Ang teorya ng queuing ay isa sa mga sangay ng probability theory. Isinasaalang-alang ng teoryang ito probabilistiko mga gawain at mga modelo ng matematika(bago namin isinasaalang-alang ang mga deterministikong modelo ng matematika). Paalalahanan ka namin na:
Deterministikong modelo ng matematika sumasalamin sa pag-uugali ng isang bagay (sistema, proseso) mula sa pananaw ganap na katiyakan sa kasalukuyan at sa hinaharap.
Probabilistikong modelo ng matematika isinasaalang-alang ang impluwensya ng mga random na kadahilanan sa pag-uugali ng isang bagay (sistema, proseso) at, samakatuwid, sinusuri ang hinaharap mula sa pananaw ng posibilidad ng ilang mga kaganapan.
Yung. dito, bilang, halimbawa, sa teorya ng laro ang mga problema ay isinasaalang-alang sa mga kondisyonkawalan ng katiyakan.
Isaalang-alang muna natin ang ilang mga konsepto na nagpapakilala sa "stochastic na kawalan ng katiyakan," kapag ang hindi tiyak na mga kadahilanan na kasama sa problema ay mga random na variable (o mga random na pag-andar), ang mga probabilistikong katangian kung saan ay kilala o maaaring makuha mula sa karanasan. Ang ganitong kawalan ng katiyakan ay tinatawag ding "kanais-nais", "benign".
Ang konsepto ng isang random na proseso
Sa mahigpit na pagsasalita, ang mga random na kaguluhan ay likas sa anumang proseso. Mas madaling magbigay ng mga halimbawa ng random na proseso kaysa sa "hindi random" na proseso. Kahit na, halimbawa, ang proseso ng pagpapatakbo ng isang orasan (tila ito ay isang mahigpit na naka-calibrate na gawain - "gumagana tulad ng isang orasan") ay napapailalim sa mga random na pagbabago (pag-usad, pagkahuli, paghinto). Ngunit hangga't ang mga kaguluhang ito ay hindi gaanong mahalaga at may maliit na epekto sa mga parameter ng interes sa atin, maaari nating pabayaan ang mga ito at isaalang-alang ang proseso bilang deterministiko, hindi random.
Magkaroon ng ilang sistema S(teknikal na aparato, pangkat ng naturang mga aparato, teknolohikal na sistema - makina, site, pagawaan, negosyo, industriya, atbp.). Sa sistema S pagtagas random na proseso, kung binago nito ang estado nito sa paglipas ng panahon (pumasa mula sa isang estado patungo sa isa pa), bukod pa rito, sa isang hindi kilalang random na paraan noon.
Mga halimbawa: 1. Sistema S– teknolohikal na sistema (seksyon ng makina). Ang mga makina ay nasisira paminsan-minsan at inaayos. Ang prosesong nagaganap sa sistemang ito ay random.
2. Sistema S- isang sasakyang panghimpapawid na lumilipad sa isang partikular na taas kasama ang isang tiyak na ruta. Mga salik na nakakagambala - lagay ng panahon, mga pagkakamali ng crew, atbp., mga kahihinatnan - pagkabigo, paglabag sa iskedyul ng flight, atbp.
Markov random na proseso
Ang isang random na proseso na nagaganap sa isang sistema ay tinatawag Markovsky, kung sa anumang sandali ng oras t 0 probabilistikong katangian ng isang proseso sa hinaharap ay nakadepende lamang sa estado nito sa kasalukuyan t 0 at hindi nakadepende sa kung kailan at paano naabot ng system ang estadong ito.
Hayaang ang system ay nasa isang tiyak na estado sa sandaling ito t 0 S 0 . Alam natin ang mga katangian ng estado ng sistema sa kasalukuyan, lahat ng nangyari noong t<t 0 (kasaysayan ng proseso). Maaari ba nating hulaan (hulaan) ang hinaharap, i.e. ano ang mangyayari kapag t>t 0 ? Hindi eksakto, ngunit ang ilang mga probabilistikong katangian ng proseso ay matatagpuan sa hinaharap. Halimbawa, ang posibilidad na pagkatapos ng ilang oras ang sistema S maaari S 1 o mananatili sa estado S 0, atbp.
Halimbawa. Sistema S- isang pangkat ng mga sasakyang panghimpapawid na nakikilahok sa labanan sa himpapawid. Hayaan x- bilang ng mga "pula" na eroplano, y– bilang ng "asul" na sasakyang panghimpapawid. Sa pagdating ng oras t 0 bilang ng nakaligtas (hindi binaril) na sasakyang panghimpapawid, ayon sa pagkakabanggit – x 0 ,y 0 . Kami ay interesado sa posibilidad na sa sandali ng oras ang numerical superiority ay nasa gilid ng "mga pula". Ang posibilidad na ito ay depende sa kung anong estado ang sistema noong panahong iyon t 0, at hindi sa kung kailan at sa anong pagkakasunod-sunod na namatay ang mga binaril hanggang sa sandaling ito t 0 eroplano.
Sa pagsasagawa, si Markov ay nagpoproseso sa purong anyo karaniwang hindi nahanap. Ngunit may mga proseso kung saan ang impluwensya ng "prehistory" ay maaaring mapabayaan. At kapag pinag-aaralan ang mga naturang proseso, maaaring gamitin ang mga modelo ng Markov (ang teorya ng queuing ay hindi isinasaalang-alang ang mga sistema ng pagpila ng Markov, ngunit ang mathematical apparatus na naglalarawan sa kanila ay mas kumplikado).
Sa operations research pinakamahalaga magkaroon ng mga random na proseso ng Markov na may mga discrete na estado at tuluy-tuloy na oras.
