Ev Ağız boşluğu Məlum dispersiyaya malik normal paylanmanın riyazi gözləntiləri üçün inam intervalı. Riyazi gözləmə üçün etimad intervalı

Ağız boşluğu

Məlum dispersiyaya malik normal paylanmanın riyazi gözləntiləri üçün inam intervalı. Riyazi gözləmə üçün etimad intervalı

MS EXCEL-də quraq etimad intervalı halda paylanmanın orta qiymətini qiymətləndirmək məlum dəyər fərqlər.

Əlbəttə seçim etimad səviyyəsi problemin həllindən tamamilə asılıdır. Beləliklə, hava sərnişininin təyyarənin etibarlılığına inam dərəcəsi, şübhəsiz ki, bir alıcının elektrik lampasının etibarlılığına olan inamından yüksək olmalıdır.

Problemin formalaşdırılması

Fərz edək ki, ondan əhali alınmışdır nümunəölçü n. Ehtimal olunur ki standart sapma bu paylama məlumdur. Buna əsaslanaraq lazımdır nümunələri bilinməyənləri qiymətləndirin paylama orta(μ, ) və uyğun olanı qurun ikitərəfli etimad intervalı.

Nöqtə təxmini

dan məlum olduğu kimi statistika(işarə edək X orta) edir ortanın qərəzsiz qiymətləndirilməsi bu əhali və N(μ;σ 2 /n) paylanmasına malikdir.

Qeyd: Qurmaq lazımdırsa nə etməli etimad intervalı paylanması halında ki deyil normal? Bu vəziyyətdə, kifayət qədər olduğunu söyləyən xilasetmə gəlir böyük ölçü nümunələri n paylamadan olmamaq normal, statistik məlumatların nümunə bölgüsü X avg olacaq təxminən uyğun gəlir normal paylanma N(μ;σ 2 /n) parametrləri ilə.

Belə ki, nöqtə təxmini orta paylama dəyərləri bizdə - bu nümunə orta, yəni. X orta. İndi başlayaq etimad intervalı.

Etibar intervalının qurulması

Adətən, paylanmanı və onun parametrlərini bilməklə təsadüfi dəyişənin müəyyən etdiyimiz intervaldan qiymət alması ehtimalını hesablaya bilərik. İndi bunun əksini edək: təsadüfi dəyişənin verilmiş ehtimalla düşəcəyi intervalı tapın. Məsələn, xassələrdən normal paylanma 95% ehtimalı ilə təsadüfi bir dəyişənin üzərində paylandığı məlumdur normal qanun, təxminən +/- 2 diapazonuna düşəcək orta dəyər(haqqında məqaləyə baxın). Bu interval bizim üçün prototip rolunu oynayacaq etimad intervalı.

İndi görək paylanmanı bilirikmi? , bu intervalı hesablamaq üçün? Suala cavab vermək üçün paylanmanın formasını və onun parametrlərini göstərməliyik.

Biz bölüşdürmə formasını bilirik - bu belədir normal paylanma (söhbət etdiyimizi unutmayın nümunə paylanması statistika X orta).

μ parametri bizə məlum deyil (sadəcə onu istifadə edərək qiymətləndirmək lazımdır etimad intervalı), lakin bizim bunun təxminimiz var X orta,əsasında hesablanır nümunələr, hansı istifadə edilə bilər.

İkinci parametr - nümunə ortalamasının standart kənarlaşması məlum hesab edəcəyik, σ/√n-ə bərabərdir.

Çünki μ-ni bilmirik, onda +/- 2 intervalını quracağıq standart sapmalar dan deyil orta dəyər, və onun məlum təxminindən X orta. Bunlar. hesablayarkən etimad intervalı biz bunu güman etməyəcəyik X orta+/- 2 diapazonuna düşür standart sapmalarμ-dən 95% ehtimalı ilə və biz intervalın +/- 2 olduğunu fərz edəcəyik standart sapmalar-dan X orta 95% ehtimalla μ-ni əhatə edəcəkdir - ümumi əhalinin orta göstəricisi, haradan götürülüb nümunə. Bu iki ifadə ekvivalentdir, lakin ikinci ifadə bizə qurmağa imkan verir etimad intervalı.

Bundan əlavə, intervalı aydınlaşdıraq: paylanmış təsadüfi dəyişən normal qanun, 95% ehtimalı ilə +/- 1.960 intervalına düşür standart sapmalar,+/- 2 deyil standart sapmalar. Bu düsturdan istifadə etməklə hesablana bilər =NORM.ST.REV((1+0,95)/2), santimetr. nümunə faylı vərəq intervalı.

