Həll.
Emblemlərin çəkilməməsi ehtimalı: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Üç gerb əldə etmək ehtimalı: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
X təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Nümunə № 2. Bir atıcının bir atışla hədəfə dəymə ehtimalı birinci atıcı üçün 0,8, ikinci atıcı üçün isə 0,85-dir. Atıcılar hədəfə bir dəfə atəş açıblar. Hədəfi vurmağı fərdi atıcılar üçün müstəqil hadisələr kimi nəzərə alaraq, A hadisəsinin baş vermə ehtimalını tapın – hədəfə tam olaraq bir zərbə.
Həll.
A hadisəsini nəzərdən keçirin - hədəfə bir zərbə. Mümkün variantlar Bu hadisənin baş verməsi belədir:
- Birinci atıcı vurdu, ikinci atıcı qaçırdı: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
- Birinci atıcı qaçırdı, ikinci atıcı hədəfi vurdu: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
- Birinci və ikinci oxlar bir-birindən asılı olmayaraq hədəfə dəyir: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68
Təsadüfi dəyişən müxtəlif şərtlərdən asılı olaraq müəyyən dəyərlər qəbul edə bilən bir dəyişəndir və öz növbəsində, təsadüfi dəyərçağırdı diskret , onun dəyərlərinin çoxluğu sonlu və ya hesablana biləndirsə.
Diskret təsadüfi dəyişənlərlə yanaşı, davamlı təsadüfi dəyişənlər də var.
Təsadüfi dəyişən anlayışını daha ətraflı nəzərdən keçirək. Praktikada çox vaxt müəyyən dəyərləri qəbul edə bilən kəmiyyətlər olur, lakin onların hər birinin nəzərdən keçirilən təcrübədə, hadisədə və ya müşahidədə hansı dəyəri alacağını etibarlı şəkildə proqnozlaşdırmaq mümkün deyil. Məsələn, növbəti gün Moskvada doğulacaq oğlanların sayı dəyişə bilər. Sıfıra bərabər ola bilər (bir oğlan da doğulmayacaq: bütün qızlar doğulacaq və ya ümumiyyətlə yeni doğulmuşlar olmayacaq), bir, iki və s. n. Belə dəyərlərə aşağıdakılar daxildir: sahədəki şəkər çuğunduru köklərinin kütləsi, artilleriya mərmisinin uçuş məsafəsi, partiyadakı qüsurlu hissələrin sayı və s. Belə kəmiyyətləri təsadüfi adlandıracağıq. Hər şeyi xarakterizə edirlər mümkün nəticələr kəmiyyət tərəfdən təcrübə və ya müşahidə.
Diskret təsadüfi dəyişənlərin nümunələri Sonlu sayda dəyərlərlə gün ərzində doğulan uşaqların sayı ola bilər məhəllə, avtobus sərnişinlərinin sayı, gündə Moskva metrosu ilə daşınan sərnişinlərin sayı və s.
Diskret təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin sayı sonsuz, lakin hesablana bilən çoxluq ola bilər. Ancaq hər halda, onlar müəyyən qaydada nömrələnə bilər və ya daha dəqiq desək, təsadüfi dəyişən ilə təsadüfi dəyişənin dəyərləri arasında bir-bir uyğunluq qurula bilər. natural ədədlər 1, 2, 3, ..., n.
Diqqət: ehtimal nəzəriyyəsində yeni, çox vacib bir konsepsiya - paylama qanunu
. Qoy X qəbul edə bilər n dəyərlər: . Onların hamısının fərqli olduğunu (əks halda eyni olanlar birləşdirilməlidir) və artan qaydada düzüldüyünü fərz edəcəyik. üçün tam xüsusiyyətləri diskret təsadüfi dəyişən təkcə onun bütün dəyərləri deyil, həm də ehtimalları göstərilməlidir
, onunla təsadüfi dəyişən dəyərlərin hər birini alır, yəni. 
.
Diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanunu istənilən qayda (funksiya, cədvəl) çağırılır səh(x), təsadüfi dəyişənlə əlaqəli bütün növ hadisələrin ehtimallarını tapmağa imkan verir (məsələn, onun hansısa dəyər nümunəsi olması və ya hansısa intervala düşmə ehtimalı).
Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanununu aşağıdakı cədvəl şəklində təyin etmək ən sadə və rahatdır:
| Məna | ... | |||
| Ehtimal | ... |
Bu cədvəl adlanır diskret təsadüfi dəyişənin paylanması yaxınlığında. Dağıtım seriyasının yuxarı sətirində hamısı artan qaydada sadalanır mümkün dəyərlər diskret təsadüfi dəyişən (x) və aşağı hissədə - bu dəyərlərin ehtimalı ( səh).
Hadisələr 
uyğun gəlməyən və yeganə mümkün olanlardır: tam hadisələr sistemini təşkil edirlər. Beləliklə, onların ehtimallarının cəmi birə bərabərdir:
.
Misal 1. Tələbə qrupunda lotereya təşkil olunub. 1000 rubl dəyərində iki məhsul alına bilər. və birinin qiyməti 3000 rubl. 100 rubla bir bilet alan bir tələbə üçün xalis uduşun məbləği üçün paylama qanunu tərtib edin. Ümumilikdə 50 bilet satılıb.
Həll. Bizi maraqlandıran təsadüfi dəyişəndir Xüç dəyər ala bilər: - 100 rub. (tələbə qalib gəlmirsə, lakin bilet üçün ödənilən 100 rublu həqiqətən itirirsə), 900 rubl. və 2900 rub. (faktiki uduşlar 100 rubl azaldılır - biletin dəyəri ilə). Birinci nəticə 50-dən 47-si, ikincisi 2, üçüncüsü isə birdir. Buna görə də onların ehtimalları: P(X=-100)=47/50=0,94 , P(X=900)=2/50=0,04 , P(X=2900)=1/50=0,02 .
Diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanunu X oxşayır
| Uduş məbləği | -100 | 900 | 2900 |
| Ehtimal | 0,94 | 0,04 | 0,02 |
Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası: konstruksiya
Bir paylama seriyası yalnız diskret təsadüfi dəyişən üçün qurula bilər (qeyri-diskret təsadüfi dəyişən üçün onu qurmaq mümkün deyil, yalnız belə bir təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətləri çoxluğu sayılmadığı üçün onları yuxarıda qeyd etmək mümkün deyilsə) masanın sırası).
Ən çox ümumi forma bütün təsadüfi dəyişənlərə (həm diskret, həm də qeyri-diskret) uyğun olan paylanma qanunu paylama funksiyasıdır.
Diskret təsadüfi kəmənin paylanma funksiyası və ya inteqral funksiya funksiyası adlanır 
, təsadüfi dəyişənin dəyərinin olma ehtimalını təyin edən X limit dəyərindən az və ya ona bərabərdir X.
İstənilən diskret təsadüfi dəyişənin paylama funksiyası fasiləsiz addım funksiyasıdır, onun atlamaları təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərlərinə uyğun olan nöqtələrdə baş verir və bu dəyərlərin ehtimallarına bərabərdir.
Misal 2. Diskret təsadüfi dəyişən X- zar atarkən əldə edilən xalların sayı. Onun paylanma funksiyasını hesablayın.
Həll. Diskret təsadüfi dəyişənin paylanma seriyası X formaya malikdir:
| Məna | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Ehtimal | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Paylanma funksiyası F(x) 1/6-ya bərabər olan 6 atlamaya malikdir (aşağıdakı şəkildə).
Misal 3. Qabda 6 ağ və 4 qara top var. Qazandan 3 top çəkilir. Çəkilmiş toplar arasında ağ topların sayı diskret təsadüfi dəyişəndir X. Ona uyğun paylama qanununu tərtib edin.
X 0, 1, 2, 3 dəyərlərini qəbul edə bilər. Müvafiq ehtimallar ən asanlıqla hesablana bilər. ehtimalın çoxaldılması qaydası. Diskret təsadüfi dəyişənin aşağıdakı paylanması qanununu əldə edirik:
| Məna | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Ehtimal | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Misal 4. Diskret təsadüfi dəyişən üçün paylama qanununu tərtib edin - bir atışla vurulma ehtimalı 0,1 olarsa, dörd atışla hədəfə vurulan vuruşların sayı.