Ang proseso ay tinatawag discrete na proseso ng estado, kung posible ang mga estado nito S 1 ,S 2, ... ay maaaring matukoy nang maaga, at ang paglipat ng sistema mula sa estado patungo sa estado ay nangyayari "sa isang pagtalon," halos kaagad.
Ang proseso ay tinatawag tuloy-tuloy na proseso ng oras, kung ang mga sandali ng posibleng paglipat mula sa estado patungo sa estado ay hindi naayos nang maaga, ngunit hindi tiyak, random at maaaring mangyari anumang sandali.
Halimbawa. Teknolohikal na sistema (seksyon) S ay binubuo ng dalawang makina, ang bawat isa ay random na sandali ang oras ay maaaring mabigo (mabigo), pagkatapos kung saan ang pag-aayos ng yunit ay agad na nagsisimula, na nagpapatuloy din para sa isang hindi kilalang, random na oras. Posible ang mga sumusunod na estado ng system:
S 0 - gumagana ang parehong mga makina;
S 1 - ang unang makina ay inaayos, ang pangalawa ay gumagana;
S 2 - ang pangalawang makina ay inaayos, ang una ay gumagana;
S 3 - ang parehong mga makina ay inaayos.
Mga paglipat ng system S mula sa estado hanggang sa estado ay nangyayari halos kaagad, sa mga random na sandali kapag ang isang partikular na makina ay nabigo o ang isang pagkumpuni ay nakumpleto.
Kapag sinusuri ang mga random na proseso na may mga discrete na estado, maginhawang gumamit ng geometric scheme - graph ng estado. Ang mga vertex ng graph ay ang mga estado ng system. Mga graph arc – posibleng mga paglipat mula sa estado hanggang
Fig.1. Grap ng estado ng system
estado. Para sa aming halimbawa, ang graph ng estado ay ipinapakita sa Fig. 1.
Tandaan. Paglipat mula sa estado S 0 in S 3 ay hindi ipinahiwatig sa figure, dahil ipinapalagay na ang mga makina ay nabigo nang nakapag-iisa sa isa't isa. Pinapabayaan namin ang posibilidad ng sabay-sabay na pagkabigo ng parehong mga makina.
Ang ebolusyon kung saan pagkatapos ng anumang ibinigay na halaga ng parameter ng oras t (\displaystyle t) ay hindi nakasalalay sa ebolusyon na nauna t (\displaystyle t), sa kondisyon na ang halaga ng proseso sa sandaling ito ay naayos (“ang kinabukasan” ng proseso ay hindi nakasalalay sa “nakaraan” na may kilalang “kasalukuyan”; isa pang interpretasyon (Wentzel): ang “hinaharap” ng proseso ay nakasalalay sa "nakaraan" lamang sa pamamagitan ng "kasalukuyan").
Encyclopedic YouTube
1 / 3
Lecture 15: Markov random na mga proseso
Pinagmulan ng mga kadena ng Markov
Pangkalahatang modelo ng proseso ng Markov
Mga subtitle
Kwento
Ang ari-arian na tumutukoy sa proseso ng Markov ay karaniwang tinatawag na Markovian; ito ay unang binuo ni A. A. Markov, na, sa mga gawa noong 1907, ay nagpasimula ng pag-aaral ng mga pagkakasunud-sunod ng mga dependent na pagsusulit at ang mga kabuuan na nauugnay sa kanila. mga random na variable. Ang linya ng pananaliksik na ito ay kilala bilang Markov chain theory.
Ang mga pundasyon ng pangkalahatang teorya ng tuluy-tuloy na mga proseso ng Markov ay inilatag ni Kolmogorov.
ari-arian ni Markov
Pangkalahatang kaso
Hayaan (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P)))- probabilistic space na may pagsala (F t , t ∈ T) (\displaystyle ((\mathcal (F))_(t),\ t\in T)) higit sa ilang (bahagyang inayos) set T (\displaystyle T); bumitaw (S , S) (\displaystyle (S,(\mathcal (S))))- nasusukat na espasyo. Random na proseso X = (X t , t ∈ T) (\displaystyle X=(X_(t),\ t\in T)), na tinukoy sa na-filter na espasyo ng posibilidad, ay itinuturing na masiyahan ari-arian ni Markov, kung para sa bawat isa A ∈ S (\displaystyle A\in (\mathcal (S))) At s, t ∈ T: s<
t
{\displaystyle s,t\in T:s
proseso ni Markov ay isang random na proseso na nagbibigay-kasiyahan ari-arian ni Markov na may natural na pagsasala.
Para sa discrete-time Markov chain
Kung S (\displaystyle S) ay isang discrete set at T = N (\displaystyle T=\mathbb (N) ), ang kahulugan ay maaaring reformulated:
P (X n = x n | X n − 1 = x n − 1 , X n − 2 = x n − 2 , … , X 0 = x 0) = P (X n = x n | X n − 1 = x n − 1) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1),X_(n-2)=x_(n-2),\dots , X_(0)=x_(0))=\mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1))).Halimbawa ng proseso ng Markov
Isaalang-alang natin ang isang simpleng halimbawa ng isang random na proseso ng Markov. Ang isang punto ay gumagalaw nang random sa kahabaan ng abscissa axis. Sa oras na zero, ang punto ay nasa pinanggalingan at nananatili doon nang isang segundo. Pagkatapos ng isang segundo, ang isang barya ay itinapon - kung ang coat of arms ay bumaba, pagkatapos ay ang point X ay gumagalaw ng isang yunit ng haba sa kanan, kung ang numero - sa kaliwa. Pagkalipas ng isang segundo, ang barya ay ihahagis muli at ang parehong random na paggalaw ay ginawa, at iba pa. Ang proseso ng pagbabago ng posisyon ng isang punto ("paglalakad") ay isang random na proseso na may discrete time (t=0, 1, 2, ...) at isang mabibilang na hanay ng mga estado. Ang ganitong random na proseso ay tinatawag na Markov, dahil ang susunod na estado ng punto ay nakasalalay lamang sa kasalukuyang (kasalukuyang) estado at hindi nakasalalay sa mga nakaraang estado (hindi mahalaga kung aling paraan at kung anong oras ang punto ay nakarating sa kasalukuyang coordinate) .
