At isa pang punto: napakaraming mga formula ng pagbabawas sa bilang, at agad naming babalaan ka laban sa pag-aaral ng lahat ng ito sa puso. Ito ay ganap na hindi kailangan - mayroong isa na nagbibigay-daan sa iyo upang madaling mag-apply ng mga formula ng pagbabawas.
Kaya, isulat natin ang lahat ng mga formula ng pagbabawas sa anyo ng isang talahanayan.
Ang mga formula na ito ay maaaring muling isulat gamit ang mga degree at radian. Upang gawin ito, tandaan lamang ang kaugnayan sa pagitan ng mga degree at radian, at palitan ang π ng 180 degrees sa lahat ng dako.
Mga halimbawa ng paggamit ng mga formula ng pagbabawas
Ang layunin ng talatang ito ay ipakita kung paano ginagamit ang mga formula ng pagbabawas sa pagsasanay upang malutas ang mga halimbawa.
Upang magsimula sa, ito ay nagkakahalaga ng pagsasabi na mayroon walang katapusang bilang mga paraan upang kumatawan sa isang anggulo sa ilalim ng tanda ng trigonometriko function sa anyo at 
. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang anggulo ay maaaring tumagal ng anumang halaga. Ipakita natin ito sa isang halimbawa.
Halimbawa, kunin natin ang anggulo sa ilalim ng tanda trigonometriko function pantay Ang anggulong ito ay maaaring ilarawan bilang 
, o paano 
, o paano 
, o sa maraming iba pang paraan.
Ngayon tingnan natin kung anong mga formula ng pagbabawas ang kailangan nating gamitin depende sa representasyon ng anggulo. Kunin natin .
Kung kinakatawan natin ang anggulo bilang , pagkatapos ang representasyong ito ay tumutugma sa isang pormula ng pagbabawas ng form , kung saan namin nakuha 
. Dito maaari nating ipahiwatig ang halaga ng trigonometric function: .
Para sa pagtatanghal gagamit na tayo ng formula ng form 
, na humahantong sa amin sa sumusunod na resulta: .
Sa wakas, dahil ang kaukulang pormula ng pagbabawas ay may anyo 
.
Upang tapusin ang talakayang ito, lalo na dapat tandaan na may ilang mga kaginhawahan kapag gumagamit ng mga representasyon ng anggulo kung saan ang anggulo ay may halaga mula 0 hanggang 90 degrees (mula 0 hanggang pi sa kalahating radian).
Tingnan natin ang isa pang halimbawa ng paggamit ng mga formula ng pagbabawas.
Halimbawa.
Gamit ang mga formula ng pagbabawas, kumakatawan sa pamamagitan ng sine at gayundin sa pamamagitan ng cosine ng isang matinding anggulo.
Solusyon.
Upang mailapat ang mga formula ng pagbabawas, kailangan nating kumatawan sa isang anggulo ng 197 degrees sa anyo o 
, at ayon sa mga kondisyon ng problema, ang anggulo ay dapat na talamak. Magagawa ito sa dalawang paraan: 
o . kaya, 
o 
.
Ang pag-on sa kaukulang mga formula para sa pagbabawas ng at , nakukuha namin at .
Sagot:
At 
.
Panuntunan ng Mnemonic
Tulad ng nabanggit namin sa itaas, hindi kinakailangang kabisaduhin ang mga formula ng pagbabawas. Kung titingnan mo ang mga ito nang mabuti, maaari mong tukuyin ang mga pattern kung saan maaari kang makakuha ng isang panuntunan na nagbibigay-daan sa iyo upang makuha ang alinman sa mga formula ng pagbabawas. Siya ay tinatawag tuntunin ng mnemonic(ang mnemonics ay ang sining ng pagsasaulo).
Ang mnemonic rule ay naglalaman ng tatlong yugto:
Marapat na sabihin kaagad na upang mailapat ang mnemonic rule kailangan mong maging napakahusay sa pagtukoy ng mga senyales ng sine, cosine, tangent at cotangent ayon sa quarters, dahil kailangan mong gawin ito nang palagian.
Tingnan natin ang aplikasyon ng mnemonic rule gamit ang mga halimbawa.
Halimbawa.
Gamit tuntunin ng mnemonic, isulat ang mga formula ng pagbabawas para sa 
At 
, na isinasaalang-alang ang anggulo bilang anggulo ng unang quarter.
Solusyon.
Hindi namin kailangang gawin ang unang hakbang ng panuntunan, dahil ang mga anggulo sa ilalim ng mga palatandaan ng mga function ng trigonometriko ay nakasulat na sa kinakailangang form.
