சீரற்ற மாறி சோதனையின் விளைவாக, முன்னர் அறியப்படாத மதிப்பைப் பெறும் அளவு.

விரிவுரையில் கலந்து கொண்ட மாணவர்களின் எண்ணிக்கை.

நடப்பு மாதத்தில் செயல்படும் வீடுகளின் எண்ணிக்கை.

சுற்றுப்புற வெப்பநிலை.

வெடிக்கும் ஷெல்லின் ஒரு துண்டின் எடை.

சீரற்ற மாறிகள் தனி மற்றும் தொடர்ச்சியானதாக பிரிக்கப்படுகின்றன.

தனித்தனி (தொடர்ந்து) ஒரு ரேண்டம் மாறி என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது தனித்தனி மதிப்புகளை எடுக்கும், ஒருவருக்கொருவர் தனிமைப்படுத்தப்பட்டு, சில நிகழ்தகவுகளுடன்.

தனித்த சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை வரையறுக்கப்பட்டதாகவோ அல்லது எண்ணக்கூடியதாகவோ இருக்கலாம்.

தொடர்ச்சியான சில வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எல்லையற்ற இடைவெளியில் இருந்து எந்த மதிப்பையும் எடுக்கக்கூடிய சீரற்ற மாறி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வெளிப்படையாக, தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை எல்லையற்றது.

கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளில்: 1 மற்றும் 2 தனித்த சீரற்ற மாறிகள், 3 மற்றும் 4 தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகள்.

எதிர்காலத்தில், "ரேண்டம் மாறி" என்ற வார்த்தைகளுக்குப் பதிலாக, நாம் அடிக்கடி c என்ற சுருக்கத்தைப் பயன்படுத்துவோம். வி.

ஒரு விதியாக, சீரற்ற மாறிகள் பெரிய எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படும், மற்றும் அவற்றின் சாத்தியமான மதிப்புகள்- சிறிய.

நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டின் அடிப்படைக் கருத்துகளின் தொகுப்பு-கோட்பாட்டு விளக்கத்தில், சீரற்ற மாறி X என்பது ஒரு அடிப்படை நிகழ்வின் செயல்பாடாகும்: X =φ(ω), இங்கு ω என்பது ஸ்பேஸ் Ω (ω  Ω) க்கு சொந்தமான ஒரு அடிப்படை நிகழ்வாகும். இந்த வழக்கில், c இன் சாத்தியமான மதிப்புகளின் தொகுப்பு Ξ. வி. X செயல்பாடு φ(ω) எடுக்கும் அனைத்து மதிப்புகளையும் கொண்டுள்ளது.

சீரற்ற மாறியின் விநியோக சட்டம் ஒரு சீரற்ற மாறியுடன் தொடர்புடைய அனைத்து வகையான நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கும் ஏதேனும் விதி (அட்டவணை, செயல்பாடு) ஆகும் (உதாரணமாக, அது சில மதிப்பை எடுக்கும் அல்லது சில இடைவெளியில் விழும் நிகழ்தகவு).

சீரற்ற மாறிகளின் விநியோக விதிகளைக் குறிப்பிடுவதற்கான படிவங்கள். விநியோகத் தொடர்.

இது மேல் வரிசையில் உள்ள அட்டவணையாகும், இதில் சீரற்ற மாறி X இன் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளும் ஏறுவரிசையில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன: x 1, x 2, ..., x n, மற்றும் கீழ் வரியில் - இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள்: p 1, p 2, ..., p n, p i = Р(Х = x i ).

நிகழ்வுகள் (X = x 1 ), (X = x 2 ), ... சீரற்றவை மற்றும் ஒரு முழுமையான குழுவை உருவாக்குவதால், விநியோகத் தொடரின் கீழ் வரியில் உள்ள அனைத்து நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம்

விநியோகத் தொடர் என்பது தனித்த சீரற்ற மாறிகளின் விநியோக விதியைக் குறிப்பிடப் பயன்படுகிறது.

விநியோக பலகோணம்

விநியோகத் தொடரின் வரைகலைப் பிரதிநிதித்துவம் ஒரு விநியோகப் பலகோணம் எனப்படும். இது இவ்வாறு கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது: c இன் ஒவ்வொரு சாத்தியமான மதிப்புக்கும். வி. x-அச்சுக்கு செங்குத்தாக மீட்டமைக்கப்பட்டது, அதில் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பு c இன் நிகழ்தகவு திட்டமிடப்பட்டுள்ளது. வி. தெளிவுக்காக (மற்றும் தெளிவுக்காக மட்டுமே!), இதன் விளைவாக வரும் புள்ளிகள் நேரான பிரிவுகளால் இணைக்கப்படுகின்றன.