İndi biz formalaşmağımıza xidmət edəcək bir ehtimal ifadəsini formalaşdıra bilərik etimad intervalı:
“Ehtimal ki əhali deməkdir-dan yerləşir nümunə orta 1,960" daxilində nümunə ortalamasının standart sapmaları", 95%-ə bərabərdir”.

Bəyanatda qeyd olunan ehtimal dəyərinin xüsusi adı var ilə əlaqəli olan sadə ifadə ilə əhəmiyyət səviyyəsi α (alfa). güvən səviyyəsi =1 -α . Bizim vəziyyətimizdə əhəmiyyət səviyyəsi α =1-0,95=0,05 .

İndi bu ehtimal ifadəsinə əsaslanaraq hesablamaq üçün bir ifadə yazırıq etimad intervalı:

burada Z α/2 – standart normal paylanma(təsadüfi dəyişənin bu dəyəri z, Nə P(z>=Z α/2 )=α/2).

Qeyd: Üst α/2-kvantil genişliyini müəyyən edir etimad intervalı V standart sapmalar nümunə orta. Üst α/2-kvantil standart normal paylanma həmişə 0-dan böyükdür, bu çox rahatdır.

Bizim vəziyyətimizdə α=0,05 olduqda, yuxarı α/2-kvantil 1.960-a bərabərdir. Digər əhəmiyyət səviyyələri üçün α (10%; 1%) yuxarı α/2-kvantil Z α/2 =NORM.ST.REV(1-α/2) düsturu ilə və ya məlumdursa hesablana bilər güvən səviyyəsi, =NORM.ST.OBR((1+etibar səviyyəsi)/2).

Adətən tikinti zamanı orta dəyəri qiymətləndirmək üçün etimad intervalları yalnız istifadə edin yuxarı α/2-kəmiyyət və istifadə etməyin aşağı α/2-kəmiyyət. Bu mümkündür, çünki standart normal paylanma x oxuna görə simmetrik olaraq ( onun paylanma sıxlığı haqqında simmetrikdir orta, yəni. 0). Ona görə də hesablamağa ehtiyac yoxdur aşağı α/2-kvantil(sadəcə α adlanır /2-kvantil), çünki bərabərdir yuxarı α/2-kəmiyyət mənfi işarəsi ilə.

Xatırlayaq ki, x dəyərinin paylanma formasına baxmayaraq, müvafiq təsadüfi dəyişən X orta paylanmışdır təxminən Yaxşı N(μ;σ 2 /n) (haqqında məqaləyə baxın). Buna görə də, in ümumi hal, üçün yuxarıdakı ifadə etimad intervalı yalnız təxminidir. Əgər x dəyəri paylanırsa normal qanun N(μ;σ 2 /n), sonra üçün ifadəsi etimad intervalı dəqiqdir.

MS EXCEL-də etimad intervalının hesablanması

Gəlin problemi həll edək.
Elektron komponentin giriş siqnalına cavab müddəti mühüm xüsusiyyət cihazlar. Mühəndis 95% etibarlılıq səviyyəsində orta cavab müddəti üçün etimad intervalı qurmaq istəyir. Əvvəlki təcrübədən mühəndis cavab vaxtının standart sapmasının 8 ms olduğunu bilir. Məlumdur ki, cavab müddətini qiymətləndirmək üçün mühəndis 25 ölçmə aparıb, orta qiymət 78 ms təşkil edib.

Həll: Mühəndis cavab vaxtını bilmək istəyir elektron cihaz, lakin o başa düşür ki, cavab müddəti sabit qiymət deyil, öz paylanmasına malik təsadüfi dəyişəndir. Beləliklə, onun ümid edə biləcəyi ən yaxşısı bu paylanmanın parametrlərini və formasını müəyyən etməkdir.

Təəssüf ki, problem şəraitindən biz cavab vaxtının paylanmasının formasını bilmirik (bu, lazım deyil normal). , bu paylama da məlum deyil. Yalnız o məlumdur standart sapmaσ=8. Buna görə də ehtimalları hesablaya və qura bilmərik etimad intervalı.

Ancaq paylamanı bilməməyimizə baxmayaraq vaxt ayrı cavab, görə bilirik ki CPT, nümunə paylanması orta cavab müddəti təqribəndir normal(şərtlərin olduğunu güman edəcəyik CPT həyata keçirilir, çünki ölçüsü nümunələri olduqca böyük (n=25)) .