Həll. Diskret təsadüfi dəyişən X beş müxtəlif qiymət ala bilər: 1, 2, 3, 4, 5. Biz müvafiq ehtimalları istifadə edərək tapırıq. Bernoulli düsturu
. At
n = 4 ,
səh = 1,1 ,
q = 1 - səh = 0,9 ,
m = 0, 1, 2, 3, 4
alırıq
Nəticə etibarilə, diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu X oxşayır
Diskret təsadüfi kəmiyyətin qiymətlərinin ehtimalları Bernoulli düsturundan istifadə etməklə müəyyən edilə bilərsə, onda təsadüfi dəyişən binomial paylanma .
Sınaqların sayı kifayət qədər böyükdürsə, bu sınaqlarda maraq hadisəsinin baş vermə ehtimalı var m dəfə qanuna tabe olur Poisson paylanması .
Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası: hesablama
Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyasını hesablamaq F(X), sərhəd dəyərindən az və ya ona bərabər olan bütün bu dəyərlərin ehtimallarını toplamaq tələb olunur. X.
Misal 5. Cədvəldə il ərzində pozulan nikahların sayının nikah müddətindən asılılığı göstərilir. Növbəti boşanmış nikahın 5 ildən az və ya ona bərabər davam etməsi ehtimalını tapın.
| Evlilik müddəti (illər) | Nömrə | Ehtimal | F(x) |
| 0 | 10 | 0,002 | 0,002 |
| 1 | 80 | 0,013 | 0,015 |
| 2 | 177 | 0,029 | 0,044 |
| 3 | 209 | 0,035 | 0,079 |
| 4 | 307 | 0,051 | 0,130 |
| 5 | 335 | 0,056 | 0,186 |
| 6 | 358 | 0,060 | 0,246 |
| 7 | 413 | 0,069 | 0,314 |
| 8 | 432 | 0,072 | 0,386 |
| 9 | 402 | 0,067 | 0,453 |
| 10 və ya daha çox | 3287 | 0,547 | 1,000 |
| Ümumi | 6010 | 1 |
Həll. Ehtimallar müvafiq pozulmuş nikahların sayını 6010-un ümumi sayına bölmək yolu ilə hesablanır. Növbəti boşanmış nikahın 5 il davam etməsi ehtimalı 0,056-dır. Növbəti boşanmış nikahın müddətinin 5 ildən az və ya ona bərabər olması ehtimalı 0,186-dır. Dəyəri əlavə etməklə əldə etdik F(x) 4 il daxil olmaqla nikahlar üçün, 5 il müddətinə olan nikahlar üçün ehtimal.
Diskret təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu ilə riyazi gözlənti və dispersiya arasında əlaqə
Çox vaxt diskret təsadüfi dəyişənin bütün dəyərləri məlum deyil, lakin sıradan bəzi dəyərlər və ya ehtimallar məlumdur, həmçinin təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri və (və ya) dispersiyaları, ayrı bir dərsin həsr olunduğu.
Gəlin burada bu dərsdən diskret təsadüfi dəyişənin paylanma qanununu tərtib edərkən kömək edə biləcək bəzi düsturları təqdim edək və bu cür məsələlərin həlli nümunələrinə baxaq.
Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi onun bütün mümkün dəyərlərinin və bu dəyərlərin ehtimallarının məhsullarının cəmidir:
(1)
Diskret təsadüfi kəmənin tərifinə görə dispersiya düsturu belədir:
Çox vaxt aşağıdakı dispersiya düsturu hesablamalar üçün daha əlverişlidir:
, (2)
Harada 
.
Misal 6. Diskret təsadüfi dəyişən X yalnız iki dəyər qəbul edə bilər. Ehtimalla daha kiçik bir dəyər alır səh= 0,6. Diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanununu tapın X, onun riyazi gözləntisinin və dispersiyasının olduğu məlum olarsa.
