Natural ədədlər. Natural ədədlərin bölünmə qabiliyyəti

Bu məqalə materialla başlayır tam ədədlərin bölünmə nəzəriyyəsi. Burada biz bölünmə anlayışını təqdim edirik və qəbul edilmiş şərtləri və qeydləri göstəririk. Bu, bölünmə qabiliyyətinin əsas xüsusiyyətlərini sadalamağa və əsaslandırmağa imkan verəcəkdir.

Səhifə naviqasiyası.

Bölünmə anlayışı

Bölünmə anlayışı arifmetika və ədədlər nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarından biridir. Bölünmə haqqında və xüsusi hallarda - bölünmə haqqında danışacağıq. Beləliklə, tam ədədlər çoxluğuna bölünmə haqqında bir fikir verək.

Tam ədəd a səhmlər sıfırdan fərqli b tam ədədi ilə, əgər a=b·q bərabərliyi doğru olsun deyə tam ədəd varsa (onu q işarə edək). Bu halda biz də deyirik ki, b bölür a. Bu halda b tam ədədi çağırılır bölücü a ədədləri, a tam ədədi deyilir qatlar b ədədi (bölənlər və qatlar haqqında daha çox məlumat üçün Bölənlər və Katlar məqaləsinə baxın) və q tam ədədi adlanır özəl.

Əgər a tam ədədi yuxarıdakı mənada b tam ədədinə bölünürsə, onda a-nın b-yə bölündüyünü söyləmək olar. tamamilə. Bu halda “bütün” sözü daha da vurğulayır ki, a tam ədədini b tam ədədinə bölən hissə tam ədəddir.

Bəzi hallarda verilmiş a və b tam ədədləri üçün a=b·q bərabərliyinin doğru olduğu q tam ədədi yoxdur. Belə hallarda deyirik ki, a tam b tamına bölünmür (yani a, b-yə bölünmür). Ancaq bu hallarda müraciət edirlər.

Nümunələrdən istifadə edərək bölünmə anlayışını anlayaq.

İstənilən a tam ədədi a rəqəminə, −a, a ədədinə, birinə və −1 ədədinə bölünür.

Bölünmənin bu xüsusiyyətini sübut edək.

İstənilən a tam ədədi üçün a=a·1 və a=1·a bərabərlikləri etibarlıdır, buradan belə nəticə çıxır ki, a a-ya bölünür və hissə birə bərabərdir və a 1-ə bölünür və əmsal a-a bərabərdir. İstənilən a tam ədədi üçün a=(−a)·(−1) və a=(−1)·(−a) bərabərlikləri də etibarlıdır, buradan belə nəticə çıxır ki, a a-nın əksinə olan ədədə bölünür, çünki eləcə də a mənfi vahidə bölünür.

Qeyd edək ki, a tam ədədinin öz-özünə bölünmə xassəsinə refleksivlik xassəsi deyilir.

Bölünmənin növbəti xüsusiyyəti sıfırın istənilən b tam ədədinə bölündüyünü bildirir.

Həqiqətən də, hər hansı b tam ədədi üçün 0=b·0 olduğundan, sıfır istənilən tam ədədə bölünür.

Xüsusilə, sıfır da sıfıra bölünür. Bu, 0=0·q bərabərliyini təsdiq edir, burada q istənilən tam ədəddir. Bu bərabərlikdən belə çıxır ki, sıfırın sıfıra bölünməsi istənilən tam ədəddir.

Onu da qeyd etmək lazımdır ki, sıfırdan başqa heç bir a tam ədədi 0-a bölünmür. Bunu izah edək. Əgər sıfır tam ədədi sıfırdan fərqli a bölürsə, onda a=0·q bərabərliyi doğru olmalıdır, burada q hansısa tam ədəddir və sonuncu bərabərlik yalnız a=0 üçün mümkündür.

Əgər a tam ədədi b tam ədədinə bölünürsə və a b modulundan kiçikdirsə, a sıfıra bərabərdir. Hərfi formada bu bölünmə xüsusiyyəti aşağıdakı kimi yazılır: əgər ab və , onda a=0.

Sübut.

a b-yə bölündüyü üçün a=b·q bərabərliyinin doğru olduğu tam q ədədi var. O zaman bərabərlik də doğru olmalıdır və formanın bərabərliyi də doğru olmalıdır. Əgər q sıfıra bərabər deyilsə, onda belə çıxır ki, . Alınan bərabərsizliyi nəzərə alsaq, bərabərlikdən belə çıxır ki, . Amma bu şərtə ziddir. Beləliklə, q yalnız sıfıra bərabər ola bilər və biz a=b·q=b·0=0 alırıq ki, bunu sübut etmək lazım idi.

Əgər a tam ədədi sıfırdan fərqlidirsə və b tam ədədinə bölünürsə, a-nın modulu b-nin modulundan az deyil. Yəni a≠0 və ab olarsa, onda . Bu bölünmə xüsusiyyəti birbaşa əvvəlkindən irəli gəlir.

Vahidin yeganə bölənləri 1 və −1 tam ədədləridir.

Əvvəlcə 1-in 1-ə və −1-ə bölündüyünü göstərək. Bu, 1=1·1 və 1=(−1)·(−1) bərabərliklərindən irəli gəlir.

Başqa heç bir tam ədədin birliyə bölən olmadığını sübut etmək qalır.

Tutaq ki, 1 və −1-dən fərqli b tam ədədi vəhdət bölənidir. Vəhdət b-yə bölündüyündən, əvvəlki bölünmə xüsusiyyətinə görə bərabərsizlik təmin edilməlidir ki, bu da bərabərsizliyə bərabərdir. Bu bərabərsizlik yalnız üç tam ədədlə təmin edilir: 1, 0 və −1. Biz b-nin 1 və −1-dən fərqli olduğunu qəbul etdiyimiz üçün yalnız b=0 qalır. Lakin b=0 vəhdət bölən ola bilməz (bölünmənin ikinci xassəsini təsvir edərkən göstərdiyimiz kimi). Bu, 1 və −1-dən başqa heç bir ədədin vəhdət bölən olmadığını sübut edir.

a tam ədədinin b tam ədədinə bölünməsi üçün a ədədinin modulunun b ədədinin moduluna bölünməsi zəruri və kifayətdir.

Gəlin əvvəlcə zəruriliyi sübut edək.

a b-yə bölünsün, onda q tam ədədi var ki, a=b·q. Sonra . Tam ədəd olduğu üçün bərabərlik a ədədinin modulunun b ədədinin moduluna bölünməsini nəzərdə tutur.

İndi kafilik.

Qoy a ədədinin modulu b ədədinin moduluna bölünsün, onda q tam ədədi var ki, . Əgər a və b ədədləri müsbətdirsə, a-nın b-yə bölünməsini sübut edən a=b·q bərabərliyi doğrudur. Əgər a və b mənfidirsə, onda −a=(−b)·q bərabərliyi doğrudur, a=b·q kimi yenidən yazmaq olar. Əgər a - mənfi rəqəm, və b müsbətdir, onda −a=b·q olur, bu bərabərlik a=b·(−q) bərabərliyinə bərabərdir. Əgər a müsbət, b isə mənfidirsə, onda a=(−b)·q , və a=b·(−q) olur. Həm q, həm də −q tam ədədlər olduğundan, yaranan bərabərliklər a-nın b-yə bölündüyünü sübut edir.

Nəticə 1.

Əgər a tam ədədi b tam ədədinə bölünürsə, o zaman a da əks ədəd −b ​​ədədinə bölünür.

Nəticə 2.

Əgər a tam ədədi b tam ədədinə bölünürsə, onda −a da b-yə bölünür.

Bölünmənin indicə müzakirə olunan xassəsinin əhəmiyyətini çox qiymətləndirmək çətindir - bölünmə nəzəriyyəsi müsbət tam ədədlər çoxluğunda təsvir edilə bilər və bu bölünmə xüsusiyyəti onu mənfi tam ədədlərə şamil edir.

Bölünmə keçid qabiliyyətinə malikdir: əgər a tam ədədi hansısa m ədədinə bölünürsə və m ədədi öz növbəsində hansısa b tam ədədinə bölünürsə, onda a b-yə bölünür. Yəni, əgər am və mb, onda ab.

Bu bölünmə xüsusiyyətinin sübutunu verək.

a m-ə bölündüyü üçün a=m·a 1-ə bərabər a 1 tam ədədi var. Eynilə, m b-yə bölündüyü üçün bəzi m 1 tam ədədi var ki, m=b·m 1 olsun. Sonra a=m a 1 =(b m 1) a 1 =b (m 1 a 1). İki tam ədədin hasili tam olduğundan, m 1 ·a 1 bəzi tam ədəddir. Onu q işarə edərək, nəzərdən keçirilən bölünmə xassəsini sübut edən a=b·q bərabərliyinə gəlirik.

Bölünmə antisimmetriya xassəsinə malikdir, yəni a b-yə bölünürsə və eyni zamanda b a-ya bölünürsə, ya a və b tam ədədləri, ya da a və −b ədədləri bərabərdir.

a-nın b və b-nin a-ya bölünməsindən a=b·q 1 və b=a·q 2 olan q 1 və q 2 tam ədədlərinin mövcudluğundan danışmaq olar. İkinci bərabərliyə a əvəzinə b·q 1-i və ya birinci bərabərliyə b əvəzinə a·q 2-ni qoysaq, q 1 ·q 2 =1 alırıq və q 1 və q 2-nin tam ədədlər olduğunu nəzərə alsaq, bu yalnız q 1 =q 2 =1 olduqda və ya q 1 =q 2 =−1 olduqda mümkündür. Buradan belə çıxır ki, a=b və ya a=−b (və ya eyni olan b=a və ya b=−a ).

İstənilən tam və sıfırdan fərqli b ədədi üçün b-yə bərabər olmayan, b-yə bölünən a tam ədədi var.

Bu ədəd a=b·q ədədlərindən hər hansı biri olacaq, burada q birə bərabər olmayan istənilən tam ədəddir. Növbəti bölünmə xüsusiyyətinə keçə bilərik.

