Əvvəlcə problem ifadəsi haqqında bir az danışaq ümumi görünüş, sonra isə əvəzetmə yolu ilə inteqrasiya nümunələrinə keçin. Tutaq ki, müəyyən bir inteqralımız var $\int g(x) \; dx$. Bununla belə, inteqrallar cədvəlində tələb olunan düstur yoxdur və verilmiş inteqralı bir neçə cədvəl şəklində bölmək mümkün deyil (yəni, birbaşa inteqrasiya aradan qaldırılır). Bununla belə, $u=\varphi(x)$ inteqralımızı azaldacaq müəyyən əvəzetmə tapsaq, problem həll olunacaqdır $\int g(x) \; dx$ bəzi cədvəl inteqralına $\int f(u) \; du=F(u)+C$. $\int f(u)\ formulunu tətbiq etdikdən sonra; du=F(u)+C$ bizə sadəcə $x$ dəyişənini geri qaytarmaqdır. Formal olaraq bunu belə yazmaq olar:

$$\int g(x)\; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$

Problem belə bir əvəzetmənin necə seçilməsindədir $u$. Bunun üçün, birincisi, törəmələr cədvəli və ondan mürəkkəb funksiyaları diferensiallaşdırmaq üçün istifadə etmək bacarığı, ikincisi, qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəli haqqında biliklərə ehtiyacınız olacaq. Bundan əlavə, aşağıda yazacağım düstura çox ehtiyacımız olacaq. Əgər $y=f(x)$, onda:

\begin(tənlik)dy=y"dx\end(tənlik)

Bunlar. bəzi funksiyanın diferensialı bu funksiyanın törəməsinin müstəqil dəyişənin diferensialına vurulmasına bərabərdir. Bu qayda çox vacibdir və əvəzetmə metodundan istifadə etməyə imkan verəcək bu qaydadır. Burada (1) düsturundan əldə edilən bir neçə xüsusi halı göstərəcəyik. Qoy $y=x+C$, burada $C$ müəyyən sabitdir (sadəcə rəqəm). Sonra $x+C$ ifadəsini $y$ əvəzinə düsturda (1) əvəz edərək aşağıdakıları əldə edirik:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$

$(x+C)"=x"+C"=1+0=1$ olduğundan yuxarıdakı düstur belə olacaq:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$

Əldə edilən nəticəni ayrıca yazaq, yəni.

\begin(tənlik)dx=d(x+C)\end(tənlik)

Alınan düstur o deməkdir ki, diferensialın altına bir sabit əlavə etməklə bu diferensial dəyişmir, yəni. $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ və s.

Gəlin daha birinə baxaq xüsusi hal düstur (1) üçün. Qoy $y=Cx$, burada $C$ yenə bir qədər sabitdir. (1) düsturunda $y$ əvəzinə $Cx$ ifadəsini əvəz etməklə bu funksiyanın diferensialını tapaq:

$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$

$(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$ olduğundan, yuxarıdakı $d(Cx)=(Cx)"dx$ düsturu belə olacaq: $d(Cx)=Cdx $ Bu düsturun hər iki tərəfini $C$-a bölsək ($C\neq 0$ fərz etsək), $\frac(d(Cx))(C)=dx$ alırıq. Bu nəticə bir qədər fərqli şəkildə yenidən yazıla bilər. forma:

\begin(tənlik)dx=\frac(1)(C)\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\end(tənlik)

Əldə edilən düstur onu göstərir ki, diferensialın altındakı ifadəni sıfırdan fərqli bəzi sabitlə vurmaq belə vurmanı kompensasiya edən müvafiq çarpanın tətbiqini tələb edir. Məsələn, $dx=\frac(1)(5) d(5x)$, $dx=-\frac(1)(19) d(-19x)$.

1 və 2 nömrəli misallarda (2) və (3) düsturları ətraflı nəzərdən keçiriləcək.

Düsturlar haqqında qeyd

Bu mövzuda həm 1-3 düsturlarından, həm də qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəlindəki düsturlardan istifadə ediləcək, onların da öz nömrələri var. Qarışıqlığın qarşısını almaq üçün aşağıdakılar üzərində razılaşaq: əgər mövzuda “1 nömrəli düsturdan istifadə edin” mətni görünürsə, bu, hərfi mənada aşağıdakı mənasını verir: “1 nömrəli düsturdan istifadə edin, bu səhifədə yerləşir". Əgər bizə inteqrallar cədvəlindən düstur lazımdırsa, onda biz bunu hər dəfə ayrıca göstərəcəyik. Məsələn, bu kimi: "inteqrallar cədvəlindən №1 düsturdan istifadə edirik."

Və daha bir kiçik qeyd

Nümunələr ilə işləməyə başlamazdan əvvəl qeyri-müəyyən inteqral və anlayışına həsr olunmuş əvvəlki mövzularda təqdim olunan materialla tanış olmaq tövsiyə olunur. Bu mövzuda materialın təqdimatı qeyd olunan mövzularda verilən məlumatlara əsaslanır.