Üstəlik, orta bu bölgü bərabərdir orta dəyər tək cavabın paylanması, yəni. μ. A standart sapma bu paylanmanın (σ/√n) =8/ROOT(25) düsturu ilə hesablana bilər.

Mühəndisin aldığı da məlumdur nöqtə təxmini parametr μ 78 ms-ə bərabərdir (X orta). Buna görə də, indi ehtimalları hesablaya bilərik, çünki paylanma formasını bilirik ( normal) və onun parametrləri (X avg və σ/√n).

Mühəndis bilmək istəyir gözlənilən dəyər μ cavab vaxtının paylanması. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, bu μ bərabərdir orta cavab vaxtının seçmə paylanmasının riyazi gözləntiləri. İstifadə etsək normal paylanma N(X avg; σ/√n), onda istədiyiniz μ təxminən 95% ehtimalı ilə +/-2*σ/√n diapazonunda olacaq.

Əhəmiyyət səviyyəsi 1-0,95=0,05-ə bərabərdir.

Nəhayət, sol və sağ sərhədi tapaq etimad intervalı.
Sol sərhəd: =78-NORM.ST.REV(1-0,05/2)*8/ROOT(25) = 74,864
Sağ sərhəd: =78+NORM.ST.INV(1-0,05/2)*8/ROOT(25)=81,136

Sol sərhəd: =NORM.REV(0,05/2; 78; 8/ROOT(25))
Sağ sərhəd: =NORM.REV(1-0,05/2; 78; 8/ROOT(25))

Cavab verin: etimad intervalı saat 95% etibarlılıq səviyyəsi və σ=8msn bərabərdir 78+/-3,136 ms.

IN Sigma vərəqindəki nümunə faylı məlumdur, hesablama və tikinti formasını yaratmışdır ikitərəfli etimad intervalı ixtiyari üçün nümunələri verilmiş σ ilə və əhəmiyyət səviyyəsi.

CONFIDENCE.NORM() funksiyası

Əgər dəyərlər nümunələri diapazondadır B20: B79 , A əhəmiyyət səviyyəsi 0,05-ə bərabərdir; sonra MS EXCEL düsturu:
=ORTA(B20:B79)-GÜVƏN.NORM(0,05;σ; SAY(B20:B79))
sol sərhədi qaytaracaq etimad intervalı.

Eyni həddi düsturla hesablamaq olar:
=ORTA(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0,05/2)*σ/ROOT(COUNT(B20:B79))

Qeyd: CONFIDENCE.NORM() funksiyası MS EXCEL 2010-da ortaya çıxdı. MS EXCEL-in əvvəlki versiyalarında TRUST() funksiyasından istifadə olunurdu.

Riyazi gözləmə üçün etimad intervalı - bu, məlum ehtimalla ümumi əhalinin riyazi gözləntilərini ehtiva edən məlumatlardan hesablanmış intervaldır. Riyazi gözlənti üçün təbii qiymətləndirmə onun müşahidə edilən qiymətlərinin arifmetik ortasıdır. Buna görə də, dərs boyu “orta” və “orta dəyər” terminlərindən istifadə edəcəyik. Etibar intervalının hesablanması problemlərində ən çox tələb olunan cavab “Orta ədədin [müəyyən bir problemdəki dəyər] etibarlılıq intervalı [kiçik dəyərdən] [daha böyük dəyərə]” kimi bir şeydir. Etibar intervalından istifadə edərək, yalnız orta dəyərləri deyil, həm də ümumi əhalinin müəyyən bir xüsusiyyətinin nisbətini qiymətləndirə bilərsiniz. Dərsdə yeni təriflərə və düsturlara çatacağımız orta dəyərlər, dispersiya, standart sapma və səhvlər müzakirə olunur. Nümunə və populyasiyanın xüsusiyyətləri .

Ortanın nöqtə və interval təxminləri

Əhalinin orta qiyməti bir ədəd (nöqtə) ilə qiymətləndirilirsə, onda əhalinin naməlum orta qiymətinin qiymətləndirilməsi kimi müşahidələr seçməsindən hesablanan xüsusi orta qiymət götürülür. Bu halda, seçmənin orta dəyəri - təsadüfi dəyişən - ümumi əhalinin orta dəyəri ilə üst-üstə düşmür. Buna görə də, nümunə ortalamasını göstərərkən, eyni zamanda seçmə xətasını da göstərməlisiniz. Nümunə götürmə xətasının ölçüsü orta ilə eyni vahidlərlə ifadə edilən standart xətadır. Buna görə də tez-tez aşağıdakı qeydlərdən istifadə olunur: .