Tukuyin natin ang tanda ng mga pag-andar At . Sa kondisyon na - ang anggulo ng unang quarter, ang anggulo 
ay din ang anggulo ng unang quarter, at ang anggulo 
- anggulo ng ikalawang quarter. Ang cosine sa unang quarter ay may plus sign, at ang tangent sa ikalawang quarter ay may minus sign. Sa yugtong ito, ang mga kinakailangang formula ay magkakaroon ng form at . Ngayon na nalaman na natin ang mga palatandaan, maaari na tayong magpatuloy sa huling hakbang ng mnemonic rule.
Dahil ang argumento ng cosine function ay may anyo , kung gayon ang pangalan ng function ay dapat na baguhin sa cofunction, iyon ay, sa sine. At ang padaplis na argumento ay may anyo , samakatuwid, ang pangalan ng function ay dapat na iwanang pareho.
Bilang isang resulta mayroon kami 
At . Maaari mong tingnan ang talahanayan ng mga formula ng pagbabawas upang matiyak na tama ang mga resultang nakuha.
Sagot:
At .
Upang pagsama-samahin ang materyal, isaalang-alang ang paglutas ng isang halimbawa na may mga tiyak na anggulo.
Halimbawa.
Gamit ang isang mnemonic rule, bawasan sa trigonometric functions ng isang acute angle.
Solusyon.
Una, isipin natin ang anggulo ng 777 degrees sa form na kinakailangan upang mailapat ang mnemonic rule. Magagawa ito sa dalawang paraan: o.
Ang orihinal na anggulo ay ang unang quarter na anggulo, ang sine para sa anggulong ito ay may plus sign.
Para sa pagtatanghal, ang pangalan ng sine ay dapat na iwanang pareho, ngunit upang ipakita ang uri, ang sine ay dapat na baguhin sa cosine.
Bilang resulta, mayroon kaming at .
Sagot:
At .
Upang tapusin ang puntong ito, isaalang-alang ang isang halimbawa na naglalarawan ng kahalagahan ng wastong pagrepresenta ng isang anggulo sa ilalim ng tanda ng trigonometric function para sa paglalapat ng mnemonic rule: dapat matalas ang anggulo!!!
Kalkulahin natin ang tangent ng anggulo. Sa prinsipyo, sa pamamagitan ng pagtukoy sa materyal sa mga halaga ng artikulo ng sine, cosine, tangent at cotangent, maaari nating agad na sagutin ang tanong ng problema: 
.
Kung kinakatawan natin ang anggulo bilang o bilang, maaari nating gamitin ang mnemonic rule: 
At 
, na humahantong sa amin sa parehong resulta.
Ngunit ito ang maaaring mangyari kung kukuha ka ng representasyon ng isang anggulo, halimbawa, ng anyo. Sa kasong ito, dadalhin tayo ng mnemonic rule sa resultang ito. Ang resulta na ito ay hindi tama, at ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na para sa representasyon ay wala kaming karapatang ilapat ang mnemonic na panuntunan, dahil ang anggulo ay hindi talamak.
Mga pormula ng patunay ng pagbabawas
Ang mga formula ng pagbabawas ay sumasalamin sa periodicity, symmetry, at shift na mga katangian sa pamamagitan ng mga anggulo at . Agad nating tandaan na ang lahat ng mga formula ng pagbabawas ay maaaring mapatunayan sa pamamagitan ng pagtatapon ng termino sa mga argumento, dahil nangangahulugan ito ng pagbabago ng anggulo sa pamamagitan ng isang integer na bilang ng mga buong rebolusyon, at hindi nito binabago ang mga halaga ng mga function ng trigonometriko. Ang terminong ito ay nagsisilbing salamin ng periodicity.
Ang unang bloke ng 16 na mga formula ng pagbabawas ay direktang sumusunod sa mga katangian ng sine, cosine, tangent at cotangent. Ito ay hindi kahit na nagkakahalaga ng dwelling sa kanila.
Lumipat tayo sa susunod na bloke ng mga formula. Una, patunayan natin ang unang dalawa sa kanila. Ang iba ay sumusunod sa kanila. Kaya, patunayan natin ang mga formula ng pagbabawas ng form 
At 
.
Isaalang-alang natin ang bilog ng yunit. Hayaan ang unang punto A, pagkatapos ng pag-ikot ng isang anggulo, pumunta sa punto A 1 (x, y), at pagkatapos ng pag-ikot ng isang anggulo, sa punto A 2. Gumuhit tayo ng A 1 H 1 at A 2 H 2 – patayo sa tuwid na linyang Ox.