ஒட்டுமொத்த விநியோக செயல்பாடு (அல்லது வெறுமனே விநியோக செயல்பாடு).

இது ஒரு சார்பு x இன் ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும், ரேண்டம் மாறி  வாதத்தின் மதிப்பை விடக் குறைவாக இருக்கும் நிகழ்தகவுக்கு எண்ணியல் சமமாக இருக்கும்.

விநியோக செயல்பாடு F(x) ஆல் குறிக்கப்படுகிறது: F(x) = P (X  x).

இப்போது நீங்கள் இன்னும் அதிகமாக கொடுக்கலாம் துல்லியமான வரையறைதொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி: ஒரு சீரற்ற மாறி அதன் பரவல் செயல்பாடு ஒரு தொடர்ச்சியான, ஒரு தொடர்ச்சியான வழித்தோன்றலுடன் துண்டு துண்டாக வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடாக இருந்தால், அது தொடர்ச்சி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

விநியோகச் செயல்பாடு என்பது c ஐக் குறிப்பிடுவதற்கான மிகவும் உலகளாவிய வடிவமாகும். v., இது தனித்த மற்றும் தொடர்ச்சியான கள் இரண்டிற்கும் விநியோகச் சட்டங்களைக் குறிப்பிடப் பயன்படுகிறது. வி.

பிரச்சனை 14.பண லாட்டரியில், 1,000,000 ரூபிள் 1 வெற்றி, 100,000 ரூபிள் 10 வெற்றிகள் விளையாடப்படுகின்றன. மற்றும் தலா 1000 ரூபிள் 100 வெற்றிகள். மொத்தம் 10,000 டிக்கெட்டுகளுடன் சீரற்ற வெற்றிகளின் விநியோக சட்டத்தைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்ஒரு லாட்டரி சீட்டின் உரிமையாளருக்கு.

தீர்வு. சாத்தியமான மதிப்புகள் எக்ஸ்: எக்ஸ் 1 = 0; எக்ஸ் 2 = 1000; எக்ஸ் 3 = 100000;

எக்ஸ் 4 = 1000000. அவற்றின் நிகழ்தகவுகள் முறையே சமம்: ஆர் 2 = 0,01; ஆர் 3 = 0,001; ஆர் 4 = 0,0001; ஆர் 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

எனவே, வெற்றிகளின் விநியோக சட்டம் எக்ஸ்பின்வரும் அட்டவணையில் கொடுக்கலாம்:

விநியோக பலகோணத்தை உருவாக்கவும்.

தீர்வு. ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை உருவாக்குவோம், மேலும் அப்சிஸ்ஸா அச்சில் சாத்தியமான மதிப்புகளைத் திட்டமிடுவோம் x நான்,மற்றும் ஆர்டினேட் அச்சில் - தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகள் p i. புள்ளிகளைத் திட்டமிடுவோம் எம் 1 (1;0,2), எம் 2 (3;0,1), எம் 3 (6;0.4) மற்றும் எம் 4 (8;0.3). இந்த புள்ளிகளை நேர்கோட்டு பிரிவுகளுடன் இணைப்பதன் மூலம், நாம் விரும்பிய விநியோக பலகோணத்தைப் பெறுகிறோம்.

§2. சீரற்ற மாறிகளின் எண்ணியல் பண்புகள்

ஒரு சீரற்ற மாறி அதன் விநியோகச் சட்டத்தால் முழுமையாக வகைப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு சீரற்ற மாறியின் சராசரி விளக்கத்தை அதன் எண் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி பெறலாம்

2.1. எதிர்பார்ப்பு. சிதறல்.

ஒரு சீரற்ற மாறி அதற்கேற்ப நிகழ்தகவுகளுடன் மதிப்புகளை எடுக்கட்டும்.

வரையறை. ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு என்பது அதன் அனைத்து சாத்தியமான மதிப்புகளின் தயாரிப்புகள் மற்றும் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்:

.

கணித எதிர்பார்ப்பின் பண்புகள்.

சராசரி மதிப்பைச் சுற்றி ஒரு சீரற்ற மாறியின் சிதறல் சிதறல் மற்றும் நிலையான விலகல் ஆகியவற்றால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது.

ஒரு சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு என்பது அதன் கணித எதிர்பார்ப்பிலிருந்து ஒரு சீரற்ற மாறியின் வர்க்க விலகலின் கணித எதிர்பார்ப்பு ஆகும்:

கணக்கீடுகளுக்கு பின்வரும் சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது

சிதறலின் பண்புகள்.

2., பரஸ்பர சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள் எங்கே.

3. நிலையான விலகல் .