Ortanın qiymətləndirilməsini müəyyən bir ehtimalla əlaqələndirmək lazımdırsa, əhaliyə maraq parametri bir rəqəmlə deyil, intervalla qiymətləndirilməlidir. Etibar intervalı müəyyən bir ehtimala malik olan intervaldır P təxmini əhali göstəricisinin qiyməti tapılır. Ehtimal olunduğu etimad intervalı P = 1 - α təsadüfi dəyişən tapılır, aşağıdakı kimi hesablanır:

α = 1 - P, bunu statistikaya dair demək olar ki, hər hansı bir kitaba əlavədə tapmaq olar.

Təcrübədə ümumi orta və dispersiya məlum deyildir, ona görə də ümumi dispersiya seçmə dispersiya ilə, ümumi orta göstərici isə seçmə ortası ilə əvəz olunur. Beləliklə, əksər hallarda etimad intervalı aşağıdakı kimi hesablanır:

Etibar intervalı düsturu, əgər populyasiyanın ortalamasını qiymətləndirmək üçün istifadə edilə bilər

əhalinin standart sapması məlumdur;
və ya əhalinin standart sapması naməlumdur, lakin nümunənin ölçüsü 30-dan çoxdur.

Nümunə ortalaması əhali ortasının qərəzsiz qiymətləndirilməsidir. Öz növbəsində, nümunə fərqi populyasiya fərqinin qərəzsiz qiymətləndirilməsi deyil. Nümunə dispersiya düsturunda əhali fərqinin qərəzsiz qiymətləndirilməsini əldə etmək üçün seçmə ölçüsü n ilə əvəz edilməlidir n-1.

Misal 1. Müəyyən bir şəhərdə təsadüfi seçilmiş 100 kafedən məlumat toplanmışdır ki, onlardakı işçilərin orta sayı 4,6 standart sapma ilə 10,5 nəfərdir. Kafe işçilərinin sayı üçün 95% etimad intervalını müəyyən edin.

burada əhəmiyyətlilik səviyyəsi üçün standart normal paylanmanın kritik qiyməti α = 0,05 .

Beləliklə, kafe işçilərinin orta sayı üçün 95% inam intervalı 9,6-11,4 arasında dəyişib.

Misal 2. 64 müşahidə populyasiyasından təsadüfi seçmə üçün aşağıdakı ümumi dəyərlər hesablandı:

müşahidələrdəki dəyərlərin cəmi,

dəyərlərin ortadan kvadrat sapmalarının cəmi .

Riyazi gözlənti üçün 95% etimad intervalını hesablayın.

Standart kənarlaşmanı hesablayaq:

Orta dəyəri hesablayaq:

Etibar intervalı üçün dəyərləri ifadə ilə əvəz edirik:

burada əhəmiyyətlilik səviyyəsi üçün standart normal paylanmanın kritik qiyməti α = 0,05 .

Biz əldə edirik:

Beləliklə, bu seçmənin riyazi gözləntisi üçün 95% inam intervalı 7,484 ilə 11,266 arasında dəyişdi.

Misal 3. 100 müşahidədən ibarət təsadüfi populyasiya nümunəsi üçün hesablanmış orta göstərici 15,2, standart kənarlaşma isə 3,2-dir. Gözlənilən dəyər üçün 95% etimad intervalını, sonra isə 99% etimad intervalını hesablayın. Nümunə gücü və onun dəyişməsi dəyişməz qalsa və etimad əmsalı artarsa, etimad intervalı daralacaq, yoxsa genişlənəcək?

Bu dəyərləri etimad intervalı üçün ifadə ilə əvəz edirik:

burada əhəmiyyətlilik səviyyəsi üçün standart normal paylanmanın kritik qiyməti α = 0,05 .

Biz əldə edirik:

Beləliklə, bu nümunənin orta dəyəri üçün 95% etimad intervalı 14,57 ilə 15,82 arasında dəyişdi.

Yenidən bu dəyərləri etimad intervalının ifadəsi ilə əvəz edirik:

burada əhəmiyyətlilik səviyyəsi üçün standart normal paylanmanın kritik qiyməti α = 0,01 .

Biz əldə edirik:

Beləliklə, bu nümunənin orta dəyəri üçün 99% etimad intervalı 14.37 ilə 16.02 arasında dəyişdi.