Əgər a və b tam ədədinin hər biri c tam ədədinə bölünürsə, a+b cəmi c-ə də bölünür.

a və b c-yə bölündüyü üçün a=c·q 1 və b=c·q 2 yaza bilərik. Sonra a+b=c q 1 +c q 2 =c (q 1 +q 2)(son keçid səbəbiylə mümkündür). İki tam ədədin cəmi tam ədəd olduğu üçün a+b=c·(q 1 +q 2) bərabərliyi a+b cəminin c-yə bölünməsini sübut edir.

Bu əmlak üç, dörd və ya daha çox müddətin cəminə qədər uzadıla bilər.

Əgər a tam ədədindən b tam ədədinin çıxılmasının a ədədinin −b ədədinə əlavə edilməsi olduğunu da xatırlasaq (bax), onda bu bölünmə xüsusiyyəti ədədlər fərqi üçün də doğrudur. Məsələn, a və b tam ədədləri c-ə bölünürsə, a−b fərqi də c-ə bölünür.

Əgər məlumdur ki, k+l+…+n=p+q+…+s şəklində olan bərabərlikdə birindən başqa bütün hədlər hansısa b tam ədədinə bölünür, onda bu bir həd də b-ə bölünür.

Tutaq ki, bu termin p-dir (bərabərliyin şərtlərindən hər hansı birini götürə bilərik, bu, əsaslandırmaya təsir etməyəcək). Onda p=k+l+…+n−q−…−s . Bərabərliyin sağ tərəfində alınan ifadə əvvəlki xassə görə b-ə bölünür. Deməli, p ədədi də b-ə bölünür.

Əgər a tam ədədi b tam ədədinə bölünürsə, onda a·k hasilatı, burada k ixtiyari tam ədəddir, b-ə bölünür.

a b-yə bölündüyü üçün a=b·q bərabərliyi doğrudur, burada q bəzi tam ədəddir. Sonra a·k=(b·q)·k=b·(q·k) (sonuncu keçid - hesabına həyata keçirilmişdir). İki tam ədədin hasili tam ədəd olduğu üçün a·k=b·(q·k) bərabərliyi a·k hasilinin b-yə bölünməsini sübut edir.

Nəticə: əgər a tam ədədi b tam ədədinə bölünürsə, a·k 1 ·k 2 ·…·k n hasilatı, burada k 1, k 2, …, k n bəzi tam ədədlərdir, b-ə bölünür.

Əgər a və b tam ədədləri c-ə bölünürsə, onda a·u+b·v formalı a·u və b·v hasillərinin cəmi, burada u və v ixtiyari tam ədədlər c-ə bölünür.

Bu bölünmə xüsusiyyətinin sübutu əvvəlki ikisinə bənzəyir. Şərtdən a=c·q 1 və b=c·q 2 olur. Sonra a u+b v=(c q 1) u+(c q 2) v=c (q 1 u+q 2 v). q 1 ·u+q 2 ·v cəmi tam ədəd olduğu üçün formanın bərabərliyi a u+b v=c (q 1 u+q 2 v) a·u+b·v-nin c-ə bölündüyünü sübut edir.

Bölünmənin əsas xassələri ilə bağlı araşdırmamız bununla yekunlaşır.

İstinadlar.

• Vilenkin N.Ya. və başqaları. 6-cı sinif: Ümumtəhsil müəssisələri üçün dərslik.
• Vinoqradov İ.M. Ədədlər nəzəriyyəsinin əsasları.
• Mixeloviç Ş.H. Say nəzəriyyəsi.
• Kulikov L.Ya. və s. cəbr və ədədlər nəzəriyyəsində problemlər toplusu. Dərslik fizika və riyaziyyat tələbələri üçün. pedaqoji institutların ixtisasları.

Saymaq üçün istifadə olunan nömrələri adlandırın. Hesablana bilən maddələrin hər bir sayı müəyyən natural ədədə uyğundur. Əgər saymaq üçün heç bir obyekt yoxdursa, onda 0 rəqəmindən istifadə olunur, lakin obyektləri sayarkən biz heç vaxt 0-dan başlamırıq və buna görə də 0 rəqəmi təbii olaraq təsnif edilə bilməz. Aydındır ki, ən kiçik natural ədəd birdir. Ən böyük natural ədəd yoxdur, çünki ədəd nə qədər böyük olsa da, ona həmişə 1 əlavə edib növbəti natural ədədi yaza bilərsiniz.

Gəlin bunu həll edək ən sadə misal bölmə: 30-u 5-ə bölün (30-u 5-ə bölərkən qalıq 0-dır), çünki 30 = 5. 6. Deməli, 30 rəqəmi 5 rəqəminə bölünür. 5 rəqəmi bölücü sayı 30, sayı isə 30-dur çoxsaylı nömrə 5.

Natural ədəd k n, əgər belə natural ədəd varsa m, bunun üçün bərabərlik təmin edilir k = n . m.

Və ya başqa sözlə , bir ədədi digərinə bölmək üçün ikinciyə vurulduqda birincini verən üçüncü ədədi tapmaq lazımdır.

Natural ədəddirsə k natural ədədə bölünür n, sonra nömrə kçağırdı ədədin qatları,

nömrə n — ədədin bölməsi k.

1, 2, 3, 6, 10, 15, 30 ədədləri də 30-un bölənləridir və 30 bu ədədlərin hər birinin qatıdır. Qeyd edək ki, 30 rəqəmi, məsələn, 7 rəqəminə bölünmür. Ona görə də 7 rəqəmi 30 rəqəminin bölücü deyil, 30 rəqəmi isə 7 rəqəminin qatı deyil.

Bölmə əməliyyatlarını yerinə yetirdikdən sonra deyirlər: “Nömrə kədədə bölünür n", "Nömrə nədədin bölənidir k", "Nömrə kədədin çoxluğu n", "Nömrə kədədin qatıdır n».

6 rəqəminin bütün bölənlərini yazmaq asandır. Bunlar 1, 2, 3 və 6 rəqəmləridir. 6 rəqəminin çoxluğu olan bütün ədədləri sadalamaq olarmı? 6. 1, 6. 2, 6. 3, 6. 4, 6. 5 və s. ədədlər 6 rəqəminin qatıdır. Biz 6 rəqəminin çoxlu sayda sonsuz sayda olduğunu aşkar edirik. Ona görə də onların hamısını sadalamaq mümkün deyil.

Ümumiyyətlə, istənilən natural ədəd üçün k nömrələrin hər biri

k . 1, k . 2, k . 3, k . 4 , ...

ədədin qatıdır k.

Ən kiçik bölən istənilən natural ədəd k 1 nömrədir və ən böyük bölən- nömrənin özü k.

Çoxluğu olan ədədlər arasında k, ən böyüyü yoxdur, amma ən kiçikdir - bu rəqəmin özüdür k.

21 və 36 rəqəmlərinin hər biri 3-ə bölünür və onların cəmi olan 57 rəqəmi də 3-ə bölünür. Ümumiyyətlə, əgər rəqəmlərin hər biri k Və nədədə bölünür m, sonra isə cəmi k+nədədə də bölünür m.

4 və 8 rəqəmlərinin hər biri deyil səhmlər 3 rəqəminə tam ədəddir və onların cəmi 12 ədədi 3 ədədinə bərabər bölünmür. 9 və 7 ədədlərinin hər biri 5 ədədinə bərabər bölünmür və onların cəmi 16 ədədi 5 ədədinə bərabər bölünməyən.Ümumiyyətlə, əgər nə ədəd k, nömrə yoxdur nədədə bərabər bölünmür m, sonra isə cəmi k + n tam ədədə bölünə bilər və ya bölünməyə bilər m.

35 rəqəmi 7 rəqəminə qalıqsız bölünür, lakin 17 rəqəmi 7 rəqəminə bölünmür. 35 + 17 cəmi də 7 rəqəminə bölünmür. Ümumiyyətlə, əgər nömrə kədədə bölünür m və nömrə nədədə bölünmür m, sonra isə cəmi k + nədədə bölünmür m.

Lakhdenpokh bələdiyyə rayonunun məktəbliləri üçün regional tədqiqat konfransı

“Gələcəyə addım”

Mövzu üzrə riyaziyyat layihəsi:

Tamamladı: Galkina Natalya

7-ci sinif şagirdi

MKOU "Elisenvaara Orta Məktəbi"

Rəhbər: Vasilyeva

Larisa Vladimirovna

riyaziyyat müəllimi

MKOU "Elisenvaara Orta Məktəbi"

Giriş 3 səhifə

Riyaziyyat tarixindən 4 səhifə.

Əsas anlayışlar 4 səhifə.

Bölünmə əlamətlərinin təsnifatı: 5 səhifə.

1. Rəqəmlərin bölünmə qabiliyyəti 5 – 6 səhifələrin son rəqəm(lər)i ilə müəyyən edilir.

   Rəqəmlərin bölünmə qabiliyyəti ədədin rəqəmlərinin cəmi ilə müəyyən edilir: 6 səhifə.

   Rəqəmlərin bölünmə qabiliyyəti 6 - 9 səhifələrin rəqəmləri üzərində bəzi hərəkətlər edildikdən sonra müəyyən edilir.

   Ədədin bölünmə qabiliyyətini təyin etmək üçün 9 – 10 səhifəlik digər işarələrdən istifadə olunur.

Bölünmə meyarlarının praktikada tətbiqi 10 – 11 səh.

Nəticə 11 səhifə

Biblioqrafiya 12 səhifə.

Giriş

Tədqiqatın aktuallığı: Bölünmə əlamətləri həmişə müxtəlif zamanların və xalqların alimlərini maraqlandırmışdır. Riyaziyyat dərslərində “Ədədlərin 2, 3, 5, 9, 10-a bölünmə əlamətləri” mövzusunu öyrənərkən məndə bölünənlik üçün ədədlərin öyrənilməsi ilə maraqlandım. Ehtimal olunurdu ki, əgər ədədlərin bu ədədlərə bölünməsini müəyyən etmək mümkündürsə, onda bölünməni müəyyən etmək üçün əlamətlər olmalıdır. natural ədədlər və digər nömrələr üçün. Bəzi hallarda hər hansı natural ədədin bölünüb-bölünmədiyini öyrənmək üçün a natural ədədə b qalıq olmadan bu ədədləri bölmək lazım deyil. Bölünmənin bəzi əlamətlərini bilmək kifayətdir.

Hipoteza– natural ədədlərin 2, 3, 5, 9 və 10-a bölünmə əlamətləri varsa, təbii ədədlərin bölünməsinin müəyyən edilə bilən başqa əlamətləri də var.