PROSESO NG MARKOV
Proseso nang walang epekto - random na proseso, ang ebolusyon kung saan pagkatapos ng anumang ibinigay na halaga ng parameter ng oras t ay hindi nakadepende sa ebolusyon na nauna rito t, sa kondisyon na ang halaga ng proseso dito ay naayos (sa madaling sabi: ang "hinaharap" at "nakaraan" ng proseso ay hindi nakasalalay sa isa't isa na may kilalang "kasalukuyan").
Ang ari-arian na tumutukoy sa isang magnetic field ay karaniwang tinatawag Markovian; ito ay unang binuo ni A. A. Markov. Gayunpaman, nasa gawain na ni L. Bachelier ang isang pagtatangka na bigyang-kahulugan ang Brownian bilang isang magnetic field, isang pagtatangka na nakatanggap ng katwiran pagkatapos ng pananaliksik ni N. Wiener (N. Wiener, 1923). Ang mga pundasyon ng pangkalahatang teorya ng tuluy-tuloy na mga proseso ng magnetic ay inilatag ni A. N. Kolmogorov.
ari-arian ni Markov. May mga kahulugan ng M. na malaki ang pagkakaiba sa isa't isa Isa sa pinakakaraniwan ay ang mga sumusunod. Hayaang maibigay ang isang random na proseso na may mga halaga mula sa isang nasusukat na espasyo sa isang probability space kung saan T - subset ng totoong axis Let Nt(ayon sa pagkakabanggit Nt).may s-algebra sa
nabuo ng mga dami ng X(s).at
saan
Sa ibang salita, Nt(ayon sa pagkakabanggit Nt) ay isang hanay ng mga kaganapan na nauugnay sa ebolusyon ng proseso hanggang sa sandali t (nagsisimula sa t) .
Proseso X(t).ay tinatawag Ang proseso ng Markov kung (halos tiyak) ang pag-aari ng Markov ay nagtataglay para sa lahat:
o, ano ang pareho, kung para sa alinman
M. p., kung saan ang T ay nakapaloob sa hanay ng mga natural na numero, na tinatawag. kadena ng Markov(gayunpaman, ang huling termino ay kadalasang nauugnay sa kaso ng hindi mabilang na E) .
Kung Ay isang pagitan sa higit sa mabilang, M. ay tinatawag. tuloy-tuloy na oras Markov chain. Ang mga halimbawa ng tuluy-tuloy na mga magnetic na proseso ay ibinibigay ng mga proseso ng diffusion at mga proseso na may mga independiyenteng pagtaas, kabilang ang mga proseso ng Poisson at Wiener.
Sa mga sumusunod, para sa katiyakan, pag-uusapan lang natin ang kaso 
Ang mga pormula (1) at (2) ay nagbibigay ng isang malinaw na interpretasyon ng prinsipyo ng kalayaan ng "nakaraan" at "hinaharap" na ibinigay sa kilalang "kasalukuyan," ngunit ang kahulugan ng M. batay sa mga ito ay naging hindi sapat na kakayahang umangkop sa yaong maraming mga sitwasyon kung kailan kinakailangang isaalang-alang hindi ang isa, ngunit isang hanay ng mga kondisyon ng uri (1) o (2), na tumutugma sa iba't ibang, bagama't napagkasunduan sa isang tiyak na paraan, ang mga pagsasaalang-alang ng ganitong uri ay humantong sa pag-ampon ng ang sumusunod na kahulugan (tingnan,).
Hayaang ibigay ang sumusunod:
a) kung saan ang s-algebra ay naglalaman ng lahat ng singleton set sa E;
b) masusukat na nilagyan ng isang pamilya ng mga s-algebra na kung
V) (" ") x t = xt(w) ,
pagtukoy para sa anumang masusukat na pagmamapa
d) para sa bawat isa at isang sukatan ng probabilidad sa s-algebra upang ang function 
masusukat na may kaugnayan sa kung at
Set ng mga pangalan (hindi pagwawakas) Ang proseso ng Markov ay tinukoy sa kung -halos tiyak
anuman ang naririto - ang espasyo ng elementarya na mga kaganapan, - phase space o state space, P( s, x, t, V)- function ng paglipat o ang posibilidad ng paglipat ng proseso X(t) .
Kung ang E ay pinagkalooban ng topology, at isang koleksyon ng mga Borel set in E, pagkatapos ay kaugalian na sabihin na ang M. p E. Karaniwan, ang kahulugan ng M. p ay kasama ang pangangailangan na at pagkatapos ay bigyang-kahulugan bilang isang posibilidad, sa kondisyon na x s = x.