பிரச்சனை 16.ஒரு சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பைக் கண்டறியவும் Z = X+ 2ஒய், சீரற்ற மாறிகளின் கணித எதிர்பார்ப்புகள் தெரிந்தால் எக்ஸ்மற்றும் ஒய்: எம்(எக்ஸ்) = 5, எம்(ஒய்) = 3.

தீர்வு. கணித எதிர்பார்ப்பின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம். பின்னர் நாம் பெறுகிறோம்:

எம்(X+ 2ஒய்)= எம்(எக்ஸ்) + எம்(2ஒய்) = எம்(எக்ஸ்) + 2எம்(ஒய்) = 5 + 2 . 3 = 11.

பிரச்சனை 17.சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு எக்ஸ்சமம் 3. சீரற்ற மாறிகளின் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும்: a) –3 எக்ஸ்; b) 4 எக்ஸ் + 3.

தீர்வு. சிதறலின் 3, 4 மற்றும் 2 பண்புகளைப் பயன்படுத்துவோம். எங்களிடம் உள்ளது:

A) டி(–3எக்ஸ்) = (–3) 2 டி(எக்ஸ்) = 9டி(எக்ஸ்) = 9 . 3 = 27;

b) டி(4X+ 3) = டி(4எக்ஸ்) + டி(3) = 16டி(எக்ஸ்) + 0 = 16 . 3 = 48.

பிரச்சனை 18.ஒரு சுயாதீன சீரற்ற மாறி கொடுக்கப்பட்டது ஒய்- எறியும் போது புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை குறைந்தது பகடை. விநியோக விதி, கணித எதிர்பார்ப்பு, சிதறல் மற்றும் சராசரி ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும் நிலையான விலகல்சீரற்ற மாறி ஒய்.

தீர்வு.சீரற்ற மாறி விநியோக அட்டவணை ஒய்வடிவம் உள்ளது:

ஒய்
ஆர்	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

பிறகு எம்(ஒய்) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3.5;

டி(ஒய்) = (1 – 3.5) 2 1/6 +(2 – 3.5) 2 /6 + (3 – 3.5) 2 1/6 + (4 – 3.5) 2 / 6 +(5 – –3.5) 2 1/6 + (6 - 3.5) 2. 1/6 = 2.917; σ (ஒய்) =Ö 2,917 = 1,708.

பதில்: ஒரு இடைவிடாத சீரற்ற மாறியைக் கவனியுங்கள் எக்ஸ்சாத்தியமான மதிப்புகளுடன். இந்த மதிப்புகள் ஒவ்வொன்றும் சாத்தியம், ஆனால் நிச்சயமாக இல்லை, மற்றும் மதிப்பு எக்ஸ்அவை ஒவ்வொன்றையும் சில நிகழ்தகவுடன் ஏற்றுக்கொள்ளலாம். சோதனையின் விளைவாக, மதிப்பு எக்ஸ்இந்த மதிப்புகளில் ஒன்றை எடுக்கும், அதாவது பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் முழுமையான குழுவில் ஒன்று நிகழும்:

இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை கடிதங்கள் மூலம் குறிப்போம் ஆர்தொடர்புடைய குறியீடுகளுடன்:

அதாவது, பல்வேறு மதிப்புகளின் நிகழ்தகவு விநியோகம் ஒரு விநியோக அட்டவணையால் குறிப்பிடப்படலாம், இதில் கொடுக்கப்பட்ட தனித்த சீரற்ற மாறியால் எடுக்கப்பட்ட அனைத்து மதிப்புகளும் மேல் வரியில் குறிக்கப்படுகின்றன, மேலும் தொடர்புடைய மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள் கீழ் வரியில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன. பொருந்தாத நிகழ்வுகள் (3.1) ஒரு முழுமையான குழுவை உருவாக்குவதால், , அதாவது, சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம். தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் நிகழ்தகவு விநியோகத்தை அட்டவணையின் வடிவத்தில் வழங்க முடியாது, ஏனெனில் அத்தகைய சீரற்ற மாறிகளின் மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில் கூட எல்லையற்றது. மேலும், எந்தவொரு குறிப்பிட்ட மதிப்பையும் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு பூஜ்ஜியமாகும். இந்த பரவலைக் குறிப்பிட்டால், ஒரு சீரற்ற மாறி ஒரு நிகழ்தகவுக் கண்ணோட்டத்தில் முழுமையாக விவரிக்கப்படும், அதாவது, ஒவ்வொரு நிகழ்வுக்கும் என்ன நிகழ்தகவு உள்ளது என்பதைக் குறிப்பிடுகிறோம். இதனுடன் நாம் ஒரு சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி என்று அழைக்கப்படுவதை நிறுவுவோம். சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதி என்பது ஒரு சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றின் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளுக்கு இடையேயான தொடர்பை நிறுவும் எந்தவொரு உறவாகும். ஒரு சீரற்ற மாறியைப் பற்றி நாம் கூறுவோம், அது கொடுக்கப்பட்ட விநியோகச் சட்டத்திற்கு உட்பட்டது. ஒரு இடைவிடாத சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் சட்டத்தைக் குறிப்பிடக்கூடிய படிவத்தை நிறுவுவோம் எக்ஸ். எளிமையான வடிவம்இந்த சட்டத்தின் வரையறை என்பது சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகள் மற்றும் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளை பட்டியலிடும் அட்டவணையாகும்:

x i	x 1	x 2	× × ×	x n
p i	ப 1	ப 2	× × ×	ப என்

அத்தகைய அட்டவணையை சீரற்ற மாறியின் தொடர் விநியோகம் என்று அழைப்போம் எக்ஸ்.

அரிசி. 3.1

விநியோகத் தொடருக்கு அதிக காட்சித் தோற்றத்தை வழங்க, அவை பெரும்பாலும் அதன் வரைகலை பிரதிநிதித்துவத்தை நாடுகின்றன: சீரற்ற மாறியின் சாத்தியமான மதிப்புகள் அப்சிஸ்ஸா அச்சில் திட்டமிடப்படுகின்றன, மேலும் இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள் ஆர்டினேட் அச்சில் திட்டமிடப்படுகின்றன. தெளிவுக்காக, இதன் விளைவாக வரும் புள்ளிகள் நேரான பிரிவுகளால் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. அத்தகைய உருவம் ஒரு விநியோக பலகோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது (படம் 3.1). விநியோக பலகோணம், விநியோகத் தொடர்கள், சீரற்ற மாறியை முழுமையாக வகைப்படுத்துகிறது. இது விநியோக சட்டத்தின் வடிவங்களில் ஒன்றாகும். சில நேரங்களில் விநியோகத் தொடரின் "மெக்கானிக்கல்" விளக்கம் என்று அழைக்கப்படுவது வசதியானது. ஒற்றுமைக்கு சமமான ஒரு குறிப்பிட்ட நிறை abscissa அச்சில் விநியோகிக்கப்படுகிறது என்று கற்பனை செய்வோம். nவெகுஜனங்கள் முறையே தனிப்பட்ட புள்ளிகளில் குவிந்துள்ளன . பின்னர் விநியோகத் தொடர் என்பது அப்சிஸ்ஸா அச்சில் அமைந்துள்ள சில வெகுஜனங்களைக் கொண்ட பொருள் புள்ளிகளின் அமைப்பாக விளக்கப்படுகிறது.

அனுபவம் என்பது சில நிபந்தனைகள் மற்றும் செயல்களை செயல்படுத்துவது, அதன் கீழ் சீரற்ற நிகழ்வு ஆய்வு செய்யப்படுகிறது. சோதனைகள் தரம் மற்றும் அளவு வகைப்படுத்தப்படும். ஒரு சீரற்ற அளவு என்பது, சோதனையின் விளைவாக, ஒன்று அல்லது மற்றொரு மதிப்பைப் பெறக்கூடிய ஒரு அளவு, மேலும் எது என்பது முன்கூட்டியே தெரியவில்லை.

சீரற்ற மாறிகள் பொதுவாக குறிக்கப்படுகின்றன (X,Y,Z), மற்றும் தொடர்புடைய மதிப்புகள் (x,y,z)

டிஸ்கிரீட் என்பது சீரற்ற மாறிகள் ஆகும், அவை தனித்தனி மதிப்புகளை ஒருவருக்கொருவர் தனிமைப்படுத்துகின்றன, அவை மிகைப்படுத்தப்படலாம். தொடர்ச்சியான அளவுகள்சாத்தியமான மதிப்புகள் ஒரு குறிப்பிட்ட வரம்பைத் தொடர்ந்து நிரப்புகின்றன. சீரற்ற மாறிகளின் விநியோக விதி என்பது சீரற்ற மாறிகளின் சாத்தியமான மதிப்புகள் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகளுக்கு இடையே ஒரு தொடர்பை நிறுவும் எந்தவொரு உறவாகும். விநியோக வரிசை மற்றும் பலகோணம். தனித்த அளவின் விநியோகச் சட்டத்தின் எளிமையான வடிவம் ஒரு விநியோகத் தொடர் ஆகும். விநியோகத் தொடரின் வரைகலை விளக்கம் என்பது பரவல் பலகோணம் ஆகும்.