Nümunə №1

$\int \frac(dx)(x+4)$ tapın.

-a müraciət etsək, $\int \frac(dx)(x+4)$ inteqralına tam uyğun gələn düstur tapa bilmərik. İnteqrallar cədvəlinin 2 nömrəli düsturu bu inteqrala ən yaxındır, yəni. $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Problem belədir: $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ düsturu $\int \frac(du)(u)$ inteqralında məxrəcdəki ifadələrin və diferensial altında eyni olmalıdır (hər ikisi eyni $u$ hərfinə malikdir). Bizim vəziyyətimizdə $\int \frac(dx)(x+4)$-da $x$ hərfi diferensialın altında, $x+4$ ifadəsi isə məxrəcdədir, yəni. Cədvəl formulunda aydın uyğunsuzluq var. Gəlin inteqralımızı cədvələ uyğunlaşdırmağa çalışaq. Diferensial üçün $x$ əvəzinə $x+4$ əvəz etsək nə olar? Bu suala cavab vermək üçün $y$ əvəzinə $x+4$ ifadəsini istifadə edək:

$$ d(x+4)=(x+4)"dx $$

$(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$ olduğundan, $ d(x+4)=(x+4)"dx $ bərabərliyi olur:

$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$

Beləliklə, $dx=d(x+4)$. Düzünü desəm, eyni nəticəni sadəcə $4$ rəqəmini $C$ sabitinin yerinə qoymaqla əldə etmək olardı. Gələcəkdə biz bunu edəcəyik, lakin ilk dəfə $dx=d(x+4)$ bərabərliyinin əldə edilməsi prosedurunu ətraflı araşdırdıq. Bəs $dx=d(x+4)$ bərabərliyi bizə nə verir?

Və bizə belə bir nəticə çıxarır: əgər $dx=d(x+4)$, onda $dx$ əvəzinə $\int \frac(dx)(x+4)$ inteqralında $d(x) əvəz edə bilərik. +4)$ , və nəticədə inteqral dəyişməyəcək:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)$$

Biz bu çevrilməni yalnız ona görə etdik ki, nəticədə alınan inteqral $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ cədvəl düsturuna tam uyğun olsun. Bu yazışmaların tam aydın olması üçün $x+4$ ifadəsini $u$ hərfi ilə əvəz edək (yəni, əvəzetmə$u=x+4$):

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u) )=\ln|u|+C.$$

Əslində problem artıq həll olunub. Yalnız $x$ dəyişənini qaytarmaq qalır. $u=x+4$ olduğunu xatırlasaq, alırıq: $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. Tam həll izahat olmadan belə görünür:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u) )=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$

Cavab verin: $\int \frac(dx)(x+4)=\ln|x+4|+C$.

Nümunə № 2

$\int e^(3x) dx$ tapın.

Qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəlinə müraciət etsək, $\int e^(3x) dx$ inteqralına tam uyğun gələn düstur tapa bilmərik. İnteqrallar cədvəlindən 4 nömrəli düstur bu inteqrala ən yaxındır, yəni. $\int e^u du=e^u+C$. Problem belədir: $\int e^u du=e^u+C$ düsturu güman edir ki, $\int e^u du$ inteqralında $e$ gücündə və diferensial altında ifadələr olmalıdır. eyni (hər ikisi də bir hərf $u$). Bizim vəziyyətimizdə $\int e^(3x) dx$-da diferensialın altında $x$ hərfi, $e$ gücündə isə $3x$ ifadəsi var, yəni. Cədvəl formulunda aydın uyğunsuzluq var. Gəlin inteqralımızı cədvələ uyğunlaşdırmağa çalışaq. Diferensial üçün $x$ əvəzinə $3x$ əvəz etsəniz nə olar? Bu suala cavab vermək üçün $y$ əvəzinə $3x$ ifadəsini istifadə edək:

$$ d(3x)=(3x)"dx $$

$(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$ olduğundan, $d(3x)=(3x)"dx$ bərabərliyi olur:

$$ d(3x)=3dx $$

Yaranan bərabərliyin hər iki tərəfini $3$-a bölsək, əldə edəcəyik: $\frac(d(3x))(3)=dx$, yəni. $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$. Əslində, $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ bərabərliyini sadəcə $3$ rəqəmini $C$ sabitinin yerinə qoymaqla əldə etmək olar. Gələcəkdə bunu edəcəyik, lakin ilk dəfə $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ bərabərliyinin əldə edilməsi prosedurunu ətraflı araşdırdıq.