Həll. Təsadüfi dəyişənin daha böyük dəyər alması ehtimalı x2 , 1 − 0,6 = 4-ə bərabərdir. Riyazi gözləmənin (1) düsturundan istifadə edərək, naməlumların diskret təsadüfi dəyişənimizin dəyərləri olduğu bir tənlik yaradırıq:
Dispersiya düsturundan (2) istifadə edərək, naməlumların diskret təsadüfi dəyişənin qiymətləri olduğu başqa bir tənlik yaradırıq:
Alınan iki tənlik sistemi
əvəzetmə üsulu ilə həll edir. Birinci tənlikdən alırıq
Bu ifadəni ikinci tənliyə əvəz edərək, sadə çevrilmələrdən sonra əldə edirik kvadrat tənlik
,
iki kökü olan: 7/5 və −1. Birinci kök problemin şərtlərinə cavab vermir, çünki x2 < x 1 . Beləliklə, diskret təsadüfi dəyişənin ala biləcəyi dəyərlər X nümunəmizin şərtlərinə görə bərabərdirlər x1 = −1 Və x2 = 2 .
Bu səhifədə biz təhsil həlləri nümunələrini topladıq diskret təsadüfi dəyişənlərlə bağlı problemlər. Bu kifayət qədər geniş bölmədir: hər bir paylanma sırası üçün müxtəlif paylanma qanunları (binom, həndəsi, hiperhəndəsi, Puasson və başqaları), xassələri və ədədi xarakteristikaları öyrənilir, qrafik təsvirlər qurula bilər: ehtimalların çoxbucaqlı (çoxbucaqlı), paylanma funksiyası;
Aşağıda siz paylanma qanununu tərtib etmək üçün ehtimal nəzəriyyəsinin əvvəlki bölmələrindən bilikləri tətbiq etməli və sonra riyazi gözlənti, dispersiya, standart sapmanı hesablamalı, paylanma funksiyası qurmalı, cavab verməli olduğunuz diskret təsadüfi dəyişənlər haqqında qərar nümunələri tapa bilərsiniz. DSV ilə bağlı suallar və s. P.
Məşhur ehtimal paylama qanunlarına nümunələr:
DSV xüsusiyyətləri üçün kalkulyatorlar
- DSV-nin riyazi gözləntisinin, dispersiyanın və standart kənarlaşmanın hesablanması.
DSV ilə bağlı problemlər həll edildi
Həndəsiyə yaxın paylanmalar
Tapşırıq 1. Nəqliyyat vasitəsinin yolu boyunca hər biri 0,5 ehtimalla nəqliyyat vasitəsinin sonrakı hərəkətini qadağan edən 4 işıqfor var. Birinci dayanacaqdan əvvəl avtomobilin yanından keçən işıqforların sayının paylanma sırasını tapın. Bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri və dispersiyaları hansılardır?
Tapşırıq 2. Ovçu ilk vuruşa qədər oyuna atəş açır, lakin dörd güllədən çox atəş açmağı bacarır. Bir atışla hədəfi vurma ehtimalı 0,7 olarsa, buraxılışların sayı üçün paylama qanunu tərtib edin. Bu təsadüfi dəyişənin dispersiyasını tapın.
Tapşırıq 3. 3 patron olan atıcı, ilk vuruşa qədər hədəfə atəş açır. Birinci, ikinci və üçüncü atışlar üçün vuruş ehtimalları müvafiq olaraq 0,6, 0,5, 0,4-dür. S.V. $\xi$ - qalan patronların sayı. Təsadüfi dəyişənin paylanma sırasını tərtib edin, riyazi gözləntiləri, dispersiyanı, ortanı tapın standart sapma r.v., r.v paylama funksiyasını qurun, $P(|\xi-m| \le \sigma$) tapın.
Tapşırıq 4. Qutuda 7 standart və 3 nasaz hissə var. Standart olanı görünənə qədər hissələri geri qaytarmadan ardıcıl olaraq çıxarırlar. $\xi$ əldə edilən qüsurlu hissələrin sayıdır.
Diskret təsadüfi dəyişən $\xi$ üçün paylanma qanununu tərtib edin, onun riyazi gözləntisini, dispersiyasını, standart kənarlaşmasını hesablayın, paylanma çoxbucağını və paylanma funksiyasının qrafikini çəkin.