Otvety.Online என்ற அறிவியல் தேடுபொறியிலும் நீங்கள் ஆர்வமுள்ள தகவலைக் காணலாம். தேடல் படிவத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

தலைப்பில் மேலும் 13. தனித்த சீரற்ற மாறி. விநியோக பலகோணம். சீரற்ற மாறிகள் கொண்ட செயல்பாடுகள், எடுத்துக்காட்டு:

1. 13. தனித்த சீரற்ற மாறி மற்றும் அதன் விநியோக விதி. விநியோக பலகோணம். சீரற்ற மாறிகள் கொண்ட செயல்பாடுகள். உதாரணம்.
2. "சீரற்ற மாறி" கருத்து மற்றும் அதன் விளக்கம். தனித்த சீரற்ற மாறி மற்றும் அதன் விதி (தொடர்) விநியோகம். சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள். எடுத்துக்காட்டுகள்.
3. 14. சீரற்ற மாறிகள், அவற்றின் வகைகள். தனித்த சீரற்ற மாறியின் (DRV) நிகழ்தகவு விநியோக விதி. சீரற்ற மாறிகளை (SV) உருவாக்குவதற்கான முறைகள்.
4. 16. தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் சட்டம். தனித்த சீரற்ற மாறியின் எண்ணியல் பண்புகள்: கணித எதிர்பார்ப்பு, சிதறல் மற்றும் நிலையான விலகல்.
5. தனித்த சீரற்ற மாறிகள் மீதான கணிதச் செயல்பாடுகள் மற்றும் KX, X"1, X + K, XV ஆகியவற்றுக்கான விநியோகச் சட்டங்களை உருவாக்குவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள், சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளான X மற்றும் Y ஆகியவற்றின் கொடுக்கப்பட்ட விநியோகங்களின் அடிப்படையில்.
6. ஒரு சீரற்ற மாறியின் கருத்து. தனித்துவமான வழக்குகளின் விநியோக சட்டம். அளவுகள். சீரற்ற கணித செயல்பாடுகள். அளவுகள்.

2.1 தொடர்புடைய அதிர்வெண். தொடர்புடைய அதிர்வெண் நிலைத்தன்மை

2.2 நிகழ்தகவின் கிளாசிக்கல் வரையறையின் வரம்புகள். புள்ளியியல் நிகழ்தகவு

2.3 வடிவியல் நிகழ்தகவுகள்

2.4 நிகழ்தகவு கூட்டல் தேற்றம்

2.5 நிகழ்வுகளின் முழுமையான குழு

2.6 எதிர் நிகழ்வுகள்

2.7 சாத்தியமில்லாத நிகழ்வுகளின் நடைமுறை சாத்தியமற்ற கொள்கை

2.8 நிகழ்வுகளை உருவாக்குதல். நிபந்தனை நிகழ்தகவு

2.9 நிகழ்தகவு பெருக்கல் தேற்றம்

2.10 சுயாதீன நிகழ்வுகள். சுயாதீன நிகழ்வுகளுக்கான பெருக்கல் தேற்றம்

2.10 குறைந்தது ஒரு நிகழ்வு நிகழும் நிகழ்தகவு

விரிவுரை எண். 3 கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் தேற்றங்களின் தொடர்புகள்

3.1 கூட்டு நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைச் சேர்ப்பதற்கான தேற்றம்

3.2 மொத்த நிகழ்தகவு சூத்திரம்

3.3 கருதுகோள்களின் நிகழ்தகவு. பேய்ஸ் சூத்திரங்கள்

4. சோதனைகள் மீண்டும்

4.1 பெர்னோலியின் சூத்திரம்

4.2 பெர்னோலியின் திட்டத்தில் உள்ள தேற்றங்களை வரம்பிடவும்

4.3 Moivre-Laplace இன் உள்ளூர் மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கோட்பாடுகள்

4.3 சுயாதீன சோதனைகளில் நிலையான நிகழ்தகவு இருந்து உறவினர் அதிர்வெண் விலகல் நிகழ்தகவு

5. ரேண்டம் மாறிகள்

5.1 ஒரு சீரற்ற மாறியின் கருத்து. சீரற்ற மாறியின் விநியோக சட்டம்

5.2 தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் சட்டம். விநியோக பலகோணம்

5.3 இருவகைப் பரவல்

5.4 விஷம் விநியோகம்

5.5 வடிவியல் விநியோகம்

5.6 ஹைபர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகம்

6. தனித்த சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு

6.1 தனித்த சீரற்ற மாறிகளின் எண்ணியல் பண்புகள்

6.2 தனித்த சீரற்ற மாறியின் எதிர்பார்ப்பு

6.3 கணித எதிர்பார்ப்பின் நிகழ்தகவு பொருள்

6.4 கணித எதிர்பார்ப்பின் பண்புகள்

6.5 சுயாதீன சோதனைகளில் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையின் கணித எதிர்பார்ப்பு

7. ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் சிதறல்

7.1. ஒரு சீரற்ற மாறியின் சிதறலின் எண்ணியல் பண்புகளை அறிமுகப்படுத்துவதற்கான சாத்தியம்

7.2 ஒரு சீரற்ற மாறி அதன் கணித எதிர்பார்ப்பில் இருந்து விலகல்

7.3 தனித்த சீரற்ற மாறியின் மாறுபாடு

7.4 மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம்

7.5 சிதறல் பண்புகள்

7.6 சுயாதீன சோதனைகளில் ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கையின் மாறுபாடு

7.7. நிலையான விலகல்

7.8 பரஸ்பர சுயாதீன சீரற்ற மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிலையான விலகல்

7.9 பரஸ்பர சுயாதீன சீரற்ற மாறிகள் ஒரே மாதிரியாக விநியோகிக்கப்படுகின்றன

7.10. ஆரம்ப மற்றும் மைய கோட்பாட்டு புள்ளிகள்

8. பெரிய எண்களின் சட்டம்

8.1 பூர்வாங்க குறிப்புகள்

8.2 செபிஷேவின் சமத்துவமின்மை

8.3 செபிஷேவின் தேற்றம்

8.4 செபிஷேவின் தேற்றத்தின் சாராம்சம்

8.5 பயிற்சிக்கான செபிஷேவின் தேற்றத்தின் முக்கியத்துவம்

8.6 பெர்னோலியின் தேற்றம்

ஒரு சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு பரவல் செயல்பாடு

9.1 விநியோக செயல்பாட்டின் வரையறை

9.2 விநியோக செயல்பாட்டின் பண்புகள்

9.3 விநியோக செயல்பாடு வரைபடம்

10. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு அடர்த்தி

10.1 விநியோக அடர்த்தியை தீர்மானித்தல்

10.2 கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறியின் நிகழ்தகவு

10.3 சீரான நிகழ்தகவு விநியோக சட்டம்

11. சாதாரண விநியோகம்

11.1. தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறிகளின் எண் பண்புகள்

11.2. இயல்பான விநியோகம்

11.3. சாதாரண வளைவு

11.4 சாதாரண வளைவின் வடிவத்தில் சாதாரண விநியோக அளவுருக்களின் செல்வாக்கு

11.5 ஒரு சாதாரண சீரற்ற மாறியின் கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் விழுவதற்கான நிகழ்தகவு

11.6. கொடுக்கப்பட்ட விலகலின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுகிறது

11.7. மூன்று சிக்மா விதி

11.8 லியாபுனோவின் தேற்றத்தின் கருத்து. மத்திய வரம்பு தேற்றத்தின் அறிக்கை

11.9 சாதாரண ஒன்றிலிருந்து கோட்பாட்டு விநியோகத்தின் விலகல் மதிப்பீடு. வளைவு மற்றும் குர்டோசிஸ்

11.10. ஒரு சீரற்ற வாதத்தின் செயல்பாடு மற்றும் அதன் விநியோகம்

11.11. ஒரு சீரற்ற வாதத்தின் செயல்பாட்டின் கணித எதிர்பார்ப்பு

11.12. இரண்டு சீரற்ற வாதங்களின் செயல்பாடு. சுயாதீன விதிமுறைகளின் கூட்டுத்தொகையின் விநியோகம். சாதாரண விநியோகத்தின் நிலைத்தன்மை

11.13. சி சதுர விநியோகம்

11.14. மாணவர் விநியோகம்

11.15 பிஷ்ஷர்-ஸ்னெடகோர் எஃப் விநியோகம்

12. அதிவேக விநியோகம்

12.1. அதிவேக விநியோகத்தின் வரையறை

12.2 அதிவேகமாக விநியோகிக்கப்படும் சீரற்ற மாறியின் கொடுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் விழுவதற்கான நிகழ்தகவு

§ 3. அதிவேக விநியோகத்தின் எண் பண்புகள்

12.4 நம்பகத்தன்மை செயல்பாடு

12.5 அதிவேக நம்பகத்தன்மை சட்டம்

12.6 அதிவேக நம்பகத்தன்மை சட்டத்தின் சிறப்பியல்பு சொத்து

5.2 தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் சட்டம். விநியோக பலகோணம்

முதல் பார்வையில், ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறியை வரையறுக்க, அதன் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளையும் பட்டியலிட்டால் போதும். உண்மையில், இது அவ்வாறு இல்லை: சீரற்ற மாறிகள் சாத்தியமான மதிப்புகளின் அதே பட்டியல்களைக் கொண்டிருக்கலாம், ஆனால் அவற்றின் நிகழ்தகவுகள் வேறுபட்டிருக்கலாம். எனவே, ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறியைக் குறிப்பிட, அதன் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளையும் பட்டியலிடுவது போதாது;

ஒரு தனித்த சீரற்ற மாறியின் விநியோக சட்டம்சாத்தியமான மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றின் நிகழ்தகவுகளுக்கு இடையிலான கடிதத்தை அழைக்கவும்; அதை அட்டவணையாகவும், பகுப்பாய்வு ரீதியாகவும் (சூத்திர வடிவில்) மற்றும் வரைபட ரீதியாகவும் குறிப்பிடலாம்.

