும் இரண்டாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 3 ஆகும். 30 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், இரண்டாவது கூடுதல் காரணி 10 ஐப் பெறுகிறோம். அதை இரண்டாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:

இப்போது மூன்றாவது பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் காண்கிறோம். LCM ஐ மூன்றாவது பகுதியின் வகுப்பால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 30, மற்றும் மூன்றாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 5 ஆகும். 30 ஐ 5 ஆல் வகுத்தால், மூன்றாவது கூடுதல் காரணி 6 ஐப் பெறுகிறோம். அதை மூன்றாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:

இப்போது எல்லாம் கழிக்க தயாராக உள்ளது. பின்னங்களை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்க இது உள்ளது:

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இந்த உதாரணத்தை முடிப்போம்.

உதாரணத்தின் தொடர்ச்சி ஒரு வரியில் பொருந்தாது, எனவே தொடர்ச்சியை அடுத்த வரிக்கு நகர்த்துகிறோம். புதிய வரியில் சம அடையாளத்தை (=) மறந்துவிடாதீர்கள்:

பதில் ஒரு வழக்கமான பின்னமாக மாறியது, எல்லாமே நமக்கு ஏற்றதாகத் தெரிகிறது, ஆனால் அது மிகவும் சிக்கலானது மற்றும் அசிங்கமானது. நாம் அதை எளிதாக்க வேண்டும். என்ன செய்ய முடியும்? இந்த பகுதியை நீங்கள் சுருக்கலாம்.

ஒரு பகுதியைக் குறைக்க, அதன் எண் மற்றும் வகுப்பினை 20 மற்றும் 30 எண்களின் (GCD) மூலம் வகுக்க வேண்டும்.

எனவே, 20 மற்றும் 30 எண்களின் gcd ஐக் காண்கிறோம்:

இப்போது நாம் எங்கள் உதாரணத்திற்குத் திரும்பி, பின்னத்தின் எண்ணிக்கையையும் வகுப்பையும் கண்டறிந்த ஜிசிடியால் வகுக்கிறோம், அதாவது 10 ஆல் வகுக்கிறோம்.

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது

ஒரு பின்னத்தை எண்ணால் பெருக்குதல்

ஒரு பின்னத்தை எண்ணால் பெருக்க, கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் எண்ணை அந்த எண்ணால் பெருக்கி, வகுப்பை அப்படியே விட்டுவிட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1. ஒரு பகுதியை எண் 1 ஆல் பெருக்கவும்.

பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை எண் 1 ஆல் பெருக்கவும்

ரெக்கார்டிங் அரை 1 முறை எடுத்ததை புரிந்து கொள்ளலாம். உதாரணமாக, நீங்கள் ஒரு முறை பீட்சா எடுத்தால், உங்களுக்கு பீட்சா கிடைக்கும்

பெருக்கல் விதிகள் மூலம், பெருக்கல் மற்றும் காரணி மாற்றப்பட்டால், தயாரிப்பு மாறாது என்பதை நாம் அறிவோம். வெளிப்பாடு என எழுதப்பட்டால், தயாரிப்பு இன்னும் சமமாக இருக்கும். மீண்டும், ஒரு முழு எண்ணையும் ஒரு பகுதியையும் பெருக்குவதற்கான விதி செயல்படுகிறது:

இந்த குறியீடானது ஒன்றின் பாதியை எடுத்துக்கொள்வதாக புரிந்து கொள்ளலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 1 முழு பீட்சா இருந்தால், அதில் பாதியை எடுத்துக் கொண்டால், நாங்கள் பீட்சா சாப்பிடுவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

பின்னத்தின் எண்ணை 4 ஆல் பெருக்கவும்

பதில் ஒரு முறையற்ற பின்னம். அதன் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்துவோம்:

இரண்டு காலாண்டுகளை 4 முறை எடுத்துக்கொள்வதாக வெளிப்பாடு புரிந்து கொள்ள முடியும். உதாரணமாக, நீங்கள் 4 பீஸ்ஸாக்களை எடுத்துக் கொண்டால், உங்களுக்கு இரண்டு முழு பீஸ்ஸாக்கள் கிடைக்கும்

மேலும் நாம் பெருக்கி மற்றும் பெருக்கியை மாற்றினால், வெளிப்பாடு கிடைக்கும். இது 2க்கு சமமாக இருக்கும். இந்த வெளிப்பாடு நான்கு முழு பீஸ்ஸாக்களிலிருந்து இரண்டு பீஸ்ஸாக்களை எடுப்பதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம்:

பின்னங்களை பெருக்குதல்

பின்னங்களைப் பெருக்க, அவற்றின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை நீங்கள் பெருக்க வேண்டும். பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் நீங்கள் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது. இந்த பகுதியைக் குறைப்பது நல்லது. பின்னத்தை 2 ஆல் குறைக்கலாம். பிறகு இறுதி முடிவுபின்வரும் படிவத்தை எடுக்கும்:

அரை பீட்சாவிலிருந்து பீட்சாவை எடுப்பது போன்ற வெளிப்பாடுகளை புரிந்து கொள்ளலாம். எங்களிடம் அரை பீட்சா உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

இந்த பாதியில் இருந்து மூன்றில் இரண்டு பங்கை எப்படி எடுப்பது? முதலில் நீங்கள் இந்த பாதியை மூன்று சம பாகங்களாக பிரிக்க வேண்டும்:

இந்த மூன்று துண்டுகளிலிருந்து இரண்டை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்:

நாங்கள் பீட்சா செய்வோம். மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கும்போது பீட்சா எப்படி இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

இந்த பீட்சாவின் ஒரு துண்டு மற்றும் நாங்கள் எடுத்த இரண்டு துண்டுகள் ஒரே பரிமாணங்களைக் கொண்டிருக்கும்:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நாங்கள் அதே அளவு பீட்சாவைப் பற்றி பேசுகிறோம். எனவே வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு

எடுத்துக்காட்டு 2. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணால் பெருக்கவும், முதல் பின்னத்தின் வகுப்பை இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்பால் பெருக்கவும்:

பதில் ஒரு முறையற்ற பின்னம். அதன் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்துவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 3.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணால் பெருக்கவும், முதல் பின்னத்தின் வகுப்பை இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்பால் பெருக்கவும்:

பதில் ஒரு வழக்கமான பின்னமாக மாறியது, ஆனால் அதை சுருக்கினால் நன்றாக இருக்கும். இந்தப் பகுதியைக் குறைக்க, இந்த பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 105 மற்றும் 450 எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பால் (GCD) வகுக்க வேண்டும்.

எனவே, 105 மற்றும் 450 எண்களின் gcd ஐக் கண்டுபிடிப்போம்:

இப்போது நாம் கண்டறிந்த ஜிசிடியால், அதாவது 15ஆல் நமது பதிலின் எண் மற்றும் வகுப்பினை வகுக்கிறோம்.

ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னமாகக் குறிக்கும்

எந்த முழு எண்ணையும் ஒரு பின்னமாக குறிப்பிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, எண் 5 ஐக் குறிப்பிடலாம். இது ஐந்தின் பொருளை மாற்றாது, ஏனெனில் வெளிப்பாட்டின் பொருள் "ஒன்றால் வகுக்கப்படும் எண் ஐந்து", மேலும் இது ஐந்துக்கு சமம்:

பரஸ்பர எண்கள்

இப்போது நாம் மிகவும் பழகுவோம் சுவாரஸ்யமான தலைப்புகணிதத்தில். இது "தலைகீழ் எண்கள்" என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை. எண்ணுக்குத் தலைகீழாகஅ பெருக்கப்படும் போது ஒரு எண்அ ஒன்றை கொடுக்கிறது.