Ang tanong ay lumitaw: ang bawat Markov transition function P( s, x;t, V),
na ibinigay sa isang nasusukat na espasyo ay maaaring ituring bilang isang transition function ng isang tiyak na M. Ang sagot ay positibo kung, halimbawa, ang E ay isang mapaghihiwalay na lokal na compact na espasyo, at isang koleksyon ng mga Borel set sa. E. Bukod dito, hayaan E - buong sukatan espasyo at hayaan
para sa sinuman kung saan a ay ang pandagdag ng e-kapitbahayan ng isang punto X. Kung gayon ang kaukulang magnetic field ay maaaring ituring na tuloy-tuloy sa kanan at may mga limitasyon sa kaliwa (iyon ay, ang mga tilapon nito ay maaaring mapili nang ganoon). Ang pagkakaroon ng tuluy-tuloy na magnetic field ay sinisiguro ng kondisyon sa (tingnan, ). Sa teorya ng mga mekanikal na proseso, ang pangunahing pansin ay binabayaran sa mga proseso na homogenous (sa oras). Ipinapalagay ng kaukulang kahulugan ang isang ibinigay na sistema mga bagay a) - d) na may pagkakaiba na para sa mga parameter na s at u na lumitaw sa paglalarawan nito, tanging ang halaga na 0 ang pinapayagan na Ang notasyon ay pinasimple din:
Dagdag pa, ang homogeneity ng space W ay postulated, ibig sabihin, kinakailangan na para sa anuman 
nagkaroon ng ganyan 
(w) na may Dahil dito sa s-algebra N, ang pinakamaliit na s-algebra sa W na naglalaman ng anumang kaganapan ng form 
tinukoy ang mga operator ng time shift q t, na nagpapanatili ng mga operasyon ng unyon, intersection at pagbabawas ng mga set at kung saan
Set ng mga pangalan (hindi nagwawakas) homogenous na proseso ng Markov na tinukoy sa kung -halos tiyak
para sa Transition function ng proseso X(t).ay itinuturing na P( t, x, V), at, maliban kung may mga espesyal na reserbasyon, hinihiling din nila na Ito ay kapaki-pakinabang na tandaan na kapag nilagyan ng tsek (4) sapat na upang isaalang-alang lamang ang mga hanay ng form kung saan 
at na sa (4) palagi Ft maaaring mapalitan ng s-algebra na katumbas ng intersection ng mga pagkumpleto Ft para sa lahat ng posibleng mga panukala Kadalasan, ang isang probability measure m ("initial") ay naayos at isang Markov random function ay isinasaalang-alang 
nasaan ang sukat sa ibinigay ng pagkakapantay-pantay
Tumawag si M. p. progresibong masusukat kung para sa bawat t>0 ang function ay nag-uudyok ng masusukat kung saan ang s-algebra
Borel subsets in . Ang mga tamang tuloy-tuloy na MP ay unti-unting nasusukat. Mayroong isang paraan upang bawasan ang isang heterogenous na kaso sa isang homogenous (tingnan), at sa mga sumusunod ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga homogenous na MP.
Mahigpit. Hayaang magbigay ng masusukat na espasyo.
Tinatawag ang function sandali ni Markov, Kung 
para sa lahat
Sa kasong ito, kabilang sila sa pamilya F t if at (madalas ang F t ay binibigyang kahulugan bilang isang set ng mga kaganapang nauugnay sa ebolusyon ng X(t) hanggang sa sandali t). Para maniwala
Progressively nasusukat M. p. mahigpit na proseso ng Markov (s.m.p.), kung para sa anumang sandali ng Markov m at lahat 
at ratio
(mahigpit na pag-aari ng Markov) ay humahawak ng halos tiyak sa set W t . Kapag sinusuri ang (5), sapat na isaalang-alang lamang ang mga hanay ng form kung saan 
sa kasong ito, ang isang S. m na espasyo ay, halimbawa, anumang karapatan na tuluy-tuloy na Feller M. na espasyo sa isang topological. space E. Tumawag si M. p. Feller Markov proseso kung ang function
ay tuloy-tuloy sa tuwing ang f ay tuloy-tuloy at may hangganan.
Sa klase na may. m.p. ang ilang mga subclass ay nakikilala. Hayaan ang Markovian P( t, x, V),
tinukoy sa isang sukatan na lokal na compact na espasyo E, stochastically tuloy-tuloy:
para sa anumang kapitbahayan U ng bawat punto Pagkatapos kung ang mga operator ay kumuha sa kanilang mga sarili ng mga function na tuloy-tuloy at mawala sa infinity, kung gayon ang mga function na P(. t, x, V) nakakatugon sa pamantayang M. p. X, i.e. tuloy-tuloy sa kanan na may. m.p., para saan
- halos malamang sa marami 
a ay mga Pmarkov moments na hindi bumababa sa paglaki. Pagwawakas ng proseso ng Markov. Kadalasang pisikal Maipapayo na ilarawan ang mga system gamit ang isang non-terminating magnetic field, ngunit sa isang agwat ng oras na random na haba. Bilang karagdagan, kahit na ang mga simpleng pagbabagong-anyo ng mga magnetic na proseso ay maaaring humantong sa isang proseso na may mga trajectory na tinukoy sa isang random na pagitan (tingnan. Functional mula sa proseso ng Markov). Ginagabayan ng mga pagsasaalang-alang na ito, ipinakilala ang konsepto ng isang sirang MP.
Hayaan ang isang homogenous na M.P sa phase space na may isang transition function 
at hayaang magkaroon ng isang punto at isang function 
tulad na kung at kung hindi man (kung walang mga espesyal na sugnay, isaalang-alang ). Bagong trajectory x t(w) ay tinukoy lamang para sa ) sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay 
a Ft ay tinukoy bilang sa set
Itakda kung saan 
tinawag sa pamamagitan ng pagwawakas ng proseso ng Markov (o.m.p.), nakuha mula sa pamamagitan ng pagwawakas (o pagpatay) sa oras na z. Ang z value ay tinatawag ang sandali ng pahinga, o ang oras ng buhay, o. m.p. Ang phase space ng bagong proseso ay kung saan mayroong bakas ng s-algebra E. Transition function o. Ang m.p. ay isang paghihigpit sa isang set 
Proseso X(t).ay tinatawag isang mahigpit na proseso ng Markov, o isang karaniwang proseso ng Markov, kung mayroon itong katumbas na pag-aari Ang isang hindi nagtatapos na MP ay maaaring ituring bilang isang o. m.p. sa sandali ng pagkasira Heterogenous o. Ang m.p. ay tinutukoy sa katulad na paraan. M.