வரையறை.தன்னிச்சையான நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கும் எந்த விதியும் (அட்டவணை, செயல்பாடு, வரைபடம்) ஏ எஸ் (எஸ்- -விண்வெளியில் நிகழ்வுகளின் இயற்கணிதம் ), குறிப்பாக, ஒரு சீரற்ற மாறி அல்லது இந்த மதிப்புகளின் தொகுப்பின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகளைக் குறிக்கிறது. சீரற்ற மாறி விநியோக சட்டம்(அல்லது வெறுமனே: விநியோகம்) பற்றி எஸ்.வி. "இது கொடுக்கப்பட்ட விநியோக சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது" என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள்.

விடுங்கள் எக்ஸ்- டி.எஸ்.வி., இது மதிப்புகளை எடுக்கும் எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , …, x n,... (இந்த மதிப்புகளின் தொகுப்பு வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது கணக்கிடக்கூடியது) சில நிகழ்தகவுடன் ப i, எங்கே i = 1,2,…, n,... விநியோக சட்டம் d.s.v. சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அமைக்க வசதியானது ப i = பி{எக்ஸ் = x i)எங்கே i = 1,2,…, n,..., இது நிகழ்தகவை தீர்மானிக்கிறது சோதனையின் விளைவாக r.v. எக்ஸ்மதிப்பை எடுக்கும் x i. டி.எஸ்.விக்கு எக்ஸ்விநியோக சட்டத்தை வடிவத்தில் கொடுக்கலாம் விநியோக அட்டவணைகள்:

				x n
				ஆர் n

ஒரு அட்டவணையில் ஒரு தனித்துவமான சீரற்ற மாறியின் விநியோகச் சட்டத்தைக் குறிப்பிடும்போது, ​​அட்டவணையின் முதல் வரிசையில் சாத்தியமான மதிப்புகள் உள்ளன, இரண்டாவது - அவற்றின் நிகழ்தகவுகள். அத்தகைய அட்டவணை அழைக்கப்படுகிறது விநியோகத்திற்கு அருகில்.

ஒரு சோதனையில் சீரற்ற மாறி ஒரே ஒரு சாத்தியமான மதிப்பை மட்டுமே எடுக்கும் என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, நிகழ்வுகள் என்று முடிவு செய்கிறோம் எக்ஸ் = x 1 , எக்ஸ் = x 2 , ..., எக்ஸ் = x nஒரு முழுமையான குழுவை உருவாக்குங்கள்; எனவே, இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை, அதாவது. அட்டவணையின் இரண்டாவது வரிசையின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம், அதாவது .

சாத்தியமான மதிப்புகளின் தொகுப்பு என்றால் எக்ஸ்முடிவில்லாத (கணக்கிடத்தக்க வகையில்), பின்னர் தொடர் ஆர் 1 + ஆர் 2 + ... ஒன்றிணைகிறது மற்றும் அதன் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம்.

உதாரணம்.ரொக்க லாட்டரிக்கு 100 டிக்கெட்டுகள் வழங்கப்பட்டுள்ளன. 50 ரூபிள் ஒரு வெற்றி வரையப்பட்டது. மற்றும் 1 ரூப் பத்து வெற்றிகள். சீரற்ற மாறியின் விநியோக விதியைக் கண்டறியவும் எக்ஸ்- ஒரு லாட்டரி சீட்டின் உரிமையாளருக்கு சாத்தியமான வெற்றிகளின் விலை.

தீர்வு.சாத்தியமான மதிப்புகளை எழுதுவோம் எக்ஸ்: எக்ஸ் 1 = 50, எக்ஸ் 2 = 1, எக்ஸ் 3 = 0. இந்த சாத்தியமான மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள்: ஆர் 1 = 0,01, ஆர் 2 = 0,01, ஆர் 3 = 1 – (ஆர் 1 + ஆர் 2)=0,89.

தேவையான விநியோகச் சட்டத்தை எழுதுவோம்:

கட்டுப்பாடு: 0.01 + 0.1 + 0.89 =1.