Müstəqil hadisələrlə tapşırıqlar
Tapşırıq 5. Ehtimal nəzəriyyəsi üzrə təkrar imtahana 3 şagird çıxıb. Birinci şəxsin imtahandan keçmə ehtimalı 0,8, ikincinin 0,7, üçüncünün isə 0,9-dur. İmtahandan keçən tələbələrin sayının $\xi$ təsadüfi kəmiyyətinin paylanma sırasını tapın, paylanma funksiyasının qrafikini çəkin, $M(\xi), D(\xi)$ tapın.
Tapşırıq 6. Hədəfi bir atışla vurma ehtimalı 0,8-dir və hər atışda 0,1 azalır. Üç atəş açıldıqda, hədəfə vurulan zərbələrin sayı üçün paylama qanunu tərtib edin. Gözlənilən dəyəri, fərqi və S.K.O.-nu tapın. bu təsadüfi dəyişən. Paylanma funksiyasının qrafikini çəkin.
Tapşırıq 7. Hədəfə 4 atəş açılır. Vurma ehtimalı aşağıdakı kimi artır: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. $X$ təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanununu tapın - vuruşların sayı. $X \ge 1$ olması ehtimalını tapın.
Tapşırıq 8.İki simmetrik sikkə atılır və sikkələrin hər iki yuxarı tərəfindəki gerblərin sayı sayılır. Biz diskret təsadüfi dəyişən $X$ hesab edirik - hər iki sikkədəki gerblərin sayı. $X$ təsadüfi dəyişənin paylanma qanununu yazın, onun riyazi gözləntisini tapın.
DSV-nin yayılmasının digər problemləri və qanunları
Tapşırıq 9.İki basketbolçu səbətə üç zərbə vurur. Birinci basketbolçu üçün vuruş ehtimalı 0,6, ikinci üçün isə 0,7-dir. Birinci və ikinci basketbolçuların uğurlu atışlarının sayı arasındakı fərq $X$ olsun. $X$ təsadüfi dəyişənin paylama seriyasını, rejimini və paylanma funksiyasını tapın. Paylanma çoxbucaqlısını və paylanma funksiyasının qrafikini qurun. Gözlənilən dəyəri, dispersiyanı və standart kənarlaşmanı hesablayın. $(-2 \lt X \le 1)$ hadisəsinin baş vermə ehtimalını tapın.
Problem 10. Müəyyən bir limana yükləmək üçün gündəlik gələn qeyri-rezident gəmilərin sayı təsadüfi dəyişən $X$-dır və aşağıdakı kimi verilir:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) paylanma seriyasının göstərildiyinə əmin olun;
B) $X$ təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyasını tapın,
C) bir gündə üçdən çox gəmi gəlirsə, əlavə maşinistlərin və yükləyicilərin işə götürülməsi zərurəti ilə əlaqədar olaraq liman xərclərin məsuliyyətini öz üzərinə götürür. Limanın əlavə xərclərə məruz qalma ehtimalı nədir?
D) $X$ təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisini, dispersiyasını və standart kənarlaşmasını tapın.
Problem 11. 4 atmaq zar. Hər tərəfdən görünəcək xalların sayının cəminin riyazi gözləntisini tapın.
Problem 12. Gerb ilk görünənə qədər ikisi növbə ilə sikkə atırlar. Gerbi alan oyunçu digər oyunçudan 1 rubl alır. Hər bir oyunçu üçün qalibiyyətin riyazi gözləntisini tapın.
Məlum olduğu kimi, təsadüfi dəyişən vəziyyətdən asılı olaraq müəyyən dəyərlər qəbul edə bilən dəyişən kəmiyyət adlanır. Təsadüfi dəyişənlər işarə edir böyük hərflərlə Latın əlifbası(X, Y, Z) və onların dəyərləri müvafiq kiçik hərflərlə (x, y, z) göstərilir. Təsadüfi dəyişənlər fasiləsiz (diskret) və davamlı olaraq bölünür.
Diskret təsadüfi dəyişən müəyyən sıfırdan fərqli ehtimallarla yalnız sonlu və ya sonsuz (hesablana bilən) dəyərlər toplusunu qəbul edən təsadüfi dəyişəndir.
Diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanunu təsadüfi dəyişənin qiymətlərini onların müvafiq ehtimalları ilə birləşdirən funksiyadır. Paylanma qanunu aşağıdakı yollardan biri ilə müəyyən edilə bilər.
1 . Paylanma qanunu cədvəllə verilə bilər:
burada λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V) istifadə etməklə paylanma funksiyaları F(x) , hər bir x dəyəri üçün təsadüfi dəyişən X-in x-dən kiçik bir dəyər alması ehtimalını təyin edir, yəni. F(x) = P(X< x).
F(x) funksiyasının xassələri
3 . Paylanma qanunu qrafik olaraq müəyyən edilə bilər – paylanma çoxbucaqlı (poliqon) (3-cü məsələyə bax).
Qeyd edək ki, bəzi problemləri həll etmək üçün paylanma qanununu bilmək lazım deyil. Bəzi hallarda ən çox əks etdirən bir və ya bir neçə rəqəmi bilmək kifayətdir mühüm xüsusiyyətlər paylama qanunu. Bu, təsadüfi dəyişənin "orta" mənasını daşıyan bir ədəd və ya onu göstərən bir ədəd ola bilər. orta ölçü təsadüfi dəyişənin orta qiymətindən kənarlaşması. Bu cür ədədlərə təsadüfi dəyişənin ədədi xarakteristikaları deyilir.
Diskret təsadüfi dəyişənin əsas ədədi xarakteristikaları :
- Riyazi gözlənti
diskret təsadüfi dəyişənin (orta dəyəri). M(X)=Σ x i p i.
Binom paylanması üçün M(X)=np, Puasson paylanması üçün M(X)=λ - Dispersiya
diskret təsadüfi dəyişən D(X)=M2 və ya D(X) = M(X 2)− 2. X–M(X) fərqi təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisindən kənarlaşması adlanır.
Binom paylanması üçün D(X)=npq, Puasson paylanması üçün D(X)=λ - Standart sapma (standart sapma) σ(X)=√D(X).
“Diskret təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu” mövzusunda məsələlərin həlli nümunələri
Tapşırıq 1.
1000 lotereya bileti buraxıldı: onlardan 5-i 500 rubl, 10-u 100 rubl, 20-si 50 rubl, 50-si 10 rubl qazanacaq. Təsadüfi dəyişən X ehtimalının paylanması qanununu müəyyən edin - hər biletə uduş.
Həll. Məsələnin şərtlərinə görə, təsadüfi dəyişən X-in aşağıdakı qiymətləri mümkündür: 0, 10, 50, 100 və 500.
Uduşsuz biletlərin sayı 1000 – (5+10+20+50) = 915, sonra P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Eynilə, biz bütün digər ehtimalları tapırıq: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X) =500) = 5/1000=0,005. Nəticə qanunu cədvəl şəklində təqdim edək:
X dəyərinin riyazi gözləntisini tapaq: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Tapşırıq 3.
Cihaz üç müstəqil işləyən elementdən ibarətdir. Hər bir elementin bir sınaqda uğursuzluq ehtimalı 0,1-dir. Bir təcrübədə uğursuz elementlərin sayı üçün paylanma qanununu tərtib edin, paylama poliqonunu qurun. F(x) paylama funksiyasını tapın və onun qraflığını çəkin. Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini, dispersiyasını və standart kənarlaşmasını tapın.
Həll. 1. Diskret təsadüfi dəyişən X = (bir sınaqda uğursuz elementlərin sayı) aşağıdakı mümkün qiymətlərə malikdir: x 1 = 0 (cihaz elementlərinin heç biri uğursuz), x 2 = 1 (bir element uğursuz), x 3 = 2 ( iki element uğursuz oldu ) və x 4 =3 (üç element uğursuz).
Elementlərin uğursuzluqları bir-birindən müstəqildir, hər bir elementin uğursuzluq ehtimalları bərabərdir, buna görə də tətbiq olunur. Bernoulli düsturu
. Nəzərə alsaq ki, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9 şərtinə uyğun olaraq qiymətlərin ehtimallarını təyin edirik:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0,1 3 = 0,001;
Yoxlayın: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Beləliklə, X-in arzu olunan binomial paylanma qanunu formaya malikdir:
X i-nin mümkün qiymətlərini absis oxu boyunca və müvafiq ehtimalları p i ordinat oxu boyunca çəkirik. M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001) nöqtələrini quraq. Bu nöqtələri düz xətt seqmentləri ilə birləşdirərək, istədiyimiz paylama poliqonunu əldə edirik.