Tədqiqatın məqsədi – bütövlükdə natural ədədlərin artıq məlum olan, məktəbdə öyrənilmiş bölünmə əlamətlərini tamamlayın və bu bölünmə əlamətlərini sistemləşdirin.

Bu məqsədə çatmaq üçün aşağıdakıları həll etmək lazımdır tapşırıqlar:

Rəqəmlərin bölünmə qabiliyyətini müstəqil şəkildə araşdırın.

Bölünmənin digər əlamətləri ilə tanış olmaq üçün əlavə ədəbiyyatı öyrənin.

Müxtəlif mənbələrdən xüsusiyyətləri birləşdirin və ümumiləşdirin.

Nəticə çıxarın.

Tədqiqat obyekti– bölünmənin bütün mümkün əlamətlərinin öyrənilməsi.

Tədqiqatın mövzusu- bölünmə əlamətləri.

Tədqiqat üsulları– materialın toplanması, verilənlərin emalı, müqayisəsi, təhlili, sintezi.

Yenilik: Layihə zamanı mən natural ədədlərin bölünmə əlamətləri haqqında biliklərimi genişləndirdim.

Riyaziyyat tarixindən

Blez Paskal(1623-cü ildə anadan olub) - ən çox biri məşhur insanlar bəşəriyyət tarixində. Pascalumer, 39 yaşında olanda, lakin buna baxmayaraq qısa ömür, görkəmli riyaziyyatçı, fizik, filosof və yazıçı kimi tarixə düşüb. Təzyiq vahidi (paskal) və bu gün çox məşhur olan proqramlaşdırma dili onun adını daşıyır. Blez Paskal ortaq bir şey tapdı

Paskal testi istənilən ədədə bölünmə testlərini əldə etməyə imkan verən üsuldur. Bir növ “ümumbəşəri bölünmə əlaməti”.

Paskalın bölünmə testi: Natural ədəd A başqa natural ədədə bölünəcək b yalnız ədədin rəqəmlərinin hasillərinin cəmi olduqda A rəqəm vahidlərini ədədə bölməklə alınan müvafiq qalıqlara b, bu ədədə bölünür.

Məsələn : 2814 ədədi 7-yə bölünür, çünki 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 7-yə bölünür. (Burada 6 1000-in 7-yə bölünməsindən qalıqdır, 2 100-ün 7-yə bölünməsindən qalandır. 3 isə 10-un 7-yə bölünməsindən qalandır).

Əsas anlayışlar

Bu mövzunu öyrənərkən bizə lazım olacaq bəzi riyazi anlayışları xatırlayaq.

Bölünmə testi bölmə etmədən bir ədədin digərinə bölünüb-bölünmədiyini müəyyən edə biləcəyiniz bir qaydadır.

Bölücü natural ədəd A olan natural ədədi adlandırın A qalıqsız bölünür.

Sadə bir və özlərindən başqa təbii fərqli bölənləri olmayan natural ədədlər adlanır.

Kompozit 1-dən və özlərindən başqa təbii bölənləri olan ədədlərdir.

Bölünmə əlamətləri

Bu işdə nəzərdən keçirdiyim natural ədədlərin bütün bölünmə əlamətlərini 4 qrupa bölmək olar:

Bu qrupların hər birinə daha yaxından nəzər salaq.

Rəqəmlərin bölünmə qabiliyyəti son rəqəm(lər)lə müəyyən edilir.

Nəzərə aldığım natural ədədlərin bölünmə əlamətlərinin birinci qrupuna 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125-ə bölünmə əlamətləri və 10, 100 və s. rəqəm vahidləri daxildir.

2-yə bölünmə qabiliyyətini yoxlayın: Bu ədədin sonuncu rəqəmi 2-yə bölünəndə ədəd 2-yə bölünür (yəni sonuncu rəqəm cüt ədəddir).

Məsələn: 32217864 : 2

4-ə bölünmə qabiliyyətini yoxlayın : Son iki rəqəmi sıfır olduqda və ya onun son iki rəqəmindən əmələ gələn ikirəqəmli ədəd 4-ə bölünəndə ədəd 4-ə bölünür.

Məsələn, 35324 : 4; 6600 : 4

5-ə bölünmə testi : Son rəqəmi 5 və ya 0 olduqda ədəd 5-ə bölünür.

Məsələn: 36780 : 5 və ya 12326 5 : 5

8-ə bölünmə testi: bir ədəd 8-ə bölünəndə 8-ə bölünür üç rəqəmli nömrə, bu ədədin son üç rəqəmindən əmələ gəlir.

Məsələn: 432240 : 8

20-yə bölünmə testi: son iki rəqəmin əmələ gətirdiyi ədəd 20-yə bölünən zaman ədəd 20-yə bölünür. (Başqa bir tərtib: ədədin sonuncu rəqəmi 0 və sondan əvvəlki rəqəm cüt olduqda ədəd 20-yə bölünür).

Məsələn: 59640 : 20

25-ə bölünmə testi: Son iki rəqəmi sıfır olan və ya 25-ə bölünən ədədi təşkil edən ədədlər 25-ə bölünür.

Məsələn: 667975 : 25 və ya 77689 00 : 25

50-yə bölünmə testi:Ən kiçik iki onluq rəqəmindən əmələ gələn ədəd 50-yə bölünəndə ədəd 50-yə bölünür.

Məsələn: 564350 :50 və ya 5543 00 :50

125-ə bölünmə testi: Son üç rəqəmi sıfırdırsa və ya 125-ə bölünən bir ədəd əmələ gətirirsə, ədəd 125-ə bölünür.

Məsələn: 32157000 :125 və ya 3216 250 :125

Sıfırlarının sayı rəqəm vahidinin sıfırlarının sayından çox və ya ona bərabər olan natural ədədlər rəqəm vahidinə bölünür.

Məsələn, 12.000 10-a, 100-ə və 1000-ə bölünür.

Ədədlərin bölünmə qabiliyyəti ədədin rəqəmlərinin cəmi ilə müəyyən edilir

Natural ədədlərin bölünmə əlamətlərinin bu qrupuna mənim hesab etdiyim 3, 9, 11-ə bölünmə əlamətləri daxildir.

3-ə bölünmə testi: Rəqəmlərin cəmi 3-ə bölünən bir ədəd 3-ə bölünür.

Məsələn: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)

9-a bölünmə qabiliyyətini yoxlayın: Rəqəmlərin cəmi 9-a bölünən ədəd 9-a bölünür.

Məsələn: 653022: 9 tk. 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

11-ə bölünmə testi: Tək yerlərdə olan rəqəmlərin cəmi ya cüt yerlərdə olan rəqəmlərin cəminə bərabərdirsə, ya da ondan 11-in qatı ilə fərqlənirsə, həmin ədədlər 11-ə bölünür.

Məsələn: 865948732:11 çünki 8+5+4+7+2=26 və 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 çünki 8+5+4+7+2=26 və 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

Rəqəmlərin bölünmə qabiliyyəti bu ədədin rəqəmləri üzərində bəzi hərəkətlər edildikdən sonra müəyyən edilir

Natural ədədlərin bölünmə əlamətlərinin bu qrupuna aşağıdakılara bölünmə əlamətləri daxildir: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 101

6-ya bölünmə qabiliyyətini yoxlayın:

Nişan 1: Yüzlərdən sonra gələn ədəddən yüzlüklərin iki dəfə çıxılmasının nəticəsi 6-ya bölünəndə ədəd 6-ya bölünür.

Məsələn, 138: 6 çünki 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 çünki 44 – 7·2=30, (30:6)

İşarə 2: Ədəd 6-ya bölünür, o halda ki, vahidlərin sayına əlavə olunan onluqların sayı 6-ya bölünür və yalnız dördqat olarsa.

Məsələn, 768:6 çünki 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

7-ə bölünmə qabiliyyəti:

Nişan 1: ədəd bölünür 7 üçqat olduqda vahidlərin sayına əlavə olunan onluqların sayı 7-yə bölünür.

Məsələn, sayı 154:7, çünki 15 3 + 4 = 49 (49:7) 7-yə bölünür

İşarə 2: “+” işarəsi ilə alınan üç rəqəmdən ibarət tək qrupları (birlərdən başlayaraq) təşkil edən ədədlərin cəbri cəminin modulu 7-yə bölündükdə ədəd 7-yə bölünür.

Məsələn, 138689257:7, çünki ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

11-ə bölünmə qabiliyyəti:

Nişan 1: Tək mövqeləri tutan rəqəmlərin cəmi ilə cüt mövqe tutan rəqəmlərin cəmi arasındakı fərqin modulu 11-ə bölünəndə ədəd 11-ə bölünür.

Məsələn, 9163627:11, çünki ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

İşarə 2: iki rəqəmdən ibarət qruplar təşkil edən ədədlərin cəmi (birlərdən başlayaraq) 11-ə bölünəndə ədəd 11-ə bölünür.

Məsələn, 103785:11, çünki 10+37+85=132 və 01+32=33 (33:11)

13-ə bölünmə qabiliyyəti:

Nişan 1: Ədəd 13-ə bölünür, o zaman ki, onluqlar və onların dörd qatının cəmi 13-ə bölünür.

Məsələn, 845:13, çünki 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

İşarə 2: Onluqların sayı ilə birlərin sayının doqquz misli arasındakı fərq 13-ə bölünəndə ədəd 13-ə bölünür.

Məsələn, 845:13, çünki 84-5 9=39 (39:13)

17-yə bölünmə testi: Onluqların sayı ilə birlərin sayının beş qatı arasındakı fərqin modulu 17-yə bölünən zaman ədəd 17-yə bölünür.

Məsələn, 221:17, çünki ǀ22-5·1ǀ=17

19-a bölünmə əlamətləri: Vahidlərin sayının iki qatına əlavə olunan onluqların sayı 19-a bölünəndə ədəd 19-a bölünür.

Məsələn, 646:19, çünki 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

23-ə bölünmə testləri:

Nişan 1: Son iki rəqəmin əmələ gətirdiyi ədədi üç dəfə artırmaq üçün toplanan yüzlər ədədi 23-ə bölünəndə ədəd 23-ə bölünür.

Məsələn, 28842:23, çünki 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

İşarə 2: ədəd bölünür 23 onluqların sayı birlərin sayının yeddi qatına əlavə edildikdə 23-ə bölünür.