Madaling makita na ang mga tamang tatsulok na OA 1 H 1 at OA 2 H 2 ay pantay sa hypotenuse at dalawang magkatabing anggulo. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok at ang lokasyon ng mga puntos A 1 at A 2 sa bilog ng yunit, nagiging malinaw na kung ang punto A 1 ay may mga coordinate x at y, kung gayon ang punto A 2 ay may mga coordinate −y at x. Pagkatapos ang mga kahulugan ng sine at cosine ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang mga pagkakapantay-pantay at 
, kung saan sinusundan iyon At . Pinatutunayan nito ang mga formula ng pagbabawas na isinasaalang-alang para sa anumang anggulo.
Isinasaalang-alang na 
At 
(kung kinakailangan, tingnan ang artikulong mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan), pati na rin ang makatarungang napatunayang mga formula, nakukuha namin at 
. Kaya napatunayan namin ang sumusunod na dalawang pormula ng pagbabawas.
Upang patunayan ang mga pormula ng pagbabawas na may argumento, sapat na itong katawanin bilang , at pagkatapos ay gamitin ang mga napatunayang formula at katangian ng mga trigonometrikong function na may kabaligtaran na mga argumento. Halimbawa, .
Ang lahat ng iba pang mga pormula ng pagbabawas ay napatunayang katulad batay sa mga napatunayan na ng dobleng aplikasyon. Halimbawa, lumilitaw ito bilang 
, ngunit bilang 
. At at - bilang at ayon sa pagkakabanggit.
Bibliograpiya.
- Algebra: Teksbuk para sa ika-9 na baitang. avg. paaralan/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teleyakovsky - M.: Edukasyon, 1990. - 272 pp. - ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M. I. Algebra at ang simula ng pagsusuri: Textbook. para sa 10-11 baitang. avg. paaralan - 3rd ed. - M.: Edukasyon, 1993. - 351 p.: may sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra at ang simula ng pagsusuri: Proc. para sa 10-11 baitang. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov - 14th ed. - M.: Edukasyon, 2004. - 384 pp. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan): Proc. allowance.- M.; Mas mataas paaralan, 1984.-351 p., may sakit.
Kahulugan. Ang mga pormula ng pagbabawas ay mga pormula na nagbibigay-daan sa iyo na lumipat mula sa mga trigonometriko na function ng form patungo sa mga function ng argumento. Sa kanilang tulong, ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang arbitrary na anggulo ay maaaring mabawasan sa sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo mula sa pagitan mula 0 hanggang 90 degrees (mula 0 hanggang radians). Kaya, pinahihintulutan tayo ng mga formula ng pagbabawas na magpatuloy sa pagtatrabaho sa mga anggulo sa loob ng 90 degrees, na walang alinlangan na napaka-maginhawa.
Mga formula ng pagbabawas:
Mayroong dalawang panuntunan para sa paggamit ng mga formula ng pagbabawas.
1. Kung ang anggulo ay maaaring katawanin bilang (π/2 ±a) o (3*π/2 ±a), kung gayon mga pagbabago sa pangalan ng function kasalanan sa cos, cos sa kasalanan, tg sa ctg, ctg sa tg. Kung ang anggulo ay maaaring katawanin sa anyo (π ±a) o (2*π ±a), kung gayon Ang pangalan ng function ay nananatiling hindi nagbabago.
Tingnan ang larawan sa ibaba, ito ay nagpapakita ng eskematiko kung kailan baguhin ang tanda at kapag hindi
2. Tanda ng pinababang pag-andar nananatiling pareho. Kung ang orihinal na function ay may plus sign, ang pinababang function ay mayroon ding plus sign. Kung ang orihinal na function ay may minus sign, ang pinababang function ay mayroon ding minus sign.
Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng mga palatandaan ng mga pangunahing trigonometric function depende sa quarter.
Halimbawa:
Kalkulahin
Gamitin natin ang mga formula ng pagbabawas:
Ang Sin(150˚) ay nasa ikalawang quarter; mula sa figure na nakikita natin na ang sin sign sa quarter na ito ay katumbas ng “+”. Nangangahulugan ito na ang ibinigay na function ay magkakaroon din ng "+" sign. Inilapat namin ang pangalawang panuntunan.
Ngayon 150˚ = 90˚ +60˚. Ang 90˚ ay π/2. Iyon ay, nakikitungo tayo sa kaso π/2+60, samakatuwid, ayon sa unang tuntunin, binago natin ang pag-andar mula sa kasalanan hanggang sa cos. Bilang resulta, nakukuha natin ang Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.
At isa pang problema B11 sa parehong paksa - mula sa tunay na Unified State Examination sa matematika.
Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:
Sa maikling video tutorial na ito matututunan natin kung paano mag-apply mga formula ng pagbabawas para sa paglutas ng mga tunay na problema B11 mula sa Unified State Examination sa matematika. Tulad ng nakikita mo, mayroon kaming dalawang trigonometric na expression, bawat isa ay naglalaman ng mga sine at cosine, pati na rin ang ilang medyo brutal na mga argumentong numero.
Bago lutasin ang mga problemang ito, tandaan natin kung ano ang mga formula ng pagbabawas. Kaya, kung mayroon tayong mga expression tulad ng:
Pagkatapos ay maaari nating alisin ang unang termino (ng anyong k · π/2) ayon sa mga espesyal na tuntunin. Gumuhit tayo ng trigonometric na bilog at markahan ang mga pangunahing punto dito: 0, π/2; π; 3π/2 at 2π. Pagkatapos ay titingnan natin ang unang termino sa ilalim ng tanda ng trigonometric function. Meron kami:
- Kung ang terminong interesado tayo ay nasa vertical axis ng trigonometriko na bilog (halimbawa: 3π/2; π/2, atbp.), kung gayon ang orihinal na function ay pinalitan ng isang co-function: ang sine ay pinalitan ng cosine, at cosine, sa kabaligtaran, sa pamamagitan ng sine.
- Kung ang aming termino ay nasa pahalang na axis, kung gayon ang orihinal na function ay hindi nagbabago. Tinatanggal lang namin ang unang termino sa expression at iyon na.
Kaya, nakakakuha tayo ng trigonometric function na hindi naglalaman ng mga termino ng anyong k · π/2. Gayunpaman, ang gawaing may mga pormula ng pagbabawas ay hindi nagtatapos doon. Ang katotohanan ay ang aming bagong function, na nakuha pagkatapos "i-discard" ang unang termino, ay maaaring may plus o minus sign sa harap nito. Paano makilala ang palatandaang ito? Ngayon ay malalaman natin.
Isipin natin na ang anggulong α na natitira sa loob ng trigonometric function pagkatapos ng mga pagbabago ay may napakaliit na sukat. Ngunit ano ang ibig sabihin ng "maliit na sukat"? Sabihin nating α ∈ (0; 30°) - ito ay sapat na. Kumuha tayo ng isang halimbawa ng pag-andar:
Pagkatapos, kasunod ng aming mga pagpapalagay na α ∈ (0; 30°), napagpasyahan namin na ang anggulo 3π/2 − α ay nasa ikatlong quarter ng coordinate, i.e. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Tandaan natin ang tanda ng orihinal na function, i.e. y = sin x sa pagitan na ito. Malinaw, ang sine sa ikatlong coordinate quarter ay negatibo, dahil sa kahulugan, ang sine ay ang ordinate ng dulo ng gumagalaw na radius (sa madaling salita, ang sine ay ang y coordinate). Well, ang y coordinate sa lower half-plane ay palaging tumatagal ng mga negatibong halaga. Nangangahulugan ito na sa ikatlong quarter ay negatibo din ang y.
Batay sa mga pagmumuni-muni na ito, maaari nating isulat ang huling expression:
Problema B11 - Opsyon 1
Ang parehong mga pamamaraan na ito ay medyo angkop para sa paglutas ng problema B11 mula sa Unified State Examination sa matematika. Ang pagkakaiba lang ay sa maraming tunay na problema sa B11, sa halip na isang radian measure (ibig sabihin, mga numerong π, π/2, 2π, atbp.) ay ginagamit ang isang degree measure (ibig sabihin, 90°, 180°, 270° at atbp.). Tingnan natin ang unang gawain:
Tingnan muna natin ang numerator. cos 41° ay hindi halaga ng talahanayan, kaya wala tayong magagawa dito. Hayaan muna natin sa ngayon.
Ngayon tingnan natin ang denominator:
sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°
Malinaw, ito ay isang reduction formula, kaya ang sine ay pinalitan ng isang cosine. Bilang karagdagan, ang anggulo na 41° ay nasa segment (0°; 90°), i.e. sa unang coordinate quadrant - eksakto kung kinakailangan upang ilapat ang mga formula ng pagbabawas. Ngunit pagkatapos ay 90° + 41° ang pangalawang coordinate quarter. Ang orihinal na function na y = sin x ay positibo doon, kaya naglalagay kami ng plus sign sa harap ng cosine sa huling hakbang (sa madaling salita, wala kaming inilagay).
Ito ay nananatiling humarap sa huling elemento:
cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0.5
Dito makikita natin na 180° ay pahalang na axis. Dahil dito, ang function mismo ay hindi magbabago: nagkaroon ng cosine - at mananatili din ang cosine. Ngunit muling bumangon ang tanong: lalabas ba ang plus o minus bago ang resultang expression na cos 60°? Tandaan na ang 180° ay ang ikatlong coordinate quarter. Ang cosine doon ay negatibo, samakatuwid, ang cosine ay magkakaroon ng minus sign sa harap nito. Sa kabuuan, nakukuha namin ang konstruksiyon −cos 60° = −0.5 - ito ay isang tabular na halaga, kaya ang lahat ay madaling kalkulahin.