இந்த வரையறையில் மாறிக்கு பதிலாக மாற்றுவோம் அஎண் 5 மற்றும் வரையறையைப் படிக்க முயற்சிக்கவும்:

எண்ணுக்குத் தலைகீழாக 5 பெருக்கப்படும் போது ஒரு எண் 5 ஒன்றை கொடுக்கிறது.

5 ஆல் பெருக்கினால், ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? அது சாத்தியம் என்று மாறிவிடும். ஐந்தை ஒரு பின்னமாக கற்பனை செய்வோம்:

இந்த பின்னத்தை தானாகவே பெருக்கி, எண் மற்றும் வகுப்பினை மாற்றவும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பின்னத்தை தானாகவே பெருக்கலாம், தலைகீழாக மட்டுமே:

இதன் விளைவாக என்ன நடக்கும்? இந்த உதாரணத்தைத் தொடர்ந்து தீர்த்துக்கொண்டால், ஒன்றைப் பெறுவோம்:

இதன் பொருள், எண் 5 இன் தலைகீழ் எண் , நீங்கள் 5 ஐப் பெருக்கும்போது ஒன்று கிடைக்கும்.

ஒரு எண்ணின் எதிரொலியை வேறு எந்த முழு எண்ணுக்கும் காணலாம்.

வேறு எந்தப் பகுதியினதும் எதிரொலியையும் நீங்கள் காணலாம். இதைச் செய்ய, அதைத் திருப்புங்கள்.

ஒரு பகுதியை எண்ணால் வகுத்தல்

எங்களிடம் அரை பீட்சா உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

அதை இரண்டிற்கும் சமமாகப் பிரிப்போம். ஒவ்வொருவருக்கும் எவ்வளவு பீட்சா கிடைக்கும்?

பாதி பீட்சாவைப் பிரித்த பிறகு, இரண்டு சமமான துண்டுகள் கிடைத்தன, அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு பீட்சாவை உருவாக்குகின்றன. அதனால் அனைவருக்கும் பீட்சா கிடைக்கும்.

பின்னங்களின் பிரிவு பரஸ்பரங்களைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படுகிறது. பரஸ்பர எண்கள் வகுப்பை பெருக்கத்துடன் மாற்ற உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

ஒரு பகுதியை ஒரு எண்ணால் வகுக்க, நீங்கள் பிரிவின் தலைகீழ் மூலம் பகுதியைப் பெருக்க வேண்டும்.

இந்த விதியைப் பயன்படுத்தி, பீட்சாவின் பாதியை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிப்பதை எழுதுவோம்.

எனவே, நீங்கள் பின்னத்தை எண் 2 ஆல் வகுக்க வேண்டும். இங்கே ஈவுத்தொகை பின்னம் மற்றும் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும்.

ஒரு பின்னத்தை எண் 2 ஆல் வகுக்க, நீங்கள் இந்த பின்னத்தை வகுக்கும் 2 இன் எதிரொலியால் பெருக்க வேண்டும். எனவே நீங்கள் பெருக்க வேண்டும்

தனிப்பட்ட பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது மற்றும் பெருக்குவது என்பதை இப்போது நாம் கற்றுக்கொண்டோம், மேலும் மேலும் பார்க்கலாம் சிக்கலான வடிவமைப்புகள். எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்களைச் சேர்ப்பது, கழிப்பது மற்றும் பெருக்குவது போன்ற பிரச்சனைகள் இருந்தால் என்ன செய்வது?

முதலில், நீங்கள் அனைத்து பின்னங்களையும் முறையற்றதாக மாற்ற வேண்டும். பின்னர் தேவையான செயல்களை வரிசையாகச் செய்கிறோம் - சாதாரண எண்களின் அதே வரிசையில். அதாவது:

1. எக்ஸ்போனென்ஷியேஷன் முதலில் செய்யப்படுகிறது - அடுக்குகளைக் கொண்ட அனைத்து வெளிப்பாடுகளையும் அகற்றவும்;
2. பின்னர் - வகுத்தல் மற்றும் பெருக்கல்;
3. கடைசி படி கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் ஆகும்.