Məsələn, 391:23, çünki

3 9+7 1=46 (46:23): ədəd bölünür 23 İşarə 3

Məsələn yüzlərin sayı onluqların sayının yeddi və üç qatına əlavə edildikdə vahidlərin sayı 23-ə bölünür.

, 391:23, çünki 3+7·9+3·1=69 (69:23)

Məsələn 27-yə bölünmə testi:

üç rəqəmdən ibarət qrupları (birlərdən başlayaraq) təşkil edən ədədlərin cəmi 27-yə bölünən zaman ədəd 27-yə bölünür., 2705427:27 çünki 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

Məsələn 29-a bölünmə testi:

Vahidlərin sayının üç qatına əlavə olunan onluqların sayı 29-a bölünəndə ədəd 29-a bölünür., 261:29, çünki 26+3·1=29 (29:29)

Məsələn 31-ə bölünmə testi:

Onluqların sayı ilə birlərin sayının üç qatı arasındakı fərqin modulu 31-ə bölünəndə ədəd 31-ə bölünür., 217:31, çünki ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Məsələn 33-ə bölünmə meyarları:

Ədədin sağdan sola ikirəqəmli qruplara bölünməsi ilə əmələ gələn cəmi 33-ə bölünürsə, o zaman ədəd 33-ə bölünür.

Nişan 1: , 396:33, çünki 96+3=99 (99:33)

Məsələn, 37-yə bölünmə meyarları:

İşarə 2: ədədi üç rəqəmdən ibarət qruplara (birlərdən başlayaraq) bölərkən, bu qrupların cəmi 37-yə çox olduqda, ədəd 37-yə bölünür.

Məsələnsayı 100048:37, çünki 100+048=148, (148:37)Üçqat modulu onluq sayından dördə çatmaq üçün əlavə edilən yüzlərlə sayından yeddiyə vurulan vahidlərin sayı çıxılaraq 37-yə bölündükdə ədəd 37-yə bölünür.

, ədəd 481:37-dir, çünki 37-yə bölünür

Nişan 1ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37

Məsələn, 41-ə bölünmə meyarları:

İşarə 2: Onluqların sayı ilə birlərin sayının dörd qatı arasındakı fərqin modulu 41-ə bölünəndə ədəd 41-ə bölünür.369:41, çünki ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

: Ədədin 41-ə bölünüb-bölünmədiyini yoxlamaq üçün onu sağdan sola hər biri 5 rəqəmdən ibarət qruplara bölmək lazımdır. Sonra hər bir qrupda sağdakı ilk rəqəmi 1-ə vurun, ikinci rəqəmi 10-a, üçüncü rəqəmi 18-ə, dördüncü rəqəmi 16-ya, beşinci rəqəmi 37-yə vurun və nəticədə bütün məhsulları əlavə edin. Nəticə olarsa 41-ə bölünəcək, onda ədədin özü 41-ə bölünəcək.

Məsələn 59-a bölünmə testi:

6-ya vurulan birlərin sayına əlavə olunan onluqlar 59-a bölünəndə ədəd 59-a bölünür., 767:59, çünki 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

Məsələn, 711:79, çünki 71+8·1=79, (79:79)

99-a bölünmə testi:İki rəqəmdən ibarət qruplar (birlərdən başlayaraq) təşkil edən ədədlərin cəmi 99-a bölünəndə ədəd 99-a bölünür.

Məsələn, 12573:99, çünki 1+25+73=99, (99:99)

101-ə bölünmə testi:“+” işarəsi ilə alınan iki rəqəmin tək qruplarını (birlərdən başlayaraq) təşkil edən ədədlərin cəbri cəminin modulu 101-ə bölünəndə ədəd 101-ə bölünür.

Məsələn

Ədədin bölünmə qabiliyyətini təyin etmək üçün digər bölünmə meyarlarından istifadə olunur

Natural ədədlərin bölünmə əlamətlərinin bu qrupuna aşağıdakılara bölünmə əlamətləri daxildir: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 və s. Bunların hamısı birləşmiş ədədlərdir. Mürəkkəb ədədlər üçün bölünmə meyarları sadə ədədlər üçün bölünmə meyarlarına əsaslanır və hər hansı bir mürəkkəb ədəd parçalana bilər.

6-ya bölünmə qabiliyyətini yoxlayın:

Nişan 1: Ədəd həm 2-yə, həm də 3-ə bölünəndə, yəni cütdürsə və rəqəmlərinin cəmi 3-ə bölünürsə, o zaman 6-ya bölünür.

Məsələn, 768:6, çünki 7+6+8=21 (21:3) və 768 ədədinin sonuncu rəqəmi cütdür.

12-yə bölünmə testi: Ədəd eyni vaxtda 3-ə və 4-ə bölünəndə 12-yə bölünür.

Məsələn, 408:12, çünki 4+0+8=12 (12:3) və son iki rəqəm 4-ə bölünür (08:4)

14-ə bölünmə testi:Ədəd 2 və 7-yə bölünəndə 14-ə bölünür.

Məsələn, 45612:14 rəqəmi, çünki həm 2, həm də 7-yə bölünür, yəni 14-ə bölünür.

15-ə bölünmə testi:Ədəd 3 və 5-ə bölünəndə 15-ə bölünür.

Məsələn, 1146795:15 çünki Bu rəqəm həm 3-ə, həm də 5-ə bölünür.

27-yə bölünmə testləri:Ədəd 3 və 9-a bölünəndə 27-yə bölünür.

Məsələn, 511704:27 çünki 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 və 18:9)

30-a bölünmə əlamətləri:Ədəd 0 ilə bitdikdə 30-a bölünür və bütün rəqəmlərin cəmi 3-ə bölünür.

Məsələn, 510:30 çünki 5+1+0=6 (6:3) və 510 ədədində (son rəqəm 0)

60-a bölünmə əlamətləri:Ədədin 60-a bölünməsi üçün onun 4, 3 və ya 5-ə bölünməsi zəruri və kifayətdir.

Məsələn, 1620:60 çünki 1+6+2+0=9 (9:3), 1620 rəqəmi 0 ilə bitir, yəni. 5-ə və 1620-yə bölünür: 4, çünki son iki rəqəm 20:4

Əsərin praktik tətbiqi var. Məktəblilər və böyüklər tərəfindən real vəziyyətləri həll edərkən istifadə edilə bilər; müəllimlər həm riyaziyyat dərslərini apararkən, həm də seçmə kurslarda və əlavə dərslər təkrar üçün.

Bu araşdırma zaman tələbələr üçün faydalı olacaq öz-özünə məşq buraxılış və qəbul imtahanları üçün. Məqsədi şəhər olimpiadalarında yüksək yer tutan tələbələr üçün də faydalı olacaq.

Tapşırıq №1 . Yalnız 3 və 4 rəqəmlərindən istifadə edərək yazmaq mümkündürmü:

10-a bölünən bir ədəd;

cüt sayı;

5-in qatı olan ədəd;

tək nömrə

Problem № 2

Təkrarlanan rəqəmləri olmayan (bütün rəqəmlər fərqlidir) və 1-ə qalıqsız bölünən bəzi doqquz rəqəmli ədəd yazın.

Bu ədədlərin ən böyüyünü yazın.

Bu ədədlərdən ən kiçiyini yazın.

Cavab: 987652413; 102347586

Problem № 3

Rəqəmləri fərqli olan və 2, 5, 9, 11-ə bölünən ən böyük dördrəqəmli ədədi tapın.

Cavab: 8910

Problem № 4

Olya, bütün rəqəmləri fərqli olan sadə üç rəqəmli nömrə ilə gəldi. Son rəqəmi ilk ikisinin cəminə bərabərdirsə, hansı rəqəmlə bitə bilər. Belə rəqəmlərə misallar verin.

Cavab: yalnız 7. Məsələnin şərtlərini ödəyən 4 ədəd var: 167, 257, 347, 527

Problem № 5

İki sinifdə birlikdə 70 şagird var. Bir sinifdə şagirdlərin 7/17-si dərsə gəlməyib, digərində isə 2/9-u riyaziyyatdan əla qiymət alıb. Hər sinifdə neçə şagird var?

Həlli: Bu siniflərin birincisində ola bilərdi: 17, 34, 51... - 17-nin qatları olan ədədlər. İkinci sinifdə: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - qatlanan ədədlər. 9. Birinci ardıcıllıqdan 1 ədəd seçməliyik, 2 isə ikincidən bir ədəddir ki, onlar 70-ə qədər toplasınlar. Üstəlik, bu ardıcıllıqlarda yalnız kiçik sayda terminlər uşaqlıqda mümkün olan uşaqların sayını ifadə edə bilər. sinif. Bu mülahizə variantların seçilməsini əhəmiyyətli dərəcədə məhdudlaşdırır. Yeganə mümkün variant cütlük idi (34, 36).

Problem № 6

9-cu sinif üçün sınaq işi 1/7 şagird A, 1/3 - B, ½ - C qiymətləri aldı. Qalan işlərin qeyri-qənaətbəxş olduğu üzə çıxıb. Neçə belə iş var idi?

Həlli: Məsələnin həlli ədədlərin qatı olan ədəd olmalıdır: 7, 3, 2. Gəlin əvvəlcə bu ədədlərdən ən kiçiyini tapaq. LCM (7, 3, 2) = 42. Məsələnin şərtlərinə uyğun ifadə yarada bilərsiniz: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 uğursuz. Riyazi əlaqə məsələlərində sinifdəki şagirdlərin sayının 84, 126 və s. İnsan. Ancaq sağlam düşüncə ən məqbul cavabın 42 rəqəmi olduğunu göstərir.

Cavab: 1 iş.

Nəticə:

Bu iş nəticəsində öyrəndim ki, natural ədədlərin bildiyim 2, 3, 5, 9 və 10-a bölünmə əlamətləri ilə yanaşı, başqa bölünmə əlamətləri də var. Qazanılan biliklər bir çox problemlərin həllini əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirir. Və bu biliklərimdə istifadə edə bilərəm təhsil fəaliyyəti, həm riyaziyyat dərslərində, həm də dərsdənkənar fəaliyyətlər. Onu da qeyd etmək lazımdır ki, bəzi bölünmə meyarlarının tərtibi mürəkkəbdir. Bəlkə də buna görə məktəbdə oxumurlar. Gələcəkdə natural ədədlərin bölünmə əlamətlərinin öyrənilməsi üzərində işi davam etdirməyi gözləyirəm.