Nəticədə $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ bərabərliyi bizə nə verdi? Bu o deməkdir ki, $dx$ əvəzinə $\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ $\int e^(3x) dx$ inteqralına əvəz edilə bilər və inteqral dəyişməyəcək:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x) $$

Gəlin inteqral işarədən $\frac(1)(3)$ sabitini çıxaraq və $3x$ ifadəsini $u$ hərfi ilə əvəz edək (yəni. əvəzetmə$u=3x$), bundan sonra $\int e^u du=e^u+C$ cədvəl formulunu tətbiq edirik:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C.$$

Əvvəlki nümunədə olduğu kimi, biz $x$ orijinal dəyişənini geri qaytarmalıyıq. $u=3x$ olduğundan, o zaman $\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$. Şərhlər olmadan tam həll belə görünür:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)( 3)\cdot e^(3x)+C.$$

Cavab verin: $ \int e^(3x) dx= \frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$.

Nümunə № 3

$\int (3x+2)^2 dx$ tapın.

Bu inteqralı tapmaq üçün iki üsuldan istifadə edirik. Birinci yol, mötərizələri açmaq və birbaşa inteqrasiya etməkdir. İkinci üsul əvəzetmə metodundan istifadə etməkdir.

Birinci yol

$(3x+2)^2=9x^2+12x+4$ olduğundan, sonra $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. $\int (9x^2+12x+4)dx$ inteqralını üç inteqralın cəmi kimi təqdim edərək və müvafiq inteqralların işarələrindən sabitləri çıxararaq, əldə edirik:

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx $$

$\int x^2 dx$ tapmaq üçün inteqrallar cədvəlinin 1 nömrəli düsturunda $u=x$ və $\alpha=2$ əvəz edirik: $\int x^2 dx=\frac(x^(2) +1))( 2+1)+C=\frac(x^3)(3)+C$. Eynilə, $u=x$ və $\alpha=1$-ı cədvəldəki eyni düsturla əvəz etsək, biz aşağıdakıları əldə edəcəyik: $\int x^1 dx=\frac(x^(1+1))(1+1 )+ C=\frac(x^2)(2)+C$. $\int 1 dx=x+C$ olduğundan, onda:

$$ 9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^ 2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^ 2+4x+C. $$

İkinci yol

Mötərizələri açmayacağıq. Çalışaq $3x+2$ ifadəsi diferensialın altında $x$ əvəzinə görünsün. Bu, yeni dəyişən daxil etməyə və elektron cədvəl düsturunu tətbiq etməyə imkan verəcək. Diferensialın altında görünmək üçün $3$ amilinə ehtiyacımız var, ona görə də dəyərdə $C=3$ əvəz edərək $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ alırıq. Bundan əlavə, diferensial altında $2$ termini yoxdur. Diferensial işarəsi altında sabitin əlavə edilməsinə görə, bu diferensial dəyişmir, yəni. $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2)$. $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ və $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2) şərtlərindən ) $ bizdə: $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$.

Qeyd edim ki, $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ bərabərliyi başqa yolla da əldə edilə bilər:

$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)")dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\ \dx=\frac(1)(3)d(3x+2). $$

Nəticədə $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ bərabərliyindən istifadə edərək $\frac(1)(3)d(3x) ifadəsini $\int (3x+2) inteqralına əvəz edirik. $dx$ əvəzinə )^2 dx$ +2)$. Yaranan inteqralın işarəsi kimi $\frac(1)(3)$ sabitini çıxaraq:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac(1)(3)d(3x+2)=\frac(1)(3)\cdot \ int (3x+2)^2 d(3x+2). $$

Əlavə həll yolu $u=3x+2$ əvəzini yerinə yetirmək və inteqrallar cədvəlindən №1 düstur tətbiq etməkdir:

$$ \frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac(1)(3)\cdot \int u^ 2 du=\frac(1)(3)\cdot \frac(u^(2+1))(2+1)+C=\frac(u^3)(9)+C. $$

$u$ əvəzinə $3x+2$ ifadəsini qaytarsaq, əldə edirik:

$$ \frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

İzahsız tam həll belədir:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ = \frac(1)(3)\cdot \int u^2 du=\frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Mən bir neçə sual gözləyirəm, ona görə də onları formalaşdırmağa və cavab verməyə çalışacağam.

Sual №1

Burada bir şey əlavə olunmur. Birinci şəkildə həll etdikdə biz $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$ aldıq. İkinci yolu həll edərkən cavab belə oldu: $\int (3x+2)^2 dx=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Ancaq ikinci cavabdan birinciyə keçmək mümkün deyil! Mötərizələri açsaq, aşağıdakıları alırıq:

$$ \frac((3x+2)^3)(9)+C=\frac(27x^3+54x^2+36x+8)(9)+C=\frac(27x^3)(9) +\frac(54x^2)(9)+\frac(36x)(9)+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+ C. $$

Cavablar uyğun gəlmir! Əlavə fraksiya $\frac(8)(9)$ haradan gəldi?