Gördüyümüz kimi etimad əmsalı artdıqca standart normal paylanmanın kritik qiyməti də artır və deməli, intervalın başlanğıc və son nöqtələri ortadan daha uzaqda yerləşir və beləliklə, riyazi gözlənti üçün inam intervalı artır. .

Xüsusi çəkisinin nöqtə və interval təxminləri

Bəzi nümunə xarakteristikasının payı kimi şərh edilə bilər nöqtə təxmini xüsusi çəkisi səhümumi əhali üçün eyni xüsusiyyətə malikdir. Əgər bu dəyəri ehtimalla əlaqələndirmək lazımdırsa, onda xüsusi çəkisinin etibarlılıq intervalı hesablanmalıdır. səh ehtimalı olan əhali üçün xarakterikdir P = 1 - α :

Misal 4. Bəzi şəhərlərdə iki namizəd var A Və B bələdiyyə sədrliyinə namizədliyini irəli sürürlər. 200 şəhər sakini arasında təsadüfi sorğu keçirilib, onlardan 46%-i namizədə səs verəcəklərini bildirib. A, 26% - namizəd üçün B 28%-i isə kimə səs verəcəyini bilmir. Namizədi dəstəkləyən şəhər sakinlərinin nisbəti üçün 95% etimad intervalını müəyyən edin A.

Başlamaq üçün aşağıdakı tərifi xatırlayaq:

Aşağıdakı vəziyyəti nəzərdən keçirək. Populyasiya variantları riyazi gözlənti $a$ və standart kənarlaşma $\sigma$ ilə normal paylansın. Nümunə deməkdir bu halda təsadüfi dəyişən kimi qəbul ediləcək. $X$ kəmiyyəti normal paylandıqda, seçmə orta da parametrlərlə normal şəkildə paylanacaq.

Gəlin $a$ dəyərini $\qamma $ etibarlılığı ilə əhatə edən inam intervalı tapaq.

Bunun üçün bizə bərabərlik lazımdır

Ondan alırıq

Buradan biz asanlıqla $F\left(t\right)$ funksiya qiymətləri cədvəlindən $t$ tapa bilərik və nəticədə $\delta $ tapa bilərik.

$Ф\left(t\right)$ funksiyasının qiymətlər cədvəlini xatırlayaq:

Şəkil 1. Funksiya qiymətlərinin cədvəli $Ф\left(t\right).$

Naməlum $(\mathbf \sigma )$ üçün riyazi gözləntiləri qiymətləndirmək üçün etibarlılıq inteqralı

Bu halda biz $S^2$ düzəldilmiş dispersiya dəyərindən istifadə edəcəyik. Yuxarıdakı düsturda $\sigma $-nı $S$ ilə əvəz etsək, əldə edirik:

Etibar intervalını tapmaq üçün nümunə problemlər

Misal 1

Qoy $X$ kəmiyyəti $\sigma =4$ dispersiya ilə normal paylansın. Nümunə ölçüsü $n=64$, etibarlılıq isə $\qamma =0,95$ olsun. Bu paylanmanın riyazi gözləntisini qiymətləndirmək üçün inam intervalını tapın.

Biz ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$ intervalını tapmalıyıq.

Yuxarıda gördüyümüz kimi

\[\delta =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\t)(2)\]

$t$ parametrini düsturdan tapmaq olar

\[Ф\sol(t\sağ)=\frac(\qamma)(2)=\frac(0,95)(2)=0,475\]

Cədvəl 1-dən görərik ki, $t=1,96$.

Qoy CB X ümumi populyasiyanı təşkil etsin və β naməlum parametr CB X olsun. Əgər *-dəki statistik qiymətləndirmə uyğundursa, seçmənin ölçüsü nə qədər böyükdürsə, β-nin qiymətini bir o qədər dəqiq alırıq. Bununla belə, praktikada bizdə çox böyük nümunələr yoxdur, ona görə də daha yüksək dəqiqliyə zəmanət verə bilmərik.

Etibarlılıq g və ya güvən ehtimalı in * ilə təxminlər |in * - in| bərabərsizliyinin g ehtimalıdır< 8, т. е.

Tipik olaraq, etibarlılıq g əvvəlcədən müəyyən edilir və g 1-ə yaxın bir ədəd kimi qəbul edilir (0,9; 0,95; 0,99; ...).

|in * - in| bərabərsizliyindən bəri< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

İnterval (* - 8-də, * + 5-də) etimad intervalı adlanır, yəni etimad intervalı y ehtimalı ilə in naməlum parametri əhatə edir. Qeyd edək ki, etimad intervalının ucları təsadüfi olur və nümunədən nümunəyə dəyişir, ona görə də intervalın (* - 8-də, * + 8-də) naməlum parametri əhatə etdiyini söyləmək daha doğrudur, in deyil, in. interval.