Ensiklopedik lüğət gənc riyaziyyatçı. Savin A.P. Moskva "Pedaqogika" 1989.

Riyaziyyat. Riyaziyyat dərsləri üçün əlavə materiallar, 5-11-ci siniflər. Ryazanovski A.R., Zaitsev E.A. Moskva "Bustard" 2002.

Riyaziyyat dərsliyinin səhifələrinin arxasında. Vilenkin N.Ya., Depman İ.Ya. M.: Təhsil, 1989.

6-8-ci siniflərdə riyaziyyatdan sinifdənkənar iş. Moskva. “Maarifçilik” 1984 V. A. Qusev, A. İ. Orlov, A. L. Rozental.

“1001 sual və cavab. Böyük bilik kitabı" Moskva. "Kitablar dünyası" 2004.

Riyaziyyatdan könüllü kurs. Nikolskaya I.L. - Moskva. Maarifçilik 1991.

Riyaziyyatdan olimpiada məsələləri və onların həlli üsulları. Farkov A.V. - Moskva. 2003

İnternet resursları.

Təqdimat məzmununa baxın
“Natural ədədlərin bölünmə əlamətləri”

Məktəblilər üçün regional tədqiqat konfransı

Lakhdenpokh bələdiyyə rayonu "Gələcəyə addım"

“Natural ədədlərin bölünmə əlamətləri”

Tamamladı: Galkina Natalya

7-ci sinif şagirdi

MKOU "Elisenvaara Orta Məktəbi"

Rəhbər: Vasilyeva Larisa Vladimirovna

MKOU "Elisenvaarskaya" riyaziyyat müəllimi orta məktəb"

2014

Tədqiqatın aktuallığı : Bölünmə əlamətləri həmişə müxtəlif dövrlərin və xalqların alimlərini maraqlandırmışdır. Riyaziyyat dərslərində “Ədədlərin 2, 3, 5, 9, 10-a bölünmə əlamətləri” mövzusunu öyrənərkən məndə bölünənlik üçün ədədlərin öyrənilməsi ilə maraqlandım. Ehtimal olunurdu ki, əgər ədədlərin bu ədədlərə bölünməsini müəyyən etmək mümkündürsə, o zaman natural ədədlərin başqa ədədlərə bölünməsini müəyyən etmək üçün əlamətlər olmalıdır. Bəzi hallarda hər hansı natural ədədin bölünüb-bölünmədiyini öyrənmək üçün a natural ədədə b qalıq olmadan bu ədədləri bölmək lazım deyil. Bölünmənin bəzi əlamətlərini bilmək kifayətdir. Hipoteza – natural ədədlərin 2, 3, 5, 9 və 10-a bölünmə əlamətləri varsa, təbii ədədlərin bölünməsinin müəyyən edilə bilən başqa əlamətləri də var. Tədqiqatın məqsədi – bütövlükdə natural ədədlərin artıq məlum olan, məktəbdə öyrənilmiş bölünmə əlamətlərini tamamlayın və bu bölünmə əlamətlərini sistemləşdirin. Bu məqsədə çatmaq üçün aşağıdakıları həll etmək lazımdır tapşırıqlar:

• Rəqəmlərin bölünmə qabiliyyətini müstəqil şəkildə araşdırın.
• Bölünmənin digər əlamətləri ilə tanış olmaq üçün əlavə ədəbiyyatı öyrənin.
• Müxtəlif mənbələrdən xüsusiyyətləri birləşdirin və ümumiləşdirin.
• Nəticə çıxarın. Tədqiqat obyekti – natural ədədlərin bölünmə qabiliyyəti. Tədqiqatın mövzusu - bölünmə əlamətləri. Tədqiqat üsulları - materialların toplanması, məlumatların işlənməsi, müqayisəsi, təhlili, ümumiləşdirmə. Yenilik : Layihə zamanı biliklərimi genişləndirdim natural ədədlərin bölünmə meyarları haqqında.

Riyaziyyat tarixindən

Blez Paskal (1623-cü il təvəllüdlü) - bəşər tarixinin ən məşhur adamlarından biri. Paskal 39 yaşında vəfat etdi, lakin belə qısa ömür sürməsinə baxmayaraq, görkəmli riyaziyyatçı, fizik, filosof və yazıçı kimi tarixə düşdü. Təzyiq vahidi (paskal) və bu gün çox məşhur olan proqramlaşdırma dili onun adını daşıyır. Blez Paskal ortaq bir şey tapdı hər hansı bir tam ədədin hər hansı digər tam ədədə bölünmə əlamətlərini tapmaq üçün alqoritm.

Paskal testi istənilən ədədə bölünmə testlərini əldə etməyə imkan verən üsuldur. Bir növ “ümumbəşəri bölünmə əlaməti”.

Paskalın bölünmə testi: A natural ədədi başqa bir natural ədədə b yalnız o halda bölünəcək ki, a rəqəminin rəqəmlərinin hasillərinin cəmi rəqəm vahidlərini b ədədinə bölməklə alınan müvafiq qalıqlara cəmi bu ədədə bölünsün.

Məsələn : 2814 ədədi 7-yə bölünür, çünki 2 6 + 8 2 + 1 3 + 4 = 35 7-yə bölünür. (Burada 6 1000-in 7-yə bölünməsindən qalıqdır, 2 100-ün 7-yə bölünməsindən qalandır. 3 isə 10-un 7-yə bölünməsindən qalandır).

Əsas anlayışlar

Bu mövzunu öyrənərkən bizə lazım olacaq bəzi riyazi anlayışları xatırlayaq:

• Bölünmə testi bölmə etmədən bir ədədin digərinə bölünüb-bölünmədiyini müəyyən edə biləcəyiniz bir qaydadır.

• Bölücü natural ədəd A natural nömrəyə zəng edin b , hansına A qalıqsız bölünür.

• Sadə bir və özlərindən başqa təbii fərqli bölənləri olmayan natural ədədlər adlanır.

• Kompozit 1-dən və özlərindən başqa təbii bölənləri olan ədədlərdir.

Bölünmə əlamətləri

Bu işdə nəzərdən keçirdiyim natural ədədlərin bütün bölünmə əlamətlərini 4 qrupa bölmək olar:

I

• I . Rəqəmlərin bölünmə qabiliyyəti son rəqəm(lər)lə müəyyən edilir.

Nəzərə aldığım natural ədədlərin bölünmə əlamətlərinin birinci qrupuna 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50, 125-ə bölünmə əlamətləri və 10, 100 və s. rəqəm vahidləri daxildir.

• 2-yə bölünmə qabiliyyətini yoxlayın : Bu ədədin sonuncu rəqəmi 2-yə bölünəndə ədəd 2-yə bölünür (yəni sonuncu rəqəm cüt ədəddir).

Məsələn : 3221786 4 : 2

• 4-ə bölünmə qabiliyyətini yoxlayın : Son iki rəqəmi sıfır olduqda və ya onun son iki rəqəmindən əmələ gələn ikirəqəmli ədəd 4-ə bölünəndə ədəd 4-ə bölünür.

Məsələn: 353 24 : 4; 66 00 : 4

• 5-ə bölünmə testi : Son rəqəmi 5 və ya 0 olduqda ədəd 5-ə bölünür.

Məsələn: 3678 0 : 5 və ya 12326 5 : 5

• 8-ə bölünmə testi: Ədəd 8-ə o zaman bölünür ki, həmin ədədin son üç rəqəmindən əmələ gələn üçrəqəmli ədəd 8-ə bölünür.

Məsələn: 432 240 : 8

• 20-yə bölünmə testi: ədəd ikiyə bölünəndə 20-yə bölünür sonuncu ədədlər, 20-yə bölünür. (Başqa bir düstur: ədəd bölünür 20-yə qədər ədədin sonuncu rəqəmi 0, ikincidən sonuncu rəqəmi isə cütdür).

Məsələn: 596 40 : 20

• 25-ə bölünmə testi: Son iki rəqəmi sıfır olan və ya 25-ə bölünən ədədi təşkil edən ədədlər 25-ə bölünür.

Məsələn: 6679 75 : 25 və ya 77689 00 : 25

• 50-yə bölünmə testi: Ən kiçik iki onluq rəqəmindən əmələ gələn ədəd 50-yə bölünəndə ədəd 50-yə bölünür.

Məsələn : 5643 50 : 50 və ya 5543 00 : 50

• 125-ə bölünmə testi: Son üç rəqəmi sıfırdırsa və ya 125-ə bölünən bir ədəd əmələ gətirirsə, ədəd 125-ə bölünür.

Məsələn: 32157 000 : 125 və ya 3216 250 : 125

• 10, 100, 1000 və s. rəqəm vahidinə bölünmə əlamətləri: Sıfırlarının sayı rəqəm vahidinin sıfırlarının sayından çox və ya ona bərabər olan natural ədədlər rəqəm vahidinə bölünür.

Məsələn, 12.000 10-a, 100-ə və 1000-ə bölünür

II

• II . Ədədlərin bölünmə qabiliyyəti ədədin rəqəmlərinin cəmi ilə müəyyən edilir

Natural ədədlərin bölünmə əlamətlərinin bu qrupuna mənim hesab etdiyim 3, 9, 11-ə bölünmə əlamətləri daxildir.

• 3-ə bölünmə testi: Rəqəmlərin cəmi 3-ə bölünən bir ədəd 3-ə bölünür.

Məsələn: 5421: 3 tk. 5+4+2+1=12, (12:3)

• 9-a bölünmə qabiliyyətini yoxlayın: Rəqəmlərin cəmi 9-a bölünən ədəd 9-a bölünür.

Məsələn: 653022: 9 çünki 6+5+3+0+2+2=18, (18:9)

• 11-ə bölünmə testi: Tək yerlərdə olan rəqəmlərin cəmi ya cüt yerlərdə olan rəqəmlərin cəminə bərabərdirsə, ya da ondan 11-in qatı ilə fərqlənirsə, həmin ədədlər 11-ə bölünür.