Bu sual sizə əvvəlki mövzulara müraciət etməyi təklif edir. Qeyri-müəyyən inteqral anlayışı haqqında mövzunu oxuyun (diqqət yetirin Xüsusi diqqət səhifənin sonunda 2 nömrəli sual) və birbaşa inteqrasiya (4 nömrəli suala diqqət yetirməyə dəyər). Bu mövzular bu məsələni ətraflı əhatə edir. Bir sözlə, inteqral sabiti $C$ ilə təmsil oluna bilər müxtəlif formalar. Məsələn, bizim vəziyyətimizdə, $C_1=C+\frac(8)(9)$-nı yenidən təyin etməklə, əldə edirik:

$$ 3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+C_1. $$

Buna görə də heç bir ziddiyyət yoxdur, cavab ya $3x^3+6x^2+4x+C$ şəklində, ya da $\frac((3x+2)^3)(9)+ şəklində yazıla bilər. C$.

Sual № 2

İkinci şəkildə qərar vermək niyə lazım idi? Bu lazımsız bir komplikasiyadır! Birinci metoddan istifadə edərək bir neçə addımda əldə edilən cavabı tapmaq üçün bir dəstə lazımsız düsturdan istifadə etmək niyə lazımdır? Lazım olan tək şey məktəb düsturundan istifadə edərək mötərizələri açmaq idi.

Yaxşı, ilk növbədə, bu, o qədər də mürəkkəb deyil. Əvəzetmə üsulunu başa düşdüyünüz zaman oxşar nümunələri bir sətirdə həll etməyə başlayacaqsınız: $\int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d ( 3x+2)=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Bununla belə, gəlin bu misala başqa cür baxaq. Təsəvvür edin ki, siz $\int (3x+2)^2 dx$ deyil, $\int (3x+2)^(200) dx$ hesablamalısınız. İkinci şəkildə həll edərkən, dərəcələri bir az tənzimləməlisiniz və cavab hazır olacaq:

$$ \int (3x+2)^(200) dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^(200) d(3x+2)=|u=3x+2| =\\ =\frac(1)(3)\cdot \int u^(200) du=\frac(u^(201))(603)+C=\frac((3x+2)^(201) )(603)+C. $$

İndi təsəvvür edin ki, eyni inteqral $\int (3x+2)^(200) dx$ birinci şəkildə götürülməlidir. Əvvəlcə $(3x+2)^(200)$ mötərizəsini açmalı olacaqsınız və bununla da iki yüz bir şərtin cəmini əldə etməlisiniz! Və sonra hər bir termin də inteqrasiya edilməlidir. Ona görə də buradan nəticə belədir: böyük dövlətlər üçün birbaşa inteqrasiya üsulu uyğun deyil. İkinci üsul, görünən mürəkkəbliyinə baxmayaraq, daha praktikdir.

Nümunə № 4

$\int \sin2x dx$ tapın.

Bu nümunəni üç fərqli şəkildə həll edəcəyik.

Birinci yol

Gəlin inteqrallar cədvəlinə baxaq. Bu cədvəldən 5 nömrəli formula bizim nümunəmizə ən yaxındır, yəni. $\int \sin u du=-\cos u+C$. $\int \sin2x dx$ inteqralını $\int \sin u du$ formasına uyğunlaşdırmaq üçün diferensial işarənin altına $2$ amilini daxil edərək istifadə edirik. Əslində, biz bunu №2 nümunədə etdik, buna görə də ətraflı şərhlər olmadan edə bilərik:

$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac(1)(2)\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac(1)(2)d(2x )=\\ =\frac(1)(2) \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac(1)(2) \int \sin u du=-\frac(1) (2)\cos u+C=-\frac(1)(2)\cos 2x+C. $$

Cavab verin: $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$.

İkinci yol

İkinci üsulu həll etmək üçün sadə bir üsul tətbiq edirik triqonometrik düstur: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. $\sin 2x$ əvəzinə $2 \sin x \cos x$ ifadəsini əvəz edək və inteqral işarəsindən $2$ sabitini çıxaraq:

Belə bir transformasiyanın məqsədi nədir? Cədvəldə $\int \sin x\cos x dx$ inteqral yoxdur, lakin biz $\int \sin x\cos x dx$-ı bir az çevirə bilərik ki, o, cədvəldəki kimi görünsün. Bunun üçün istifadə edərək $d(\cos x)$ tapaq. Göstərilən düsturda $y$ əvəzinə $\cos x$ əvəz edək:

$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$

$d(\cos x)=-\sin x dx$ olduğundan, $\sin x dx=-d(\cos x)$. $\sin x dx=-d(\cos x)$ olduğundan, $\sin x dx$ əvəzinə $\int \sin x\cos x dx$-da $-d(\cos x)$ əvəz edə bilərik. İnteqralın dəyəri dəyişməyəcək:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$

Başqa sözlə, biz diferensial altında əlavə olunur$\cos x$. İndi $u=\cos x$ əvəzini etdikdən sonra inteqrallar cədvəlindən №1 düstur tətbiq edə bilərik:

$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^ 2+C=-\cos^2x+C. $$

Cavab alındı. Ümumiyyətlə, $u$ hərfini daxil etmək lazım deyil. Bu cür inteqralların həllində kifayət qədər bacarıq əldə etdikdə əlavə qeydlərə ehtiyac yox olacaq. İzahsız tam həll belədir:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)= |u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Cavab verin: $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.

Üçüncü yol

Üçüncü şəkildə həll etmək üçün eyni triqonometrik düsturu tətbiq edirik: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. $\sin 2x$ əvəzinə $2 \sin x \cos x$ ifadəsini əvəz edək və inteqral işarəsindən $2$ sabitini çıxaraq:

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

-dən istifadə edərək $d(\sin x)$ tapaq. Göstərilən düsturda $y$ əvəzinə $\sin x$ əvəz edək:

$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$

Beləliklə, $d(\sin x)=\cos x dx$. Əldə edilən bərabərlikdən belə çıxır ki, biz $d(\sin x)$-ı $\int \sin x\cos x dx$-da $\cos x dx$ əvəzinə əvəz edə bilərik. İnteqralın dəyəri dəyişməyəcək:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$

Başqa sözlə, biz diferensial altında əlavə olunur$\sin x$. İndi $u=\sin x$ əvəzini etdikdən sonra inteqrallar cədvəlindən №1 düstur tətbiq edə bilərik:

$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C= \sin^2x+C. $$

Cavab alındı. İzahsız tam həll belədir:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin) x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Cavab verin: $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.

Ola bilsin ki, bu nümunəni, xüsusən də üç fərqli (ilk baxışda) cavabı oxuduqdan sonra bir sual yaransın. Gəlin bunu nəzərdən keçirək.

Sual №3

Gözləmək. Cavablar eyni olmalıdır, amma fərqlidirlər! 3 nömrəli misalda fərq yalnız $\frac(8)(9)$ sabitində idi, lakin burada cavablar hətta görünüşcə oxşar deyil: $-\frac(1)(2)\cos 2x+C $, $-\ cos^2x+C$, $\sin^2x+C$. Həqiqətən hər şey yenidən inteqral sabit $C$ ilə bağlıdır?

Bəli, vacib olan məhz bu sabitdir. Gəlin bütün cavabları bir formaya endirək, bundan sonra sabitlərdəki bu fərq tamamilə aydın olacaq. $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ ilə başlayaq. Biz sadə triqonometrik bərabərlikdən istifadə edirik: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. Sonra $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ ifadəsi olacaq:

$$ -\frac(1)(2)\cos 2x+C=-\frac(1)(2)\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac(1)(2) +\frac(1)(2)\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2 x+C-\frac(1)(2). $$

İndi ikinci cavabla işləyək, yəni. $-\cos^2x+C$. $\cos^2 x=1-\sin^2x$ olduğundan, onda:

$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$

4-cü misalda aldığımız üç cavab bunlar idi: $\sin^2 x+C-\frac(1)(2)$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+ C$. Düşünürəm ki, indi aydın olur ki, onlar bir-birindən ancaq müəyyən sayda fərqlənirlər. Bunlar. məsələ yenidən inteqral sabitə çevrildi. Gördüyünüz kimi, inteqral sabitindəki kiçik bir fərq, prinsipcə, çox dəyişə bilər görünüş cavab - lakin bu cavabın düzgün olmasına mane olmur. Nə əldə edirəm: əgər siz problemlər toplusunda sizin cavabınızla üst-üstə düşməyən bir cavab görürsünüzsə, bu, heç də sizin cavabınızın yanlış olması demək deyil. Mümkündür ki, siz sadəcə olaraq problemin müəllifinin nəzərdə tutduğundan fərqli şəkildə cavaba gəldiniz. Qeyri-müəyyən inteqralın tərifinə əsaslanan yoxlama cavabın düzgünlüyünü yoxlamağa kömək edəcəkdir. Məsələn, $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ inteqralı düzgün tapılarsa, onda $\left(-\frac(1)(2)\cos bərabərliyi 2x+ C\right)"=\sin 2x$. Beləliklə, $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)$ törəməsinin inteqrada bərabər olduğunu yoxlayaq. $\sin 2x $:

$$ \left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\left(-\frac(1)(2)\cos 2x\right)"+C"=-\frac (1)(2)\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac(1)(2)\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac(1) (2)\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x. $$

Yoxlama uğurla tamamlandı. $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ bərabərliyi təmin edilir, ona görə də $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2) düsturu )\cos 2x+C$ düzgündür. 5-ci misalda biz də onun düzgünlüyünə əmin olmaq üçün nəticəni yoxlayacağıq. Bəzi tipik hesablamalarda çekin olması məcburi deyildir. testlər ah, nəticəni yoxlamaq tələbi mövcuddur.

Diferensial işarənin altındakı payın cəmlənməsi

Bu, dərsin son hissəsidir, lakin bu tip inteqrallar olduqca yaygındır! Yorğunsansa, bəlkə sabah oxumaq daha yaxşıdır? ;)

Nəzərə alacağımız inteqrallar əvvəlki bəndin inteqrallarına bənzəyir, onların forması var: və ya (əmsallar , və sıfıra bərabər deyil).

Yəni bizim sayımızda var xətti funksiya. Belə inteqralları necə həll etmək olar?

Misal 14

Ehtiyatlı olun, indi tipik bir alqoritmə baxacağıq.

1) və ya formasının inteqralı verildikdə (əmsallar , və sıfıra bərabər deyil), onda ilk işimiz... qaralama götürməkdir. Fakt budur ki, indi kiçik bir seçim yerinə yetirməliyik.

2) Məxrəcdə olan ifadəni (fərq etməz - kök altında və ya kök olmadan) diferensial işarə altında, bu nümunədə yekunlaşdırırıq:

3) Diferensialı açın:

Gəlin inteqralımızın payına baxaq:

İşlər bir az fərqli oldu... İndi isə diferensial üçün çarpan seçməliyik ki, o açılanda ən azı . IN bu halda uyğun çarpan:

4) Özünü idarə etmək üçün diferensialımızı yenidən açırıq:

Yenidən inteqralımızın payına baxaq: .
Bu daha yaxındır, lakin bizdə səhv termin var:

5) Diferensialımıza:
– inteqralda əvvəlcə malik olduğumuz termini təyin edirik:

- Çıxar ( bu halda, biz çıxarırıq, bəzən, əksinə, əlavə etmək lazımdır)"yanlış" terminimiz:
– Hər iki sabiti mötərizədə qoyuruq və sağa diferensial simvol təyin edirik:

- Çıxar (bəzi nümunələrdə əlavə etmək lazımdır) sabitlər:

6) Yoxlayırıq:

Biz tam olaraq inteqranın payını aldıq, yəni seçim uğurlu oldu.

Həllin son dizaynı belə görünür:

(1) Biz yuxarıda müzakirə olunan alqoritmə uyğun olaraq qaralama üzrə hesablayıcı seçirik. Biz seçimin düzgün olub olmadığını yoxlayırıq. İnteqralların həllində müəyyən təcrübə ilə, seçimi başınızda yerinə yetirmək çətin deyil.

(2) Hissəni məxrəc termininə bölün. Praktik problem həllində bu addım buraxıla bilər

(3) Xəttilik xassəsindən istifadə edərək inteqralları ayırırıq. Bütün sabitləri inteqral işarələrindən kənara çıxarmaq məsləhətdir.

(4) Birinci inteqral əslində cədvəldir; biz düsturdan istifadə edirik (ikinci inteqralı götürəndə daha sonra sabit əlavə edəcəyik). İkinci inteqralda biz seçirik mükəmməl kvadrat(biz əvvəlki paraqrafda bu tip inteqralları araşdırdıq).

Qalanı texnika məsələsidir.

Və yeni başlayanlar üçün bir neçə nümunə müstəqil qərar– biri daha sadə, digəri daha çətindir.

Misal 15

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:

Misal 16

Qeyri-müəyyən inteqralı tapın:

Bu nümunələri həll etmək üçün inteqrasiyanın xüsusi bir vəziyyəti faydalı olacaqdır güc funksiyası mənim cədvəlimdə olmayan:

Gördüyünüz kimi, fraksiyaların inteqrasiyası çətin bir işdir, tez-tez süni üsullardan və seçimlərdən istifadə etməlisiniz. Amma nə etməli…

Digər fraksiya növləri var, sözdə kəsr-rasional funksiyalar, onlar üsulla həll olunur. qeyri-müəyyən əmsallar. Amma bu artıq dərsin mövzusudur Kəsrə görə rasional funksiyaların inteqrasiyası.

§ 5. İnteqrallar və onların tətbiqi

.

5.1. Əsas təriflər və düsturlar. Funksiya F(x) edir antitörəmə funksiyası f(x), bəzi dəstdə olarsa X bərabərlik qorunur F (x)= f(x). Üçün bütün antiderivativlər toplusu f(x) çağırdı qeyri-müəyyən inteqral və təyin olunur. Eyni zamanda, əgər F(x) - primitivlərdən hər hansı biri f(x), Bu
, Sabit C bütün həqiqi ədədlər toplusundan keçir. Cədvəl 2-də olan əsas düsturlar göstərilir u= u(x).

cədvəl 2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

Aydındır ki, düsturlar 10), 12) Və 14) düsturların xüsusi hallarıdır 11), 13) Və 15) müvafiq olaraq.

Əgər f(x) – seqmentdə davamlı funksiya [ a; b], onda var müəyyən inteqral ilə hesablana bilən bu funksiyadan Nyuton-Leybnits düsturu:

, (5.1)

Harada F(x) - üçün hər hansı antitörəmə f(x). Qeyri-müəyyən inteqraldan (funksiyalar toplusudur) fərqli olaraq, müəyyən inteqral müəyyən ədəddir.

Həm qeyri-müəyyən, həm də müəyyən inteqrallar xassə malikdir xəttilik(funksiyaların cəminin inteqralı məbləğinə bərabərdir inteqrallar və sabit amili inteqral işarəsindən çıxarmaq olar):

.

Misal 5.1. Tapın: a)
; b)
.

Həll. Tapşırıqda A)Əvvəlcə inteqranı sadələşdiririk, hər bir termini saydan məxrəcə bölürük, sonra xassədən istifadə edirik. xəttilik və “cədvəl” formulları 1)-3):

Tapşırıqda b), bundan başqa xəttilik və “cədvəl” formulları 3), 9), 1), Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edirik (5.1):

5.2. Diferensial işarənin altına girmək və dəyişəni əvəz etmək. Siz qeyd edə bilərsiniz ki, bəzən inteqralın bir hissəsi hansısa ifadənin diferensialını təşkil edir ki, bu da cədvəl formullarından istifadə etməyə imkan verir.

Misal 5.2 Tapın: a)
; b)
.

Həll. Nümunədə A) bunu fərq edə bilərsiniz
, sonra isə düsturdan istifadə edin 5) saat u=ln x:

Nə vaxt b)
və buna görə də 11) saat
alırıq:

Qeyd 1. Diferensial işarəni daxil edərkən yuxarıda istifadə olunanlarla yanaşı, aşağıdakı əlaqələri də nəzərə almaq faydalıdır:

;
;
; ; ;

;
;
;
.

Qeyd 2.-dən inteqrallar misal 5.2. dəyişən dəyişikliyindən istifadə etməklə də tapıla bilər. Eyni zamanda, in müəyyən inteqral inteqrasiyanın sərhədləri də dəyişdirilməlidir. Dönüşümlər 5.2.b) məsələn, belə görünür:

IN ümumi haləvəzetmə seçimi inteqralın növü ilə müəyyən edilir. Bəzi hallarda xüsusi dəyişdirmələr tövsiyə olunur. Məsələn, ifadədə formanın irrasionallığı varsa
, sonra qoya bilərik
və ya
.

Misal 5.3 Tapın: a)
; b)
.

Həll. Nə vaxt A) bizdə var

(dəyişdirdikdən sonra cədvəl formulunu tətbiq etdik 11 )).

Qərar verərkən b)İnteqrasiya sərhədlərinin dəyişdirilməsinə əminik.

5.3. Parçalar üzrə inteqrasiya. Bəzi hallarda “hissələr üzrə inteqrasiya düsturu” kömək edir. Qeyri-müəyyən inteqral üçün onun forması var

, (5.2)

müəyyən üçün

, (5.3)

Aşağıdakıları nəzərə almaq vacibdir.

1) Əgər inteqral çoxhədlinin hasilini ehtiva edirsə x funksiyalar üzrə
, sonra kimi uçoxhədli seçilir və inteqral işarəsi altında qalan ifadəyə istinad edilir dv.

2) Əgər inteqral tərs triqonometrik ( ) və ya loqarifmik (
) funksiyaları, sonra kimi u onlardan biri seçilir.

Misal 5.4. Tapın: a)
; b)
.

Həll. Nə vaxt A) formulunu tətbiq edin (5.2) Və ikinci qayda. Daha doğrusu, inanırıq
. Sonra
. Daha,
, və buna görə də
. Beləliklə, . Yaranan inteqralda inteqralın bütün hissəsini seçirik (bu, payın dərəcəsi məxrəcin dərəcəsindən az olmadıqda edilir):

.

Son həll belə görünür:

Nümunədə b) istifadə edirik (5.3) Və qaydalardan birincisidir.

5.4. Kvadrat trinomial ehtiva edən ifadələrin inteqrasiyası. Əsas ideyalar kvadrat üçbucaqda tam kvadratı təcrid etmək və orijinal inteqralı cədvəl formasına endirməyə imkan verən xətti əvəzetmə aparmaqdır. 10 )-16 ).

Misal 5.5. Tapın: a)
; b)
; V)
.

Həll. Nə vaxt A) aşağıdakı kimi davam edin:

buna görə də (nəzərə alaraq 13) )

Məsələni həll edərkən b) inteqralın paylayıcısında dəyişənin olması ilə bağlı əlavə çevrilmələr tələb olunacaq. Məxrəcdə () mükəmməl kvadratı seçərək alırıq:

İnteqralların ikincisi üçün, səbəbiylə 11) (Cədvəl 2) bizdə:
. Birinci inteqralda diferensial işarəsi altında daxil olacağıq:

Beləliklə, hər şeyi bir yerə toplayıb dəyişənə qayıdırıq x, alırıq:

Nümunədə V) Biz də əvvəlcə tam kvadrat seçirik:

5.5. Sadə triqonometrik funksiyaların inteqrasiyası. Formanın ifadələrini birləşdirərkən
(Harada m Və n – tam ədədlər) aşağıdakı qaydaları nəzərə almaq tövsiyə olunur.

1) Əgər hər iki dərəcə cütdürsə, onda “dərəcənin azaldılması” üçün düsturlar tətbiq edilir: ; .

2) Tutaq ki, rəqəmlərdən hər hansı biri m Və n- qəribə. Misal üçün, n=2 k+1. Bu halda funksiyanın dərəcələrindən biri cosx Onu diferensial işarənin altına gətirmək üçün “parçalayın” (ci ildən). Qalan ifadədə
əsas triqonometrik eynilikdən istifadə etməklə
vasitəsilə ifadə edilir
(). İnteqranı çevirdikdən sonra (və xəttilik xassəsini nəzərə alaraq) formanın inteqrallarının cəbri cəmini alırıq.
, hər birini düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar 2) 2-ci cədvəldən:
.

Bundan əlavə, bəzi hallarda düsturlar da faydalıdır

Misal 5.6. Tapın: a)
; b)
; V)
.

Həll. A)İnteqrana tək (5-ci) dərəcə daxildir sinx, ona görə də hərəkət edirik ikinci qayda, bunu nəzərə alaraq.

Nümunədə b) düsturundan istifadə edək (5.4 ), xəttilik qeyri-müəyyən inteqral, bərabərlik
və cədvəl düsturu 4):

Nə vaxt V) ardıcıl olaraq dərəcəsini aşağı salın, xəttiliyi, diferensial işarə altında sabitin tətbiqi imkanını və lazımi cədvəl düsturlarını nəzərə alırıq:

5.6. Müəyyən inteqralın tətbiqləri. Məlum olduğu kimi, seqmentdə qeyri-mənfi və davamlı bir əyri xətti trapesiya uyğun gəlir [ a; b] funksiyaları f(x), funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan sahə adlanır y= f(x), ox ÖKÜZ və iki şaquli xətt x= a, x= b. Qısaca belə yazmaq olar: (bax. şək.3). və harada

Bəzi inteqral növlərini həll edərkən, necə deyərlər, çevrilmə həyata keçirilir diferensial işarəsi altında daxil olur. Bu, cədvəlli inteqral əldə etmək və onun götürülməsini asanlaşdırmaq üçün edilir. Bunun üçün formuladan istifadə edin: $$ f"(x) dx = d(f(x)) $$

Bunu qeyd etmək istərdim mühüm nüans tələbələrin düşündüyü. Bu üsul dəyişəni (əvəzetmə) əvəz etmə metodundan nə ilə fərqlənir? Eyni şeydir, sadəcə yazılarda fərqli görünür. Hər ikisi doğrudur.

Düstur

Əgər inteqral biri digərinin diferensialı olan iki funksiyanın hasilini göstərirsə, onda diferensial işarənin altında istədiyiniz funksiyanı daxil edin. Bu belə görünür:

$$ \int f(\varphi(x)) \varphi"(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x) $$

Əsas funksiyaların ümumiləşdirilməsi

Bu həll metodundan uğurla istifadə etmək üçün siz törəmə və inteqrasiya cədvəllərini bilməlisiniz. Onlardan aşağıdakı formullar əmələ gəlir:

$ dx = d(x+c), c=const $	$ -\sin x dx=d(\cos x) $
$ dx=\frac(1)(a) d(ax) $	$ \cos x dx = d(\sin x) $
$ xdx=\frac(1)(2) d(x^2+a) $	$ \frac(dx)(x) = d(\ln x) $
$ -\frac(dx)(x^2)= d(\frac(1)(x)) $	$ \frac(dx)(\cos^2 x) = d(tg x) $
$$ \int f(kx+b)dx = \frac(1)(k) \int f(kx+b)d(kx+b) = \frac(1)(k) F(kx+b) + C$$

Həll nümunələri

Misal 1

$$ \int \sin x \cos x dx $$ inteqralını tapın

Həll

Bu nümunədə təklif olunan funksiyalardan hər hansı birini diferensial işarənin altına qoya bilərsiniz, hətta sinus və ya kosinus. Dəyişən işarələrlə qarışmamaq üçün $ \cos x $ daxil etmək daha rahatdır. Əldə etdiyimiz düsturlardan istifadə edərək: $$ \int \sin x \cos xdx = \int \sin x d(\sin x) = \frac(1)(2) \sin^2 x + C $$ Probleminizi həll edə bilmirsinizsə, bizə göndərin. Biz ətraflı həll təqdim edəcəyik. Siz hesablamanın gedişatına baxa və məlumat əldə edə biləcəksiniz. Bu, müəlliminizdən vaxtında qiymət almağınıza kömək edəcək!

Cavab verin

$$ \int \sin x \cos x dx = \frac(1)(2) \sin^2 x + C $$

Beləliklə, məqalədə bəzi inteqral növlərini diferensial işarənin altına daxil etməklə necə həll edildiyinə baxdıq. Tez-tez ümumi olanların fərqlərini xatırladıq elementar funksiyalar. Test tapşırıqlarını özünüz həll edə bilmirsinizsə və ya kifayət qədər vaxtınız yoxdursa, biz sizə öz köməyimizi göstərəcəyik. mümkün olduğu qədər tez. Sadəcə sifariş formasını doldurun və biz sizinlə əlaqə saxlayacağıq.