Ngayon ay pinapalitan namin ang mga nagresultang numero sa orihinal na formula at makuha ang:
Tulad ng makikita mo, ang bilang na cos 41° sa numerator at denominator ng fraction ay madaling nabawasan, at ang karaniwang expression ay nananatili, na katumbas ng −10. Sa kasong ito, ang minus ay maaaring alisin at ilagay sa harap ng fraction sign, o "itago" sa tabi ng pangalawang kadahilanan hanggang sa pinakahuling hakbang ng mga kalkulasyon. Sa anumang kaso, ang sagot ay magiging −10. Iyon lang, ang problema B11 ay nalutas na!
Problema B14 - opsyon 2
Lumipat tayo sa pangalawang gawain. Mayroon kaming isang fraction sa harap namin muli:
Well, 27° ang nasa unang coordinate quarter, kaya wala kaming babaguhin dito. Ngunit ang kasalanan 117° ay kailangang isulat (walang anumang parisukat sa ngayon):
sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°
Obviously, bago tayo ulit pormula ng pagbabawas: 90° ay ang vertical axis, samakatuwid ang sine ay magbabago sa cosine. Bilang karagdagan, ang anggulo α = 117° = 90° + 27° ay nasa pangalawang coordinate quadrant. Ang orihinal na function na y = sin x ay positibo doon, samakatuwid, pagkatapos ng lahat ng mga pagbabago, mayroon pa ring plus sign sa harap ng cosine. Sa madaling salita, walang idinagdag doon - iniiwan namin ito nang ganoon: cos 27°.
Bumalik kami sa orihinal na expression na kailangang kalkulahin:
Tulad ng nakikita natin, pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, ang pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan ay lumitaw sa denominator: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Kabuuan −4: 1 = −4 - kaya nakita namin ang sagot sa pangalawang problema B11.
Tulad ng nakikita mo, sa tulong ng mga formula ng pagbabawas, ang mga problema mula sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri sa matematika ay malulutas nang literal sa ilang linya. Walang mga sinus ng kabuuan at mga cosine ng pagkakaiba. Ang kailangan lang nating tandaan ay ang trigonometriko na bilog.
Ang artikulong ito ay nakatuon sa isang detalyadong pag-aaral mga formula ng trigonometriko mga multo Si Dan buong listahan mga formula ng pagbabawas, ipinapakita ang mga halimbawa ng paggamit ng mga ito, at ibinibigay ang patunay ng kawastuhan ng mga formula. Nagbibigay din ang artikulo ng isang mnemonic na panuntunan na nagbibigay-daan sa iyo na makakuha ng mga formula ng pagbabawas nang hindi sinasaulo ang bawat formula.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Mga formula ng pagbabawas. Listahan
Binibigyang-daan ka ng mga formula ng pagbabawas na bawasan ang mga pangunahing trigonometriko na pag-andar ng mga anggulo ng di-makatwirang magnitude sa mga pag-andar ng mga anggulo na nasa hanay mula 0 hanggang 90 degrees (mula 0 hanggang π 2 radians). Ang pagpapatakbo na may mga anggulo mula 0 hanggang 90 degrees ay mas maginhawa kaysa sa pagtatrabaho sa mga arbitraryong malalaking halaga, kaya naman malawakang ginagamit ang mga formula ng pagbabawas sa paglutas ng mga problema sa trigonometrya.
Bago natin isulat ang mga formula mismo, linawin natin ang ilang mahahalagang punto para sa pag-unawa.
- Ang mga argumento ng trigonometriko function sa mga formula ng pagbabawas ay ang mga anggulo ng anyong ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z. Narito ang z ay anumang integer, at ang α ay isang arbitrary na anggulo ng pag-ikot.
- Hindi kinakailangang matutunan ang lahat ng mga formula ng pagbabawas, ang bilang nito ay lubos na kahanga-hanga. Mayroong isang mnemonic rule na ginagawang madali upang makuha ang nais na formula. Pag-uusapan natin ang tungkol sa mnemonic rule mamaya.
Ngayon lumipat tayo nang direkta sa mga formula ng pagbabawas.
Binibigyang-daan ka ng mga pormula ng pagbabawas na lumipat mula sa pagtatrabaho sa arbitrary at arbitraryong malalaking anggulo patungo sa pagtatrabaho sa mga anggulo na mula 0 hanggang 90 degrees. Isulat natin ang lahat ng mga formula sa anyo ng talahanayan.