உதாரணம்.கலசத்தில் 8 பந்துகள் உள்ளன, அவற்றில் 5 வெள்ளை, மீதமுள்ளவை கருப்பு. அதிலிருந்து 3 பந்துகள் சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்படுகின்றன. மாதிரியில் உள்ள வெள்ளை பந்துகளின் எண்ணிக்கையின் விநியோக விதியைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. r.v இன் சாத்தியமான மதிப்புகள் எக்ஸ்- மாதிரியில் வெள்ளை பந்துகளின் எண்ணிக்கை உள்ளது எக்ஸ் 1 = 0, எக்ஸ் 2 = 1, எக்ஸ் 3 = 2, எக்ஸ் 4 = 3. அவற்றின் நிகழ்தகவுகள் அதற்கேற்ப இருக்கும்

;
;
.

விநியோகச் சட்டத்தை அட்டவணை வடிவில் எழுதுவோம்.

கட்டுப்பாடு:
.

விநியோக சட்டம் d.s.v. r.v இன் சாத்தியமான மதிப்புகள் abscissa அச்சில் வரையப்பட்டிருந்தால், இந்த மதிப்புகளின் நிகழ்தகவுகள் ஆர்டினேட் அச்சில் திட்டமிடப்பட்டிருந்தால், வரைபடமாக குறிப்பிடலாம். ஒரு உடைந்த கோடு அடுத்தடுத்து புள்ளிகளை இணைக்கிறது ( எக்ஸ் 1 , ஆர் 1), (எக்ஸ் 2 , ஆர் 2),... அழைக்கப்பட்டது பலகோணம்(அல்லது பலகோணம்) விநியோகம்(படம் 5.1 ஐப் பார்க்கவும்).

அரிசி. 5.1 விநியோக பலகோணம்

இப்போது நாம் d.s.v க்கு இன்னும் துல்லியமான வரையறை கொடுக்கலாம்.

வரையறை.சீரற்ற மாறி X என்பது தனித்தன்மை வாய்ந்தது, வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எண்ணக்கூடிய எண்களின் தொகுப்பு இருந்தால் எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2, ... அப்படி பி{எக்ஸ் = x i } = ப i > 0 (i= 1,2,...) மற்றும் ப 1 + ப 2 + ஆர் 3 +… = 1.

தனித்த r.v இல் கணித செயல்பாடுகளை வரையறுப்போம்.

வரையறை.தொகை (வேறுபாடு, வேலை) டி.எஸ்.வி. எக்ஸ், மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது x iநிகழ்தகவுகளுடன் ப i = பி{எக்ஸ் = x i }, i = 1, 2, …, n, மற்றும் டி.எஸ்.வி. ஒய், மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது ஒய் ஜே நிகழ்தகவுகளுடன் ப ஜே = பி{ஒய் = ஒய் ஜே }, ஜே = 1, 2, …, மீ, d.s.v என்று அழைக்கப்படுகிறது. Z = எக்ஸ் + ஒய் (Z = எக்ஸ் – ஒய், Z = எக்ஸ் ஒய்), மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது z ij = x i + ஒய் ஜே (z ij = x i – ஒய் ஜே , z ij = x i  ஒய் ஜே) நிகழ்தகவுகளுடன் ப ij = பி{எக்ஸ் = x i , ஒய் = ஒய் ஜே) அனைத்து குறிப்பிட்ட மதிப்புகளுக்கும் iமற்றும் ஜே. சில அளவுகள் ஒத்துப்போனால் x i + ஒய் ஜே (வேறுபாடுகள் x i – ஒய் ஜே, வேலை செய்கிறது x i  ஒய் ஜே) தொடர்புடைய நிகழ்தகவுகள் சேர்க்கப்படுகின்றன.

வரையறை.வேலைடி.எஸ்.வி. அன்று எண் கள்டி.எஸ்.வி. cX, மதிப்புகளை எடுத்துக்கொள்வது உடன்x iநிகழ்தகவுகளுடன் ப i = பி{எக்ஸ் = x i }.

வரையறை.இரண்டு டி.எஸ்.வி. எக்ஸ்மற்றும் ஒய்அழைக்கப்படுகின்றன சுதந்திரமான, நிகழ்வுகள் என்றால் ( எக்ஸ் = x i } = ஏ iமற்றும் ( ஒய் = ஒய் ஜே } = பி ஜேஎதற்கும் சுதந்திரமானது i = 1, 2, …, n, ஜே = 1, 2, …, மீ, அதாவது

இல்லையெனில் ஆர்.வி. அழைக்கப்பட்டது சார்ந்து. பல ஆர்.வி. அவற்றில் ஏதேனும் ஒன்றின் விநியோகச் சட்டம் மற்ற அளவுகள் என்ன சாத்தியமான மதிப்புகளை எடுத்தது என்பதைப் பொறுத்து இல்லை என்றால், அவை பரஸ்பர சுதந்திரம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் பல விநியோகச் சட்டங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.