Məsələn: 865948732:11 çünki 8+5+4+7+2=26 və 6+9+8+3=26 (26=26); 815248742:11 çünki 8+5+4+7+2=26 və 1+2+8+4=15, 26-15=11, (11:11)

III . Ədədlərin bölünmə qabiliyyəti bəzi hərəkətləri yerinə yetirdikdən sonra müəyyən edilir

bu nömrənin rəqəmlərindən yuxarı

Natural ədədlərin bölünmə əlamətlərinin bu qrupuna aşağıdakılara bölünmə əlamətləri daxildir: 6, 7, 11, 13,17, 19, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 41, 59, 79, 99, 101

6-ya bölünmə qabiliyyətini yoxlayın:

• İşarə 1: yüzlərdən sonrakı ədəddən yüzlüklərin iki dəfə çıxılmasının nəticəsi 6-ya bölünəndə ədəd 6-ya bölünür.

Məsələn: 138: 6, çünki 1·2=2, 38 – 2=36, (36:6); 744:6 çünki 44 – 7·2=30, (30:6)

• İşarə 2: ədəd 6-ya bölünür, o halda ki, vahidlərin sayına əlavə olunan dördlü onluq 6-ya bölünür.

Məsələn: 768:6, çünki 76·4+8=312, 31·4+2=126, 12·4+6=54 (54:6)

7-ə bölünmə qabiliyyəti:

• İşarə 1: birlərin sayına əlavə olunan onluqların sayı üç dəfə 7-yə bölünəndə ədəd 7-yə bölünür.

Məsələn: 154:7 rəqəmi, çünki 15 3 + 4 = 49 (49:7) 7-yə bölünür

• İşarə 2: “+” işarəsi ilə alınan üç rəqəmdən ibarət tək qrupları (birlərdən başlayaraq) təşkil edən ədədlərin cəbri cəminin modulu “-” işarəsi olan ədədlərə bölündükdə ədəd 7-yə bölünür. 7.

Məsələn, 138689257:7, çünki ǀ138-689+257ǀ=294 (294:7)

11-ə bölünmə qabiliyyəti:

• İşarə 1: tək mövqeləri tutan rəqəmlərin cəmi ilə cüt mövqe tutan rəqəmlərin cəmi arasındakı fərqin modulu 11-ə bölündükdə ədəd 11-ə bölünür.

Məsələn, 9163627:11, çünki ǀ(9+6+6+7)-(1+3+2)ǀ=22 (22:11)

• İşarə 2: iki rəqəmdən ibarət qruplar təşkil edən ədədlərin cəmi (birlərdən başlayaraq) 11-ə bölündükdə ədəd 11-ə bölünür.

Məsələn, 103785:11, çünki 10+37+85=132 və 01+32=33 (33:11)

13-ə bölünmə qabiliyyəti:

• İşarə 1: onluqların və birlərin sayının dördünün cəmi 13-ə bölünəndə ədəd 13-ə bölünür.

Məsələn, 845:13, çünki 84+5·4=104, 10+4·4=26 (26:13)

• İşarə 2: onluqların sayı ilə birlərin sayının doqquz misli arasındakı fərq 13-ə bölünəndə ədəd 13-ə bölünür.

Məsələn, 845:13, çünki 84-5 9=39 (39:13)

17-yə bölünmə testi: Onluqların sayı ilə birlərin sayının beş qatı arasındakı fərqin modulu 17-yə bölünən zaman ədəd 17-yə bölünür.

Məsələn, 221:17, çünki ǀ22-5·1ǀ=17

19-a bölünmə əlamətləri: ədəd onlarla olduqda, ədəd 19-a bölünür ilə yalan 19-a bölünən vahidlərin sayını iki dəfə artırın.

Məsələn, 646:19, çünki 64+6·2=76, 7+2·6=19, (19:19)

23-ə bölünmə testləri:

• İşarə 1: son iki rəqəmin əmələ gətirdiyi ədədi üç dəfə artırmaq üçün toplanan yüzlərin sayı 23-ə bölünəndə ədəd 23-ə bölünür.

Məsələn, 28842:23, çünki 288+3·42=414, 4+3·14=46 (46:23)

• İşarə 2: vahidlərin sayının yeddi qatına əlavə olunan onluqların sayı 23-ə bölünəndə ədəd 23-ə bölünür.

Məsələn, 391:23, çünki 39+7·1=46 (46:23)

• İşarə 3: yüzlərin sayı, onluğun yeddi qatına və vahidlərin sayını üç dəfə artırdıqda ədəd 23-ə bölünür, 23-ə bölünür.

Məsələn, 391:23, çünki 3+7·9+3·1=69 (69:23)

, 391:23, çünki üç rəqəmdən ibarət qrupları (birlərdən başlayaraq) təşkil edən ədədlərin cəmi 27-yə bölünən zaman ədəd 27-yə bölünür.

Məsələn, 2705427:27 çünki 427+705+2=1134, 134+1=135, (135:27)

üç rəqəmdən ibarət qrupları (birlərdən başlayaraq) təşkil edən ədədlərin cəmi 27-yə bölünən zaman ədəd 27-yə bölünür. birlərin sayının üç qatına əlavə olunan onluqların sayı 29-a bölünəndə ədəd 29-a bölünür.

Məsələn, 261:29, çünki 26+3·1=29 (29:29)

31-ə bölünmə testi: bir ədəd 31-ə bölünür zaman modulu onluq sayı fərqi və üç dəfə vahidlərin sayı 31-ə bölünür.

Məsələn, 217:31, çünki ǀ21-3·7ǀ= 0, (0:31)

Onluqların sayı ilə birlərin sayının üç qatı arasındakı fərqin modulu 31-ə bölünəndə ədəd 31-ə bölünür. Ədədin sağdan sola ikirəqəmli qruplara bölünməsi ilə əmələ gələn cəmi 33-ə bölünürsə, o zaman ədəd 33-ə bölünür.

Məsələn, 396:33, çünki 96+3=99 (99:33)

Ədədin sağdan sola ikirəqəmli qruplara bölünməsi ilə əmələ gələn cəmi 33-ə bölünürsə, o zaman ədəd 33-ə bölünür.

• Nişan 1 : ədədi üç rəqəmdən ibarət qruplara (birlərdən başlayaraq) bölərkən, bu qrupların cəmi 37-yə çox olduqda, ədəd 37-yə bölünür.

Məsələn , sayı 100048:37, çünki 100+048=148, (148:37)

• İşarə 2: yüzlüklərin sayını üç dəfə artıran, onluq sayını dördə çatdırmaq üçün əlavə edilən, yeddiyə vurulan vahidlərin sayı çıxılmaqla, 37-yə bölünəndə ədəd 37-yə bölünür.

Məsələn, ǀ3·4+4·8-7·1ǀ=37 olduğundan 481:37 ədədi 37-yə bölünür.

, ədəd 481:37-dir, çünki 37-yə bölünür

• İşarə 1: onluq sayı ilə birlərin sayının dörd misli arasındakı fərqin modulu 41-ə bölünəndə ədəd 41-ə bölünür.

Məsələn, 369:41, çünki ǀ36-4·9ǀ=0, (0:41)

• İşarə 2: ədədin 41-ə bölünüb-bölünmədiyini yoxlamaq üçün onu sağdan sola hər biri 5 rəqəmdən ibarət qruplara bölmək lazımdır. Sonra hər bir qrupda sağdakı ilk rəqəmi 1-ə vurun, ikinci rəqəmi 10-a, üçüncü rəqəmi 18-ə, dördüncü rəqəmi 16-ya, beşinci rəqəmi 37-yə vurun və nəticədə bütün məhsulları əlavə edin. Nəticə 41-ə bölünürsə, rəqəmin özüdür 41-ə bölünəcək.

: Ədədin 41-ə bölünüb-bölünmədiyini yoxlamaq üçün onu sağdan sola hər biri 5 rəqəmdən ibarət qruplara bölmək lazımdır. Sonra hər bir qrupda sağdakı ilk rəqəmi 1-ə vurun, ikinci rəqəmi 10-a, üçüncü rəqəmi 18-ə, dördüncü rəqəmi 16-ya, beşinci rəqəmi 37-yə vurun və nəticədə bütün məhsulları əlavə edin. Nəticə olarsa 6-ya vurulan birlərin sayına əlavə olunan onluqlar 59-a bölünəndə ədəd 59-a bölünür.

Məsələn, 767:59, çünki 76+7·6=118, 11+8·6=59, (59:59)

6-ya vurulan birlərin sayına əlavə olunan onluqlar 59-a bölünəndə ədəd 59-a bölünür. 8-ə vurulan birlərin sayına əlavə olunan onluqların sayı 79-a bölünəndə ədəd 79-a bölünür.

Məsələn, 711:79, çünki 71+8·1=79, (79:79)

99-a bölünmə testi: İki rəqəmdən ibarət qruplar (birlərdən başlayaraq) təşkil edən ədədlərin cəmi 99-a bölünəndə ədəd 99-a bölünür.

Məsələn, 12573:99, çünki 1+25+73=99, (99:99)

101-ə bölünmə testi: “+” işarəsi ilə alınan iki rəqəmin tək qruplarını (birlərdən başlayaraq) təşkil edən ədədlərin cəbri cəminin modulu 101-ə bölünəndə ədəd 101-ə bölünür.

Məsələn, 590547:101, çünki ǀ59-5+47ǀ=101, (101:101)

IV . Ədədin bölünmə qabiliyyətini təyin etmək üçün digər bölünmə meyarlarından istifadə olunur

Natural ədədlərin bölünmə əlamətlərinin bu qrupuna aşağıdakılara bölünmə əlamətləri daxildir: 6, 12, 14, 15, 27, 30, 60 və s. Bunların hamısı birləşmiş ədədlərdir. Mürəkkəb ədədlər üçün bölünmə meyarları sadə ədədlər üçün bölünmə meyarlarına əsaslanır və hər hansı bir mürəkkəb ədəd parçalana bilər.

6-ya bölünmə qabiliyyətini yoxlayın: Ədəd həm 2-yə, həm də 3-ə bölünəndə, yəni cütdürsə və rəqəmlərinin cəmi 3-ə bölünürsə, o zaman 6-ya bölünür.

Məsələn, 768:6, çünki 7+6+8=21 (21:3) və 768 ədədinin sonuncu rəqəmi cütdür.

12-yə bölünmə testi : Ədəd eyni vaxtda 3-ə və 4-ə bölünəndə 12-yə bölünür.