Mga formula ng pagbabawas
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
SA sa kasong ito ang mga formula ay nakasulat sa radians. Gayunpaman, maaari mo ring isulat ang mga ito gamit ang mga degree. Ito ay sapat lamang upang i-convert ang mga radian sa mga degree, na pinapalitan ang π ng 180 degrees.
Mga halimbawa ng paggamit ng mga formula ng pagbabawas
Ipapakita namin kung paano gamitin ang mga formula ng pagbabawas at kung paano ginagamit ang mga formula na ito upang malutas ang mga praktikal na halimbawa.
Ang anggulo sa ilalim ng tanda ng trigonometric function ay maaaring kinakatawan hindi sa isa, ngunit sa maraming paraan. Halimbawa, ang argumento ng isang trigonometric function ay maaaring katawanin sa anyong ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Ipakita natin ito.
Kunin natin ang anggulo α = 16 π 3. Ang anggulong ito ay maaaring isulat ng ganito:
α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π
Depende sa representasyon ng anggulo, ginagamit ang naaangkop na formula ng pagbabawas.
Kunin natin ang parehong anggulo α = 16 π 3 at kalkulahin ang padaplis nito
Halimbawa 1: Paggamit ng mga formula ng pagbabawas
α = 16 π 3 , t g α = ?
Katawanin natin ang anggulo α = 16 π 3 bilang α = π + π 3 + 2 π 2
Ang representasyong ito ng anggulo ay tumutugma sa formula ng pagbabawas
t g (π + α + 2 π z) = t g α
t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3
Gamit ang talahanayan, ipinapahiwatig namin ang halaga ng tangent
Ngayon ay gumagamit kami ng isa pang representasyon ng anggulo α = 16 π 3.
Halimbawa 2: Paggamit ng mga formula ng pagbabawas
α = 16 π 3 , t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3
Panghuli, para sa pangatlong representasyon ng anggulong isinusulat namin
Halimbawa 3. Paggamit ng mga pormula ng pagbabawas
α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3
Ngayon magbigay tayo ng isang halimbawa ng paggamit ng mas kumplikadong mga formula ng pagbabawas
Halimbawa 4: Paggamit ng mga formula ng pagbabawas
Isipin natin ang kasalanan 197° sa pamamagitan ng sine at cosine ng isang matinding anggulo.
Upang makapag-apply ng mga formula ng pagbabawas, kailangan mong katawanin ang anggulo α = 197 ° sa isa sa mga form
± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Ayon sa mga kondisyon ng problema, ang anggulo ay dapat na talamak. Alinsunod dito, mayroon kaming dalawang paraan upang kumatawan dito:
197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°
Nakukuha namin
sin 197° = sin (180° + 17°) sin 197° = sin (270° - 73°)
Ngayon tingnan natin ang mga formula ng pagbabawas para sa mga sine at piliin ang mga naaangkop
kasalanan (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = kasalanan (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 °
Panuntunan ng Mnemonic
Maraming mga formula ng pagbabawas, at, sa kabutihang palad, hindi na kailangang kabisaduhin ang mga ito. May mga regularidad kung saan maaaring makuha ang mga pormula ng pagbabawas para sa iba't ibang mga anggulo at trigonometriko function. Ang mga pattern na ito ay tinatawag na mnemonic rules. Ang Mnemonics ay ang sining ng pagsasaulo. Ang mnemonic rule ay binubuo ng tatlong bahagi, o naglalaman ng tatlong yugto.
Panuntunan ng Mnemonic
1. Ang argumento ng orihinal na function ay kinakatawan sa isa sa mga sumusunod na anyo:
± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz
Ang anggulo α ay dapat nasa pagitan ng 0 at 90 degrees.
2. Natutukoy ang tanda ng orihinal na trigonometric function. Ang function na nakasulat sa kanang bahagi ng formula ay magkakaroon ng parehong sign.
3. Para sa mga anggulo ± α + 2 πz at π ± α + 2 πz ang pangalan ng orihinal na function ay nananatiling hindi nagbabago, at para sa mga anggulo π 2 ± α + 2 πz at 3 π 2 ± α + 2 πz, ayon sa pagkakabanggit, nagbabago ito sa “cofunction”. Sine - cosine. Tangent - cotangent.
Upang magamit ang mnemonic na gabay para sa mga formula ng pagbabawas, kailangan mong matukoy ang mga palatandaan ng mga function ng trigonometriko batay sa mga quarter ng bilog ng yunit. Tingnan natin ang mga halimbawa ng paggamit ng mnemonic rule.