3. F(x) = Р(Х) paylanma funksiyasını tapaq
x ≤ 0 üçün F(x) = Р(Х) olur<0) = 0;0 üçün< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 üçün< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 üçün< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 üçün F(x) = 1 olacaq, çünki hadisə etibarlıdır.
 |
F(x) funksiyasının qrafiki
4.
X binomial paylanması üçün:
- riyazi gözlənti M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersiya D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- standart kənarlaşma σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Bu səhifədə biz qısa bir nəzəriyyə və təhsil problemlərinin həllinə dair nümunələr topladıq ki, burada diskret təsadüfi dəyişən artıq paylanma seriyası (cədvəl forması) ilə müəyyən edilir və onu öyrənmək tələb olunur: ədədi xüsusiyyətləri tapmaq, qrafiklər qurmaq və s. Məlum paylama növlərinin nümunələri aşağıdakı linklərdə tapıla bilər:
DSV haqqında qısa nəzəriyyə
Diskret təsadüfi dəyişən onun paylama seriyası ilə müəyyən edilir: onun ala biləcəyi $x_i$ dəyərlərinin siyahısı və müvafiq ehtimallar $p_i=P(X=x_i)$. Təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin sayı sonlu və ya hesablana bilər. Dəqiqlik üçün biz $i=\overline(1,n)$ halını nəzərdən keçirəcəyik. Sonra diskret təsadüfi dəyişənin cədvəl şəklində təqdimatı aşağıdakı formaya malikdir:
$$ \begin(massiv)(|c|c|) \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \hline \end(massiv) $ $
Bu halda, normallaşma şərti təmin edilir: bütün ehtimalların cəmi 1-ə bərabər olmalıdır.
$$\sum_(i=1)^(n) p_i=1$$
Qrafik olaraq, paylama seriyası təmsil oluna bilər paylama poliqonu(və ya paylama poliqonu). Bunun üçün müstəvidə $(x_i,p_i)$ koordinatları olan nöqtələr çəkilir və qırıq xətlə ardıcıllıqla birləşdirilir. Ətraflı nümunələri tapa bilərsiniz.
DSV-nin ədədi xüsusiyyətləri
Gözlənilən dəyər:
$$M(X) = \sum_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$
Dispersiya:
$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ $
Standart sapma:
$$\sigma (X) = \sqrt(D(X))$$
Dəyişmə əmsalı:
$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$.
Rejim: ən yüksək ehtimalla $Mo=x_k$ dəyəri $p_k=\max_i(p_i)$.
DSV-nin gözlənilən dəyərini, fərqini və standart sapmasını hesablamaq üçün onlayn kalkulyatorlardan istifadə edə bilərsiniz.
DSV paylama funksiyası
Dağıtım seriyasından biri tərtib edilə bilər paylama funksiyası diskret təsadüfi dəyişən $F(x)=P(X\lt x)$. Bu funksiya $X$ təsadüfi dəyişənin müəyyən $x$ ədədindən kiçik dəyər alması ehtimalını təyin edir. Aşağıdakı nümunələrdə ətraflı hesablamalar və qrafiklərlə tikinti nümunələrini tapa bilərsiniz.
Həll edilmiş problemlərin nümunələri
Tapşırıq 1. Diskret təsadüfi dəyişən paylama seriyası ilə müəyyən edilir:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Paylanma çoxbucaqlı və paylanma funksiyası $F(x)$ qurun. Hesablayın: $M[X], D[X], \sigma[X]$, həmçinin variasiya əmsalı, əyilmə, kurtoz, rejim və median.
Tapşırıq 2. Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanması qanunu verilir.
a) X təsadüfi kəmiyyətinin M(x) riyazi gözləntisini, D(x) dispersiyasını və standart kənarlaşmasını (x) təyin edin; b) bu paylanmanın qrafikini qurun.