Mga proseso ni Markov at . Ang mga MP ng uri ng Brownian motion ay malapit na nauugnay sa parabolic differential equation. uri. Transition p(s, x, t, y) ng proseso ng pagsasabog ay natutugunan, sa ilalim ng ilang mga karagdagang pagpapalagay, ang kabaligtaran at direktang pagkakaiba ng mga equation ng Kolmogorov:
Function p( s, x, t, y).ay ang function ng Green ng mga equation (6) - (7), at ang mga unang kilalang pamamaraan para sa pagbuo ng mga proseso ng diffusion ay batay sa theorems sa pagkakaroon ng function na ito para sa mga differential equation (6) - (7). Para sa isang prosesong pare-pareho sa oras L( s, x)= L(x).sa makinis na mga pag-andar ay tumutugma sa katangian. operator M. p Semigroup ng operator ng paglipat).
Math. ang mga inaasahan ng iba't ibang mga paggana mula sa mga proseso ng pagsasabog ay nagsisilbing mga solusyon sa mga katumbas na problema sa halaga ng hangganan para sa differential equation(1). Hayaan - mathematical. inaasahan sa sukat Pagkatapos ang function ay nasiyahan sa s
Gayundin, ang pag-andar
nasiyahan sa s
at kundisyon at 2 ( T, x) = 0.
Hayaang ito ang sandali ng unang pag-abot sa hangganan DD rehiyon
trajectory ng proseso
Pagkatapos, sa ilalim ng ilang mga kundisyon, ang function
natutugunan ang equation
at kumukuha ng mga halaga ng cp sa set
Solusyon ng 1st boundary value na problema para sa isang pangkalahatang linear parabolic. 2nd order equation
sa ilalim ng medyo pangkalahatang pagpapalagay ay maaaring isulat sa form
Sa kaso kapag L at function s, f huwag umasa sa s, ang isang representasyon na katulad ng (9) ay posible rin para sa paglutas ng isang linear elliptic. mga equation Mas tiyak, ang pag-andar
sa ilalim ng ilang mga pagpapalagay may mga problema
Sa kaso kapag ang operator L ay bumagsak (del b( s, x) = 0
).o DD ay hindi sapat na "mabuti"; ang mga halaga ng hangganan ay maaaring hindi tanggapin ng mga function (9), (10) sa mga indibidwal na punto o sa buong set. Ang konsepto ng isang regular na boundary point para sa isang operator L may probabilistikong interpretasyon. Sa regular na mga punto ng hangganan, ang mga halaga ng hangganan ay nakamit ng mga function (9), (10). Ang paglutas ng mga problema (8), (11) ay nagpapahintulot sa amin na pag-aralan ang mga katangian ng kaukulang mga proseso ng pagsasabog at ang kanilang mga paggana.
May mga pamamaraan para sa pagbuo ng mga MP na hindi umaasa sa pagbuo ng mga solusyon sa mga equation (6), (7), halimbawa. paraan stochastic differential equation, ganap na tuluy-tuloy na pagbabago ng sukat, atbp. Ang pangyayaring ito, kasama ng mga formula (9), (10), ay nagbibigay-daan sa amin na malamang na bumuo at pag-aralan ang mga katangian ng mga problema sa halaga ng hangganan para sa equation (8), pati na rin ang mga katangian ng solusyon ng ang katumbas na elliptic. mga equation
Dahil ang solusyon ng isang stochastic differential equation ay insensitive sa degeneracy ng matrix b( s, x), Iyon Ang mga probabilistikong pamamaraan ay ginamit upang makabuo ng mga solusyon upang mabulok ang mga elliptic at parabolic differential equation. Ang pagpapalawig ng averaging na prinsipyo ng N. M. Krylov at N. N. Bogolyubov sa stochastic differential equation ay naging posible, gamit ang (9), upang makuha ang kaukulang mga resulta para sa elliptic at parabolic differential equation. Ito ay naging posible upang malutas ang ilang mga mahihirap na problema ng pag-aaral ng mga katangian ng mga solusyon sa mga equation ng ganitong uri na may isang maliit na parameter sa pinakamataas na derivative gamit ang probabilistic na pagsasaalang-alang. Ang solusyon ng problema sa 2nd boundary value para sa equation (6) ay mayroon ding probabilistic na kahulugan. Ang pagbabalangkas ng mga problema sa halaga ng hangganan para sa isang walang hangganang domain ay malapit na nauugnay sa pag-ulit ng kaukulang proseso ng pagsasabog.
Sa kaso ng isang oras-homogeneous na proseso (L ay hindi nakasalalay sa s), ang positibong solusyon ng equation, hanggang sa isang multiplicative na pare-pareho, ay nag-tutugma sa ilalim ng ilang mga pagpapalagay na may nakatigil na density ng pamamahagi ng mga probabilistikong pagsasaalang-alang maging kapaki-pakinabang kapag isinasaalang-alang ang mga problema sa boundary value para sa nonlinear parabolics. mga equation. R. 3. Khasminsky.
Lit.: Markov A. A., "Izvestia. Phys.-Mathematics Society of Kazan University", 1906, vol 15, No. 4, p. 135-56; V a s h e l i e r L., "Ann. scient. Ecole norm, super.", 1900, v. 17, p. 21-86; Kolmogorov A.N., "Math. Ann.", 1931, Bd 104, S. 415-458; rus. Transl. - "Uspekhi Matematicheskikh Nauk", 1938, siglo. 5, p. 5-41; Zhun Kai-lai, Homogeneous Markov chain, trans. mula sa English, M., 1964; R e 1 1 e r W., "Ann. Math.", 1954, v. 60, p. 417-36; Dynkin E.B., Yushkevich A.A., "Teorya ng probabilidad at mga aplikasyon nito," 1956, vol 1, siglo. 1, p. 149-55; Xant J.-A., mga proseso at potensyal ni Markov, trans. mula sa English, M., 1962; D e l l a s h e r i K., Mga kapasidad at random na proseso, trans. mula sa French, M., 1975; Dynk at E.V., Mga Pundasyon ng teorya ng mga proseso ng Markov, M., 1959; kanya, Markov Processes, M., 1963; G at h man I. I., S k o r o x o d A. V., Teorya ng mga random na proseso, vol 2, M., 1973; Freidlin M.I., sa aklat: Resulta ng Agham. Teorya ng posibilidad,. - Teoretikal. 1966, M., 1967, p. 7-58; X a sminskiy R. 3., “Probability theory and its applications,” 1963, vol 8, sa
proseso ni Markov- discrete o tuloy-tuloy na random na proseso X(t), na maaaring ganap na tukuyin gamit ang dalawang dami: ang posibilidad na P(x,t) na ang random variable x(t) sa oras na t ay katumbas ng x at ang probabilidad na P(x2, t2½x1t1) na... ... Diksyonaryo ng ekonomiya at matematika
proseso ni Markov- Isang discrete o tuluy-tuloy na random na proseso X(t), na maaaring ganap na tukuyin gamit ang dalawang dami: ang posibilidad na P(x,t) na ang random variable na x(t) sa oras na t ay katumbas ng x at ang probabilidad na P(x2 , t2? x1t1) na kung x sa t = t1... ... Gabay sa Teknikal na Tagasalin
Isang mahalagang espesyal na uri ng mga random na proseso. Ang isang halimbawa ng proseso ng Markov ay ang pagkabulok ng isang radioactive substance, kung saan ang posibilidad ng pagkabulok ng isang partikular na atom sa isang maikling panahon ay hindi nakasalalay sa takbo ng proseso sa nakaraang panahon.... ... Malaking Encyclopedic Dictionary - Markovo procesas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. Markovprocess vok. Markovprozeß, m rus. proseso ng Markov, m; Proseso ni Markov, m pranc. processus markovien, m … Automatikos terminų žodynas
proseso ni Markov- Markovo vyksmas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. proseso ng Markov; Markovian proseso vok. Markow Prozeß, m; Markowscher Prozeß, m rus. proseso ng Markov, m; Proseso ni Markov, m pranc. processus de Markoff, m; processus marcovien, m;… … Fizikos terminų žodynas
Isang mahalagang espesyal na uri ng mga random na proseso. Ang isang halimbawa ng proseso ng Markov ay ang pagkabulok ng isang radioactive substance, kung saan ang posibilidad ng pagkabulok ng isang partikular na atom sa isang maikling panahon ay hindi nakasalalay sa takbo ng proseso sa nakaraang panahon.... ... encyclopedic Dictionary
Isang mahalagang espesyal na uri ng mga random na proseso (Tingnan ang Random na proseso), na may malaking kahalagahan sa mga aplikasyon ng probability theory sa iba't ibang sangay ng natural na agham at teknolohiya. Ang isang halimbawa ng isang magnetic process ay ang pagkabulok ng isang radioactive substance.… … Great Soviet Encyclopedia
Isang pambihirang pagtuklas sa larangan ng matematika na ginawa noong 1906 ng Russian scientist na si A.A. Markov.
Ang mga pagpapalagay tungkol sa likas na katangian ng Poisson ng daloy ng mga kahilingan at tungkol sa exponential distribution ng oras ng serbisyo ay mahalaga dahil pinapayagan nila kaming ilapat ang apparatus ng tinatawag na Markov random na proseso sa teorya ng pagpila.
Ang prosesong nagaganap sa isang pisikal na sistema ay tinatawag na proseso ng Markov (o isang proseso na walang epekto) kung sa bawat sandali ng panahon ang posibilidad ng anumang estado ng sistema sa hinaharap ay nakasalalay lamang sa estado ng sistema sa kasalukuyang sandali at hindi nakasalalay sa kung paano dumating ang sistema sa ganitong estado.
Isaalang-alang natin ang isang elementarya na halimbawa ng isang random na proseso ng Markov. Ang punto ay gumagalaw nang random sa kahabaan ng abscissa axis. Sa sandali ng oras, ang punto ay nasa pinanggalingan at nananatili doon nang isang segundo. Makalipas ang isang segundo, ihahagis ang isang barya; kung ang coat of arms ay bumagsak, ang tuldok ay gumagalaw ng isang yunit ng haba sa kanan, kung ang numero ay lilipat sa kaliwa. Pagkalipas ng isang segundo, ang barya ay ihahagis muli at ang parehong random na paggalaw ay ginawa, atbp. Ang proseso ng pagbabago ng posisyon ng isang punto (o, gaya ng sinasabi nila, "paglalakad") ay isang random na proseso na may discrete time at isang countable set ng mga estado
Ang isang diagram ng mga posibleng paglipat para sa prosesong ito ay ipinapakita sa Fig. 19.7.1.
Ipakita natin na ang prosesong ito ay Markovian. Sa katunayan, isipin natin na sa isang punto ng oras ang sistema ay, halimbawa, sa isang estado - isang yunit sa kanan ng pinagmulan. Ang mga posibleng posisyon ng isang punto pagkatapos ng isang yunit ng oras ay magkakaroon ng mga probabilidad na 1/2 at 1/2; sa pamamagitan ng dalawang yunit - , , na may probabilidad na 1/4, ½, 1/4 at iba pa. Malinaw, ang lahat ng mga probabilidad na ito ay nakasalalay lamang sa kung saan ang punto ay nasa isang partikular na sandali, at ganap na independyente sa kung paano ito nakarating doon.
Tingnan natin ang isa pang halimbawa. Mayroong isang teknikal na aparato na binubuo ng mga elemento (mga bahagi) ng mga uri at may iba't ibang tibay. Maaaring mabigo ang mga elementong ito sa mga random na oras at hiwalay sa isa't isa. Ang tamang operasyon ng bawat elemento ay ganap na kinakailangan para sa pagpapatakbo ng device sa kabuuan. Ang failure-free operation time ng isang elemento ay isang random na variable na ibinahagi ayon sa isang exponential law; para sa mga elemento ng uri at ang mga parameter ng batas na ito ay magkaiba at katumbas ng at ayon sa pagkakabanggit. Sa kaganapan ng isang pagkabigo ng aparato, ang mga hakbang ay agad na isinasagawa upang matukoy ang mga sanhi at ang nakitang may sira na elemento ay agad na pinapalitan ng bago. Ang oras na kinakailangan upang ibalik (repair) ang device ay ibinahagi ayon sa isang exponential law na may parameter (kung isang elemento ng uri ) at (kung isang elemento ng uri ) ay nabigo.
Sa halimbawang ito, ang random na proseso na nagaganap sa system ay isang proseso ng Markov na may tuluy-tuloy na oras at may hangganan na hanay ng mga estado:
Ang lahat ng mga elemento ay gumagana, gumagana ang system,
Ang uri ng elemento ay may sira, ang sistema ay inaayos,
Ang uri ng elemento ay may sira, ang sistema ay inaayos.
Ang isang diagram ng mga posibleng paglipat ay ipinapakita sa Fig. 19.7.2.
Sa katunayan, ang proseso ay may ari-arian ng Markov. Hayaan, halimbawa, sa sandaling ang system ay nasa isang estado (functional). Dahil ang tagal ng operasyon na walang kabiguan ng bawat elemento ay nagpapahiwatig, ang sandali ng pagkabigo ng bawat elemento sa hinaharap ay hindi nakadepende sa kung gaano katagal ito nagtrabaho (kapag naihatid na ito). Samakatuwid, ang posibilidad na sa hinaharap ang sistema ay mananatili sa isang estado o iwanan ito ay hindi nakasalalay sa "prehistory" ng proseso. Ipagpalagay natin ngayon na sa sandaling ang sistema ay nasa estado (ang elemento ng uri ay may sira). Dahil ang oras ng pagkumpuni ay nagpapahiwatig din, ang posibilidad na makumpleto ang pagkumpuni anumang oras pagkatapos ay hindi nakasalalay sa kung kailan nagsimula ang pagkumpuni at kung kailan naihatid ang natitirang (magagamit) na mga elemento. Kaya, ang proseso ay Markovian.
Tandaan na ang exponential distribution ng operating time ng elemento at ang exponential distribution ng repair time ay mga mahahalagang kondisyon, kung wala ang proseso ay hindi magiging Markovian. Sa katunayan, ipagpalagay natin na ang oras ng tamang operasyon ng elemento ay ipinamamahagi hindi ayon sa isang exponential na batas, ngunit ayon sa ilang iba pang batas - halimbawa, ayon sa batas ng pare-parehong density sa lugar. Nangangahulugan ito na ang bawat elemento ay garantisadong gagana sa loob ng isang yugto ng panahon, at sa seksyon mula hanggang dito ay maaaring mabigo anumang sandali na may parehong probability density. Ipagpalagay natin na sa ilang sandali ay gumagana nang maayos ang elemento. Malinaw, ang posibilidad na ang isang elemento ay mabibigo sa ilang mga punto sa oras sa hinaharap ay depende sa kung gaano katagal ang nakalipas na ang elemento ay na-install, ibig sabihin, ito ay depende sa nakaraang kasaysayan, at ang proseso ay hindi magiging Markovian.
Ang sitwasyon ay katulad ng oras ng pagkumpuni; kung ito ay hindi nagpapahiwatig at ang elemento ay inaayos sa ngayon, kung gayon ang natitirang oras ng pag-aayos ay depende sa kung kailan ito nagsimula; ang proseso ay hindi muli magiging Markovian.
Sa pangkalahatan, ang exponential distribution ay gumaganap ng isang espesyal na papel sa teorya ng Markov random na mga proseso na may tuluy-tuloy na oras. Madaling i-verify na sa isang nakatigil na proseso ng Markov ang oras kung saan nananatili ang system sa anumang estado ay palaging ipinamamahagi ayon sa isang exponential na batas (na may isang parameter na depende, sa pangkalahatan, sa estadong ito). Sa katunayan, ipagpalagay natin na sa sandaling ang sistema ay nasa isang estado at matagal nang nasa loob nito. Ayon sa kahulugan ng proseso ng Markov, ang posibilidad ng anumang kaganapan sa hinaharap ay hindi nakasalalay sa nakaraang kasaysayan; sa partikular, ang posibilidad na ang isang system ay umalis sa isang estado sa loob ng oras ay hindi dapat depende sa kung gaano katagal na ang sistema ay ginugol sa estado na iyon. Dahil dito, ang oras na nananatili ang sistema sa estado ay dapat ipamahagi ayon sa isang exponential na batas.