Halimbawa 1: Paggamit ng mnemonic rule
Isulat natin ang mga pormula ng pagbabawas para sa cos π 2 - α + 2 πz at t g π - α + 2 πz. Ang α ay ang log ng unang quarter.
1. Dahil ayon sa kundisyon α ay ang log ng unang quarter, nilalaktawan namin ang unang punto ng panuntunan.
2. Tukuyin ang mga palatandaan cos functionπ 2 - α + 2 πz at t g π - α + 2 πz. Ang anggulo π 2 - α + 2 πz ay ang anggulo din ng unang quarter, at ang anggulo π - α + 2 πz ay nasa ikalawang quarter. Sa unang quarter, ang cosine function ay positibo, at ang tangent sa ikalawang quarter ay may minus sign. Isulat natin kung ano ang magiging hitsura ng mga kinakailangang formula sa yugtong ito.
cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -
3. Ayon sa ikatlong punto, para sa anggulo π 2 - α + 2 π ang pangalan ng function ay nagbabago sa Confucius, at para sa anggulo π - α + 2 πz ay nananatiling pareho. Isulat natin:
cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α
Ngayon tingnan natin ang mga formula na ibinigay sa itaas at tiyaking gumagana ang mnemonic rule.
Tingnan natin ang isang halimbawa na may tiyak na anggulo α = 777°. Bawasan natin ang sine alpha sa trigonometric function ng isang matinding anggulo.
Halimbawa 2: Paggamit ng mnemonic rule
1. Isipin ang anggulo α = 777 ° sa kinakailangang anyo
777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2
2. Ang orihinal na anggulo ay ang anggulo ng unang quarter. Nangangahulugan ito na ang sine ng anggulo ay may positibong tanda. Bilang resulta mayroon kaming:
3. sin 777° = sin (57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°
Ngayon tingnan natin ang isang halimbawa na nagpapakita kung gaano kahalaga ang wastong matukoy ang tanda ng trigonometric function at wastong kumakatawan sa anggulo kapag ginagamit ang mnemonic rule. Ulitin natin ulit.
Mahalaga!
Ang anggulo α ay dapat na talamak!
Kalkulahin natin ang tangent ng anggulo 5 π 3. Mula sa talahanayan ng mga halaga ng mga pangunahing pag-andar ng trigonometriko, maaari mong agad na kunin ang halaga t g 5 π 3 = - 3, ngunit ilalapat namin ang mnemonic na panuntunan.
Halimbawa 3: Paggamit ng mnemonic rule
Isipin natin ang anggulo α = 5 π 3 sa kinakailangang anyo at gamitin ang panuntunan
t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3
Kung kinakatawan natin ang anggulo ng alpha sa anyong 5 π 3 = π + 2 π 3, kung gayon ang resulta ng paglalapat ng mnemonic rule ay magiging mali.
t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3
Ang maling resulta ay dahil sa katotohanan na ang anggulo 2 π 3 ay hindi talamak.
Ang patunay ng mga formula ng pagbabawas ay batay sa mga katangian ng periodicity at symmetry ng trigonometriko function, pati na rin sa pag-aari ng shift sa pamamagitan ng mga anggulo π 2 at 3 π 2. Ang patunay ng bisa ng lahat ng mga formula ng pagbabawas ay maaaring isagawa nang hindi isinasaalang-alang ang terminong 2 πz, dahil ito ay nagpapahiwatig ng pagbabago sa anggulo ng isang integer na bilang ng buong rebolusyon at tiyak na sumasalamin sa pag-aari ng periodicity.
Ang unang 16 na formula ay direktang sumusunod mula sa mga katangian ng mga pangunahing trigonometriko function: sine, cosine, tangent at cotangent.
Narito ang isang patunay ng mga formula ng pagbabawas para sa mga sine at cosine
sin π 2 + α = cos α at cos π 2 + α = - sin α
Tingnan natin ang isang bilog na yunit, ang panimulang punto kung saan, pagkatapos ng pag-ikot sa isang anggulo α, papunta sa punto A 1 x, y, at pagkatapos ng pag-ikot sa isang anggulo π 2 + α - sa isang punto A 2. Mula sa parehong mga punto gumuhit kami ng mga patayo sa abscissa axis.
Dalawa kanang tatsulok Ang O A 1 H 1 at O A 2 H 2 ay pantay sa hypotenuse at katabing mga anggulo. Mula sa lokasyon ng mga punto sa bilog at ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok, maaari nating tapusin na ang punto A 2 ay may mga coordinate A 2 - y, x. Gamit ang mga kahulugan ng sine at cosine, isinusulat namin:
sin α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y
sin π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α
Isinasaalang-alang ang mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometrya at kung ano ang napatunayan na, maaari tayong sumulat
t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - t g α
Upang patunayan ang mga pormula ng pagbabawas na may argumentong π 2 - α, dapat itong ipakita sa anyong π 2 + (- α). Halimbawa:
cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α
Ang patunay ay gumagamit ng mga katangian ng trigonometric function na may mga argumento ng magkasalungat na mga palatandaan.
Ang lahat ng iba pang mga formula ng pagbabawas ay maaaring mapatunayan batay sa mga nakasulat sa itaas.
Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter
Aralin at presentasyon sa paksa: "Paglalapat ng mga formula ng pagbabawas sa paglutas ng mga problema"
Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan. Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang anti-virus program.
Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa Integral online store para sa grade 10
1C: Paaralan. Mga interactive na gawain sa pagtatayo para sa mga baitang 7-10
1C: Paaralan. Paglutas ng mga problema sa geometry. Mga interaktibong gawain sa pagbuo sa espasyo para sa mga baitang 10–11
Ang pag-aaralan natin:
1. Ulitin natin ng kaunti.
2. Mga panuntunan para sa mga formula ng pagbabawas.
3. Talaan ng conversion para sa mga formula ng pagbabawas.
4. Mga halimbawa.
Pagsusuri ng trigonometriko function
Guys, nakatagpo ka na ng mga ghost formula, pero hindi mo pa sila tinatawag ng ganyan. Ano sa tingin mo: saan?
Tingnan ang aming mga guhit. Tama, kapag ang mga kahulugan ng trigonometriko function ay ipinakilala.
Panuntunan para sa mga formula ng pagbabawas
Ipakilala natin ang pangunahing tuntunin: Kung sa ilalim ng tanda ng trigonometric function mayroong isang numero ng form na π×n/2 + t, kung saan ang n ay anumang integer, kung gayon ang ating trigonometric function ay maaaring bawasan sa higit pa simpleng view, na maglalaman lamang ng argumentong t. Ang mga ganitong formula ay tinatawag na ghost formula.
Tandaan natin ang ilang mga formula:
- sin(t + 2π*k) = sin(t)
- cos(t + 2π*k) = cos(t)
- kasalanan(t + π) = -sin(t)
- cos(t + π) = -cos(t)
- sin(t + π/2) = cos(t)
- cos(t + π/2) = -sin(t)
- tan(t + π*k) = tan(x)
- ctg(t + π*k) = ctg(x)
maraming ghost formula, gumawa tayo ng panuntunan kung saan matutukoy natin ang ating trigonometric function kapag gumagamit mga ghost formula:
- Kung ang tanda ng isang trigonometric function ay naglalaman ng mga numero ng form: π + t, π - t, 2π + t at 2π - t, kung gayon ang function ay hindi magbabago, iyon ay, halimbawa, ang sine ay mananatiling isang sine, ang mananatiling cotangent.
- Kung ang tanda ng trigonometric function ay naglalaman ng mga numero ng form: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t at 3π/2 - t, pagkatapos ay magbabago ang function sa isang nauugnay, iyon ay, ang sine ay magiging isang cosine, ang cotangent ay magiging isang tangent. - Bago ang resultang pag-andar, kailangan mong ilagay ang senyales na ang binagong function ay magkakaroon sa ilalim ng kundisyon 0
Nalalapat din ang mga panuntunang ito kapag ang argumento ng function ay ibinigay sa mga degree!
Maaari din kaming lumikha ng isang talahanayan ng mga pagbabagong-anyo ng mga function ng trigonometriko:
Mga halimbawa ng paggamit ng mga formula ng pagbabawas
1. Ibahin ang anyo ng cos(π + t). Ang pangalan ng function ay nananatili, i.e. nakukuha natin ang cos(t). Ipagpalagay pa natin na π/2 
2. Ibahin ang anyo ng sin(π/2 + t). Ang pangalan ng function ay nagbabago, i.e. nakukuha natin ang cos(t). Susunod, ipagpalagay na 0 sin(t + π/2) = cos(t)
3. Ibahin ang anyo ng tg(π + t). Ang pangalan ng function ay nananatili, i.e. nakakakuha tayo ng tan(t). Ipagpalagay pa natin na 0 
4. Ibahin ang anyo ng ctg(270 0 + t). Ang pangalan ng function ay nagbabago, iyon ay, nakakakuha tayo ng tg(t). Ipagpalagay pa natin na 0 
Mga problema sa mga formula ng pagbabawas para sa independiyenteng solusyon
Guys, i-convert mo ito gamit ang aming mga panuntunan:
1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) higaan(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) cotg(3π + t),
6) kasalanan(2π + t),
7) kasalanan(π/2 + 5t),
8) kasalanan(π/2 - t),
9) kasalanan(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).