நிச்சயமாக, வெளிப்பாட்டில் அடைப்புக்குறிகள் இருந்தால், செயல்பாடுகளின் வரிசை மாறுகிறது - அடைப்புக்குறிக்குள் இருக்கும் அனைத்தையும் முதலில் கணக்கிட வேண்டும். முறையற்ற பின்னங்களைப் பற்றி நினைவில் கொள்ளுங்கள்: மற்ற எல்லா செயல்களும் ஏற்கனவே முடிந்ததும் மட்டுமே முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும்.

முதல் வெளிப்பாட்டிலிருந்து அனைத்து பின்னங்களையும் முறையற்றவையாக மாற்றுவோம், பின்னர் பின்வரும் படிகளைச் செய்வோம்:

இப்போது இரண்டாவது வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம். ஒரு முழு எண் பகுதியுடன் பின்னங்கள் எதுவும் இல்லை, ஆனால் அடைப்புக்குறிகள் உள்ளன, எனவே முதலில் நாம் கூட்டலைச் செய்கிறோம், பின்னர் மட்டுமே வகுக்கவும். 14 = 7 · 2 என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். பிறகு:

இறுதியாக, மூன்றாவது உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள். இங்கே அடைப்புக்குறிகளும் பட்டமும் உள்ளன - அவற்றை தனித்தனியாக எண்ணுவது நல்லது. 9 = 3 3 என்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, எங்களிடம் உள்ளது:

கடைசி உதாரணத்திற்கு கவனம் செலுத்துங்கள். ஒரு பகுதியை ஒரு சக்திக்கு உயர்த்த, நீங்கள் தனித்தனியாக இந்த சக்திக்கு எண்களை உயர்த்த வேண்டும், மேலும் தனித்தனியாக, வகுப்பை உயர்த்த வேண்டும்.

நீங்கள் வித்தியாசமாக முடிவு செய்யலாம். ஒரு பட்டத்தின் வரையறையை நாம் நினைவு கூர்ந்தால், சிக்கல் பின்னங்களின் வழக்கமான பெருக்கத்திற்கு குறைக்கப்படும்:

பல அடுக்கு பின்னங்கள்

இப்போது வரை, "தூய்மையான" பின்னங்களை மட்டுமே நாங்கள் கருதினோம், எண் மற்றும் வகுப்பானது சாதாரண எண்களாக இருக்கும் போது. இது முதல் பாடத்தில் கொடுக்கப்பட்ட எண் பின்னத்தின் வரையறையுடன் மிகவும் ஒத்துப்போகிறது.

ஆனால் நீங்கள் ஒரு சிக்கலான பொருளை எண் அல்லது வகுப்பில் வைத்தால் என்ன செய்வது? உதாரணமாக, மற்றொரு எண் பின்னம்? இத்தகைய கட்டுமானங்கள் அடிக்கடி எழுகின்றன, குறிப்பாக நீண்ட வெளிப்பாடுகளுடன் பணிபுரியும் போது. இங்கே இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன:

பல நிலை பின்னங்களுடன் பணிபுரிய ஒரே ஒரு விதி உள்ளது: நீங்கள் உடனடியாக அவற்றை அகற்ற வேண்டும். "கூடுதல்" தளங்களை அகற்றுவது மிகவும் எளிது, ஸ்லாஷ் என்பது நிலையான பிரிவு செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது. எனவே, எந்தவொரு பின்னத்தையும் பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

இந்த உண்மையைப் பயன்படுத்தி, நடைமுறையைப் பின்பற்றுவதன் மூலம், எந்தவொரு பல அடுக்கு பகுதியையும் சாதாரணமாக எளிதாகக் குறைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள்:

பணி. பல அடுக்கு பின்னங்களை சாதாரணமாக மாற்றவும்:

ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும், முக்கிய பகுதியை மீண்டும் எழுதுகிறோம், பிரிக்கும் கோட்டை ஒரு பிரிவு அடையாளத்துடன் மாற்றுகிறோம். எந்த ஒரு முழு எண்ணையும் 1-ன் வகுப்பின் பின்னமாக குறிப்பிடலாம். அதாவது 12 = 12/1; 3 = 3/1. நாங்கள் பெறுகிறோம்:

கடைசி எடுத்துக்காட்டில், இறுதிப் பெருக்கத்திற்கு முன் பின்னங்கள் ரத்து செய்யப்பட்டன.

பல நிலை பின்னங்களுடன் பணிபுரியும் விவரக்குறிப்புகள்

பல நிலை பின்னங்களில் ஒரு நுணுக்கம் உள்ளது, அது எப்போதும் நினைவில் கொள்ளப்பட வேண்டும், இல்லையெனில் அனைத்து கணக்கீடுகளும் சரியாக இருந்தாலும் தவறான பதிலைப் பெறலாம். பாருங்கள்:

1. எண்ணில் ஒற்றை எண் 7 உள்ளது, மற்றும் வகுப்பில் 12/5 என்ற பின்னம் உள்ளது;
2. எண்ணில் 7/12 என்ற பின்னம் உள்ளது, மற்றும் வகுப்பில் தனி எண் 5 உள்ளது.

எனவே, ஒரு பதிவுக்கு முற்றிலும் மாறுபட்ட இரண்டு விளக்கங்கள் கிடைத்தன. நீங்கள் எண்ணினால், பதில்களும் வித்தியாசமாக இருக்கும்:

பதிவு எப்போதும் தெளிவாகப் படிக்கப்படுவதை உறுதிசெய்ய, ஒரு எளிய விதியைப் பயன்படுத்தவும்: முக்கிய பகுதியின் பிரிக்கும் கோடு உள்ளமைக்கப்பட்ட பின்னத்தின் கோட்டை விட நீளமாக இருக்க வேண்டும். முன்னுரிமை பல முறை.

நீங்கள் இந்த விதியைப் பின்பற்றினால், மேலே உள்ள பின்னங்கள் பின்வருமாறு எழுதப்பட வேண்டும்:

ஆம், இது அநேகமாக கூர்ந்துபார்க்க முடியாதது மற்றும் அதிக இடத்தை எடுக்கும். ஆனால் நீங்கள் சரியாக எண்ணுவீர்கள். இறுதியாக, பல அடுக்கு பின்னங்கள் உண்மையில் எழும் சில எடுத்துக்காட்டுகள்:

பணி. வெளிப்பாடுகளின் அர்த்தங்களைக் கண்டறியவும்:

எனவே, முதல் உதாரணத்துடன் வேலை செய்வோம். அனைத்து பின்னங்களையும் முறையற்றவையாக மாற்றுவோம், பின்னர் கூட்டல் மற்றும் பிரிவு செயல்பாடுகளைச் செய்வோம்:

இரண்டாவது உதாரணத்துடன் அதையே செய்வோம். அனைத்து பின்னங்களையும் முறையற்றவையாக மாற்றி தேவையான செயல்பாடுகளைச் செய்வோம். வாசகருக்கு சலிப்பு ஏற்படாத வகையில், சில வெளிப்படையான கணக்கீடுகளை நான் தவிர்க்கிறேன். எங்களிடம் உள்ளது:

அடிப்படை பின்னங்களின் எண் மற்றும் வகுப்பில் தொகைகள் இருப்பதால், பல அடுக்கு பின்னங்களை எழுதுவதற்கான விதி தானாகவே கவனிக்கப்படுகிறது. மேலும், கடைசி எடுத்துக்காட்டில், வேண்டுமென்றே 46/1 ஐ பின்னம் வடிவில் பிரித்து செய்ய விட்டுவிட்டோம்.

இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளிலும், பின்னம் பட்டை உண்மையில் அடைப்புக்குறிகளை மாற்றியமைக்கிறது என்பதையும் நான் கவனிக்கிறேன்: முதலில், நாம் தொகையைக் கண்டறிந்தோம், அதன்பிறகு மட்டுமே பங்கு.

இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில் முறையற்ற பின்னங்களுக்கு மாறுவது தெளிவாக தேவையற்றது என்று சிலர் கூறுவார்கள். ஒருவேளை இது உண்மையாக இருக்கலாம். ஆனால் இதைச் செய்வதன் மூலம், தவறுகளுக்கு எதிராக நம்மை நாமே காப்பீடு செய்கிறோம், ஏனென்றால் அடுத்த முறை உதாரணம் மிகவும் சிக்கலானதாக மாறும். மிக முக்கியமானது எது என்பதை நீங்களே தேர்வு செய்யவும்: வேகம் அல்லது நம்பகத்தன்மை.

பின்னம்- கணிதத்தில் எண்ணைக் குறிக்கும் ஒரு வடிவம். பின்னம் பட்டை பிரிவு செயல்பாட்டைக் குறிக்கிறது. எண்ணெழுத்துபின்னம் ஈவுத்தொகை என்று அழைக்கப்படுகிறது, மற்றும் வகுக்கும்- பிரிப்பான். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பின்னத்தில் எண் 5 மற்றும் வகுத்தல் 7 ஆகும்.

சரிஒரு பின்னம் அழைக்கப்படுகிறது, இதில் தொகுதியின் மாடுலஸ் வகுப்பின் மாடுலஸை விட அதிகமாக உள்ளது. ஒரு பின்னம் சரியாக இருந்தால், அதன் மதிப்பின் மாடுலஸ் எப்போதும் 1 ஐ விட குறைவாக இருக்கும். மற்ற அனைத்து பின்னங்களும் தவறு.

பின்னம் அழைக்கப்படுகிறது கலந்தது, முழு எண் மற்றும் பின்னமாக எழுதப்பட்டால். இது இந்த எண் மற்றும் பின்னத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

ஒரு பகுதியின் முக்கிய சொத்து

ஒரு பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை ஒரே எண்ணால் பெருக்கினால், பின்னத்தின் மதிப்பு மாறாது, அதாவது, எடுத்துக்காட்டாக,

பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைத்தல்

இரண்டு பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வர, உங்களுக்கு இது தேவை:

1. முதல் பின்னத்தின் எண்ணை இரண்டின் வகுப்பால் பெருக்கவும்
2. இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணை முதல் பிரிவின் வகுப்பால் பெருக்கவும்
3. இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினையும் அவற்றின் தயாரிப்புடன் மாற்றவும்

பின்னங்கள் கொண்ட செயல்பாடுகள்

கூட்டல்.இரண்டு பின்னங்களைச் சேர்க்க உங்களுக்குத் தேவை

1. இரண்டு பின்னங்களின் புதிய எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும்

உதாரணமாக:

கழித்தல்.ஒரு பகுதியை மற்றொன்றிலிருந்து கழிக்க, உங்களுக்குத் தேவை

1. பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கவும்
2. முதல் பின்னத்தின் எண்கணிதத்திலிருந்து இரண்டாவது எண்ணைக் கழிக்கவும், வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும்

உதாரணமாக:

பெருக்கல்.ஒரு பின்னத்தை மற்றொன்றால் பெருக்க, அவற்றின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை பெருக்கவும்:

பிரிவு.ஒரு பின்னத்தை மற்றொன்றால் வகுக்க, முதல் பின்னத்தின் எண்ணை இரண்டின் வகுப்பால் பெருக்கவும், முதல் பின்னத்தின் வகுப்பை இரண்டின் எண்ணால் பெருக்கவும்: