Ev Qarşısının alınması Kvadrat trinomialdan mükəmməl kvadrat. Çoxhədlilərin faktorinqi

Kvadrat trinomialdan mükəmməl kvadrat. Çoxhədlilərin faktorinqi

Bu dərsdə biz polinomun faktorinqinin bütün əvvəllər öyrənilmiş üsullarını xatırladacağıq və onların tətbiqi nümunələrini nəzərdən keçirəcəyik, əlavə olaraq öyrənəcəyik. yeni üsul- tam kvadratın müəyyənləşdirilməsi metodu və onu müxtəlif məsələlərin həllində tətbiq etməyi öyrənmək.

Mövzu:Çoxhədlilərin faktorinqi

Dərs:Çoxhədlilərin faktorinqi. Tam kvadrat seçmək üsulu. Metodların birləşməsi

Əvvəllər öyrənilmiş çoxhədli faktorinqin əsas üsullarını xatırlayaq:

Mötərizədə ümumi amili, yəni çoxhədlinin bütün şərtlərində mövcud olan əmsalı çıxarmaq üsulu. Bir misala baxaq:

Xatırladaq ki, monomial güc və rəqəmlərin məhsuludur. Bizim nümunəmizdə hər iki terminin bəzi ümumi, eyni elementləri var.

Beləliklə, mötərizədə ümumi faktoru çıxaraq:

;

Nəzərinizə çatdıraq ki, çıxarılan əmsalı mötərizə ilə vurmaqla çıxarılan faktorun düzgünlüyünü yoxlamaq olar.

Qruplaşdırma üsulu. Çoxhədlidə ümumi amili çıxarmaq həmişə mümkün olmur. Bu zaman onun üzvlərini elə qruplara bölmək lazımdır ki, hər bir qrupda ümumi bir faktoru çıxarıb onu parçalamağa çalışasan ki, qruplardakı amilləri çıxardıqdan sonra ortaq amil ortaya çıxsın. bütün ifadə və siz parçalanmaya davam edə bilərsiniz. Bir misala baxaq:

Birinci termini dördüncü, ikincini beşinci, üçüncüsü altıncı ilə qruplaşdıraq:

Qruplardakı ümumi amilləri çıxaraq:

İfadə indi ümumi faktora malikdir. Onu çıxaraq:

Qısaldılmış vurma düsturlarının tətbiqi. Bir misala baxaq:

;

İfadəsini ətraflı yazaq:

Aydındır ki, qarşımızda kvadrat fərq üçün düstur var, çünki bu, iki ifadənin kvadratlarının cəmidir və ondan ikiqat hasil çıxarılır. Düsturdan istifadə edək:

Bu gün biz başqa bir üsul öyrənəcəyik - tam kvadrat seçmək üsulu. Bu, cəminin kvadratının və fərqin kvadratının düsturlarına əsaslanır. Onlara xatırladaq:

Cəmin kvadratı üçün düstur (fərq);

Bu düsturların özəlliyi ondadır ki, onlar iki ifadənin kvadratlarını və onların ikiqat hasilini ehtiva edir. Bir misala baxaq:

İfadəsini yazaq:

Beləliklə, birinci ifadə , ikinci isə .

Cəmin və ya fərqin kvadratı üçün düstur yaratmaq üçün ifadələrin hasilinin iki qatı kifayət deyil. Onu əlavə etmək və çıxmaq lazımdır:

Cəmin kvadratını tamamlayaq:

Nəticə ifadəsini çevirək:

Kvadratların fərqi üçün düstur tətbiq edək, xatırladaq ki, iki ifadənin kvadratlarının fərqi onların fərqinin hasilinə və cəminə bərabərdir:

Belə ki, bu üsulİlk növbədə kvadrat olan a və b ifadələrini müəyyən etmək, yəni bu nümunədə hansı ifadələrin kvadrat olduğunu müəyyən etmək lazımdır. Bundan sonra, ikiqat məhsulun olub olmadığını yoxlamaq lazımdır və əgər yoxdursa, onu əlavə edib çıxarın, bu nümunənin mənasını dəyişməyəcək, lakin polinomu kvadrat üçün düsturlardan istifadə edərək faktorlara ayırmaq olar. mümkünsə kvadratların cəmi və ya fərqi və fərqi.

Nümunələrin həllinə keçək.

Misal 1 - faktorlara ayırın:

Kvadrat olan ifadələri tapaq:

Onların ikiqat məhsulunun nə olacağını yazaq:

Gəlin ikiqat məhsulu əlavə edib çıxaraq:

Cəmin kvadratını tamamlayaq və oxşarlarını verək:

Bunu kvadratlar fərqi düsturundan istifadə edərək yazaq:

Misal 2 - tənliyi həll edin:

;

Tənliyin sol tərəfində trinomial var. Bunu faktorlara daxil etməlisiniz. Kvadrat fərq düsturundan istifadə edirik:

Birinci ifadənin kvadratı və qoşa hasilimiz var, ikinci ifadənin kvadratı yoxdur, onu əlavə edib çıxaraq:

Tam kvadratı qatlayaq və oxşar şərtlər verək:

Kvadratların fərqi düsturunu tətbiq edək:

Beləliklə, tənliyi əldə etdik

Biz bilirik ki, məhsulun sıfıra bərabər olması yalnız amillərdən ən azı biri sıfıra bərabərdir. Buna əsasən aşağıdakı tənlikləri yaradaq:

Birinci tənliyi həll edək:

İkinci tənliyi həll edək:

Cavab: və ya

;

Əvvəlki nümunəyə bənzər şəkildə davam edirik - fərqin kvadratını seçin.

x çağırdı

1.2.3. Qısaldılmış vurma şəxsiyyətlərindən istifadə

Misal. Faktor x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Köklərindən istifadə edərək polinomun faktorlanması

Teorem. P x polinomunun kökü x 1 olsun. Onda bu çoxhədli aşağıdakı kimi faktorlara bölünə bilər: P x x x 1 S x , burada S x dərəcəsi bir az olan bəzi polinomdur.

dəyərləri növbə ilə P x ifadəsinə daxil edin. Biz əldə edirik ki, x 2 olduqda-

ifadə 0-a çevriləcək, yəni P 2 0, bu o deməkdir ki, x 2 çoxlu kökdür.

üzv. P x polinomunu x 2-yə bölün.

X 3 3x 2 10x 24

x 32 x 2

24 10 x

x2 x12

12x 2412x 24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. Tam kvadratın seçilməsi

Tam kvadratın seçilməsi üsulu düsturların istifadəsinə əsaslanır: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Tam kvadratın təcrid edilməsi eynilik çevrilməsidir, burada verilmiş trinomial binomial və bəzi ədədi və ya əlifba ifadəsinin kvadratının cəmi və ya fərqi b 2 şəklində təmsil olunur.

Dəyişənə münasibətdə kvadrat trinomial formanın ifadəsini verir

ax 2 bx c , burada a , b və c ədədləri verilir və a 0 .

Kvadrat üçhəcmli balta 2 bx c-ni aşağıdakı kimi çevirək.

x2:

əmsal

Sonra b x ifadəsini 2b x kimi təqdim edirik (məhsuldan iki dəfə

x ):a x

Mötərizədə olan ifadəyə ondan ədədi əlavə edib çıxarırıq

ədədin kvadratıdır

Nəticədə əldə edirik:

İndi fərqindəyəm

alırıq

4a 2

Misal. Tam kvadrat seçin.

2 x 12

2x 2 4x 5 2x 2 2x 5

2 x 2 2x 1 15

2 x 12 7.

4 a 2,

1.4. Bir neçə dəyişənli polinomlar

Bir dəyişəndəki polinomlar kimi bir neçə dəyişəndəki polinomlar əlavə edilə, çoxalda və təbii gücə qaldırıla bilər.

Çoxhədlinin bir neçə dəyişəndəki mühüm şəxsiyyət çevrilməsi faktorizasiyadır. Burada ümumi amili mötərizədən çıxarmaq, qruplaşdırmaq, qısaldılmış vurma eyniliklərindən istifadə etmək, tam kvadratı təcrid etmək və köməkçi dəyişənləri daxil etmək kimi faktorlara ayırma üsullarından istifadə olunur.

1. P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 çoxhədlini çarpanlayın.

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y ​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. Faktor P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Qruplaşdırma metodunu tətbiq edək

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. P x ,y x 4 4y 4 faktoru. Tam kvadrat seçək:

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. İstənilən rasional göstərici ilə dərəcənin xassələri

İstənilən rasional göstəricisi olan dərəcə aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

a r 1a r 2a r 1r 2,

3. a r 1r 2 a r 1r 2,

4. abr 1 ar 1 br 1,

a r 1

ar 1

br 1

burada a 0;b 0;r 1;r 2 ixtiyari rasional ədədlərdir.

1. 8-i çoxalt

x 3 12x 7.

24 x 23.

8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12x 24

2. Faktorlara ayırın

2x3

1.6. Özünüz etmək üçün məşqlər

1. Qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə edərək hərəkətləri yerinə yetirin. 1) a 52;

2) 3 a 72 ;

3) a nb n2 .

4) 1 x 3 ;

3 y 3 ;

7) 8 a 2 8a 2;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) a 3a 2 3a 9;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. Qısaldılmış vurma eyniliklərindən istifadə edərək hesablayın:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Şəxsiyyətləri sübut edin:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 2 ab 2 a 2b 2 2 ;

3) a 2 b2 x2 y2 balta by2 bx ay2 .

4. Aşağıdakı çoxhədliləri faktor edin:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 ax38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2;

9) 121 n 2 3n 2t 2 ;

10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2 ;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;

13) 6 x 3 36x 2 72x 48;

14) 15 balta 3 45 balta 2 45 balta 15 a ;

15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1 ;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2 ;

19) 1000 t 3 27t 6 .

5. Ən sadə şəkildə hesablayın:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Çoxhədlinin bölməsini və qalığını tapın P x polinomu iləQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Q x x3 2 x2 x; 3) P x x6 1; Q x x4 4 x2 .

7. Çoxhədli olduğunu sübut edin x 2 2x 2-nin əsl kökləri yoxdur.

8. Çoxhədlinin köklərini tapın:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. Amil:

1) 6 a 2 a 5 5a 3 ;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. Tam kvadratı təcrid edərək tənlikləri həll edin:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. İfadələrin mənalarını tapın:

4 3 85

16 6

2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Hesablayın:

16 0,25

16 0,25

Artıq qeyd etdiyim kimi, inteqral hesablamada kəsri inteqrasiya etmək üçün əlverişli düstur yoxdur. Və buna görə də kədərli bir tendensiya var: fraksiya nə qədər mürəkkəbdirsə, onun inteqralını tapmaq bir o qədər çətindir. Bu baxımdan, indi sizə danışacağım müxtəlif hiylələrə müraciət etməlisiniz. Hazırlanmış oxucular dərhal faydalana bilər Mündəricat:

  • Sadə kəsrlər üçün diferensial işarənin cəmlənməsi üsulu

Süni sayğaclara çevrilmə üsulu

Misal 1

Yeri gəlmişkən, nəzərdən keçirilən inteqral dəyişən metodunun dəyişdirilməsi ilə də həll edilə bilər, işarə edir, lakin həllin yazılması daha uzun olacaq.

Misal 2

Tapın qeyri-müəyyən inteqral. Yoxlayın.

Bu bir nümunədir müstəqil qərar. Qeyd etmək lazımdır ki, dəyişənlərin dəyişdirilməsi üsulu artıq burada işləməyəcək.

Diqqət, vacibdir! 1, 2 nömrəli nümunələr tipikdir və tez-tez baş verir. Xüsusilə, belə inteqrallar tez-tez digər inteqralların həlli zamanı, xüsusən də irrasional funksiyaları (kökləri) birləşdirərkən yaranır.

Baxılan texnika işdə də işləyir əgər payın ən yüksək dərəcəsi məxrəcin ən yüksək dərəcəsindən böyükdürsə.

Misal 3

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın. Yoxlayın.

Numeratoru seçməyə başlayırıq.

Numeratorun seçilməsi alqoritmi belədir:

1) Numeratorda mən təşkil etməliyəm, amma orada. Nə etməli? Mən onu mötərizədə qoyuram və: .

2) İndi bu mötərizələri açmağa çalışıram, nə baş verir? . Hmm... bu daha yaxşıdır, lakin ilkin hesabda iki yoxdur. Nə etməli? Çoxaltmaq lazımdır:

3) Yenidən mötərizələri açıram: . Və burada ilk uğur! Düzgün çıxdı! Amma problem ondadır ki, əlavə termin yaranıb. Nə etməli? İfadənin dəyişməsinin qarşısını almaq üçün konstruksiyama eyni şeyi əlavə etməliyəm:
. Həyat asanlaşdı. Numeratorda yenidən təşkil etmək mümkündürmü?

4) Mümkündür. Gəlin cəhd edək: . İkinci terminin mötərizələrini açın:
. Bağışlayın, amma əvvəlki addımda məndə yox idi. Nə etməli? İkinci termini aşağıdakılarla çoxaltmalısınız:

5) Yenə yoxlamaq üçün ikinci müstəvidə mötərizələri açıram:
. İndi normaldır: 3-cü bəndin son konstruksiyasından əldə edilmişdir! Ancaq yenə kiçik bir "amma" var, əlavə bir termin meydana çıxdı, yəni ifadəmə əlavə etməliyəm:

Əgər hər şey düzgün aparılıbsa, onda bütün mötərizələri açanda inteqranın orijinal payını almalıyıq. Yoxlayırıq:
Başlıq.

Beləliklə:

Hazır. Son termində funksiyanın diferensial altında cəmlənməsi metodundan istifadə etdim.

Cavabın törəməsini tapsaq və ifadəni ümumi məxrəcə endirsək, onda tam olaraq orijinal inteqral funksiyasını alacağıq. Nəzərdən keçirilən cəmdə parçalanma üsulu ifadənin ümumi məxrəcə gətirilməsinin əks hərəkətindən başqa bir şey deyil.

Bu cür nümunələrdə paylayıcının seçilməsi alqoritmi ən yaxşı şəkildə qaralama şəklində edilir. Bəzi bacarıqlarla zehni olaraq işləyəcək. Mən 11-ci güc üçün seçim edərkən rekord qıran bir hadisəni xatırlayıram və hesablayıcının genişləndirilməsi Verdin demək olar ki, iki xəttini tutdu.

Misal 4

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın. Yoxlayın.

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir.

Sadə kəsrlər üçün diferensial işarənin cəmlənməsi üsulu

Növbəti növ fraksiyaları nəzərdən keçirməyə davam edək.
, , , (əmsallar və sıfıra bərabər deyil).

Əslində, dərsdə arksinus və arktangens ilə bir neçə hal artıq qeyd edilmişdir Qeyri-müəyyən inteqralda dəyişən dəyişmə üsulu. Bu cür nümunələr funksiyanın diferensial işarəsi altında cəmlənməsi və cədvəldən istifadə edərək sonrakı inteqrasiya yolu ilə həll edilir. Budur başqa tipik nümunələr uzun və yüksək loqarifmlə:

Misal 5

Misal 6

Burada inteqrallar cədvəlini götürmək və hansı düsturları görmək məsləhətdir Necə transformasiya baş verir. Qeyd, necə və niyə Bu nümunələrdə kvadratlar vurğulanır. Xüsusilə, 6-cı Nümunədə əvvəlcə məxrəci formada təmsil etməliyik , sonra onu diferensial işarənin altına gətirin. Və bütün bunlar standart cədvəl formulundan istifadə etmək üçün edilməlidir .

Niyə baxın, 7, 8 nömrəli nümunələri özünüz həll etməyə çalışın, xüsusən də onlar olduqca qısadır:

Misal 7

Misal 8

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:

Əgər siz də bu nümunələri yoxlamağı bacarırsınızsa, o zaman böyük hörmət - fərqləndirmə bacarıqlarınız əladır.

Tam kvadrat seçim üsulu

Formanın inteqralları (əmsallar və sıfıra bərabər deyil) həll edilir tam kvadrat çıxarma üsulu artıq dərsdə görünən Qrafiklərin həndəsi çevrilmələri.

Əslində belə inteqrallar indicə baxdığımız dörd cədvəlli inteqraldan birinə qədər azalır. Bu, tanış qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə etməklə əldə edilir:

Düsturlar məhz bu istiqamətdə tətbiq edilir, yəni metodun ideyası ifadələri ya məxrəcdə süni şəkildə təşkil etmək və sonra onları müvafiq olaraq hər hansı birinə çevirməkdir.

Misal 9

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın

Bu ən sadə misal, hansında termini ilə – vahid əmsalı(və bəzi rəqəm və ya mənfi deyil).

Məxrəcə baxaq, burada bütün məsələ aydın şəkildə təsadüfə düşür. Məxrəci çevirməyə başlayaq:

Aydındır ki, 4 əlavə etməlisiniz. Və ifadənin dəyişməməsi üçün eyni dördü çıxarın:

İndi formula tətbiq edə bilərsiniz:

Dönüşüm tamamlandıqdan sonra HƏMİŞƏ yerinə yetirmək məsləhətdir əks vuruş: , hər şey yaxşıdır, heç bir xəta yoxdur.

Sözügedən nümunənin son dizaynı belə görünməlidir:

Hazır. "freebie" nin xülasəsi mürəkkəb funksiya diferensial işarəsi altında: , prinsipcə, laqeyd qala bilər

Misal 10

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir, cavab dərsin sonundadır

Misal 11

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:

Öndə bir mənfi olduqda nə etməli? Bu halda, mötərizədə mənfini çıxarmaq və şərtləri bizə lazım olan ardıcıllıqla düzmək lazımdır: . Sabit(“iki” in bu halda) toxunma!

İndi mötərizədə birini əlavə edirik. İfadəni təhlil edərək, mötərizənin xaricinə birini əlavə etmək lazım olduğu qənaətinə gəlirik:

Burada düsturu alırıq, tətbiq edirik:

HƏMİŞƏ Layihəni yoxlayırıq:
, yoxlanılması lazım olan şeydi.

Təmiz nümunə bu kimi görünür:

Tapşırığı çətinləşdirir

Misal 12

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:

Burada termin artıq vahid əmsalı deyil, “beş”dir.

(1) Əgər bir sabit varsa, onu dərhal mötərizədən çıxarırıq.

(2) Ümumiyyətlə, bu sabiti inteqraldan kənara çıxarmaq həmişə daha yaxşıdır ki, mane olmasın.

(3) Aydındır ki, hər şey düstura düşəcək. Termini başa düşməliyik, yəni "iki" almalıyıq

(4) Bəli, . Bu o deməkdir ki, biz ifadəyə əlavə edirik və eyni kəsri çıxarırıq.

(5) İndi tam kvadrat seçin. IN ümumi hal biz də hesablamalıyıq, lakin burada uzun loqarifmin düsturu var , və hərəkəti yerinə yetirməyin mənası yoxdur; niyə aşağıda aydın olacaq.

(6) Əslində, düsturu tətbiq edə bilərik , yalnız “X” əvəzinə bizdə var ki, bu da cədvəl inteqralının etibarlılığını inkar etmir. Düzünü desək, bir addım qaçırıldı - inteqrasiyadan əvvəl funksiya diferensial işarənin altına alınmalı idi: , lakin, dəfələrlə qeyd etdiyim kimi, buna çox vaxt laqeyd yanaşılır.

(7) Kök altındakı cavabda bütün mötərizələri geriyə genişləndirmək məsləhətdir:

Çətin? Bu inteqral hesablamanın ən çətin hissəsi deyil. Baxmayaraq ki, nəzərdən keçirilən nümunələr yaxşı hesablama texnikası tələb etdiyi üçün o qədər də mürəkkəb deyil.

Misal 13

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Cavab dərsin sonundadır.

Məxrəcdə kökləri olan inteqrallar var ki, onlar əvəzetmədən istifadə edərək baxılan tip inteqrallara endirilir; onlar haqqında məqalədə oxuya bilərsiniz. Kompleks inteqrallar, lakin çox hazırlıqlı tələbələr üçün nəzərdə tutulub.

Diferensial işarənin altındakı payın cəmlənməsi

Bu, dərsin son hissəsidir, lakin bu tip inteqrallar olduqca yaygındır! Yorğunsansa, bəlkə sabah oxumaq daha yaxşıdır? ;)

Nəzərə alacağımız inteqrallar əvvəlki bəndin inteqrallarına bənzəyir, onların forması var: və ya (əmsallar , və sıfıra bərabər deyil).

Yəni bizdə olan paylayıcıda xətti funksiya. Belə inteqralları necə həll etmək olar?

Onlayn kalkulyator.
Binomun kvadratının təcrid edilməsi və kvadrat trinomialın faktorinqi.

Bu riyaziyyat proqramı kvadrat binomunu kvadrat trinomialdan fərqləndirir, yəni. kimi bir transformasiya edir:
\(ax^2+bx+c \sağ arrow a(x+p)^2+q \) və kvadrat üçhəcmli faktorlara ayırır: \(ax^2+bx+c \sağ ox a(x+n)(x+m) \)

Bunlar. Problemlər \(p, q\) və \(n, m\) ədədlərinin tapılmasına qədər uzanır.

Proqram təkcə problemin cavabını vermir, həm də həll prosesini göstərir.

Bu proqram orta məktəb tələbələri üçün faydalı ola bilər orta məktəblərüçün hazırlanır testlər və imtahanlar, Vahid Dövlət İmtahanından əvvəl bilikləri sınayarkən, valideynlər üçün riyaziyyat və cəbrdə bir çox problemlərin həllinə nəzarət etmək. Yoxsa repetitor işə götürmək və ya yeni dərsliklər almaq sizin üçün çox bahadır? Yoxsa bunu mümkün qədər tez bitirmək istəyirsiniz? ev tapşırığı riyaziyyatda yoxsa cəbrdə? Bu halda siz də ətraflı həlləri olan proqramlarımızdan istifadə edə bilərsiniz.

Bu yolla siz öz təliminizi və/yaxud kiçik qardaş və ya bacılarınızın təlimini həyata keçirə bilərsiniz, eyni zamanda problemlərin həlli sahəsində təhsil səviyyəsi yüksəlir.

Kvadrat üçlüyə daxil olmaq qaydaları ilə tanış deyilsinizsə, onlarla tanış olmağı məsləhət görürük.

Kvadrat çoxhədlinin daxil edilməsi qaydaları

İstənilən Latın hərfi dəyişən kimi çıxış edə bilər.
Məsələn: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) və s.

Ədədlər tam və ya kəsr ədədlər kimi daxil edilə bilər.
Üstəlik, kəsr ədədləri yalnız onluq şəklində deyil, həm də adi kəsr şəklində daxil edilə bilər.

Onluq kəsrlərin daxil edilməsi qaydaları.
Onluqlarda kəsir bütövdən nöqtə və ya vergüllə ayrıla bilər.
Məsələn, daxil edə bilərsiniz ondalıklar belə: 2,5x - 3,5x^2

Adi kəsrlərin daxil edilməsi qaydaları.
Yalnız tam ədəd kəsrin payı, məxrəci və tam hissəsi kimi çıxış edə bilər.

Məxrəc mənfi ola bilməz.

Rəqəmsal kəsr daxil edərkən, pay məxrəcdən bölmə işarəsi ilə ayrılır: /
Bütün hissə kəsrdən ampersandla ayrılır: &
Daxiletmə: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Nəticə: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

İfadə daxil edərkən mötərizələrdən istifadə edə bilərsiniz. Bu halda, həll edərkən, təqdim olunan ifadə əvvəlcə sadələşdirilir.
Məsələn: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Ətraflı həll nümunəsi

Binomun kvadratının təcrid edilməsi.$$ ax^2+bx+c \sağqarrow a(x+p)^2+q $$ $2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\sol( \frac(1)(2) \sağ)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \sağ)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\sol (x^2 + 2 \cdot\sol(\frac(1)(2) \sağ)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \sağ)^2 \sağ)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\sol(x+\frac(1)(2) \sağ)^2-\frac(9)(2) $$ Cavab:$2x^2+2x-4 = 2\sol(x+\frac(1)(2) \sağ)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizasiya.$$ ax^2+bx+c \sağ a(x+n)(x+m) $$ $2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\sol(x^2+x-2 \sağ) = $$
$$ 2 \sol(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \sağ) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \sağ) -1 \sol(x +2 \sağ) ) \sağ) = $$ $$ 2 \left(x -1 \sağ) \left(x +2 \sağ) $$ Cavab:$2x^2+2x-4 = 2 \sol(x -1 \sağ) \sol(x +2 \sağ) $$

Qərar ver

Məlum olub ki, bu problemi həll etmək üçün lazım olan bəzi skriptlər yüklənməyib və proqram işləməyə bilər.
Sizdə AdBlock aktiv ola bilər.
Bu halda onu söndürün və səhifəni yeniləyin.

JavaScript brauzerinizdə deaktiv edilib.
Həllin görünməsi üçün JavaScript-i aktiv etməlisiniz.
Brauzerinizdə JavaScript-i necə aktivləşdirmək barədə təlimatlar buradadır.

Çünki Problemi həll etmək istəyənlər çoxdur, sorğunuz növbəyə alınıb.
Bir neçə saniyədən sonra həll aşağıda görünəcək.
Zəhmət olmasa, gözləyin san...


Əgər sən həllində səhv olduğunu gördü, sonra bu barədə Əlaqə Formunda yaza bilərsiniz.
Unutma hansı vəzifəni göstərin nə qərar verərsən sahələrə daxil olun.



Oyunlarımız, bulmacalarımız, emulyatorlarımız:

Bir az nəzəriyyə.

Binomun kvadratının kvadrat trinomialdan təcrid edilməsi

Kvadrat üçhəcmli ax 2 +bx+c a(x+p) 2 +q şəklində təqdim edilirsə, burada p və q həqiqi ədədlərdir, onda biz deyirik ki, kvadrat trinomial, binomun kvadratı vurğulanır.

2x 2 +12x+14 trinomialından binomun kvadratını çıxarırıq.


\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)


Bunun üçün 6x-i 2*3*x-in hasili kimi təsəvvür edin və sonra 3 2-ni əlavə edib çıxarın. Biz əldə edirik:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Bu. Biz kvadrat trinomialdan kvadrat binom çıxarın, və göstərdi ki:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Kvadrat üçhəmin faktorinqi

Kvadrat üçhəcmli ax 2 +bx+c a(x+n)(x+m) şəklində göstərilibsə, burada n və m həqiqi ədədlərdir, onda əməliyyatın yerinə yetirildiyi deyilir. kvadrat üçhəmin faktorlara ayrılması.

Bu çevrilmənin necə edildiyini bir nümunə ilə göstərək.

Kvadrat üçhəcmli 2x 2 +4x-6 amilini ayıraq.

Mötərizədə a əmsalını götürək, yəni. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Mötərizədə ifadəni çevirək.
Bunun üçün 2x-i 3x-1x fərqi, -3-ü isə -1*3 kimi təsəvvür edin. Biz əldə edirik:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Bu. Biz kvadrat üçbucaqlı faktorlarla, və göstərdi ki:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Qeyd edək ki, kvadrat üçhəcmli faktorinq yalnız o zaman mümkündür: kvadrat tənlik, bu üçbucaqlıya uyğun gələn köklərə malikdir.
Bunlar. bizim halda, 2x 2 +4x-6 =0 kvadrat tənliyinin kökləri varsa, 2x 2 +4x-6 üçhəcmini faktorlara ayırmaq olar. Faktorlara ayırma prosesində müəyyən etdik ki, 2x 2 + 4x-6 = 0 tənliyinin iki kökü 1 və -3 var, çünki bu qiymətlərlə 2(x-1)(x+3)=0 tənliyi həqiqi bərabərliyə çevrilir.

Kitablar (dərsliklər) Vahid Dövlət İmtahanı və Vahid Dövlət İmtahanı testlərinin xülasələri Onlayn Oyunlar, bulmacalar Funksiyaların qrafiklərinin tərtibi Rus dilinin orfoqrafiya lüğəti Rus dilinin gənclər jarqon lüğəti Rus məktəblərinin kataloqu Rusiyanın orta təhsil müəssisələrinin kataloqu Rusiya universitetlərinin kataloqu Siyahı tapşırıqların

Tərif

2 x 2 + 3 x + 5 şəklində ifadələrə kvadrat üçhəcmlilər deyilir. Ümumiyyətlə, kvadrat üçbucaq a x 2 + b x + c formasının ifadəsidir, burada a, b, c a, b, c ixtiyari ədədlər və a ≠ 0dır.

X 2 - 4 x + 5 kvadrat üçbucağını nəzərdən keçirək. Onu bu formada yazaq: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Bu ifadəyə 2 2 əlavə edib 2 2-ni çıxsaq, alarıq: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Qeyd edək ki, x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, belə ki, x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Etdiyimiz çevrilmə adlanır “Mükəmməl kvadratı kvadrat üçbucaqdan təcrid etmək”.

9 x 2 + 3 x + 1 kvadrat trinomialdan mükəmməl kvadratı təyin edin.

Qeyd edək ki, 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Sonra `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Nəticə ifadəsinə `(1/2)^2` əlavə edib çıxırıq, alırıq

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Mükəmməl kvadratı kvadrat üçhəcmdən təcrid etmək üsulundan kvadrat üçhəmiyə ayırmaq üçün necə istifadə olunduğunu göstərəcəyik.

Kvadrat üçhəcmli 4 x 2 - 12 x + 5-i çarpazlayın.

Kvadrat üçbucaqdan mükəmməl kvadratı seçirik: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. İndi a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) düsturunu tətbiq edirik: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2) x - 1).

Kvadrat üçhəcmini çarpanlayın - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. İndi görürük ki, 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

9 x 2 - 12 x ifadəsinə 2 2 terminini əlavə edirik, alırıq:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Kvadratların fərqi üçün düstur tətbiq edirik, bizdə:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Kvadrat üçhəcmli 3 x 2 - 14 x - 5 faktorunu ayırın.

3 x 2 ifadəsini hansısa ifadənin kvadratı kimi təqdim edə bilmərik, çünki biz bunu hələ məktəbdə öyrənməmişik. Siz bundan sonra keçəcəksiniz və 4 nömrəli tapşırıqda biz öyrənəcəyik kvadrat köklər. Verilmiş kvadrat üçhəcmini necə faktorlara ayıra biləcəyinizi göstərək:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Kvadrat üçhəmin ən böyük və ya ən kiçik qiymətini tapmaq üçün mükəmməl kvadrat metodundan necə istifadə edəcəyinizi sizə göstərəcəyik.
X 2 - x + 3 kvadrat üçhəcmini nəzərdən keçirək. Tam kvadrat seçin:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Nəzərə alın ki, `x=1/2` olduqda kvadrat üçhəmin qiyməti `11/4` olduqda və `x!=1/2` olduqda `11/4` dəyərinə müsbət ədəd əlavə edilir, ona görə də biz `11/4`-dən böyük rəqəm alın. Beləliklə, ən kiçik dəyər kvadrat üçbucaq `11/4`dür və `x=1/2` olduqda alınır.

Kvadrat üçhəmin ən böyük qiymətini tapın - 16 2 + 8 x + 6.

Kvadrat üçbucaqdan mükəmməl kvadrat seçirik: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7.

`x=1/4` olduqda kvadrat üçhəmin qiyməti 7, `x!=1/4` olduqda isə 7 rəqəmindən müsbət ədəd çıxdıqda, yəni 7-dən kiçik ədəd alırıq. Beləliklə, 7 rəqəmi ən yüksək dəyər kvadrat üçbucaqdır və `x=1/4` olduqda alınır.

`(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` kəsirinin payını və məxrəcini hesablayın və kəsri azaldın.

Qeyd edək ki, x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 kəsrinin məxrəci. Tam kvadratı kvadrat trinomialdan təcrid etmək üsulundan istifadə edərək kəsrin payını faktorlara ayıraq. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) ) = (x + 5) (x - 3) .

Bu kəsr (x - 3) azaldılmasından sonra `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` formasına endirilərək `(x+5)/(x-3) alırıq. )`.

Çoxhədli x 4 - 13 x 2 + 36-nı çarpanlayın.

Bu çoxhədliyə tam kvadratı təcrid etmək üsulunu tətbiq edək. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`



Saytda yeni

>

Ən məşhur

© 2023. Stomatoloji məsləhət portalı.

POPULAR BÖLMƏLƏR