Sa kaso kapag ang isang prosesong nagaganap sa isang pisikal na sistema na may mabibilang na hanay ng mga estado at tuloy-tuloy na oras ay Markovian, ang prosesong ito ay maaaring ilarawan gamit ang mga ordinaryong differential equation kung saan ang mga hindi kilalang function ay mga probabilidad ng estado. Ipapakita namin ang compilation at solusyon ng mga naturang equation sa mga sumusunod gamit ang halimbawa ng isang simpleng queuing system.
Ang isang random na proseso ay isang set o pamilya ng mga random na variable na ang mga halaga ay na-index ng isang parameter ng oras. Halimbawa, ang bilang ng mga mag-aaral sa isang silid-aralan, ang presyon ng atmospera, o ang temperatura sa silid-aralan na iyon bilang isang function ng oras ay mga random na proseso.
Ang mga random na proseso ay malawakang ginagamit sa pag-aaral ng mga kumplikadong stochastic system bilang sapat na mathematical na mga modelo ng paggana ng mga naturang sistema.
Ang mga pangunahing konsepto para sa mga random na proseso ay ang mga konsepto estado ng proseso At paglipat ito mula sa isang estado patungo sa isa pa.
Ang mga halaga ng mga variable na naglalarawan sa random na proseso sa isang naibigay na oras ay tinatawag kundisyonrandomproseso. Ang isang random na proseso ay gumagawa ng paglipat mula sa isang estado patungo sa isa pa kung ang mga halaga ng mga variable na tumutukoy sa isang estado ay nagbabago sa mga halaga na tumutukoy sa isa pang estado.
Ang bilang ng mga posibleng estado (espasyo ng estado) ng isang random na proseso ay maaaring may hangganan o walang katapusan. Kung ang bilang ng mga posibleng estado ay may hangganan o mabibilang (lahat ng posibleng estado ay maaaring italaga ng mga serial number), kung gayon ang random na proseso ay tinatawag proseso na may mga discrete states. Halimbawa, ang bilang ng mga customer sa isang tindahan, ang bilang ng mga customer sa isang bangko sa araw ay inilalarawan ng mga random na proseso na may mga discrete na estado.
Kung ang mga variable na naglalarawan sa isang random na proseso ay maaaring kumuha ng anumang mga halaga mula sa isang may hangganan o walang katapusan na tuluy-tuloy na agwat, at, samakatuwid, ang bilang ng mga estado ay hindi mabilang, kung gayon ang random na proseso ay tinatawag na proseso na may tuluy-tuloy na estado. Halimbawa, ang temperatura ng hangin sa araw ay isang random na proseso na may tuluy-tuloy na estado.
Ang mga random na proseso na may mga discrete na estado ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga biglaang paglipat mula sa isang estado patungo sa isa pa, samantalang sa mga proseso na may tuluy-tuloy na mga estado ang mga paglipat ay maayos. Dagdag pa, isasaalang-alang lamang namin ang mga prosesong may mga discrete na estado, na madalas na tinatawag mga tanikala.
Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng g(t) ay isang random na proseso na may mga discrete na estado, at posibleng mga halaga g(t), ibig sabihin. posibleng mga estado ng circuit, - sa pamamagitan ng mga simbolo E 0 , E 1 , E 2 , … . Minsan ang mga numero 0, 1, 2,... mula sa natural na serye ay ginagamit upang tukuyin ang mga discrete na estado.
Random na proseso g(t) ay tinatawag na prosesoSadiscreteoras, kung ang mga paglipat ng proseso mula sa estado patungo sa estado ay posible lamang sa mahigpit na tinukoy, pre-fixed na mga sandali sa oras t 0 , t 1 , t 2 , … . Kung ang paglipat ng isang proseso mula sa estado patungo sa estado ay posible sa anumang hindi kilalang punto ng oras, kung gayon ang isang random na proseso ay tinatawag na prosesona may tuloy-tuloyoras. Sa unang kaso, malinaw na ang mga agwat ng oras sa pagitan ng mga transition ay deterministiko, at sa pangalawa ay mga random na variable.
Ang isang discrete-time na proseso ay nangyayari alinman kapag ang istraktura ng system na inilalarawan ng prosesong ito ay tulad na ang mga estado nito ay maaaring magbago lamang sa mga paunang natukoy na mga punto sa oras, o kapag ito ay ipinapalagay na upang ilarawan ang proseso (system) ito ay sapat na upang alamin ang mga estado sa ilang partikular na oras. Pagkatapos ang mga sandaling ito ay maaaring bilangin at maaari nating pag-usapan ang tungkol sa estado E i sa isang punto ng panahon t i .
Ang mga random na proseso na may mga discrete na estado ay maaaring ilarawan bilang isang graph ng mga transition (o mga estado), kung saan ang mga vertex ay tumutugma sa mga estado, at ang mga naka-orient na arko ay tumutugma sa mga paglipat mula sa isang estado patungo sa isa pa. Kung mula sa estado E i ang paglipat sa isang estado lamang ay posible E j, pagkatapos ang katotohanang ito ay makikita sa transition graph ng isang arko na nakadirekta mula sa vertex E i sa tuktok E j(Larawan 1, a). Ang mga paglipat mula sa isang estado patungo sa ilang iba pang mga estado at mula sa ilang mga estado patungo sa isang estado ay makikita sa transition graph, tulad ng ipinapakita sa Fig. 1, b at 1, c.