Məsələn, 408:12, çünki 4+0+8=12 (12:3) və son iki rəqəm 4-ə bölünür (08:4)

14-ə bölünmə testi: Ədəd 2 və 7-yə bölünəndə 14-ə bölünür.

Məsələn, 45612:14 rəqəmi, çünki həm 2, həm də 7-yə bölünür, yəni 14-ə bölünür

15-ə bölünmə testi: Ədəd 3 və 5-ə bölünəndə 15-ə bölünür.

Məsələn, 1146795:15, çünki bu rəqəm həm 3-ə, həm də 5-ə bölünür

27-yə bölünmə testləri: Ədəd 3 və 9-a bölünəndə 27-yə bölünür. Məsələn, 511704:27 çünki 5+1+1+7+0+4=18, (18:3 və 18:9)

30-a bölünmə əlamətləri: Ədəd 0 ilə bitdikdə 30-a bölünür və bütün rəqəmlərin cəmi 3-ə bölünür.

Məsələn, 510:30 çünki 5+1+0=6 (6:3) və 510 ədədində (son rəqəm 0)

60-a bölünmə əlamətləri: Ədədin 60-a bölünməsi üçün onun 4, 3 və ya 5-ə bölünməsi zəruri və kifayətdir.

Məsələn, 1620:60 çünki 1+6+2+0=9 (9:3), 1620 rəqəmi 0 ilə bitir, yəni. 5-ə və 1620-yə bölünür: 4, çünki son iki rəqəm 20:4

Bölünmə meyarlarının praktikada tətbiqi

Əsərin praktik tətbiqi var. Məktəblilər və böyüklər tərəfindən real vəziyyətləri həll edərkən istifadə edilə bilər; müəllimlər, həm riyaziyyat dərsləri zamanı, həm də seçmə kurslarda və əlavə təkrar dərslərdə.

Bu tədqiqat tələbələrin buraxılış və qəbul imtahanlarına müstəqil hazırlanmasında faydalı olacaqdır. Məqsədi şəhər olimpiadalarında yüksək yer tutan tələbələr üçün də faydalı olacaq.

Tapşırıq №1 . Yalnız 3 və 4 rəqəmlərindən istifadə edərək yazmaq mümkündürmü:

• 10-a bölünən bir ədəd;
• cüt sayı;
• 5-in qatı olan ədəd;
• tək nömrə

Problem № 3 : Rəqəmləri fərqli olan və 2, 5, 9, 11-ə bölünən ən böyük dördrəqəmli ədədi tapın.

Cavab: 8910

Tapşırıq №4: Olya, bütün rəqəmləri fərqli olan sadə üç rəqəmli nömrə ilə gəldi. Son rəqəmi ilk ikisinin cəminə bərabərdirsə, hansı rəqəmlə bitə bilər. Belə rəqəmlərə misallar verin.

Cavab: yalnız 7. Məsələnin şərtlərini ödəyən 4 ədəd var: 167, 257, 347, 527

Problem № 5 : İki sinifdə birlikdə 70 şagird var. Bir sinifdə şagirdlərin 7/17-si dərsə gəlməyib, digərində isə 2/9-u riyaziyyatdan əla qiymət alıb. Hər sinifdə neçə şagird var?

Həlli: Bu siniflərin birincisində ola bilərdi: 17, 34, 51... - 17-nin qatları olan ədədlər. İkinci sinifdə: 9, 18, 27, 36, 45, 54... - qatlanan ədədlər. 9. Birinci ardıcıllıqdan 1 ədəd seçməliyik, 2 isə ikincidən bir ədəddir ki, onlar 70-ə qədər toplasınlar. Üstəlik, bu ardıcıllıqlarda yalnız kiçik sayda terminlər uşaqlıqda mümkün olan uşaqların sayını ifadə edə bilər. sinif. Bu mülahizə variantların seçilməsini əhəmiyyətli dərəcədə məhdudlaşdırır. Yeganə mümkün variant cütlük idi (34, 36).

Problem № 6 : 9-cu sinifdə şagirdlərin 1/7-si test üçün A, 1/3-ü isə imtahan verib. dördlük, ½ - üçlük. Qalan işlərin qeyri-qənaətbəxş olduğu üzə çıxıb. Neçə belə əsər var idi?

Həlli: Məsələnin həlli rəqəmlərin qatı olan bir ədəd olmalıdır: 7, 3, 2. Əvvəlcə tapaq bu ədədlərin ən kiçiyi. LCM (7, 3, 2) = 42. Siz ifadə edə bilərsiniz məsələnin şərtlərinə görə: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 uğursuz. Riyazi əlaqə problemləri sayının olduğunu fərz edir 84, 126-cı sinif şagirdləri və s. İnsan. Ancaq sağlam düşüncə səbəblərinə görə buradan ən məqbul cavabın 42 rəqəmi olduğu belə çıxır.

Cavab: 1 iş.

Nəticə:

Bu iş nəticəsində öyrəndim ki, natural ədədlərin bildiyim 2, 3, 5, 9 və 10-a bölünmə əlamətləri ilə yanaşı, başqa bölünmə əlamətləri də var. Qazanılan biliklər bir çox problemlərin həllini əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirir. Və bu biliklərimdən həm riyaziyyat dərslərində, həm də dərsdənkənar tədbirlərdə tədris fəaliyyətimdə istifadə edə biləcəyəm. Onu da qeyd etmək lazımdır ki, bəzi bölünmə meyarlarının tərtibi mürəkkəbdir. Bəlkə də buna görə məktəbdə oxumurlar. Gələcəkdə natural ədədlərin bölünmə əlamətlərinin öyrənilməsi üzərində işi davam etdirməyi gözləyirəm.

• Gənc riyaziyyatçının ensiklopedik lüğəti. Savin A.P. Moskva "Pedaqogika" 1989.
• Riyaziyyat. Riyaziyyat dərsləri üçün əlavə materiallar, 5-11-ci siniflər. Ryazanovski A.R., Zaitsev E.A. Moskva "Bustard" 2002.
• Riyaziyyat dərsliyinin səhifələrinin arxasında. Vilenkin N.Ya., Depman İ.Ya. M.: Təhsil, 1989.
• 6-8-ci siniflərdə riyaziyyatdan sinifdənkənar iş. Moskva. “Maarifçilik” 1984 V. A. Qusev, A. İ. Orlov, A. L. Rozental.
• “1001 sual və cavab. Böyük bilik kitabı" Moskva. "Kitablar dünyası" 2004.
• Riyaziyyatdan könüllü kurs. Nikolskaya I.L. - Moskva. Maarifçilik 1991.
• Riyaziyyatdan olimpiada məsələləri və onların həlli üsulları. Farkov A.V. - Moskva. 2003
• İnternet resursları.

Natural ədədlər

Saymaq və ya köçürmək üçün istifadə olunan natural ədədlər toplusu.

Formal olaraq, natural ədədlər çoxluğu Peano aksiom sistemindən istifadə etməklə müəyyən edilə bilər.

İLƏPeano aksiom sistemi

1. Vahid - heç bir ədədin arxasınca getməyən natural ədəd.

2. İstənilən natural ədəd üçün mövcuddur tək
dərhal sonra gəlir.

3. Hər natural ədəd
dərhal yalnız bir nömrəni izləyir.

4. Əgər bəzi set
ehtiva edir və hər natural ədədlə birlikdə ondan dərhal sonra gələn ədədi ehtiva edir
(induksiya aksioması).

Dəstdə əməliyyatlar

Vurma

Çıxarma :

Çıxarma xüsusiyyətləri: Əgər
Bu

Əgər
Bu

Natural ədədlərin bölünmə qabiliyyəti

Bölmə : bölünür
belə ki

Xüsusiyyətlərəməliyyatlar:

1. Əgər
bölünür Bu
bölünür

2. Əgər
Və
bölünür Bu
bölünür

3. Əgər
Və ilə bölünən, bölünən

4. Əgər o vaxta qədər bölünürsə
bölünür

5. Əgər
a bölünür buna və buna bölünmürlər
ilə bölünmür

6. Əgər və ya buna bölünür
bölünür

7. Əgər bölünürsə
sonra bölünür və bölünür

Teoremqalığa bölmə haqqındaİstənilən natural ədədlər üçün
yalnız müsbət rəqəmlər var
belə ki
və

Sübut. Qoy
Aşağıdakı alqoritmi nəzərdən keçirin:

	Əgər Əgər onda başqa bir çıxma əməli edək Qalan ədəddən az olana qədər çıxma prosesini davam etdiririk Nömrə var belə ki
	Bu alqoritmin bütün sətirlərini toplayaq və tələb olunan ifadəni alaq, harada

Nümayəndəliyin unikallığını ziddiyyətlə sübut edəcəyik.

Tutaq ki, iki təmsil var

Və
Bir ifadəni digərindən çıxarın və
Tam ədədlərdə sonuncu bərabərlik yalnız o vaxtdan bəri mümkündür
saat
□

Nəticə 1. İstənilən natural ədəd aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:
və ya

Nəticə 2. Əgər
ardıcıl natural ədədlər, onda onlardan biri bölünür

Nəticə 3. Əgər
Ardıcıl iki cüt ədəd, onda onlardan biri bölünür

Tərif. Natural ədəd birdən və özündən başqa bölənləri yoxdursa, ona sadə deyilir.

Nəticə4. Hər bir sadə ədədin forması var
və ya

Həqiqətən, hər hansı bir rəqəm şəklində təmsil oluna bilər, lakin bu seriyanın bütün nömrələri istisna olmaqla;
mütləq kompozitdirlər. □

Nəticə5 . Əgər
onda əsas rəqəm
bölünür

Həqiqətən,
Ardıcıl üç natural ədəd, və
hətta, və
qəribə baş. Buna görə də cüt ədədlərdən biri
Və
4-ə bölünür və biri də bölünür □

Misal 2 . Aşağıdakı ifadələr doğrudur:

1. Tək ədədin kvadratı 8-ə bölündükdə qalıq verir

2. Heç bir natural ədəd üçün n 2 +1 ədədi 3-ə bölünən sayı deyil.

3. Yalnız 2, 3, 7, 8 rəqəmlərindən (bəlkə bir neçə dəfə) istifadə etməklə natural ədədi kvadratlaşdırmaq mümkün deyil.

Sübut1. İstənilən tək ədəd kimi təmsil oluna bilər
və ya
Gəlin bu ədədlərin hər birinin kvadratını tutaq və tələb olunan ifadəni alaq.