Qoy əhali normal qanuna görə paylanmış X təsadüfi kəmiyyəti ilə verilir və standart kənarlaşma a məlumdur. Naməlum a = M (X) riyazi gözləntisidir. Verilmiş y etibarlılığı üçün a üçün inam intervalını tapmaq tələb olunur.

Nümunə orta

xr = a üçün statistik təxmindir.

Teorem. Təsadüfi dəyər X-in normal paylanması və M(XB) = a olduğu halda xB normal paylanmaya malikdir,

A (XB) = a, burada a = y/B (X), a = M (X). l/i

a üçün etimad intervalı formaya malikdir:

8 tapırıq.

Nisbətdən istifadə

F(r) Laplas funksiyasıdır, bizdə:

P ( | XB - a |<8} = 2Ф

Laplas funksiyasının qiymət cədvəlində t-nin qiymətini tapırıq.

təyin edərək

T, biz F(t) = g alırıq, çünki g verilir, onda by

Bərabərlikdən biz hesablamanın düzgün olduğunu görürük.

Bu o deməkdir ki, a üçün etimad intervalı formaya malikdir:

X populyasiyasından bir nümunə verilmişdir

ng	üçün"	X2	Xm
n.	n1	n2	nm

n = U1 + ... + nm, onda etimad intervalı olacaq:

Misal 6.35. Seçmənin orta Xb = 10,43, seçmə ölçüsü n = 100 və standart kənarlaşma s = 5 olduğunu bilməklə, etibarlılığı 0,95 olan normal paylanmanın a riyazi gözləntisini qiymətləndirmək üçün inam intervalını tapın.

Düsturdan istifadə edək

Bu paylanmanın dispersiyasının və standart kənarlaşmalarının s məlum olduğunu nəzərə alaraq, əhalinin X təsadüfi kəmiyyəti normal paylansın. Seçmə ortasından istifadə edərək naməlum riyazi gözləntiləri qiymətləndirmək tələb olunur. Bu halda, vəzifə etibarlılıq ilə riyazi gözlənti üçün inam intervalının tapılmasına gəlir b. Etibarlılıq ehtimalının (etibarlılığın) b qiymətini təyin etsəniz, (6.9a) düsturundan istifadə edərək naməlum riyazi gözlənti üçün intervala düşmə ehtimalını tapa bilərsiniz:

burada Ф(t) Laplas funksiyasıdır (5.17a).

Nəticədə, D = s 2 dispersiya məlum olarsa, riyazi gözlənti üçün etimad intervalının sərhədlərini tapmaq üçün alqoritm tərtib edə bilərik:

Etibarlılıq dəyərini təyin edin - b.
(6.14)-dən Ф(t) = 0,5× b ifadə edin. F(t) dəyəri əsasında Laplas funksiyası üçün cədvəldən t-nin qiymətini seçin (bax. Əlavə 1).
(6.10) düsturu ilə e sapmasını hesablayın.
(6.12) düsturundan istifadə edərək etimad intervalını yazın ki, b ehtimalı ilə bərabərsizlik əməl etsin:

Misal 5.

X təsadüfi dəyişəni normal paylanmaya malikdir. Əgər verilmişdirsə, naməlum riyazi gözlənti a-nın etibarlılığı b = 0,96 olan qiymətləndirmə üçün inam intervallarını tapın:

1) ümumi standart kənarlaşma s = 5;

2) orta nümunə;

3) nümunə ölçüsü n = 49.

Riyazi gözləntinin interval qiymətləndirilməsinin (6.15) düsturunda A etibarlılığı ilə b t-dən başqa bütün kəmiyyətlər məlumdur. t-nin qiymətini (6.14) istifadə etməklə tapmaq olar: b = 2Ф(t) = 0,96. Ф(t) = 0,48.

F(t) = 0,48 Laplas funksiyası üçün Əlavə 1-dəki cədvəldən istifadə edərək, müvafiq t = 2,06 qiymətini tapın. Beləliklə, . e-nin hesablanmış qiymətini (6.12) düsturu ilə əvəz etməklə, etimad intervalı əldə edə bilərsiniz: 30-1,47< a < 30+1,47.