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02
Tapşırıq 3. Verilmiş paylama seriyası ilə təsadüfi dəyişən X üçün
-1 0 1 8
0.2 0.1 $р_1$ $р_2$
A) $p_1$ və $p_2$ tapın ki, $M(X)=0,5$ olsun
B) bundan sonra $X$ təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisini və dispersiyasını hesablayın və onun paylanma funksiyasının qrafikini qurun.
Tapşırıq 4. Diskret SV $X$ yalnız iki dəyər qəbul edə bilər: $x_1$ və $x_2$ və $x_1 \lt x_2$. Mümkün dəyərin $P$ ehtimalı, $M(x)$ riyazi gözləməsi və $D(x)$ dispersiyası məlumdur. Tapın: 1) Bu təsadüfi kəmənin paylanma qanunu; 2) SV paylama funksiyası $X$; 3) $F(x)$ qrafikini qurun.
$P=0,3; M(x)=6,6; D(x)=13.44.$
Tapşırıq 5. X təsadüfi dəyişəni üç qiymət alır: 2, 4 və 6. $M(X)=4.2$, $D(X)=1.96$ olarsa, bu dəyərlərin ehtimallarını tapın.
Tapşırıq 6. Diskret r.v-nin bir sıra paylanması verilmişdir. $X$. r.v-nin mövqeyinin və dispersiyasının ədədi xarakteristikalarını tapın. $X$. m.o. tapın. və dispersiya r.v. $Y=X/2-2$, r.v paylama seriyasını yazmadan. $Y$, generasiya funksiyasından istifadə edərək nəticəni yoxlayın.
r.v paylama funksiyasını qurun. $X$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ p¦ 0.3¦ 0.1¦ 0.3¦ 0.2¦ 0.1¦
Tapşırıq 7. Diskret təsadüfi dəyişən $X$-ın paylanması aşağıdakı cədvəldə (paylanma sırası) verilmişdir:
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Dağıtım cədvəlində çatışmayan dəyəri təyin edin. Paylanmanın əsas ədədi xarakteristikalarını hesablayın: $M_x, D_x, \sigma_x$. $F(x)$ paylama funksiyasını tapın və qurun. $X$ təsadüfi dəyişəninin aşağıdakı dəyərləri alması ehtimalını müəyyən edin:
A) 6-dan çox,
B) 12-dən az,
C) 9-dan çox deyil.
Tapşırıq 8. Problem aşağıdakıları tapmağı tələb edir: a) riyazi gözlənti; b) dispersiya; c) cədvəldə verilmiş paylanma qanununa uyğun olaraq diskret təsadüfi kəmiyyət X-in standart kənarlaşması (cədvəlin birinci sətri mümkün dəyərləri, ikinci sətir mümkün qiymətlərin ehtimallarını göstərir).
Tapşırıq 9. Diskret təsadüfi dəyişən $X$-ın paylanma qanunu verilmişdir (birinci sətir $x_i$-ın mümkün dəyərlərini, ikinci sətirdə $p_i$-ın mümkün qiymətlərinin ehtimallarını göstərir).
Tapın:
A) riyazi gözlənti $M(X)$, dispersiya $D(X)$ və standart kənarlaşma $\sigma(X)$;
B) $F(x)$ təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyasını tərtib edin və onun qrafikini qurun;
C) $X$ təsadüfi dəyişənin $x_2 \lt X \lt x_4$ intervalına düşmə ehtimalını $F(x)$ tərtib olunmuş paylama funksiyasından istifadə edərək hesablayın;
D) $Y=100-2X$ dəyəri üçün paylanma qanununu tərtib edin;
D) iki üsulla tərtib edilmiş $Y$ təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisini və dispersiyasını hesablayın, yəni. faydalanaraq
riyazi gözlənti və dispersiya xassəsi, eləcə də bilavasitə $Y$ təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanununa görə.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4
Problem 10. Diskret təsadüfi dəyişən cədvələ verilir. Onun ilkin və mərkəzi anlarını 4-cü sıra daxil olmaqla hesablayın. $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi hadisələrinin ehtimallarını tapın. $.
X 0 0,3 0,6 0,9 1,2
P 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1