Sübut 2. Hər natural ədəd kimi təmsil oluna bilər
Sonra ifadə
ifadələrdən birinə bərabər olacaqdır
olanlara bölünmür

Sübut3. Həqiqətən də natural ədədin kvadratının sonuncu rəqəmi bu rəqəmlərin heç birində bitə bilməz.

Bölünmə əlamətləri

Tərif. Natural ədədin onluq təsviri ədədin formada təqdim edilməsidir

Stenoqrafiya qeydi

Bölünmə əlamətləri

Təsdiqlənmiş 6 Qoy
ədədin onluq təmsili Sonra:

1. Ədəd bölünür
nömrə nə zaman - bərabər;

2. Ədəd bölünür ədəd iki rəqəm olduqda
bölünür

3. Ədəd bölünür Nə vaxt
və ya

4. Ədəd bölünür
Nə vaxt

5. Ədəd bölünür
ədəd iki rəqəm olduqda
- bölünür

6. Ədəd bölünür

7. Ədəd bölünür ədədin rəqəmlərinin cəminə bölündükdə

8. Ədəd bölünür
işarələri dəyişən ədədin rəqəmlərinin cəminə bölündükdə

Sübut. 1)-5) işarələrinin sübutu asanlıqla əldə edilir onluq notasiyasıədədlər 6) və 7) sübut edək. Həqiqətən,

Buradan belə çıxır ki, əgər bölünürsə (və ya
onda ədədin rəqəmlərinin cəmi də bölünür

11-i sübut edək). Bölünən olsun, rəqəmi formada təmsil edək

Bütün əlavə edilmiş məbləğlər bölündüyü üçün
onda məbləğ də □-ə bölünür

Misal 3 . Formanın bütün beşrəqəmli nömrələrini tapın
45-ə bölünənlər.

Sübut.
Buna görə də, nömrə 5-ə bölünür və onun son rəqəmi 0 və ya 5-dir, yəni.
və ya
Orijinal nömrə də 9-a bölünür, buna görə də 9-a bölünür, yəni.
və ya 9-a bölünən, yəni.

Cavab:

Bölünmə testi haqqında Və

Təsdiq edildi 7Ədədin ondalıq təsviri Ədəd Nömrə ilə bölünsün
son üç rəqəmi olmayan nömrə ilə son üç rəqəmindən ibarət nömrə arasındakı fərqə bölündükdə

Sübut. Onu rəqəmdən bəri şəklində təqdim edək
və ilə bölünür
Bu
və □ ilə bölünür

Misal 4 . Qoy
Sonra
ədədə bölünür və buna görə də ədədə bölünür
bölünür

Qoy
Sonra

sonra ədədə bölünür
bölünür

Sadə ədədlər

Eratosthenes ələk

(Bütün sadə ədədləri almaq üçün sadə alqoritm)

Alqoritm. 1-dən 100-ə qədər bütün rəqəmləri yazırıq və əvvəlcə bütün cütləri kəsirik. Sonra qalanlardan 3, 5, 7 və s.-ə bölünənləri kəsirik. Nəticədə yalnız sadə ədədlər qalacaq.

Evklid teoremi. Sadə ədədlərin sayı sonsuzdur.

Sübut"ziddiyyətlə." Sadə ədədlərin sayı sonlu olsun -
Nömrəni nəzərə alın
Sual: nömrə - sadə yoxsa mürəkkəb?

Əgər mürəkkəb ədəddirsə, o, hansısa sadə ədədə bölünür və buna görə də biri bu sadə ədədə bölünür. ziddiyyət.

Əgər sadə ədəddirsə, o, istənilən sadə ədəddən böyükdür
və biz bütün sadə ədədləri yazdıq və nömrələdik. Yenə ziddiyyət. □

Təsdiq edildi 8Əgər ədəd mürəkkəbdirsə, onda onun elə bir baş bölməsi var

Sübut.Əgər mürəkkəb ədədin ən kiçik sadə bölənidir
Bu

Nəticə.Ədədin sadə olub-olmadığını müəyyən etmək üçün onun sadə bölənlərinin olub olmadığını müəyyən etmək lazımdır.

Misal 5 . Qoy
Nömrənin olub olmadığını yoxlamaq üçün
sadə, sadə ədədlərə bölünüb-bölünmədiyini yoxlamaq lazımdır Cavab: ədəd
sadə.

Baş ədəd generatorları

Hipotez: Formanın bütün nömrələri
sadə.

At
- bunlar sadə ədədlərdir
üçün
Əllə və kompüterin köməyi ilə sübut edilmişdir ki, bütün ədədlər birləşir.

Məsələn, (Euler)

Hipotez: Formanın bütün nömrələri
sadə.

At
bu doğrudur, hə
17-yə bölünür.

Hipoteza: Formanın bütün nömrələri
sadə.

At
bu doğrudur, hə

Hipotez: Formanın bütün nömrələri sadədir. At
bu doğrudur, hə

Teorem.(Fermat faktorinq üsulu) Tək tam ədəd əsas deyil
belə natural ədədlər var
Sübut.

□

Misal 6 . Faktor nömrələrini əsas amillərə çevirmək

Misal 7 . Ədədi faktor edin
Bu ədəd 3-ə bölünür
Bundan əlavə, amillərin seçilməsi üsuluna görə,

Misal 8 . Hansı tam ədədlərdə

sadə?

Qeyd edək ki, o vaxtdan bəri
sadə, sonra da
və ya
Cavab:

Təsdiq edildi 10 Mükəmməl kvadrat olduqda natural ədədin tək sayda bölənləri varmı?

Sübut.Əgər
bölən
onda iki fərqli bölən cütü var
Və
və nə vaxt
hər iki cüt bərabər olacaq.

Misal 9 . Rəqəmlərin tam olaraq 99 bölənləri var. Bir ədədin tam olaraq 100 bölənləri ola bilərmi?

Cavab: yox. Əvvəlki əmlaka görə etibarlıdır və - mükəmməl kvadratlar, lakin onların işi deyil.

Misal 10 . Nömrələr
sadə. Tapın

Həll.İstənilən nömrə kimi təmsil oluna bilər
Əgər
onda üç sadə ədəd alırsınız
problemin şərtlərini təmin edir. Əgər
Bu
kompozit. Əgər
o nömrə
bölünür nə olarsa
o nömrə
ilə bölünür Beləliklə, nəzərdən keçirilən bütün variantlarda üç sadə ədədi əldə etmək mümkün deyil. Cavab:

Tərif. Nömrə ədədlərin ən böyük ortaq böləni adlanır və əgər bölürsə və və belə ədədlərin ən böyüyüdür.

Təyinat:

Tərif . Nömrələr və əgər nisbətən sadə olduğu deyilir

Misal 1 2 . Tənliyi natural ədədlərdə həll edin

Həll. Qoy

Buna görə də tənlik Cavab kimi görünür: Həll yolları yoxdur.

HAQQINDAarifmetikanın əsas teoremi

Teorem. Bundan böyük istənilən natural ədəd ya sadə ədəddir, ya da sadə ədədlərin hasili kimi yazıla bilər və bu hasil amillərin sırasına qədər unikaldır.

Nəticə 1. Qoy

Sonra
ən kiçik dərəcələri olan bütün ümumi sadə amillərin hasilinə bərabərdir.

Nəticə 2. Qoy
Sonra
ən böyük güclərə malik bütün müxtəlif baş amillərin hasilinə bərabərdir. bölünür

10. Tapın son rəqəm nömrələr 7 2011 + 9 2011.

11. Vahid rəqəmi ilə onluq rəqəmi arasına sıfır daxil edilərsə, 9 dəfə artan bütün natural ədədləri tapın.

12. Bəzi ikirəqəmli ədədə sağa və sola bir əlavə edildi. Nəticə orijinaldan 23 dəfə böyük idi. Bu nömrəni tapın.

Nəzəriyyə və ya məşqlərlə bağlı suallar Valeri Petroviç Çuvakova verilə bilər

chv @ uriit . ru

Əlavə oxu

1. Vilenkin N.Ya. və başqaları riyaziyyat dərsliyinin səhifələrinin arxasında. Arifmetika. Cəbr. –M.: Təhsil, 2008.

2. Sevryukov P.F. Riyaziyyatdan olimpiada məsələlərinin həllinə hazırlıq. –M.: İlexa, 2009.

3. Kanel-Belov A.Ya., Kovaldzhi A.K. Necə qərar verirlər qeyri-standart vəzifələr. – M. MCNMO, 2009.

4. Ağaxanov N.A., Podlipski O.K. Moskva vilayətinin Riyaziyyat Olimpiadaları. –M.: Fizmatkniqa, 2006

5. Qorbaçov N.V. Olimpiada məsələləri toplusu, –M.:MCNMO, 2004

Mühazirə

“Saylar nəzəriyyəsi” kursu üçün mühazirə qeydləri

Mühazirə

Nəzəriyyənin aşağıdakı bölmələri nömrələr: nəzəriyyə bölünmə qabiliyyəti, sadə və mürəkkəb... Teorem. Qoy x>0, xR, dN. Kəmiyyət təbiinömrələr, d-nin qatları və x-dən çox olmayan, bərabər... Mühazirə 12 13 Mühazirə 13 15 Ədəbiyyat. 17 mücərrədmühazirələr“Nəzəriyyələr” kursunda nömrələr" ...

Ulturologiya üzrə mühazirə qeydləri

mücərrəd

Pavlyuchenkov mücərrədmühazirələr mədəniyyətşünaslıqda... qeyri-bərabər və daxilində mövcud idi təbii təsərrüfatlar. Bu, polisdə... sonsuz kiçiklərin tədqiqindədir nömrələrəsasən yaradılması başa... material isə bölünə bilən sonsuz. Ruhani...

D A Şadrin Məntiq mühazirə qeydləri

mücərrəd

təmsil edir mücərrədmühazirələr“Məntiq” fənni üzrə. mücərrədmühazirələr tərtib... bu tərifdir təbiinömrələr. Beləliklə, əgər 1 - təbii sayı və n - təbii sayı, sonra 1 ... bütün həcmi tükəndirin bölünə bilən anlayışlar, belə ki...